Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer"Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer" realizada por el Licenciado D. Pablo Alberca Bjerregaard,mani¯esta

Tesis Doctoral

Facultad de CienciasDepartamento de ¶Algebra, Geometr¶³a y Topolog¶³a

Sobre los teoremas de Cartan-Jacobsony Chevalley-Schafer

Pablo Alberca Bjerregaard

Universidad de M¶alaga

Esta memoria que presenta D. Pablo Alberca Bjerregaard para optar al gradode Doctor en Ciencias (Matem¶aticas), ha sido realizada en el Departamento de¶Algebra, Geometr¶³a y Topolog¶³a de la Universidad de M¶alaga, bajo la direcci¶ondel profesor Dr. D. C¶andido Mart¶³n Gonz¶alez.

M¶alaga, Octubre de 2001.

El profesor Dr. D. C¶andido Mart¶³n Gonz¶alez, profesor del departamen-to de ¶Algebra, Geometr¶³a y Topolog¶³a de la Universidad de M¶alaga, en calidadde director de la Tesis Doctoral titulada

"Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer"

realizada por el Licenciado D. Pablo Alberca Bjerregaard, mani¯estaque:

Dicha Tesis Doctoral re¶une los requisitos necesarios para su admisi¶on altr¶amite de Lectura de Tesis Doctoral.

En M¶alaga, 7 de octubre de 2001

Fdo. Dr. D. C¶andido Mart¶³n Gonz¶alez.

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Introducci¶on

Esta tesis est¶a estructurada en tres grandes bloques que diferenciamos a conti-nuaci¶on:

I) Modelos algebraicos no asociativos en F¶³sica de Part¶³culas.

II) Estudio de la simplicidad de las ¶algebras de derivaciones de ¶algebras deCayley (¶algebras de tipo g2)

1.

III) Estudio de la simplicidad de las ¶algebras de derivaciones de las ¶algebrasde Jordan excepcionales H3(C; ¤), donde C es de Cayley (¶algebras de tipof4)

2.

El nexo de uni¶on del primer apartado con los otros dos, quedar¶a explicadocon la lectura de los subsiguientes p¶arrafos de esta introducci¶on. Antes, nosgustar¶³a decir que en esta tesis se resume una serie de a~nos de investigaci¶on enlos que hemos combinado diversas disciplinas, como son:

1. La inform¶atica, con el uso de sistemas inform¶aticos,

2. la f¶³sica, con el estudio de modelos en f¶³sica de part¶³culas,

3. y como no, el ¶algebra, que ha sido el objeto de dicha investigaci¶on.

El trabajo con las ¶algebras de composici¶on (unitarias) y sus grupos de automor-¯smos y ¶algebras de derivaciones, es una primera ¶area en la que convergen dichas¶areas de conocimiento. El grupo G2 y su ¶algebra de Lie, llamaron la atenci¶onpor su interpretaci¶on f¶³sica a mediados del siglo XX (v¶ease [24]). PosteriormenteF4 fue tambi¶en considerada como modelo para la f¶³sica de part¶³culas. Superadosestos modelos, determinados m¶odulos de F4 se consideran en teor¶³a de cuerdas,as¶³ por ejemplo el m¶odulo 26-dimensional de F4, ampliamente difundido en laactualidad. Hasta aqu¶³ nos hemos limitado a mencionar ¶algebras de Lie excep-cionales, pero al margen de estas, las ¶algebras de Lie cl¶asicas y los grupos de lasque provienen son profusamente utilizados actualmente en f¶³sica de part¶³culas3.Nuestra aportaci¶on en este ¶area es modesta pero fue ella la que nos abri¶o el

1Libre de restricciones sobre la caracter¶³stica del cuerpo base.2Igualmente libre de restricciones por caracter¶³sticas.3V¶ease el Ap¶endice.

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camino a contribuciones, ya dentro del campo de las ¶algebras de Lie, menosdesde~nables.

Resumiremos a continuaci¶on el esquema seguido para la presentaci¶on:

² En el primer cap¶³tulo estudiamos los automor¯smos y las derivaciones delas ¶algebras de Cayley-Dickson y hemos aplicado parte de este estudio ala construcci¶on de ciertos modelos algebraicos en f¶³sica de part¶³culas. Pe-dimos disculpas al lector por la inclusi¶on en esta tesis de algunos t¶opicosde antemano conocidos (por ejemplo el estudio de automor¯smos y de-rivaciones de las ¶algebras de cuaterniones reales). En primer lugar, nosha perseguido un cierto af¶an por escribir una tesis lo m¶as autocontenidaposible. En segundo lugar la presentaci¶on no deja de ser original en di-versos aspectos. Los f¶³sicos de part¶³culas suelen introducir en sus trabajos¶algebras de sobra conocidas por los matem¶aticos, sin embargo la forma depresentarla puede hacer visibles o invisibles sus propiedades interpretablesen t¶erminos f¶³sicos. Con frecuencia todo el quid de la cuesti¶on consisteen elegir una base adecuada que posibilite la interpretaci¶on f¶³sica. As¶³lo es por ejemplo en la componente d¶ebil del modelo est¶andar SU(2) omismamente en la componente de interacci¶on fuerte.

El primero de los modelos que tratamos fue introducido por Gursey desdeel punto de vista de su interpretaci¶on cu¶antica. ¶Este, no s¶olo explican¶umeros cu¶anticos de ciertas part¶³culas elementales sino que permite 'unir'part¶³culas para formar otras. El modelo de Gursey no es mas que el grupode automor¯smos de un ¶algebra de Cayley-Dickson sobre los reales o loscomplejos. Si consideramos por ejemplo el ¶algebra real de octoniones split,su grupo de automor¯smos (una forma real de G2) explica la acci¶on dedos observables (hipercarga y tercera componente de isoesp¶³n) sobre unconjunto de 14 part¶³culas elementales. Esto fue establecido ya en 1973 porGursey y Gunaydin. Nuestra intenci¶on al incluir aqu¶³ el modelo de Gurseyes la de explicarlo en t¶erminos algebraicos. Frecuentemente el f¶³sico escribecon gran conocimiento de los aspectos mec¶anico-cu¶anticos, pero con grandesd¶en por el formalismo matem¶atico. Esto hace que dichos trabajos seandif¶³cilmente comprensibles por los matem¶aticos. As¶³, utilizamos el modelode Gursey-Gunaydin para explicar como enlaza la f¶³sica de part¶³culas conla teor¶³a de ¶algebras y grupos de Lie (comp¶arese con la secci¶on A.1.5del Ap¶endice A). Una de las claves en dicho enlace es la b¶usqueda debases adecuadas en las ¶algebras bajo estudio, de forma que se evidencienlas propiedades f¶³sicas que queremos resaltar. Esto obliga a veces a unadeterminada presentaci¶on de las ¶algebras de derivaciones y automor¯smosde las ¶algebras de composici¶on. Por eso nos hemos permitido introducirdichas ¶algebras en un cap¶³tulo de la tesis, adem¶as de presentar formascan¶onicas asociadas entre otros resultados (v¶ease [1]).

Independientemente hemos buscado hacer de la presentaci¶on de esta tesis,algo de nuestro propio agrado, como es la tarea de divulgaci¶on de cier-tos aspectos de las ¶algebras no asociativas que son ignorados por muchos

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investigadores. As¶³, el lenguaje de las ¶algebras y grupos de Lie, es hoytambi¶en el lenguaje de los f¶³sicos te¶oricos.

Una vez satisfechas nuestras aspiraciones did¶acticas, hacemos nuestra pri-mera aportaci¶on original al estudio de los modelos algebraicos en f¶³sica depart¶³culas: damos un modelo algebraico (un ¶algebra de Lie semisimple)que alberga las seis quarks y sus correspondientes antiquarks (v¶ease [1] ylos algoritmos en [2] ¶o [3]). Adem¶as este modelo establece los valores es-perados de seis observables T3 tercera componente de isoesp¶³n, Ch (charmo encanto), S (strangeness o extra~neza), Y (hipercarga), Bea (beauty obelleza) y Tru (truth o verdad). En de¯nitiva todo lo que se puede decirsobre las part¶³culas queda dicho por estos observables.

Si este modelo se hubiera descubierto mucho antes de la comprobaci¶onexperimental de la existencia del ¶ultimo de los quarks (el quark top), suexistencia se habr¶³a celebrado como con¯rmando la evidencia de la nece-sidad de dicho quark. Sin embargo la existencia de este modelo fue hechap¶ublica (v¶ease [1]) m¶as o menos en paralelo con la prueba experimental dela existencia del quark top. La existencia de un modelo con seis part¶³culas(m¶as sus antipart¶³culas) en el que cinco de ellas se han manifestado en loslaboratorios pero una de las cuales faltar¶³a por detectar, no habr¶³a hechom¶as que llevarnos a la conjetura plausible de la existencia del quark top.

Para acabar esta parte digamos que uno de los fundamentos del uso de¶algebras de Lie en f¶³sica reside en el hecho de que los observables inde-pendientes (simult¶aneamente medibles) de la mec¶anica cu¶antica se corres-ponden con operadores que conmutan. Contra mayor sea el n¶umero deobservables independientes, mayor es la cantidad de informaci¶on que ten-dremos sobre una part¶³cula en cuesti¶on. As¶³ el ambiente id¶oneo para losoperadores correspondientes a los observables es el de estar con¯nados enuna sub¶algebra de Cartan (split en el sentido de Jacobson) de un ¶algebrade Lie compleja. En consecuencia si queremos analizar un ¶algebra deLie, sospechosa de ser portadora de alguna informaci¶on f¶³sica, lo prime-ro que tenemos es que disponer de algoritmos capaces de investigar lassub¶algebras de Cartan de un ¶algebra de Lie. Una primera tarea entonces,ser¶³a la de determinar el rango de una tal sub¶algebra. En de¯nitiva esten¶umero nos dice el n¶umero m¶aximo de observables independientes que va-mos a tener en nuestro estudio. Por esto en esta secci¶on introducimos unalgoritmo que determina el rango de las ¶algebras de Lie de matrices ([6]).

² Una vez que hab¶³amos terminado nuestra primera incursi¶on en el mun-do de los modelos algebraicos en f¶³sica de part¶³culas, comprendimos quelos algoritmos que hab¶³amos desarrollado hasta el momento para traba-jar con ¶algebras reales o complejas, se pod¶³an adaptar para trabajar encaracter¶³sticas primas. Pod¶³amos entonces hacer so¯sticados c¶alculos en¶algebras de derivaciones sobre cuerpos de caracter¶³sticas dos, tres o loque quisi¶eramos. Pero: <que pod¶³amos decir sobre estas ¶algebras que noestuviera dicho ya!

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En 1957, Nathan Jacobson publica un trabajo en el que se estudian losgrupos de automor¯smos de las ¶algebras de composici¶on sobre cuerpos decaracter¶³stica distinta de dos (v¶ease [26]). Posteriormente, P. Eakin y A.Sathaye lograron describir dichos grupos mediante f¶ormulas recurrentes enlas que se relaciona el grupo de automor¯smos de un ¶algebra de compo-sici¶on con el grupo de automor¯smos del ¶algebra doblada por el m¶etodode Cayley-Dickson (ver [17]). Tambi¶en en este trabajo se trabaja fuera decaracter¶³stica dos.

Desde hac¶³a alg¶un tiempo sab¶³amos que los teoremas de clasi¯caci¶on delas ¶algebras de Lie simples de dimensi¶on ¯nita sobre cuerpos de carac-ter¶³sticas prima p, son algo delicados. En de¯nitiva cuando p es grandehay resultados interesantes aunque algunos de ellos, de una complejidadnada desde~nable4. Sin embargo para valores peque~nos de p uno se llevala sorpresa de que hay poca cosa escrita. En concreto los valores p = 2 op = 3 quedan fuera de la mayor parte de las publicaciones. Por ejemplo,hac¶³a mediados del siglo pasado se publica el conocido como Teorema deCartan-Jacobson que establece grosso modo lo siguiente: sea F un cuerpode caracter¶³stica distinta de dos y tres y C una F -¶algebra de Cayley. En-tonces el ¶algebra de Lie Der(C) es central simple de dimensi¶on 14. Unareferencia en la que se puede encontrar este teorema es [42]. Hasta antesde esta tesis no hab¶³a nada en la literatura matem¶atica que complete esteestudio a las caracter¶³sticas dos y tres. Nuestra contribuci¶on al resulta-do de Cartan-Jacobson consiste en establecer la veracidad del mismo en elcaso de caracter¶³stica dos y demostrar que el teorema no es cierto en carac-ter¶³stica tres. En cualquiera de los dos casos se tiene dim(Der(C)) = 14.

Adem¶as hemos incluido dos demostraciones diferentes de estos hechos.Primero conseguimos una demostraci¶on puramente lineal, es decir, s¶oloutilizamos recursos de ¶algebra lineal, para el caso de caracter¶³stica distintade tres. La idea de la demostraci¶on es muy sencilla y podemos exponerlaaqu¶³. Partimos de una base especialmente buena del ¶algebra L =Der(C)y demostramos que los ideales generados por cada uno de los elementosde la base es toda el ¶algebra L. A continuaci¶on logramos demostrar queel ideal generado por cada elemento no nulo de L contiene alg¶un elementode la base. Para el desarrollo de estas ideas hemos utilizado identidadescuya veracidad se ha demostrado utilizando c¶alculos de ordenador.

Despu¶es de estos desarrollos tuvimos la suerte de que Alberto Elduque sesintiera atra¶³do por nuestra investigaci¶on y gracias a la inspiraci¶on que nosproporcion¶o completamos un trabajo que acaba de ser aceptado para supublicaci¶on (v¶ease [9]) en el que completamos el estudio basado en c¶alculosde ordenador con una demostraci¶on del teorema de Cartan-Jacobson encaracter¶³stica distinta de tres, libre de c¶alculos con ordenador.

Hemos demostrado tambi¶en en esta tesis (en el citado trabajo) que el

4Que levante la mano el que est¶e contento con la demostraci¶on del ¶Ultimo Teorema deFermat.

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teorema deja de ser cierto en caracter¶³stica tres. En este caso L tiene un¶unico ideal propio no nulo I que es de dimensi¶on 7. Estudiamos este idealvisto como ¶algebra de Lie y comprobamos que es simple y que adem¶as el¶algebra cociente L=I es isomorfa a I quien a su vez es isomorfo al ¶algebrade Lie simple psl(3; F ). Esto completa el estudio de la estructura de L encaracter¶³stica tres.

² Finalizamos con el ¶ultimo cap¶³tulo en el que nos enfrentamos al ¶algebraexcepcional f4(C) con la intenci¶on de estudiar, entre otros resultados,la simplicidad de esta ¶algebra en caracter¶³stica 2 que queda fuera delTeorema de Chevalley-Schafer y del de Jacobson ([25, Theorem 17, p.408]), y mostrar una nueva demostraci¶on gen¶erica de la simplicidad fuerade caracter¶³stica 2.

M¶as o menos de la misma ¶epoca del Teorema de Cartan-Jacobson, es elde Chevalley-Schafer (v¶ease [42]), que b¶asicamente establece lo siguiente:sea F un cuerpo de caracter¶³stica distinta de dos y tres, (C;¡) una F -¶algebra de Cayley con antiautomor¯smo de Cayley x 7! ¹x. Sea H3(C; ¤)el ¶algebra de Jordan de las matrices 3 £ 3 con coe¯cientes en C que sonautoadjuntas respecto a la involuci¶on ¤ que transforma cada matriz M en

la matriz M¤ = Mt(la matriz resultante de aplicar ¡ a cada coe¯ciente

deM y trasponer despu¶es). Entonces el ¶algebra de Lie L = Der(H3(C; ¤))es central simple y de dimensi¶on 52.

De nuevo si uno busca en la literatura matem¶atica alg¶un avance desde lapublicaci¶on del resultado de Chevalley-Schafer, encuentra el resultado deJacobson que extiende el resultado al caso de caracter¶³stica 3.

Nuestra aportaci¶on en este campo es la siguiente: por un lado hemospodido dar una nueva demostraci¶on gen¶erica de la simplicidad v¶alida encaracter¶³stica distinta de dos. Esta demostraci¶on sigue la misma ¯losof¶³aque la presentada para el Teorema de Cartan-Jacobson. Por otro lado encaracter¶³stica dos hemos comprobado que la simplicidad no se tiene ([11],[10] y [12]). En concreto si C es un ¶algebra de Cayley split sobre un cuerpode caracter¶³stica dos, el ¶algebra de Lie L = Der(H3(C; ¤)) posee un ¶unicoideal propio no nulo I de dimensi¶on 26. Adem¶as hemos podido demostrarque este ideal es simple como ¶algebra de Lie y que L=I es isomorfa a I.Hemos investigado tambi¶en la estructura de este ideal 26-dimensional, elcual hemos descrito completamente. Posee una sub¶algebra de Cartan splitH de dimensi¶on dos. Respecto de H encontramos tres ra¶³ces ®, ¯ y ®+¯,as¶³ como la descomposici¶on de Cartan:

I = H © I® © I¯ © I®+¯donde los espacios ra¶³ces I®, I¯ , e I®+¯ son de dimensi¶on ocho. Adem¶asqueda completamente determinado el producto entre y dentro de los es-pacios ra¶³ces. Creemos que este ¶algebra de Lie es un nuevo ejemplo de¶algebra de Lie simple en dimensi¶on ¯nita y caracter¶³stica dos. Al me-

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nos nosotros no la hemos detectado en la literatura algebraica hasta elmomento.

Este cap¶³tulo y las sesiones asociadas son de los que m¶as han necesitadode una implementaci¶on computacional para resolver cuestiones complejascomo el trabajar con operadores y multiplicaciones de¯nidas casi elementoa elemento.

El trabajar computacionalmente con J = H3(C; ¤) en caracter¶³stica dosimplica una di¯cultad a~nadida sobre el caso lineal. En efecto el ¶algebraJ es un ¶algebra de Jordan cuadr¶atica. Las identidades que de¯nen elproducto son complicadas y se dividen en una multitud de casos suel-tos involucrando un cierto tipo de matrices elementales con octoniones.Por otra parte la de¯nici¶on de derivaci¶on de un ¶algebra de Jordan cua-dr¶atica no viene dada tampoco por identidades lineales. As¶³ preve¶³amosuna di¯cultad que nos hac¶³a dudar de la capacidad de los ordenadorespara resolver las cuestiones que les plante¶abamos. Por de pronto la com-plejidad algor¶³tmica aumentaba debido a la naturaleza cuadr¶atica de las¶algebras. Pi¶ensese que J es de dimensi¶on 27 y que por tanto las matricesde L = Der(J) son 27 £ 27 resultando por otra parte dim(L) = 52. Sinembargo las cosas marcharon bien, los algoritmos no colapsaron a los or-denadores y los c¶alculos se pudieron reducir casi a una mera comparaci¶onde listas, para liberarnos de toda sospecha de error.

A lo largo de esta tesis doctoral nos hemos enfrentado con estructuras alge-braicas de altas dimensiones. En no pocas ocasiones, como apreciar¶a el lector,los c¶alculos han involucrado un gran numero de par¶ametros que han requeridode un apoyo inform¶atico. Este apoyo no s¶olo ha signi¯cado una ayuda mera-mente calcul¶³stica, sino que ha servido para en cierto modo interactuar con elsistema. Hemos podido solicitar respuestas a ciertas interrogantes que surg¶³ana lo largo de la investigaci¶on. Destacamos por ejemplo la implementaci¶on de lasecuaciones de McCrimmon. Esto permiti¶o que el sistema 'aprendiese' las reglasde multiplicaci¶on con lo que preguntas con respuestas complejas de veri¯car amano adquirieron sorprendente simpleza tanto en su planteamiento como en susoluci¶on.El sistema computacional elegido ha sido Mathematica. Hemos usado otros

pero elegimos el mencionado por su formalidad a la hora de implementar fun-ciones y la posibilidad, como quedar¶a re°ejado a lo largo de la tesis, de de¯nirestructuras con las propiedades que el usuario quiera. Evidentemente esto no ha-ce sino acercar la soluci¶on de ciertos problemas puntuales pero no establece unaestrategia de trabajo. Como no podr¶³a ser de otro modo, creemos que existenciertos campos de la investigaci¶on que no pueden renunciar al uso de sistemasinform¶aticos para seguir creciendo y resolviendo cuestiones con un trasfondocomplejo desde el punto de vista computacional.A la hora de presentar la investigaci¶on que hemos realizado en estos ¶ultimos

a~nos, hemos optado por intercalar entre cada cap¶³tulo las sesiones de trabajocon ordenador asociadas a cada uno de ellos. Estas sesiones de trabajo reco-gen no s¶olo los c¶alculo realizados sino las implementaciones y desarrollo de la

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investigaci¶on: forman parte ineludible de la tesis doctoral. Estas sesiones sonautoexplicativas y simples en su comienzo, de forma que el lector no familiariza-do con el sistema podr¶a entenderlo sin di¯cultad, ya que adem¶as los comandos,funciones y modo de trabajar son del todo intuitivos.Hemos minimizado el uso de algoritmos propios del sistema y casi hemos

basado todos su uso a una comparaci¶on de listas. Especialmente interesanteha sido la parte asociada al trabajo en una caracter¶³stica pre¯jada para la que(v¶ease el ¶ultimo cap¶³tulo) no hemos resuelto ning¶un sistema de ecuaciones. Paraello, y con el ¯n de evitar esta resoluci¶on, hemos combinado resultados te¶oricoscon el manejo de listas.Creemos ¯rmemente que este trabajo puede servir de punto de apoyo para

pr¶oximas investigaciones que necesiten de un apoyo computacional ya que es-tablecen una l¶³nea de trabajo interesante y apasionante que ha cosechado, y loseguir¶a haciendo, numerosos resultados.Nos gustar¶³a expresar al profesor Alberto Elduque Palomo de la Universi-

dad de Zaragoza, nuestro agradecimiento por su apoyo e inspiraci¶on para eldesarrollo de la segunda demostraci¶on del Teorema de Cartan-Jacobson.Agradecimientos del doctorando:Quisiera agradecer muy especialmente al profesor C¶andido Mart¶³n Gonz¶alez,

director de esta tesis, la pasi¶on que le ha dedicado en todo su desarrollo. Dedi-caci¶on y trabajo tambi¶en, que sin duda espero compartir en los a~nos veniderosenfrent¶andonos a los retos que la investigaci¶on matem¶atica nos guarde.Por otro lado, y no por ¶ultimo, quiero dedicar esta tesis doctoral a Noelia

Mateos Vega, que supo sacri¯car una peque~na parte de nuestra vida privadamientras le era in¯el con octoniones y derivaciones.

¶Indice

Cap¶³tulo 1. Automor¯smos y Derivaciones. Caso real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Sesi¶on I. Modelos algebraicos en f¶³sica de part¶³culas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Sesi¶on II. Rango de las ¶algebras de Lie de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Cap¶³tulo 2. Teorema de Cartan-Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Sesi¶on III. Matriz gen¶erica de una derivaci¶on de las matrices de Zorn . . 113

Cap¶³tulo 3. ¶Algebra de Lie f4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Sesi¶on IV. Ecuaciones de McCrimmon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Sesi¶on V. Elemento gen¶erico de Der(H3(Os)) libre de caracter¶³stica . . . .153

Sesi¶on VI. Estudio de la simplicidad de Der(H3(Os)) en caracter¶³stica 2 273

Sesi¶on VII. Estudio del ideal I y del cociente f4(Os)=I . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Sesi¶on VIII. Simplicidad de f4(C) en caracter¶³stica distinta de dos. Unanueva aproximaci¶on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

Sesi¶on IX. Expresi¶on simpli¯cada de un elemento gen¶erico en f4(Os) en ca-racter¶³stica distinta de 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Ap¶endice. Resultados f¶³sicos y tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

Bibliograf¶³a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

1 CAP¶³TULO 1. DERIVACIONES Y AUTOMORFISMOS. CASO REAL

Cap¶³tulo 1

Derivaciones yAutomor¯smos. Caso real

x1.1 El proceso de Cayley-Dickson

Sea A un ¶algebra sobre un cuerpo F con 1 como elemento identidad y conuna involuci¶on a!a, donde aa 2 F y a + a 2 F para todo a 2 A. Con elproceso de Cayley-Dickson construiremos a partir de A, una nueva ¶algebra coninvoluci¶on que contendr¶a a A como sub¶algebra. Adem¶as, si la dimensi¶on de Aes m, la dimensi¶on de la construida ser¶a 2m.Elegimos un ® 6= 0 en F y denotamos por CD(A;®) al conjunto de todos los

pares (a1; a2), ai 2 A, con las operaciones por componentes (el espacio vectorialsubyacente es A£A) y el producto:

(a1; a2)(a3; a4) = (a1a3 + ®a4a2; a1a4 + a3a2):

F¶acilmente se comprueba que CD(A;®) es tambi¶en un ¶algebra sobre F . Elconjunto ~A = f(a; 0)=a 2 Ag es una sub¶algebra de CD(A;®) que es isomorfa aA, es decir, hemos construido una nueva ¶algebra que contiene a la de partidacomo sub¶algebra. Como involuci¶on en la nueva ¶algebra construida se de¯ne

(a1; a2) 7! (a1;¡a2);en funci¶on de la involuci¶on en A. El proceso de Cayley-Dickson es especialmen-te interesante en el caso en que se lo apliquemos a ¶algebras de composici¶on yaque podremos determinarlas todas salvo isomor¯smos. Por ¶algebras de compo-sici¶on entendemos aquellas en las que tenemos de¯nida una forma cuadr¶atican(x) y se veri¯ca:

(1) n(xy) = n(x)n(y), 8x; y pertenecientes al ¶algebra.

Pablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.

2 SECCI ¶ON 1.2. C¶ALCULO DE AUT(H) Y FORMA CAN ¶ONICA

(2) La forma n(x) es estrictamente no degenerada. Una forma cuadr¶atica sedice que es estrictamente no degenerada cuando su forma bilineal sim¶etricaasociada es no degenerada, es decir, cuando f(a; x) = 0 para todo x en el¶algebra implica que a = 0, y se dice que es no degenerada1 cuando

n(a) = 0f(a; x) = 0 8x 2 A

¾=) a = 0:

(3) Existe un elemento identidad en el ¶algebra.

En el caso de aplicarle el proceso a un ¶algebra de composici¶on se tiene:

i) Si A es un ¶algebra de composici¶on con forma cuadr¶atica n(a), entonces existeuna involuci¶on tal que n(a) = aa. (Ver [45, Lema 2, p¶ag. 26]).

ii) Si A es un ¶algebra de composici¶on con una forma cuadr¶atica n(a) = aa,entonces para la involuci¶on en CD(A;®) de¯nida anteriormente se tienela forma cuadr¶atica n(x) = xx. (Ver [45, Lema 4, p¶ag. 29]).

iii) Si A es un ¶algebra de composici¶on, CD(A;®) es de composici¶on si y solosi A es asociativa.(Ver [45, Lema 5, p¶ag. 29]).

iv) Si A es un ¶algebra de composici¶on entonces es isomorfa a uno de los si-guientes tipos: (ver [45, Teorema 1, p¶ag. 32])

a) F cuerpo de caracter¶³stica distinta de dos y con forma cuadr¶atican(®) = ®2.

b) CD(F; ¹) =: K(¹) = F + Fº, donde º2 = º + ¹ y 4¹+ 1 6= 0.c) CD(K(¹); ¯) =: Q(¹; ¯); ¯ 6= 0 llamada ¶algebra de cuaterniones ge-

neralizados.

d) CD(Q(¹; ¯); °) =: C(¹; ¯; °) con ° 6= 0 llamada ¶algebra de Cayley.En este cap¶³tulo determinaremos las derivaciones y automor¯smos de ¶algebras

de composici¶on, con especial relevancia las de los octoniones de divisi¶on y de losoctoniones split buscando sus sorprendentes aplicaciones f¶³sicas.Las ¶algebras de composici¶on reales (obtenidas mediante el proceso de Cayley-

Dickson aplicado a R) son: R, C (Tabla 1.1), Cs (Tabla 1.2), H (Tabla 1.3), Hs(Tabla 1.4), O (Tabla 1.5) y Os (Tabla 1.6).Elementalmente se obtiene que Aut(R) = f1g, que Aut(C) »= Z2 y que

Der(R) = Der(C) = 0. Veamos qu¶e ocurre con los cuaterniones.

x1.2 C¶alculo de Aut(H) y forma can¶onica

En esta secci¶on vamos a determinar el grupo de automor¯smos de los cuater-niones, y demostraremos que es isomorfo al grupo cl¶asico SO(3).Enunciamos ahora tres lemas que nos ser¶an de gran ayuda en el resto del

cap¶³tulo.

1En el caso en que el cuerpo no sea de caracter¶³stica 2, ambas de¯niciones coinciden.



C 1 i1 1 ii i -1

Tabla 1.1: Complejos.

Cs 1 i1 1 ii i 1

Tabla 1.2: Complejos Split.

H 1 I J K1 1 I J KI I -1 K -JJ J -K -1 IK K J -I -1

Tabla 1.3: Cuaterniones.

Lema 1.1[45, Lema 1, p¶ag. 25] Sea A una ¶algebra de composici¶on. Entonces A es al-ternativa2 y cada elemento del ¶algebra A veri¯ca una ecuaci¶on cuadr¶atica concoe¯cientes en el cuerpo, es decir, A es un ¶algebra cuadr¶atica.

Lema 1.2[38, Theorem 1, p. 203] Sea A una ¶algebra cuadr¶atica sobre un cuerpo F decaracter¶³stica distinta de 2. Entonces A se puede descomponer en suma directade F -espacios

A = F ¢ 1©Wdonde W se llamar¶a la parte vectorial de A y se puede caracterizar como

W = fx 2 A : x2 2 F ¢ 1; x 62 F ¢ 1¡ f0gg:

M¶as a¶un, existe un producto anticonmutativo £ : W £W ! W y una formabilineal sim¶etrica f : W£W ! F , tal que el producto en A se puede expresaren la forma

(®+ x)(¯ + y) = ®¯ + f(x; y) + ®y + ¯x+ x£ y:2Se veri¯can las dos siguientes igualdades: x2y = x(xy), yx2 = (yx)x 8x; y 2 A.



Hs 1 I J K1 1 I J KI I -1 -K JJ J K 1 IK K -J -I 1

Tabla 1.4: Cuaterniones Split.

O u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8u1 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8u2 u2 ¡u1 ¡u4 u3 ¡u6 u5 u8 ¡u7u3 u3 u4 ¡u1 ¡u2 ¡u7 ¡u8 u5 u6u4 u4 ¡u3 u2 ¡u1 ¡u8 u7 ¡u6 u5u5 u5 u6 u7 u8 ¡u1 ¡u2 ¡u3 ¡u4u6 u6 ¡u5 u8 ¡u7 u2 ¡u1 u4 ¡u3u7 u7 ¡u8 ¡u5 u6 u3 ¡u4 ¡u1 u2u8 u8 u7 ¡u6 ¡u5 u4 u3 ¡u2 ¡u1

Tabla 1.5: Octoniones.

Lema 1.3Sea D = H;Hs;O u Os y ¾ 2 Aut(D). Entonces existe un vector no nulo v 2W(la parte vectorial de D) tal que ¾(v) = v.

Prueba.La primera observaci¶on que debemos hacer es que si µ : R2n+1 ! R2n+1

es una aplicaci¶on lineal cuyos ¶unicos autovalores reales son §1 y tal que eldeterminante de su matriz asociada es 1, entonces el polinomio caracter¶³stico deµ admite la ra¶³z 1. En efecto, si p(x) es el polinomio caracter¶³stico de µ, se tiene

p(x) = (x¡ r1)e1 ¢ ¢ ¢ (x¡ r2k+1)e2k+1q(x)donde ri 2 R y q(x) es un producto de factores de la forma (x¡z)(x¡z) dondez 2 C¡R o bien siendo 1. Si denotamos por @q(x) el grado del polinonio q(x), se

tiene entonces que @q(x) es par y que2k+1Xi=1

ei + @q(x) = 2n+ 1. En consecuencia

2k+1Xi=1

ei es impar. Si det(µ) = 1, necesariamente2k+1Yi=1

reii > 0 luego no todos los

ri valen ¡1 porque si as¶³ fuera, tendr¶³amos (¡1)s = 1 donde s =2k+1Xi=1

ei (que es

impar). De este modo alguna ra¶³z real es 1, por la tanto existe un v 2 W nonulo tal que ¾(v) = v. ¥



Os u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8u1 u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8u2 u2 ¡u1 u4 ¡u3 ¡u6 u5 ¡u8 u7u3 u3 ¡u4 ¡u1 u2 ¡u7 u8 u5 ¡u6u4 u4 u3 ¡u2 ¡u1 ¡u8 ¡u7 u6 u5u5 u5 u6 u7 u8 u1 u2 u3 u4u6 u6 ¡u5 ¡u8 u7 ¡u2 u1 u4 ¡u3u7 u7 u8 ¡u5 ¡u6 ¡u3 ¡u4 u1 u2u8 u8 ¡u7 u6 ¡u5 ¡u4 u3 ¡u2 u1

Tabla 1.6: Octoniones Split.

Sea ahora ' un automor¯smo de H. Por serlo veri¯car¶a que '(1) = 1, porlo tanto tendremos que

'jR = IdR: (1.1)

Esto nos sugiere que ser¶³a ideal, considerando a H como RLW gracias al Lema

1.2, que ' respetar¶a la parte W porque de ser as¶³ podr¶³amos concluir que lamatriz de ' es de la forma: 0B@

1 0 0 00 ? ? ?0 ? ? ?0 ? ? ?

1CA : (1.2)

Para ver que ' deja invariante la parte W es c¶omodo caracterizarla como:

W = fq 2 H : q2 = t ¢ 1; t 2 R; t · 0g:En efecto, veamos que '(W) ½W :

Sea x 2 W ) x2 · 0 y es real ) '(x)2 = '(x2) = x2 · 0 ) '(x) 2 W.N¶otese 1.1.Por lo tanto podemos a¯rmar que la matriz de ' es de la forma 1.2. Veamos

que la restricci¶on 'jW respeta el producto escalar

(xjy) = x1y1 + x2y2 + x3y3 donde½x = x1i+ x2j+ x3ky = y1i+ y2j+ y3k

¾:

Para ello conviene recordar que el producto en H se puede escribir, teniendo encuenta que H = R

LW, como :

(®+ x)(¯ + y) = ®¯ ¡ (xjy) + ®y + ¯x+ x ^ ydonde (¢j¢) es el producto escalar y ^ es el producto vectorial de R3.Tambi¶en conviene tener presente que el producto escalar veri¯ca:

(xjy) = ¡12(xy + xy) 8x; y 2W: (1.3)



Utilizando 1.3 y que '(z) = '(z) 8z 2 H tenemos:

('(x)j'(y)) = ¡12('(x)'(y) + '(x)'(y)) = ¡1

2('(xy) + '(xy)) =

= ¡12('(xy) + '(xy)) =

= '(¡12(xy + xy)) = ¡1

2(xy + xy) = (xjy):

En particular 'jW dejar¶a invariante la forma cuadr¶atica x21 + x22 + x

23 lo que

implica que Aut(H) ½ O(3). Veamos que incluso Aut(H) ½ SO(3), para lo cualtendremos que comprobar que el determinante de ' es igual a uno:

Det('(i); '(j); '(k)) = ('(i)j'(j) ^ '(k)) = ('(i)j'(j ^ k)) =

= (ijj ^ k) = (iji) = 1: (1.4)

Entonces tenemos efectivamente que Aut(H) ½ SO(3). Veamos ahora la otrainclusi¶on, para ello utilizaremos 1.4 y el siguiente:

Lema 1.4Para todo x; y; z en W se tiene:

(xjx ^ y) = 0(xjy ^ z) = (x ^ yjz):

Prueba.Merece la pena demostrar la segunda igualdad :Por suerte tenemos que el ¶algebra de los cuaterniones de divisi¶on es asocia-

tiva, con lo que x(yz) = (xy)z para todo x; y; z 2 W; desarrollando el primermiembro tenemos :

x(yz) = x(¡(yjz) + y ^ z) = ¡(yjz)x+ x(y ^ z) =

= ¡(yjz)x¡ (xjy ^ z) + x ^ (y ^ z):De igual forma desarrollando el segundo miembro tenemos:

(xy)z = ¡(xjy)z ¡ (x ^ yjz) + (x ^ y) ^ z

e igualando la parte escalar de ambos resultados llegamos al resultado deseado.¥Para demostrar la inclusi¶on Aut(H) ¾ SO(3) hay que probar que cualquier

' 2 SO(3) responde a un automor¯smo de cuaterniones, viendo que respeta elproducto o, equivalentemente, que para todo x; y; z 2W:

('(x)j'(y)) = (xjy) y que '(x ^ y) = '(x) ^ '(y):



La primera igualdad se deduce del hecho de que ' 2 SO(3) y por lo tantorespeta el producto escalar. Veamos la segunda para i; j y an¶alogamente sehace para los dem¶as casos:Como

('(i ^ j)j'(i)) = (i ^ jji) = 0 y ('(i ^ j)j'(j)) = (i ^ jjj) = 0

tenemos que

'(i ^ j) ? '(i); '(j)que junto con

'(i) ^ '(j) ? '(i); '(j)implican que

'(i) ^ '(j) = ¸'(i ^ j):Veamos, utilizando ya el Lema 1.4, que ¸ = 1:

1 = ('(i)j'(j) ^ '(k)) = ('(i) ^ '(j)j'(k)) =

= (¸'(i ^ j)j'(k)) = ¸('(k)j'(k)) = ¸(kjk) = ¸:An¶alogamente se hace para los dem¶as casos, con lo que llegamos a que

'(x ^ y) = '(x) ^ '(y)

que junto con

('(x)j'(y)) = (xjy)nos demuestran que ' 2 Aut(H).En de¯nitiva, se ha demostrado que:

Aut(H)=SO(3)

Para acabar esta secci¶on determinaremos una forma can¶onica para los automor-¯smos de H. Sea ¾ 2 Aut(H). Sabemos que ¾(W) = W donde W es la partevectorial de H que coincide con el subespacio generado por el conjunto fi; j; kg.Consideremos pues ¾ restringido a W. Si utilizamos las notaciones e0 := 1 yconsideramos un elemento e1 de W de norma 1 y tal que ¾(e1) = e1 (v¶easeLema 1.3), vamos a demostrar que el plano e?1 de W se transforma en s¶³ mismomediante ¾. En efecto, sea x 2 e?1 , entonces

(¾(x)je1) = (¾(x)j¾(e1)) = (xje1) = 0

luego ¾(e?1 ) ½ e?1 y el car¶acter autom¶or¯co de ¾ implica la igualdad ¾(e?1 ) = e?1 .De este modo si tomamos una base ortonormal fe2; e3g de e?1 , tal que e3 = e1e2(lo cual es siempre posible tomando e2 como cualquier vector de norma unidaden e?1 , y e3 := e1 ^ e2), tendremos que ¾(e2) = (cos µ)e2 + (sin µ)e3 y ¾(e3) =


8 SECCI ¶ON 1.3. C ¶ALCULO DE AUT(HS) Y FORMAS CAN¶ONICAS

¾(e1)¾(e2) = e1(cos µe2 + sin µe3) = ¡ sin µe2 + cos µe3 con lo que la matriz de¾ en la base fe0; e1; e2; e3g es0B@

1 0 0 00 1 0 00 0 cos µ sin µ0 0 ¡ sin µ cos µ

1CA (1.5)

y adem¶as dicha nueva base es una base est¶andar de H.Como corolario haremos notar que todo automor¯smo ¾ de H es interior, es

decir, existe q 2 H ¡ f0g tal que ¾(x) = qxq¡1 para todo x 2 H. En efecto,dado ¾ existe una base est¶andar f1; i; j; kg de H respecto a la cual la matriz de¾ es de la forma 1.5. Un f¶acil c¶alculo revela que poniendo q := cos µ2 + i sin

µ2 ,

se tiene ¾(x) = qxq¡1 para todo x 2 H.Como consecuencia tambi¶en de este ¶ultimo hecho, es posible dar una de-

mostraci¶on elemental de que SO(3) es conexo: dados ¾; ¿ 2 Aut(H), tenemos¾(x) = qxq¡1; ¿(x) = rxr¡1 para ciertos q; r 2 H ¡ f0g y cualquier x 2 H.Obviamente existe una curva continua ° : [0; 1]! H tal que °(0) = q; °(1) = ry tal que la gr¶a¯ca de ° no pasa por el origen 0. Entonces el lector puede com-probar sin di¯cultad que la curva ¡ : [0; 1]! H tal que ¡(t) es el automor¯smode H dado por x 7! °(t)x°(t)¡1, es continua y conecta ¾ con ¿ . Recopilandolos resultados de esta secci¶on podemos enunciar el siguiente :

Teorema 1.5

1. El grupo Aut(H) es el grupo SO(3).

2. Dado un elemento ¾ 2 Aut(H) existe una base est¶andar de H, respecto ala cual la matriz de ¾ es0B@


1CA :3. Todo automor¯smo de H es interior, es decir, de la forma x 7! qxq¡1 paraq 2 H¡ f0g.

4. El grupo Aut(H) es conexo.

x1.3 C¶alculo de Aut(Hs) y formas can¶onicas

En esta secci¶on vamos a determinar el grupo de automor¯smos de los cua-terniones split, y demostraremos que es isomorfo al grupo cl¶asico SO(1; 2).Al igual que se hizo en el apartado anterior, podemos restringirnos a la parte

W y de igual forma se comprueba que si tenemos un ' 2 Aut(Hs) entoncesrespeta no ya el producto escalar (¢j¢) sino la forma bilineal

f(x; y) = ¡x1y1 + x2y2 + x3y3



donde hemos supuesto

x = x1i+ x2j+ x3k; y = y1i+ y2j+ y3k:

Esto se comprueba sin m¶as que escribir el producto en Hs en funci¶on de la formabilineal f y de un producto que ya no es el vectorial aunque lo que nos interesaes que sigue siendo anticonmutativo:

(®+ x)(¯ + y) = ®¯ + f(x; y) + ®y + ¯x+ x£ y 8®; ¯ 2 R; x; y 2W: (1.6)

Del hecho de que ' respeta la forma bilineal f se tiene, en particular, que respetala forma cuadr¶atica ¡x21 + x22 + x23, con lo que tenemos la inclusi¶on

Aut(Hs) ½ O(1; 2):

Veamos que los automor¯smos de los cuaterniones split no s¶olo est¶an incluidos

en O(1; 2) sino en SO(1; 2), es decir, que el determinante de cada automor¯smoes uno. Para ello necesitaremos 1.6 e introducir un antiautomor¯smo que nospermitir¶a jugar entre el producto vectorial ^ y el producto £.Introducimos ahora dicho antiautomor¯smo t : Hs ¡! Hs que deja invarian-

tes a 1; j; k y a i le asocia ¡i. Entonces tenemos el siguiente:

Lema 1.6Sea t el antiautomor¯smo anterior, se tiene entonces para todo x; y 2W:

f(t(x); t(y)) = f(x; y);

t(x ^ y) = t(y)£ t(x);f(t(x); y) = (xjy) = f(x; t(y));

t(x) ^ t(y) = x£ y:Veamos, utilizando el Lema 1.6, que el determinante de ' es uno:

Det('(i); '(j); '(k)) = ('(i)j'(j) ^ '(k)) = f('(i); t('(j) ^ '(k))) =

= f('(i); t'(k) ^ t'(j)) = f('(i); '(k)£ '(j)) = f('(i); '(k £ j)) == f(i; k £ j) = f(i;¡i) = 1:

Por lo tanto tenemos ya demostrada la primera inclusi¶on de la igualdad que

buscamos, es decir, que Aut(Hs) ½ SO(1; 2). Para comprobar la otra inclusi¶onhay que veri¯car que dado un ' 2 SO(1; 2) responde a un automor¯smo decuaterniones split, comprobando que respeta el producto en Hs. Pero comosabemos que respeta la forma bilineal f(x; y) = ¡x1y1 + x2y2 + x3y3, s¶olo hayque comprobar que respeta el producto anticonmutativo £.Es decir, tenemos que demostrar que '(x £ y) = '(x) £ '(y) 8x; y 2 W.

Hag¶amoslo para i; j y para el resto de combinaciones se har¶a igual: el hecho



de que f('(i £ j); '(i)) = f(i £ j; i) = 0 y que tambi¶en f('(i £ j); '(j)) =f(i£j; j) = 0 implican que '(i£j) ?f '(i); '(j) que junto con el hecho evidentede que tambi¶en '(i)£ '(j) ?f '(i); '(j) implican que '(i)£'(j) = ¸'(i£ j).Veamos que ¸ es igual a uno. Para ello utilizaremos que el determinante de 'es uno y los Lemas 1.4 y 1.6:

1 = det('(i); '(j); '(k)) = ('(i)j'(j) ^ '(k)) = ('(i) ^ '(j)j'(k)) == f(t('(i) ^ '(j)); '(k)) = f(t'(j) ^ t'(i); '(k)) = f('(j)£ '(i); '(k)) == ¡f('(i)£ '(j); '(k)) = ¡¸f('(i£ j); '(k)) = ¡¸f(i£ j; k) = ¸:

) ¸ = 1:

Por lo tanto hemos demostrado que efectivamente ' responde a un automor¯smode cuaterniones split, con lo que tenemos la inclusi¶on que cierra la igualdad:

Aut(Hs)=SO(1,2)

A continuaci¶on vamos a determinar ciertas formas can¶onicas para los ele-mentos de Aut(Hs). Sea ¾ 2 Aut(Hs). Recordemos que Hs = R ¢ 1©W dondeW coincide con el subespacio de las combinaciones lineales de i; j; k. Si ®; ¯ 2 R,x; y 2W, el producto de Hs se escribe en la forma

(®+ x)(¯ + y) = ®¯ + f(x; y) + ®y + ¯x+ x£ ydonde f es la forma bilineal sim¶etrica dada por f(x; y) = ¡x1y1 + x2y2 + x3y3para x = x1i + x2j + x3k e y = y1i + y2j + y3k, y x £ y es el productoanticonmutativo x£ y := (x2y3 ¡ x3y2)i+ (x1y3 ¡ x3y1)j ¡ (x1y2 ¡ x2y1)k:Tendremos que utilizar el resultado seg¶un el cual, para todo x 2 W, Rx =

fy 2 W : y £ x = 0g. Como ¾(W) = W, razonaremos sobre la restricci¶on de ¾a W. Tomemos v 2W¡ f0g tal que ¾(v) = v (ver 1.3). En este punto hay quedistinguir dos casos, supongamos en primer lugar que v2 6= 0. Multiplicandopor un real adecuado podemos suponer que v2 = ² donde ² 2 f¡1; 1g. Como ves no isotr¶opico podemos descomponer W en la forma W = Rv?(Rv)?.Sea w 2 Rv? tal que f(w;w) 6= 0 (su existencia est¶a asegurada pues el

conjunto de los x 2 W tales que f(x; x) = 0 es el cono x2 = y2 + z2, v¶easeFigura 1.1, una vez identi¯cado W con R3, y el plano Rv? no puede estarcontenido en dicho cono). Podemos suponer pues, que w2 = ± con ± 2 f¡1; 1g.De¯namos ahora z = vw, es f¶acil comprobar que z es ortogonal a v y a w y quez2 = ¡²±; vz = ²w;wz = ¡±v. Tenemos pues completa la tabla de multiplicarde Hs respecto a la base f1; v; w; zg. Adem¶as ¾ se puede restringir al planogenerado por w y z. Si ponemos ¾(w) = aw + bz; ¾(z) = cw + dz e imponemoslas mismas relaciones de multiplicaci¶on de v; w y z a sus transformados por ¾,encontramos que a = d; c = ²b; a2 ¡ ²b2 = 1. Si ² = 1 existe µ 2 R tal quea = d = cosh µ y b = c = sinh µ, adem¶as, si ± = 1, f1; z; w; vg es una baseest¶andar de Hs respecto a la cual la matriz de ¾ es0B@

1 0 0 00 cosh µ sinh µ 00 sinh µ cosh µ 00 0 0 1

1CA : (1.7)



Figura 1.1: Cono x2 = y2 + z2.

Si ± = ¡1, tenemos la base est¶andar f1; w; z; vg respecto a la cual la matriz de ¾es como la anterior. Analizemos el caso ² = ¡1. Como f tiene signatura uno, nopuede ocurrir que ± = ¡1 (pues se tendr¶³a f(v; v) = f(w;w) = f(z; z) = ¡1),por tanto ± = 1 y la base f1; v; w; zg es est¶andar. Existe entonces µ 2 R tal quea = d = cos µ; b = ¡c = sin µ. Respecto a dicha base la matriz de ¾ es0B@


1CA : (1.8)

Supongamos por ¶ultimo que no existe ning¶un elemento ¯jo de ¾ que no tengacuadrado nulo. Sea pues v 2W¡f0g tal que v2 = 0; ¾(v) = v y ¯jemos una baseest¶andar f1; i; j; kg de Hs. Vamos a buscar una base de Hs (no necesariamenteest¶andar) respecto a la cual ¾ se exprese en una forma relativamente sencillay que nos permita obtener otra base (esta vez est¶andar) con relaci¶on a la cualexpresar ¯nalmente ¾. Si v = ai + bj + ck, se tiene que a2 = b2 + c2. Elconjunto de los elementos xi + yj + zk de cuadrado nulo se identi¯ca con el

cono de ecuaci¶on x2 = y2 + z2. El plano v?f

se puede elegir en la forma

v?f

=< v;w > donde w 2 W y w2 = §1. El lector puede comprobar sindi¯cultad que vw = ²v con ² = §1, y w2 = 1. Tenemos ya los elementos 1; v; w,parte de una base de Hs, y queremos completar con un cuarto vector a unabase en la que expresar ¾. Apelamos a la intuici¶on del lector para imaginar elsiguiente resultado geom¶etrico:Sea C un cono de R3, g una generatriz de C, y ¼ un plano tal que ¼ \ C =

g. Entonces cualquier plano ¼0 distinto de ¼ que contenga a g, contiene otrageneratriz distinta g0 de C y por tanto ¼ es el ¶unico que corta a C en una ¶unicageneratriz.

Si se aplica el resultado anterior al cono , con g = Rv, ¼ = v?f

y ¼0 = w?f

obtenemos la existencia de un z 2 W ¡ f0g tal que z2 = 0 y w?f

=< v; z >.Un tedioso c¶alculo que nos negamos a repetir revela que vz = 1 ¡ ²w;wz = ²z.La tabla de multiplicar de dichos elementos b¶asicos es



v w zv 0 ²v 1¡ ²ww ¡²v 1 ²zz 1 + ²w ¡²z 0

.

La expresi¶on matricial del automor¯smo ¾ relativa a esta nueva base es0B@1 0 0 00 1 0 00 x 1 00 ¡x2

2 ¡x 1

1CAcon x un par¶ametro real. Ahora queremos determinar la expresi¶on matricial de¾ en cierta base est¶andar que vamos a de¯nir. Pongamos:

si ² = 1

8<:i := 1p

2(v ¡ z)

j := 1p2(v + z)

k := w

9=; y si ² = ¡18<:

i := 1p2(v ¡ z)

j := wk := 1p

2(v + z)

9=;Se comprueba que f1; i; j; kg es una base est¶andar de Hs respecto a la cual

la matriz de ¾ (para ² = 1) es:0B@1 0 0 00 1 + ¸2 ¸2

p2¸

0 ¡¸2 1¡ ¸2 ¡p2¸0

p2¸

p2¸ 1

1CA ; (1.9)

donde ¸ := 2x, mientras que para ² = ¡1 la matriz de ¾ es0B@1 0 0 00 1 + ¸2

p2¸ ¸2

0p2¸ 1

p2¸

0 ¡¸2 ¡p2¸ 1¡ ¸2

1CA : (1.10)

Hemos demostrado que la matriz de un automor¯smo de Hs es (en ciertabase est¶andar) de alguna de las formas 1.7, 1.8, 1.9 ¶o 1.10. Como consecuenciaes posible demostrar que todo automor¯smo ¾ de Hs es interior. Si la matrizde ¾ es del tipo 1.7, de¯niendo q := cosh µ

2 ¡ sinh µ2k es f¶acil comprobar que

q es inversible y ¾(x) = qxq¡1 para cada x 2 Hs. Si la matriz de ¾ es deltipo 1.8, la existencia de un q inversible tal que ¾(x) = qxq¡1 para cada x deHs se demuestra en forma an¶aloga a como se hizo en la secci¶on 1.2. Para unautomor¯smo del tipo 1.9 podemos de¯nir q := 1+

p22 ¸(i+ j) y comprobar que

¾(x) = qxq¡1 para x 2 Hs. Para los automor¯smos del ¶ultimo tipo se procedeen forma an¶aloga.Veamos que el grupo Aut(Hs) es no conexo. Sabemos que el abierto inv(Hs)

es no conexo, consideremos el epimor¯smo de grupos µ : inv(Hs) ! Aut(Hs)tal que µ(q) es el automor¯smo x 7! qxq¡1. El n¶ucleo de µ es el conjuntoR¤ := R ¡ f0g y se tiene un isomor¯smo inv(Hs)=R¤ »= Aut(Hs). Aplicando[41, Proposition 1, p.199], dicho isomor¯smo es en realidad un isomor¯smo degrupos de Lie. Ahora el cociente inv(Hs)=R¤ es no conexo como consecuenciadel siguiente Lema de f¶acil demostraci¶on



Lema 1.7Sea X un espacio topol¶ogico no conexo y X = A [ B, uni¶on disjunta, con A yB abiertos de X. Sea R una relaci¶on de equivalencia tal que p(A) \ p(B) = ;siendo p : X ! X=R la proyecci¶on can¶onica. Entonces el espacio cociente X=Res no conexo.

