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Slides 2040-3

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  • 1. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Actuariat IARD - ACT2040 Partie 3 - rgression Poissonienne et biais minimal (Y N) Arthur Charpentier [email protected] http ://freakonometrics.hypotheses.org/ Hiver 2013 1
  • 2. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Modlisation dune variable de comptageRfrences : Frees (2010), chapitre 12 (p 343-361) Greene (2012), section 18.3(p 802-828) de Jong Heller (2008), chapitre 6, sur la rgression de Poisson. Surles mthodes de biais minimal, de Jong Heller (2008), section 1.3. SinonCameron, A.C. & Trivedi, P.K. (1998). Regression analysis of count data,Cambridge University Press.Denuit, M., Marechal, X., Pitrebois, S. & Walhin, J.-F. (2007) ActuarialModelling of Claim Counts : Risk Classication, Credibility and Bonus-MalusSystems. Wiley.Hilbe, J. M. (2007). Negative Binomial Regression, Cambridge University Press.Remarque : la rgression de Poisson est un cas particulier des modles GLM,avec une loi de Poisson et une fonction de lien logarithmique.regPoisson = function(formula, lien="log", data=NULL) {glm(formula,family=poisson(link=log),data) } 2
  • 3. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Base pour les donnes de comptage> sinistre=read.table("http://freakonometrics.free.fr/sinistreACT2040.txt",+ header=TRUE,sep=";")> sinistres=sinistre[sinistre$garantie=="1RC",]> sinistres=sinistre[sinistres$cout>0,]> contrat=read.table("http://freakonometrics.free.fr/contractACT2040.txt",+ header=TRUE,sep=";")> T=table(sinistres$nocontrat)> T1=as.numeric(names(T))> T2=as.numeric(T)> nombre1 = data.frame(nocontrat=T1,nbre=T2)> I = contrat$nocontrat%in%T1> T1= contrat$nocontrat[I==FALSE]> nombre2 = data.frame(nocontrat=T1,nbre=0)> nombre=rbind(nombre1,nombre2)> baseFREQ = merge(contrat,nombre) 3
  • 4. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Base pour les donnes de comptageLa variable dintrt Y est ici nbre ou baseFREQ$nbre> head(baseFREQ,4) nocontrat exposition zone puissance agevehicule ageconducteur bonus marque1 27 0.87 C 7 0 56 50 122 115 0.72 D 5 0 45 50 123 121 0.05 C 6 0 37 55 124 142 0.90 C 10 10 42 50 12 carburant densite region nbre1 D 93 13 02 E 54 13 03 D 11 13 04 D 93 13 0Remarque : la base ici est une sous-base (particulire) de celle utilise dans http ://cran.r-project.org/doc/contrib/Charpentier_Dutang_actuariat_avec_R.pdfLes conclusions risques dtre direntes aussi... 4
  • 5. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La loi de PoissonLa loi de Poisson est connue comme la loi des petits nombres, k P(N = k) = e , k N. k!Pour rappel (cf premier cours), E(N ) = Var(N ). 5
  • 6. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La loi Poisson mlangeEn prsence de sur-dispersion E(N ) < Var(N ), on peut penser une loi Poissonmlange, i.e. il existe , variable alatoire positive, avec E() = 1, telle que k [] P(N = k| = ) = e , k N. k! Frequence pour la classe (1) Frequence pour la classe (1) 0.10 Frequence pour la classe (2) Frequence pour la classe (2) Frequence du melange Frequence du melange 0.08 0.08 0.06 0.06 0.04 0.04 0.02 0.02 0.00 0.00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 6
  • 7. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La loi Binomiale NgativeLa loi binomiale ngative appart dans le modle Poisson mlange, lorsque G(, ). Dans ce cas, exp (x) () = x1 () 1 E() = 1 et Var() = . Dans ce cas, la loi (non conditionnelle) de N est P(N = k) = P(N = k| = )()d, 0 k (k + ) 1 1 P(N = k) = 1 , k N (k + 1)() 1 + / 1 + / 7
  • 8. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Le processus de PoissonPour rappel, (Nt )t0 est un processus de Poisson homogne (de paramtre ) silest accroissements indpendants, et le nombre de sauts observs pendant lapriode [t, t + h] suit une loi P( h).Ns+1 Ns P() est indpendant de Nt+h Nt P( h). 8
  • 9. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Exposition et dure dobservationSoit Ni la frnquence annulise de sinistre pour lassur i, et supposonsNi P().Si lassur i a t observ pendant une priode Ei , le nombre de sinistre observest Yi