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Slides 2040-6

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  • 1. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Actuariat IARD - ACT2040 Partie 6 - modlisation des cots individuels de sinistres (Y R+ ) Arthur Charpentier [email protected] http ://freakonometrics.hypotheses.org/ Hiver 2013 1
  • 2. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Modlisation de variables positivesRfrences : Frees (2010), chapitre 13, de Jong & Heller (2008), chapitre 8, etDenuit & Charpentier (2005), chapitre 11. n nPrambule : avec le modle linaire, nous avions Yi = Yi i=1 i=1> reg=lm(dist~speed,data=cars)> sum(cars$dist)[1] 2149> sum(predict(reg))[1] 2149 2
  • 3. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 nCest li au fait que i = 0, i.e. la droite de rgression passe par le barycentre i=1du nuage. 3
  • 4. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013Cette proprit tait conserve avec la rgression log-Poisson, nous avions que n n Yi = i Ei , o i Ei est la prdiction faite avec lexposition, au sens oi=1 i=1> sum(sinistres$nbre)[1] 1924> reg=glm(nbre~1+offset(log(exposition)),data=sinistres,+ family=poisson(link="log"))> sum(predict(reg,type="response"))[1] 1924> sum(predict(reg,newdata=data.frame(exposition=1),+ type="response")*sinistres$exposition)[1] 1924et ce, quel que soit le modle utilis !> reg=glm(nbre~offset(log(exposition))+ageconducteur++ zone+carburant,data=sinistres,family=poisson(link="log"))> sum(predict(reg,type="response"))[1] 1924 4
  • 5. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013... mais cest tout. En particulier, cette proprit nest pas vrie si on change defonction lien,> reg=glm(nbre~1+log(exposition),data=sinistres,> sum(predict(reg,type="response"))[1] 1977.704ou de loi (e.g. binomiale ngative),> reg=glm.nb(nbre~1+log(exposition),data=sinistres)> sum(predict(reg,type="response"))[1] 1925.053 n nConclusion : de manire gnrale Yi = Yi i=1 i=1 5
  • 6. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La base des cots individuels> sinistre=read.table("http://freakonometrics.free.fr/sinistreACT2040.txt",+ header=TRUE,sep=";")> sinistres=sinistre[sinistre$garantie=="1RC",]> sinistres=sinistres[sinistres$cout>0,]> contrat=read.table("http://freakonometrics.free.fr/contractACT2040.txt",+ header=TRUE,sep=";")> couts=merge(sinistres,contrat)> tail(couts,4) nocontrat no garantie cout exposition zone puissance agevehicule1921 6108364 13229 1RC 1320.0 0.74 B 9 11922 6109171 11567 1RC 1320.0 0.74 B 13 11923 6111208 14161 1RC 970.2 0.49 E 10 51924 6111650 14476 1RC 1940.4 0.48 E 4 0 ageconducteur bonus marque carburant densite region1921 32 100 12 E 83 01922 56 50 12 E 93 131923 30 90 12 E 53 21924 69 50 12 E 93 13 6
  • 7. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La loi GammaLa densit de Y est ici 1 1 y y f (y) = exp , y R+ y(1 ) qui est dans la famille exponentielle, puisque y/ ( log ) 1 log f (y) = + log y log 1 , y R+ On en dduit en particulier le lien canonique, = 1 (fonction de lien inverse).De plus, b() = log(), de telle sorte que b () = et b () = 2 . La fonctionvariance est alors ici V () = 2 .Enn, la dviance est ici n yi i yi D = 2[log L(y, y) log L(, y)] = 2 log . i=1 i i 7
  • 8. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 La loi lognormaleLa densit de Y est ici 1 (ln y)2 f (y) = y e 2 2 , y R+ y 2 2Si Y suit une loi lognormale de paramtres et 2 , alors Y = exp[Y ] oY N (, 2 ). De plus, E(Y ) = E(exp[Y ]) = exp [E(Y )] = exp(). + 2 /2 2 2+ 2Rappelons que E(Y ) = e , et Var(Y ) = (e 1)e .> plot(cars)> regln=lm(log(dist)~speed,data=cars)> nouveau=data.frame(speed=1:30)> preddist=exp(predict(regln,newdata=nouveau)) 8
  • 9. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013> lines(1:30,preddist,col="red")> (s=summary(regln)$sigma)[1] 0.4463305> lines(1:30,preddist*exp(.5*s^2),col="blue") 9
  • 10. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 n n n 2Remarque on na pas, pour autant, Yi = Yi = exp Yi + i=1 i=1 i=1 2> sum(cars$dist)[1] 2149> sum(exp(predict(regln)))[1] 2078.34> sum(exp(predict(regln))*exp(.5*s^2))[1] 2296.015mme si on ne rgresse sur aucune variable explicative...> regln=lm(log(dist)~1,data=cars)> (s=summary(regln)$sigma)[1] 0.7764719> sum(exp(predict(regln))*exp(.5*s^2))[1] 2320.144 10
  • 11. Arthur CHARPENTIER - ACT2040 - Actuariat IARD - Hiver 2013 Loi Gamma ou loi lognormale ? 0.0015 0.0025 0.0020 0.0010 0.0015 0.0010 0.0005 0.0005 0.0000 0.0000 500 1000 1500 500 1000 1500 Mixture of two distributions 11
  • 12.