Vamos ahora a demostrar que el grupo Aut(Hs) tiene dos componentes co-nexas. Consideremos un cuaterni¶on en Hs (x1; x). Como (x1; x)(x1;¡x) =(x21 ¡ f(x; x); 0), (x1; x) tendr¶a inverso si, y s¶olo si, x21 ¡ f(x; x) 6= 0. Si escribi-mos x = x2i+ x3j + x4k, sabemos que f(x; x) = ¡x22 + x23+ x24, luego podemoscaracterizar la inversibilidad de un cuaterni¶on en Hs en funci¶on de si la formacuadr¶atica q(x1; x2; x3; x4) = x

21 + x

22 ¡ x23 ¡ x24 es cero o no.

Si demostramos (identi¯cando Hs con R4) que dos elementos de R4 con formacuadr¶atica positiva en ellos (respectivamente negativa) se pueden unir con unacurva que mantiene el car¶acter positivo (resp. negativo) de la forma cuadr¶atica,tendremos ya probado que Aut(Hs) tiene dos componentes conexas, una en laque la forma cuadr¶atica es positiva y otra en la que es negativa. Convienerecordar que si conseguimos unir dos cuaterniones con una curva continua queen cada punto sea un cuaterni¶on inversible (forma cuadr¶atica no nula) podremosunir dos automor¯smos cualesquiera (v¶ease el caso de Aut(H)), siempre claroest¶a, que est¶en en la misma componente conexa, es decir, que en la pareja decuaterniones que los de¯na como automor¯smos interiores la forma cuadr¶aticatenga el mismo signo. Entonces s¶olo nos resta probar la siguiente proposici¶on.

Proposici¶on 1.8Consideremos en R4 la forma cuadr¶atica

q(x1; x2; x3; x4) = x21 + x

22 ¡ x23 ¡ x24

y sean P;Q 2 R4 tales que q(P ) > 0 y q(Q) > 0 (resp. < 0). Entoncesexiste una curva continua ° : [0; 1] ! R4 tal que °(0) = P , °(1) = Q yIm(°) ½ fx 2 R4=q(x) > 0g, es decir, q(°(t)) > 0 (resp. < 0) para todot 2 [0; 1].Prueba.Podemos dar dos demostraciones elementales de este resultado. Veamos una

breve idea de la primera. Podemos suponer sin p¶erdida de generalidad quekPk = kQk = 1. Entonces los puntos cr¶³ticos donde la forma cuadr¶atica es nulase encuentran en la intersecci¶on

T = x3 \ fx 2 R4=q(x) = 0g;

trat¶andose del toro de R4 formado por los puntos (x1; x2; x3; x4) tales que x21+x22 = 1=2 y x23 + x

24 = 1=2. Sea w = (0; 0; 0; 1) el polo norte de la esfera x3 y

µ : x3 ¡ fwg ! R3 la proyecci¶on estereogr¶a¯ca dada por

µ(x1; x2; x3; x4) :=

µ2x11¡ x4 ;

2x21¡ x4 ;

2x31¡ x4

¶:



Figura 1.2: Toro en R3.

El transformado de T por µ resulta ser el toro de R3, v¶ease Figura 1.2, cuyasecuaciones param¶etricas resultan ser:

X =2 cos tp2¡ sin s ; Y =

2 sin tp2¡ sin s ; Z =

2 cos sp2¡ sin s :

Es f¶acil ver que µ(P ) y µ(Q) est¶an ambos dentro o fuera de dicho toro en R3.En cualquier caso se pueden conectar por una curva continua °0 enteramentedentro o fuera del toro. Entonces podemos construir una curva de R4 que conec-ta P con Q y que satisface los requerimientos de la Proposici¶on, considerandola imagen inversa por µ del conjunto de puntos que forma °0.Pod¶³amos haber demostrado este resultado de otra forma, no tan est¶etica,

pero m¶as elemental. En efecto, tenemos dos puntos de R4, P = (p1; p2; p3; p4)y Q = (q1; q2; q3; q4), en los que la forma cuadr¶atica es positiva (se proceder¶³aan¶alogamente si la forma cuadr¶atica fuese negativa), es decir q(P ) = p21 + p

22 ¡

p23 ¡ p24 > 0 y q(Q) = q21 + q22 ¡ q23 ¡ q24 > 0. Luego se tiene:p21 + p

22 > p

23 + p

24; q21 + q

22 > q

23 + q

24 : (1.11)

Si se tuviese que p21+p22 = 1=2, por estar P en x3 se tendr¶³a que p43+p24 = 1=2 y

no se veri¯car¶³a 1.11. Tampoco se veri¯car¶³a 1.11 si se tuviese que p21+p22 < 1=2

luego s¶olo nos queda la posibilidad de que se de el mayor estricto para p21 + p22

y tambi¶en para q21 + q22 , es decir, se tiene:

p21 + p22 > 1=2) p23 + p

24 < 1=2

q21 + q22 > 1=2) q23 + q

24 < 1=2

:

Vamos entonces a conectar por componentes, es decir, conectemos (p1; p2) y(q1; q2) en R2 con una curva continua y tambi¶en (p3; p4) y (q3; q4) en R2 con otracurva continua de tal forma que construyendo a partir de ellas una curva en R4 severi¯que la tesis de la Proposici¶on. Veamos c¶omo: sea ® : [0; 1]! R2 una curva



continua que una (p1; p2) con (q1; q2), es decir, ®(0) = (p1; p2) y ®(1) = (q1; q2)y tal que ®1(t)

2 + ®2(t)2 > 1=2 donde hemos supuesto ®(t) = (®1(t); ®2(t));

sea ahora ¯ : [0; 1] ! R2 otra curva continua que una (p3; p4) y (q3; q4), esdecir, ¯(0) = (p3; p4) y ¯(1) = (q3; q4) y tal que ¯1(t)

2 + ¯2(t)2 < 1=2 con

¯(t) = (¯1(t); ¯2(t)). Gr¶a¯camente se observa que dichas curvas existen. Acontinuaci¶on de¯nimos

°(t) := (®(t); ¯(t)) = (®1(t); ®2(t); ¯1(t); ¯2(t))

y dicha curva veri¯ca las tesis de la Proposici¶on, es decir, tenemos que °(0) =(p1; p2; p3; p4), °(1) = (q1; q2; q3; q4) y para todo t 2 [0; 1] se tiene que q(°(t)) =®1(t)

2 + ®2(t)2 ¡ ¯1(t)2 ¡ ¯2(t)2 > 0 por tenerse que ®1(t)

2 + ®2(t)2 > 1=2 y

que ¯1(t)2 + ¯2(t)

2 < 1=2, lo cual demuestra la Proposici¶on. ¥

Recogiendo los resultados de esta secci¶on podemos enunciar:

Teorema 1.91. El grupo Aut(Hs) es el grupo SO(1; 2).

2. Dado ¾ 2 Aut(Hs) existe una base est¶andar de Hs con respecto a la cualla matriz de ¾ es de alguna de las formas 1.7, 1.8, 1.9 ¶o 1.10.

3. Para cada ¾ 2 Aut(Hs) existe q 2 Hs inversible tal que ¾(x) = qxq¡1.4. El grupo Aut(Hs) tiene dos componentes conexas.

x1.4 C¶alculo de Der(H)

En esta secci¶on vamos a determinar el ¶algebra de derivaciones de los cuater-niones. Partimos con una derivaci¶on D, es decir, una aplicaci¶on lineal:

D : H ¡! H

que veri¯ca:D(xy) = D(x)y + xD(y) 8x; y 2 H: (1.12)

Teniendo presente la tabla de los cuaterniones, vamos a determinar la matrizde la derivaci¶on D, es decir, expresaremos D(1), D(i), D(j) y D(k) en la basef1; i; j; kg. Primero observar que D(1) = 0, y :

0 = D(i2) = D(i ¢ i) = D(i)i+ iD(i)) iD(i) = ¡D(i)i:Por lo tanto obtenemos (trabajando de forma an¶aloga con j y k) las siguientesrelaciones:

iD(i) = ¡D(i)i; (1.13)

jD(j) = ¡D(j)j; (1.14)

kD(k) = ¡D(k)k: (1.15)


16 SECCI ¶ON 1.5. C ¶ALCULO DE DER(HS)

De 1.13 tenemos que:

si D(i) = a+ bi+ ®j + ¯k ) iD(i) = ai¡ b¡ ®k + ¯j y

¡D(i)i = ¡ai+ b¡ ®k ¡ ¯j;con lo que a = b = 0, quedando:

D(i) = ®j + ¯k

y de igual forma:D(j) = ¹i+ ±k;

D(k) = ½i+ °j:

A continuaci¶on, utilizando que i = jk, j = ki, k = ij y 1.12, obtenemos lassiguientes relaciones entre los 6 par¶ametros:

® = ¡¹; ± = ¡°; ¯ = ¡½:

Por lo tanto la matriz de D queda :0B@0 0 0 00 0 ¡® ¡¯0 ® 0 ¡±0 ¯ ± 0

1CA :Se comprueba f¶acilmente que toda D : H ¡! H que responda a una matriz de

ese tipo es una derivaci¶on. Dichas matrices forman el ¶algebra so(0; 3). Por lotanto el ¶algebra de derivaciones de los cuaterniones es so(0; 3). Este resultado

se podr¶³a haber obtenido de forma m¶as inmediata (sabiendo que Aut(H) »=SO(0; 3)) conocido el resultado (v¶ease [41, Proposici¶on 2, p¶ag. 203]) que a¯rmaque el ¶algebra de derivaciones de un ¶algebra coincide con el ¶algebra de Lie delgrupo de automor¯smos de dicha ¶algebra, es decir:

Der(A) = L(Aut(A)); (1.16)

demostrado para el caso en que el ¶algebra es real o compleja y ¯nito-dimensional,pero pudi¶endose generalizar al caso in¯nito-dimensional si se trata de un ¶algebranormada. (Ver [43, Example 7.15, page 119]).

x1.5 C¶alculo de Der(Hs)

An¶alogamente a como se hizo en el apartado precedente, se calcula el ¶algebrade derivaciones de los cuaterniones split. Siguiendo el mismo esquema se llegaa las relaciones siguientes para los seis par¶ametros:

¹ = ®; ± = ¡°; ¯ = ½



con lo que en este caso la matriz queda:0B@0 0 0 00 0 ® ¯0 ® 0 ¡±0 ¯ ± 0

1CA :Trat¶andose del ¶algebra so(1; 2). De nuevo, al igual que con los cuaterniones,

este resultado se pod¶³a haber obtenido sabiendo que Aut(Hs) »= SO(1; 2) yutilizando 1.16.

x1.6 C¶alculo de Aut(O) y forma can¶onica

La discusi¶on relativa a los automor¯smos de O es algo m¶as delicada. Si en el

¶algebraO, llamamosW = Ru2©¢ ¢ ¢©Ru8, (ver Tabla 1.5), entoncesO = Ru1©Wy para cada par de elementos x; y 2W, su producto xy tendr¶a una parte en Ru1cuyo opuesto denotaremos por (xjy), y una parte en W que vamos a denotarpor x ^ y. Dicho de otro modo

xy = ¡(xjy) + x ^ y

para cualesquiera x; y 2 W. Es f¶acil constatar que (¢j¢) es un producto escalaren W y que (uijuj) = ±ij para cualesquiera i; j 2 f2; : : : ; 8g. No menos f¶acil esver que ^ : W £W ! W es un producto anticonmutativo de W, en el que doselementos distintos de la base fu2; : : : ; u8g se multiplican conforme a la tablade multiplicar antes mencionada. Se puede incluso caracterizar la parte W deO como el conjunto de los octoniones x tales que x2 2 Ru1 pero x 62 Ru1¡f0g.Visto de este modo est¶a claro que cualquier automor¯smo f de O veri¯ca

f(W) = W (y trivialmente f(Ru1) = Ru1). La igualdad f(xy) = f(x)f(y)implica que (f(x)jf(y)) = (xjy) para cualesquiera x; y 2W. Por tanto f es unaisometr¶³a de W, es decir la restricci¶on del automor¯smo a la parte W de O sepuede identi¯car a una isometr¶³a de R7.Vamos a ver que cambiando la base fui : i = 2; : : : ; 8g de W por otra

convenientemente elegida (y con misma tabla de multiplicar), obtenemos unaexpresi¶on can¶onica de f , conveniente para el estudio de G2, grupo de automor-¯smos de octoniones de divisi¶on. Los ¶unicos posibles autovalores reales de fson §1. Como la restricci¶on de f a W tiene que tener alg¶un autovalor realpor ser W de dimensi¶on impar, podemos considerar un vector propio de normaunidad e2 2 W, con f(e2) = ²e2 y ² = §1. Si ² = ¡1 mediante un sencillorazonamiento, es f¶acil encontrar otro vector unitario en W que se transformaen s¶³ mismo por f . Por tanto podemos considerar ² = 1. Tomemos ahora e3otro vector unitario deW ortogonal a e2. En resumen : tenemos e2; e3 2W conke2k = ke3k = 1, (e2je3) = 0 y f(e2) = e2.Si de¯nimos e1 := u1 y e4 = e3e2, no es dif¶³cil constatar que las relaciones

multiplicativas de estos cuatro elementos se pueden identi¯car con las de los


18 SECCI ¶ON 1.6. C ¶ALCULO DE AUT(O) Y FORMA CAN ¶ONICA

elementos u1; : : : ; u4 de la base original de O. El car¶acter isom¶etrico de f implicaque f(e3) = ®e3 + ¯e4 ( con ®

2 + ¯2 = 1) y como e4 = e3e2, entonces f(e4) =¡¯e3 + ®e4. La restricci¶on de f al subespacio generado por e1; : : : ; e4 tiene endicha base la expresi¶on matricial0B@

1 0 0 00 1 0 00 0 cosu senu0 0 ¡senu cosu

1CAdonde cosu = ® y senu = ¯. Razonemos ahora sobre el subespacio 4-dimensionalde W dado por V := (Re2© ¢ ¢ ¢©Re4)?. Mediante consideraciones geom¶etricaselementales (si dos isometr¶³as de un espacio eucl¶³deo conmutan, dicho espacio essuma directa ortogonal de rectas y planos invariantes por ambas isometr¶³as), sellega a la existencia en V de un plano ¦ que es invariante por f y por el operadorde multiplicaci¶on Re2 . El car¶acter isom¶etrico de Re2 se sigue del hecho de queel producto de O se relaciona con su producto escalar mediante las conocidascomo relaciones H¤: (xyjz) = (xjz¹y) = (yj¹xz), x; y; z 2 O. Si tomamos x 2 ¦,kxk = 1, se comprueba que la pareja fx; xe2g es una base ortonormal de ¦. Setiene entonces

f(x) = cosv ¢ x+ senv ¢ (xe2)f(xe2) = ¡senv ¢ x+ cosv ¢ (xe2)

para alg¶un v 2 R. Consideremos por ¯n los elementos xe3; xe4 que son per-pendiculares entre s¶³ y con x y xe2. Utilizando las identidades x(xy) = x2y,(xy)y = xy2 (identidades alternativas), una de las identidades de Moufang(xy)(zx) = x(yz)x, as¶³ como las linealizaciones de las identidades alternativas,se demuestra que con respecto a la base fe1; : : : ; e4; x; xe2; : : : ; xe4g, tenemos lasiguiente tabla de multiplicar, en la que la tabla de multiplicar de la sub¶algebra

O e1 e2 e3 e4 x xe2 xe3 xe4e1 x xe2 xe3 xe4e2 ¡xe2 x xe4 ¡xe3e3 ¡xe3 ¡xe4 x xe2e4 ¡xe4 xe3 ¡xe2 xx ¡e1 ¡e2 ¡e3 ¡e4xe2 ¡e1 e4 ¡e3xe3 ¡e1 e2xe4 ¡e1

generada por fe1; : : :, e4g es la consabida tabla de los cuaterniones reales dedivisi¶on y los restantes espacios en blanco se rellenan por anticonmutatividad.Como las im¶agenes por f de x; e3 y e4 las hemos calculado ya, podemos deter-minar que

f(xe3) = f(x)f(e3) = [cosvx+ senv(xe2)](cosue3 + senue4) =



= cos(u+ v)xe3 + sen(u+ v)xe4

y de forma an¶aloga se obtiene f(xe4) = ¡sen(u + v)xe3 + cos(u + v)xe4. Deesta forma de¯niendo e5 = x,e6 = xe2, e7 = xe3 y e8 = xe4, tenemos una tablade multiplicar id¶entica a la de los octoniones O, y con relaci¶on a dicha base, laexpresi¶on matricial de f es la siguiente0BBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 cosu senu 0 0 0 00 0 ¡senu cosu 0 0 0 00 0 0 0 cosv senv 0 00 0 0 0 ¡senv cosv 0 00 0 0 0 0 0 cos(u+ v) sen(u+ v)0 0 0 0 0 0 ¡sen(u+ v) cos(u+ v)

1CCCCCCCCCA(1.17)

Fijemos una base fuig est¶andar de los octoniones. De¯namos ¾1(u; v) comoel automor¯smo que en dicha base tiene la expresi¶on matricial 1.17.

Dicho automor¯smo tiene (aparte de la unidad) el vector b¶asico ¯jo e2, ytransforma los planos R < e3; e4 >, R < e5; e6 > y R < e7; e8 > medianterotaciones de ¶angulos u, v y u + v respectivamente. De¯namos an¶alogamenteel automor¯smo ¾i(u; v) (con i = 2; : : : ; 7) como aquel que deja ¯ja la recta devector ei+1 y efect¶ua rotaciones de ¶angulos u y v en los planos R < ej ; ek >(con j y k tales que ejek 2 Rei+1).Tenemos entonces en total 7 tipos de automor¯smos distintos y cada uno de

ellos est¶a dado en funci¶on de dos par¶ametros independientes. Estos automor-¯smos recibir¶an de ahora en adelante el nombre de automor¯smos can¶onicos.Vamos a dar la idea de la demostraci¶on del siguiente teorema:

Teorema 1.10Todo automor¯smo del ¶algebra O de los octoniones reales de divisi¶on, es com-posici¶on de automor¯smos can¶onicos.

Consideremos la aplicaci¶on F : R14 ! G2 dada por

F (u1; v1; : : : ; u7; v7) :=7Yi=1

¾i(ui; vi):

Esta aplicaci¶on es C1 en todo R14 pues la expresi¶on matricial de cada uno de losfactores ¾i(ui; vi) depende en forma C

1 de las variables ui y vi. Consideremosahora la aplicaci¶on exponencial exp : g2 ! G2, y recordemos que g2, ¶algebrade derivaciones de octoniones, est¶a formado por todas aquellas matrices M 2M8(R) tales que exp(tM) 2 G2 para todo t 2 R. Es sabido que la aplicaci¶onexponencial es un difeomor¯smo cuando se restringe a convenientes entornosdel cero de g2 y de la identidad de G2. Si denotamos por Eij al elemento deM8(R) que tiene un uno en la ¯la i-¶esima, columna j-¶esima y cero en las dem¶as


20 SECCI ¶ON 1.7. DER(O) Y SU INMERSI ¶ON ENSO(7)

entradas, podemos considerar la siguiente base de g2:

e1 := E34 ¡ E43 + E78 ¡ E87; f1 := E56 ¡ E65 + E78 ¡ E87e2 := E42 ¡ E24 + E75 ¡ E57; f2 := E68 ¡ E86 + E75 ¡ E57e3 := E23 ¡ E32 + E85 ¡ E58; f3 := E76 ¡ E67 + E85 ¡ E58e4 := E62 ¡ E26 + E48 ¡ E84; f4 := E73 ¡ E37 + E48 ¡ E84e5 := E83 ¡ E38 + E74 ¡ E47; f5 := E25 ¡ E52 + E74 ¡ E47e6 := E35 ¡ E53 + E82 ¡ E28; f6 := E64 ¡ E46 + E82 ¡ E28e7 := E36 ¡ E63 + E27 ¡ E72; f7 := E45 ¡ E54 + E27 ¡ E72

(el lector deber¶³a convencerse de que es un conjunto linealmente independien-te de derivaciones octoni¶onicas). Consideremos ahora la aplicaci¶on tangenteT0(F ) : T0(R14) ! g2 donde el espacio tangente a R

14 en cualquiera de suspuntos, se identi¯ca al propio R14. No es dif¶³cil comprobar que cada una de lasderivaciones de la base anterior de g2 est¶a en la imagen de T0(F ). Por ejemploe1 = T0(F )(1; 0; : : : ; 0) mientras que f1 = T0(F )(0; 1; 0; : : : ; 0). As¶³ T0(F ) esun epimor¯smo entre dos espacios vectoriales de igual dimensi¶on luego es unisomor¯smo. Recordemos que cuando existe una aplicaci¶on C1 entre dos va-riedades y la aplicaci¶on tangente en un punto es un difeomor¯smo, existe unentorno de ese punto en la variedad-dominio y otro entorno de la imagen delpunto en la variedad-codominio, tal que la restricci¶on de la aplicaci¶on a dichosentornos es un difeomor¯smo. Por tanto existen entornos del 0 en R14 y de laidentidad en G2 tal que la restricci¶on de F a dichos entornos es un difeomor¯s-mo. Por tanto G2 posee un entorno formado enteramente por composiciones deautomor¯smos can¶onicos. Utilizando ahora los siguientes resultados:

(1) El grupo G2 es conexo ([41, Proposition 1, Le»con 15, p.271]).

(2) Todo entorno V de la unidad de un grupo topol¶ogico conexo G engendraal grupo G ([41, Lemme 4, Le»con 9, p.166]),

se tiene el resultado esperado.

x1.7 Der(O) y su inmersi¶on en so(7)

En esta secci¶on veremos que el ¶algebra de derivaciones de O, llamada g2, sepuede sumergir en el ¶algebra so(7) y calcularemos la forma expl¶³cita de la matrizde una derivaci¶on en la base construida a partir del proceso de Cayley-Dickson,es decir, en la base :

u1 = (1;0); u2 = (I;0); u3 = (J;0); u4 = (¡K;0);

u5 = (0;1); u6 = (0; I); u7 = (0;J); u8 = (0;¡K)donde f1; I;J;Kg son los elementos de una base est¶andar de H.Sea

D : O ¡! O



una derivaci¶on, es decir, que se veri¯ca :

D(xy) = D(x)y + xD(y) 8x; y 2 O:Como tal derivaci¶on, se tiene que

D(u1) = 0:

Veamos que D deja invariante a la parte vectorialW3, es decir, que D(W) ½W,para ello conviene recordar la caracterizaci¶on de W:

W = fx 2 O =x2 2 R; x 62 R¡ f0gg:Supongamos que tenemos un v 2 W no nulo, es decir v2 2 R y de la formav = (0; y), y que D(v) = (®; x), es decir, que D(v) tenga parte real. Estoimplicar¶³a que

D(v2) = vD(v) +D(v)v = 0;

es decir,(0; y)(®; x) + (®; x)(0; y) = 0:

Luego¡(yjx) + ®y + y ^ x¡ (yjx) + ®y + x ^ y = 0

teniendo presente que el producto en O se puede escribir como

(®; x)(¯; y) = ®¯ ¡ (xjy) + ®x+ ¯y + x ^ y;pero esto equivale a que

¡2(xjy) + 2®y = 0por lo tanto ® = 0 y D(v) no tiene parte real, luego tenemos que

D(W) ½W:Si demostramos ahora que la matriz correspondiente a la restricci¶on de D a laparteW es antisim¶etrica, no s¶olo tendremos m¶as f¶acil el camino para determinarla matriz de la derivaci¶on D, sino que habremos demostrado la inclusi¶on deDer(O) en so(7). En efecto, sea x 2 W, por tanto x2 2 R y D(x2) = 0. Estoimplica, por ser D una derivaci¶on, que xD(x) = ¡D(x)x.Ahora utilizamos que el producto en O = R©W se pod¶³a escribir como

(®; x)(¯; y) = ®¯ ¡ (xjy) + ®x+ ¯y + x ^ y;para a¯rmar que tenemos

¡(D(x)jx)¡ (xjD(x)) +D(x) ^ x+ x ^D(x) = 0luego la parte escalar tiene que ser cero :

(D(x)jx) + (xjD(x)) = 0:3O = R©W.


22 SECCI ¶ON 1.7. DER(O) Y SU INMERSI ¶ON ENSO(7)

Si linealizamos esta ¶ultima igualdad llegamos a

(D(x)jy) = ¡(xjD(y)):

Dicha relaci¶on no es m¶as que el car¶acter antisim¶etrico de la restricci¶on de D a laparte vectorial W. Por lo tanto ya tenemos demostrada la inclusi¶on del ¶algebrag2 := Der(O) en so(7).Si reunimos todo lo que sabemos hasta ahora sobre la matriz de D, podemos

a¯rmar que ser¶a de la forma :0BBBBBBBBB@

0 0 0 0 0 0 0 00 0 ®1 ®2 ®3 ®4 ®5 ®60 ¡®1 0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯50 ¡®2 ¡¯1 0 ? ? ? ?0 ¡®3 ¡¯2 ? 0 °1 °2 °30 ¡®4 ¡¯3 ? ¡°1 0 ? ?0 ¡®5 ¡¯4 ? ¡°2 ? 0 ?0 ¡®6 ¡¯5 ? ¡°3 ? ? 0

1CCCCCCCCCA:

Y por ¶ultimo, para completar los elementos de la matriz que faltan por deter-minar, s¶olo tenemos que utilizar que D es una derivaci¶on y la antisimetr¶³a paraconcluir que la matriz de cualquier derivaci¶on de octoniones es de la forma4:0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 ®1 ®2 ®3 ®4 ®5 ®6

0 ¡®1 0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯5

0 ¡®2 ¡¯1 0 ®5 ¡ ¯3 ®6 + ¯2 ¯5 ¡ ®3 ¡®4 ¡ ¯40 ¡®3 ¡¯2 ¯3 ¡ ®5 0 °1 °2 °3

0 ¡®4 ¡¯3 ¡¯2 ¡ ®6 ¡°1 0 ®1 + °3 ®2 ¡ °20 ¡®5 ¡¯4 ®3 ¡ ¯5 ¡°2 ¡®1 ¡ °3 0 ¯1 + °1

0 ¡®6 ¡¯5 ®4 + ¯4 ¡°3 °2 ¡ ®2 ¡¯1 ¡ °1 0

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCArespecto de una base est¶andar de O. El hecho interesante de que la caja superiorizquierda coincida con la matriz de una derivaci¶on de cuaterniones, nos permiteobservar la inclusi¶on5:

Der(H) ½ Der(O):Esta forma expl¶³cita de la matriz de una derivaci¶on de octoniones de divisi¶on, esdecir, de un elemento de g2, nos permite explicitar una base de dicha ¶algebra.

4N¶otense los 14 par¶ametros independientes.5Monomor¯smo de ¶algebras de Lie.



En efecto, de¯namos

P1 := J [1; 2] + J [5; 6]; P8 := J [2; 4] + J [3; 5];P2 := J [1; 3] + J [5; 7]; P9 := J [2; 5] + J [4; 3];P3 := J [1; 4] + J [6; 3]; P10 := J [2; 6] + J [7; 3];P4 := J [1; 5] + J [7; 3]; P11 := J [2; 7] + J [3; 6];P5 := J [1; 6] + J [3; 4]; P12 := J [4; 5] + J [6; 7];P6 := J [1; 7] + J [3; 5]; P13 := J [4; 6] + J [7; 5];P7 := J [2; 3] + J [6; 7]; P14 := J [4; 7] + J [5; 6];

donde J [i; j] := Eij¡Eji con Eij ; i; j 2 f0; 1; : : : 7g la matriz 8£8 que tiene ununo en la ¯la i columna j y ceros en el resto. Entonces se acaba de demostrarque cualquier elemento X de g2 se puede escribir en la forma:

X := ®1P1 + ®2P2 + ®3P3 + ®4P4 + ®5P5 + ®6P6 + ¯1P7 + ¯2P8+

+¯3P9 + ¯4P10 + ¯5P11 + °1P12 + °2P13 + °3P14:(1.18)

x1.8 Der(Os) y su inmersi¶on en so(3; 4)

Tratemos de repetir los razonamientos de la secci¶on anterior con una derivaci¶on

D : Os ¡! Os:

El producto de Os se puede escribir como6

(®; x)(¯; y) = ®¯ + f(x; y) + ®x+ ®y + x£ y

donde ® y ¯ son escalares y con f la forma bilineal :

f(x; y) = ¡x1y1 ¡ x2y2 ¡ x3y3 + x4y4 + x5y5 + x6y6 + x7y7donde hemos supuesto que respecto a una base est¶andar fuig8i=1:

x = x1u2 + x2u3 + x3u4 + x4u5 + x5u6 + x6u7 + x7u8y = y1u2 + y2u3 + y3u4 + y4u5 + y5u6 + y6u7 + y7u8

;

y veri¯cando f :

f(ui; uj) =

(0 si i 6= j¡1 si i = j = 2; 3; 4+1 si i = j = 5; 6; 7; 8

:

Siguiendo la cadena de razonamientos de la secci¶on anterior llegamos a

f(D(x); y) = ¡f(x;D(y));

relaci¶on que en el caso en que f fuese un producto escalar conducir¶³a al car¶acterantisim¶etrico, pero que en nuestro caso nos llevar¶a a otras relaciones. En efecto,

6Os = R©W.


24 SECCI ¶ON 1.8. DER(OS) Y SU INMERSI ¶ON ENSO(3; 4)

tenemos, en particular para los elementos de la base que nos da el proceso deCayley-Dickson, las relaciones:

f(D(ui); uj) = ¡f(ui; D(uj)):

Si suponemos ahora

D(ui) =Xk

dikuk; D(uj) =Xh

djheh;

obtenemos las siguientes relaciones entre los elementos de la matriz de la deri-vaci¶on (dij):

dij = ¡dji[f(ui; ui)f(uj ; uj)]:Relaciones que nos permiten observar por ejemplo que dii = 0.

En el caso de Os tambi¶en se tiene que D(W) ½ W siguiendo el mismorazonamiento que en el caso de O cambiando el producto escalar por la formabilineal f y el producto vectorial por el producto anticonmutativo £.Para ¯nalizar, utilizando las relaciones anteriores y el hecho de que D sea

una derivaci¶on, llegamos a que la matriz de cualquier derivaci¶on de octonionessplit es de la forma :0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 ®1 ®2 ®3 ®4 ®5 ®6

0 ¡®1 0 ¯1 ¯2 ¯3 ¯4 ¯5

0 ¡®2 ¡¯1 0 ¯3 ¡ ®5 ®6 ¡ ¯2 ®3 + ¯5 ¡®4 ¡ ¯40 ®3 ¯2 ¯3 ¡ ®5 0 °1 °2 °3

0 ®4 ¯3 ®6 ¡ ¯2 ¡°1 0 ®1 ¡ °3 ®2 + °2

0 ®5 ¯4 ®3 + ¯5 ¡°2 °3 ¡ ®1 0 ¯1 ¡ °10 ®6 ¯5 ¡®4 ¡ ¯4 ¡°3 ¡®2 ¡ °2 ¡¯1 + °1 0

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCArespecto a cualquier base est¶andar de Os. A partir de la forma de esta matrizpodemos observar que tambi¶en se tiene

Der(H) ½ Der(Os);

y lo que es m¶as interesante, el hecho de que al igual que el ¶algebra de lasderivaciones de octoniones, g2, se pod¶³a sumergir en so(7), en este caso el ¶algebrade derivaciones de octoniones split se puede sumergir en el ¶algebra so(3; 4).Al igual que en el caso de las derivaciones de octoniones de divisi¶on, podemos

dar expl¶³citamente una base, que nos ser¶a de gran utilidad, del ¶algebra de las



derivaciones de octoniones split. De¯nimos

Q1 := J [1; 2]¡ J [6; 5]; Q8 := Z[2; 4]¡ Z[3; 5];Q2 := J [1; 3] + J [5; 7]; Q9 := Z[2; 5] + Z[3; 4];Q3 := Z[1; 4] + Z[3; 6]; Q10 := Z[2; 6]¡ Z[3; 7];Q4 := Z[1; 5]¡ Z[3; 7]; Q11 := Z[2; 7] + Z[3; 6];Q5 := Z[1; 6]¡ Z[3; 4]; Q12 := J [4; 5]¡ J [6; 7];Q6 := Z[1; 7] + Z[3; 5]; Q13 := J [4; 6] + J [5; 7];Q7 := J [2; 3] + J [6; 7]; Q14 := J [4; 7] + J [6; 5];

donde Z[i; j] := Eij+Eji. Entonces cualquier elemento X del ¶algebra split g2:=Der(Os) se puede escribir como

X := ®1Q1+®2Q2+®3Q3+®4Q4+®5Q5+®6Q6+¯1Q7+¯2Q8+

+̄ 3Q9+¯4Q10+¯5Q11+°1Q12+°2Q13+°3Q14:(1.19)


26 SECCI ¶ON 1.8. DER(OS) Y SU INMERSI ¶ON ENSO(3; 4)


Sesión I : Modelos

algebraicos en física de partículas En esta sesión presentaremos dos álgebras de Lie, split 2 y so(4,4)so(2,2),reflejando una estructura que nos permitirá representar una serie de partículaselementales. Concretamente, el primer modelo explicará dos observables para tresquarks, sus antiquarks y ocho mesones obtenidos uniendo quarks. El segundoexplicará todos los quarks, sus antiquarks y todos los observables necesarios paradeterminarlos.

El uso de álgebras de Lie será fundamental para poder usar subálgebras de Cartanen las que, entre otras propiedades, los corchetes son cero. Necesitaremos estehecho para poder identificar operadores ad con observables y tenerlos simultánea-mente definidos según nos dice el siguiente resultado:

Teorema de compatibilidad

Dados dos observables y con sus correspondientes operadores A

y B

lascondiciones siguientes son equivalentes

i. y son observables compatibles.

ii. A

y B

poseen una base propia común.

iii. A

y B

conmutan, es decir, A

B

-B

A

= 0

.

Por tanto, el estudio de ciertas álgebras de Lie como posibles modelos se centrabásicamente en la determinación de su rango, dimensión de cualquier subálgebrade Cartan suya, con el correspondiente número de observables correctamentedefinidos, y una base adecuada de dicha álgebra sobre la que actúen los opera-dores. Bajo esta acción deben aparecer como valores propios los correspondientesnúmeros cuánticos asociados a cada una de las partículas que queremos represen-tar. Para probar que una subálgebra de un álgebra de Lie es de Cartan usaremos elsiguiente resultado:

Teorema.

Sea un álgebra de Lie de matrices real semisimple de dimensión finita. Sea una subálgebra de . Entonces es de Cartan si, y sólo si, es abeliana maximal ypara todos x e y en se tiene que x, yt 0.

Modelo split 2

El primer modelo que presentamos es split g2 que es el álgebra de Lie de las derivaciones del álgebra alternativa s . Comenzaremos por definir la base ya determinada anteriormente en la forma

In[1]:= Table@0, 8i, 1, 8<, 8j, 1, 8<D;Do@m ; mPp, qT 1; Fp,q m, 8q, 1, 8<, 8p, 1, 8<D;Do@Jp,q Fp,q Fq,p; Zp,q Fp,q Fq,p, 8p, 1, 8<, 8q, 1, 8<D;b1 J2,3 J7,6; b2 J4,2 J6,8; b3 Z2,5 Z4,7; b4 Z2,6 Z4,8;

b5 Z2,7 Z4,5; b6 Z2,8 Z4,6; b7 J3,4 J7,8; b8 Z3,5 Z4,6;

b9 Z3,6 Z4,5; b10 Z3,7 Z4,8; b11 Z3,8 Z4,7; b12 J6,5 J7,8;

b13 J5,7 J6,8; b14 J5,8 J7,6;

y así un elemento genérico será del tipo

In[2]:= X Sum@ i bi, 8i, 1, 14<DOut[2]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 2 3 4 5 6

0 1 0 7 8 9 10 11

0 2 7 0 9 5 6 8 3 11 4 10

0 3 8 9 5 0 12 13 14

0 4 9 6 8 12 0 1 14 2 13

0 5 10 3 11 13 14 1 0 7 12

0 6 11 4 10 14 2 13 12 7 0

donde los i son parámetros reales y cuyo número es, claro está, 14. Para calcularel rango nada mejor que determinar una subálgebra de Cartan. Para ello definimosprimero el corchete Lie:

In[3]:= c@x_, y_D : x.y y.x;

y la posible subálgebra de Cartan como aquella generada por los elementos b4 y b10 para tener

In[4]:= Cartan 1 b4 2 b10

Out[4]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 1 2

0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0 0 00 0 0 1 2 0 0 0 0

28 Modelos algebraicos en física de partículas

Los elementos b4 y b10 no sólo conmutan

In[5]:= c@b4, b10DOut[5]= True

sino que verifican las condiciones del teorema anterior ya que

In[6]:= 8c@b4, Transpose@b10DD ,

c@b10, Transpose@b4DD ,

c@b4, Transpose@b4DD ,

c@b10, Transpose@b10DD <Out[6]= True, True, True, True

Para concluir que la anterior subálgebra es de Cartan nos resta verificar el caráctermaximal. Para ello tomaremos un elemento genérico del álgebra de Lie y leimpondremos todas las condiciones para que pertenezca a una subálgebra deCartan que contenga a b4 y b10 . Realizando estas operaciones y resolviendo elsistema correspondiente obtenemos que

In[7]:= Reduce@8c@X, b4D , c@X, b10D ,

c@X, Transpose@XDD , c@X, Transpose@b4DD ,

c@X, Transpose@b4DD , c@b4, Transpose@XDD ,

c@b10, Transpose@XDD <DOut[7]= 9 0 5 0 3 0 6 0 8 0 11 0

1 0 2 0 14 0 7 0 12 0 13 0

Estas condiciones, dejan al elemento genérico X en la forma

In[8]:= X ±±. ToRules@Reduce@8c@X, b4D , c@X, b10D ,

c@X, Transpose@XDD ,

c@X, Transpose@b4DD ,


c@b4, Transpose@XDD ,

c@b10, Transpose@XDD <DDOut[8]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 4 0 00 0 0 0 0 0 10 00 0 0 0 0 0 0 4 10

0 0 0 0 0 0 0 00 4 0 0 0 0 0 00 0 10 0 0 0 0 00 0 0 4 10 0 0 0 0

Y no tenemos más que resolver

Sesión I 29

In[9]:= Solve@HX ±±. ToRules@Reduce@8c@X, b4D , c@X, b10D ,

c@X, Transpose@XDD ,



c@b4, Transpose@XDD ,

c@b10, Transpose@XDD <DDL Cartan,

Variables@CartanDDOut[9]= 1 4, 2 10

para encontrar que si un elemento verifica las condiciones requeridas parapertenecer a una subálgebra de Cartan en la que estén b4 y b10 entonces es combi-nación lineal de estos elementos en la forma concreta X 4b4 10b10 . Portanto podemos concluir la maximalidad de esta subálgebra con las condicionesmencionadas y afirmar que se trata de una subálgebra de Cartan de split g2 .También se tiene trivialmente que el rango de split g2 es 2. Y así enunciamos

Teorema.

Una subálgebra de Cartan del álgebra de Lie split g2 es la formada por loselementos de la forma 1b4 2b10 , y por tanto el rango de dicha álgebra es 2.

Una vez que tenemos determinado el rango, 2, podemos plantearnos la posibil-idad de representar dos observables físicos con dos operadores ad construidos apartir de elementos de la subálgebra de Cartan anteriormente determinada. Losoperadores ad también conmutarán si los elementos elegidos lo hacen. Tomemosestos dos elementos denotados por H y por K como

In[10]:= Hb4

2

b10

2

Out[10]=

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 12 0 0

0 0 0 0 0 0 12 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 12 0 0 0 0 0 0

0 0 12 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

y


In[11]:= Kb4

3

b10

3

Out[11]=

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 13 0 0

0 0 0 0 0 0 13 0

0 0 0 0 0 0 0 230 0 0 0 0 0 0 0

0 13 0 0 0 0 0 0

0 0 13 0 0 0 0 0

0 0 0 23 0 0 0 0

La idea entonces será diagonalizar simultáneamente el álgebra con los operadoresad H y ad K . Esto lo haremos de la siguiente forma: estableceremos la correspon-dencia

partícula p elemento del álgebra

observable operador ad A

de tal forma que si es el valor del observable para la partícula p , entonces setendrá que ad A x x . Esto motiva entonces el cálculo de los valores propios delos operadores adH y adK. Comenzamos por adH para obtener

Sesión I 31

In[12]:= Reduce@c@H, XD XDOut[12]= 4 0 10 0 5 0 9 0 14 0 6 2 13

8 13 3 12 11 7 12 1 0 12

4 0 10 0 5 0 9 0 14 0 6 2 13

8 13 3 12 11 12 7 1 0 12

5 9 14 2 1 6 0 8 0 3 0 11 0

2 0 7 0 12 0 13 0 0

5 9 14 0 6 0 8 0 3 0 11 0

2 0 1 0 7 0 12 0 13 0 0

14 2 1 5 0 9 0 6 0 8 0 3 0

11 0 2 0 7 0 12 0 13 0 0

5 0 9 0 14 0 6 0 8 0 3 0 11 0

2 0 1 0 7 0 12 0 13 0 0

4 0 10 0 5 1 9 1 14 0 6 0 8 0

3 0 11 0 2 0 7 0 12 0 13 0 1

1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 4 0 10 05 0 9 0 14 0 6 0 8 0 3 011 0 2 0 1 0 7 0 12 0 13 0

Observamos que aparecen los valores propios 0, 1, 1, 12 y 12 . Calculemosentonces los subespacios propios asociados. En primer lugar para el 0 se tiene:

In[13]:= X ±±. HToRules@Reduce@c@H, XD 0 XDDLOut[13]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 142 0 0 4 9 0

0 142 0 0 0 9 10 00 0 0 0 2 9 0 0 4 10

0 0 0 2 9 0 0 0 14

0 4 9 0 0 0 142 0

0 9 10 0 0 142 0 00 0 0 4 10 14 0 0 0

de dimensión

In[14]:= Length@Variables@X ±±. HToRules@Reduce@c@H, XD 0 XDDLDDOut[14]= 4

Para 12 tenemos


In[15]:= X ±±. ikjjToRulesAReduceAc@H, XD 1

2XEEy{zz

Out[15]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 13 12 0 0 6

0 0 0 12 11 13 0 0 11

0 13 6 11 12 0 0 6 13 11 12 00 12 13 0 0 12 13 00 0 0 6 13 12 0 0 6

0 0 0 11 12 13 0 0 11

0 6 11 0 0 6 11 0

de dimensión

In[16]:= LengthAVariablesAX ±±. ikjjToRulesAReduceAc@H, XD 1

2XEEy{zzEE

Out[16]= 4

Para 12 obtenemos

In[17]:= X ±±. ikjjToRulesAReduceAc@H, XD 1

2XEEy{zz

Out[17]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 13 12 0 0 6

0 0 0 11 12 13 0 0 11

0 6 13 11 12 0 0 6 13 11 12 00 12 13 0 0 12 13 00 0 0 6 13 12 0 0 6

0 0 0 11 12 13 0 0 11

0 6 11 0 0 6 11 0

cuya dimensión es

In[18]:= LengthAVariablesAX ±±. ikjjToRulesAReduceAc@H, XD 1

2XEEy{zzEE

Out[18]= 4

Con el valor propio 1 se tiene


0 0 0 0 0 0 0 00 0 9 0 0 0 9 00 9 0 0 0 9 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 9 0 0 0 9 00 9 0 0 0 9 0 00 0 0 0 0 0 0 0

Sesión I 33

con dimensión 1 al igual que con el valor propio -1 ya que


0 0 0 0 0 0 0 00 0 9 0 0 0 9 00 9 0 0 0 9 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 9 0 0 0 9 00 9 0 0 0 9 0 00 0 0 0 0 0 0 0

Si trabajamos con el operador ad K obtenemos los siguientes valores propios:

In[21]:= Reduce@c@K, XD XDOut[21]= 6 0 11 0 8 0 5 9 3 0

2 0 7 0 12 0 13 0 14 0 0

4 0 10 0 6 2 11 7 1 0 8 0 5 0

9 0 3 0 12 0 13 0 14 0 1

4 0 10 0 6 13

211

12

21 0

8 13 5 0 9 0 3 12

2 13

27

12

214 0

13

4 0 10 0 6 13

211

12

21 0

8 13 5 0 9 0 3 12

2 13

27

12

214 0

13

4 0 10 0 6 0 11 0 1 14

2

8 0 5 142

9 142

3 0

2 0 7 0 12 0 13 0 23

4 0 10 0 6 0 11 0 1 14

2

8 0 5 14

29

14

23 0

2 0 7 0 12 0 13 0 23

1 0 0 1 0 3 2 0 3 1 0 3 1 0 3 2 04 0 10 0 6 0 11 0 1 0 8 0 5 09 0 3 0 2 0 7 0 12 0 13 0 14 0

es decir, 0, 1, 1, 13 , 13 , 23 y 23 . El subespacio propio asociado al valor propio cero es


In[22]:= X ±±. HToRules@Reduce@c@K, XD 0 XDDLOut[22]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 4 9 00 1 0 0 0 9 10 00 0 0 0 0 0 0 4 10

0 0 0 0 0 0 0 00 4 9 0 0 0 1 00 9 10 0 0 1 0 00 0 0 4 10 0 0 0 0

de dimensión

In[23]:= Length@Variables@X ±±. HToRules@Reduce@c@K, XD 0 XDDLDDOut[23]= 4

Para el valor propio 1 tenemos


0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 0 0 0 6

0 0 0 11 0 0 0 11

0 6 11 0 0 6 11 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 0 0 0 6

0 0 0 11 0 0 0 11

0 6 11 0 0 6 11 0

de dimensión

In[25]:= Length@Variables@X ±±. HToRules@Reduce@c@K, XD 1 XDDLDDOut[25]= 2

Con 1 tenemos


0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 0 0 0 6

0 0 0 11 0 0 0 11

0 6 11 0 0 6 11 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 6 0 0 0 6

0 0 0 11 0 0 0 11

0 6 11 0 0 6 11 0

de dimensión 2. Para 13

Sesión I 35

In[27]:= X ±±. ikjjToRulesAReduceAc@K, XD 1

3XEEy{zz

Out[27]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 132 12 0 0 132

0 0 0 122 13 0 0 122

0 132 122 0 0 132 122 00 12 13 0 0 12 13 00 0 0 132 12 0 0 132

0 0 0 122 13 0 0 122

0 132122 0 0 132

122 0

de dimensión 2 ya que

In[28]:= LengthAVariablesAX ±±. ikjjToRulesAReduceAc@K, XD 1

3XEEy{zzEE

Out[28]= 2

Para el valor propio 13

se tiene el subespacio propio


3XEEy{zz

Out[29]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 132 12 0 0 132

0 0 0 122 13 0 0 122

0 132 122 0 0 132122 0

0 12 13 0 0 12 13 00 0 0 132 12 0 0 132

0 0 0 122 13 0 0 122

0 132 122 0 0 132122 0

de dimensión 2. Nos quedan dos subespacios propios de dimensión 1, a saber, para 23 :


3XEEy{zz

Out[30]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 142 0 0 0 142 0

0 142 0 0 0 142 0 00 0 0 0 14 0 0 00 0 0 14 0 0 0 14

0 0 142 0 0 0 142 0

0 142 0 0 0 142 0 00 0 0 0 14 0 0 0


y para 23 el subespacio


3XEEy{zz

Out[31]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 142 0 0 0 142 0

0 142 0 0 0 142 0 00 0 0 0 14 0 0 00 0 0 14 0 0 0 14

0 0 142 0 0 0 142 0

0 142 0 0 0 142 0 00 0 0 0 14 0 0 0

Estamos ya en condiciones de introducir la siguiente base del álgebra de Lie quediagonaliza el espacio simultáneamente para los operadores adH y adK. Dichabase es

In[32]:= u 2 b3 b7 b11 2 b12; u 2 b3 b7 b11 2 b12;

d b2 b6 2 b8 2 b13; d b2 b6 2 b8 2 b13;

s b1 b5 b9 2 b14; s b1 b5 b9 2 b14;

b1 b5 b9; b1 b5 b9;

K b2 b6; K b2 b6;

Kcero b7 b11; Kcero b7 b11;

cero b4; b10;

donde hemos utilizado una notación que ya indica las partículas elementales quevamos a representar. A continuación realizamos la siguiente identificación:

ad H OperadorT3, tercera componente de isospínad K Operador Y, hipercarga

para verificar a continuación las siguientes tablas de números cuánticos para laspartículas que vamos a describir:

Partícula T3 Y

u 1213

d 1213

s 0 23 1 0

K 12 1

Kcero 12 1cero 0 0

Partícula T3 Y

u 12 13

d 12 13

s 0 23 1 0

K 12 1

Kcero 12 1

0 0

Sesión I 37

Por ejemplo, si queremos calcular el valor de la tercera componente de isospín delquark u no tenemos más que resolver la ecuación H , u u y así

In[33]:= Solve@c@H, uD uDOut[33]=

12

en perfecta concordancia con el valor dado en la tabla anterior. Por otro lado, paradeterminar el valor de la hipercarga de este quark hacemos

In[34]:= Solve@c@K, uD uDOut[34]=

13

y obtenemos que la hipercarga del quark u es 13 . A continuación se presentan lasoperaciones que completan el resto de los valores de los números cuánticosasociados a las partículas que describimos. Para la tercera componente de isospínse tiene:

In[35]:= Solve@c@H, dD dDOut[35]=

12

In[36]:= Solve@c@H, sD sDOut[36]= 0

In[37]:= Solve@c@H, D DOut[37]= 1

In[38]:= Solve@c@H, K D K DOut[38]=

12

In[39]:= Solve@c@H, KceroD KceroDOut[39]=

12

In[40]:= Solve@c@H, ceroD ceroDOut[40]= 0

In[41]:= Solve@c@H, uD uDOut[41]=

12


In[42]:= Solve@c@H, dD dDOut[42]=

12

In[43]:= Solve@c@H, sD sDOut[43]= 0


In[45]:= Solve@c@H, K D K DOut[45]=

12

In[46]:= Solve@c@H, KceroD KceroDOut[46]=

12


Para la hipercarga Y, operador ad K, tenemos los siguientes cálculos


13

In[49]:= Solve@c@K, dD dDOut[49]=

13

In[50]:= Solve@c@K, sD sDOut[50]=

23

In[51]:= Solve@c@K, D DOut[51]= 0

In[52]:= Solve@c@K, K D K DOut[52]= 1

In[53]:= Solve@c@K, KceroD KceroDOut[53]= 1

Sesión I 39

In[54]:= Solve@c@K, ceroD ceroDOut[54]= 0


13

In[56]:= Solve@c@K, dD dDOut[56]=

13

In[57]:= Solve@c@K, sD sDOut[57]=

23


In[59]:= Solve@c@K, K D K DOut[59]= 1

In[60]:= Solve@c@K, KceroD KceroDOut[60]= 1


que terminan por completar los valores de las tablas anteriores. Si nos fijamos unpoco, en el modelo que nos ocupa estamos tratando por igual tanto a los quarks u,d y s (y sus correspondientes antiquarks) como a los mesones , , K , K0 , K

y K0

. No obstante los citados mesones poseen una estructura interna en términosde, precisamente, los quarks descritos. Dicha estructura interna es

Mesón Estructura quark u d

d

uK u s

Kcero d s

K u s

Kcero d

s


Veamos como nuestro modelo refleja esta estructura interna con el siguienteresultado: si el proceso de unión de quarks lo representamos por el corchete Lieobtenemos un múltiplo, sin interpretación física, del mesón correspondiente. Enefecto, si operamos los elementos que representan a los quarks u y d un múltiplode tal y como puede verse en el siguiente cálculo:

In[62]:= Reduce@c@u, dD f1 f2 f3 s f4 s f5 d f6 d

f7 u f8 u f9 cero

f10 f11 K f12 Kcero f13 K f14 KceroDOut[62]= f1 0 f2 6 f3 0 f4 0 f5 0 f6 0 f7 0

f8 0 f9 0 f10 0 f11 0 f13 0 f12 0 f14 0

Si procedemos de esta forma, unimos los quarks d

y u obteniendo un múltiplo de ya que

In[63]:= Reduce@c@d, uD f1 f2 f3 s f4 s f5 d f6 d

f7 u f8 u f9 cero


f8 0 f9 0 f10 0 f11 0 f13 0 f12 0 f14 0

De igual manera ocurre para las siguientes uniones: u y s para obtener un múltiplo de K

In[64]:= Reduce@c@u, sD f1 f2 f3 s f4 s f5 d f6 d

f7 u f8 u f9 cero


f8 0 f9 0 f10 0 f11 0 f13 6 f12 0 f14 0

con u y s para obtener K

In[65]:= Reduce@c@u, sD f1 f2 f3 s f4 s f5 d f6 d

f7 u f8 u f9 cero


f8 0 f9 0 f10 0 f11 6 f13 0 f12 0 f14 0

con s yd para obtener K0

In[66]:= Reduce@c@s, dD f1 f2 f3 s f4 s f5 d f6 d

f7 u f8 u f9 cero


f8 0 f9 0 f10 0 f11 0 f13 0 f12 6 f14 0

Sesión I 41

y por último, unimos d

ys para obtener K0

:

In[67]:= Reduce@c@d, sD f1 f2 f3 s f4 s f5 d f6 d

f7 u f8 u f9 cero


f8 0 f9 0 f10 0 f11 0 f13 0 f12 0 f14 6

Modelo so(4,4)so(2,2)

Presentamos a continuación un segundo modelo, más fino, que albergará a todoslos quarks, los antiquarks asociados y todos los observables necesarios paracaracterizarlos. En el modelo anterior usamos un álgebra de Lie de dimensión 14para describir 14 partículas. Asimismo, dicha álgebra tenía rango 2 y pudimosdefinir dos observables. Esta descripción se hizo usando la representación adjuntacon los operadores ad. Es bien sabido que esto equivale a definir una estructura demódulo sobre el álgebra de Lie. En este segundo modelo procederemos de estemodo. Concretamente, consideraremos el álgebra de Lie so 4, 4 so 2, 2 , queluego detallaremos, y el conjunto 12 sobre el que definiremos la estructura deso 4, 4 so 2, 2 módulo.

En primer lugar necesitamos los siguientes comandos para definir las matrices Ji, jy Zi, j en términos de las cuales expresaremos los elementos de una base deso(4,4)so(2,2):

In[1]:= Table@0, 8i, 1, 12<, 8j, 1, 12<D;Do@m ; mPp, qT 1; Fp,q m, 8q, 1, 12<, 8p, 1, 12<D;Do@Jp,q Fp,q Fq,p; Zp,q Fp,q Fq,p, 8p, 1, 12<, 8q, 1, 12<D;

así como el corchete Lie

In[2]:= c@x_, y_D : x.y y.x;

Y entonces la citada base es

In[3]:= base 8Z1,5, Z1,6, Z1,7, Z1,8, Z2,5, Z2,6, Z2,7, Z2,8,

Z3,5, Z3,6, Z3,7, Z3,8, Z4,5, Z4,6, Z4,7, Z4,8, J1,2, J1,3,

J1,4, J2,3, J2,4, J3,4, J5,6, J5,7, J5,8, J6,7, J6,8, J7,8,

J9,10, J11,12, Z9,11, Z9,12, Z10,11, Z10,12<;que renombramos como xi haciendo

In[4]:= Do@xi base@@iDD, 8i, 1, Length@baseD<Dpara observar la forma explícita de un elemento de so 4, 4 so 2, 2 :


In[5]:= X Sum@ i xi, 8i, 34<D

Out[5]=

0 17 18 19 1 2 3 4 0 0 0 017 0 20 21 5 6 7 8 0 0 0 018 20 0 22 9 10 11 12 0 0 0 019 21 22 0 13 14 15 16 0 0 0 01 5 9 13 0 23 24 25 0 0 0 02 6 10 14 23 0 26 27 0 0 0 03 7 11 15 24 26 0 28 0 0 0 04 8 12 16 25 27 28 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 29 31 32

0 0 0 0 0 0 0 0 29 0 33 34

0 0 0 0 0 0 0 0 31 33 0 30

0 0 0 0 0 0 0 0 32 34 30 0

Vamos a demostrar a continuación que el rango de dicha álgebra de Lie es 6.Para ello veremos que el siguiente conjunto constituye una base de una subálgebrade Cartan

In[6]:= Cartan 8x1, x6, x11, x16, x31, x34<;Son 6 elementos linealmente independientes que verifican las condiciones delteorema que ya hemos usado para caracterizar a las subálgebras de Cartan. Enefecto las primeras condiciones se resumen en

In[8]:= cierto True; Do@cierto cierto&&

c@Cartan@@iDD, Cartan@@jDDD &&

c@Cartan@@iDD, Transpose@Cartan@@jDDDD ,8i, 6<, 8j, 6<D; ciertoOut[8]= True

y la maximalidad la resumimos en la variable sistema:

In[13]:= sistema c@X, Transpose@XDD ;

Do@sistema sistema&& c@X, Cartan@@iDDD &&

c@X, Transpose@Cartan@@iDDDD , 8i, 6<Dque resolvemos para obtener

In[15]:= ToRules@Reduce@sistemaDDOut[15]= 32 0, 33 0, 29 0, 30 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 7 0, 8 0,

9 0, 10 0, 12 0, 13 0, 14 0, 15 0, 22 0, 21 0, 20 0,25 0, 28 0, 27 0, 24 0, 23 0, 26 0, 19 0, 18 0, 17 0

Imponiendo estas reglas al elemento genérico podemos observar que pertenece a la candidata a subálgebra de Cartan ya que

Sesión I 43

In[19]:= Solve@HX ±±. ToRules@Reduce@sistemaDDLSum@fi Cartan@@iDD, 8i, 6<D,8f1, f2, f3, f4, f5, f6<D

Out[19]= f1 1, f2 6, f3 11, f4 16, f5 31, f6 34

En definitiva, cualquier elemento que verifique las condiciones para formar partede la subálgebra de Cartan, necesariamente es combinación de los elementos x1 ,x6 , x11 , x16 , x31 y x34 y así tenemos probado que la subálgebra es maximal y portanto de Cartan.

Teorema.

Una subálgebra de Cartan del álgebra de Lie so 4, 4 so 2, 2 es la formadapor los elementos que son de la forma

1x1 2x6 3x11 4x16 5x31 6x34 ,

y por tanto el rango de dicha álgebra es 6.

Definimos entonces la siguiente nueva base de la subálgebra de Cartan

In[20]:= T31

2x6

1

2x11;

Ch x1;

S x16;

Y1

3x1

1

3x6

1

3x11

2

3x16

1

3x31

1

3x34;

Bea x31;

Tru x34;

para establecer la siguiente correspondencia

T3 Observable T3, tercera componente de isospínCh Observable Charm, encantoS Observable S, extrañezaY Observable Y, hipercarga

Bea Observable Beauty, bellezaTru Observable Truth, verdad

y definir la siguiente base de 12 con la notación que ya indica la correspondencia con los quarks


In[21]:= u1

2Transpose@H 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 LD;

u1

2Transpose@H 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 LD;

d1

2Transpose@H 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 LD;

d1

2Transpose@H 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 LD;

s1

2Transpose@H 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 LD;

s1

2Transpose@H 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 LD;

c1

2Transpose@H 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 LD;

c1

2Transpose@H 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 LD;

t1

2Transpose@H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 LD;

t1

2Transpose@H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 LD;

b1

2Transpose@H 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 LD;

b1

2Transpose@H 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 LD;

En este caso, definimos una estructura de módulo de la forma

so 4, 4 so 2, 2 12 12

mediante la acción M , x M xt . Entonces si hacemos actuar los elementos de labase de la subálgebra de Cartan anterior veremos que obtenemos relaciones deltipo M xt x donde es el número cuántico correspondiente del quark querepresenta x . En efecto, por ejemplo

In[22]:= [email protected] uDOut[22]=

12

en perfecta concordancia con el hecho de que la tercera componente de isospín delquark u tal y como se puede comprobar en la siguiente tabla:

Quark T3 Y S Ch Bea Tru

u 1213 0 0 0 0

d 1213 0 0 0 0

s 0 23 1 0 0 0

Sesión I 45

c 0 13 0 1 0 0

b 0 13 0 0 1 0

t 0 13 0 0 0 1

El propósito de las siguientes cuentas es reproducir con nuestro modelo la tablaanterior. Haremos actuar a la base de la subálgebra de Cartan de so 4, 4 so 2, 2sobre la base de 12 para obtener los números cuánticos correspondientes. Pararesumir y condensar un poco las operaciones, agruparemos las operaciones porcolumnas. Así, la primera columna de la tabla anterior es

In[29]:= [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] tD

EOut[29]//MatrixForm=

12

12 0 0 0 0

Para los correspondientes antiquarks se tiene



12

12 0 0 0 0

La segunda columna, correspondiente a los valores del observable Y, es




13

13

23

13

13

13

y para los antiquarks se tiene



13

13

23

13

13

13

Para el observable extrañeza, S, se tiene



0 0 1 0 0 0

Sesión I 47

en perfecta concordancia con la tabla anterior al igual que para los antiquarks ya que



0 0 1 0 0 0

Para el observable encanto, Charm, tenemos que



0 0 0 1 0 0

y para los antiquarks




0 0 0 1 0 0

Para la quinta columna, asociada al observable Beauty, tenemos



0 0 0 0 1 0




0 0 0 0 1 0

Sesión I 49

Por último, teniendo descritos todos los quarks y los antiquarks correspondientes, para el observable Truth, se tiene



0 0 0 0 0 1




0 0 0 0 0 1


Sesión II : Rango de las

álgebras de Lie de matrices Es enorme el interés de la utilización de subálgebras de Cartan en álgebras deLie como se vió en la sesión anterior y se verá posteriormente. Esto motiva eldiseño de una rutina que calcule el rango de cualquier álgebra de Lie matrices realy semisimple. Además dicha rutina permitirá obtener una base de una subálgebrade Cartan e incluir (siempre que esto sea posible) cualquier elemento o familia deelementos del álgebra en alguna subálgebra de Cartan.

Ilustraremos la efectividad de la rutina con numerosos ejemplos con las álgebrasde Lie so(n), sl(n), 2 y con dos modelos que utilizamos en la sesión anterior:split 2 y so 4, 4 so 2, 2 . Para diseñar la rutina usaremos el siguiente resultadoya introducido que caracteriza a las subálgebras de Cartan.

Teorema.

Sea un álgebra de Lie de matrices real semisimple de dimensión finita. Sea una subálgebra de . Entonces es de Cartan si, y sólo si, es abeliana maximal ypara todos x e y en se tiene que x, yt 0.

La rutina procederá de la siguiente manera: en primer lugar se introduce unelemento o varios del álgebra para ser incluidos en una subálgebra de Cartan. Unavez que se conprueba que estos elementos verifican las condiciones requeridas(independencia, conmutan entre sí y con sus traspuestas) se estudia su maximal-idad. Si es maximal, ya forman una subálgebra de Cartan y por tanto el rango es elcardinal de este conjunto. Si no es maximal, la rutina resuelve el sistema para losposibles elementos que pueden formar parte de la subálgebra de Cartan y eligeuno. De nuevo se estudia la maximalidad y se repite el proceso hasta que para lamaximalidad se recibe una respuesta afirmativa.

Comandos principales

Veamos la definición de los submódulos que descargarán la rutina principal yservirán para esquematizar de una forma más elegante el programa. En primerlugar, definimos el comando Cap[m,n] que calcula la intersección de dos subespa-cios. Usaremos este comando, como explicaremos después, en el caso en el que seintroduzcan más de un elemento como entrada para construir la subálgebra deCartan que los contiene. Este comando simplemente resuelve el sistema que seobtiene imponiendo a un elemento que pertenezca a los dos subespacios:

In[1]:= i_,j_ : If@i j, 1, 0D;Cap@m_, n_D : ModuleA8<,canonica IdentityMatrix@Length@mP1TDD;gen1 : ă

i 1

Length@mDxi mPiT; gen2 : ă

i 1

Length@nDyi nPiT;

in gen1 ±±. ToRules@Reduce@gen1 gen2DD;varia : Variables@inD; num : Length@variaD;reglas : Table@variaPjT i,j, 8i, 1, num<, 8j, 1, num<D;Table@in ±±. reglasPiT, 8i, 1, num<DE;

Así por ejemplo, para calcular la intersección de los subesapaciosU 1, 2, 1 y V 1, 1, 1 , 2, 1, 0 hacemos

In[2]:= Cap@881, 2, 1<<, 881, 1, 1<, 82, 1, 0<<DOut[2]= 1 2 1

para obtener el propio U ya que 1 2 1 2 1 0 1 1 1 . Acontinuación definimos el corchete Lie en la forma

In[3]:= c@x_, y_D : x.y y.x;

Partimos con un álgebra de Lie de matrices con una base formada por lasmatrices b j j1

n (más adelante se comentará como se introduce esta base). La basede una subálgebra de Cartan que se construirá se denotará por v j j1

r siendo rel rango. La función NucleoAd[m,b,n] donde m es una matriz, b es la notaciónpara la base y n es la dimensión del álgebra, calcula el núcleo de la aplicación

adm :

x m, x

donde [m,x] es el corchete de Lie de , que en las álgebras de matrices es[m,x]=mx-xm. Dicha función calcula en primer lugar la matriz de la aplicaciónadm en la base , para después calcular el núcleo mediante el comando Null-Space. La intención no es otra que la de disminuir en cierta mendida el elementogenérico escogiéndolo de entre los que comutan con los ya introducidos, es decir,aquellos que pertenecen al nucleo de la aplicación adm . Si introducimos más deuno, el comando Cap[ ] se encarga de hacer las intersecciones necesarias. Acontinuación se muestra la definición de dicha función:

52 Rango de las álgebras de Lie de matrices

In[4]:= NucleoAd@m_, b_, n_D : ModuleA8<,X ă

i 1

n

ai bi; todoaes Table@at, 8t, 1, n<D;Matriz 8<;Do@

AppendTo@Matriz, todoaes ±±. Solve@X c@m, blDDP1TD,8l, 1, n<D;

Matriz Transpose@MatrizD; NullSpace@MatrizDEEl siguiente módulo define el comando Indepen[v,r], que comprueba si unconjunto de elementos del álgebra es independiente o no. Este comando verificaque los elementos introducidos en primer lugar son independientes o no:

In[5]:= Indepen@v_, r_D : ModuleA8falso 1, indep 8<<,indep ToRulesAReduceAă

k 1

r

dk vk EE;Do@If@HHdk ±±. indepL 0L False, falso 0D,8k, 1, r<D; falsoE

El siguiente comando, Conmuta[v,r], comprueba si una familia es abeliana:

In[6]:= Conmuta@v_, r_D : Module@8falso 1<,Do@If@c@vi, vjD , falso 0D, 8i, 1, r<, 8j, i 1, r<D;

falsoDEl módulo, Estrella[v,r], comprueba si el conjunto v j j1

r verfica la condición delteorema en la que se exige que todos los elementos conmuten con las traspuestasde todos. Su definición es:

In[7]:= Estrella@v_, r_D : Module@8falso 1<,Do@If@c@vi, Transpose@vjDD , falso 0D,8i, 1, r<, 8j, i, r<D; falsoD

A continuación se define el comando Maximal[v,r,b,n] que establece cuando unconjunto abeliano es maximal. Cuando el conjunto llega a este módulo ya se tienenaseguradas las otras condiciones para que sea subálgebra de Cartan. Toda sudefinición se basa en exigir a un elemento genérico que verifique todas las condi-ciones para que pertenezca a la subálgebra de Cartan (además de ser independientede los ya definidos, hecho que se asegura con el producto escalar cero, comandoque se definirá después) y se comprueba si el número de reglas coincide con ladimensión y por tanto la solución es la nula:

Sesión II 53

In[8]:= Maximal@v_, r_, b_, n_D : Module@8falso 1<,ec 8c@X, Transpose@XDD <;Do@AppendTo@ec, c@vk, XD D, 8k, 1, r<D;

Do@AppendTo@ec, c@Transpose@vkD, XD D, 8k, 1, r<D;Do@

AppendTo@ec, Escalar@X, vkD 0D, 8k, 1, r<D;reglasol Reduce@ecD; If@Length@reglasolD n, falso 0D;

falsoDPor último, dentro de este conjunto de módulos auxiliares, tenemos el módulo quedefine el comando Añadir[r,v,b,n] que añade, dentro del proceso de construcciónde una subálgebra de Cartan, un nuevo elemento en cada paso. Este nuevo ele-mento se toma ya de entre los que verifican las condiciones necesarias, reunidas enla variable verifica:

In[9]:= Añadir@r_, v_, b_, n_D : Module@8<,verifica : c@Y, Transpose@YDD ;

Do@verifica verifica&& c@Y, vjD &&

c@Y, Transpose@vjDD && Escalar@Y, vjD8j, r 1<D;tomo Y ±±. 8ToRules@Reduce@verificaDD<P1T;

var Variables@tomoD;num Length@varD;

reglas Table@varPjT i,j, 8i, num<, 8j, num<D;kk 1;

While@Htomo ±±. reglasPkkTL , kk kk 1D;vr tomo ±±. reglasPkkTD

Pasamos a desarrollar la rutina principal. Recuérdese que los elementos de lasubálgebra de Cartan que se van obteniendo se denotarán por vi y la base delálgebra por b j . En primer lugar se calcula el núcleo del operador adv1 utilizandoel comando NucleoAd, donde el elemento v1 se introduce como entrada. Esteelemento inicial no puede ser cualquiera, ha de conmutar con su traspuesta. En estepaso se pueden introducir k vectores que la rutina comprueba si pueden incluirseen una subálgebra de Cartan. Para ello han de verificar todas las condiciones paraser una subálgebra de Cartan salvo quizá la maximalidad.

A partir de una combinación lineal genérica de los elementos del núcleo de adv1 (ode la intersección si se han introducido varios), el comando Añadir elige elsiguiente v2 , si se introdujo un elemento inicial, o vk1 si se fueron k , compro-bando:

(1) que no depende de los anteriores v1 o los k introducidos) forzando que elproducto escalar sea cero (comando Escalar),

(2) que conmuta con todos los anteriores utlizando el comando Conmuta, y


(3) que conmuta con la traspuesta de todos los anteriores y él mismo utlizando elcomando Estrella.

Mientras el comando Maximal no confirme que la subálgebra es maximal, elcomando Añadir añadirá otro elemento a la subálgebra, eligiéndolo de entre losque conmuten con todos, con las traspuestas de todos y por supuesto independientede los demás. Cuando tengamos que el conjunto de los vi es abeliano maximal ylos elementos son semisimples, habremos terminado y la familia será una base deuna subálgebra de Cartan y el número de elementos, r , el rango.

Antes de presentar la rutina principal, necesitaremos un comando que genere unabase del álgebra de Lie que queremos estudiar. Este comando lo implementaremospara diversas álgebras que ilustrarán el uso de la rutina. Conviene resaltar queaunque se definirá el comando principal junto con el que genera la base en cadaejemplo, las líneas de cada módulo son idénticas. Hemos preferido cambiar elnombre para hacer referencia al álgebra que estamos estudiando.

Álgebra de Lie so n

El primer ejemplo que vamos a analizar es so n formada por las matricescuadradas M de orden n con coeficientes reales antisimétricas. El siguientecomando calcula una base de dicha álgebra, así como el producto escalar y unelemento genérico del álgebra denotado por X :

In[10]:= BasedeSo@t_D : ModuleA8kk 1<,n

1

2Ht 1L t; Table@0, 8i, 1, t<, 8j, 1, t<D;

Do@m ; mPp, qT 1; Fp,q m, 8q, 1, t<, 8p, 1, t<D;Do@Jp,q Fp,q Fq,p, 8p, 1, t<, 8q, 1, t<D; kk 1;

Do@Do@bkk Jp,q; kk kk 1, 8q, p 1, t<D, 8p, 1, t 1<D;Escalar@x_, y_D : ă

i 1

t ăj 1

t

xPi, jT yPi, jT; X ăi 1

n

ai bi;EY así, la rutina principal queda de la siguiente forma:

Sesión II 55

In[11]:= RangoDeSo@t_, dat_D : ModuleA8<, datos dat;

r Length@datosD;Do@vk datos@@kDD, 8k, 1, r<D;TimingA

IfAIndepen@v, rD 1 && Conmuta@v, rD 1 && Estrella@v, rDconjunto NucleoAd@v1, b, nD; If@r 1,

Do@conjunto Cap@conjunto, NucleoAd@vi, b,

Y Ąk 1

Length@conjuntoDfk ă

i 1

n

conjuntoPk, iT bi;While@Maximal@v, r, b, nD 0, r r 1; Añadir@r, v, b, nDD;Print@"El rango es ", r, ",", " y una subálgebra de Cartan:"D;DoAcombina Solve@vq XD;

PrintA"v"q, " ", ăp 1

n Hap ±±. combinaP1TL bpE, 8q, 1, r<E,Print@MalDEEE

El esquema de la rutina, gracias a los módulos auxiliares, queda clara y la línea principal es

While@Maximal@v, r, b, nD 0, r r 1; Añadir@r, v, b, nDDpara después determinar los elementos construidos en término de los de la base.Veamos como ejemplo el álgebra so(6). Definimos una base del álgebra con laentrada

In[12]:= BasedeSo@6Dy entonces un elemento genérico es de la forma

In[13]:= X

Out[13]=

0 a1 a2 a3 a4 a5

a1 0 a6 a7 a8 a9

a2 a6 0 a10 a11 a12

a3 a7 a10 0 a13 a14

a4 a8 a11 a13 0 a15

a5 a9 a12 a14 a15 0

Ejecutamos el comando, usando el elemento b1 como entrada, que acabamos de definir para obtener


In[14]:= RangoDeSo@6, 8b1<DEl rango es 3, y una subálgebra de Cartan:

v1 b1

v2 b15

v3 b10

Out[14]= 1.7 Second, Null

Donde además del rango se genera el tiempo que tarda la rutina en ejecutarse. Portanto el rango es 3 y una subálgebra de Cartan la formada por las matrices

In[15]:= 88b1, b10, b15<<Out[15]=

0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0

Podemos introducir dos elementos, b1 y b10 , para tener

In[16]:= RangoDeSo@6, 8b1, b10<DEl rango es 3, y una subálgebra de Cartan:

v1 b1

v2 b10

v3 b15


Nótese que el tiempo ha sido ligeramente superior. Esto se debe a que al introducirdos elementos como entrada la rutina usa el comando Cap y calcula la intersecciónde los dos subespacio núcleos de adb1 y adb10 . Esto no aumenta la velocidadaunque el objetivo no es éste sino el disminuir el número de variables a resolver loque simplifica notablemente los cálculos.

Veamos otro ejemplo. En este caso trabajaremos con so(9). Introducimos una base haciendo

In[17]:= BasedeSo@9Dy entonces un elemento genérico

Sesión II 57

In[18]:= X

Out[18]=

0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

a1 0 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15

a2 a9 0 a16 a17 a18 a19 a20 a21

a3 a10 a16 0 a22 a23 a24 a25 a26

a4 a11 a17 a22 0 a27 a28 a29 a30

a5 a12 a18 a23 a27 0 a31 a32 a33

a6 a13 a19 a24 a28 a31 0 a34 a35

a7 a14 a20 a25 a29 a32 a34 0 a36

a8 a15 a21 a26 a30 a33 a35 a36 0

Usando el primer elemento del álgebra

In[19]:= b1

Out[19]=

0 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

para construir una subálgebra de Cartan que lo contiene haciendo


v1 b1

v2 b36

v3 b31

v4 b22


Como último ejemplo, lanzaremos la rutina en el álgebra de Lie so(32), usadarecientemente como modelo en la teoría de cuerdas, una de las líneas de investi-gación más activas en física de campos. Así una base (dimensión 322 31 496) es

In[21]:= BasedeSo@32Dy un elemento genérico


In[23]:= X

Out[23]=

0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 a21 a22 a23 a24 a25 a26 a27 a28 a29 a30 a31a1 0 a32 a33 a34 a35 a36 a37 a38 a39 a40 a41 a42 a43 a44 a45 a46 a47 a48 a49 a50 a51 a52 a53 a54 a55 a56 a57 a58 a59 a60 a61a2 a32 0 a62 a63 a64 a65 a66 a67 a68 a69 a70 a71 a72 a73 a74 a75 a76 a77 a78 a79 a80 a81 a82 a83 a84 a85 a86 a87 a88 a89 a90a3 a33 a62 0 a91 a92 a93 a94 a95 a96 a97 a98 a99 a100 a101 a102 a103 a104 a105 a106 a107 a108 a109 a110 a111 a112 a113 a114 a115 a116 a117 a118a4 a34 a63 a91 0 a119 a120 a121 a122 a123 a124 a125 a126 a127 a128 a129 a130 a131 a132 a133 a134 a135 a136 a137 a138 a139 a140 a141 a142 a143 a144 a145a5 a35 a64 a92 a119 0 a146 a147 a148 a149 a150 a151 a152 a153 a154 a155 a156 a157 a158 a159 a160 a161 a162 a163 a164 a165 a166 a167 a168 a169 a170 a171a6 a36 a65 a93 a120 a146 0 a172 a173 a174 a175 a176 a177 a178 a179 a180 a181 a182 a183 a184 a185 a186 a187 a188 a189 a190 a191 a192 a193 a194 a195 a196a7 a37 a66 a94 a121 a147 a172 0 a197 a198 a199 a200 a201 a202 a203 a204 a205 a206 a207 a208 a209 a210 a211 a212 a213 a214 a215 a216 a217 a218 a219 a220a8 a38 a67 a95 a122 a148 a173 a197 0 a221 a222 a223 a224 a225 a226 a227 a228 a229 a230 a231 a232 a233 a234 a235 a236 a237 a238 a239 a240 a241 a242 a243a9 a39 a68 a96 a123 a149 a174 a198 a221 0 a244 a245 a246 a247 a248 a249 a250 a251 a252 a253 a254 a255 a256 a257 a258 a259 a260 a261 a262 a263 a264 a265a10 a40 a69 a97 a124 a150 a175 a199 a222 a244 0 a266 a267 a268 a269 a270 a271 a272 a273 a274 a275 a276 a277 a278 a279 a280 a281 a282 a283 a284 a285 a286a11 a41 a70 a98 a125 a151 a176 a200 a223 a245 a266 0 a287 a288 a289 a290 a291 a292 a293 a294 a295 a296 a297 a298 a299 a300 a301 a302 a303 a304 a305 a306a12 a42 a71 a99 a126 a152 a177 a201 a224 a246 a267 a287 0 a307 a308 a309 a310 a311 a312 a313 a314 a315 a316 a317 a318 a319 a320 a321 a322 a323 a324 a325a13 a43 a72 a100 a127 a153 a178 a202 a225 a247 a268 a288 a307 0 a326 a327 a328 a329 a330 a331 a332 a333 a334 a335 a336 a337 a338 a339 a340 a341 a342 a343a14 a44 a73 a101 a128 a154 a179 a203 a226 a248 a269 a289 a308 a326 0 a344 a345 a346 a347 a348 a349 a350 a351 a352 a353 a354 a355 a356 a357 a358 a359 a360a15 a45 a74 a102 a129 a155 a180 a204 a227 a249 a270 a290 a309 a327 a344 0 a361 a362 a363 a364 a365 a366 a367 a368 a369 a370 a371 a372 a373 a374 a375 a376a16 a46 a75 a103 a130 a156 a181 a205 a228 a250 a271 a291 a310 a328 a345 a361 0 a377 a378 a379 a380 a381 a382 a383 a384 a385 a386 a387 a388 a389 a390 a391a17 a47 a76 a104 a131 a157 a182 a206 a229 a251 a272 a292 a311 a329 a346 a362 a377 0 a392 a393 a394 a395 a396 a397 a398 a399 a400 a401 a402 a403 a404 a405a18 a48 a77 a105 a132 a158 a183 a207 a230 a252 a273 a293 a312 a330 a347 a363 a378 a392 0 a406 a407 a408 a409 a410 a411 a412 a413 a414 a415 a416 a417 a418a19 a49 a78 a106 a133 a159 a184 a208 a231 a253 a274 a294 a313 a331 a348 a364 a379 a393 a406 0 a419 a420 a421 a422 a423 a424 a425 a426 a427 a428 a429 a430a20 a50 a79 a107 a134 a160 a185 a209 a232 a254 a275 a295 a314 a332 a349 a365 a380 a394 a407 a419 0 a431 a432 a433 a434 a435 a436 a437 a438 a439 a440 a441a21 a51 a80 a108 a135 a161 a186 a210 a233 a255 a276 a296 a315 a333 a350 a366 a381 a395 a408 a420 a431 0 a442 a443 a444 a445 a446 a447 a448 a449 a450 a451a22 a52 a81 a109 a136 a162 a187 a211 a234 a256 a277 a297 a316 a334 a351 a367 a382 a396 a409 a421 a432 a442 0 a452 a453 a454 a455 a456 a457 a458 a459 a460a23 a53 a82 a110 a137 a163 a188 a212 a235 a257 a278 a298 a317 a335 a352 a368 a383 a397 a410 a422 a433 a443 a452 0 a461 a462 a463 a464 a465 a466 a467 a468a24 a54 a83 a111 a138 a164 a189 a213 a236 a258 a279 a299 a318 a336 a353 a369 a384 a398 a411 a423 a434 a444 a453 a461 0 a469 a470 a471 a472 a473 a474 a475a25 a55 a84 a112 a139 a165 a190 a214 a237 a259 a280 a300 a319 a337 a354 a370 a385 a399 a412 a424 a435 a445 a454 a462 a469 0 a476 a477 a478 a479 a480 a481a26 a56 a85 a113 a140 a166 a191 a215 a238 a260 a281 a301 a320 a338 a355 a371 a386 a400 a413 a425 a436 a446 a455 a463 a470 a476 0 a482 a483 a484 a485 a486a27 a57 a86 a114 a141 a167 a192 a216 a239 a261 a282 a302 a321 a339 a356 a372 a387 a401 a414 a426 a437 a447 a456 a464 a471 a477 a482 0 a487 a488 a489 a490a28 a58 a87 a115 a142 a168 a193 a217 a240 a262 a283 a303 a322 a340 a357 a373 a388 a402 a415 a427 a438 a448 a457 a465 a472 a478 a483 a487 0 a491 a492 a493a29 a59 a88 a116 a143 a169 a194 a218 a241 a263 a284 a304 a323 a341 a358 a374 a389 a403 a416 a428 a439 a449 a458 a466 a473 a479 a484 a488 a491 0 a494 a495a30 a60 a89 a117 a144 a170 a195 a219 a242 a264 a285 a305 a324 a342 a359 a375 a390 a404 a417 a429 a440 a450 a459 a467 a474 a480 a485 a489 a492 a494 0 a496a31 a61 a90 a118 a145 a171 a196 a220 a243 a265 a286 a306 a325 a343 a360 a376 a391 a405 a418 a430 a441 a451 a460 a468 a475 a481 a486 a490 a493 a495 a496 0

donde el propósito de presentar esta salida es mostrar el tipo de álgebra con la queestamos trabajando, siendo consciente de la imposibilidad de apreciar gran detalle.

Probamos con el primer elemento de la base y entonces


v1 b1

v2 b496

v3 b491

v4 b482

v5 b469

v6 b452

v7 b431

v8 b406

v9 b377

v10 b344

v11 b307

v12 b266

v13 b221

v14 b172

v15 b119

v16 b62


necesitando

Sesión II 59

In[33]:= [email protected]±3600DOut[33]= 1.98098

expresado en horas.

Álgebra de Lie sl n

El segundo ejemplo que vamos a analizar es el de las álgebras de Lie sl(n)formada por las matrices reales M cuadradas de orden n de traza nula. Definimosel comando siguiente que define una base para estas álgebras en la forma:

In[11]:= Basedesl@t_D : ModuleA8k 1<, n t2 1;

Table@0, 8i, 1, t<, 8j, 1, t<D;Do@m ; mPp, qT 1; Fp,q m, 8q, 1, t<, 8p, 1, t<D;Do@Do@If@p q, bk Fp,q; k k 1D, 8q, 1, t<D, 8p, 1, t<D;Do@bk F1,1 Fp,p; k k 1, 8p, 2, t<D;Escalar@x_, y_D : ă

i 1

t ăj 1

t


n

ai bi;Edonde redefinimos el producto escalar y, claro está, un elemento genérico deno-tado por X . Utilizamos un nuevo nombre para la rutina que haga referencia alálgebra que estamos utilizando. Así tenemos

In[12]:= RangoDesl@t_, dat_D : ModuleA8<, datos dat;


IfAIndepen@v, rD 1 && Conmuta@v, rD 1 && Estrella@v, rD 1,

conjunto NucleoAd@v1, b, nD; If@r 1,

Do@conjunto Cap@conjunto, NucleoAd@vi, b,

Y Ąk 1


i 1

n





Veamos el resultado sobre algunas álgebras. En sl(3), de dimensión 32 1 8, obtenemos una base haciendo

In[13]:= Basedesl@3D;y entonces un elemento cualquiera de esta álgebra será de la forma

In[14]:= X

Out[14]=

a7 a8 a1 a2

a3 a7 a4

a5 a6 a8

Si usamos el primer elemento de la base, b1 , obtenemos

In[15]:= RangoDesl@3, 8b1<DMal


Esto se debe a que

In[17]:= c@b1, Transpose@b1DDOut[17]=

1 0 00 1 00 0 0

y debería conmutar con su traspuesta. Así lo indica la rutina generando como salida "Mal" ya que no es posible incluir a este elemento en una subálgebra de Cartan de sl(3). En cambio, con b8 si es posible, tal y como se comprueba en

In[19]:= RangoDesl@3, 8b8<DEl rango es 2, y una subálgebra de Cartan:

v1 b8

v2 b7 b82


y por tanto el rango es 2 y una base de una subálgebra de Cartan es

In[22]:= 99b8, b7b8

2==

Out[22]=

1 0 00 0 00 0 1

12 0 00 1 0

0 0 12

Sesión II 61

En sl(4) obtenemos una base con el comando Basedesl[4]:

In[23]:= Basedesl@4D;con un elemento genérico

In[24]:= X

Out[24]=

a13 a14 a15 a1 a2 a3

a4 a13 a5 a6

a7 a8 a14 a9

a10 a11 a12 a15

Cálculemos una subálgebra de Cartan que contenga a b13 . Para ello

In[26]:= RangoDesl@4, 8b13<DEl rango es 3, y una subálgebra de Cartan:

v1 b13

v2 b14 b15

v3 b13 b14 b15


obteniéndo que el rango es 3 con la subálgebra de Cartan generada por

In[27]:= 88b13, b14 b15, b13 b14 b15<<Out[27]=

1 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Estudiando sl(5) podemos determinar el rango incluyendo en una subálgebra deCartan los elementos b21 y b22 . En primer lugar, definimos una base de dichaálgebra

In[28]:= Basedesl@5D;con un elemento genérico

In[29]:= X

Out[29]=

a21 a22 a23 a24 a1 a2 a3 a4

a5 a21 a6 a7 a8

a9 a10 a22 a11 a12

a13 a14 a15 a23 a16

a17 a18 a19 a20 a24

Efectuamos entonces


In[30]:= RangoDesl@5, 8b21, b22<DEl rango es 4, y una subálgebra de Cartan:

v1 b21

v2 b22

v3 b23 b24

v4 b21 b22 3 b23

2

3 b24

2


para obtener que el rango es cuatro y la subálgebra de Cartan correspondiente.

Álgebra de Lie 2

Estudiaremos a continuación el álgebra de las derivaciones de octoniones realesde división. El siguiente comando define la base de esta álgebra que se obtuvo enel Capítulo 1. Dicho comando es

In[10]:= Basedeg2 : ModuleA8<,n 14; t 8; Table@0, 8i, 1, t<, 8j, 1, t<D;Do@m ; mPp, qT 1; Fp,q m, 8q, 1, t<, 8p, 1, t<D;Do@Jp,q Fp,q Fq,p, 8p, 1, t<, 8q, 1, t<D;b1 J2,3 J6,7; b2 J2,4 J6,8; b3 J2,5 J7,4;

b4 J2,6 J8,4; b5 J2,7 J4,5; b6 J2,8 J4,6;

b7 J3,4 J7,8; b8 J3,5 J4,6; b9 J3,6 J5,4;

b10 J3,7 J8,4; b11 J3,8 J4,7; b12 J5,6 J7,8;

b13 J5,7 J8,6; b14 J5,8 J6,7;

Escalar@x_, y_D : ăi 1

t ăj 1

t


n

ai bi;Ey así recordamos que un elemento cualquiera es, después de hacer

In[11]:= Basedeg2

de la forma

Sesión II 63

In[12]:= X

Out[12]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 a1 a2 a3 a4 a5 a6

0 a1 0 a7 a8 a9 a10 a11

0 a2 a7 0 a5 a9 a6 a8 a11 a3 a4 a10

0 a3 a8 a9 a5 0 a12 a13 a14

0 a4 a9 a6 a8 a12 0 a1 a14 a2 a13

0 a5 a10 a3 a11 a13 a1 a14 0 a7 a12

0 a6 a11 a4 a10 a14 a13 a2 a7 a12 0

Entonces renombramos el comando y definimos

In[13]:= RangoDeg2@dat_D : ModuleA8<,datos dat;


IfAIndepen@v, rD 1 && Conmuta@v, rD 1 && Estrella@v, rDconjunto NucleoAd@v1, b, nD;

If@r 1, Do@conjunto Cap@conjunto, NucleoAd@vY Ą

k 1


i 1

n

conjuntoPk, iT bi;While@Maximal@v, r, b, nD 0, r r 1; Añadir@r, v, b, nDD;Print@"El rango es ", r, ",", " y una subálgebra de Cartan:"D;Do@combina Solve@vq XD;

Print@HHoldForm@vDLq, " ",

Sum@Hap ±±. combina@@1DDL HHoldForm@bDLp, 8p, 1, n<Print@MalDEEE

Podemos usar el primer elemento de la base de 2 para obtener que el rango es 2. En efecto

In[15]:= RangoDeg2@8b1<DEl rango es 2, y una subálgebra de Cartan:

v1 b1

v2 b4 b10


Podemos probar con una combinación de elementos básicos para obtener


In[16]:= RangoDeg2@85 b5 b1<DEl rango es 2, y una subálgebra de Cartan:

v1 b1 5 b5

v2 75 b1

23 5 b5

260 b9

23


así como probar con dos de ellos

In[24]:= RangoDeg2@8b4, b10<DEl rango es 2, y una subálgebra de Cartan:

v1 b4

v2 b10


Álgebra de Lie split 2

En la sesión dedicada a los modelos algebraicos en física de partículas, uno delos modelos que se presentó fue el álgebra de Lie split 2 . Esta álgebra es laformada por las derivaciones de octoniones split, para la que se determinó, en elCapítulo 1, una base. Dicha base se define en el siguiente comando

In[25]:= BaseDeSplitg2 : ModuleA8<,n 14; t 8; Table@0, 8i, 1, t<, 8j, 1, t<D;Do@m ; mPp, qT 1; Fp,q m, 8q, 1, t<, 8p, 1, t<D;Do@Jp,q Fp,q Fq,p; Zp,q Fp,q Fq,p, 8p, 1, t<, 8q, 1, t<D;b1 J2,3 J7,6; b2 J4,2 J6,8; b3 Z2,5 Z4,7;

b4 Z2,6 Z4,8; b5 Z2,7 Z4,5; b6 Z2,8 Z4,6;

b7 J3,4 J7,8; b8 Z3,5 Z4,6; b9 Z3,6 Z4,5;

b10 Z3,7 Z4,8; b11 Z3,8 Z4,7; b12 J6,5 J7,8;

b13 J5,7 J6,8; b14 J5,8 J7,6;


t ăj 1

t


n

ai bi;Edonde haciendo

In[28]:= BaseDeSplitg2

tenemos que un elemento genérico dicha álgebra es de la forma

Sesión II 65

In[29]:= X

Out[29]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 a1 a2 a3 a4 a5 a6

0 a1 0 a7 a8 a9 a10 a11

0 a2 a7 0 a9 a5 a6 a8 a3 a11 a4 a10

0 a3 a8 a9 a5 0 a12 a13 a14

0 a4 a9 a6 a8 a12 0 a1 a14 a2 a13

0 a5 a10 a3 a11 a13 a14 a1 0 a7 a12

0 a6 a11 a4 a10 a14 a2 a13 a12 a7 0

Definimos entonces el comando RangoDeSplitg2

In[31]:= RangoDeSplitg2@dat_D : ModuleA8<,datos dat;



If@r 1, Do@conjunto Cap@conjunto, NucleoAd@vi, b,

Y Ąk 1


i 1

n

conjuntoPk, iT bi;While@Maximal@v, r, b, nD 0, r r 1; Añadir@r, v, b, nDD;Print@"El rango es ", r, ",", " y una subálgebra de Cartan:"D;Do@combina Solve@vq XD;

Print@HHoldForm@vDLq, " ",

Sum@Hap ±±. combina@@1DDL HHoldForm@bDLp, 8p, 1, n<DD,8q, 1, r<D, Print@MalDEEEpara comprobar que el rango de esta álgebra es también 2. Así tenemos por ejemplo

In[33]:= RangoDeSplitg2@8b1 b2<DEl rango es 2, y una subálgebra de Cartan:

v1 b1 b2

v2 2 b4 b10 3 b11


Si probamos con el elemento b1 b5 obtenemos


In[35]:= RangoDeSplitg2@8b1 b5<DMal

Out[35]= 0. Second, Null

ya que

In[36]:= c@b1 b5, Transpose@b1 b5DDOut[36]=

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

y esta matriz debería ser nula ya que el elemento elegido debería conmutar consigomismo. Con b1 por ejemplo se tiene

In[40]:= RangoDeSplitg2@8b1<DEl rango es 2, y una subálgebra de Cartan:

v1 b1

v2 b4 b10


En la sesión antes mencionada, probamos directamente que la subálgebra generadapor b4 y b10 era una subálgebra de Cartan. Usando nuestra rutina tenemos que

In[41]:= RangoDeSplitg2@8b4, b10<DEl rango es 2, y una subálgebra de Cartan:

v1 b4

v2 b10


lo que confirma nuestros cálculos.

Álgebra so(4,4)so(2,2)

Como último ejemplo aplicaremos la rutina al segundo modelo que hemosutilizado para describir todos los quarks que existen. Dicha álgebra eraso(4,4)so(2,2). Definimos una base haciendo

Sesión II 67

In[42]:= Table@0, 8i, 1, 12<, 8j, 1, 12<D;Do@m ; mPp, qT 1; Fp,q m, 8q, 1, 12<, 8p, 1, 12<D;Do@Jp,q Fp,q Fq,p; Zp,q Fp,q Fq,p, 8p, 1, 12<, 8q, 1, 12<D;todos 8Z1,5, Z1,6, Z1,7, Z1,8, Z2,5, Z2,6, Z2,7, Z2,8, Z3,5,

Z3,6, Z3,7, Z3,8, Z4,5, Z4,6, Z4,7, Z4,8, J1,2, J1,3,

J1,4, J2,3, J2,4, J3,4, J5,6, J5,7, J5,8, J6,7, J6,8,

J7,8, J9,10, J11,12, Z9,11, Z9,12, Z10,11, Z10,12<;n Length@todosD;t 12; Do@bi todos@@iDD, 8i, 1, Length@todosD<D;


t ăj 1

t


n

ai bi;

y por tanto un elemento cualquiera de dicha álgebra es de la forma

In[43]:= X

Out[43]=

0 a17 a18 a19 a1 a2 a3 a4 0 0 0 0a17 0 a20 a21 a5 a6 a7 a8 0 0 0 0a18 a20 0 a22 a9 a10 a11 a12 0 0 0 0a19 a21 a22 0 a13 a14 a15 a16 0 0 0 0

a1 a5 a9 a13 0 a23 a24 a25 0 0 0 0a2 a6 a10 a14 a23 0 a26 a27 0 0 0 0a3 a7 a11 a15 a24 a26 0 a28 0 0 0 0a4 a8 a12 a16 a25 a27 a28 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 a29 a31 a32

0 0 0 0 0 0 0 0 a29 0 a33 a34

0 0 0 0 0 0 0 0 a31 a33 0 a30

0 0 0 0 0 0 0 0 a32 a34 a30 0

Llamamos entonces Rango al comando que albergará los cálculos y así


In[45]:= Rango@dat_D : ModuleA8<, datos dat;



If@r 1, Do@conjunto Cap@conjunto, NucleoAd@vY Ą

k 1


i 1

n




Usamos dos de los elementos de la subálgebra de Cartan que ya hemos utilizadopara demostrar que esta álgebra tiene rango 6 para tener

In[48]:= Rango@8b1, b6<DEl rango es 6, y una subálgebra de Cartan:

v1 b1

v2 b6

v3 b34

v4 b31

v5 b16

v6 b11


Podemos probar introduciendo tres elementos para observar que, además deconseguir minimizar las variables que se tienen que obtener en los cálculosinternos de la rutina, también obtenemos una disminución en el tiempo de cálculo.En efecto, tenemos

Sesión II 69

In[49]:= Rango@8b1, b6, b11<DEl rango es 6, y una subálgebra de Cartan:

v1 b1

v2 b6

v3 b11

v4 b34

v5 b31

v6 b16



71 CAP¶³TULO 2. TEOREMA DE CARTAN-JACOBSON

Cap¶³tulo 2

Teorema deCartan-Jacobson

x2.1 Resultados previos

En cualquier ¶algebra no necesariamente asociativa A podemos de¯nir el cor-chete [x; y] := xy ¡ yx para cualesquiera x; y 2 A. Asimismo, se de¯nen losoperadores de multiplicaci¶on a derecha e izquierda, denotados por Rx y Lxrespectivamente, con x 2 A, de¯nidos por Rx(y) := yx y Lx(y) := xy paratodo y 2 A. El operador ad(x) con x 2 A se de¯ne como ad(x)(y) := [x; y]para todo y 2 A, es decir, ad(x) := Lx ¡ Rx. Se de¯ne el asociador como(x; y; z) := (xy)z ¡ x(yz); 8x; y;2 A. Evidentemente en un ¶algebra asociativa(x; y; z) = 0; 8x; y; z 2 A.La condici¶on que se utiliza para de¯nir el concepto de derivaci¶on D(xy) =

D(x)y + xD(y) es equivalente a [D;Lx] = LD(x) y tambi¶en a [D;Rx] = RD(x)ya que

[D;Lx](y) = D(Lx(y))¡ Lx(D(y)) = D(xy)¡ xD(y) = D(x)y = LD(x)(y)y tambi¶en

[D;Rx](y) = D(Rx(y))¡Rx(D(y)) = D(yx)¡D(y)x = yD(x) = RD(x)(y):Sea C un ¶algebra alternativa, es decir, que veri¯ca las igualdades

x2y = x(xy); 8x; y 2 C;yx2 = (yx)x; 8x; y 2 C:

Si se linealizan estas identidades se obtiene

(a; b; y) + (b; a; y) = 0; 8a; b; y 2 C: (2.1)


72 SECCI ¶ON 2.2. MATRICES DE ZORN: CASO SPLIT

De igual forma,(y; a; b) + (y; b; a) = 0; 8a; b; y 2 C: (2.2)

Si en las identidades alternativas sustituimos x por x+y obtenemos (y; x; y) = 0para todos x; y 2 C. Luego si C es un ¶algebra alternativa, tambi¶en ser¶a un¶algebra °exible. La identidad °exible puede linealizarse sustituyendo y pora+b para obtener (ax)b+(bx)a = a(xb)+b(xa); 8a; b; x 2 C; o bien, en funci¶ondel asociador

(a; x; b) + (b; x; a) = 0; 8a; b; y 2 C: (2.3)

Mencionemos en esta secci¶on el teorema que ser¶a objeto de nuestro estudio.

Teorema 2.1 ([42],Cartan-Jacobson)Sea C un ¶algebra de Cayley sobre un cuerpo de caracter¶³stica distinta de 2 y 3.Entonces el ¶algebra de derivaciones de C es un ¶algebra de Lie 14-dimensionalcentral simple (de tipo G).

x2.2 Matrices de Zorn: caso split

Supongamos que C es una F -¶algebra de Cayley split. Entonces C es isomorfaal ¶algebra de Matrices de Zorn: sea F un cuerpo y consideremos, dados dosvectores (u1; u2; u3) y (v1; v2; v3) en F

3, el producto escalar

< (u1; u2; u3); (v1; v2; v3) >:= u1v1 + u2v2 + u3v3

y el producto vectorial

(u1; u2; u3)£ (v1; v2; v3) := (u2v3 ¡ u3v2; u3v1 ¡ u1v3; u1v2 ¡ u2v1):

Sea Os el conjunto de las matrices de la forma

µa uv b

¶donde a y b son

elementos del cuerpo y u; v 2 F 3. Estas matrices son las llamadas Matricesde Zorn. El conjunto Os posee estructura de espacio vectorial sobre F bajo lasuma y multiplicaci¶on por escalares por componentes. Si de¯nimos el productode dos matrices de Zorn de la formaµ

a uv b

¶¢µa0 u0

v0 b0

¶:=

µaa0+ < u; v0 > au0 + b0u¡ v £ v0a0v + bv0 + u£ u0 < v; u0 > +bb0

¶;

conseguimos una estructura de ¶algebra con elemento unidad la matriz de Zorn

1 :=

µ1 (0; 0; 0)

(0; 0; 0) 1

¶:

Dicha ¶algebra es de hecho una ¶algebra de composici¶on con la involuci¶on

x =

µa uv b

¶7! x

µb ¡u¡v a

¶; x 2 Os;



y la forma cuadr¶atica q(x) := xx.La base can¶onica de Os es fe1; e2; u1; u2; u3; v1; v2; v3g y viene dada por

e1 :=

µ1 (0; 0; 0)

(0; 0; 0) 0

¶; e2 :=

µ0 (0; 0; 0)

(0; 0; 0) 1

¶;

ui :=

µ0 ci

(0; 0; 0) 0

¶; vi :=

µ0 (0; 0; 0)ci 0

¶; i = 1; 2; 3;

donde fc1; c2; c3g es la base can¶onica de F 3. La tabla de multiplicar de dicha¶algebra puede verse en la Tabla 2.1.

¢ e1 e2 u1 u2 u3 v1 v2 v3e1 e1 0 u1 u2 u3 0 0 0e2 0 e2 0 0 0 v1 v2 v3u1 0 u1 0 v3 ¡v2 e1 0 0u2 0 u2 ¡v3 0 v1 0 e1 0u3 0 u3 v2 ¡v1 0 0 0 e1v1 v1 0 e2 0 0 0 ¡u3 u2v2 v2 0 0 e2 0 u3 0 ¡u1v3 v3 0 0 0 e2 ¡u2 u1 0

Tabla 2.1: Tabla de multiplicar de las matrices de Zorn.

Consideremos a continuaci¶on el ¶algebra de derivaciones de las matrices deZorn. Gracias a que disponemos de la tabla de multiplicar determinaremos lamatriz gen¶erica de una derivaci¶on de Os. En efecto, sea D una tal derivaci¶on

y supongamos que D(e1) :=

µa1 x1y1 b1

¶2 Os. Como e1 es un idempotente se

sigue que D(e1) = D(e1)e1+ e1D(e1) y, calculando ambos lados de la igualdad,se tiene que a1 = b1 = 0. En la Sesi¶on III se obtiene que la matriz de cualquierderivaci¶on de Os es de la forma0BBBBBBBBB@

0 0 u11 u12 u13 v11 v12 v130 0 ¡u11 ¡u12 ¡u13 ¡v11 ¡v12 ¡v13

¡v11 v11 u31 u32 u33 0 u13 ¡u12¡v12 v12 u41 u41 u43 ¡u13 0 u11¡v13 v13 u51 u52 ¡u31¡u42 u12 ¡u11 0¡u11 u11 0 v13 ¡v12 ¡u31 ¡u41 ¡u51¡u12 u12 ¡v13 0 v11 ¡u32 ¡u42 ¡u52¡u13 u13 v12 ¡v11 0 ¡u33 ¡u43 u31+u42

1CCCCCCCCCA(2.4)

donde uij y vij , son 14 escalares arbitrarios del cuerpo base F . Podemos en-tonces construir una base de Der(Os) denotada por fxi : i = 1; : : : ; 14g dondexi se obtiene haciendo unos y ceros en la expresi¶on matricial (2.4) de una deri-vaci¶on general, construyendo la tabla de multiplicar (Sesi¶on III) de Der(Os)obteni¶endose la Tabla (2.2) que puede verse al ¯nal del cap¶³tulo.



La determinaci¶on de la matriz gen¶erica (2.4) y la Tabla 2.2 nos permite elestudio de la simplicidad de Der(Os) de un modo muy directo. En primerlugar de¯nimos los comandos que necesitaremos para dicho estudio. El prime-ro de ellos, carack, permite obtener la versi¶on de una expresi¶on en cualquiercaracter¶³stica. Despu¶es, sobre matrices, utilizaremos el comando Map, conprofundidad 2, para obtener su versi¶on en caracter¶³stica k.

carack [a + b ] := carack[a] + carack[b];carack [a ¤ b ] := carack[a] ¤ carack[b];carack [n Integer] :=Mod[n; k]; carack [x ] := x;

El comando Reconoce expresa una derivaci¶on cualquiera como combinaci¶onlineal de los elementos b¶asicos fxig14i=1. Para ello reconoce las entradas escalaresen el lugar correspondiente que di¶o origen a la determinaci¶on de la base

Reconoce[m ] :=Module[fg;¸1 = m[[1; 3]]; ¸2 = m[[1; 4]]; ¸3 = m[[1; 5]];¸4 = m[[3; 3]]; ¸5 = m[[3; 4]]; ¸6 = m[[3; 5]];¸7 = m[[4; 3]]; ¸8 = m[[4; 4]]; ¸9 = m[[4; 5]];¸10 = m[[5; 3]]; ¸11 = m[[5; 4]]; ¸12 = m[[1; 6]];¸13 = m[[1; 7]];¸14 = m[[1; 8]];Sum[¸i ¤ (HoldForm[x])i; fi; 14g]]

El siguiente comando elimina los ceros, tanto escalares como matriciales, en unalista dada

SinCeros[lis ] :=Module[fg;nueva = fg;Do[If [Not[lis[[i]] === 0 ¤ lis[[i]]];AppendTo[nueva; lis[[i]]]];fi;Length[lis]g]; nueva]

Para expresar un elemento deDer(Os) en coordenadas introducimos el comandoCoordenadas

Coordenadas[y ] :=Module[fg; coo := Array[aa; 14];Do[aa[i] = Coe±cient[y; (HoldForm[x])i]; fi; 14g];coo]



El comando inverso de Coordenadas es el comando Combina: dadas las 14coordenadas, expresa el elemento como combinaci¶on expl¶³cita de los de la base

Combina[lis ] :=Module[fg;Sum[lis[[i]] ¤ (HoldForm[x])i; fi; 14g]]

Tomemos entonces el primer elemento de la base, x1, y determinemos el idealque genera. Para ello, en primer lugar, realizamos los corchetes de x1 con losde la base, es decir, [x1; xi]. Usamos la variable lista en la que almacenaremoslas derivaciones obtenidas. El c¶alculo es

lista = fg; Do[AppendTo[lista; c[x1; xi]]; fi; 14g]

Eliminamos las matrices nulas y reconocemos los elementos mediante la combi-naci¶on

nivel1 = SinCeros[Map[Reconoce; lista]]

para obtener el conjunto

nivel1 = fx1; x2; x3; 2x4 ¡ x8; 3x7; 3x10; 2x13;¡2x14g; carac(F ) == 2; 3:

El n¶umero de elementos linealmente independientes del conjunto anterior de-pende de la caracter¶³stica del cuerpo base. Si no es ni 2 ni 3, el conjunto tienerango 8. Si la caracter¶³stica es 2, el conjunto queda, despu¶es de ejecutar

SinCeros[Map[carac2; nivel1; 1]]

reducido a

fx1; x2; x3; x8; x7; x10g; carac(F ) = 2:Si por el contrario la caracter¶³stica del cuerpo es 3, efectuamos las ¶ordenes

SinCeros[Map[carac3; nivel1; 1]]



para obtener el conjunto

fx1; x2; x3; 2x4 + 2x8; 2x13; x14g; carac(F ) = 3:

Ahora realizamos corchetes [x; xi] con x en el conjunto nivel1 para obtener elconjunto nivel2

nivel2 = nivel1; lista = ReleaseHold[nivel1];Do[AppendTo[nivel2;Reconoce[c[ReleaseHold[nivel1[[j]]]; xi]]];fi; 14g; fj;Length[nivel1]g]

Eliminando los ceros de nivel2 obtenemos el conjunto

f¡2x14; 2x13; x1; x2; x3; 2x4 ¡ x8; 3x7; 3x10; 6x10;¡6x7;2x14;¡2x13;¡2x1; 6x11; 2x4 ¡ 4x8;¡2x14; 2x12; x2;

¡3x1;¡2x4 ¡ 2x8;¡6x9; 2x13;¡2x12; x3;¡3x1;¡2x14; x1;¡x3; 3x7; 6x10;¡2x12; x2; 3x5;¡3x4 + 3x8; 3x11; 2x12; x3;3x6; 3x9;¡3x4; x1;¡3x7;¡2x14;¡2x13; x2;¡x3;¡3x7;

3x10; 2x13; x3;¡3x7; x1;¡3x10;¡2x14; x2;¡3x10; 4x2; 4x3;2x4 ¡ x8; 3x5; 3x6; 2x12; 3x13; 3x14;¡4x1; 3x7;¡x4 + 2x8;

3x9;¡x13;¡4x1; 3x10; 3x11;¡x4 ¡ x8;¡x14g

Si la caracter¶³stica no es ni 2 ni 3, dicho conjunto tiene rango 14 (localizandotodos los xj), coincidiendo por tanto con toda el ¶algebra. Por tanto, fuera decaractrer¶³stica 2 y 3, el ideal generado por x1 es Der(Os). Veamos qu¶e ocurreen caracter¶³stica 2. Para ello la cadena de comandos

SinCeros[RowReduce[Map[Coordenadas;SinCeros[nivel2]];Modulus! 2]]

proporciona la salida



0BBBBBBBBBBBBBBBBBBB@

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

;

que despu¶es de efectuar

Map[Combina;%; 1]

se transforma en el conjunto

fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10; x11; x13; x14g:

Como [x5; x13] = x12 (v¶ease la Tabla 2.2), resulta que tambi¶en en caracter¶³stica2 el ideal generado por x1 es el total. Abusando de la Tabla 2.2 se compruebaque x1 est¶a en el ideal generado por los dem¶as elementos b¶asicos xj . Por tantoideal < x1 >½ ideal < xj >; 8j, y as¶³ el ideal generado por xj es siempre todoel ¶algebra fuera de caracter¶³stica 3.

Podemos de¯nir un comando, siguiendo los pasos ya realizados, que calculeel ideal generado por un elemento y su dimensi¶on en una caracter¶³stica concreta.Dicho comando es el siguiente:



IdealGenerado[lis ; car ] :=Module[fk; idealg;ideal =Map[combina;SinCeros[RowReduce[Map[Coordenadas;Map[Reconoce; lis]];Modulus! car]]];Print["Profundidad = "; 0; "! "; ideal]; dim[0] = 0;dim[1] = 1; k = 1;While[dim[k] < 14&&dim[k] == dim[k ¡ 1]; conj = ideal;k = k + 1;Do[AppendTo[ideal;Reconoce[c[ReleaseHold[conj[[j]]]; xi]]];fi; 14g; fj;Length[conj]g];ideal =Map[Combina;SinCeros[RowReduce[Map[Coordenadas; ideal];Modulus! car]]];Print["Profundidad = "; k ¡ 1; "! "; ideal]dim[k] = Length[ideal]];Print["Ideal < ";Map[Reconoce; lis]; " >= "; ideal;"con"; "dimensi¶on = "; dim[k]]]

En cada paso, el comando va realizando corchetes y obteniendo una cadena desubconjuntos de tal forma que si su rango se estabiliza alcanzamos un idealpropio o en caso contrario el ideal coincide con todo el ¶algebra. La cadena deinclusiones, si x es el elemento de generar¶a el ideal, en la que se basa el comandoes de la forma

fxg½Profundidad=1

#f[x; xi]g52i=1½

Profundidad=2

#f[[x; xi]; xj ]g52i;j=1½

Profundidad=3

#f[[[x; xi]; xj ]; xk]g52i;j;k=1 : : : ½Der(Os)

donde en cada paso se a~nade el conjunto anterior, es decir, los corchetes de pro-fundidad una unidad menos. Veamos con la ayuda del comando IdealGenera-do los ideales principales del ¶algebra en el caso de caracter¶³stica 2. Comenzandocon la derivaci¶on x1 efectuamos

IdealGenerado[fx1g; 2]

para obtener la cadena de subconjuntos, seg¶un la profundidad en el orden delos corchetes que se indica,



Profundidad = 0 ! fx1gProfundidad = 1 ! fx1; x2; x3; x7; x8; x10gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;

; x11; x13; x14gProfundidad = 3 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;

x11; x12; x13; x14gIdeal < fx1g > = fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;

x11; x12; x13; x14g con dimensi¶on = 14

coincidiendo con los razonamientos y c¶alculos ya realizados. Si procedemosde igual forma con el resto de las derivaciones xj de la base obtenemos quelos ideales generados por ellos son siempre el total, tal y como ya hab¶³amosdemostrado. La salida obtenida despu¶es de efectuar

Do[IdealGenerado[fxig; 2]; fi; 2; 14g]

es





Profundidad = 0 ! fx3gProfundidad = 1 ! fx1; x2; x3; x4 + x8; x6; x9gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;




Profundidad = 0 ! fx4gProfundidad = 1 ! fx1; x3; x4; x5; x7; x9; x11; x12; x14gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;

; x11; x12; x13; x14gIdeal < fx4g > = fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;




Profundidad = 0 ! fx5gProfundidad = 1 ! fx2; x4 + x8; x5; x6; x11; x12gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x8; x9; x10;

; x11; x12; x13; x14gProfundidad = 3 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;







Profundidad = 0 ! fx7gProfundidad = 1 ! fx1; x4 + x8; x7; x9; x10; x13gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x6; x7; x8; x9; x10; x11;




Profundidad = 0 ! fx8gProfundidad = 1 ! fx2; x3; x5; x6; x7; x8; x10; x13; x14gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;

























Profundidad = 0 ! fx14gProfundidad = 1 ! fx4 + x8; x10; x11; x12; x13; x14gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10; x11;






Nos queda un ¶ultimo razonamiento para concluir la simplicidad fuera decaracter¶³stica 3. Sea X 2 Der(Os). Veremos a continuaci¶on que siempre esposible, mediante la realizaci¶on de corchetes de Lie (de profundidad no superiora 3), obtener un m¶ultiplo no nulo de un elemento b¶asico xj . Esta a¯rma-ci¶on se probar¶a en el pr¶oximo lema. Entonces ideal < xj >½ ideal < X >,pero como el ideal generado por cualquier xj es todo el ¶algebra, tendremosque el ideal generado por cualquier elemento X es el total. Por tanto, como[Der(Os); Der(Os)] 6= f0g, se tiene que el ¶algebra de derivaciones de Os essimple si la caracter¶³stica del cuerpo no es 3.

Lema 2.2Sea Der(Os) el ¶algebra de derivaciones de las matrices de Zorn sobre un cuerpoF de cualquier caracter¶³stica y fxig14i=1 la base ya obtenida. Entonces dada Xuna derivaci¶on no nula cualquiera de Der(Os) existe un escalar no nulo ¹ 2 Ftal que

[[[X;xi]; xj ]; xk] = ¹xl;

para ciertos xi; xj ; xk y xl, siendo en la mayor¶³a de los casos su¯ciente con doscorchetes e incluso con uno para obtener un m¶ultiplo de la base.

Demostraci¶on:Denotemos por X un elemento cualquiera de Der(Os) como en (2.4). Si

efectuamos los siguientes corchetes obtenemos u33x1:

c[c[c[X;x1]; x4]; x10] == u33 ¤ x1;

True

es decir, obtenemos un m¶ultiplo de x1. Si u33 no es cero, entonces ideal <x1 >½ ideal < X >. Como ideal < x1 >= Der(Os) el ideal generado por X estodo el ¶algebra. Si por el contrario u33 = 0, es decir,

X = X==:fu33 ! 0g

la cadena de corchetes es

c[c[X;x7]; x10] == ¡u32 ¤ x10;

True

Entonces si u32 6= 0 el ideal generado por x10, el total, est¶a incluido en elideal generado por X (con u33 = 0), luego es el total. Siguiendo con esta



idea, los siguientes c¶alculos terminan por probar la simplicidad del ¶algebra sila caracter¶³stica no es 3. Obs¶ervese que los m¶ultiplos de las igualdades quese obtienen sirven en cualquier caracter¶³stica por lo que tambi¶en las usaremosposteriormente en caracter¶³stica 2. Las mencionadas cuentas aparecen de formaesquem¶atica en la Figura 2.1.¥Ahora es sencillo extender el resultado fuera del caso split en caracter¶³stica

distinta de 3. Sea C una ¶algebra de Cayley sobre un cuerpo F . Podemosconsiderar el ¶algebra CK := C K, donde K es un cuerpo algebraicamentecerrado extensi¶on de F , manteniendo la misma caracter¶³stica. Entonces CK essplit y por tanto su ¶algebra de derivaciones es simple ya que CK »= Os. SiDer(C) no fuese simple, es decir, si existiese un ideal propio no nulo I suyo,podr¶³amos tomar el correspondiente ideal propio I K en Der(CK), llegandoa negar la simplicidad de CK .

Veamos con detalle el caso que nos resta, es decir, supongamos que el cuerpoF es de caracter¶³stica 3. Utilizaremos el comando IdealGenerado para calcularlos ideales generados por los elementos b¶asicos en caracter¶³stica 3. En efecto

Do[IdealGenerado[fxig; 3]; fi; 1; 14g]

para obter las salidas

Profundidad = 0 ! fx1gProfundidad = 1 ! fx1; x2; x3; x4 + x8; x13; x14gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4 + x8; x12; x13; x14gProfundidad = 3 ! fx1; x2; x3; x4 + x8; x12; x13; x14gIdeal < fx1g > = fx1; x2; x3; x4 + x8; x12; x13; x14g

con dimensi¶on = 7


con dimensi¶on = 7


con dimensi¶on = 7



X 2 DerOs?

[[[X;x1]; x4]; x10] = u33x1©©©©¼

HHHHju33 == 0 u33 = 0

ideal < x1 >½ ideal < X >©©¼

ideal < X >= Der(Os)

[[X;x7]; x10] = ¡u32x10©©©©¼

HHHHju32 = 0 u32 == 0

ideal < x10 >½ ideal < X >HHj


[[X;x7]; x9] = ¡u52x7©©©©¼

HHHHju52 == 0 u52 = 0



[[X;x4]; x7] = v11x13©©©©¼

HHHHjv11 = 0 v11 == 0



[[X;x6]; x9] = ¡u51x9©©©©¼

HHHHju51 == 0 u51 = 0



[[X;x4]; x9] = ¡v13x13©©©©¼

HHHHjv13 = 0 v13 == 0



[[X;x5]; x6] = ¡u41x6©©©©¼

HHHHju41 == 0 u41 = 0



[[X;x4]; x6] = u11x3©©©©¼

HHHHju11 = 0 u11 == 0



[[X;x4]; x5] = u43x6©©©©¼

HHHHju43 == 0 u43 = 0



[X;x4] = ¡u13x3©©©©¼

HHHHju13 = 0 u13 == 0



[[X;x2]; x8] = ¡u42x2©©©©¼

HHHHju42 == 0 u42 = 0



[[X;x2]; x1] = ¡v12x1©©©©¼

HHHHjv12 = 0 v12 == 0



[X;x5] = u31x5©©©©¼

HHHHju31 == 0 u31 = 0



X = u12x2

Figura 2.1: Cadena de igualdades del Lema 2.2.



Profundidad = 0 ! fx4gProfundidad = 1 ! fx1; x3; x4; x5; x6; x7; x9; x10; x11; x12; x14gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;


x11; x12; x13; x14gcon dimensi¶on = 14

Profundidad = 0 ! fx5gProfundidad = 1 ! fx2; x4 + 2x8; x5; x6; x11; x12gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;






Profundidad = 0 ! fx7gProfundidad = 1 ! fx1; x4 + 2x8; x7; x9; x10; x13gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;



Profundidad = 0 ! fx8gProfundidad = 1 ! fx2; x3; x5; x6; x7; x8; x9; x10; x11; x13; x14gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10;














Profundidad = 0 ! fx12gProfundidad = 1 ! fx2; x3; x4 + x8; x12; x13; x14gProfundidad = 2 ! fx1; x2; x3; x4 + x8; x12; x13; x14gProfundidad = 3 ! fx1; x2; x3; x4 + x8; x12; x13; x14gIdeal < fx12g > = fx1; x2; x3; x4 + x8; x12; x13; x14g

con dimensi¶on = 7


con dimensi¶on = 7


con dimensi¶on = 7



Analizando estas salidas observamos que los ideales generados por los ele-mentos b¶asicos

x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10 y x11

son siempre todo el ¶algebra. En cambio los ideales generados por

x1; x2; x3; x12; x13 y x14

son ideales propios de dimensi¶on 7. Acabamos de demostrar que el ¶algebra dederivaciones de las matrices de Zorn (caso split) no es simple en caracter¶³stica3. Mas a¶un, puede comprobarse en las salidas anteriores que el ideal propio essiempre el mismo, es decir,

I =< fx1; x2; x3; x4 + x8; x12; x13; x14g > : (2.5)

Usemos a continuaci¶on el Lema 2.2 v¶alido en cualquier caracter¶³stica. Siemprees posible entonces obtener, mediante corchetes, un m¶ultiplo no nulo de unaderivaci¶on de la base y por tanto, el ideal I est¶a contenido en cualquier otroideal no nulo de Der(Os). Esto signi¯ca que I es un ideal minimal (¶unico) deDer(Os).Por otro lado, la expresi¶on matricial (2.4) permite observar (en la pr¶oxima

secci¶on le sacaremos mucha punta a esta expresi¶on) que el ¶algebra Der(Os) pue-de descomponerse en la forma Der(Os) = D0©M donde D0 son las derivacionesde la forma

0BBBBBBBBBBBBBB@

0 00 0

0 0

0u31 u32 u33u41 u42 u43u51 u52 ¡u31¡u42

0

0 0¡u31 ¡u41 ¡u51¡u32 ¡u42 ¡u52¡u33 ¡u43 u31+u42

1CCCCCCCCCCCCCCA(2.6)

donde u31; u32; u33; u41; u42; u43; u51 y u52 son escalares arbitrarios de F . Esta¶algebra resultar¶a ser isomorfa a sl(3; F ), que en caracter¶³stica 3 no es simple1.Podemos entonces considerar el rombo

Der(Os)% -

D0 I- %

D0 \ I1En efecto, podemos considerar el ideal generado por la identidad.



ya que D0 + I = Der(Os) por razones dimensionales. Por tanto

Der(Os)=I »= D0=D0 \ I:

Precisemos este cociente. Para ello veamos D0 en t¶erminos de los elementosb¶asicos xj . Usamos el comando Reconoce aplicado a la matriz gen¶erica conlas restricciones necesarias que nos dan la base de D0:

Reconoce[DerOs==:fu31 ! 1; ui ! 0; vj ! 0g]








y se tiene que

D0 =< x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10; x11 > :

Esto nos permite concluir, teniendo en cuenta que I est¶a dada por (2.5), que

D0 \ I =< x4 + x8 > :

Pero

x4 + x8 =

0BBBBBBBBB@

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 ¡2 0 0 00 0 0 0 0 ¡1 0 00 0 0 0 0 0 ¡1 00 0 0 0 0 0 0 2

1CCCCCCCCCA;



y en caracter¶³stica 3:

x4 + x8 =

0BBBBBBBBB@

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 2

1CCCCCCCCCA:

Por tanto D0 \ I =< x4 + x8 >»= F ¢ I y entonces

Der(Os)=I »= D0=D0 \ I »= sl(3; F )=F ¢ Id »= psl(3; F ):

Esta ¶ultima ¶algebra es simple y por tanto I es maximal. Concluimos entoncesque I es el ¶unico ideal propio no nulo de Der(Os).

En este caso no podemos utilizar un razonamiento similar al ya esgrimidopara concluir la no simplicidad en el caso no split. Este ser¶a uno de los prop¶ositosde la pr¶oxima secci¶on adem¶as de precisar un poco m¶as sobre la existencia delcitado ideal.

Resumiendo el estudio de Der(Os) podemos enunciar:

Teorema 2.3Sea Der(Os) el ¶algebra de Lie de las derivaciones de las matrices de Zorn sobreun cuerpo F . Entonces la matriz de cualquier derivaci¶on de Der(Os) es de laforma (2.4), su tabla de multiplicar con respecto a la base fxig14i=1 es la dada enla Tabla 2.2 y

1. Si la caracter¶³stica de F no es 3, dicha ¶algebra es simple, admitiendo unadescomposici¶on del tipo

Der(Os) = D0 ©M;

con D0, v¶ease (2.6), una sub¶algebra de Lie simple isomorfa a sl(3; F ).

2. Si la caracter¶³stica de F es 3, dicha ¶algebra no es simple, existiendo un¶unico ideal propio no nulo I dado por (2.5).

Y como corolario

Corolario 2.4Sea Der(C) el ¶algebra de derivaciones de un ¶algebra de Cayley C sobre uncuerpo F de caracter¶³stica distinta de 3. Entonces Der(C) es un ¶algebra dedimensi¶on 14 central simple (tipo G).


90 SECCI ¶ON 2.3. CASO GENERAL

x2.3 Caso general

En esta secci¶on vamos a dar una demostraci¶on de los resultados anteriores algom¶as general, pues no necesitaremos trabajar en el caso split. El siguiente lemapermitir¶a encontrarnos de nuevo, como veremos posteriormente, con el ideal Ide la secci¶on anterior.

Lema 2.5Sea C un ¶algebra de Cayley sobre un cuerpo arbitrario F . De¯namos

Dx;y := [Lx; Ly] + [Lx; Ry] + [Rx; Ry];

para todos x; y 2 C. Entonces el subespacio vectorial generado por el conjuntofDx;y : x; y 2 Cg es un ideal de DerC.Demostraci¶on:Para todos a; x; y 2 C se tiene que (a; x; y) = ¡(x; a; y) usando (2.1). En-

tonces

La(xy) = a(xy) = (ax)y ¡ (a; x; y) = (ax)y + (x; a; y) == (ax)y + (xa)y ¡ x(ay) = (ax+ xa)y ¡ x(ay) == Ta(x)y ¡ xLa(b);

donde Ta := La +Ra. Asimismo (x; y; a) = ¡(x; a; y) usando (2.2) y por tantoRa(xy) = x(ya) + (x; y; a) = x(ya)¡ (x; a; y) =

= (ya)¡ (xa)y + x(ay) == xTa(y)¡Ra(x)y:

Se tiene entonces

[La; Lb](xy) = La(Lb(xy))¡ Lb(La(xy)) == La(Tb(x)y ¡ xLb(y))¡ Lb(Ta(x)y ¡ xLa(y)) == La(Tb(x))y ¡ La(xLb(y))¡ Lb(Ta(x)y + Lb(xLa(y)) == Ta(Tb(x))y ¡ Tb(x)La(y)¡ Ta(x)Lb(y) + xLa(Lb(x))¡¡ Tb(Ta(x))y + Ta(x)Lb(y) + Tb(x)La(y)¡ xLb(La(y)) == ([Ta; Tb](x))y + x([La; Lb](y);

es decir,

[La; Lb](xy) = ([Ta; Tb](x))y + x([La; Lb](y)): (2.7)

De igual forma

[La; Rb](xy) = La(Rb(xy))¡Rb(La(xy)) == La(xTb(y)¡Rb(x)y)¡Rb(Ta(x)y ¡ xLa(y)) == La(xTb(y))¡ La(Rb(x)y)¡Rb((Ta(x)y) +Rb(xLa(y) == Ta(x)Tb(y)¡ xLa(Tb(y))¡ Ta(Rb(x))y +Rb(x)La(y)¡¡ Ta(x)Tb(y) +Rb(Ta(x))y + xTb(La(y))¡Rb(x)La(y) == ¡([Ta; Rb](x))y ¡ x([La; Tb](y);



obteni¶endose

[La; Rb](xy) = ¡([Ta; Rb](x))y ¡ x([La; Tb](y): (2.8)

Por ¶ultimo,

[Ra; Rb](xy) = Ra(Rb(xy)¡ Rb(Ra(xy)) == Ra(xTb(y)¡Rb(x)y)¡Rb(xTa(y)¡Ra(x)y) == Ra(xTb(y))¡Ra(Rb(x)y)¡Rb(xTa(y)) +Rb(Ra(x)y) == xTa(Tb(y))¡Ra(x)Tb(y)¡Rb(x)Ta(y) +Ra(Rb(x))y ¡¡ xTb(Ta(y)) +Rb(x)Ta(y) +Ra(x)Tb(y)¡Rb(Ra(x))y == ([Ra; Rb](x))y + x([Ta; Tb](y));

por tanto tenemos que

[Ra; Rb](xy) = ([Ra; Rb](x))y + x([Ta; Tb](y)): (2.9)

Utilizando la linealizaci¶on de la identidad °exible (2.3) se tiene que [Ra; Lb] =[La; Rb] y sumando las igualdades (2.7), (2.8) y (2.9) se tiene que

Da;b(xy) = [La; Lb](xy) + [La; Rb](xy) + [Ra; Rb](xy) =

= ([Ta; Tb(x))y + x([La; Lb](y))¡ ([Ta; Rb](x))y ¡¡ x([La; Tb](y)) + ([Ra; Rb](x))y + x([Ta; Tb](y)) =

= ([La +Ra; Lb +Rb](x))y + x[La; Lb](y))¡¡ ([La +Ra; Rb](x))y ¡ x([La; Lb +Rb](y)) + ([Ra; Rb](x))y ++ x([La +Ra; Lb +Rb](y)) = ([La; Lb](x) + [La; Rb](x) +

+ [Ra; Lb](x) + [Ra; Rb](x))y + x([La; Lb](y))¡ ([La; Rb](x) ++ [Ra; Rb](x))y ¡ x([La; Lb](y) + [La; Rb](y)) ++ ([Ra; Rb](x))y + x([La; Lb](y) + [La; Rb](y) + [Ra; Lb](y) +

+ [Ra; Rb](y)) = ([La; Lb](x))y + (

[La;Rb]z }| {[Ra; Lb](x))y +

+ ([Ra; Rb](x))y + x([La; Lb](y)) + x([Ra; Lb]| {z }[La;Rb]

(y)) +

+ x([Ra; Rb](y)) = Da;b(x)y + xDa;b(y);

es decir, Da;b(xy) = Da;b(x)y + xDa;b(y); 8x; y 2 C; y por tanto Da;b es unaderivaci¶on de C para cualesquiera a; b 2 C.Usando la condici¶on de derivaci¶on de la p¶agina 71 en t¶erminos de los operadoresLx y Rx y la identidad de Jacobi tenemos que para todo D 2 Der(C)[D;Da;b] = [D; [La; Lb]] + [D; [La; Rb]] + [D; [Ra; Rb]] =

= ¡[La; [Lb; D]]¡ [Lb; [D;La]]¡ [La; [Rb; D]]¡ [Rb; [D;La]]¡¡ [Ra; [Rb; D]]¡ [Rb; [D;Ra]] = [La; LD(b)]¡ [Lb; LD(a)] +



+ [La; RD(b)]¡ [Rb; LD(a)] + [Ra; RD(b)]¡ [Rb; RD(a)] == [La; LD(b)] + [La; RD(b)] + [Ra; RD(b)] + [LD(a); Rb] +

+ [RD(a); Rb] = Da;D(b) +DD(a);b;

para todos a; b 2 C. Es decir, el subespacio vectorial generado por los Da;b, cona; b 2 C, es un ideal de Der(C), teni¶endose la igualdad

[D;Da;b] = Da;D(b) +DD(a);b; 8a; b 2 C: (2.10)

¥

Sea C un ¶algebra de Cayley split. Tenemos la descomposici¶on de Peirce

C = (Fe1 © Fe2)| {z }C0

©C1z}|{U © V|{z}

C2

donde U es el subespacio vectorial generado por fu1; u2; u3g y V es el generadopor fv1; v2; v3g donde se utiliza la notaci¶on de la secci¶on anterior. Esta descom-posici¶on no es sino una Z3-graduaci¶on sobre C que induce la correspondienteZ3-graduaci¶on en Der(C). Dicha Z3-graduaci¶on se puede escribir de la forma

Der(C) = D0 ©D1 ©D2

donde

Di = fD 2 Der(C) : D(xj) 2 C(i+j)mod 3; 8xj 2 Cjg:As¶³ se tiene que

D0=fD 2 Der(C) : D(xj) 2 Cj ; 8xj 2 Cjg ==fD 2 Der(C) : D(C0) ½ C0; D(C1) ½ C1 y D(C2) ½ C2g; (2.11)

D1=fD 2 Der(C) : D(xj) 2 C(1+j)mod 3; 8xj 2 Cjg ==fD 2 Der(C) : D(C0) ½ C1; D(C1) ½ C2 y D(C2) ½ C0g; (2.12)

y

D2=fD 2 Der(C) : D(xj) 2 C(2+j)mod 3; 8xj 2 Cjg ==fD 2 Der(C) : D(C0) ½ C2; D(C1) ½ C0 y D(C2) ½ C1g: (2.13)

Esta Z3-graduaci¶on en Der(C) puede caracterizarse si usamos la matrizgen¶erica (2.4) de un elemento cualquiera de Der(Os). En efecto, si D0 est¶acaracterizado por la igualdad (2.11) no tenemos m¶as que observar la matriz(2.4) para deducir que las matrices de D0 son de la forma



0BBBBBBBBBBBBBB@

0 00 0

0 0

0u31 u32 u33u41 u42 u43u51 u52 ¡u31¡u42

0

0 0¡u31 ¡u41 ¡u51¡u32 ¡u42 ¡u52¡u33 ¡u43 u31+u42

1CCCCCCCCCCCCCCA(2.14)

donde u31; u32; u33; u41; u42; u43; u51 y u52 son escalares arbitrarios de F . Deigual forma, dadas las expresiones (2.12) y (2.13) para D1 y D2 respectivamente,podemos concluir que los elementos de D1 son matrices de la forma

0BBBBBBBBBBBB@

0u11 u12 u13¡u11 ¡u12 ¡u13 0

0 00 u13 ¡u12

¡u13 0 u11u12 ¡u11 0

¡u11 u11¡u12 u12¡u13 u13

0 0

1CCCCCCCCCCCCA(2.15)

donde u11; u12 y u13 son escalares arbitrarios de F , y que los de D2 de la forma

0BBBBBBBBBBBB@

0 0v11 v12 v13¡v11 ¡v12 ¡v13

¡v11 v11¡v12 v12¡v13 v13

0 0

00 v13 ¡v12

¡v13 0 v11v12 ¡v11 0

0

1CCCCCCCCCCCCA(2.16)

donde v11; v12 y v13 son escalares arbitrarios de F . Probaremos a continuaci¶onla siguiente proposici¶on:

Proposici¶on 2.6Si C es una F -¶algebra de Cayley split, entonces, siguiendo la notaci¶on previa,

1. dimD0 = 8, D0 »= sl(3; F ) y cualquier elemento de D0 es de la forma(2.14).



2. D1 = lin < De1;u : u 2 U >, dimD1 = 3 y cualquier elemento de D1 es dela forma (2.15).

3. D2 = lin < De2;v : v 2 V >, dimD2 = 3 y cualquier elemento de D2 es dela forma (2.16).

Adem¶as dimDer(C) = 14 y cualquier derivaci¶on en Der(C) es interna. Si lacaracter¶³stica de F no es 3, entonces Der(C) = lin < Dx;y : x; y 2 C >.

Demostraci¶on:

Al estar en el caso split podemos utilizar la matriz gen¶erica 2.4 y las carac-terizaciones de D0, D1 y D2 dadas en (2.11), (2.12) y (2.13).Centr¶emonos en D0. Sea q la norma en C y d una derivaci¶on cualquiera

de D0. Entonces d(e1) = d(e2) = 0, sin m¶as que observar la expresi¶on general(2.14). En primer lugar Fei 2 U? \ V ?. En efecto, observando la Tabla 2.1:

si u 2 U : q(e1; u) = e1u+ ue1 = ¡e1u+ ue2 = ¡u+ u = 0;q(e2; u) = e2u+ ue2 = ¡e2u+ ue1 = 0 + 0 = 0;

si v 2 V : q(e1; v) = e1v + ve1 = ¡e1v + ve2 = 0 + 0 = 0;q(e2; v) = e2v + ve2 = ¡e2v + ve1 = ¡v + v = 0:

Sean z1 = ¸e1+¹e2+x y z2 = ®e1+¯e2+y dos elementos de C con x; y 2 U+V .Entonces se tiene que

q(d(z1); z2) + q(z1; d(z2)) =

= q(d(x); ®e1 + ¯e2 + y) + q(¸e1 + ¹e2 + x; d(y)) =

= q(d(x); y) + q(x; d(y)) = d(x)y + yd(x) + xd(y) + d(y)x =

= d(x)y + yd(x) + xd(y) + d(y)x = d(xy + yx) = d(q(x; y)) = 0:

En particular q(d(ui); vj) + q(ui; d(vj)) = 0 para todos i; j = 1; 2; 3. Por tanto,si la matriz de d 2 D0 en la base fe1; e2; u1; u2; u3; v1; v2; v3g es de la forma0@ 0

AB

1A se tiene que A = ¡Bt. Podemos precisar incluso un poco

m¶as sobre dicha matriz. Consideremos la forma trilineal f : (a; b; c) 7! q(a; bc).Entonces resulta ser alternada en U , es decir,

1. q(a; bc) = ¡q(a; cb);2. q(a; bc) = ¡q(b; ac);

3. q(a; bc) = ¡q(c; ba);para todos a; b; c 2 U . En efecto, como las relaciones de multiplicaci¶on en Uson u2i = 0, u1u2 = ¡u2u1 y u1u3 = ¡u3u1, claramente q(a; bc) = ¡q(a; cb),



8a; b; c 2 U . Por otro lado, como la conjugaci¶on en U se reduce a un cambio designo, se tiene que

q(a; bc) = q(bc; a) = (bc)a+ a(bc) = ¡(bc)a+ a(cb);y por otro lado

¡q(b; ac) = q(b; ac) = b(ac) + (ac)b = b(ca) + (ac)b = ¡b(ca) + (ac)b:Usando la linealizaci¶on de la identidad °exible, se tiene la igualdad de los dosresultados anteriores y por tanto q(a; bc) = ¡q(b; ac); 8a; b; c 2 U . Por ¶ultimoq(a; bc) = ¡q(a; cb) = q(c; ab) = ¡q(c; ba), 8a; b; c 2 U , donde se han usado lasrelaciones de multiplicaci¶on en U y una de las relaciones ya obtenida.Entonces como q(d(a); bc) + q(a; d(bc)) = 0 se tiene que

q(d(a); bc) + q(a; d(b)c) + q(a; bd(c)) = 0

y por tanto2

0 = f(djU (a); b; c) + f(a; djU (b); c) + f(a; b; djU (c)) = Tr(djU )f(a; b; c);para todos a; b; c 2 U , de donde se deduce que Tr(djU ) = 0 y as¶³ Tr(djU ) =Tr(A) = 0. Podemos por tanto construir un monomor¯smo de ¶algebras de Lie : D0 ! sl(3; F ) dado por (d) := A. Para observar que este monomor¯smoes de hecho un isomor¯smo es su¯ciente observar que

1. Para i 6= j, con i; j 2 f1; 2; 3g, la aplicaci¶on dij : C ! C de¯nida por

dij(up) := ±ipuj ; dij(vq) := ¡±jqvi y dij(ek) := 0; 8k;siendo ±kl la funci¶on delta de KrÄonecker, es un elemento de D0.

2. El conjunto de todos los (dij), con i 6= j, genera sl(3; F ) como ¶algebrade Lie.

En efecto, las aplicaciones dij con i 6= j y con i; j 2 f1; 2; 3g son

d12=

0BBBBBBB@

00 1 00 0 00 0 0

0 0 0¡1 0 00 0 0

1CCCCCCCA; d13=

0BBBBBBB@

00 0 10 0 00 0 0

0 0 00 0 0¡1 0 0

1CCCCCCCA

d21=

0BBBBBBB@

00 0 01 0 00 0 0

0 ¡1 00 0 00 0 0

1CCCCCCCA; d23=

0BBBBBBB@

00 0 00 0 10 0 0

0 0 00 0 00 ¡1 0

1CCCCCCCA2N¶otese que se puede restringir d a U por la propia de¯nici¶on de D0.



d31=

0BBBBBBB@

00 0 00 0 01 0 0

0 0 ¡10 0 00 0 0

1CCCCCCCA; d32=

0BBBBBBB@

00 0 00 0 00 1 0

0 0 00 0 ¡10 0 0

1CCCCCCCA:

Ahora bien, el conjunto f(dij)gi 6=j , es decir, el conjunto

f0@ 0 1 00 0 00 0 0

1A ;0@ 0 0 10 0 00 0 0

1A ;0@ 0 0 01 0 00 0 0

1A ;

;

0@ 0 0 00 0 10 0 0

1A ;0@ 0 0 00 0 01 0 0

1A ;0@ 0 0 00 0 00 1 0

1Ag;genera sl(3; F ) como ¶algebra de Lie.

A continuaci¶on comprobaremos, con la ayuda del programa Mathematica,

1. Dui;vj = 3dij para i 6= j, luego si la caracter¶³stica del cuerpo base noes 3, resulta que D0 coincide con el subespacio vectorial generado por elconjunto fDx;y : x 2 U; y 2 V g.

2. Siendo la caracter¶³stica arbitraria, que dij = ¡[Luj ; Rvi ] y por tanto cual-quier derivaci¶on es interna, seg¶un la de¯nici¶on de [42, p¶agina 21], es decir,pertenece a la sub¶algebra generada por los corchetes de los operadores aizquierda y a derecha.

Para veri¯car estas identidades de¯nimos los comandos y funciones siguientes:

vec[fx ; y ; z g; fa ; b ; c g] := fyc¡ zb; za¡ xc; xb¡ yag;esc[fx ; y ; z g; fa ; b ; c g] := xa+ yb+ zc;prod[

µ® xy ¯

¶;

µ° zt ±

¶] :=µ

®° + esc[x; t] ®z + ±x¡ vec[y; t]°y + ¯t+ vec[x; z] ¯± + esc[y; z]

¶±i ;j := If [i == j; 1; 0]; c[x ; y ] := x:y ¡ y:x;

la base de C usando las matrices de Zorn (al estar en el caso split)



e1 :=

µ1 f0; 0; 0g

f0; 0; 0g 0

¶; e2 :=

µ0 f0; 0; 0g

f0; 0; 0g 1

¶;

u1 :=

µ0 f1; 0; 0g

f0; 0; 0g 0

¶; u2 :=

µ0 f0; 1; 0g

f0; 0; 0g 0

¶;

u3 :=

µ0 f0; 0; 1g

f0; 0; 0g 0

¶; v1 :=

µ0 f0; 0; 0g

f1; 0; 0g 0

¶;

v2 :=

µ0 f0; 0; 0g

f0; 1; 0g 0

¶; v3 :=

µ0 f0; 0; 0g

f0; 0; 1g 0

¶

y los operadores a izquierda y a derecha y las derivaciones Dx;y del Lema 2.5:

Lx [y ] := prod[x; y];Rx [y ] := prod[y; x];

Dx ;y [z ]:=Lx[Ly[z]]¡Ly[Lx[z]]+Lx[Ry[z]]¡Ry[Lx[z]]++Rx[Ry[z]]¡Ry[Rx[z]]

A continuaci¶on las derivaciones dij, donde se ha utilizado el comando Hold-Form para que Mathematica no eval¶ue:

di ;j [HoldForm[up ]] := ±i;puj ; di ;j [HoldForm[vq ]] := ¡±j;qvi;di ;j [HoldForm[ek ]] := 0 ¤ e1;

De¯nimos la base del ¶algebra de Cayley. Para ello usamos tambi¶en el comandoHoldForm para despu¶es recorrer sus elementos:

Base =fHoldForm[e1];HoldForm[e2];HoldForm[u1];HoldForm[u2];HoldForm[u3];HoldForm[v1];HoldForm[v2];HoldForm[v3]g;

Estamos ya en disposici¶on de comprobar las identidades anteriores. En primerlugar veamos que Dui;vj = 3dij para i 6= j. Usando el comando ReleaseHold,que permite la evaluaci¶on, utilizamos la rutina

Do[If [i 6= j;Do[If [Dui;vj [ReleaseHold[Base[[k]]]] == 3dj;i[Base[[k]]];Print["Falsa"];Abort[ ]]fk; 1; 8g]]; fi; 1; 3g; fj; 1; 3g];Print["Verdadera"]



obteni¶endose la salida Verdadera. En segundo lugar probaremos que dij =¡[Luj ; Rvi ] para i == j. La rutina es

Do[If [i == j;Do[If [¡Luj [Rvi [ReleaseHold[Base[[k]]]]]++Rvi [Luj [ReleaseHold[Base[[k]]]]] == di;j[Base[[k]]];Print["Falsa"];Abort[]]; fk; 1; 8g]]; fi; 1; 3g; fj; 1; 3g];Print["Verdadera"]

obteni¶endose la salida Verdadera.Veamos por ¶ultimo D1 y D2. Podemos considerar la aplicaci¶on lineal 1 :

D1 ! U dada por 1(d) := d(e2), es decir, el monomor¯smo que se ilustra acontinuaci¶on:

0BBBBBBBBBBBB@

0u11 u12 u13¡u11 ¡u12 ¡u13 0

0 00 u13 ¡u12

¡u13 0 u11u12 ¡u11 0

¡u11 u11¡u12 u12¡u13 u13

0 0

1CCCCCCCCCCCCA7!

3Xj=1

u1juj :

Adem¶as se tiene la siguiente serie de igualdades, que se pueden comprobarsencillamente con las de¯niciones ya realizadas con Mathematica:

De1;ui(e1) = ¡ui; i = 1; 2; 3:De1;ui(e2) = ui; i = 1; 2; 3: (2.17)

De1;u1(u1) = 0; De1;u2(u1) = v3; De1;u3(u1) = ¡v2;De1;u1(u2) = ¡v3; De1;u2(u2) = 0; De1;u3(u2) = v1;

De1;u1(u3) = v2; De1;u2(u3) = ¡v1; De1;u3(u3) = 0 (2.18)

De1;ui(vj) = ±ij(e1 ¡ e2); 8i; j = 1; 2; 3: (2.19)

Estas igualdades demuestran que De1;u es un derivaci¶on de D1 para todo u 2U ya que las identidades (2.17) prueban que De1;u(C0) ½ C1, 8u 2 U , lasidentidades (2.18) que De1;u(C1) ½ C2, 8u 2 U , y por ¶ultimo las identidades



(2.19) que De1;u(C2) ½ C0, 8u 2 U . Adem¶as prueban que 1 es de hechoun isomor¯smo. Tenemos entonces que D1 = lin < De1;u : u 2 U > y quedim(D1) = dimU = 3.Podemos tambi¶en de¯nir un monomor¯smo 2 : D2 ! V dado por 2(d) :=

d(e1), ilustrado a continuaci¶on

0BBBBBBBBBBBB@

0 0v11 v12 v13¡v11 ¡v12 ¡v13

¡v11 v11¡v12 v12¡v13 v13

0 0

00 v13 ¡v12

¡v13 0 v11v12 ¡v11 0

0

1CCCCCCCCCCCCA7!

3Xj=1

v1jvj :

Al igual que comprobamos para D1, se tienen las siguientes identidades:

De2;vi(e1) = vi; i = 1; 2; 3:

De2;vi(e2) = ¡vi; i = 1; 2; 3: (2.20)

De2;vi(uj) = ±ij(e2 ¡ e1); 8i; j = 1; 2; 3: (2.21)

De2;v1(v1) = 0; De2;v2(v1) = ¡u3; De2;v3(v1) = u2;

De2;v1(v2) = u3; De2;v2(v2) = 0; De2;v3(v2) = ¡u1;De2;v1(v3) = ¡u2; De2;v2(v3) = u1; De2;v3(v3) = 0 (2.22)

Se deduce entonces que De2;v es un derivaci¶on de D2 para todo v 2 V ya quelas identidades (2.20) prueban que De2;v(C0) ½ C2, 8v 2 V , las identidades(2.21) que De2;v(C1) ½ C0, 8v 2 V , y por ¶ultimo las identidades (2.22) queDe2;v(C2) ½ C1, 8v 2 V , y adem¶as prueban que 2 es un isomor¯smo. Se tieneentonces que D2 = lin < De2;v : v 2 V > y que dim(D2) = dimV = 3. Para¯nalizar tenemos que

dimDer(C) =

dimsl(3;F )z }| {dimD0 +dimD1 + dimD2 = 8 + 3 + 3 = 14: ¥

Lema 2.7Sea F un cuerpo de caracter¶³stica 3 y K una extensi¶on separable de F de grado2 tal que K = F [a] con a2 = ¡® == 0; ® 2 F . Sea W un K-m¶odulo librede dimensi¶on 3 con base B = fa1; a2; a3g. Sea ¾ : W £W ! K una formahermitiana no degenerada cuya matriz respecto a la base B es diagf®1; ®2; ®3gcon ®i 2 F . Entonces:



1. Para todo Á en el ¶algebra de Lie

su(W;¾) := f' 2 Endk(W ) : ¾('(w1); w2) + ¾(w1; '(w2)) = 0y Tr(') = 0; 8w1; w2 2Wg

se tiene que(ad(Á))3 = ¡Tr(Á2)ad(Á): (2.23)

2. Para todo Á 2 su(W;¾) existe un ¸ 2 F tal que la matriz de Á + ¸aIrelativa a la base B es 0@ ax ®2y3 ®3y2

¡®1y3 ¡ax ®3y1¡®1y2 ¡®2y1 0

1Acon x 2 F; y1; y2; y3 2 K donde yi = pi + qia, para pi; qi 2 F , y dondey 7! y denota el F -automor¯smo no trivial de K. M¶as a¶un:

Tr(Á2) = ®x2 + ®2®3(y1y1) + ®1®3(y2y2) + ®1®2(y3y3) =

= ®x2 + ®2®3(p21 + q

21®) + ®1®3(p

22 + q

22®) + ®1®2(p

23 + q

23®):

Demostraci¶on:

Sea Á 2 su(W;¾). Por el Teorema de Cayley-HamiltonÁ3 +Tr(Á2)Á¡ detÁI = 0: (2.24)

En primer lugar:

[[x; y]; y] = [xy ¡ yx; y] = (xy ¡ yx)y ¡ y(xy ¡ yx) == xy2 ¡ yxy ¡ yxy + y2x = xy2 ¡ 2yxy + y2x:

Y al estar en caracter¶³stica 3

[[[x; y]; y]; y] = [xy2 ¡ 2yxy + y2x; y] == (xy2 ¡ 2yxy + y2x)y ¡ y(xy2 ¡ 2yxy + y2x) == xy3 ¡ 2(yxy)y + (y2x)y ¡ y(xy2) + 2y(yxy) ++ 2y(yxy)¡ y3x = xy3 ¡ y3x¡ 3yxy2| {z }

0

+3y2xy| {z }0

=

= [x; y3];

es decir, (ad(y))3 = ad(y3). Por tanto

(ad(Á))3 = ad(Á3)

(2:24)

#= ¡Tr(Á2)ad(Á):

Para el segundo apartado calcularemos en primer lugar la matriz de unÁ 2 su(W;¾) respecto a la base B = fa1; a2; a3g. Para ello supongamos que



Á(a1) = Á11a1 + Á12a2 + Á13a3;

Á(a2) = Á21a1 + Á22a2 + Á23a3;

Á(a3) = Á31a1 + Á32a2 + Á33a3;

donde Áij 2 K: Usando la de¯nici¶on de su(W;¾) se tiene que¾(Á(a1); a1) + ¾(a1; Á(a1)) = 0;

luego

¾(Á11a1 + Á12a2 + Á13a3; a1) + ¾(a1; Á11a1 + Á12a2 + Á13a3) = 0;

y como ¾(ai; aj) = ±ij®i se tiene que

Á11®1 + Á11®1 = 0 ) (Á11 + Á11)®1 = 0:

Como ¾ es no degenerada se tiene que Á11 = ¡Á11. Entonces, como la conjuga-ci¶on en K = F [a] est¶a dada por p+ qa := p¡ qa podemos escribir

Á11 = ax1 con x1 2 F: (2.25)

De igual modo¾(Á(a1); a2) + ¾(a1; Á(a2)) = 0;

luegoÁ12®2 + Á21®1 = 0;

y as¶³

Á12 = ¡®1®2Á21: (2.26)

Tambi¶en¾(Á(a1); a3) + ¾(a1; Á(a3)) = 0;

yÁ13®3 + Á31®1 = 0;

luego

Á13 = ¡®1®3Á31: (2.27)

Como¾(Á(a2); a2) + ¾(a2; Á(a2)) = 0;

tenemosÁ22®2 + Á22®2 = 0 ) (Á22 + Á22)®2 = 0:

Entonces Á22 = ¡Á22. Al igual que con Á11 podemos escribirÁ22 = ax2 con x2 2 F: (2.28)



Finalizando, tenemos que

¾(Á(a2); a3) + ¾(a2; Á(a3)) = 0;

llegando aÁ23®3 + Á32®2 = 0;

luego

Á23 = ¡®2®3Á32: (2.29)

Por ¶ultimo¾(Á(a3); a3) + ¾(a3; Á(a3)) = 0;

teniendo queÁ33®3 + Á33®3 = 0 ) (Á33 + Á33)®3 = 0:

Entonces Á33 = ¡Á33. Podemos escribir por tantoÁ33 = ax3 con x3 2 F:

Como la traza de Á es cero, resulta que

Á33 = ¡a(x1 + x2): (2.30)

Podemos entonces suponer que

Á32 := ®3y1;

Á31 := ®3y2;

Á21 := ®2y3;

con yi := pi + qia con pi; qi 2 F . Recopilando las igualdades (2.25)-(2.30) y lasanteriores de¯niciones podemos concluir que la matriz de cualquier Á 2 su(W;¾)es de la forma 0@ ax1 ¡®1y3 ¡®1y2

®2y3 ax2 ¡®2y1®3y2 ®3y1 ¡a(x1 + x2)

1A : (2.31)

De cara a plantearnos la existencia del escalar ¸ del enunciado tendremosen primer lugar que probar que Á+ ¸aI es un elemento de su(W;¾). Para ellon¶otese que

Tr(Á+ ¸aI) = TrÁ+ ¸aTrI = 0 + 0 = 0;

ya que la traza de la identidad es cero en caracter¶³stica 3. Por otro lado

¾((Á+ ¸aI)(w1); w2) + ¾(w1; (Á+ ¸aI)(w2)) =

= ¾(Á(w1) + ¸aw1; w2) + ¾(w1; Á(w2) + ¸aw2) =

= ¾(Á(w1); w2) + ¾(¸aw1; w2) + ¾(w1; Á(w2)) + ¾(w1; ¸aw2) =

= ¸a¾(w1; w2) + ¸a|{z}¡¸a

¾(w1; w2) = 0;



donde se ha utilizado que ¾(Á(w1); w2)+¾(w1; Á(w2)) = 0 por ser Á 2 su(W;¾).Tenemos entonces probado que Á + ¸aI 2 su(W;¾). Si tomamos ¸ := x1 + x2entonces la matriz de Á+ ¸aI con respecto a la base B es0@ ax ¡®1y3 ¡®1y2

®2y3 ¡ax ¡®2y1®3y2 ®3y1 0

1A ;donde hemos de¯nido x := x2¡ x1. El cuadrado de dicha matriz es de la forma0@¤ ¢ ¢

¢ 4 ¢¢ ¢ °

1Acon

¤ = a2x2 ¡ ®1®2y3y3 ¡ ®1®3y2y2;4 = a2x2 ¡ ®1®2y3y3 ¡ ®2®3y1y1 y

° = ¡®1®3y2y2 ¡ ®2®3y1y1:

Entonces

Tr(Á2) = ¤+4+° = 2

¡®ka2 x2 ¡ 2®2®3y1y1 ¡ 2®1®3y2y2 ¡ 2®1®2y3y3 =

= ®x2 + ®2®3(y1y1) + ®1®3y2y2 + ®1®2(y3y3):

Como yi = pi + qia con pi; qi 2 F , entonces

yiyi = (pi + qia)(pi ¡ qia) = p2i ¡ q2i a2 = p2i + q2i ®;

luego

Tr(Á2) = ®x2 + ®2®3(p21 + q

21®) + ®1®3(p

22 + q

22®) + ®1®2(p

23 + q

23®): ¥

Teorema 2.8Sea C una ¶algebra de Cayley sobre un cuerpo F .

1. Si la caracter¶³stica de F no es 3, entonces Der(C) es un ¶algebra de Liecentral simple.

2. Si la caracter¶³stica de F es 3, entonces Der(C) tiene un ¶unico ideal propiono nulo

I = lin < Dx;y : x; y 2 C > :

En este caso I es central simple de tipo A2 y I »= Der(C)=I como ¶algebra deLie. Cualquier ¶algebra de Lie central simple de tipo A2 surge como un idealpropio de cierta ¶algebra de Cayley.



Demostraci¶on:

1. Supongamos que la caracter¶³stica de F no es 3, y que C es un ¶algebra deCayley split sobre F . Sea 0 == I un ideal de Der(C) = D0 ©D1 ©D2, graduadaseg¶un se hizo previamente. Consideremos la intersecci¶on I \ D0. Si ocurre queI \D0 6= f0g, como D0 »= sl(3; F ) es simple, entonces I \D0 = D0, y por tantoD0 ½ I:Las derivaciones de D0

f1 :=

0BBBBBBB@

01 0 00 0 00 0 ¡1

1 0 00 0 00 0 ¡1

1CCCCCCCA, veri¯cando que f1(u1) = u1,

f2 :=

0BBBBBBB@

00 0 00 1 00 0 ¡1

0 0 00 ¡1 00 0 1

1CCCCCCCA, veri¯cando que f2(u2) = u2 y

f3 :=

0BBBBBBB@

0¡1 0 00 0 00 0 1

1 0 00 0 00 0 ¡1

1CCCCCCCA, veri¯cando que f3(u3) = u3,

ayudan a probar la igualdad D0(U) = U . Adem¶as como

[d;De1;u]

(2:10)

#= Dd(e1)| {z }

0

;u+De1;d(u) = De1;d(u); 8u 2 U; 8d 2 D0;

podemos concluir que

D1 = fDe1;u : u 2 Ug = [D0;D1] ½ I:De igual modo, las derivaciones ff1;¡f2; f3g en D0, veri¯cando f1(v1) = v1,

¡f2(v2) = v2 y ¡f3(v3) = v3 prueban, junto con el hecho de que D0(V ) ½ Vpor ser una Z3-graduaci¶on, la igualdad D0(V ) = V . Entonces como

[d;De2;v]

(2:10)

#= Dd(e2)| {z }

0

;v+De2;d(v) = De2;d(v); 8v 2 V; 8d 2 D0;



podemos concluir que

D2 = fDe2;v : v 2 V g = [D0;D2] ½ I:Tenemos entonces que D0, D1 y D2 est¶an incluidos en I, luego I = Der(C).Veamos que los D0-m¶odulos D1 y D2 no son isomorfos. Para ello sean

H 2 D0 y N 2 D1. Entonces H es de la forma H =

0@ 0 0 00 x 00 0 ¡xt

1A y

N =

0@ 0 m 00 0 ®(m)¡mt 0 0

1A y as¶³

adH(N) = [

0@ 0 0 00 x 00 0 ¡xt

1A ;0@ 0 m 0

0 0 ®(m)¡mt 0 0

1A] ==

0@ 0 0 00 0 x®(m)

xtmt 0 0

1A¡0@ 0 mx 00 0 ¡®(m)xt0 0 0

1A =

=

0@ 0 ¡mx 00 0 x®(m) + ®(m)xt

(mx)t 0 0

1Aque por supuesto pertenece a D1. Esto motiva de¯nir la acci¶on (x;m) := ¡mxdonde hemos identi¯cado H 7! x y N 7! m. Repitiendo los c¶alculos, pero ahoracon N 2 D2 tenemos que

adH(N) = [

0@ 0 0 00 x 00 0 ¡xt

1A ;0@ 0 0 m¡mt 0 00 ¯(m) 0

1A] ==

0@ 0 0 0¡xmt 0 00 ¡xt¯(m) 0

1A¡0@ 0 0 ¡mxt0 0 00 ¯(m)x 0

1A =

=

0@ 0 0 mxt

¡xmt 0 00 ¡xt¯(m)¡ ¯(m)x 0

1Aque, como no pod¶³a ser de otra forma, pertenece a D2. Por tanto, podemosde¯nir la acci¶on (x;m) := mxt donde hemos realizado la misma identi¯caci¶onque en el caso anterior. Estas acciones, inducen las correspondientes represen-taciones ½1; ½2 : D0 ! End(F 3) dadas por

½1(x)(m) := ¡mx; ½2(x)(m) := mxt: (2.32)

Supongamos entonces que existe un isomor¯smo

µ : D1 ! D2



con matriz asociada . Entonces debe ocurrir que

½2(x) = µ ± ½1(x) ± µ¡1

y por tanto

mxt = µ(½1(x)µ¡1(m))) mxt = µ(¡µ¡1(m)x))

) mxt = ¡µ¡1(m)x) mxt = ¡m¡1xy entonces, para todo x 2 D0 debe tenerse xt = ¡¡1x. Pero esta identidadimplica que como (xy)t = ytxt debe tenerse

¡¡1xy = (¡1y)(¡1x) = ¡1yx:Pero entonces xy = ¡yx para todos x; y 2 D0 y, en particular x2 = 0 paratodo x cosa que no es cierta como puede comprobarse f¶acilmente. Por tanto,tal y como a¯rm¶abamos, lo D0-modulos D1 y D2 no son isomorfos. Los D0-m¶odulos D1 y D2 son irreducibles, hecho que puede comprobarse, usando unrazonamiento dimensional, estudiando las representaciones de D0 en End(R3)que inducen y el hecho de que D0 »= sl(3; F ) siendo est¶a ¶algebra de Lie simple eneste caso (caracter¶³stica distinta de tres). Entonces, supongamos por el contrarioque I \D0 = f0g. Como I es un D0-subm¶odulo de Der(C) y la descomposici¶onDer(C) = D0 © D1 © D2 es en t¶erminos de D0-subm¶odulos irreducibles noisomorfos de Der(C), se tiene que I = D1, I = D2 ¶o I = D1©D2. Pero ningunode estos D0-subm¶odulos de Der(C) es un ideal suyo. Llegamos por tanto a laconclusi¶on de que todo ideal no nulo de Der(C) es el propio Der(C) y comoviendo la Tabla (2.2) se observa que [Der(C);Der(C)] == f0g, se concluye queDer(C) es simple si la caracter¶³stica del cuerpo no es 3.

2. Veamos el caso en el que la caracter¶³stica del cuerpo base sea 3. Nopodemos repetir el razonamiento anterior ya que sl(3; F ) no es simple en ca-racter¶³stica 3, hecho que queda de mani¯esto sin m¶as que considerar el idealgenerado por la identidad.Denotemos entonces por C+ la simetrizaci¶on del ¶algebra alternativa C, es

decir, el ¶algebra de Jordan cuyo espacio vectorial subyacente coincide con el deC pero con el nuevo producto x ± y := xy+ yx. Veamos que la aplicaci¶on linealad(x), con x 2 C de¯nida por ad(x)(y) := [x; y] = xy ¡ yx, es una derivaci¶onen C+. Para ello debe veri¯carse que

ad(x)(y ± z) = ad(x)(y) ± z + y ± ad(x)(z); 8y; z 2 C:La siguiente cadena de equivalencias demuestran que se veri¯ca dicha igualdad:

[x; y ± z] = [x; y] ± z + y ± [x; z],x(yz + zy)¡ (yz + zy)x = (xy ¡ yx)z + z(xy ¡ yx) +

y(xz ¡ zx) + (xz ¡ zx)y ,x(yz) + x(zy)¡ (yz)x+ (zy)x = (xy)z ¡ (yx)z + z(xy)¡ z(yx) +

y(xz)¡ y(zx) + (xz)y ¡ (zx)y ,¡(y; z; x)¡ (z; y; x) = (x; y; z)¡ (y; x; z) + (x; z; y)¡ (z; x; y):



Esta ¶ultima igualdad se deduce usando la identidad °exible. Por otro lado, C esun ¶algebra Lie-admisible, es decir, de¯niendo el nuevo producto [x; y] := xy¡yxobtenemos una estructura de ¶algebra de Lie denotada por C¡. Esto se debe aque estamos trabajando en caracter¶³stica 3. En efecto, veamos que se veri¯ca(claramente [x; x] = 0) la identidad de Jacobi:

[[x; y]; z] + [[y; z]; x] + [[z; x]; y] =

= (xy ¡ yx)z + z(xy ¡ yx) + (yz ¡ zy)x¡ x(yz ¡ zy)+

+(zx¡ xz)y ¡ y(zx¡ xz) = (xy)z ¡ (yx)z ¡ z(xy) + z(yx)+

+(yz)x¡ (zy)x¡ x(yz) + x(zy) + (zx)y ¡ (xz)y ¡ y(zx) + y(xz) =

= (x; y; z)¡ (y; x; z) + (y; z; x)¡ (z; y; x) + (z; x; y)¡ (x; z; y) =

= 6(x; y; z) = 0

ya que estamos en caracter¶³stica 3. Usando este hecho se comprueba que laaplicaci¶on lineal ad(x) := [x; y] es una derivaci¶on en C¡ para cualquier x 2 C.En efecto

ad(x) 2 Der(C¡); 8x 2 C ,

ad(x)([y; z]) = [ad(x)(y); z] + [y; ad(x)(z)],

[x; [y; z]] = [[x; y]; z] + [y; [x; z]],

[x; [y; z]]¡ [[x; y]; z]¡ [y; [x; z]] = 0,

[x; [y; z]] + [y; [z; x]] + [z; [x; y]] = 0

identidad esta ¶ultima que se veri¯ca para todos x; y; z 2 C ya que no es m¶asque la identidad de Jacobi anteriormente probada. Como la caracter¶³stica no es

2 se tiene que xy =1

2(x ± y + [x; y]) y por tanto

ad(x)(yz) = ad(x)¡12y ± z + 1

2 [y; z]¢=

= 12ad(x)(y ± z) + 1

2ad(x)([y; z]) =12ad(x)(y) ± z + 1

2y ± ad(x)(z)+

+ 12 [ad(x)(y); z] +

12 [y; ad(x)(z)] = ad(x)(y)z + yad(x)(z)

luego ad(x) 2 Der(C) para todo x 2 C. Podemos entonces considerar el ideal3I = ad(C) de Der(C). Siguiendo [18, p¶agina 173], se tiene C = F © [C;C] y

3N¶otese que [f; ad(x)] = ad(f(x)) para todo x 2 C y para todo f 2 Der(C).



por tanto I = ad[C;C] »= [C;C], por ser ad una aplicaci¶on inyectiva y siendo[C;C] un ideal 7-dimensional de Der(C). Por otro lado

[La ¡Ra; Lb ¡Rb] = [La; Lb]¡ [La; Rb]¡ [Ra; Lb] + [Ra; Rb]

y usando la linealizaci¶on de la identidad °exible [Ra; Lb] = [La; Rb], luego

[La ¡Ra; Lb ¡Rb] = [La; Lb]¡ 2[La; Rb] + [Ra; Rb]

y al estar en caracter¶³stica 3

[La ¡Ra; Lb ¡Rb] = [La; Lb] + [La; Rb] + [Ra; Rb]:

Por tanto

Da;b = [La ¡Ra; Lb ¡Rb] = [ad(a); ad(b)] = ad([a; b])

y entonces I es el ideal de Lema 2.5. Y as¶³, I es simple ya que [C;C] es un¶algebra de Lie simple de tipo A2 y rec¶³procamente, toda ¶algebra de Lie simplede tipo A2 es de esta forma (v¶ease [19, p¶agina 352]).Sea J un ideal de Der(C). Si I ½= J entonces I \ J = f0g. Como entonces

0 = [D; ad(x)] = ad(D(x)) para todo x 2 C y para todo D 2 J , se tiene queD(x) 2 F ¢ 1 para todo x 2 C. Como D(C) = D([C;C]) µ [C;C] se tiene queD = 0 y J = f0g. Por tanto I es el ¶unico ideal propio minimal de Der(C).Estudiemos dicho ideal. Sea K una sub¶algebra de composici¶on de dimensi¶on 2de C, con K = F [a] donde 0 == a2 = ¡® 2 F y D0 = fd 2 Der(C) : d(K) = 0g:Extendiendo escalares, caso split, tenemos que D0 »= sl(3; F ).Siguiendo [26, p¶agina 70] se tiene que D0 »= su(K?; ¾) con

¾(x; y) = q(x; y)¡ ®¡1aq(ax; y) (2.33)

donde q(x; y) es la forma bilineal asociada a la forma cuadr¶atica q(x). ComoI \ D0 es un ideal propio de D0 entonces I \ D0 = Z(D0) cuya dimensi¶on es 1.Por tanto usando el rombo

Der(Os)% -

D0 I- %

Z(D0)

se tiene que

Der(C)=I »= D0=Z(D0) »= psu(K?; ¾);

que es un ¶algebra de Lie central simple de tipo A2, una forma de psl(3; F ). Setiene entonces que I es maximal y as¶³ I es el ¶unico ideal de Der(C).



M¶as a¶un, veamos que Der(C)=I »= I. Para ello tomemos b 2 K? conq(b) = ¯ == 0 y c 2 (K +Kb)? con q(c) = ° == 0. Veamos la posibilidad de talelecci¶on. Si b 2 K? = F [a]? entonces b ? a y b ? 1, luego tiene que ser

q(b; 1) = q(b; a) = 0: (2.34)

Como q(x; y) = xy + yx se tiene que q(b; 1) = b+ b = 0 y entonces b = ¡b y as¶³q(b; b) = 2bb. Entonces tiene que ocurrir que q(b) = ¡b2 y ba + ab = 0. Bastatomar un b == 0 y de traza nula. Veamos la existencia de c 2 (K + Kb)? conq(c) = ° == 0. Una base ortogonal de K +Kb es f1; a; b; abg ya que adem¶as de(2.34) se tiene

q(ab; b) = q(a; bb) = q(b)q(a; 1) = 0

debido a que q(a; 1) = a+ a = a¡ a = 0 yq(ab; ab) = q(a; (ab)b) = ¡q(a; ab2) = q(b)q(a; a) = 2q(b)q(a) == 0:

Por tanto K + Kb es no degenerado y (K + Kb)? tampoco. Existe entoncesc 2 (K +Kb)? tal que q(c) = ° == 0 y por tanto

q(1; c) = q(a; c) = q(b; c) = q(ab; c) = 0: (2.35)

Veamos que fb; c; bcg es unaK-base ortogonal de K?. Ya se tiene que q(b; c) = 0y por otro lado

q(b; bc) = q(bb; c) = q(q)q(1; c) = 0 (2.36)

yq(c; bc) = q(cc; b) = q(c)q(1; b) = 0: (2.37)

Los elementos b y c pertenecen aK?, veamos que bc tambi¶en. Usando [45, Lema6, p¶agina 31] con B = K +Kb se tiene que a(cb) = ¡c(ab) y (cb)a = c(ab), yaque c 2 B? y a; b 2 B. Entonces

q(bc; 1) = q(b; c) = ¡q(b; c) = 0 (2.38)

y

q(bc; a) = (bc)a+ a(bc) = ¡(bc)a+ a(cb) = (cb)a+ a(cb) = c(ab)¡ c(ab) = 0:(2.39)

Tenemos entonces que fb; c; bcg es una K-base ortogonal de K? y

fb; c; bc; ab; ac; a(bc)ges una F -base ortogonal de K? ya que

q(ab; ac) = q((aa)b; bc) = q(a)q(b; c) = 0;

q(ab; a(bc)) = q((aa)b; bc) = q(a)q(b; bc) = 0;

q(b; ab) = q(bb; a) = q(b)q(1; a) = 0;

q(b; ac) = q(bc; a) = ¡q(bc; a) = 0;q(b; a(bc)) = ¡q(ab; bc) = q(ba; bc) = q(a; (bb)c) = q(b)q(a; c) = 0;

q(bc; a(bc)) = q((bc)2; a) = q(bc)q(1; a) = 0:



La matriz de ¾ en esta base, fb; c; bcg, es0@ ¯ 0 00 ° 00 0 ¯°

1A ya que usando la

expresi¶on de ¾ dada en (2.33) se tiene

¾(b; b) = q(b; b)¡ ®¡1a0z }| {

q(ab; b) = ¯;

¾(c; c) = q(c; c)¡ ®¡1a0z }| {

q(ac; c) = °;

¾(bc; bc) = q(bc; bc)¡ ®¡1a0z }| {

q(a(bc); bc) = ¡q(b; bc2) = °q(b; b) = ¯°:

Por otro lado existe una ¶algebra de Cayley eC tal que psu(K?; ¾) »= [ eC; eC]como ¶algebras de Lie, donde psu(K?; ¾) es central simple de tipo A2, una formade psl(3; F ). Como para todos x; y 2 eC se tiene, al estar en caracter¶³stica 3,que

[[[x; y]; y]; y] = [x; y3]

y si ~q es la norma de eC entonces¡ad(y)3(x) = [x; y3] = ¡[x; ~q(y)y] = ¡~q(y)[x; y] = ~qad(y)(x):

Y as¶³ ad(y)3 = ¡~q(y)ad(y). Usando la igualdad (2.23) del Lema 2.7 tenemosque ad(Á)3 = ¡Tr(Á2)ad(Á). Esto sugiere que de¯namos en psu(K?; ¾) :=su(K?; ¾)=FaI la forma cuadr¶atica Q(Á+ FaI) := Tr(Á2). Est¶a bien de¯nidaya que si Á¡Á0 = ¸aI entonces Á = Á0+¸aI y por tanto Á2 = Á02+2¸aI+¸2a2Iy Tr(Á2) = Tr(Á02) ya que Tr(2¸aI) = Tr(¸2a2I) = 0 al estar en caracter¶³stica3.Seg¶un el Lema 2.7 la matriz de eQ es entonces0BBBBBBB@

® 0 0 0 0 0 00 ¯°2 0 0 0 0 00 0 ®¯°2 0 0 0 00 0 0 ¯2° 0 0 00 0 0 0 ®¯2° 0 00 0 0 0 0 ¯° 00 0 0 0 0 0 ®¯°

1CCCCCCCAen la base fx; p1; q1; p2; q2; p3; q3g donde ®1 = ¯, ®2 = ° y ®3 = ¯°. Escalandola base llegamos a que la matriz de eQ es0BBBBBBB@

® 0 0 0 0 0 00 ¯ 0 0 0 0 00 0 ®¯ 0 0 0 00 0 0 ° 0 0 00 0 0 0 ®° 0 00 0 0 0 0 ¯° 00 0 0 0 0 0 ®¯°

1CCCCCCCAPablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.


Por otro lado fa; b; c; bc; ab; ac; a(bc)g es una F -base ortogonal de [C;C] (re-cu¶erdese que C = F © [C;C]) y como

q(a; a) = ®; q(b; b) = ¯; q(c; c) = °;

q(bc; bc) = ¡q(b; bc2) = ¯°;q(ab; ab) = ¡q(a; ab2) = ®¯;q(ac; ac) = ¡q(a; ac2) = ®°;

q(a(bc); a(bc)) = ¡q(bc; a2(bc)) = ®q(bc; bc) = ®¯°;

la matriz de qj[C;C] en dicha base es0BBBBBBB@

® 0 0 0 0 0 00 ¯ 0 0 0 0 00 0 ° 0 0 0 00 0 0 ¯° 0 0 00 0 0 0 ®¯ 0 00 0 0 0 0 ®° 00 0 0 0 0 0 ®¯°

1CCCCCCCA:

Por tanto eQ es equivalente a qj[C;C]. Pero ~q es equivalente a q y entonces eC »= C(v¶ease [26, p¶agina 62] ¶o [42, Teorema 8, p¶agina 70]). Y as¶³

Der(C)=I »= psu(K?; ¾) »= [ eC; eC] »= [C;C] »= I: ¥



Os


Sesión III: Matriz genérica de una

derivación de las matrices de Zorn.

El propósito de la presente sesión es el determinar la matriz de una derivacióncualquiera del álgebra de las matrices de Zorn. Asimismo, usando esta expresióngenérica, determinaremos una base y construiremos su tabla de multiplicar.

Comandos previos

En primer lugar definimos algunos comandos que nos serán de gran utilidad en elque sigue de la sesión. Los primeros son los comandos vec, producto vectorial,esc, producto escalar y prod, el producto que se define para las matrices de Zorn.

In[1]:= vec@8x_, y_, z_<, 8u_, v_, w_<D8y w z v, z u x w, x v y u<;esc@8x_, y_, z_<, 8u_, v_, w_<D x u y v z w;

prodAikjj _ x_

y_ _y{zz, ikjj _ z_

t_ _y{zzE :J esc@x, tD z x vec@y, tD

y t vec@x, zD esc@y, zD NEl comando Reconoce expresa la matriz de una derivación cualquiera comocombinación lineal de los futuros elementos básicos x j .

In[2]:= Reconoce@m_D : Module@8<,1 m@@1, 3DD; 2 m@@1, 4DD; 3 m@@1, 5DD;4 m@@3, 3DD; 5 m@@3, 4DD; 6 m@@3, 5DD;7 m@@4, 3DD; 8 m@@4, 4DD; 9 m@@4, 5DD;10 m@@5, 3DD; 11 m@@5, 4DD; 12 m@@1, 6DD;13 m@@1, 7DD; 14 m@@1, 8DD;

Sum@ i HHoldForm@xDLi, 8i, 14<DDA continuación se definen los comandos c, producto Lie, y la función delta deKrönecker.

In[3]:= c@x_, y_D : x.y y.x;

i_,j_ : If@i j, 1, 0D

Matriz genérica

Definamos entonces el conjunto , , A, B , C1, C2, C3, D1, D2, D3 dondelas 8 últimas matrices de Zorn forman una base de Os .

In[4]:= J 0 80, 0, 0<80, 0, 0< 0N; J 1 80, 0, 0<80, 0, 0< 1

N;A J 1 80, 0, 0<80, 0, 0< 0

N; B J 0 80, 0, 0<80, 0, 0< 1N;

C1 J 0 81, 0, 0<80, 0, 0< 0N; C2 J 0 80, 1, 0<80, 0, 0< 0

N;C3 J 0 80, 0, 1<80, 0, 0< 0

N; D1 J 0 80, 0, 0<81, 0, 0< 0N;

D2 J 0 80, 0, 0<80, 1, 0< 0N; D3 J 0 80, 0, 0<80, 0, 1< 0

N; Si d : OsOs es una derivacio n cualquiera, determinemos su matriz asociadacon respecto a la base anteriormente definida. Las ima genes de los elementos de labase las escribimos como matrices de Zorn genéricas utilizando parametros ydeterminaremos, usando la condicio n de derivacio n, las relaciones existentes entreellos.

In[5]:= dA J a1 8u11, u12, u13<8v11, v12, v13< b1N;

dB J a2 8u21, u22, u23<8v21, v22, v23< b2N;

dC1 J a3 8u31, u32, u33<8v31, v32, v33< b3N;

dC2 J a4 8u41, u42, u43<8v41, v42, v43< b4N;

dC3 J a5 8u51, u52, u53<8v51, v52, v53< b5N;

dD1 J a6 8u61, u62, u63<8v61, v62, v63< b6N;

dD2 J a7 8u71, u72, u73<8v71, v72, v73< b7N;

dD3 J a8 8u81, u82, u83<8v81, v82, v83< b8N;

En primer lugar, como

In[6]:= A B

Out[6]= True

aplicamos la derivacio n d para obtener que dB dA , y por tanto, las ima genesquedan:

114 Matriz genérica de una derivación de las matrices de Zorn

In[7]:= dA 88a1, 8u11, u12, u13<<, 88v11, v12, v13<, b1<<;dB 88 a1, 8 u11, u12, u13<<, 88 v11, v12, v13<, b1<<;dC1 88a3, 8u31, u32, u33<<, 88v31, v32, v33<, b3<<;dC2 88a4, 8u41, u42, u43<<, 88v41, v42, v43<, b4<<;dC3 88a5, 8u51, u52, u53<<, 88v51, v52, v53<, b5<<;dD1 88a6, 8u61, u62, u63<<, 88v61, v62, v63<, b6<<;dD2 88a7, 8u71, u72, u73<<, 88v71, v72, v73<, b7<<;dD3 88a8, 8u81, u82, u83<<, 88v81, v82, v83<, b8<<;

Como A A A

In[8]:= A prod@A, ADOut[8]= True

tenemos que

In[9]:= dA prod@dA, AD prod@A, dADOut[9]=

a1 0, 0, 00, 0, 0 b1

debe ser la matriz nula. Obtenemos entonces que a1 b1 0, luego

In[10]:= dA 880, 8u11, u12, u13<<, 88v11, v12, v13<, 0<<;dB 880, 8 u11, u12, u13<<, 88 v11, v12, v13<, 0<<;dC1 88a3, 8u31, u32, u33<<, 88v31, v32, v33<, b3<<;dC2 88a4, 8u41, u42, u43<<, 88v41, v42, v43<, b4<<;dC3 88a5, 8u51, u52, u53<<, 88v51, v52, v53<, b5<<;dD1 88a6, 8u61, u62, u63<<, 88v61, v62, v63<, b6<<;dD2 88a7, 8u71, u72, u73<<, 88v71, v72, v73<, b7<<;dD3 88a8, 8u81, u82, u83<<, 88v81, v82, v83<, b8<<;

A partir de las identidades

In[11]:= prod@C1, C1Dprod@C2, C2Dprod@C3, C3D

Out[11]= True

Out[12]= True

Out[13]= True

concluimos que las siguientes matrices deben ser nulas

Sesión III 115

In[14]:= prod@dC1, C1D prod@C1, dC1Dprod@dC2, C2D prod@C2, dC2Dprod@dC3, C3D prod@C3, dC3D

Out[14]=v31 a3 b3, 0, 0

0, 0, 0 v31

Out[15]=v42 0, a4 b4, 0

0, 0, 0 v42

Out[16]=v53 0, 0, a5 b5

0, 0, 0 v53

y entonces v31 v42 v53 0, b3 a3 , b4 a4 y b5 a5 , quedando lasima genes en la forma

In[17]:= dA 880, 8u11, u12, u13<<, 88v11, v12, v13<, 0<<;dB 880, 8 u11, u12, u13<<, 88 v11, v12, v13<, 0<<;dC1 88a3, 8u31, u32, u33<<, 880, v32, v33<, a3<<;dC2 88a4, 8u41, u42, u43<<, 88v41, 0, v43<, a4<<;dC3 88a5, 8u51, u52, u53<<, 88v51, v52, 0<, a5<<;dD1 88a6, 8u61, u62, u63<<, 88v61, v62, v63<, b6<<;dD2 88a7, 8u71, u72, u73<<, 88v71, v72, v73<, b7<<;dD3 88a8, 8u81, u82, u83<<, 88v81, v82, v83<, b8<<;

De igual forma, las identidades

In[18]:= prod@C1, C2D prod@C2, C1Dprod@C1, C3D prod@C3, C1Dprod@C2, C3D prod@C3, C2D

Out[18]= True

Out[19]= True

Out[20]= True

obligan a que las siguientes matrices de Zorn deben ser nulas

In[21]:= prod@dC1, C2D prod@C1, dC2D prod@dC2, C1D prod@C2, dC1Dprod@dC1, C3D prod@C1, dC3D prod@dC3, C1D prod@C3, dC1Dprod@dC2, C3D prod@C2, dC3D prod@dC3, C2D prod@C3, dC2D

Out[21]=v32 v41 0, 0, 00, 0, 0 v32 v41

Out[22]=v33 v51 0, 0, 00, 0, 0 v33 v51

Out[23]=v43 v52 0, 0, 00, 0, 0 v43 v52


de donde obtenemos que v32 v41 , v33 v51 y v43 v52 . Tenemos entoncesque

In[24]:= dA 880, 8u11, u12, u13<<, 88v11, v12, v13<, 0<<;dB 880, 8 u11, u12, u13<<, 88 v11, v12, v13<, 0<<;dC1 88a3, 8u31, u32, u33<<, 880, v32, v33<, a3<<;dC2 88a4, 8u41, u42, u43<<, 88 v32, 0, v43<, a4<<;dC3 88a5, 8u51, u52, u53<<, 88 v33, v43, 0<, a5<<;dD1 88a6, 8u61, u62, u63<<, 88v61, v62, v63<, b6<<;dD2 88a7, 8u71, u72, u73<<, 88v71, v72, v73<, b7<<;dD3 88a8, 8u81, u82, u83<<, 88v81, v82, v83<, b8<<;

Una identidad del tipo C1 C2C3 A

In[25]:= A prod@C1, prod@C2, C3DDOut[25]= True

nos proporciona, después de aplicar la derivación d , la matriz de Zorn siguiente que debe ser nula

In[26]:= dA prod@dC1, prod@C2, C3DD prod@C1, prod@dC2, C3DDprod@C1, prod@C2, dC3DD

Out[26]=u31 u42 u53 v43 u11, u12 v33, v32 u13

a3 v11, a4 v12, a5 v13 0

Obtenemos las identidades u53 u31 u42 , v43 u11 , v33 u12 , v32 u13 ,a3 v11, a4 v12 y a5 v13 . Las ima genes quedan

In[27]:= dA 880, 8u11, u12, u13<<, 88v11, v12, v13<, 0<<;dB 880, 8 u11, u12, u13<<, 88 v11, v12, v13<, 0<<;dC1 88 v11, 8u31, u32, u33<<, 880, u13, u12<, v11<<;dC2 88 v12, 8u41, u42, u43<<, 88 u13, 0, u11<, v12<<;dC3 88 v13, 8u51, u52, u31 u42<<, 88u12, u11, 0<, v13<<;dD1 88a6, 8u61, u62, u63<<, 88v61, v62, v63<, b6<<;dD2 88a7, 8u71, u72, u73<<, 88v71, v72, v73<, b7<<;dD3 88a8, 8u81, u82, u83<<, 88v81, v82, v83<, b8<<;

En cambio, la identidad C1C2 C3

In[28]:= B prod@prod@C1, C2D, C3DOut[28]= True

Sesión III 117

no nos proporciona ninguna informacio n, ya que la posible relacio n entre losparametros ya se verifica. Efectivamente, la matriz de Zorn que debe ser nula ya loes

In[29]:= dB prod@prod@dC1, C2D, C3Dprod@prod@C1, dC2D, C3D prod@prod@C1, C2D, dC3D

Out[29]=0 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Como C2C3 D1

In[30]:= D1 prod@C2, C3DOut[30]= True

la siguiente matriz debe ser nula

In[31]:= dD1 prod@dC2, C3D prod@C2, dC3DOut[31]=

a6 u11 u61, v13 u62, u63 v12

u31 v61, u41 v62, u51 v63 u11 b6

Este hecho nos proporciona las identidades a6 u11, b6 u11 , u61 0,u62 v13 , u63 v12 , v61 u31 , v62 u41 y v63 u51 . Las ima genesquedan

In[32]:= dA 880, 8u11, u12, u13<<, 88v11, v12, v13<, 0<<;dB 880, 8 u11, u12, u13<<, 88 v11, v12, v13<, 0<<;dC1 88 v11, 8u31, u32, u33<<, 880, u13, u12<, v11<<;dC2 88 v12, 8u41, u42, u43<<, 88 u13, 0, u11<, v12<<;dC3 88 v13, 8u51, u52, u31 u42<<, 88u12, u11, 0<, v13<<;dD1 88 u11, 80, v13, v12<<, 88 u31, u41, u51<, u11<<;dD2 88a7, 8u71, u72, u73<<, 88v71, v72, v73<, b7<<;dD3 88a8, 8u81, u82, u83<<, 88v81, v82, v83<, b8<<;

Como D2 C1C3


la siguiente matriz deber ser nula


a7 u12 u71 v13, u72, u73 v11

u32 v71, u42 v72, u52 v73 b7 u12


Y por tanto a7 u12 , b7 u12 , u71 v13 , u72 0, u73 v11 , v71 u32 , v72 u42 y v73 u52 . Las ima genes quedan

In[35]:= dA 880, 8u11, u12, u13<<, 88v11, v12, v13<, 0<<;dB 880, 8 u11, u12, u13<<, 88 v11, v12, v13<, 0<<;dC1 88 v11, 8u31, u32, u33<<, 880, u13, u12<, v11<<;dC2 88 v12, 8u41, u42, u43<<, 88 u13, 0, u11<, v12<<;dC3 88 v13, 8u51, u52, u31 u42<<, 88u12, u11, 0<, v13<<;dD1 88 u11, 80, v13, v12<<, 88 u31, u41, u51<, u11<<;dD2 88 u12, 8 v13, 0, v11<<, 88 u32, u42, u52<, u12<<;dD3 88a8, 8u81, u82, u83<<, 88v81, v82, v83<, b8<<;

Por último, la igualdad C1C2 D3


obliga a que la siguiente matriz sea nula


a8 u13 v12 u81, u82 v11, u83

u33 v81, u43 v82, u31 u42 v83 u13 b8

y por tanto a8 u13, b8 u13 , u81 v12 , u82 v11 , u83 0, v81 u33 ,v82 u43 y v83 u31 u42 . De este modo

In[38]:= dA 880, 8u11, u12, u13<<, 88v11, v12, v13<, 0<<;dB 880, 8 u11, u12, u13<<, 88 v11, v12, v13<, 0<<;dC1 88 v11, 8u31, u32, u33<<, 880, u13, u12<, v11<<;dC2 88 v12, 8u41, u42, u43<<, 88 u13, 0, u11<, v12<<;dC3 88 v13, 8u51, u52, u31 u42<<, 88u12, u11, 0<, v13<<;dD1 88 u11, 80, v13, v12<<, 88 u31, u41, u51<, u11<<;dD2 88 u12, 8 v13, 0, v11<<, 88 u32, u42, u52<, u12<<;dD3 88 u13, 8v12, v11, 0<<, 88 u33, u43, u31 u42<, u13<<;

Obtenemos entonces los 14 parametros que nos permiten afirmar que si d es unaderivacio n cualquiera de octoniones split, entonces tiene por matriz asociada, enla base anterior, la siguiente

Sesión III 119

In[39]:= DerOs 880, 0, u11, u12, u13, v11, v12, v13<,80, 0, u11, u12, u13, v11, v12, v13<,8 v11, v11, u31, u32, u33, 0, u13, u12<,8 v12, v12, u41, u42, u43, u13, 0, u11<,8 v13, v13, u51, u52, u31 u42, u12, u11, 0<,8 u11, u11, 0, v13, v12, u31, u41, u51<,8 u12, u12, v13, 0, v11, u32, u42, u52<,8 u13, u13, v12, v11, 0, u33, u43, u31 u42<<Out[39]=

0 0 u11 u12 u13 v11 v12 v13

0 0 u11 u12 u13 v11 v12 v13

v11 v11 u31 u32 u33 0 u13 u12

v12 v12 u41 u42 u43 u13 0 u11

v13 v13 u51 u52 u31 u42 u12 u11 0u11 u11 0 v13 v12 u31 u41 u51

u12 u12 v13 0 v11 u32 u42 u52

u13 u13 v12 v11 0 u33 u43 u31 u42

Efectivamente

In[40]:= Length@Variables@DerOsDDOut[40]= 14

Veamos por último que cualquier matriz de la forma anterior es una derivación.Con tal propósito definamos el comando Coor

In[41]:= CoorAikjj _ x_

y_ _y{zzE :8 , , x@@1DD, x@@2DD, x@@3DD, y@@1DD, y@@2DD, y@@3DD<

que expresa en coordenadas una matriz cualquiera. En segundo lugar, el comandoZorn, inverso del comando Coor

In[42]:= Zorn@x_D : J x@@1DD 8x@@3DD, x@@4DD, x@@5DD<8x@@6DD, x@@7DD, x@@8DD< x@@2DD N Para comprobar que se trata de una derivación tenemos que comprobar queD x y D x y x D y para todos x, y Os . Denotemos por X e Y dos elemen-tos culesquiera de Os

In[43]:= X 1 A 2 B Sum@ i Ci, 8i, 3<D Sum@ i Di 3, 8i, 4, 6<DOut[43]=

1 1, 2, 3

4, 5, 6 2

In[44]:= Y 1 A 2 B Sum@ i Ci, 8i, 3<D Sum@ i Di 3, 8i, 4, 6<DOut[44]=

1 1, 2, 3

4, 5, 6 2


La igualdad que debemos probar equivale a que la siguiente matriz debe ser nula.En efecto

In[45]:= Simplify@Zorn@Coor@prod@X, YDD.DerOsDprod@Zorn@[email protected], YD prod@X, Zorn@[email protected]

Out[45]=0 0, 0, 0

0, 0, 0 0

y por tanto cualquier matriz del tipo anterior es una derivación de Der Os .

Base del álgebra Der Os

Una vez conocida la matriz gene rica, es sencillo obtener una base. Simplementeutilizaremos un bucle en el que se construyen los elementos de la base da ndolevalores cero y uno a cada una de las variables. Se construye así una matriz dereglas que se "pasa" por la matriz gene rica obtenie ndose la base x j j1

14 :

In[46]:= var Variables@DerOsD; num Length@varD;reglas Table@var@@jDD i,j, 8i, num<, 8j, num<D;Do@xi DerOs ±±. reglas@@iDD, 8i, num<D

Un elemento gene rico sera por tanto de la forma

In[47]:= ăi 1

14

i xi

Out[47]=

0 0 1 2 3 12 13 14

0 0 1 2 3 12 13 14

12 12 4 5 6 0 3 2

13 13 7 8 9 3 0 1

14 14 10 11 4 8 2 1 01 1 0 14 13 4 7 10

2 2 14 0 12 5 8 11

3 3 13 12 0 6 9 4 8

Usando el comando Reconoce podemos obtener la tabla de multiplicar delálgebra de derivaciones de las matrices de Zorn. Para ello

Sesión III 121

In[48]:= tabla Array@a, 814, 14<D;Do@a@i, jD Reconoce@c@xi, xjDD, 8i, 14<, 8j, 14<D;tabla

Out[48]=

0 2 x14 2 x13 x1 x2 x3 0 0 0 0 0 2 x4 x8 3 x7 3 x102 x14 0 2 x12 0 0 0 x1 x2 x3 0 0 3 x5 2 x8 x4 3 x112 x13 2 x12 0 x3 0 0 0 x3 0 x1 x2 3 x6 3 x9 x4 x8x1 0 x3 0 x5 2 x6 x7 0 x9 2 x10 x11 x12 0 x14x2 0 0 x5 0 0 x4 x8 x5 x6 x11 0 0 x12 0x3 0 0 2 x6 0 0 x9 x6 0 x4 x5 0 0 x12

0 x1 0 x7 x8 x4 x9 0 x7 0 0 x10 x13 0 00 x2 x3 0 x5 x6 x7 0 2 x9 x10 2 x11 0 x13 x140 x3 0 x9 x6 0 0 2 x9 0 x7 x8 0 0 x130 0 x1 2 x10 x11 x4 0 x10 x7 0 0 x14 0 00 0 x2 x11 0 x5 x10 2 x11 x8 0 0 0 x14 0

x8 2 x4 3 x5 3 x6 x12 0 0 x13 0 0 x14 0 0 2 x3 2 x23 x7 x4 2 x8 3 x9 0 x12 0 0 x13 0 0 x14 2 x3 0 2 x13 x10 3 x11 x4 x8 x14 0 x12 0 x14 x13 0 0 2 x2 2 x1 0


123 CAP¶³TULO 3. ¶ALGEBRA DE LIE F4

Cap¶³tulo 3

¶Algebra de Lie f4

El Teorema de Chevalley-Schafer a¯rma que el ¶algebra de Lie de las deriva-ciones del ¶algebra de Jordan excepcional H3(C;¡) es simple si la caracter¶³sticano es ni 2 ni 3

Teorema 3.1 (Chevalley-Schafer,[42])Sea J un ¶algebra de Jordan excepcional central simple sobre un cuerpo decaracter¶³stica distinta de 2 y 3. Entonces el ¶algebra de las derivaciones de J esun ¶algebra de Lie de dimensi¶on 52 central simple (de tipo F ).

Puede verse en [25] una extensi¶on de este resultado a la caracter¶³stica 3(Teorema 17 de la p¶agina 408). En este cap¶³tulo, usando ¶algebras de Jordancuadr¶aticas, mostraremos que este resultado deja de ser cierto si la caracter¶³sticaes 2. Para ello describiremos la situaci¶on en el caso split y con caracter¶³stica 2: el¶algebra de Lie no es simple. M¶as a¶un, veremos que existe un ¶unico ideal propiono nulo de dimensi¶on 26 y simple, como ¶algebra de Lie, y tal que el ¶algebra de Liecociente Der(H3(C;¡))=I es tambi¶en simple e isomorfo a I. La parte principalde este cap¶³tulo se desarrolla en las siguientes sesiones, e invitamos al lector aleerlas simult¶aneamente. Adem¶as, como consecuencia de la caracterizaci¶on del¶algebra libre de caracter¶³stica, daremos una demostraci¶on computacional de lasimplicidad fuera de caracter¶³stica 2 reduciendo el problema al caso split.

x3.1 De¯niciones y resultados

Un ¶algebra de Jordan cuadr¶atica con 1 sobre un anillo conmutativo arbitrario© con 1 es un triple (J; U; 1) donde J es un ©-m¶odulo unitario a izquierda, 1un elemento distinguido de J , y U una aplicaci¶on a 7! Ua de J en Hom©(J; J)veri¯cando los siguientes axiomas:

1. U es ©-cuadr¶atica, es decir, U®a = ®2Ua, ® 2 ©, a 2 J y Ua;b := Ua+b ¡

Ua ¡ Ub es ©-bilineal en a y b.


124 SECCI ¶ON 3.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS

2. U1 = 1.

3. UaUbUa = UUa(b).

4. Ux(T (y; x; z)) = T (x; y; Ux(z)); 8x; y; z 2 J donde T (y; x; z) := Uy;z(x).5. Los axiomas 3 y 4 se tienen en cualquier extensi¶on por escalares de J .

Si (Os;¡) es un ¶algebra de Cayley split (un ¶algebra de octoniones split)sobre F con ¡ como su involuci¶on, entonces H3(Os;¡) es el conjunto formadopor las matrices

X =

0@¸1 a ba ¸2 cb c ¸3

1A ; con ¸i 2 F; a; b; c 2 Os: (3.1)

Es usual expresar un elemento gen¶erico (3.1) de H3(Os;¡) como

X = ¸1E1 + ¸2E2 + ¸3E3 +X1(a) +X2(b) +X3(c): (3.2)

donde las de¯niciones de Ei y Xi son las evidentes. Una base de H3(Os;¡) esla siguiente

B := fE1; E2; E3; X1(ei)i=1;:::;8; X2(ei)i=1;:::;8; X3(ei)i=1;:::;8g; (3.3)

donde ei, con i = 1; : : : ; 8, es la base estandard del ¶algebra alternativa Os, vistacomo el ¶algebra de las matrices de Zorn, es decir,

e1 :=

µ1 (0; 0; 0)

(0; 0; 0) 0

¶; e2 :=

µ0 (0; 0; 0)

(0; 0; 0) 1

¶;

e3 :=

µ0 (1; 0; 0)

(0; 0; 0) 0

¶; e4 :=

µ0 (0; 1; 0)

(0; 0; 0) 0

¶;

e5 :=

µ0 (0; 0; 1)

(0; 0; 0) 0

¶; e6 :=

µ0 (0; 0; 0)

(1; 0; 0) 0

¶;

e7 :=

µ0 (0; 0; 0)

(0; 1; 0) 0

¶; e8 :=

µ0 (0; 0; 0)

(0; 0; 1) 0

¶:

De cara a construir una estructura cuadr¶atica de Jordan en H3(Os;¡) usa-mos las ecuaciones de McCrimmon ([31]):

Ua[ii]b[ii] = aba[ii] (3.4)

Ua[ij]b[ii] = aba[jj] (3.5)

Ua[ij]b[ij] = aba[ij] (3.6)

T (a[ii]; b[ij]; c[jj]) = abc[ij] (3.7)

T (a[ii]; b[ij]; c[ji]) = (abc+ abc)[ii] (3.8)



T (a[ii]; b[ij]; c[jk]) = abc[ik] (3.9)

T (a[ii]; b[ii]; c[ij]) = abc[ij] (3.10)

T (a[ij]; b[jj]; c[jk]) = abc[ik] (3.11)

T (a[ij]; b[ji]; c[ik]) = a(bc)[ik] (3.12)

T (a[ij]; b[jk]; c[ki]) = (a(bc) + a(bc))[ii] (3.13)

donde a[ij] representa un elemento de H3(C;¡) lleno de ceros excepto por unoctoni¶on a en la posici¶on (i; j), T (a; b; c) = Ua;c(b) y se entiende que todaslas U -f¶ormulas que no se deducen de las anteriores y a[ji] = a[ij] son 0. Unaderivaci¶on en este contexto (v¶ease [31, 1.4,p.3]) es una aplicaci¶on D veri¯cando:

D(1) = 0; (3.14)

D(Ux(y)) = T (D(x); y; x) + Ux(D(y)); 8x; y: (3.15)

Es sencillo comprobar que el espacio vectorial de todas las derivaciones deH3(Os;¡) es un ¶algebra de Lie con respecto al producto [D;D0] := DD0¡D0D.Escribimos entonces f4(Os;¡) como el ¶algebra de Lie de las derivaciones del¶algebra de Jordan cuadr¶atica H3(Os;¡). Es importante notar que esta cons-trucci¶on no depende de la caracter¶³stica del cuerpo base.

x3.2 Elemento gen¶erico libre de caracter¶³stica

Hemos implementado la estructura de H3(Os;¡) en un sistema computacional(Mathematica) (Sesi¶on IV) y, usando las reglas de multiplicaci¶on de U y Ty las condiciones que de¯nen una derivaci¶on, hemos determinado la expresi¶onmatricial gen¶erica de cualquier derivaci¶on en f4(Os;¡) en la base B (v¶ease laSesi¶on V ¶o [12]). Veamos no obstante un par de ejemplos. Hemos escritola imagen de E1 por una derivaci¶on arbitraria D como un elemento gen¶ericode H3(Os;¡) con 27 par¶ametros libres. Como E1 es idempotente, es decir,UE1(1) = E1, tenemos que

D(E1) = D(UE1(1)) = T (D(E1); 1; E1)+UE1(D(1)) = T (D(E1); 1; E1): (3.16)

Esto implica que D(E1)¡T (D(E1); 1; E1) = 0 y, reslviendo el sistema lineal quese obtiene, encontramos queD(E1) puede escribirse en funci¶on de 16 par¶ametroslibres (2 octoniones) como

D(E1) =

0@ 0 O1 O2O1 0 0O2 0 0

1A : (3.17)

Veamos el c¶alculo an¶alogo con X1(e1). Hemos de¯nido D(X1(e1)) como unelemento gen¶erico de H3(Os;¡) y usado relaciones como UX1(e1)(E1) = 0, paraobtener la correspondiente despu¶es de aplicar D, es decir,

T (D(X1(e1)); E1; X1(e1)) + UX1(e1)(D(E1)) = 0: (3.18)


126 SECCI ¶ON 3.3. CARACTER¶³STICA 2

Como T (E1; E1; X1(e1)) = X1(e1), tenemos

D(X1(e1)) =

= T (D(E1); E1; X1(e1)) + T (E1; D(E1); X1(e1)) + T (E1; E1;D(X1(e1)));(3.19)

donde hemos usado la regla de Leibnitz.Siguiendo este tipo de c¶alculo (v¶ease la Sesi¶on V), hemos obtenido que la

matriz gen¶erica de un elemento cualquiera de f4(Os;¡), sin ninguna restricci¶onen la caracter¶³stica, es (3.66), en la base B, y por tanto dim f4(Os;¡) = 52.

x3.3 Caracter¶³stica 2

Podemos ahora, usando la matriz (3.66), de¯nir una base de f4(Os;¡) en elcaso en el que la caracter¶³stica sea 2,

B := fxi : i = 1; : : : ; 52g: (3.20)

Hemos hecho esto ordenando los par¶ametros en (3.66)

f»; ®1; ®2; ®3; ®4; ®5; ®6; ®7; ®8; ¯1; ¯2; ¯3; ¯4; ¯5; ¯6; ¯7; ¯8;°1; °2; °3; °4; °5; °6; °7; °8; ±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6; ±7; ²1; ²2; ²3; ²4;

´1; ´2; ´3; ´4; ´5; ½1; ½2; ½3; ½4; ½5; ½6; Á1; Á2; Â1; Ã1; Ã2g (3.21)

y d¶andoles los valores cero y uno en cada caso.Estudiemos a continuaci¶on el ideal generado, por ejemplo, por x1. Si hace-

mos los productos [x1; xi], i = 1; : : : ; 52, con todos los elementos b¶asicos de Bobtenemos1 el conjunto linealmente independiente

fx1; x10; x11; x12; x13; x14; x15; x16; x17; x18; x19; x20; x21; x22; x23; x24; x25g(3.22)

donde hemos eliminado los ceros e incluido x1. Si multiplicamos los elementosdel conjunto anterior de nuevo con los elementos b¶asicos obtenemos del mismomodo el mayor conjunto linealemente independiente

fx1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9; x10; x11; x12; x13; x14; x15; x16; x17; x18;x19; x20; x21; x22; x23; x24; x25; x26 + x34 + x37g: (3.23)

De este modo, los elementos del conjunto anterior son de la forma [[x1; xi]; xj ] obien [x; xi] eliminando los ceros e incluyendo x1. Si aumentamos la profundidadde los productos Lie, obtenemos el mismo conjunto, es decir, el ideal I generadopor x1 no es todo el ¶algebra de Lie: el ¶algebra de Lie f4(Os;¡) no es simple sila caracter¶³stica del cuerpo base es 2. Si procedemos de este modo (Sesi¶on VI)obtenemos que el ideal generado por cualquiera de los primeros 25 elementos dela base B es tambi¶en I, mientras que el resto s¶³ genera todo el ¶algebra.Ser¶a fundamental a lo largo del trabajo, como lo fue el equivalente en otras

¶algebras, el siguente teorema

1La caracter¶³stica del cuerpo base es 2.



Teorema 3.2Sea f4(Os;¡) el ¶algebra de Lie de las derivaciones del ¶algebra de Jordan cua-dr¶atica H3(Os;¡) sin ninguna restricci¶on sobre la caracter¶³stica. Entonces paratodo 0 6= X 2 f4(Os;¡) existe i 2 f1; : : : ; 52g tal que xi 2 (X), donde (X) de-nota el ideal generado por X.

Demostraci¶on.Si X es un elemento gen¶erico de f4(Os;¡), como en (3.66), tenemos la

identidad[[[X;x2]; x11]; x45] = ±2x19: (3.24)

Si ±2 6= 0, el elemento b¶asico x19, y el ideal generado por x19, es decir, I, est¶acontenido en el generado por X. Si ±2 = 0, usamos la identidad

[[X;x38]; x45] = ¡²1x45 (3.25)

para tener que x45 2 (X) si ²1 6= 0. Si ±2 y ²1 son cero entonces [[X;x28]; x38] =¡½5x38. Esta ecuaci¶on nos permite concluir que x38 2 (X) si ½5 6= 0. Todas lasindentidades y razonamientos aparecen en los ¶arboles 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4.¥

3.3.1 Estudiando el ideal I

Vamos a probar que

I =< fxigi=1;:::;25 [ fx26 + x34 + x37g > (3.26)

es el ¶unico ideal propio no nulo de f4(Os;¡) en el caso en el que la caracter¶³sticasea 2. En esta secci¶on mostraremos que I es un ideal minimal y en la siguienteterminaremos probando que tambi¶en es maximal. A partir del Teorema 3.2, seprueba que el ideal I es minimal: el ideal generado por cualquier elemento es obien el total o bien contine a I.Consideremos I como ¶algebra de Lie. >Es simple? Podemos tomar la base

BI := fyi : i = 1; : : : ; 26g of I, dondeyi := xi; i = 1; : : : ; 25 and y26 := x26 + x34 + x37: (3.27)

Si tomamos y1 y hacemos corchetes de Lie con los elementos b¶asicos de BIobtenemos, como primer paso, el conjunto

fy1; y10; y11; y12; y13; y14; y15; y16; y17; y18;y19; y20; y21; y22; y23; y24; y25g (3.28)

donde hemos eliminado los elementos nulos y a~nadido y1. Si hacemos corchetesde Lie de nuevo obtenemos todos los elementos b¶asicos. Es decir, el ideal gene-rado por y1 es I. Del mismo modo, el ideal generado por yi, i = 2; : : : ; 26, estambi¶en I. Sea Y un elemento no nulo:

Y =

26Xi=1

®iyi: (3.29)



X = generic

?[[[X;x2]; x11]; x45] = ±2x19

©©©©¼

HHHHj±2 6= 0 ±2 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x38]; x45] = ¡²1x45©©©©¼

HHHHj²1 = 0 ²1 6= 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[X;x28]; x38] = ¡½5x38

©©©©¼

HHHHj½5 6= 0 ½5 = 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[X;x27]; x28] = ¡½4x28

©©©©¼

HHHHj½4 = 0 ½4 6= 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[X;x27]; x29] = ¡½6x27

©©©©¼

HHHHj½6 6= 0 ½6 = 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[X;x27]; x31] = ¡½2x27

©©©©¼

HHHHj½2 = 0 ½2 6= 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[X;x27]; x32] = ¡½3x27

©©©©¼

HHHHj½3 6= 0 ½3 = 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[Z; x27]; x30] = ®1x3

©©©©¼

HHHHj®1 = 0 ®1 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x3]; x30] = ¡½1x3©©©©¼

HHHHj½1 6= 0 ½1 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x27]; x33] = ¡´2x27©©©©¼

HHHHj´2 = 0 ´2 6= 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[X;x27]; x48] = ¡´3x27

©©©©¼

HHHHj´3 6= 0 ´3 = 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[X;x27]; x36] = ¡°6x20

©©©©¼

HHHHj°6 = 0 °6 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x20]; x36] = Â1x20©©©©¼

HHHHjÂ1 6= 0 Â1 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x27]; x51] = ´4x27©©©©¼

HHHHj

Figura 3.1: ¶Arbol de identidades en f4(Os;¡).



[[X;x27]; x51] = ´4x27©©©©¼

HHHHj´4 6= 0 ´4 = 0


ideal < X >= f4(Os)

[[X;x27]; x49] = ¯5x17©©©©¼

HHHHj¯5 = 0 ¯5 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x17]; x49] = ¡²3x17©©©©¼

HHHHj²3 6= 0 ²3 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x26]; x27] = ´5x32©©©©¼

HHHHj´5 = 0 ´5 6= 0


ideal < X >= f4(Os)

[[X;x27]; x34] = ¯4x17©©©©¼

HHHHj¯4 6= 0 ¯4 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x1]; x27] = °2x20©©©©¼

HHHHj°2 = 0 °2 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x10]; x27] = ¡®6x18©©©©¼

HHHHj®6 6= 0 ®6 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x4]; x42] = ¡±5x4©©©©¼

HHHHj±5 = 0 ±5 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x16]; x35] = ¡Á2x16©©©©¼

HHHHjÁ2 6= 0 Á2 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x18]; x50] = ²4x18©©©©¼

HHHHj²4 = 0 ²4 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x26]; x28] = ¡°7x18©©©©¼

HHHHj°7 6= 0 °7 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x1]; x28] = ¯3x17©©©©¼

HHHHj¯3 = 0 ¯3 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x10]; x28] = ¡®7x18©©©©¼

HHHHj®7 6= 0 ®7 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x5]; x43] = ¡±6x5©©©©¼

HHHHj




[[X;x5]; x43] = ¡±6x5©©©©¼

HHHHj±6 6= 0 ±6 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x6]; x51] = ¯2x18©©©©¼

HHHHj¯2 = 0 ¯2 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x1]; x51] = ¡°5x18©©©©¼

HHHHj°5 6= 0 °5 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x6]; x18] = ¡®8x18©©©©¼

HHHHj®8 = 0 ®8 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x6]; x39] = ¡Á1x6©©©©¼

HHHHjÁ1 6= 0 Á1 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x1]; x29] = °8x18©©©©¼

HHHHj°8 = 0 °8 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x1]; x31] = ¯1x16©©©©¼

HHHHj¯1 6= 0 ¯1 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x3]; x10] = ¡±1x18©©©©¼

HHHHj±1 = 0 ±1 6= 0


I ½ ideal < X >

[X;x27] = ¡´1x27©©©©¼

HHHHj´1 6= 0 ´1 = 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[X;x28] = ¡²2x28

©©©©¼

HHHHj²2 = 0 ²2 6= 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[[X;x4]; x6] = °4x18

©©©©¼

HHHHj°4 6= 0 °4 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x1]; x33] = ¡¯6x16©©©©¼

HHHHj¯6 = 0 ¯6 6= 0


I ½ ideal < X >

[[X;x2]; x52] = ±7x4©©©©¼

HHHHj±7 6= 0 ±7 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x1]; x35] = ¯8x16©©©©¼

HHHHj




[[X;x1]; x35] = ¯8x16©©©©¼

HHHHj¯8 6= 0 ¯8 = 0


I ½ ideal < X >

[[X;x1]; x6] = °3x16©©©©¼

HHHHj°3 = 0 °3 6= 0


I ½ ideal < X >

[X;x18] = ¡»x18©©©©¼

HHHHj» 6= 0 » = 0


I ½ ideal < X >

[X;x16] = ®4x18©©©©¼

HHHHj®4 = 0 ®4 6= 0


I ½ ideal < X >

[X;x31] = Ã1x27©©©©¼

HHHHjÃ1 6= 0 Ã1 = 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[X;x33] = ±3x27

©©©©¼

HHHHj±3 = 0 ±3 6= 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[X;x39] = ®3x6

©©©©¼

HHHHj®3 6= 0 ®3 = 0


I ½ ideal < X >

[X;x30] = ¡Ã2x29©©©©¼

HHHHjÃ2 = 0 Ã2 6= 0


ideal < X >= f4(Os;¡)[X;x32] = ®5x3

©©©©¼

HHHHj®5 6= 0 ®5 = 0


I ½ ideal < X >

[X;x26] = ¡®2x3©©©©¼

HHHHj®2 = 0 ®2 6= 0


I ½ ideal < X >

[X;x5] = ¡¯7x18©©©©¼

HHHHj¯7 6= 0 ¯7 = 0


I ½ ideal < X >

[X;x7] = ¡°1x15©©©©¼

HHHHj°1 = 0 °1 6= 0


I ½ ideal < X >

X = ±4x29




S¶olo tenemos que repetir el mismo argumento que utilizamos para probar que Ies minimal para cocluir que I es simple con ¶algebra de Lie. Esto es as¶³ porqueen cada paso el ideal generado por alg¶un yi, es decir I, est¶a contenido en elgenerado por Y . Como

[[[Y; y1]; y2]; y10] = ®11y2; (3.30)

si ®11 6= 0, hemos terminado. Si ®11 = 0, procedemos como sigue:Si ®11 = 0 entonces [[Y; y2]; y10] = ®3y10; si adem¶as ®3 = 0, [[Y; y2]; y12] = ®15y2;si adem¶as ®15 = 0, [[Y; y2]; y13] = ®16y2; si adem¶as ®16 = 0, [[Y; y2]; y14] = ®17y2;si adem¶as ®17 = 0, [[Y; y2]; y19] = ®18y2; si adem¶as ®18 = 0, [[Y; y1]; y19] = ®10y2;si adem¶as ®10 = 0, [[Y; y2]; y7] = ®20y19; si adem¶as ®20 = 0, [[Y; y1]; y23] = ®12y2;si adem¶as ®12 = 0, [[Y; y2]; y5] = ®22y23; si adem¶as ®22 = 0, [[Y; y1]; y2] = ®21y13;si adem¶as ®21 = 0, [Y; y2] = ®26y2; si adem¶as ®26 = 0, [[Y; y1]; y10] = ®19y2;si adem¶as ®19 = 0, [[Y; y1]; y12] = ®23y2; si adem¶as ®23 = 0, [[Y; y1]; y13] = ®24y2;si adem¶as ®24 = 0, [[Y; y1]; y5] = ®14y23; si adem¶as ®14 = 0, [Y; y5] = ®8y1;si adem¶as ®8 = 0, [Y; y9] = ®6y1; si adem¶as ®6 = 0, [[Y; y1]; y4] = ®13y25;si adem¶as ®13 = 0, [Y; y1] = ®25y25; si adem¶as ®25 = 0, [Y; y3] = ®2y1;si adem¶as ®2 = 0, [Y; y4] = ®7y1; si adem¶as ®7 = 0, [Y; y6] = ®9y1;si adem¶as ®9 = 0, [Y; y7] = ®4y1; si adem¶as ®4 = 0, [Y; y8] = ®5y1;si adem¶as ®5 = 0, Y = ®1y1.

Podemos entonces establecer el siguiente teorema donde hemos incluido unadescomposici¶on de Cartan de I (Sesi¶on VII):

Teorema 3.3I es un ¶algebra de Lie simple de dimensi¶on 26 con sub¶algebra de Cartan bidi-mensional y descomposici¶on de Cartan como sigue:

I = H © I® © I¯ © I®+¯ ; (3.31)H =< y1; y26 >; (3.32)

I® =< y18; : : : ; y25 >; I¯ =< y2; : : : ; y9 >; I®+¯ =< y10; : : : ; y17 >; (3.33)

® : H ! F ;®(y1) = 1; ®(y26) = 0; (3.34)

¯ : H ! F ;¯(y1) = 0; ®(y26) = 1; (3.35)

®+ ¯ : H ! F ; (®+ ¯)(y1) = 1; (®+ ¯)(y26) = 1; (3.36)

ad(y1)jI® = 1I® ; ad(y1)jI¯ = 0; ad(y1)jI®+¯ = 1I®+¯ ; (3.37)ad(y26)jI® = 0; ad(y26)jI¯ = 1I¯ ; ad(y26)jI®+¯ = 1I®+¯ (3.38)

[I®; I®] ¡!

0BBBBBBBBB@

0 y26 0 0 0 0 0 0y26 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y26 0 00 0 0 0 0 0 y26 00 0 0 0 0 0 0 y260 0 y26 0 0 0 0 00 0 0 y26 0 0 0 00 0 0 0 y26 0 0 0

1CCCCCCCCCA(3.39)



[I¯ ; I¯ ] ¡!

0BBBBBBBBB@

0 y1 0 0 0 0 0 0y1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y1 0 00 0 0 0 0 0 y1 00 0 0 0 0 0 0 y10 0 y1 0 0 0 0 00 0 0 y1 0 0 0 00 0 0 0 y1 0 0 0

1CCCCCCCCCA(3.40)

[I®+¯; I®+¯ ] ¡!0BBBB@0 y1 + y26 0 0 0 0 0 0

y1 + y26 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y1 + y26 0 00 0 0 0 0 0 y1 + y26 00 0 0 0 0 0 0 y1 + y260 0 y1 + y26 0 0 0 0 00 0 0 y1 + y26 0 0 0 00 0 0 0 y1 + y26 0 0 0

1CCCCA (3.41)

[I®; I¯] ¡!

0BBBBBBBBB@

y10 0 0 0 0 y15 y16 y170 y11 y12 y13 y14 0 0 0y12 0 0 y17 y16 y11 0 0y13 0 y17 0 y15 0 y11 0y14 0 y16 y15 0 0 0 y110 y15 y10 0 0 0 y14 y130 y16 0 y10 0 y14 0 y120 y17 0 0 y10 y13 y12 0

1CCCCCCCCCA(3.42)

[I¯ ; I®+¯] ¡!

0BBBBBBBBB@

0 y19 0 0 0 y23 y24 y25y18 0 y20 y21 y22 0 0 00 y20 0 y25 y24 y18 0 00 y21 y25 0 y23 0 y18 00 y22 y24 y23 0 0 0 y18y23 0 y19 0 0 0 y22 y21y24 0 0 y19 0 y22 0 y20y25 0 0 0 y19 y21 y20 0

1CCCCCCCCCA(3.43)

[I®+¯; I®] ¡!

0BBBBBBBBB@

0 y2 y4 y5 y6 0 0 0y3 0 0 0 0 y7 y8 y9y4 0 0 y9 y8 y2 0 0y5 0 y9 0 y7 0 y2 0y6 0 y8 y7 0 0 0 y20 y7 y3 0 0 0 y6 y50 y8 0 y3 0 y6 0 y40 y9 0 0 y3 y5 y4 0

1CCCCCCCCCA(3.44)

3.3.2 Estudiando el cociente f4(Os;¡)=IVamos a probar que el cociente f4(Os;¡)=I es tambi¶en simple, es decir, el idealI adem¶as de minimal es tambi¶en maximal: es ¶unico entre los ideales propios nonulos. Podemos extender la base BI con yi := xi, i = 27; : : : ; 52, para construir



as¶³ una base de f4(Os;¡). De este modo, una base de f4(Os;¡)=I esBc := fyi = yi + I : i = 27; : : : ; 52g: (3.45)

Tomando la proyecci¶on P sobre el subespacio generado por fy27; : : : ; y52g, essencillo de¯nir un corchete Lie en f4(Os;¡)=I como

< x+ I; y + I >:= P ([x; y]) + I; x; y 2 f4(Os;¡): (3.46)

Entonces, tomemos y27. Realizando los productos con los elementos de la baseBc obtenemos, y27 incluido, el conjunto linealmente independiente

fy27; y28; y29; y31; y32; y33; y34; y48; y51; y52g: (3.47)

Si a~nadimos a este conjunto el obtenido realizando de nuevo corchetes con loselementos b¶asicos en Bc obtenemos los elementos de Bc menos y45, wue es a~nadi-do en el siguiente nivel de profundidad del corchete. As¶³, el dieal generado pory27 en f4(Os;¡)=I es todo el ¶algebra. Lo mismo ocurre con el resto de loselementos de la base (v¶ease Sesi¶on VII). Repetiremos un argumento anteriorpara probar que cualquier elemento del ¶algebra de Lie genera todo el cociente.Si Z es un elemento gen¶erico no nulo en el cociente

Z =

52Xi=27

®iyi (3.48)

tenemos que[[[Z; y27]; y28]; y33] = ¡®45y27: (3.49)

Si ®45 6= 0, hemos terminado, pero, si ®45 = 0, procedemos como sigue (v¶easeSesi¶on VII):

si ®45=0) [[Z; y27]; y28]=¡®46y27; si adem¶as ®46=0, [[Z; y27]; y29]=¡®47y27;si adem¶as ®47=0, [[Z; y27]; y31]=¡®43y27; si adem¶as ®43=0, [[Z; y27]; y30]=®44y29;si adem¶as ®44=0, [[Z; y27]; y33]=¡®38y27; si adem¶as ®38=0, [[Z; y27]; y35]=®41y31;si adem¶as ®41=0, [[Z; y27]; y36]=®39y31; si adem¶as ®39=0, [[Z; y27]; y34]=®40y31;si adem¶as ®40=0, [Z; y27]=¡®37y27; si adem¶as ®37=0, [[Z; y28]; y30]=¡®42y28;si adem¶as ®42=0, [[Z; y28]; y33]=¡®34y27; si adem¶as ®34=0, [[Z; y28]; y35]=®36y31;si adem¶as ®36=0, [[Z; y28]; y34]=®35y29; si adem¶as ®35=0, [Z; y28]=¡®33y27;si adem¶as ®33=0, [[Z; y29]; y33]=¡®49y27; si adem¶as ®49=0, [Z; y29]=¡®48y27;si adem¶as ®48=0, [[Z; y30]; y33]=¡®51y27; si adem¶as ®51=0, [Z; y30]=¡®52y29;si adem¶as ®52=0, [Z; y31]=¡®50y29; si adem¶as ®50=0, [[Z; y33]; y34]=®30y31;si adem¶as ®30=0, [Z; y33]=®28y27; si adem¶as ®28=0, [Z; y35]=¡®32y31;si adem¶as ®32=0, [Z; y36]=¡®29y31; si adem¶as ®29=0, [Z; y34]=¡®31y31;si adem¶as ®31=0, [Z; y37]=®27y27; si adem¶as ®27=0 then Z=0.

Podemos a¯rmar entonces que el cociente es simple y, como consecuencia, I esmaximal y es el ¶unico ideal propio no nulo en f4(O2;¡), si la caracter¶³stica es2.

Teorema 3.4Sea f4(Os;¡) el ¶algebra de Lie de las derivaciones del ¶algebra de Jordan cua-dr¶atica H3(Os;¡) en el caso split y con caracter¶³stica 2. Entonces,



1. Un elemento gen¶erico de f4(Os;¡) es de la forma (3.66), con respecto ala base (3.3).

2. El ¶algebra de Lie f4(Os;¡) no es simple:(a) Existe un ¶unico ideal propio no nulo, I, en f4(Os;¡), v¶ease (3.23),

que es de dimensi¶on 26 (su estructura est¶a dada en el Teorema 3.3).

(b) I y el ¶algebra cociente W := f4(Os;¡)=I son ¶algebras de Lie simplesisomorfas.

Demostraci¶on.Despu¶es de lo expuesto, s¶olo resta probar que I y W son isomorfos. Para

ello, mostraremos primero que tienen descomposiciones de Cartan similares ydespu¶es usaremos esta descomposici¶on de Cartan para de¯nir un isomor¯smo.Usando las anteriores de¯niciones es sencillo comprobar (Sesi¶on VII) que elcociente posee una descomposici¶on de Cartan como sigue:

W = K ©W® ©W¯ ©W®+¯ ; (3.50)

K =< y34; y37 >; (3.51)

W® =< y28; y46; y48; y43; y41; y39; y31; y52 >; (3.52)

W¯ =< y35; y49; y27; y50; y30; y45; y36; y42 >; (3.53)

W®+¯ =< y29; y47; y33; y44; y40; y38; y32; y51 >; (3.54)

® : K ! F ;®(y34) = 1; ®(y34) = 0; (3.55)

¯ : K ! F ;¯(y37) = 0; ®(y37) = 1; (3.56)

®+ ¯ : K ! F ; (®+ ¯)(y34) = 1; (®+ ¯)(y37) = 1; (3.57)

ad(y34)jW® = 1W® ; ad(y34)jW¯ = 0; ad(y34)jW®+¯ = 1W®+¯ ; (3.58)

ad(y37)jW® = 0; ad(y37)jW¯ = 1W¯ ; ad(y37)jW®+¯ = 1W®+¯ (3.59)

[W®;W®] ¡!

0BBBBBBBBBBB@

0 y37 0 0 0 0 0 0y37 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y37 0 00 0 0 0 0 0 y37 00 0 0 0 0 0 0 y370 0 y37 0 0 0 0 00 0 0 y37 0 0 0 00 0 0 0 y37 0 0 0

1CCCCCCCCCCCA(3.60)

[W¯ ;W¯ ] ¡!

0BBBBBBBBB@

0 y34 0 0 0 0 0 0y34 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y34 0 00 0 0 0 0 0 y34 00 0 0 0 0 0 0 y340 0 y34 0 0 0 0 00 0 0 y34 0 0 0 00 0 0 0 y34 0 0 0

1CCCCCCCCCA(3.61)



[W®+¯ ;W®+¯ ] ¡!0BBBB@0 y34+y37 0 0 0 0 0 0

y34+y37 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y34+y37 0 00 0 0 0 0 0 y34+y37 00 0 0 0 0 0 0 y34+y370 0 y34+y37 0 0 0 0 00 0 0 y34+y37 0 0 0 00 0 0 0 y34+y37 0 0 0

1CCCCA (3.62)

[W®;W¯ ] ¡!

0BBBBBBBBB@

y29 0 0 0 0 y38 y32 y510 y47 y33 y44 y40 0 0 0y33 0 0 y51 y32 y47 0 0y44 0 y51 0 y38 0 y47 0y40 0 y32 y38 0 0 0 y470 y38 y29 0 0 0 y40 y440 y32 0 y29 0 y40 0 y330 y51 0 0 y29 y44 y33 0

1CCCCCCCCCA(3.63)

[W¯;W®+¯ ] ¡!

0BBBBBBBBB@

0 y46 0 0 0 y39 y31 y52y28 0 y48 y43 y41 0 0 00 y48 0 y52 y31 y28 0 00 y43 y52 0 y39 0 y28 00 y41 y31 y39 0 0 0 y28y39 0 y46 0 0 0 y41 y43y31 0 0 y46 0 y41 0 y48y52 0 0 0 y46 y43 y48 0

1CCCCCCCCCA(3.64)

[W®+¯;W®] ¡!

0BBBB@0 y35 y27 y50 y30 0 0 0y49 0 0 0 0 y45 y36 y42y27 0 0 y42 y36 y35 0 0y50 0 y42 0 y45 0 y35 0y30 0 y36 y45 0 0 0 y350 y45 y49 0 0 0 y30 y500 y36 0 y49 0 y30 0 y270 y42 0 0 y49 y50 y27 0

1CCCCA (3.65)

El isomor¯smo, teniendo presente esta estructura y usando el Teorema 3.3,resulta ahora claro: © : I ¡!W tal que

y1 7! y34y26 7! y37

y18 7! y28y19 7! y46y20 7! y48y21 7! y43y22 7! y41y23 7! y39y24 7! y31y25 7! y52



¥



138 SECCI ¶ON 3.4. MATRIZ GEN¶ERICA SIMPLIFICADA (CARAC(K) 6= 2)

x3.4 Matriz gen¶erica simpli¯cada (Carac(K) 6= 2)Sea (C;¡) un ¶algebra de Cayley sobre un cuerpo F de caracter¶³stica distinta dedos. El espacio vectorial de todas las matrices de orden 3 con coe¯cientes en C,denotado porM3(C), no posee estructura de ¶algebra de Jordan con el producto

x ± y := 1

2(xy + yx); 8x; y 2M3(C); (3.67)

donde xy es el producto matricial en el que las entradas se multiplican en C.Sin embargo, si de¯nimos la conjugaci¶on trasponiendo y conjugando cada ele-mento seg¶un la conjugaci¶on existente en el ¶algebra de Cayley, el subespacio deM3(C) formado por las matrices autoadjuntas seg¶un la conjugaci¶on anterior s¶³forman un ¶algebra de Jordan que denotaremos por H3(C;¡) con el mencionadoproducto.

De¯nici¶on 3.5Se de¯ne el ¶algebra de Jordan H3(C;¡) como el ¶algebra formada por las ma-trices del tipo

X =

0@¸1 c bc ¸2 ab a ¸3

1A ; con ¸i 2 F; a; b; c 2 C; (3.68)

donde se de¯ne la suma y producto por escalares de forma habitual y con elproducto dado en (3.67).

Es usual escribir un elemento cualquiera de H3(C;¡) como (v¶ease [32, p. 324])

X = ¸1E1 + ¸2E2 + ¸3E3 +X1(a) +X2(b) +X3(c) (3.69)

donde

E1 :=

0@ 1 0 00 0 00 0 0

1A ; E2 :=0@ 0 0 00 1 00 0 0

1A ; E3 :=0@ 0 0 00 0 00 0 1

1A ; (3.70)X1(a) :=

0@ 0 0 00 0 a0 a 0

1A ; X2(b) :=0@ 0 0 b0 0 0b 0 0

1A ; X3(c) :=0@ 0 c 0c 0 00 0 0

1A : (3.71)Con estas de¯niciones, las relaciones de multiplicaci¶on en H3(C;¡) son

Ei ± Ej =

½Ej ; si j = i0; si j == i

(3.72)

Ei ±Xj(z) =

½0; si j = i12Xj(z); si j == i

(3.73)

Xi(z1) ±Xj(z2) =

½q(z1; z2)(I3 ¡ Ei); si j = i12X(i+2)mod3(z1z2); si j = i+ 1

(3.74)



donde q(x; y) =1

2(xy + yx) es la forma bilineal en C. Estas relaciones de¯nen

completamente la estructura algebraica de H3(C;¡).Obtendremos una matriz simpli¯cada para un elemento gen¶erico de f4(Os) =

Der(H3(Os;¡)). Todos los c¶alculos y resultados presentados en esta secci¶onest¶an demostrados expl¶³citamente en la Sesi¶on IX. Usando las de¯niciones(3.70)-(3.71), una base de H3(Os;¡) es el conjunto

B := fE1; E2; E3; X1(ei)i=1;:::;8; X2(ei)i=1;:::;8; X3(ei)i=1;:::;8g; (3.75)

donde ei, para i = 1; : : : ; 8 es la base est¶andar del ¶algebra Os, es decir,

e1 :=

µ1 (0; 0; 0)

(0; 0; 0) 0

¶; e2 :=

µ0 (0; 0; 0)

(0; 0; 0) 1

¶;

e3 :=

µ0 (1; 0; 0)

(0; 0; 0) 0

¶; e4 :=

µ0 (0; 1; 0)

(0; 0; 0) 0

¶;

e5 :=

µ0 (0; 0; 1)

(0; 0; 0) 0

¶; e6 :=

µ0 (0; 0; 0)

(1; 0; 0) 0

¶;

e7 :=

µ0 (0; 0; 0)

(0; 1; 0) 0

¶; e8 :=

µ0 (0; 0; 0)

(0; 0; 1) 0

¶:

La dimensi¶on del ¶algebra H3(Os;¡) ser¶a por tanto 27.Consideremos D 2 f4(Os). La aplicaci¶on D no s¶olo es lineal sino que satisfaceD(x ± y) = x ±D(y) +D(x) ± y para todos x; y 2 H3(Os;¡). Para determinar,

por ejemplo, D(E1), hacemos primero D(E1) =

0@¸ x yx ¹ zy z °

1A. Como E21 = E1,tenemos que D(E1) = 2D(E1) ± E1, lo que implica que ¸ = ¹ = ° = 0 yz = 0. Entonces D(E1) = X2(y) + X3(x) involucrando 16 par¶ametros libres.Siguiendo de esta forma con D(E2), y usando que E1 ± E2 = 0, tenemos queD(E2) = X1(w) ¡ X3(x) y entonces D(E2) a~nade s¶olo 8 par¶ametros nuevos.Como D(E3) = ¡D(E1)¡D(E2), esta imagen no introduce ning¶un par¶ametronuevo.Para determinar D(X1(e1)) de¯nimos esta imagen como una matriz gen¶ericadel ¶algebra H3(Os;¡)

D(X1(e1)) =

0@ ¸1 r31 r21r31 ¸2 r11r21 r11 ¸3

1Ay usamos las relaci¶on (3.73) con j = 1 y z = e1, y la relaci¶on (3.74) con i = j = 1,apropiadamente transformada por D. As¶³ encontramos que

D(X1(e1)) =

0@ 0 ¡e1y ¡xe1¡e1y ¡2q(w; e1) r11¡xe1 r11 2q(w; e1)

1APablo Alberca Bjerregaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tesis doctoral.


con q(e1; r11) = 0. Por tanto esta expresi¶on involucra 7 nuevos par¶ametros.Trabajando de igual modo con D(X1(ei)), para i = 2; : : : ; 8, obtenemos laexpresi¶on general

D(X1(ei)) =

0@ 0 ¡eiy ¡xei¡eiy ¡2q(w; ei) r1i¡xei r1i 2q(w; ei)

1A (3.76)

dondeq(ei; r1j) + q(ej ; r1i) = 0; 1 · i · j · 8: (3.77)

Esta ¶ultima identidad se obtiene a partir de X1(ei)±X1(ej) = q(ei; ej)(I3¡E1):Usamos las mismas identidades para D(X2(ei)) adem¶as de

(X1(ep) ±X2(eq)) ±X1(ek) = 1

4X2(ew) (3.78)

donde ew = ek(epeq) y

(X2(ep) ±X1(eq)) ±X2(ek) = 1

4X1(ew) (3.79)

donde ew = (eqep)ek. De este modo llegamos a

D(X2(ei)) =

0@¡2q(y; ei) ¡wei s2i¡wei 0 eixs2i eix 2q(y; ei)

1A (3.80)

con

(ejei)s2;i + (ejs2i)ei = 0; i; j = 1; : : : ; 8; (3.81)

q(ei; s2i) = 0; i = 1; : : : ; 8; (3.82)

epeqr1k + r1peqek + eps2q = s2w si ew = ek(epeq) (3.83)

(eqep)s2k + (eqs2p)ek + (r1qep)ek = r1w; si ew = (eqep)ek: (3.84)

Finalmente, las matrices D(X3(ei)) para i = 1; : : : ; 8, est¶an autom¶aticamentedeterminadas usando las relaciones (3.74). Por tanto, llegamos a que la matriz2

de un elemento gen¶erico de f4(Os) con respecto a la base (3.75) en caracter¶³sticadistinta de 2 es

0BBBBB@0 0 0 0 y x0 0 0 w 0 ¡x0 0 0 ¡w ¡y 00 ¡2q(w; ei) 2q(w; ei) r1i ¡xei ¡eiy

¡2q(y; ei) 0 2q(y; ei) eix s2i ¡weiai bi ci ui vi t3i

1CCCCCA (3.85)

2Obs¶ervese que las primeras tres entradas en cada ¯la est¶an en F mientras que las 24restantes entradas est¶an compactadas en tres octoniones. La cuarta ¯la representa 8 ¯las,i = 1; : : : ; 8, y lo mismo se aplica a las ¯las restantes.



donde x; y; w 2 Os y

r1i; s2i; t3i 2 Os; (3.86)

ai = ¡Traza((xepi)eqi); (3.87)

bi = Traza(epi(eqix)); (3.88)

ci = Traza((eqix)epi)¡ eqi(xepi)); (3.89)

ui = 2q(y; eqi)epi ¡ (epiy)eqi ; (3.90)

vi = 2q(w; epi)eqi ¡ epi(weqi) (3.91)

con epieqi = ei, i = 1; : : : ; 8. Los octoniones ri1, i = 1; : : : ; 8 satisfacen laecuaci¶on

q(ei; r1j) + q(ej ; r1i) = 0; 1 · i · j · 8; (3.92)

e involucran 28 par¶ametros. Los octoniones s2i est¶an completamente determi-nados por los r1i usando las ecuaciones

(ejei)s2i + (ejs2i)ei = 0; i; j = 1; : : : ; 8; (3.93)

q(ei; s2i) = 0; i = 1; : : : ; 8; (3.94)

epeqr1k + r1peqek + eps2q = s2w si ew = ek(epeq) (3.95)

(eqep)s2k + (eqs2p)ek + (r1qep)ek = r1w; si ew = (eqep)ek: (3.96)

Por ¶ultimo, los octoniones t3i, i = 1; : : : ; 8 est¶an dados por

t3i := r1pieqi + epis2qi ; i = 1; : : : ; 8; (3.97)

donde epieqi = ei, i = 1; : : : ; 8. Es importante resaltar que la particular elecci¶onde epi y eqi , tales que epieqi = ei no in°uye en el resultado.




Sesión IV : EcuacionesdeMcCrimmon Con la primera intención de analizar el caso en el que la característica es 2, nosvemos en la necesidad de introducirnos en el contexto de las álgebras de Jordancuadráticas. Para ello necesitamos seguir a McCrimmon y definir el operador U yel producto triple T casi "elemento a elemento". Comenzamos con la construccióndel operador Ux y en función del lugar que ocupan los octoniones en la matriz deH3 Os, . Las ecuaciones de McCrimmon que defininen la estructura de álgebrade Jordan cuadrática en H3 Os, se pueden reproducir definiendo primero losoperadores U y T sobre elementos y después, usando varias relaciones, sobreelementos genéricos. Hacemos por tanto, en primer lugar

In[1]:= Ua_,i_,j_@b_, k_, l_D : Which@i k l, Ej@tri@ @aD, b, aDD,i k && j l && i j, Xi,j@tri@a, @bD, aDD,i l && j k && i j, Xi,j@tri@a, b, aDD,j k l, Ei@tri@a, b, @aDDD,True, E1@0DD

No se ha definido aún la base de H3 Os, construida con los elementos Ei y Xi, j .El comando tri representa el producto de tres octoniones haciendotri a, b, c a b c con a, b, c Os y denota la conjugación octoniónica. En laconstrucción de U presentada, a y b denotan octoniones y las parejas i, j y k, llas posiciones que ocupan en la matriz 3×3 de H3 Os, . Definir el operador T esun poco más delicado. Tenemos que comenzar con crear un comando, DadoQ,para reconocer la ecuación de entre las de McCrimmon que tenemos que aplicar.Dicho comando es

In[2]:= DadoQ@a_, b_, c_, d_, e_, f_D :Which@a b c && d a && d e f, 8True, 1<,a b c && d a && e d && f a, 8True, 2<,a b c && d a && d e && f e && f a,8True, 3<, a b c d e && f a, 8True, 4<,a b && b c d e && f a && f b, 8True, 5<,a b && b c && a d e && f a && f b, 8True, 6<,a b && a f && b c && d a && d b && d e,8True, 7<, True, 8False, 0<D

que devuelve una respuesta de la forma True, i si es que es una de las ecuacionesdadas. El índice representa el número de la ecuación que tenemos que usar.Usando este comando, podemos construir T en función del lugar que ocupan losoctoniones y a la vez para que sea simétrica con respecto a la primera y terceravariable y en función del operador U den aquellos casos en los que se tenga unarelación que los vincule:

In[3]:= T@a_, i_, j_, b_, k_, l_, c_, m_, n_D : Which@i m && j n,

Ua c,i,j@b, k, lD Ua,i,j@b, k, lD Uc,i,j@b, k, lD,DadoQ@i, j, k, l, m, nD@@1DD,

FDadoQ@i,j,k,l,m,nD@@2DD@a, i, j, b, k, l, c, m, nD,DadoQ@j, i, k, l, m, nD@@1DD,

FDadoQ@j,i,k,l,m,nD@@2DD@ @aD, j, i, b, k, l, c, m, nD,DadoQ@i, j, l, k, m, nD@@1DD,

FDadoQ@i,j,l,k,m,nD@@2DD@a, i, j, @bD, l, k, c, m, nD,DadoQ@i, j, k, l, n, mD@@1DD,

FDadoQ@i,j,k,l,n,mD@@2DD@a, i, j, b, k, l, @cD, n, mD,DadoQ@j, i, l, k, m, nD@@1DD,

FDadoQ@j,i,l,k,m,nD@@2DD@ @aD, j, i, @bD, l, k, c, m, nD,DadoQ@j, i, k, l, n, mD@@1DD,

FDadoQ@j,i,k,l,n,mD@@2DD@ @aD, j, i, b, k, l, @cD, n, mD,DadoQ@i, j, l, k, n, mD@@1DD,

FDadoQ@i,j,l,k,n,mD@@2DD@a, i, j, @bD, l, k, @cD, n, mD,DadoQ@j, i, l, k, n, mD@@1DD,

FDadoQ@j,i,l,k,n,mD@@2DD@ @aD, j, i, @bD, l, k, @cD, n, mD,DadoQ@m, n, k, l, i, jD@@1DD,FDadoQ@m,n,k,l,i,jD@@2DD@c, m, n, b, k, l, a, i, jD,

DadoQ@n, m, k, l, i, jD@@1DD,FDadoQ@n,m,k,l,i,jD@@2DD@ @cD, n, m, b, k, l, a, i, jD,

DadoQ@m, n, l, k, i, jD@@1DD,FDadoQ@m,n,l,k,i,jD@@2DD@c, m, n, @bD, l, k, a, i, jD,

DadoQ@m, n, k, l, j, iD@@1DD,FDadoQ@m,n,k,l,j,iD@@2DD@c, m, n, b, k, l, @aD, j, iD,

DadoQ@n, m, l, k, i, jD@@1DD,FDadoQ@n,m,l,k,i,jD@@2DD@ @cD, n, m, @bD, l, k, a, i, jD,

DadoQ@n, m, k, l, j, iD@@1DD,FDadoQ@n,m,k,l,j,iD@@2DD@ @cD, n, m, b, k, l, @aD, j, iD,

DadoQ@m, n, l, k, j, iD@@1DD,FDadoQ@m,n,l,k,j,iD@@2DD@c, m, n, @bD, l, k, @aD, j, iD,

DadoQ@n, m, l, k, j, iD@@1DD,FDadoQ@n,m,l,k,j,iD@@2DD@ @cD, n, m, @bD, l, k, @aD, j, iD,

True, E1@0DDLos términos FDadoQ representan cada una de las fórmulas de McCrimmon queintroducimos a continuación

144 Ecuaciones de McCrimmon

In[4]:= F1@a_, i_, i_, b_, i_, j_, c_, j_, j_D : Xi,j@tri@a, b, cDD;F2@a_, i_, i_, b_, i_, j_, c_, j_, i_D :Ei@tri@a, b, cD @tri@a, b, cDDD;

F3@a_, i_, i_, b_, i_, j_, c_, j_, k_D : Xi,k@tri@a, b, cDD;F4@a_, i_, i_, b_, i_, i_, c_, i_, j_D : Xi,j@tri@a, b, cDD;F5@a_, i_, j_, b_, j_, j_, c_, j_, k_D : Xi,k@tri@a, b, cDD;F6@a_, i_, j_, b_, j_, i_, c_, i_, k_D : Xi,k@tri@a, b, cDD;F7@a_, i_, j_, b_, j_, k_, c_, k_, i_D :Ei@tri@a, b, cD @tri@a, b, cDDD;

Es el momento de definir la los operadores que han permanecido hasta el momentoinactivos:

Sesión IV 145

In[5]:= vectorial@8x_, y_, z_<, 8u_, v_, w_<D8y w z v, z u x w, x v y u<;escalar@8x_, y_, z_<, 8u_, v_, w_<D

x u y v z w;

prodAikjj _ x_

y_ _y{zz, ikjj _ z_

t_ _y{zzE :J escalar@x, tD z x vectorial@y, tD

y t vectorial@x, zD escalar@y, zD N;@x_D : J x@@2, 2DD x@@1, 2DDx@@2, 1DD x@@1, 1DD N;

e1 J 1 80, 0, 0<80, 0, 0< 0N; e2 J 0 80, 0, 0<80, 0, 0< 1

N;e3 J 0 81, 0, 0<80, 0, 0< 0

N;e4 J 0 80, 1, 0<80, 0, 0< 0

N; e5 J 0 80, 0, 1<80, 0, 0< 0N;

e6 J 0 80, 0, 0<81, 0, 0< 0N;

e7 J 0 80, 0, 0<80, 1, 0< 0N; e8 J 0 80, 0, 0<80, 0, 1< 0

N;Id J 1 80, 0, 0<80, 0, 0< 1

N; cero 0 Id;

E1@x_D : ikjjjjjj x Id cero cerocero cero cerocero cero cero

y{zzzzzz; E2@x_D : ikjjjjjj cero cero cerocero x Id cerocero cero cero

y{zzzzzz;E3@x_D : ikjjjjjj cero cero cero

cero cero cerocero cero x Id

y{zzzzzz;X1,2@ _D : ikjjjjjj cero cero@ D cero cero

cero cero cero

y{zzzzzz;X1,3@ _D : ikjjjjjj cero cero

cero cero cero@ D cero cero

y{zzzzzz; X2,1@x_D : X1,2@ @xDD;X2,3@ _D : ikjjjjjj cero cero cero

cero cerocero @ D cero

y{zzzzzz;X3,1@ _D : ikjjjjjj cero cero @ D

cero cero cerocero cero

y{zzzzzz; X3,2@x_D : X2,3@ @xDD;CERO E1@0D;i_,j_ : If@i j, 1, 0D;octo@x_D : Sum@xi ei, 8i, 8<D;tri@a_, b_, c_D : prod@a, prod@b, cDD;

La siguiente definición, construye el operador T para un elemento cualquierausando su caracter trilineal


In[6]:= T@x_, y_, z_D :Sum@T@x@@i, jDD, i, j, y@@k, lDD, k, l, z@@m, nDD, m, nD,8i, 1, 3<, 8j, i, 3<, 8k, 1, 3<, 8l, k, 3<, 8m, 1, 3<, 8n, m, 3<D

y de igual modo, definimos el operador U , primero con subíndice cualquier matriz

In[7]:= Uikjjjjjjjjjj_ a_ c_

_ _ b_

_ _ _

y{zzzzzzzzzz@x_D :

T@E1@ D E2@ D E3@ D, x, X1,2@aD X2,3@bD X1,3@cDDT@E1@ D E2@ D, x, E3@ DD T@E1@ D, x, E2@ DD U ,1,1@xDU ,2,2@xD U ,3,3@xD T@X1,2@aD X2,3@bD, x, X1,3@cDDT@X1,2@aD, x, X2,3@bDD Ua,1,2@xD Ub,2,3@xD Uc,1,3@xD

y seguidamente con argumento una matriz cualquiera:

In[8]:= Ux_,i_,j_Aikjjjjjjjj _ a_ c_

_ _ b_

_ _ _

y{zzzzzzzzE : Ux,i,j@ , 1, 1D Ux,i,j@ , 2, 2DUx,i,j@ , 3, 3D Ux,i,j@a, 1, 2D Ux,i,j@b, 2, 3D Ux,i,j@c, 1, 3D

Una vez definidos los comandos e intrucciones necesarios para construir laestructura de álgebra de Jordan cuadrática, es necesario verificar las identidadescorrespondientes que definen dicha estructura algebraica. Para ello, en primerlugar, construimos una base haciendo

In[9]:= b1 E1@1D; b2 E2@1D; b3 E3@1D;Do@bi Which@3 i 11, X1,2@ei 3D, 11 i 19,

X2,3@ei 11D, True, X1,3@ei 19DD, 8i, 4, 27<D;UNO b1 b2 b3;

pudiendo así construir tres elementos genéricos en la forma

In[10]:= cualq Sum@ i bi, 8i, 1, 27<D;In[11]:= cualq2 Sum@ i bi, 8i, 1, 27<D;In[12]:= cualq3 Sum@ i bi, 8i, 1, 27<D;

que nos permitirán probar las identidades que definen la estructura. Nótese que Tes, como debe ser, simétrica con respecto a la primera y tercera variables:

Sesión IV 147

In[13]:= Expand@T@cualq, cualq3, cualq2D T@cualq2, cualq3, cualqDDE1@0D

Out[13]= True

La primera identidad es

UId Id

es decir, U1 x x para todo x de H3 Os, , verificándose como puede verse en

In[14]:= UUNO@cualqD cualq

Out[14]= True

La segunda identidad es

Ux T y, x, z T x, y, Ux z , x, y, z H3 Os,

cuya verificación se puede ver, usando que es lineal en z , en


In[15]:= Do@Print@Expand@Ucualq@T@cualq2, cualq, biDD

T@cualq, cualq2, Ucualq@biDDD E1@0DD, 8i, 27<DTrue

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

Sólo nos resta una identidad, que es

Sesión IV 149

Ux Uy Ux z UUx y z , x, y, z H3 Os,

y, usando que es lineal en z , podemos verificarla haciendo


In[16]:= Do@Print@

Expand@Ucualq@Ucualq2@Ucualq@biDDD UUcualq@cualq2D@biDDE1@0DD, 8i, 27<D

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

True

Sesión IV 151

Siendo ésta, una de las más complejas desde el punto de vista computacional, noen vano, en el sistema donde se lanzó por primera vez para preparar esta sesión(Pentium II a 233 MHz y 64 Mb de Ram) ha tardado unas 4 horas.

No sólo hemos, por tanto, programado la estructura de álgebra de Jordancuadrática de H3 Os, en característica 2, sino "libre de característica". Esto seráun primer paso prometedor que dará pie a la siguiente sesión.


Sesión V : Elemento genérico deDer HH3 HOs, LL

libre de característica

Una vez que tenemos la estructura de álgebra de Jordan cuadrática programada,calcularemos en esta sesión la matriz genérica de una derivación de H3 Os, "libre de característica". No sólo porque los operadores U y T no dependen de lacaracterística (ni, por tanto, la definición de la estructura) sino porque todo elrazonamiento que sigue no depende de ella en modo alguno. Necesitamos, paraempezar, que el núcleo del programa cargue los comandos que se definieron en lasesión anterior. Una vez hecho esto, comenzamos a trabajar resaltando ladefinición de derivación en el contexto de álgebras de Jordan cuadráticas:

D 1 0 y D Ux y D x , y, x Ux D y x,y

Determinaciónde las imágenesdeEi 1 , i 1, 2, 3.

Los elementos Ei 1 son idempotentes en el sentido Ux 1 x. En efecto

In[11]:= Do@Print@UEi@1D@UNOD Ei@1DD, 8i, 3<DTrue

True

True

Además usaremos la regla de Leibnitz para triples

D x, y, z D x , y, z x, D y , z x, y, D z .

Para ello, y para clarificar las identidades, definimos

In[12]:= Leib@x_, y_, z_D : T@ @xD, y, zD T@x, @yD, zD T@x, y, @zDDEn primer lugar determinaremos la imagen de E1 1 haciendo

In[13]:= @E1@1DD cualq;

Vamos a denotar de la forma E1 1 a la imagen de E1 1 con la derivación.Como E1 1 es idempotente, tendremos que

D E1 1 D UE1 1 1 D E1 1 , 1, E1 1 UE1 1 D 1 D E1 1 , 1, E1 1,

y así debe ser cero

In[14]:= @E1@1DD T@ @E1@1DD, UNO, E1@1DD ±± ExpandOut[14]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14, 15, 16

17 , 18 , 19 13

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 14, 15, 16

17, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Por tanto, las condiciones que obtenemos para los parámetros son

In[15]:= @E1@1DD @E1@1DD ±±. 8 1 0, 2 0, 3 0, 12 0,

13 0, 14 0, 15 0, 16 0, 17 0, 18 0, 19 0<Out[15]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 7 , 8

9 , 10 , 11 5

20 22, 23, 24

25 , 26 , 27 21

5 6 , 7 , 8

9 , 10 , 11 4

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

21 22, 23, 24

25, 26, 27 20

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Renombramos los parámetros que restan sin determinar para que queden fijos y nose mezclen con los siguientes

In[16]:= @E1@1DD @E1@1DD ±±. 8 4 1, 5 2, 6 3, 7 4,

8 5, 9 6, 10 7, 11 8, 20 1, 21 2,

22 3, 23 4, 24 5, 25 6, 26 7, 27 8<Out[16]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 3 , 4 , 5

6 , 7 , 8 2

1 3, 4, 5

6 , 7 , 8 2

2 3 , 4 , 5

6, 7 , 8 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 3 , 4 , 5

6, 7 , 8 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Nótese que la igualdad de Leibnitz no aporta nada nuevo ya que como

In[17]:= T@E1@1D, E1@1D, E1@1DD 2 E1@1DOut[17]= True

se reduce a

In[18]:= Leib@E1@1D, E1@1D, E1@1DD 2 @E1@1DDOut[18]= True

y la igualdad ya se verifica idénticamente. Seguimos con la imagen de E2 1

In[19]:= @E2@1DD cualq;

154 Elemento genérico de Der(H3(Os,-))

Al ser idempotente tenemos la igualdad D E2 1 D UE2 1 1 D E2 1 , 1, E2 1 UE2 1 D 1 D E2 1 , 1, E2 1 , y así debe ser cero

In[20]:= @E2@1DD T@ @E2@1DD, UNO, E2@1DD ±± ExpandOut[20]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

20 22, 23, 24

25 , 26 , 27 21

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 0, 0, 00, 0, 0 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

21 22, 23, 24

25, 26, 27 20

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Obtenemos un conjunto de reglas que incorporamos en la imagen de E2 1haciendo

In[21]:= @E2@1DD @E2@1DD ±±. 8 1 0, 2 0, 3 0, 20 0,

21 0, 22 0, 23 0, 24 0, 25 0, 26 0, 27 0<Out[21]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 7 , 89 , 10, 11 5

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 6 , 7 , 89, 10 , 11 4

0 0, 0, 00, 0, 0 0

12 14, 15, 1617 , 18, 19 13

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 14, 15, 1617, 18, 19 12

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Como E1 1 y E2 1 son idempotentes ortogonales ya que

In[22]:= UE1@1D@E2@1DD CERO

Out[22]= True

tenemos que debe ser cero D E1 1 , E2 1 , E1 1 UE1 1 D E2 1 por lacondición de derivación

In[23]:= T@ @E1@1DD, E2@1D, E1@1DD UE1@1D@ @E2@1DDD CERO

Out[23]= True

Condición que no añade ninguna nueva regla. Usamos entonces la igualdad deLeibnitz

In[24]:= ?Leib

Global`Leib

Leib x_, y_, z_ : T x , y, z T x, y , z T x, y, z

de tal forma que, por ejemplo,

In[25]:= T@E1@1D, E1@1D, E2@1DD CERO

Out[25]= True


Sesión V 155

In[26]:= Leib@E1@1D, E1@1D, E2@1DDOut[26]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 4 3 6, 4 7 , 5 86 9 , 7 10, 8 11 2 5

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 5 3 6 , 4 7 , 5 86 9 , 7 10, 8 11 1 4

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Entonces imponemos las reglas obtenidas haciendo

In[27]:= @E2@1DD @E2@1DD ±±. 8 4 1, 5 2, 6 3,

7 4, 8 5, 9 6, 10 7, 11 8<Out[27]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 3, 4 , 5

6 , 7 , 8 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 3 , 4 , 5

6 , 7 , 8 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

12 14 , 15 , 16

17, 18, 19 13

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 14 , 15, 16

17 , 18 , 19 12

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Podríamos hacer también

In[28]:= T@E1@1D, E2@1D, E1@1DD CERO

Out[28]= True

y entonces debe ser cero

In[29]:= Leib@E1@1D, E2@1D, E1@1DD CERO

Out[29]= True

hecho que se tiene ya asegurado. De igual modo, como

In[30]:= T@E1@1D, E2@1D, E2@1DD CERO

Out[30]= True

también se debe anular


Out[31]= True

sin información nueva alguna. Podemos hacer

In[32]:= T@E2@1D, E1@1D, E2@1DDOut[32]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así debe anularse



Out[33]= True

siendo cierto de forma idéntica. Como

In[34]:= T@E2@1D, E2@1D, E2@1DD 2 E2@1DOut[34]= True

se tiene que

In[35]:= Leib@E2@1D, E2@1D, E2@1DD 2 @E2@1DDOut[35]= True

y no obtenemos más información. Por tanto la imagen de E2 1 aporta 8parámetros nuevos (un octonión) y entonces fijamos los parámetros restantesrenombrándolos de la forma

In[36]:= @E2@1DD @E2@1DD ±±. 8 12 1, 13 2, 14 3, 15 4,

16 5, 17 6, 18 7, 19 8<Out[36]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 3 , 4 , 5

6 , 7, 8 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 3 , 4 , 5

6 , 7 , 8 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 3 , 4, 5

6, 7 , 8 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 3 , 4 , 5

6, 7 , 8 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Como E1 1 E2 1 E3 1 1 y D 1 0, definimos

In[37]:= @E3@1DD @E2@1DD @E1@1DDOut[37]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 3 , 4 , 5

6 , 7, 8 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 3 , 4, 5

6, 7 , 8 2

2 3 , 4 , 5

6 , 7 , 8 1

2 3 , 4 , 5

6, 7 , 8 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

No es posible eliminar ninguno de estos parámetros ya que todas las igualdades se verifican. En efecto,


Out[38]= True

y entonces


Out[39]= True

De igual modo

Sesión V 157


Out[40]= True

y entonces


Out[41]= True

Como es idempotente debe ser cero

In[42]:= H @E3@1DD T@ @E3@1DD, UNO, E3@1DD ±± ExpandL CERO

Out[42]= True

Por último, se verifican todas las posibilidades con la igualdad de Leibnitz debidoa la linealidad.

Determinaciónde las imágenesdeX1 ei , i 1, 2, ..., 8.

Una vez determinadas las imágenes de los elementos Ei 1 , nos centramos en lasde los elementos X1 ei para i 1, ..., 8. Usaremos desde luego el comando

In[43]:= Leib@x_, y_, z_D : T@ @xD, y, zD T@x, @yD, zD T@x, y, @zDDPara poder comenzar en este punto realizando cuentas, definimos los tres octoniones

In[44]:= O1 J 1 8 3, 4, 5<8 6, 7, 8< 2N;

O2 J 1 8 3, 4, 5<8 6, 7, 8< 2N;

O3 J 1 8 3, 4, 5<8 6, 7, 8< 2N;

y entonces hemos probado que

In[45]:= @E1@1DD ikjjjjjj cero O1 O2@O1D cero cero@O2D cero cero

y{zzzzzz;In[46]:= @E2@1DD ikjjjjjj cero O1 cero@O1D cero O3

cero @O3D cero

y{zzzzzz;In[47]:= @E3@1DD @E1@1DD @E2@1DD;

Redefinimos los elementos Xi de la forma


In[48]:= X1@ _D : X1,2@ D; X2@ _D : X2,3@ D; X3@ _D : X1,3@ D;X1 e1

Definimos la imagen de X1 e1 como un elemento genérico haciendo

In[49]:= @X1@e1DD cualq;

Usamos el operador U para multiplicar X1 e1 con E1 1 , cuya imagen ya tenemosdeterminada

In[50]:= UX1@e1D@E1@1DD CERO

Out[50]= True

entonces si construimos la función

In[51]:= defin@x_, y_D : T@ @xD, y, xD Ux@ @yDDdebe anularse

In[52]:= defin@X1@e1D, E1@1DD ±± ExpandOut[52]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 1 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 2 1

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 0, 0, 025, 26, 27 21

0 0, 0, 00, 0, 0 0

21 0, 0, 025, 26, 27 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así hacemos

In[53]:= @X1@e1DD @X1@e1DD ±±.8 1 2, 5 0, 21 0, 25 0, 26 0, 27 0<Out[53]=

2 0, 0, 00, 0, 0 2

4 6 , 7 , 89 , 10, 11 0

20 22, 23 , 240, 0, 0 0

0 6 , 7 , 89, 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14, 15, 1617 , 18, 19 13

0 22, 23, 240, 0, 0 20

13 14, 15, 1617, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Por otro lado


Out[54]= True

y por tanto

Sesión V 159


0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 2 0, 0, 00, 0, 0 0

12 14 , 15, 16

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 2 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 14, 15, 16

0, 0, 0 12

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

debe ser cero. Entonces

In[56]:= @X1@e1DD@X1@e1DD ±±. 8 2 2, 12 0, 14 0, 15 0, 16 0<Out[56]=

2 0, 0, 00, 0, 0 2

4 6 , 7, 8

9, 10, 11 020 22, 23, 24

0, 0, 0 00 6 , 7, 8

9, 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

0 0, 0, 017, 18, 19 13

0 22 , 23, 24

0, 0, 0 20

13 0, 0, 017 , 18, 19 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

De igual modo


Out[57]= True

luego se debe anular

In[58]:= Hdefin@X1@e1D, E3@1DD ±± ExpandL CERO

Out[58]= True

sin que aporte niguna regla más. Por otro lado

In[59]:= UX1@e1D@X1@e1DD CERO

Out[59]= True

luego

In[60]:= Hdefin@X1@e1D, X1@e1DD ±± ExpandL CERO

Out[60]= True

y no obtenemos nueva información. Veamos usando la igualdad de Leibnitz

In[61]:= T@E1@1D, E1@1D, X1@e1DD X1@e1DOut[61]= True



In[62]:= @X1@e1DD Leib@E1@1D, E1@1D, X1@e1DD ±± ExpandOut[62]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 017 6 , 18 7, 19 8 13 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 2 0, 0, 06 17, 7 18 , 8 19 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Hacemos entonces

In[63]:= @X1@e1DD@X1@e1DD ±±. 8 3 0, 13 2, 17 6, 18 7, 19 8<Out[63]=

2 0, 0, 00, 0, 0 2

4 6, 7 , 8

9 , 10 , 11 020 22 , 23 , 24

0, 0, 0 00 6 , 7, 8

9, 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

0 0, 0, 06 , 7 , 8 2

0 22 , 23, 24

0, 0, 0 20

2 0, 0, 06 , 7, 8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

para asumir las nuevas reglas. Como

In[64]:= T@E1@1D, X1@e1D, E1@1DD CERO

Out[64]= True

debe anularse

In[65]:= Leib@E1@1D, X1@e1D, E1@1DD CERO

Out[65]= True

Se verifica por tanto idénticamente. Probemos con




0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

20 1 22 3 , 23 4 , 24 5

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 3 22, 4 23 , 5 24

0, 0, 0 20 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y hacemos

Sesión V 161

In[68]:= @X1@e1DD @X1@e1DD ±±. 8 20 1, 22 3, 23 4, 24 5<Out[68]=

2 0, 0, 00, 0, 0 2

4 6, 7 , 8

9 , 10 , 11 01 3 , 4 , 5

0, 0, 0 00 6 , 7, 8

9, 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

0 0, 0, 06 , 7 , 8 2

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 1

2 0, 0, 06 , 7, 8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Como


Out[69]= True

se anula


Out[70]= True

y no obtenemos información alguna. Por linealidad, de E3 1 no conseguimosreglas nuevas. Mezclemos idempotentes:

In[71]:= T@E1@1D, E2@1D, X1@e1DD CERO

Out[71]= True

y entonces

In[72]:= HLeib@E1@1D, E2@1D, X1@e1DD ±± ExpandL CERO

Out[72]= True

y se verifica idénticamente. Veamos con


Out[73]= True

entonces


Out[74]= True

o bien

In[75]:= T@E1@1D, X1@e1D, E2@1DD X1@e1DOut[75]= True

y así, se anula


In[76]:= @X1@e1DD Leib@E1@1D, X1@e1D, E2@1DD CERO

Out[76]= True

Otras posibilidades son

In[77]:= T@X1@e1D, X1@e1D, X1@e1DD CERO

Out[77]= True

y así

In[78]:= Leib@X1@e1D, X1@e1D, X1@e1DD CERO

Out[78]= True

o bien, la siguiente serie

In[79]:= T@X1@e1D, E1@1D, X1@e1DD CERO

Out[79]= True

In[80]:= Leib@X1@e1D, E1@1D, X1@e1DD CERO

Out[80]= True


Out[81]= True

In[82]:= Leib@X1@e1D, E2@1D, X1@e1DD CERO

Out[82]= True

In[83]:= T@E1@1D, X1@e1D, X1@e1DD CERO

Out[83]= True

In[84]:= Leib@E1@1D, X1@e1D, X1@e1DD CERO

Out[84]= True


Out[85]= True

In[86]:= Leib@E2@1D, X1@e1D, X1@e1DD CERO

Out[86]= True

Tenemos por tanto que la imagen de X1 e1 aporta 7 nuevos parámetros quedando

Sesión V 163

In[87]:= @X1@e1DD @X1@e1DD ±±.8 4 1, 6 2, 7 3, 8 4, 9 5, 10 6, 11 7<Out[87]=

2 0, 0, 00, 0, 0 2

1 2, 3, 4

5 , 6 , 7 01 3, 4 , 5

0, 0, 0 00 2 , 3 , 4

5 , 6 , 7 1

2 0, 0, 00, 0, 0 2

0 0, 0, 06 , 7 , 8 2

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 1

2 0, 0, 06, 7 , 8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

X1 e2

Pasemos a analizar la imagen de X1 e2 definiendo


Tenemos que


Out[89]= True

entonces debe anularse


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 1 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 1 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 0, 00, 0, 0 4

20 22 , 23, 24

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 22, 23, 24

0, 0, 0 20

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así hacemos

In[91]:= @X1@e2DD @X1@e2DD ±±.8 1 1, 4 0, 20 0, 22 0, 23 0, 24 0<Out[91]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 6 , 7 , 89 , 10, 11 5

0 0, 0, 025 , 26, 27 21

5 6 , 7 , 89, 10 , 11 0

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14, 15, 1617 , 18, 19 13

21 0, 0, 025 , 26 , 27 0

13 14, 15, 1617, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Se tiene, por otro lado, que


Out[92]= True

y por tanto



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 2 1

0 0, 0, 017, 18, 19 13

2 1 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 0, 0, 017, 18, 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[94]:= @X1@e2DD@X1@e2DD ±±. 8 2 1, 13 0, 17 0, 18 0, 19 0<Out[94]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 6 , 7, 8

9, 10, 11 5

0 0, 0, 025, 26, 27 21

5 6 , 7, 8

9, 10 , 11 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

12 14, 15, 16

0, 0, 0 021 0, 0, 0

25 , 26, 27 00 14 , 15, 16

0, 0, 0 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

También tenemos que


Out[95]= True



Out[96]= True



Out[97]= True

luego


Out[98]= True

sin obtener regla alguna. También tenemos que

In[99]:= UX1@e2D@X1@e1DD X1@e2DOut[99]= True

luego

Sesión V 165

In[100]:= H @X1@e2DD defin@X1@e2D, X1@e1DD ±± ExpandLOut[100]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 1 5

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 5 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

y así tenemos dos reglas que incorporamos haciendo

In[101]:= @X1@e2DD @X1@e2DD ±±. 8 3 0, 5 1<Out[101]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 6 , 7, 8

9, 10, 11 1

0 0, 0, 025, 26, 27 21

1 6 , 7, 8

9, 10 , 11 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

12 14, 15, 16

0, 0, 0 021 0, 0, 0

25 , 26, 27 00 14 , 15, 16

0, 0, 0 12

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Usando la igualdad de Leibnitz tenemos que




0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

12 1 14 3 , 15 4 , 16 5

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 3 14, 4 15 , 5 16

0, 0, 0 12 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Hacemos por tanto

In[104]:= @X1@e2DD @X1@e2DD ±±. 8 12 1, 14 3, 15 4, 16 5<Out[104]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 6, 7 , 8

9 , 10 , 11 1

0 0, 0, 025 , 26 , 27 21

1 6 , 7, 8

9, 10 , 11 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

1 3 , 4 , 5

0, 0, 0 021 0, 0, 0

25 , 26, 27 00 3, 4 , 5

0, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Como también


Out[105]= True

debe anularse



Out[106]= True

verificándose sin más. Probemos con




0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 025 6 , 26 7 , 27 8 21 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

21 2 0, 0, 06 25, 7 26, 8 27 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y hacemos, para incorporar nuevas reglas

In[109]:= @X1@e2DD @X1@e2DD ±±. 8 25 6, 26 7, 27 8, 21 2<Out[109]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 6, 7 , 8

9 , 10 , 11 1

0 0, 0, 06 , 7 , 8 2

1 6 , 7, 8

9, 10 , 11 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

1 3 , 4 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

6 , 7 , 8 00 3, 4 , 5

0, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Como


Out[110]= True

se anula


Out[111]= True

y no obtenemos información alguna. Por linealidad, de E3 1 no obtenemos reglasnuevas. Mezclemos idempotentes:


Out[112]= True

y entonces

Sesión V 167


Out[113]= True



Out[114]= True

entonces


Out[115]= True

Además


y así, se anula


Out[117]= True

Usemos el elemento X1 e1 cuya imagen ya ha sido determinada.



In[119]:= H @X1@e1DD defin@X1@e1D, X1@e2DD ±± ExpandL CERO

Out[119]= True

¿Y la identidad de Leibnitz? Se verifica que

In[120]:= T@E1@1D, X1@e1D, X1@e2DD E1@1DOut[120]= True

y se debe anular por tanto

In[121]:= H @E1@1DD Leib@E1@1D, X1@e1D, X1@e2DD ±± ExpandL CERO

Out[121]= True

sin obtener información alguna. Otra posibilidad sería


In[122]:= T@X1@e1D, E1@1D, X1@e2DD E2@1DOut[122]= True

y así

In[123]:= @E2@1DD Leib@X1@e1D, E1@1D, X1@e2DD CERO

Out[123]= True

Otra combinación es

In[124]:= T@E2@1D, X1@e1D, X1@e2DD E2@1DOut[124]= True

con lo que

In[125]:= H @E2@1DD Leib@E2@1D, X1@e1D, X1@e2DD ±± ExpandL CERO

Out[125]= True

Veamos con la serie


Out[126]= True


Out[127]= True

In[128]:= T@X1@e1D, X1@e2D, X1@e1DD 2 X1@e1DOut[128]= True

In[129]:= H2 @X1@e1DD Leib@X1@e1D, X1@e2D, X1@e1DD ±± ExpandL CERO

Out[129]= True


Out[130]= True


Out[131]= True


Out[132]= True

Sesión V 169


Out[133]= True

Tenemos entonces que la imagen de X1 e2 está determinada fijando 6 parámetros, 6, 7, …, 11

In[134]:= @X1@e2DDOut[134]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 6, 7 , 8

9 , 10 , 11 1

0 0, 0, 06 , 7 , 8 2

1 6 , 7, 8

9, 10 , 11 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

1 3 , 4 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

6 , 7 , 8 00 3, 4 , 5

0, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

de tal forma que

In[135]:= @X1@e2DD@X1@e2DD ±±. 8 6 1, 7 2, 8 3, 9 4, 10 5, 11 6<Out[135]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 1 , 2 , 3

4 , 5, 6 1

0 0, 0, 06 , 7 , 8 2

1 1 , 2 , 3

4, 5 , 6 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

1 3 , 4, 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

6 , 7, 8 00 3 , 4 , 5

0, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

X1 e3

Procedemos a continuación a definir la imagen de X1 e3 como un elementogenérico, tal y como hemos hecho ya, para determinar su imagen


Comenzando con E1 1 podemos hacer


Out[137]= True

y debe anularse el resultado


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 6 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 1 , 0, 00, 0, 0 0

9 0, 0, 00, 0, 0 9

25 21, 0, 00, 24 , 23 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 21, 0, 00, 24 , 23 25

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Debe tenerse entonces que 1 6, 9 0, 21 0, 23 0, 24 0 y25 0. Imponemos estas reglas a la imagen de X1 e3 introduciendo


In[139]:= @X1@e3DD @X1@e3DD ±±.8 1 6, 9 0, 21 0, 23 0, 24 0, 25 0<Out[139]=

6 0, 0, 00, 0, 0 6

4 6 , 7 , 8

0, 10, 11 5

20 22, 0, 00, 26, 27 0

5 6 , 7, 8

0, 10, 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15 , 16

17, 18, 19 13

0 22, 0, 00, 26, 27 20

13 14 , 15, 16

17 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

De igual modo tenemos que


Out[140]= True

y por tanto


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 2, 0, 00, 0, 0 0

17 13, 0, 00, 16 , 15 0

0 6 2 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 13, 0, 00, 16 , 15 17

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[142]:= @X1@e3DD@X1@e3DD ±±. 8 2 6, 13 0, 15 0, 16 0, 17 0<Out[142]=

6 0, 0, 00, 0, 0 6

4 6 , 7 , 8

0, 10, 11 5

20 22 , 0, 00, 26, 27 0

5 6 , 7, 8

0, 10, 11 4

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 0, 00, 18, 19 0

0 22, 0, 00, 26, 27 20

0 14, 0, 00, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

También se verifica


Out[143]= True



Out[144]= True

sin que aporte ninguna regla más. Por otro lado


Out[145]= True

Sesión V 171

luego


Out[146]= True

y no obtenemos nueva información. Asimismo, se verifica


Out[147]= True

y entonces se debe anular la matriz

In[148]:= defin@X1@e3D, X1@e2DD ±± ExpandOut[148]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 4 4 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 4 4, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos entonces las reglas

In[149]:= @X1@e3DD @X1@e3DD ±±. 8 4 4<Out[149]=

6 0, 0, 00, 0, 0 6

4 6 , 7 , 8

0, 10, 11 5

20 22 , 0, 00, 26, 27 0

5 6 , 7, 8

0, 10, 11 4

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 0, 00, 18, 19 0

0 22, 0, 00, 26, 27 20

0 14, 0, 00, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Usando entonces X1 e1 tenemos que


Out[150]= True

y así, la matriz siguiente debe ser nula


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 5 5 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 5 5 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y obtenemos la regla 5 5 haciendo entonces


In[152]:= @X1@e3DD @X1@e3DD ±±. 8 5 5<Out[152]=

6 0, 0, 00, 0, 0 6

4 6 , 7 , 8

0, 10, 11 5

20 22 , 0, 00, 26, 27 0

5 6 , 7, 8

0, 10, 11 4

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 0, 00, 18, 19 0

0 22, 0, 00, 26, 27 20

0 14, 0, 00, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Veamos usando la igualdad de Leibnitz. Podemos verificar que


y así debe anularse


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

6 12 2 14, 0, 00, 18 5 , 4 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 2 14 , 0, 00, 5 18 , 4 19 6 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Hacemos por tanto

In[155]:= @X1@e3DD@X1@e3DD ±±. 8 3 0, 12 6, 14 2, 18 5, 19 4<Out[155]=

6 0, 0, 00, 0, 0 6

4 6 , 7, 8

0, 10 , 11 5

20 22 , 0, 00, 26 , 27 0

5 6 , 7, 8

0, 10, 11 4

6 0, 0, 00, 0, 0 6

6 2 , 0, 00, 5 , 4 0

0 22, 0, 00, 26, 27 20

0 2 , 0, 00, 5 , 4 6

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Como también


Out[156]= True

debe anularse


Out[157]= True

y se tiene directamente. Probemos con


Sesión V 173



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

20 6 22 2 , 0, 00, 5 26 , 27 4 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 2 22, 0, 00, 5 26 , 4 27 20 6

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y hacemos

In[160]:= @X1@e3DD @X1@e3DD ±±. 8 20 6, 22 2, 26 5, 27 4<Out[160]=

6 0, 0, 00, 0, 0 6

4 6 , 7, 8

0, 10 , 11 5

6 2, 0, 00, 5 , 4 0

5 6 , 7, 8

0, 10, 11 4

6 0, 0, 00, 0, 0 6

6 2 , 0, 00, 5 , 4 0

0 2 , 0, 00, 5, 4 6

0 2 , 0, 00, 5 , 4 6

0 0, 0, 00, 0, 0 0

para incorporar las reglas obtenidas. Como


Out[161]= True

se anula


Out[162]= True

y no obtenemos información alguna. Por linealidad, de E3 1 no obtenemos reglasnuevas. Seguimos haciendo


Out[163]= True

y entonces


Out[164]= True



Out[165]= True

entonces



Out[166]= True

Además


y así, se anula


Out[168]= True

Puede probarse con la siguiente serie


In[170]:= H @X1@e1DD defin@X1@e1D, X1@e2DD ±± ExpandL CERO

Out[170]= True


Out[171]= True

In[172]:= HLeib@E1@1D, X1@e1D, X1@e3DD ±± ExpandL CERO

Out[172]= True


Out[173]= True

In[174]:= HLeib@X1@e1D, E1@1D, X1@e3DD ±± ExpandL CERO

Out[174]= True


Out[175]= True


Out[176]= True


Out[177]= True

Sesión V 175

In[178]:= HLeib@X1@e3D, X1@e1D, X1@e1DD ±± ExpandL CERO

Out[178]= True


Out[179]= True


Out[180]= True


Out[181]= True


Out[182]= True


Out[183]= True


Out[184]= True


Out[185]= True


Out[186]= True


Out[187]= True


Out[188]= True

Tenemos entonces que la imagen de X1 e3 está determinada fijando 5 parámetros. Entonces hacemos


In[189]:= @X1@e3DD@X1@e3DD ±±. 8 6 1, 7 2, 8 3, 10 4, 11 5<Out[189]=

6 0, 0, 00, 0, 0 6

4 1 , 2, 3

0, 4 , 5 5

6 2 , 0, 00, 5 , 4 0

5 1 , 2 , 3

0, 4 , 5 4

6 0, 0, 00, 0, 0 6

6 2 , 0, 00, 5 , 4 0

0 2 , 0, 00, 5 , 4 6

0 2 , 0, 00, 5 , 4 6

0 0, 0, 00, 0, 0 0

para fijar los nuevos parámetros.

X1 e4

Definimos la imagen de X1 e4 como un elemento cualquiera de H3 Os, haciendo


Comenzamos verificando que


Out[191]= True

así debe anularse la matriz


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 1 7 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 1 , 00, 0, 0 0

10 0, 0, 00, 0, 0 10

26 0, 21 , 024 , 0, 22 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 21, 024, 0, 22 26

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y usamos las relgas que se deducen de esta condición para tener

In[193]:= @X1@e4DD@X1@e4DD ±±. 8 1 7, 10 0, 21 0, 22 0, 24 0, 26 0<Out[193]=

7 0, 0, 00, 0, 0 7

4 6 , 7 , 8

9 , 0, 11 5

20 0, 23, 025, 0, 27 0

5 6 , 7 , 8

9, 0, 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14, 15, 16

17 , 18, 19 13

0 0, 23, 025, 0, 27 20

13 14, 15, 16

17, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Por otro lado


Out[194]= True

y por tanto

Sesión V 177


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 2 , 00, 0, 0 0

18 0, 13, 016 , 0, 14 0

0 0, 7 2 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 13 , 016, 0, 14 18

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[196]:= @X1@e4DD@X1@e4DD ±±. 8 2 7, 13 0, 14 0, 16 0, 18 0<Out[196]=

7 0, 0, 00, 0, 0 7

4 6 , 7 , 8

9 , 0, 11 5

20 0, 23 , 025 , 0, 27 0

5 6 , 7 , 8

9, 0, 11 4

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 0, 15 , 017 , 0, 19 0

0 0, 23, 025, 0, 27 20

0 0, 15 , 017, 0, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

De igual modo


Out[197]= True



Out[198]= True



Out[199]= True

luego


Out[200]= True

y no obtenemos nueva información.


Out[201]= True

y entonces se debe anular



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 4 9, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 4 9 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos entonces las reglas deducidas para tener

In[203]:= @X1@e4DD @X1@e4DD ±±. 8 9 4<Out[203]=

7 0, 0, 00, 0, 0 7

4 6 , 7 , 8

4 , 0, 11 5

20 0, 23, 025 , 0, 27 0

5 6 , 7, 8

4 , 0, 11 4

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 0, 15, 017 , 0, 19 0

0 0, 23 , 025 , 0, 27 20

0 0, 15 , 017 , 0, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

También se tiene que


Out[204]= True

luego, aplicando la derivación, se debe anular,


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 4 5 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 5 4 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Estas reglas nos conducen a ejecutar

In[206]:= @X1@e4DD @X1@e4DD ±±. 8 4 5<Out[206]=

7 0, 0, 00, 0, 0 7

5 6 , 7 , 8

4 , 0, 11 5

20 0, 23, 025 , 0, 27 0

5 6 , 7, 8

4 , 0, 11 5

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 0, 15, 017 , 0, 19 0

0 0, 23 , 025 , 0, 27 20

0 0, 15 , 017 , 0, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Tenemos de igual modo que


Out[207]= True

y deducimos que debe ser nula la matriz

Sesión V 179


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 5 6 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 6 5 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

La regla obtenida es 5 6 y así

In[209]:= @X1@e4DD @X1@e4DD ±±. 8 5 6<Out[209]=

7 0, 0, 00, 0, 0 7

5 6 , 7 , 8

4 , 0, 11 6

20 0, 23, 025 , 0, 27 0

6 6 , 7, 8

4 , 0, 11 5

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 0, 15, 017 , 0, 19 0

0 0, 23 , 025 , 0, 27 20

0 0, 15 , 017 , 0, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Con el producto triple, podemos hacer


y aplicamos la derivación para obtener que se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

7 12 0, 2 15 , 05 17, 0, 19 3 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 2 15, 05 17, 0, 3 19 7 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Hacemos entonces

In[212]:= @X1@e4DD@X1@e4DD ±±. 8 3 0, 12 7, 15 2, 17 5, 19 3<Out[212]=

7 0, 0, 00, 0, 0 7

5 6 , 7 , 8

4 , 0, 11 6

20 0, 23 , 025, 0, 27 0

6 6 , 7, 8

4 , 0, 11 5

7 0, 0, 00, 0, 0 7

7 0, 2, 05 , 0, 3 0

0 0, 23 , 025 , 0, 27 20

0 0, 2 , 05, 0, 3 7

0 0, 0, 00, 0, 0 0

con las 5 reglas obtenidas. Como


Out[213]= True

debe anularse



Out[214]= True

y se verifica idénticamente. Probemos con




0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

20 7 0, 23 2, 025 5 , 0, 3 27 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 2 23, 05 25, 0, 3 27 20 7

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Estas reglas convierten a la matriz X1 e4 en

In[217]:= @X1@e4DD @X1@e4DD ±±. 8 20 7, 23 2, 25 5, 27 3<Out[217]=

7 0, 0, 00, 0, 0 7

5 6 , 7 , 8

4 , 0, 11 6

7 0, 2 , 05 , 0, 3 0

6 6 , 7, 8

4 , 0, 11 5

7 0, 0, 00, 0, 0 7

7 0, 2, 05 , 0, 3 0

0 0, 2 , 05 , 0, 3 7

0 0, 2 , 05, 0, 3 7

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Como


Out[218]= True

se anula


Out[219]= True

y no obtenemos información alguna. Por linealidad, de E3 1 no obtenemos reglasnuevas. Con el producto triple tenemos


Out[220]= True

y entonces

Sesión V 181


Out[221]= True



Out[222]= True

entonces


Out[223]= True

Además


y así, se anula


Out[225]= True

Como también


Out[226]= True

se debe anular


Out[227]= True



Out[228]= True

y así


Out[229]= True

De igual modo



Out[230]= True

con lo que


Out[231]= True

Veamos con


Out[232]= True

y así


Out[233]= True

sin ninguna regla nueva. Podríamos realizar los siguientes cálculos


Out[234]= True


Out[235]= True


Out[236]= True


Out[237]= True


Out[238]= True


Out[239]= True


Out[240]= True

Sesión V 183


Out[241]= True


Out[242]= True


Out[243]= True

Tenemos entonces que la imagen de X1 e4 queda determinada fijando 4parámetros. Entonces hacemos

In[244]:= @X1@e4DD @X1@e4DD ±±. 8 6 1, 7 2, 8 3, 11 4<Out[244]=

7 0, 0, 00, 0, 0 7

5 1 , 2 , 3

4, 0, 4 6

7 0, 2 , 05 , 0, 3 0

6 1 , 2 , 3

4 , 0, 4 5

7 0, 0, 00, 0, 0 7

7 0, 2 , 05, 0, 3 0

0 0, 2, 05, 0, 3 7

0 0, 2 , 05 , 0, 3 7

0 0, 0, 00, 0, 0 0

X1 e5

Seguimos con X1 e5 . Definimos para ello


Como se tiene que


Out[246]= True

debe anularse el elemento de H3 Os,


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 1 8

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 8 1

0, 0, 0 011 0, 0, 0

0, 0, 0 11

27 0, 0, 21

23, 22, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 21

23, 22, 0 27

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así hacemos


In[248]:= @X1@e5DD@X1@e5DD ±±. 8 1 8, 11 0, 21 0, 22 0, 23 0, 27 0<Out[248]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

4 6 , 7 , 8

9 , 10 , 0 5

20 0, 0, 24

25, 26, 0 05 6 , 7 , 8

9, 10 , 0 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14, 15, 16

17 , 18, 19 13

0 0, 0, 24

25, 26 , 0 20

13 14, 15, 16

17, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

para incorporar las nuevas reglas en nuestra imagen. Por otro lado se tiene de igualmodo


Out[249]= True

y por tanto


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 8 2

0, 0, 0 019 0, 0, 13

15, 14, 0 00 0, 0, 8 2

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 13

15, 14, 0 19

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[251]:= @X1@e5DD@X1@e5DD ±±. 8 2 8, 13 0, 14 0, 15 0, 19 0<Out[251]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

4 6 , 7 , 8

9 , 10 , 0 5

20 0, 0, 24

25 , 26 , 0 05 6 , 7 , 8

9, 10 , 0 4

8 0, 0, 00, 0, 0 8

12 0, 0, 16

17 , 18 , 0 00 0, 0, 24

25, 26 , 0 20

0 0, 0, 16

17, 18, 0 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3



Out[252]= True



Out[253]= True


Sesión V 185


Out[254]= True

luego


Out[255]= True

y no obtenemos nueva información. Asimismo


Out[256]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 4 10

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 4 10

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Imponemos entonces las reglas

In[258]:= @X1@e5DD @X1@e5DD ±±. 8 10 4<Out[258]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

4 6 , 7 , 8

9 , 4 , 0 5

20 0, 0, 24

25 , 26 , 0 05 6 , 7, 8

9 , 4 , 0 4

8 0, 0, 00, 0, 0 8

12 0, 0, 16

17 , 18 , 0 00 0, 0, 24

25, 26, 0 20

0 0, 0, 16

17 , 18, 0 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

De igual modo, se verifica


Out[259]= True

aplicamos la derivación para llegar a que la siguiente matriz


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 5 9

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 5 9

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

debe ser nula. Por tanto deducimos que 9 5 y asi efectuamos


In[261]:= @X1@e5DD @X1@e5DD ±±. 8 9 5<Out[261]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

4 6 , 7 , 8

5 , 4 , 0 5

20 0, 0, 24

25, 26, 0 05 6 , 7 , 8

5 , 4 , 0 4

8 0, 0, 00, 0, 0 8

12 0, 0, 16

17, 18, 0 00 0, 0, 24

25, 26, 0 20

0 0, 0, 16

17, 18, 0 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

También se tiene que UX1 e5 X1 e2 0


Out[262]= True

luego la siguiente matriz debe ser nula


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 4 6

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 6 4

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

con lo que hacemos

In[264]:= @X1@e5DD @X1@e5DD ±±. 8 4 6<Out[264]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

6 6 , 7 , 8

5 , 4 , 0 5

20 0, 0, 24

25, 26, 0 05 6 , 7 , 8

5 , 4 , 0 6

8 0, 0, 00, 0, 0 8

12 0, 0, 16

17, 18, 0 00 0, 0, 24

25, 26, 0 20

0 0, 0, 16

17, 18, 0 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Podemos también usar el hecho de que


Out[265]= True

y deducir que se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 5 7

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 7 5

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Imponemos las reglas que se deducen de esta condición a nuestra imagenejecutando

Sesión V 187

In[267]:= @X1@e5DD @X1@e5DD ±±. 8 5 7<Out[267]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

6 6 , 7 , 8

5 , 4 , 0 7

20 0, 0, 24

25, 26, 0 07 6 , 7 , 8

5 , 4 , 0 6

8 0, 0, 00, 0, 0 8

12 0, 0, 16

17, 18, 0 00 0, 0, 24

25, 26, 0 20

0 0, 0, 16

17, 18, 0 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Con el producto triple tenemos que se verifica la igualdad


y así debe ser cero la matriz


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

8 12 0, 0, 2 16

17 4 , 3 18 , 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 2 16

4 17, 3 18, 0 8 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Hacemos por tanto

In[270]:= @X1@e5DD@X1@e5DD ±±. 8 3 0, 12 8, 16 2, 17 4, 18 3<Out[270]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

6 6 , 7 , 8

5 , 4, 0 7

20 0, 0, 24

25 , 26 , 0 07 6 , 7 , 8

5 , 4 , 0 6

8 0, 0, 00, 0, 0 8

8 0, 0, 2

4 , 3, 0 00 0, 0, 24

25, 26, 0 20

0 0, 0, 2

4 , 3 , 0 8

0 0, 0, 00, 0, 0 0

para incluir las nuevas relaciones en la imagen. De igual modo, como


Out[271]= True

debe anularse


Out[272]= True

sin que este hecho aporte regla alguna. Probemos con





0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

20 8 0, 0, 24 2

4 25, 26 3 , 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 2 24

4 25, 3 26, 0 20 8

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y hacemos

In[275]:= @X1@e5DD @X1@e5DD ±±. 8 20 8, 24 2, 25 4, 26 3<Out[275]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

6 6 , 7, 8

5, 4 , 0 7

8 0, 0, 2

4 , 3 , 0 07 6 , 7 , 8

5 , 4 , 0 6

8 0, 0, 00, 0, 0 8

8 0, 0, 2

4 , 3 , 0 00 0, 0, 2

4 , 3, 0 8

0 0, 0, 2

4 , 3 , 0 8

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Como


Out[276]= True

se anula


Out[277]= True

y no obtenemos información alguna. Al igual que antes, E3 1 no aporta reglasnuevas. Seguimos efectuando


Out[278]= True

y entonces


Out[279]= True



Out[280]= True

entonces

Sesión V 189


Out[281]= True

Además


y así, se anula


Out[283]= True

También podemos verificar que


Out[284]= True

Se debe anular por tanto


Out[285]= True



Out[286]= True

y así


Out[287]= True

De igual modo


Out[288]= True

con lo que


Out[289]= True

Veamos con



Out[290]= True

y así


Out[291]= True

Otros cálculos pueden ser


Out[292]= True


Out[293]= True


Out[294]= True


Out[295]= True


Out[296]= True


Out[297]= True


Out[298]= True


Out[299]= True


Out[300]= True


Out[301]= True

Sesión V 191

Deducimos por tanto que la imagen de X1 e5 está determinada si fijamos 3 de losparámetros de la matriz imagen. Entonces hacemos

In[302]:= @X1@e5DD @X1@e5DD ±±. 8 6 1, 7 2, 8 3<Out[302]=

8 0, 0, 00, 0, 0 8

6 1, 2, 3

5, 4 , 0 7

8 0, 0, 2

4 , 3 , 0 07 1 , 2 , 3

5 , 4 , 0 6

8 0, 0, 00, 0, 0 8

8 0, 0, 2

4 , 3 , 0 00 0, 0, 2

4 , 3, 0 8

0 0, 0, 2

4 , 3 , 0 8

0 0, 0, 00, 0, 0 0

X1 e6

Veamos cuántos parámetros aporta la imagen de X1 e6 . Para ello, y al igual que enlos elementos ya fijados, definimos


Comenzamos verificando que


Out[304]= True

con lo que debe anularse el siguiente elemento


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 01 3 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 03 1, 0, 0 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

0 0, 27, 26

20, 0, 0 22

0 0, 0, 00, 0, 0 0

22 0, 27 , 26

20 , 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Deducimos que 1 3, 6 0, 20 0, 22 0, 26 0 y 27 0. Estasreglas, sobre nuestra imagen, actúan dejándola como sigue

In[306]:= @X1@e6DD@X1@e6DD ±±. 8 1 3, 6 0, 20 0, 22 0, 26 0, 27 0<Out[306]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

4 0, 7, 8

9 , 10 , 11 5

0 0, 23 , 24

25, 0, 0 21

5 0, 7, 8

9, 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15 , 16

17, 18, 19 13

21 0, 23, 24

25 , 0, 0 013 14 , 15, 16

17 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Se tiene de igual modo que


Out[307]= True


y por tanto


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 03 2, 0, 0 0

0 0, 19 , 18

12 , 0, 0 14

0 0, 0, 03 2 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

14 0, 19 , 18

12, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0


In[309]:= @X1@e6DD@X1@e6DD ±±. 8 2 3, 12 0, 14 0, 18 0, 19 0<Out[309]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

4 0, 7, 8

9 , 10 , 11 5

0 0, 23, 24

25, 0, 0 21

5 0, 7, 8

9, 10 , 11 4

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 15, 16

17, 0, 0 13

21 0, 23, 24

25 , 0, 0 013 0, 15, 16

17 , 0, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Por otro lado


Out[310]= True

luego


Out[311]= True



Out[312]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 011 1 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 011 1, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos entonces las reglas para tener

Sesión V 193

In[314]:= @X1@e6DD @X1@e6DD ±±. 8 11 1<Out[314]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

4 0, 7 , 8

9, 10, 1 5

0 0, 23, 24

25, 0, 0 21

5 0, 7, 8

9, 10 , 1 4

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 15, 16

17, 0, 0 13

21 0, 23, 24

25 , 0, 0 013 0, 15, 16

17 , 0, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Por otro lado


Out[315]= True

con lo que se debe anular la matriz


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 01 10 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 01 10 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Esta regla se aplica haciendo

In[317]:= @X1@e6DD @X1@e6DD ±±. 8 10 1<Out[317]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

4 0, 7, 8

9 , 1, 1 5

0 0, 23 , 24

25 , 0, 0 21

5 0, 7 , 8

9 , 1 , 1 4

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 15 , 16

17 , 0, 0 13

21 0, 23, 24

25, 0, 0 013 0, 15, 16

17, 0, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

También se puede comprobar que


Aplicando la derivación, llegamos a que la siguiente expresión debe ser cero

In[319]:= @X1@e6DD defin@X1@e6D, X1@e3DD ±± ExpandOut[319]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 01 9 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 01 9 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

con lo que obtenemos la regla


In[320]:= @X1@e6DD @X1@e6DD ±±. 8 9 1<Out[320]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

4 0, 7 , 8

1 , 1 , 1 5

0 0, 23 , 24

25 , 0, 0 21

5 0, 7 , 8

1, 1 , 1 4

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 15 , 16

17 , 0, 0 13

21 0, 23, 24

25, 0, 0 013 0, 15, 16

17, 0, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

De igual modo se verifica


Out[321]= True

y, aplicando la derivación, se tiene que


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 04 1 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 01 4 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

debe ser una matriz nula. Para ello es necesario que 4 1 y por tanto hacemos

In[323]:= @X1@e6DD @X1@e6DD ±±. 8 4 1<Out[323]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

1 0, 7 , 8

1 , 1 , 1 5

0 0, 23 , 24

25 , 0, 0 21

5 0, 7 , 8

1, 1 , 1 1

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 15 , 16

17 , 0, 0 13

21 0, 23, 24

25, 0, 0 013 0, 15, 16

17, 0, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

También usamos la igualdad


Out[324]= True

para deducir que debe anularse


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 05 2 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 02 5 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos la regla que se deduce haciendo

Sesión V 195

In[326]:= @X1@e6DD @X1@e6DD ±±. 8 5 2<Out[326]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

1 0, 7 , 8

1 , 1 , 1 2

0 0, 23 , 24

25 , 0, 0 21

2 0, 7 , 8

1, 1 , 1 1

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 15 , 16

17 , 0, 0 13

21 0, 23, 24

25, 0, 0 013 0, 15, 16

17, 0, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Por otro lado




0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 8 15, 16 7

1 17 , 0, 0 3 13

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 13 0, 8 15 , 7 16

1 17, 0, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Hacemos

In[329]:= @X1@e6DD@X1@e6DD ±±. 8 3 0, 13 3, 15 8, 16 7, 17 1<Out[329]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

1 0, 7 , 8

1, 1 , 1 2

0 0, 23 , 24

25 , 0, 0 21

2 0, 7 , 8

1, 1 , 1 1

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 8, 7

1 , 0, 0 3

21 0, 23, 24

25, 0, 0 03 0, 8 , 7

1 , 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Como también


Out[330]= True

debe anularse


Out[331]= True

sin que este hecho aporte niguna regla nueva. Probemos con





0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 23 8 , 7 24

25 1 , 0, 0 21 3

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

21 3 0, 8 23, 7 24

1 25 , 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

y así hacemos

In[334]:= @X1@e6DD @X1@e6DD ±±. 8 21 3, 23 8, 24 7, 25 1<Out[334]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

1 0, 7 , 8

1 , 1 , 1 2

0 0, 8 , 7

1, 0, 0 3

2 0, 7 , 8

1 , 1 , 1 1

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 8 , 7

1 , 0, 0 3

3 0, 8 , 7

1 , 0, 0 03 0, 8 , 7

1 , 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

para incorporar dichas reglas. Como


Out[335]= True

se debe anular


Out[336]= True

y así lo hace. Más cálculos pueden ser


Out[337]= True


Out[338]= True


Out[339]= True


Out[340]= True


Sesión V 197


Out[342]= True


Out[343]= True


Out[344]= True


Out[345]= True


Out[346]= True


Out[347]= True


Out[348]= True


Out[349]= True


Out[350]= True


Out[351]= True


Out[352]= True


Out[353]= True


Out[354]= True


In[355]:= T@X1@e3D, X1@e5D, X1@e6DD X1@e5DOut[355]= True

In[356]:= H @X1@e5DD Leib@X1@e3D, X1@e5D, X1@e6DD ±± ExpandL CERO

Out[356]= True


Out[357]= True


Out[358]= True


Out[359]= True


Out[360]= True

Tenemos de este modo, que la imagen de X1 e6 está determinada fijando 2parámetros. Entonces hacemos

In[361]:= @X1@e6DD @X1@e6DD ±±. 8 7 1, 8 2<Out[361]=

3 0, 0, 00, 0, 0 3

1 0, 1, 2

1 , 1 , 1 2

0 0, 8 , 7

1 , 0, 0 3

2 0, 1 , 2

1 , 1 , 1 1

3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 8 , 7

1, 0, 0 3

3 0, 8, 7

1 , 0, 0 03 0, 8 , 7

1 , 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

X1 e7

Definimos la imagen como un elemento genérico, el ya usado cualq


Comencemos con la igualdad


Out[363]= True

Aplicando la derivación, se obtiene que se debe anular la matriz

Sesión V 199


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 1 4 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 4 1 , 0 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

0 27, 0, 25

0, 20 , 0 23

0 0, 0, 00, 0, 0 0

23 27 , 0, 25

0, 20, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

y así hacemos

In[365]:= @X1@e7DD@X1@e7DD ±±. 8 1 4, 7 0, 20 0, 23 0, 25 0, 27 0<Out[365]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

4 6 , 0, 8

9 , 10 , 11 5

0 22, 0, 24

0, 26 , 0 21

5 6 , 0, 8

9, 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15 , 16

17, 18, 19 13

21 22 , 0, 24

0, 26, 0 013 14 , 15, 16

17 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3



Out[366]= True

y por tanto


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 4 2 , 0 0

0 19, 0, 17

0, 12, 0 15

0 0, 0, 00, 4 2 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

15 19, 0, 17

0, 12 , 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0


In[368]:= @X1@e7DD@X1@e7DD ±±. 8 2 4, 12 0, 15 0, 17 0, 19 0<Out[368]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

4 6 , 0, 8

9 , 10 , 11 5

0 22 , 0, 24

0, 26, 0 21

5 6 , 0, 8

9, 10 , 11 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 14 , 0, 16

0, 18, 0 13

21 22 , 0, 24

0, 26, 0 013 14, 0, 16

0, 18, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Por otro lado


Out[369]= True

luego



Out[370]= True



Out[371]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 6 1 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 6 1, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos entonces la regla

In[373]:= @X1@e7DD @X1@e7DD ±±. 8 6 1<Out[373]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

4 1 , 0, 8

9 , 10 , 11 5

0 22 , 0, 24

0, 26, 0 21

5 1, 0, 8

9, 10 , 11 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 14 , 0, 16

0, 18, 0 13

21 22, 0, 24

0, 26 , 0 013 14, 0, 16

0, 18, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

obteniendo la expresión de la imagen de X1 e7 hasta el momento. Usando laigualdad


Out[374]= True

llegamos a que la matriz siguiente


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 11 2 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 11 2 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

se debe anular. Para ello es necesario que 11 sea 2 y por eso ejecutamos

Sesión V 201

In[376]:= @X1@e7DD @X1@e7DD ±±. 8 11 2<Out[376]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

4 1 , 0, 8

9 , 10 , 2 5

0 22, 0, 24

0, 26 , 0 21

5 1, 0, 8

9, 10 , 2 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 14, 0, 16

0, 18 , 0 13

21 22, 0, 24

0, 26 , 0 013 14 , 0, 16

0, 18, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

También se tiene que


igualdad que, después de aplicar la derivación, se convierte en


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 2 10, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 2 10, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

igual a la matriz nula. Por eso hacemos

In[379]:= @X1@e7DD @X1@e7DD ±±. 8 10 2<Out[379]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

4 1 , 0, 8

9, 2 , 2 5

0 22, 0, 24

0, 26, 0 21

5 1 , 0, 8

9 , 2 , 2 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 14, 0, 16

0, 18, 0 13

21 22 , 0, 24

0, 26 , 0 013 14, 0, 16

0, 18 , 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Otra igualdad de la que sacaremos provecho es


Out[380]= True

y así, en efecto,


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 2 9, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 2 9 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

debe ser nula, de ahí que ejecutemos


In[382]:= @X1@e7DD @X1@e7DD ±±. 8 9 2<Out[382]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

4 1 , 0, 8

2, 2 , 2 5

0 22, 0, 24

0, 26, 0 21

5 1, 0, 8

2 , 2 , 2 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 14, 0, 16

0, 18, 0 13

21 22 , 0, 24

0, 26 , 0 013 14, 0, 16

0, 18, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Usando la igualdad


Out[383]= True

se deduce que


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 4 2 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 2 4 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Usando la regla para 4ejecutamos

In[385]:= @X1@e7DD @X1@e7DD ±±. 8 4 2<Out[385]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

2 1 , 0, 8

2, 2 , 2 5

0 22, 0, 24

0, 26, 0 21

5 1, 0, 8

2 , 2 , 2 2

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 14, 0, 16

0, 18, 0 13

21 22 , 0, 24

0, 26 , 0 013 14, 0, 16

0, 18, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Con la relación


Out[386]= True

tenemos que se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 5 3 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 3 5 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así

Sesión V 203

In[388]:= @X1@e7DD @X1@e7DD ±±. 8 5 3<Out[388]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

2 1 , 0, 8

2, 2 , 2 3

0 22, 0, 24

0, 26, 0 21

3 1, 0, 8

2 , 2 , 2 2

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 14, 0, 16

0, 18, 0 13

21 22 , 0, 24

0, 26 , 0 013 14, 0, 16

0, 18, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Con la relación


concluimos que debe ser cero


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 14 8 , 0, 6 16

0, 1 18, 0 4 13

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 13 8 14 , 0, 6 16

0, 1 18, 0 03 0, 0, 0

0, 0, 0 3

Hacemos por ello

In[391]:= @X1@e7DD@X1@e7DD ±±. 8 3 0, 13 4, 14 8, 16 6, 18 1<Out[391]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

2 1 , 0, 8

2, 2 , 2 3

0 22, 0, 24

0, 26 , 0 21

3 1, 0, 8

2 , 2 , 2 2

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 8 , 0, 6

0, 1 , 0 4

21 22 , 0, 24

0, 26 , 0 04 8 , 0, 6

0, 1, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Como también


Out[392]= True

debe anularse


Out[393]= True

sin que esto aporte regla alguna. Otra igualdad es





0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 8 22, 0, 24 6

0, 26 1 , 0 21 4

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

21 4 8 22, 0, 6 24

0, 1 26, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

y hacemos entonces

In[396]:= @X1@e7DD @X1@e7DD ±±. 8 21 4, 22 8, 24 6, 26 1<Out[396]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

2 1, 0, 8

2 , 2 , 2 3

0 8 , 0, 6

0, 1, 0 4

3 1 , 0, 8

2 , 2 , 2 2

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 8, 0, 6

0, 1 , 0 4

4 8 , 0, 6

0, 1 , 0 04 8 , 0, 6

0, 1 , 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Otros cálculos, que no aportan reglas nuevas, son


Out[397]= True


Out[398]= True


Out[399]= True


Out[400]= True


Out[401]= True


Out[402]= True



Out[404]= True

Sesión V 205


Out[405]= True


Out[406]= True


Out[407]= True


Out[408]= True


Out[409]= True


Out[410]= True


Out[411]= True


Out[412]= True


Out[413]= True


Out[414]= True


In[416]:= H @X1@e6DD Leib@X1@e4D, X1@e6D, X1@e7DD ±± ExpandL CERO

Out[416]= True


Out[417]= True



Out[418]= True


Out[419]= True


Out[420]= True


Out[421]= True


Out[422]= True

De esta manera observamos que la imagen de X1 e7 está determinada fijando 1parámetros. Entonces hacemos

In[423]:= @X1@e7DD @X1@e7DD ±±. 8 8 1<Out[423]=

4 0, 0, 00, 0, 0 4

2 1 , 0, 1

2 , 2, 2 3

0 8 , 0, 6

0, 1 , 0 4

3 1 , 0, 1

2 , 2 , 2 2

4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 8 , 0, 6

0, 1 , 0 4

4 8 , 0, 6

0, 1 , 0 04 8, 0, 6

0, 1 , 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

X1 e8

Es fácil e intuitivo esperar que la imagen de X1 e8 quede ya completamentedeterminada en función de los parámetros ya fijados. Confirmemos entoncesnuestra intuición. Para ello, al igual que en las anteriores ocasiones, definimos


Con la igualdad


Out[425]= True

llegamos a que se debe anular

Sesión V 207


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 1 5 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 5 1 0

8 0, 0, 00, 0, 0 8

0 26, 25, 00, 0, 20 24

0 0, 0, 00, 0, 0 0

24 26, 25, 00, 0, 20 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así hacemos

In[427]:= @X1@e8DD@X1@e8DD ±±. 8 1 5, 8 0, 20 0, 24 0, 25 0, 26 0<Out[427]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 6 , 7 , 09 , 10 , 11 5

0 22, 23, 00, 0, 27 21

5 6 , 7, 09, 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15 , 16

17, 18, 19 13

21 22 , 23 , 00, 0, 27 0

13 14 , 15, 16

17 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3



Out[428]= True

y por tanto


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 5 2 0

0 18, 17, 00, 0, 12 16

0 0, 0, 00, 0, 5 2 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

16 18, 17, 00, 0, 12 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[430]:= @X1@e8DD@X1@e8DD ±±. 8 2 5, 12 0, 16 0, 17 0, 18 0<Out[430]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 6 , 7 , 09 , 10 , 11 5

0 22 , 23 , 00, 0, 27 21

5 6 , 7, 09, 10 , 11 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 14 , 15 , 00, 0, 19 13

21 22 , 23 , 00, 0, 27 0

13 14, 15 , 00, 0, 19 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Por otro lado


Out[431]= True

luego



Out[432]= True

y no obtenemos nueva información. Usando


Out[433]= True

deducimos que se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 7 1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 7 1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos entonces la regla 7 1 ejecutando

In[435]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 7 1<Out[435]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 6 , 1 , 09 , 10 , 11 5

0 22 , 23 , 00, 0, 27 21

5 6 , 1, 09, 10 , 11 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 14 , 15 , 00, 0, 19 13

21 22, 23, 00, 0, 27 0

13 14, 15 , 00, 0, 19 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Con la igualdad


Out[436]= True

se tiene que


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 6 2 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 6 2 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y se anula si 6 2. Por tanto

Sesión V 209

In[438]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 6 2<Out[438]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 2 , 1, 09, 10, 11 5

0 22, 23, 00, 0, 27 21

5 2, 1 , 09, 10 , 11 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 14, 15, 00, 0, 19 13

21 22 , 23 , 00, 0, 27 0

13 14 , 15, 00, 0, 19 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3



y así, debe ser nula la matriz


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 11 3 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 11 3 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Necesitamos por tanto que 3 0 y que 11 3. De tal modo que

In[441]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 3 0, 11 3<Out[441]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 2 , 1 , 09 , 10 , 3 5

0 22, 23, 00, 0, 27 21

5 2 , 1 , 09 , 10 , 3 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 14, 15, 00, 0, 19 13

21 22 , 23, 00, 0, 27 0

13 14, 15 , 00, 0, 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Podemos usar de igual modo


Out[442]= True

para deducir que


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 3 10 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 3 10 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

debe anularse. Entonces


In[444]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 10 3<Out[444]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 2 , 1 , 09 , 3 , 3 5

0 22 , 23 , 00, 0, 27 21

5 2 , 1 , 09 , 3 , 3 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 14 , 15 , 00, 0, 19 13

21 22 , 23, 00, 0, 27 0

13 14 , 15 , 00, 0, 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Por otro lado


Out[445]= True

y así


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 3 9 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 3 9 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

debe ser nula. Por tanto

In[447]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 9 3<Out[447]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 2 , 1 , 03, 3 , 3 5

0 22 , 23 , 00, 0, 27 21

5 2 , 1 , 03, 3, 3 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 14 , 15 , 00, 0, 19 13

21 22 , 23, 00, 0, 27 0

13 14, 15, 00, 0, 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

La igualdad


Out[448]= True

nos permite concluir que la siguiente matriz debe anularse


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 4 3 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 3 4 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Para ello hacemos

Sesión V 211

In[450]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 4 3<Out[450]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

3 2 , 1 , 03, 3 , 3 5

0 22 , 23 , 00, 0, 27 21

5 2 , 1 , 03, 3, 3 3

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 14 , 15 , 00, 0, 19 13

21 22 , 23, 00, 0, 27 0

13 14, 15, 00, 0, 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

También obtenemos información de la relación


Out[451]= True

y así


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 5 4 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 4 5 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y por tanto

In[453]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 5 4<Out[453]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

3 2 , 1 , 03, 3 , 3 4

0 22 , 23 , 00, 0, 27 21

4 2 , 1 , 03, 3, 3 3

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 14 , 15 , 00, 0, 19 13

21 22 , 23, 00, 0, 27 0

13 14, 15, 00, 0, 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Con el producto triple tenemos




0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 7 14 , 15 6 , 00, 0, 1 19 5 13

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 13 7 14, 6 15 , 00, 0, 1 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Hacemos entonces


In[456]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 13 5, 14 7, 15 6, 19 1<Out[456]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

3 2 , 1 , 03, 3 , 3 4

0 22, 23, 00, 0, 27 21

4 2 , 1 , 03, 3, 3 3

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 7 , 6 , 00, 0, 1 5

21 22 , 23, 00, 0, 27 0

5 7 , 6, 00, 0, 1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Probemos con


Debe ser cero


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 22 7 , 6 23, 00, 0, 27 1 21 5

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

21 5 7 22, 6 23, 00, 0, 1 27 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así

In[459]:= @X1@e8DD @X1@e8DD ±±. 8 21 5, 22 7, 23 6, 27 1<Out[459]=

5 0, 0, 00, 0, 0 5

3 2 , 1 , 03, 3 , 3 4

0 7 , 6, 00, 0, 1 5

4 2, 1 , 03 , 3 , 3 3

5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 7 , 6 , 00, 0, 1 5

5 7 , 6, 00, 0, 1 0

5 7 , 6 , 00, 0, 1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Es el momento de darse cuenta que ya no quedan parámetros nuevos por fijar, yaque

In[460]:= Variables@ @X1@e8DDDOut[460]= 5, 1, 5, 6, 7, 1, 5, 6, 7, 4, 3, 3, 3, 3, 1, 2

Sesión V 213

Tenemos por tanto la imagen de X1 e8 determinada en función de los parámetrosya fijados.


Sesión V H2L : Elemento genérico deDer HH3 HOs, LL


Tenemos ya determinadas las imágenes de los elementos de la base Ei y X1 ei .Nos centraremos a continuación en las imágenes de los siguientes elementos, esdecir, de los de la forma X2 ei .

Determinación de las imágenes de X2 ei

X2 e1

Comenzamos con la imagen de X2 e1 , definiéndola como un elemento genérico deH3 Os, en función de los parámetros i, con i 1, …27. Para ello hacemos


La primera igualdad que vamos a usar para obtener relaciones para los parámetroses UX2 e1 E1 1 0, como podemos comprobar efectuando


Out[462]= True

Por tanto debe anularse


Out[463]= True

y no obtenemos información. De igual modo, comprobamos que

In[464]:= UE1@1D@X2@e1DD CERO

Out[464]= True

y al deducir que se debe anular

In[465]:= Hdefin@E1@1D, X2@e1DD ±± ExpandLOut[465]=

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

obtenemos que 1 debe ser cero. Esta regla queda contemplada efectuando

In[466]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 1 0<Out[466]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6, 7, 89, 10, 11 5

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 89 , 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Asimismo, se tiene que


Out[467]= True

y por tanto


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 0, 09 , 10, 11 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 2 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 09, 10 , 11 4

0 0, 0, 00, 0, 0 2 2

13 0, 0, 00, 0, 0 13


In[469]:= @X2@e1DD@X2@e1DD ±±. 8 2 2, 4 0, 9 0, 10 0, 11 0, 13 0<Out[469]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 7 , 80, 0, 0 5

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 80, 0, 0 0

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 0

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

0 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

El considerar la igualdad


Out[470]= True

no aporta relación alguna para los parámetros ya que


In[471]:= Hdefin@E2@1D, X2@e1DD ±± ExpandL CERO

Out[471]= True

Por el contrario, como


Out[472]= True

se tiene que


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 22, 23, 24

0, 0, 0 21

0 0, 0, 00, 0, 0 0

21 22, 23, 24

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 03 2 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 3 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así obtenemos numerosas reglas que imponemos mediante la instrucción

In[474]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 3 2, 21 0, 22 0, 23 0, 24 0<Out[474]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 7 , 8

0, 0, 0 5

20 0, 0, 025, 26 , 27 0

5 6, 7 , 8

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 14, 15, 16

17 , 18 , 19 00 0, 0, 0

25, 26, 27 20

0 14, 15 , 16

17, 18, 19 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Si verificamos que


Out[475]= True

no obtenemos regla alguna ya que se tiene idénticamente que

In[476]:= Hdefin@E3@1D, X2@e1DD ±± ExpandL CERO

Out[476]= True

Por otro lado


Out[477]= True

luego

Sesión V 217


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 8 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 5 8

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así hacemos

In[479]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 8 5<Out[479]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 7 , 5

0, 0, 0 5

20 0, 0, 025, 26 , 27 0

5 6, 7 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 14, 15, 16

17 , 18 , 19 00 0, 0, 0

25, 26, 27 20

0 14, 15 , 16

17, 18, 19 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Podemos considerar de igual modo la relación


Out[480]= True

y por tanto se debe anular


Out[481]= True

haciéndolo sin necesidad de regla alguna. En cambio, con la igualdad


Out[482]= True

llegamos a que se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 7 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 4 7

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos entonces la regla correspondiente ejecutando


In[484]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 7 4<Out[484]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 4 , 5

0, 0, 0 5

20 0, 0, 025, 26 , 27 0

5 6 , 4 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 14, 15, 16

17 , 18 , 19 00 0, 0, 0

25, 26, 27 20

0 14, 15 , 16

17, 18, 19 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Con la igualdad UX1 e7 X2 e1 0 no obtenemos niguna regla, pero con


Out[485]= True

obtenemos que la siguiente matriz debe ser nula


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 6 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 3 6

0 0, 0, 00, 0, 0 0

con lo que deducimos que 6 3. Incorporamos esta regla haciendo

In[487]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 6 3<Out[487]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 5

20 0, 0, 025, 26 , 27 0

5 3, 4, 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 14, 15, 16

17 , 18 , 19 00 0, 0, 0

25, 26, 27 20

0 14, 15 , 16

17, 18, 19 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Se resumen a continuación, algunos cálculos y relaciones obtenidas sin queaporten niguna regla, ya que se verifican de forma idéntica.


Out[488]= True


Out[489]= True


Out[490]= True


Out[491]= True

Sesión V 219


Out[492]= True


Out[493]= True


Out[494]= True


Out[495]= True


Out[496]= True


Out[497]= True


Out[498]= True


Out[499]= True


Out[500]= True


Out[501]= True


Out[502]= True


Out[503]= True


Out[504]= True



Out[505]= True

Afortunadamente, tenemos éxito con la igualdad


Out[506]= True

ya que deducimos que se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 5 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 2 5

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Por tanto hacemos

In[508]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 5 2<Out[508]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 2

20 0, 0, 025, 26 , 27 0

2 3, 4, 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 14, 15, 16

17 , 18 , 19 00 0, 0, 0

25, 26, 27 20

0 14, 15 , 16

17, 18, 19 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Tampoco obtenemos información alguna de


Out[509]= True

ya que


Out[510]= True

Efectuando productos triples, podemos verificar que


Out[511]= True


Sesión V 221

In[512]:= Leib@E1@1D, E1@1D, X2@e1DD ±± ExpandOut[512]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 20 0, 0, 06 25 , 7 26 , 8 27 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 06 25 , 7 26 , 8 27 1 20

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Hacemos entonces

In[513]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 20 1, 25 6, 26 7, 27 8<Out[513]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 , 4, 5

0, 0, 0 2

1 0, 0, 06 , 7 , 8 0

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 14 , 15 , 16

17, 18, 19 00 0, 0, 0

6 , 7 , 8 1

0 14, 15, 16

17 , 18, 19 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Definamos

In[514]:= @UNOD CERO;

Probemos con

In[515]:= T@X2@e1D, E2@1D, E2@1DD X2@e1DOut[515]= True


In[516]:= H @X2@e1DD Leib@X2@e1D, E2@1D, E2@1DD ±± ExpandL CERO

Out[516]= True

sin obtener información. Mejores resultados tenemos con la igualdad


Out[517]= True

ya que entonces

In[518]:= Leib@X1@e1D, X1@e2D, X2@e1DD ±± ExpandOut[518]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 017 4, 18 5 , 19 6 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 017 4 , 18 5 , 19 6 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así


In[519]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 17 4, 18 5, 19 6<Out[519]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3, 4 , 5

0, 0, 0 2

1 0, 0, 06 , 7, 8 0

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 14, 15, 16

4 , 5 , 6 00 0, 0, 0

6 , 7 , 8 1

0 14, 15 , 16

4, 5, 6 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Por otro lado, usando la igualdad


Out[520]= True

se tiene que se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 4 16, 5 15 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 16 4, 5 15 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Estas reglas quedan incorporadas ejecutando

In[522]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 15 5, 16 4<Out[522]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 , 4, 5

0, 0, 0 2

1 0, 0, 06 , 7 , 8 0

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 14, 5 , 4

4 , 5 , 6 00 0, 0, 0

6 , 7 , 8 1

0 14, 5 , 4

4, 5, 6 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Una nueva regla se obtiene a partir de


Out[523]= True

ya que debe ser nula la matriz


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 4 14 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 14 4 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

e imponemos esta regla haciendo

Sesión V 223

In[525]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 14 4<Out[525]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 2

1 0, 0, 06 , 7, 8 0

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

12 4 , 5 , 4

4 , 5 , 6 00 0, 0, 0

6 , 7 , 8 1

0 4 , 5, 4

4, 5, 6 12

2 0, 0, 00, 0, 0 2

Recogiendo las variables de la imagen de X2 e1 tenemos

In[526]:= Variables@ @X2@e1DDDOut[526]= 1, 6, 7, 8, 2, 3, 4, 5, 2, 4, 4, 5, 12, 4, 5, 6

Como no conseguimos eliminar el nuevo parámetro 12 lo fijamos, redefiniéndolocomo , con la esperanza de determinarlo posteriormente.

In[527]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 12 <Out[527]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 2

1 0, 0, 06 , 7, 8 0

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 02 0, 0, 0

0, 0, 0 2

4 , 5 , 4

4 , 5 , 6 00 0, 0, 0

6 , 7 , 8 1

0 4 , 5, 4

4, 5, 6 2 0, 0, 0

0, 0, 0 2

X2 e2

En lo que sigue, determinaremos las imágenes en función de los parámetros yafijados y del extra que determinaremos más adelante. Presentaremos por tanto loscálculos que conduzcan a alguna regla, suprimiendo aquellos que no impliquenninguna aunque las hayamos computado.

Seguimos con la imagen de X2 e2 , definéndola para empezar como


Como se tiene que


Out[529]= True

debe anularse


1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


Deducimos que 1 debe ser cero, con lo que hacemos

In[531]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 1 0<Out[531]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6, 7, 89, 10, 11 5

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 89 , 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

También obtenemos información con la igualdad


Out[532]= True

ya que entonces


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 7, 8

0, 0, 0 5

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 1 2

5 6, 7 , 8

0, 0, 0 01 2 0, 0, 00, 0, 0 0

12 0, 0, 00, 0, 0 12

debe ser cero. Así

In[534]:= @X2@e2DD@X2@e2DD ±±. 8 2 1, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 12 0<Out[534]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 0, 09 , 10, 11 0

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

0 0, 0, 09, 10 , 11 4

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 0

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Por otro lado, como


Out[535]= True

debe ser nula la matriz


0 0, 0, 00, 0, 0 0

20 0, 0, 025, 26, 27 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 025, 26, 27 20

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 3 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 1 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

deducimos por tanto las reglas

Sesión V 225

In[537]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 3 1, 20 0, 25 0, 26 0, 27 0<Out[537]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 0, 09 , 10, 11 0

0 22, 23, 24

0, 0, 0 21

0 0, 0, 09 , 10 , 11 4

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 14, 15, 16

17 , 18 , 19 13

21 22, 23, 24

0, 0, 0 013 14, 15 , 16

17, 18, 19 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

Por otro lado, se tiene que


Out[538]= True

luego


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 8 11

0 0, 0, 00, 0, 0 0

8 11 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

debe ser la matriz nula. Deducimos que 11 8 y así

In[540]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 11 8<Out[540]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 0, 09 , 10, 8 0

0 22, 23, 24

0, 0, 0 21

0 0, 0, 09 , 10, 8 4

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 14, 15, 16

17 , 18 , 19 13

21 22, 23, 24

0, 0, 0 013 14, 15 , 16

17, 18, 19 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

De igual modo, como se tiene que


Out[541]= True

se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 7 10

0 0, 0, 00, 0, 0 0

7 10 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos entonces la regla


In[543]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 10 7<Out[543]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 0, 09 , 7 , 8 0

0 22, 23, 24

0, 0, 0 21

0 0, 0, 09 , 7 , 8 4

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 14, 15, 16

17 , 18 , 19 13

21 22, 23, 24

0, 0, 0 013 14, 15 , 16

17, 18, 19 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

También tenemos que


Out[544]= True

y así


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 6 9

0 0, 0, 00, 0, 0 0

6 9 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

debe ser nula. Deducimos que 9 6 que incorporamos ejecutando

In[546]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 9 6<Out[546]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 0, 06, 7 , 8 0

0 22, 23, 24

0, 0, 0 21

0 0, 0, 06, 7, 8 4

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 14, 15, 16

17 , 18 , 19 13

21 22, 23, 24

0, 0, 0 013 14, 15 , 16

17, 18, 19 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

Por otro lado, tenemos la igualdad


Out[547]= True

y así deducimos que

In[548]:= Hdefin@X1@e2D, X2@e2DD ±± ExpandLOut[548]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 1 4

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 4 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Esta regla se incluye en la imagen que estamos determinando haciendo

Sesión V 227

In[549]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 4 1<Out[549]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 0, 0, 06, 7 , 8 0

0 22, 23, 24

0, 0, 0 21

0 0, 0, 06, 7, 8 1

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 14, 15, 16

17 , 18 , 19 13

21 22, 23, 24

0, 0, 0 013 14, 15 , 16

17, 18, 19 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

A partir de la igualdad T E1 1 , E1 1 , X2 e2 0, que comprobamos ejecutando


Out[550]= True

podemos obtener nuevas reglas ya que debe ser cero


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 22 , 4 23 , 5 24

0, 0, 0 2 21

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 21 3 22, 4 23, 5 24

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Hacemos entonces

In[552]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 21 2, 22 3, 23 4, 24 5<Out[552]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 0, 0, 06 , 7, 8 0

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 2

0 0, 0, 06 , 7 , 8 1

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 14 , 15 , 16

17, 18, 19 13

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 013 14, 15, 16

17 , 18, 19 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

Como es cero el producto

In[553]:= T@X2@e2D, X1@e1D, X1@e2DDOut[553]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

debe ser cero


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 2 14 , 3 15 , 4 16

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 2 14 , 3 15 , 4 16

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0


y por tanto

In[555]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 14 2, 15 3, 16 4<Out[555]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 0, 0, 06 , 7, 8 0

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 2

0 0, 0, 06 , 7 , 8 1

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 2, 3 , 4

17, 18, 19 13

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 013 2 , 3 , 4

17 , 18, 19 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

De igual modo, como


Out[556]= True

deducimos que


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 2 18, 17 1, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 18 2 , 17 1, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así

In[558]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 17 1, 18 2<Out[558]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 0, 0, 06 , 7, 8 0

0 3 , 4 , 5

0, 0, 0 2

0 0, 0, 06 , 7 , 8 1

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 2 , 3 , 4

1 , 2 , 19 13

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 013 2 , 3 , 4

1 , 2 , 19 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

El siguiente producto es nulo

In[559]:= T@X2@e2D, X1@e2D, X1@e7DDOut[559]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Aplicando la derivación llegamos a que

Sesión V 229


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 19 1, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 19 1, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así 19 1, con lo que

In[561]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 19 1<Out[561]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 0, 0, 06, 7 , 8 0

0 3, 4 , 5

0, 0, 0 2

0 0, 0, 06 , 7 , 8 1

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 2 , 3, 4

1 , 2 , 1 13

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 013 2, 3 , 4

1 , 2 , 1 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

De la igualdad


tenemos que

In[563]:= @X1@e1DD Leib@X2@e2D, X2@e1D, X1@e1DD ±± ExpandOut[563]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 13

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Esta regla deja la imagen de X2 e2 de la forma

In[564]:= @X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 13 <Out[564]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 0, 0, 06, 7 , 8 0

0 3, 4 , 5

0, 0, 0 2

0 0, 0, 06 , 7 , 8 1

1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 2 , 3, 4

1 , 2 , 1

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 0 2, 3 , 4

1 , 2 , 1 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1

Si hacemos un recuento de las variables de la imagen de dicho elementoobservamos que

In[565]:= Variables@ @X2@e2DDDOut[565]= , 2, 3, 4, 5, 1, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 2

y por tanto tenemos la imagen de X2 e2 en función de los parámetros ya fijados.


X2 e3

La imagen de X2 e3 será un elemento cualquiera del álgebra de Jordan y asíhacemos


Como


Out[567]= True

se tiene que 1 0 ya que debe anularse la matriz


1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Entonces imponemos esta regla haciendo

In[569]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 1 0<Out[569]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6, 7, 89, 10, 11 5

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 89 , 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

También podemos usar la ecuación


Out[570]= True

y por tanto


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 4, 0, 00, 8 , 7 9

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 2 6 , 0, 00, 0, 0 0

9 4, 0, 00, 8, 7 0

0 6 2, 0, 00, 0, 0 0

17 0, 0, 00, 0, 0 17


Sesión V 231

In[572]:= @X2@e3DD@X2@e3DD ±±. 8 2 6, 4 0, 7 0, 8 0, 9 0, 17 0<Out[572]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 0, 00, 10 , 11 5

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

5 6, 0, 00, 10 , 11 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 15, 160, 18, 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15, 160, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3

Gracias a la ecuación


Out[573]= True

llegamos a que la matriz siguiente debe ser nula


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 20 , 0, 00, 24, 23 25

0 0, 0, 00, 0, 0 0

25 20, 0, 00, 24 , 23 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 3 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 3 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Se pueden deducir varias reglas que imponemos haciendo

In[575]:= @X2@e3DD@X2@e3DD ±±. 8 3 6, 20 0, 23 0, 24 0, 25 0<Out[575]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 0, 00, 10, 11 5

0 22, 0, 00, 26, 27 21

5 6 , 0, 00, 10 , 11 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 13

21 22, 0, 00, 26, 27 0

13 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 12

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Por otro lado


Out[576]= True

luego


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 5 6, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 5 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y sólo tenemos que ejectuar


In[578]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 5 6<Out[578]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 0, 00, 10, 11 6

0 22, 0, 00, 26, 27 21

6 6 , 0, 00, 10 , 11 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 13

21 22, 0, 00, 26, 27 0

13 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 12

6 0, 0, 00, 0, 0 6

para asumir dicha regla. Por otro lado, se verifica que


Out[579]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 5 10 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 10 5 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Imponemos entonces

In[581]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 10 5<Out[581]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6, 0, 00, 5 , 11 6

0 22, 0, 00, 26, 27 21

6 6 , 0, 00, 5 , 11 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 13

21 22, 0, 00, 26, 27 0

13 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 12

6 0, 0, 00, 0, 0 6

También obtenemos información a partir de


Out[582]= True

ya que entonces


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 4 11, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 4 11, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

se debe anular, y así hacemos

Sesión V 233

In[584]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 11 4<Out[584]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 , 0, 00, 5 , 4 6

0 22, 0, 00, 26, 27 21

6 6 , 0, 00, 5 , 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 13

21 22, 0, 00, 26, 27 0

13 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 12

6 0, 0, 00, 0, 0 6

De igual modo, usando la igualdad


Out[585]= True

deducimos que

In[586]:= Hdefin@X2@e3D, X1@e6DD ±± ExpandLOut[586]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 6, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 1 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y entonces

In[587]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 6 1<Out[587]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

0 22, 0, 00, 26, 27 21

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 13

21 22, 0, 00, 26, 27 0

13 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 12

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Una nueva regla se obtiene considerando


Out[588]= True

ya que entonces


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 4 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 13 4

0 0, 0, 00, 0, 0 0

La imagen de X2 e3 queda así


In[590]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 13 4<Out[590]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

0 22, 0, 00, 26, 27 21

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

12 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 4

21 22, 0, 00, 26, 27 0

4 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 12

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Usando que


Out[591]= True

tenemos que la matriz siguiente se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 12 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

12 1 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y entonces

In[593]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 12 1<Out[593]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

0 22, 0, 00, 26, 27 21

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

1 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 4

21 22, 0, 00, 26, 27 0

4 14 , 15 , 16

0, 18 , 19 1

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Por otro lado podemos usar que


Out[594]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 22, 0, 00, 5 26 , 27 4 6 21

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

6 21 1 22 , 0, 00, 5 26 , 4 27 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Hacemos por tanto

Sesión V 235

In[596]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 21 6, 22 1, 26 5, 27 4<Out[596]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1, 0, 00, 5 , 4 6

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

6 1 , 0, 00, 5, 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

1 14, 15, 16

0, 18, 19 4

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

4 14 , 15, 16

0, 18 , 19 1

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Probemos con


Out[597]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 18 3 , 19 2 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 18 3 , 2 19 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

con lo que hacemos

In[599]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 18 3, 19 2<Out[599]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1, 0, 00, 5 , 4 6

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

6 1 , 0, 00, 5, 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

1 14, 15, 16

0, 3 , 2 4

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

4 14 , 15 , 16

0, 3 , 2 1

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Con el mismo razonamiento, de la igualdad


Out[600]= True

deducimos que


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 15 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

15 2 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y así 15 debe ser 2 con lo que ejecutamos


In[602]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 15 2<Out[602]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

0 1 , 0, 00, 5, 4 6

6 1 , 0, 00, 5, 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

1 14, 2 , 16

0, 3 , 2 4

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

4 14, 2 , 16

0, 3 , 2 1

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Otra nueva regla aparece a partir de la igualdad


Out[603]= True

y así se debe anular


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 3 16 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 16 3 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

con lo que hacemos

In[605]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 16 3<Out[605]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

6 1 , 0, 00, 5, 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

1 14 , 2 , 3

0, 3 , 2 4

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

4 14 , 2 , 3

0, 3 , 2 1

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Sólo nos resta por fijar el parámetro 14. Para ello usamos


y así


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 1 14, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 1 14 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

y por tanto 14 debe ser 1 1 y entonces

Sesión V 237

In[608]:= @X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 14 1 1<Out[608]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

0 1 , 0, 00, 5 , 4 6

6 1 , 0, 00, 5, 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6

1 1 1 , 2, 3

0, 3 , 2 4

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

4 1 1 , 2 , 3

0, 3 , 2 1

6 0, 0, 00, 0, 0 6

Entonces tenemos determinada la imagen de X2 e3 en función de los parámetrosya fijados

In[609]:= Variables@ @X2@e3DDDOut[609]= , 1, 4, 5, 6, 1, 4, 5, 6, 6, 1, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 1

Eliminando el parámetro extra

Aunque hemos terminado con X2 e3 , es el momento de presentar la ecuación quenos permite eliminar el parámetro extra que estamos arrastrando en estas últimascuentas. Para ello usamos la igualdad


y así, aplicando la derivación, se tiene que anular la matriz


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 1 2 1 3 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 2 1 2 1 3

0 0, 0, 00, 0, 0 0

En lugar de eliminar , dependiendo de la característica, despejamos 3. Hacemosentonces que todas las imágenes determinadas hasta el momento asuman esta regla

In[612]:= Do@@X1@eiDD @X1@eiDD ±±. 8 3 2 1 2 1<, 8i, 1, 8<DIn[613]:= @X2@e1DD @X2@e1DD ±±. 8 3 2 1 2 1<;@X2@e2DD @X2@e2DD ±±. 8 3 2 1 2 1<;@X2@e3DD @X2@e3DD ±±. 8 3 2 1 2 1<;

Hagamos un recuento


In[614]:= Union@Variables@ @X1@e1DDD, Variables@ @X1@e2DDD,Variables@ @X1@e3DDD, Variables@ @X1@e4DDD,Variables@ @X1@e5DDD, Variables@ @X1@e6DDD,Variables@ @X1@e7DDD, Variables@ @X1@e8DDD,Variables@ @E1@1DDD, Variables@ @E2@1DDD,Variables@ @E3@1DDD, Variables@ @X2@e1DDD,Variables@ @X2@e2DDD, Variables@ @X2@e3DDDD

Out[614]= , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5,1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 1, 1, 2

Con lo que tenemos las imágenes hasta este punto determinadas en función de 52parámetros. En efecto

In[615]:= Length@%DOut[615]= 52

Se trata por tanto a continuación de fijar las restantes imágenes de X2 ei ,i 4, …8 en función de estos 52 parámetros. Como la técnica para hacerlo haquedado clara hasta este punto, sólo presentaremos los cálculos que se puedenseguir fácilmente pues son similares a los ya realizados.

X2 e4



Out[617]= True


1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[619]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 1 0<Out[619]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6, 7, 89, 10, 11 5

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 89 , 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[620]= True

Sesión V 239


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 4 , 08 , 0, 6 10

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 2 7 , 00, 0, 0 0

10 0, 4 , 08 , 0, 6 0

0 0, 7 2 , 00, 0, 0 0

18 0, 0, 00, 0, 0 18

In[622]:= @X2@e4DD@X2@e4DD ±±. 8 2 7, 4 0, 6 0, 8 0, 10 0, 18 0<Out[622]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7, 09 , 0, 11 5

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

5 0, 7 , 09, 0, 11 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 14 , 15, 1617 , 0, 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15, 1617, 0, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[623]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 20, 024 , 0, 22 26

0 0, 0, 00, 0, 0 0

26 0, 20 , 024, 0, 22 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 3 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 3 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[625]:= @X2@e4DD@X2@e4DD ±±. 8 3 7, 20 0, 22 0, 24 0, 26 0<Out[625]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 , 09 , 0, 11 5

0 0, 23 , 025, 0, 27 21

5 0, 7 , 09 , 0, 11 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 14 , 15 , 16

17, 0, 19 13

21 0, 23 , 025, 0, 27 0

13 14 , 15 , 16

17, 0, 19 12

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Out[626]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 5 7 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 5 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[628]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 5 7<Out[628]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 , 09 , 0, 11 7

0 0, 23 , 025, 0, 27 21

7 0, 7 , 09 , 0, 11 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 14 , 15 , 16

17, 0, 19 13

21 0, 23 , 025, 0, 27 0

13 14 , 15 , 16

17, 0, 19 12

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Out[629]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 5 9 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 5 9 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[631]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 9 5<Out[631]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 , 05 , 0, 11 7

0 0, 23 , 025, 0, 27 21

7 0, 7 , 05, 0, 11 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 14 , 15 , 16

17, 0, 19 13

21 0, 23 , 025, 0, 27 0

13 14 , 15 , 16

17, 0, 19 12

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Out[632]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 3 11, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 11 3 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[634]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 11 3<Out[634]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 , 05 , 0, 3 7

0 0, 23 , 025, 0, 27 21

7 0, 7, 05 , 0, 3 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 14 , 15 , 16

17, 0, 19 13

21 0, 23 , 025, 0, 27 0

13 14 , 15 , 16

17, 0, 19 12

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Out[635]= True

Sesión V 241


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 1 7 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 7 1 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[637]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 7 1<Out[637]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

0 0, 23 , 025, 0, 27 21

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 14 , 15 , 16

17, 0, 19 13

21 0, 23 , 025, 0, 27 0

13 14 , 15 , 16

17, 0, 19 12

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Out[638]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 1 23 , 025 5 , 0, 3 27 7 21

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

7 21 0, 1 23, 05 25, 0, 3 27 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[640]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 21 7, 23 1, 25 5, 27 3<Out[640]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

0 0, 1, 05 , 0, 3 7

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 14, 15, 16

17 , 0, 19 13

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

13 14 , 15, 16

17, 0, 19 12

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Out[641]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 017 3 , 0, 19 1 13 5

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 5 0, 0, 03 17, 0, 19 1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[643]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 13 5, 17 3, 19 1<Out[643]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

0 0, 1, 05, 0, 3 7

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 14, 15, 16

3, 0, 1 5

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

5 14 , 15 , 16

3, 0, 1 12

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Out[644]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 016 3 , 0, 1 14 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 03 16, 0, 14 1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[646]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 14 1, 16 3<Out[646]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

12 1 , 15 , 3

3 , 0, 1 5

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

5 1 , 15, 3

3, 0, 1 12

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Out[647]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 012 2 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 02 12 , 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[649]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 12 2<Out[649]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

2 1 , 15 , 3

3 , 0, 1 5

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

5 1 , 15, 3

3, 0, 1 2

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Sesión V 243


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 1 2 15

0 0, 0, 00, 0, 0 0

1 2 15 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[652]:= @X2@e4DD @X2@e4DD ±±. 8 15 1 2<Out[652]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

0 0, 1, 05, 0, 3 7

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7

2 1 , 1 2 , 3

3 , 0, 1 5

7 0, 1 , 05 , 0, 3 0

5 1 , 1 2 , 3

3, 0, 1 2

7 0, 0, 00, 0, 0 7


X2 e5



Out[655]= True


1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[657]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 1 0<Out[657]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6, 7, 89, 10, 11 5

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 89 , 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[658]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 4

7 , 6 , 0 11

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 2 8

0, 0, 0 011 0, 0, 4

7 , 6 , 0 00 0, 0, 8 2

0, 0, 0 019 0, 0, 0

0, 0, 0 19

In[660]:= @X2@e5DD@X2@e5DD ±±. 8 2 8, 4 0, 6 0, 7 0, 11 0, 19 0<Out[660]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 89 , 10 , 0 5

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

5 0, 0, 89, 10, 0 0

8 0, 0, 00, 0, 0 8

12 14 , 15, 1617 , 18, 0 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15, 1617, 18, 0 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[661]= True

In[662]:= defin@E3@1D, X2@e5DD ±± ExpandOut[662]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

8 3 0, 0, 00, 0, 0 8 3

In[663]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 3 8<Out[663]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 89 , 10 , 0 5

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

5 0, 0, 89, 10, 0 0

8 0, 0, 00, 0, 0 8

12 14 , 15, 1617 , 18, 0 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15, 1617, 18, 0 12

8 0, 0, 00, 0, 0 8


Out[664]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 20

23 , 22 , 0 27

0 0, 0, 00, 0, 0 0

27 0, 0, 20

23, 22, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

Sesión V 245

In[666]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 20 0, 22 0, 23 0, 27 0<Out[666]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 8

9 , 10, 0 5

0 0, 0, 24

25, 26 , 0 21

5 0, 0, 8

9 , 10, 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

12 14 , 15 , 16

17, 18, 0 13

21 0, 0, 24

25, 26, 0 013 14 , 15 , 16

17, 18, 0 12

8 0, 0, 00, 0, 0 8


Out[667]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 5 8

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 8 5

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

In[669]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 5 8<Out[669]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 8

9 , 10, 0 8

0 0, 0, 24

25, 26 , 0 21

8 0, 0, 8

9 , 10, 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

12 14 , 15 , 16

17, 18, 0 13

21 0, 0, 24

25, 26, 0 013 14 , 15 , 16

17, 18, 0 12

8 0, 0, 00, 0, 0 8


Out[670]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 4 9

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 9 4

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 0

In[672]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 9 4<Out[672]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 8

4 , 10, 0 8

0 0, 0, 24

25, 26 , 0 21

8 0, 0, 8

4 , 10 , 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

12 14 , 15 , 16

17, 18, 0 13

21 0, 0, 24

25, 26, 0 013 14 , 15 , 16

17, 18, 0 12

8 0, 0, 00, 0, 0 8


Out[673]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 1 8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 8 1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[675]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 8 1<Out[675]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 1

4 , 10 , 0 8

0 0, 0, 24

25, 26 , 0 21

8 0, 0, 1

4 , 10 , 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

12 14 , 15 , 16

17, 18, 0 13

21 0, 0, 24

25, 26, 0 013 14 , 15 , 16

17, 18, 0 12

8 0, 0, 00, 0, 0 8


Out[676]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 3 10, 0 0

0 0, 0, 1 244 25, 26 3 , 0 8 21

0 0, 0, 00, 3 10, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

8 21 0, 0, 1 244 25, 3 26 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[678]:= @X2@e5DD@X2@e5DD ±±. 8 10 3, 21 8, 24 1, 25 4, 26 3<Out[678]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

8 0, 0, 1

4 , 3 , 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

12 14, 15, 16

17 , 18, 0 13

8 0, 0, 1

4, 3 , 0 013 14 , 15, 16

17, 18 , 0 12

8 0, 0, 00, 0, 0 8


Out[679]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 017 2 , 18 1 , 0 13 6

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 6 0, 0, 017 2 , 1 18, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Sesión V 247

In[681]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 13 6, 17 2, 18 1<Out[681]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

8 0, 0, 1

4 , 3 , 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

12 14, 15, 16

2 , 1 , 0 6

8 0, 0, 1

4, 3 , 0 06 14 , 15 , 16

2 , 1 , 0 12

8 0, 0, 00, 0, 0 8


Out[682]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 02 15 , 14 1 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 015 2 , 1 14, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[684]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 14 1, 15 2<Out[684]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

8 0, 0, 1

4 , 3 , 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

12 1 , 2 , 16

2, 1 , 0 6

8 0, 0, 1

4, 3 , 0 06 1 , 2 , 16

2 , 1 , 0 12

8 0, 0, 00, 0, 0 8


Out[685]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 012 1, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[687]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 12 1<Out[687]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

8 0, 0, 1

4 , 3 , 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

1 1 , 2 , 16

2, 1 , 0 6

8 0, 0, 1

4, 3 , 0 06 1 , 2 , 16

2 , 1 , 0 1

8 0, 0, 00, 0, 0 8




0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 2 1 16

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 1 16 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[690]:= @X2@e5DD @X2@e5DD ±±. 8 16 2 1<Out[690]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 1

4 , 3 , 0 8

0 0, 0, 1

4, 3 , 0 8

8 0, 0, 1

4 , 3 , 0 08 0, 0, 0

0, 0, 0 8

1 1 , 2 , 2 1

2 , 1 , 0 6

8 0, 0, 1

4, 3 , 0 06 1 , 2 , 2 1

2 , 1 , 0 1

8 0, 0, 00, 0, 0 8


X2 e6



Out[693]= True


1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[695]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 1 0<Out[695]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 89 , 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[696]= True

Sesión V 249


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

6 0, 11, 10

5 , 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

2 3 , 0, 0 00 0, 11 , 10

5, 0, 0 6

0 0, 0, 03 2 , 0, 0 0

14 0, 0, 00, 0, 0 14

In[698]:= @X2@e6DD@X2@e6DD ±±. 8 2 3, 5 0, 6 0, 10 0, 11 0, 14 0<Out[698]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 7 , 89 , 0, 0 0

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

0 0, 7 , 89 , 0, 0 4

3 0, 0, 00, 0, 0 3

12 0, 15 , 1617, 18, 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 0, 15, 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[699]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 3 0, 0, 00, 0, 0 3 3

In[701]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 3 3<Out[701]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 7 , 89 , 0, 0 0

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

0 0, 7 , 89 , 0, 0 4

3 0, 0, 00, 0, 0 3

12 0, 15 , 1617, 18, 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 0, 15, 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[702]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

22 0, 27 , 26

21, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 27, 26

21, 0, 0 22

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[704]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 21 0, 22 0, 26 0, 27 0<Out[704]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 0, 7 , 8

9, 0, 0 020 0, 23 , 24

25, 0, 0 00 0, 7 , 8

9, 0, 0 4

3 0, 0, 00, 0, 0 3

12 0, 15, 16

17, 18 , 19 13

0 0, 23, 24

25, 0, 0 20

13 0, 15 , 16

17, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[705]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 4 3

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 3 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[707]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 4 3<Out[707]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 7 , 8

9, 0, 0 020 0, 23 , 24

25, 0, 0 00 0, 7 , 8

9, 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3

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17, 18 , 19 13

0 0, 23, 24

25, 0, 0 20

13 0, 15 , 16

17, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[708]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[710]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 9 2<Out[710]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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2 , 0, 0 020 0, 23 , 24

25, 0, 0 00 0, 7 , 8

2 , 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3

12 0, 15, 16

17, 18 , 19 13

0 0, 23, 24

25, 0, 0 20

13 0, 15 , 16

17, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[711]= True

Sesión V 251


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 7 8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[713]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 8 7<Out[713]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 7 , 7

2 , 0, 0 020 0, 23 , 24

25, 0, 0 00 0, 7 , 7

2 , 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3

12 0, 15, 16

17, 18 , 19 13

0 0, 23, 24

25, 0, 0 20

13 0, 15 , 16

17, 18, 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[714]= True


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0 0, 8 7 , 00, 0, 0 0

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0 0, 8 7 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 8 23, 7 242 25, 0, 0 3 20

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[716]:= @X2@e6DD@X2@e6DD ±±. 8 7 8, 20 3, 23 8, 24 7, 25 2<Out[716]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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2, 0, 0 03 0, 8 , 7

2 , 0, 0 00 0, 8, 7

2 , 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3

12 0, 15, 16

17, 18, 19 13

0 0, 8 , 7

2 , 0, 0 3

13 0, 15, 16

17, 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[717]= True


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0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 6 16 , 7 15 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[719]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 15 7, 16 6<Out[719]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 8 , 7

2 , 0, 0 03 0, 8 , 7

2 , 0, 0 00 0, 8, 7

2 , 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3

12 0, 7, 6

17, 18, 19 13

0 0, 8 , 7

2 , 0, 0 3

13 0, 7 , 6

17, 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[720]= True


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0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 02 12, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[722]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 12 2<Out[722]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 8 , 7

2 , 0, 0 03 0, 8 , 7

2 , 0, 0 00 0, 8, 7

2 , 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3

2 0, 7, 6

17, 18, 19 13

0 0, 8 , 7

2 , 0, 0 3

13 0, 7 , 6

17, 18 , 19 2

3 0, 0, 00, 0, 0 3



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 18, 1 1 17 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[725]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 18 1, 17 1 1<Out[725]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 8 , 7

2 , 0, 0 03 0, 8 , 7

2 , 0, 0 00 0, 8, 7

2 , 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3

2 0, 7 , 6

1 1 , 1 , 19 13

0 0, 8 , 7

2 , 0, 0 3

13 0, 7, 6

1 1 , 1 , 19 2

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Sesión V 253


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 19 1 13 4

0 0, 0, 00, 0, 0 0

13 4 0, 0, 00, 0, 19 1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[728]:= @X2@e6DD @X2@e6DD ±±. 8 19 1, 13 4<Out[728]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

3 0, 8 , 7

2 , 0, 0 03 0, 8 , 7

2 , 0, 0 00 0, 8, 7

2 , 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3

2 0, 7 , 6

1 1 , 1 , 1 4

0 0, 8 , 7

2 , 0, 0 3

4 0, 7 , 6

1 1 , 1 , 1 2

3 0, 0, 00, 0, 0 3


X2 e7



Out[731]= True


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0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[733]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 1 0<Out[733]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6, 7, 89, 10, 11 5

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 89 , 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[734]= True



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

7 11, 0, 9

0, 5 , 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 0, 0, 0

0, 2 4 , 0 00 11 , 0, 9

0, 5 , 0 7

0 0, 0, 00, 4 2, 0 0

15 0, 0, 00, 0, 0 15

In[736]:= @X2@e7DD@X2@e7DD ±±. 8 2 4, 5 0, 7 0, 9 0, 11 0, 15 0<Out[736]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 0, 80, 10, 0 0

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

0 6 , 0, 80, 10, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

12 14 , 0, 1617, 18, 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 0, 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[737]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 3 0, 0, 00, 0, 0 4 3

In[739]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 3 4<Out[739]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 0, 80, 10, 0 0

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

0 6 , 0, 80, 10, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

12 14 , 0, 1617, 18, 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 0, 1617 , 18 , 19 12

4 0, 0, 00, 0, 0 4


Out[740]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

23 27 , 0, 25

0, 21 , 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 00 27, 0, 25

0, 21 , 0 23

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Sesión V 255

In[742]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 21 0, 23 0, 25 0, 27 0<Out[742]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 0, 8

0, 10, 0 020 22, 0, 24

0, 26 , 0 00 6 , 0, 8

0, 10, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

12 14 , 0, 16

17, 18 , 19 13

0 22 , 0, 24

0, 26 , 0 20

13 14, 0, 16

17, 18, 19 12

4 0, 0, 00, 0, 0 4


Out[743]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 4 4

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 4 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[745]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 4 4<Out[745]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 0, 8

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0, 10, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

12 14 , 0, 16

17, 18 , 19 13

0 22 , 0, 24

0, 26 , 0 20

13 14, 0, 16

17, 18, 19 12

4 0, 0, 00, 0, 0 4


Out[746]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 2 10, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 10 2 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[748]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 10 2<Out[748]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 0, 8

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0, 26 , 0 00 6 , 0, 8

0, 2, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

12 14 , 0, 16

17, 18 , 19 13

0 22 , 0, 24

0, 26 , 0 20

13 14, 0, 16

17, 18, 19 12

4 0, 0, 00, 0, 0 4


Out[749]= True



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0 0, 0, 00, 0, 6 8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 6 8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[751]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 8 6<Out[751]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6, 0, 6

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0, 2 , 0 4

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17, 18 , 19 13

0 22 , 0, 24

0, 26 , 0 20

13 14, 0, 16

17, 18, 19 12

4 0, 0, 00, 0, 0 4


Out[752]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 6 8 , 0, 00, 0, 0 0

4 20 8 22 , 0, 24 60, 2 26 , 0 0

0 8 6 , 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 8 22 , 0, 6 240, 2 26, 0 4 20

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[754]:= @X2@e7DD@X2@e7DD ±±. 8 6 8, 20 4, 22 8, 24 6, 26 2<Out[754]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 8 , 0, 6

0, 2 , 0 04 8 , 0, 6

0, 2 , 0 00 8 , 0, 6

0, 2, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

12 14, 0, 16

17, 18, 19 13

0 8, 0, 6

0, 2, 0 4

13 14, 0, 16

17, 18 , 19 12

4 0, 0, 00, 0, 0 4


Out[755]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 5 16 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 16 5 , 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Sesión V 257

In[757]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 16 5<Out[757]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 8, 0, 6

0, 2, 0 04 8 , 0, 6

0, 2, 0 00 8 , 0, 6

0, 2, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

12 14, 0, 5

17, 18, 19 13

0 8, 0, 6

0, 2, 0 4

13 14, 0, 5

17, 18 , 19 12

4 0, 0, 00, 0, 0 4


Out[758]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 03 12 , 0, 0 7 14

0 0, 0, 00, 0, 0 0

7 14 0, 0, 03 12, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[760]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 12 3<Out[760]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 8, 0, 6

0, 2, 0 04 8 , 0, 6

0, 2, 0 00 8 , 0, 6

0, 2, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

3 14, 0, 5

17, 18, 19 13

0 8, 0, 6

0, 2, 0 4

13 14, 0, 5

17, 18 , 19 3

4 0, 0, 00, 0, 0 4



0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 2 18, 2 17, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 1 2 18 , 2 17 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[763]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 18 1 2, 17 2<Out[763]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 8, 0, 6

0, 2, 0 04 8 , 0, 6

0, 2 , 0 00 8 , 0, 6

0, 2, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

3 14 , 0, 5

2 , 1 2 , 19 13

0 8, 0, 6

0, 2, 0 4

13 14 , 0, 5

2, 1 2 , 19 3

4 0, 0, 00, 0, 0 4




0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 7 14, 0, 00, 0, 19 2 5 13

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 13 7 14, 0, 00, 0, 19 2 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[766]:= @X2@e7DD @X2@e7DD ±±. 8 19 2, 13 5, 14 7<Out[766]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 8, 0, 6

0, 2, 0 04 8, 0, 6

0, 2 , 0 00 8 , 0, 6

0, 2, 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4

3 7 , 0, 5

2 , 1 2 , 2 5

0 8, 0, 6

0, 2, 0 4

5 7 , 0, 5

2, 1 2 , 2 3

4 0, 0, 00, 0, 0 4


X2 e8



Out[769]= True


1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[771]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 1 0<Out[771]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6, 7, 89, 10, 11 5

20 22 , 23, 2425, 26 , 27 21

5 6 , 7 , 89 , 10 , 11 4

2 0, 0, 00, 0, 0 2

12 14 , 15, 1617, 18 , 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15 , 1617 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[772]= True

Sesión V 259


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

8 10, 9 , 00, 0, 5 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 2 5 0

0 10, 9 , 00, 0, 5 8

0 0, 0, 00, 0, 5 2 0

16 0, 0, 00, 0, 0 16

In[774]:= @X2@e8DD@X2@e8DD ±±. 8 2 5, 5 0, 8 0, 9 0, 10 0, 16 0<Out[774]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 7 , 00, 0, 11 0

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

0 6 , 7 , 00, 0, 11 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

12 14 , 15, 017, 18, 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15, 017 , 18 , 19 12

3 0, 0, 00, 0, 0 3


Out[775]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 3 0, 0, 00, 0, 0 5 3

In[777]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 3 5<Out[777]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 7 , 00, 0, 11 0

20 22, 23, 2425 , 26, 27 21

0 6 , 7 , 00, 0, 11 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

12 14 , 15, 017, 18, 19 13

21 22, 23, 2425, 26, 27 20

13 14, 15, 017 , 18 , 19 12

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Out[778]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

24 26, 25 , 00, 0, 21 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 26 , 25 , 00, 0, 21 24

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[780]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 21 0, 24 0, 25 0, 26 0<Out[780]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 6 , 7 , 00, 0, 11 0

20 22, 23, 00, 0, 27 0

0 6 , 7, 00, 0, 11 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5

12 14 , 15 , 017, 18 , 19 13

0 22 , 23, 00, 0, 27 20

13 14, 15 , 017, 18, 19 12

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Out[781]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 4 5

0 0, 0, 00, 0, 0 0

4 5 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[783]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 4 5<Out[783]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 6 , 7 , 00, 0, 11 0

20 22, 23, 00, 0, 27 0

0 6 , 7, 00, 0, 11 5

5 0, 0, 00, 0, 0 5

12 14 , 15 , 017, 18 , 19 13

0 22 , 23, 00, 0, 27 20

13 14, 15 , 017, 18, 19 12

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Out[784]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 2 11 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 11 2 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[786]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 11 2<Out[786]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 6 , 7 , 00, 0, 2 0

20 22, 23, 00, 0, 27 0

0 6 , 7 , 00, 0, 2 5

5 0, 0, 00, 0, 0 5

12 14 , 15 , 017, 18 , 19 13

0 22 , 23, 00, 0, 27 20

13 14, 15 , 017, 18, 19 12

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Out[787]= True

Sesión V 261


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 7 6 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 7 6 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[789]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 6 7<Out[789]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 7, 7 , 00, 0, 2 0

20 22, 23, 00, 0, 27 0

0 7 , 7, 00, 0, 2 5

5 0, 0, 00, 0, 0 5

12 14 , 15 , 017, 18 , 19 13

0 22 , 23, 00, 0, 27 20

13 14, 15 , 017, 18, 19 12

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Out[790]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 7 6 , 00, 0, 0 0

5 20 22 7 , 6 23, 00, 0, 2 27 0

0 0, 6 7 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 7 22, 6 23, 00, 0, 2 27 5 20

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[792]:= @X2@e8DD@X2@e8DD ±±. 8 7 6, 20 5, 22 7, 23 6, 27 2<Out[792]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

5 0, 0, 00, 0, 0 5

12 14, 15, 017, 18, 19 13

0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

13 14, 15 , 017, 18 , 19 12

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Out[793]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 5 15 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 5 15 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


In[795]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 15 5<Out[795]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

5 7 , 6, 00, 0, 2 0

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12 14, 5 , 017, 18, 19 13

0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

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5 0, 0, 00, 0, 0 5


Out[796]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

14 6 0, 0, 04 12, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[798]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 12 4, 14 6<Out[798]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

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5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 6 , 5, 017, 18, 19 13

0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

13 6 , 5, 017, 18 , 19 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Out[799]= True


0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 18 , 3 17, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 18 , 3 17 , 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[801]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 18 3, 17 3<Out[801]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

5 7 , 6, 00, 0, 2 0

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0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

13 6 , 5, 03 , 3 , 19 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Sesión V 263


0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 1 19 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 2 1 19

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[804]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 19 2 1<Out[804]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

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5 0, 0, 00, 0, 0 5

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0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

13 6 , 5 , 03, 3, 2 1 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5



0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

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0 0, 0, 00, 0, 0 0

In[807]:= @X2@e8DD @X2@e8DD ±±. 8 13 4<Out[807]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

5 0, 0, 00, 0, 0 5

4 6 , 5, 03 , 3 , 2 1 4

0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

4 6 , 5 , 03, 3, 2 1 4

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Búsqueda de igualdades para X3 ei y su imagen

Una vez hemos determinado las imágenes de los Ei y de los X1 ei y de X2 ei , nosquedan las imágenes de los elementos X3 ei . Lo que vamos a hacer es buscaridentidades para estos elementos de tal forma que se expresen como producto deotros elementos básicos. Una vez conseguido esto, sólo tendremos que aplicar laderivación para obtener la imagen de cada X3 ei . De esa forma encontramos que

In[809]:= T@E1@1D, X1@e1D, X2@e1DD X3@e1DOut[809]= True


Entonces la imagen de X3 e1 es

In[810]:= @X3@e1DD Leib@E1@1D, X1@e1D, X2@e1DDOut[810]=

2 0, 0, 00, 0, 0 2

2 3 , 4 , 5

0, 0, 0 0 1 4 , 5 , 4

5 , 6 , 7 00 3 , 4 , 5

0, 0, 0 2

0 0, 0, 00, 0, 0 0

2 0, 0, 06 , 7 , 8 0

0 4 , 5 , 4

5 , 6 , 7 1

0 0, 0, 06, 7, 8 2

2 0, 0, 00, 0, 0 2

De este modo, presentamos la lista de estas imágenes, obtenidas aplicando laderivación a cada una de las identidades obtenidas para X3 ei :



1 0, 0, 00, 0, 0 1

0 0, 0, 06 , 7 , 8 1

0 1 , 2 , 3

1 , 2 , 1 1

1 0, 0, 06 , 7, 8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 3 , 4, 5

0, 0, 0 1

1 1 , 2 , 3

1, 2 , 1 01 3 , 4 , 5

0, 0, 0 01 0, 0, 0

0, 0, 0 1



6 0, 0, 00, 0, 0 6

6 1 , 0, 00, 5 , 4 0

1 1 , 2, 3

0, 4 , 3 5

0 1 , 0, 00, 5, 4 6

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 2 , 0, 00, 5 , 4 6

5 1, 2 , 3

0, 4 , 3 1

6 2 , 0, 00, 5 , 4 0

6 0, 0, 00, 0, 0 6



7 0, 0, 00, 0, 0 7

7 0, 1 , 05, 0, 3 0

2 1 , 2 , 3

4 , 0, 2 6

0 0, 1 , 05 , 0, 3 7

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 2 , 05, 0, 3 7

6 1 , 2 , 3

4, 0, 2 2

7 0, 2, 05 , 0, 3 0

7 0, 0, 00, 0, 0 7


Sesión V 265


8 0, 0, 00, 0, 0 8

8 0, 0, 14 , 3 , 0 0

1 1 , 2 , 1 2 13 , 2 , 0 7

0 0, 0, 14, 3 , 0 8

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 24 , 3 , 0 8

7 1, 2 , 1 2 13, 2 , 0 1

8 0, 0, 24 , 3 , 0 0

8 0, 0, 00, 0, 0 8



3 0, 0, 00, 0, 0 3

0 0, 8 , 7

2 , 0, 0 3

1 0, 6 , 5

1, 1 , 1 4

3 0, 8, 7

2 , 0, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 03 0, 8 , 7

1 , 0, 0 04 0, 6 , 5

1 , 1 , 1 1

0 0, 8 , 7

1 , 0, 0 3

3 0, 0, 00, 0, 0 3



4 0, 0, 00, 0, 0 4

0 8, 0, 6

0, 2 , 0 4

2 6 , 0, 4

2, 2 , 2 5

4 8 , 0, 6

0, 2, 0 00 0, 0, 0

0, 0, 0 04 8 , 0, 6

0, 1 , 0 05 6 , 0, 4

2 , 2 , 2 2

0 8 , 0, 6

0, 1 , 0 4

4 0, 0, 00, 0, 0 4



5 0, 0, 00, 0, 0 5

0 7 , 6 , 00, 0, 2 5

3 5 , 4, 03 , 3, 1 2 1 4

5 7 , 6 , 00, 0, 2 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

5 7 , 6 , 00, 0, 1 0

4 5 , 4 , 03, 3 , 1 2 1 3

0 7 , 6 , 00, 0, 1 5

5 0, 0, 00, 0, 0 5


Sesión V H3L : Elemento genérico deDer HH3 HOs, LL


Matriz genérica y base

Los 52 parámetros en función de los cuales hemos determinado la matriz genéricade cualquier derivación de f4 Os son

In[825]:= parametros Union@Variables@ @E1@1DDD,Variables@ @E2@1DDD, Variables@ @E3@1DDDD;

Do@parametros Union@parametros, Variables@ @Xi@ejDDDD,8i, 3<, 8j, 8<DIn[826]:= parametros

Out[826]= , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5,1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 1, 1, 2

y efectivamente

In[827]:= Length@parametrosDOut[827]= 52

Para construir la matriz genérica, reunimos a todas las imágenes en la variable todos

In[828]:= todos 8 @E1@1DD, @E2@1DD, @E3@1DD, @X1@e1DD, @X1@e2DD,@X1@e3DD, @X1@e4DD, @X1@e5DD, @X1@e6DD, @X1@e7DD,@X1@e8DD, @X2@e1DD, @X2@e2DD, @X2@e3DD, @X2@e4DD,@X2@e5DD, @X2@e6DD, @X2@e7DD, @X2@e8DD, @X3@e1DD,@X3@e2DD, @X3@e3DD, @X3@e4DD, @X3@e5DD, @X3@e6DD,@X3@e7DD, @X3@e8DD<;para pasar a construir la citada matriz en la forma

In[829]:= supermatriz 8<;Do@actual todos@@iDD;fila 8actual@@1, 1DD@@1, 1DD, actual@@2, 2DD@@1, 1DD,actual@@3, 3DD@@1, 1DD, actual@@1, 2DD@@1, 1DD,actual@@1, 2DD@@2, 2DD,actual@@1, 2DD@@1, 2DD@@1DD, actual@@1, 2DD@@1, 2DD@@2DD,actual@@1, 2DD@@1, 2DD@@3DD, actual@@1, 2DD@@2, 1DD@@1DD,actual@@1, 2DD@@2, 1DD@@2DD, actual@@1, 2DD@@2, 1DD@@3DD,actual@@2, 3DD@@1, 1DD, actual@@2, 3DD@@2, 2DD,actual@@2, 3DD@@1, 2DD@@1DD, actual@@2, 3DD@@1, 2DD@@2DD,actual@@2, 3DD@@1, 2DD@@3DD, actual@@2, 3DD@@2, 1DD@@1DD,actual@@2, 3DD@@2, 1DD@@2DD, actual@@2, 3DD@@2, 1DD@@3DD,actual@@1, 3DD@@1, 1DD, actual@@1, 3DD@@2, 2DD,actual@@1, 3DD@@1, 2DD@@1DD, actual@@1, 3DD@@1, 2DD@@2DD,actual@@1, 3DD@@1, 2DD@@3DD, actual@@1, 3DD@@2, 1DD@@1DD,actual@@1, 3DD@@2, 1DD@@2DD, actual@@1, 3DD@@2, 1DD@@3DD<;

AppendTo@supermatriz, filaD, 8i, 27<Ddonde se debe tener especial precaución a la hora de reconocer cada entrada paraque, por filas, aparezcan las coordenadas en el orden ya prefijado en la base deH3 Os, . Y así se tiene

In[830]:= supermatriz

Out[830]=

0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 80 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

2 2 0 1 0 2 3 4 5 6 7 0 2 0 0 0 6 7 8 1 0 3 4 5 0 0 0

1 1 0 0 1 1 2 3 4 5 6 1 0 3 4 5 0 0 0 0 2 0 0 0 6 7 8

6 6 0 4 5 1 2 3 0 4 5 6 0 2 0 0 0 5 4 6 0 2 0 0 0 5 4

7 7 0 5 6 1 2 3 4 0 4 7 0 0 2 0 5 0 3 7 0 0 2 0 5 0 3

8 8 0 6 7 1 2 2 1 2 1 5 4 0 8 0 0 0 2 4 3 0 8 0 0 0 2 4 3 0

3 3 0 1 2 0 1 2 1 1 1 0 3 0 8 7 1 0 0 0 3 0 8 7 1 0 0

4 4 0 2 3 1 0 1 2 2 2 0 4 8 0 6 0 1 0 0 4 8 0 6 0 1 0

5 5 0 3 4 2 1 0 3 3 2 1 2 1 0 5 7 6 0 0 0 1 0 5 7 6 0 0 0 10 2 2 0 2 3 4 5 0 0 0 0 4 5 4 4 5 6 1 0 0 0 0 6 7 80 1 1 1 0 0 0 0 6 7 8 0 2 3 4 1 2 1 0 2 3 4 5 0 0 0

0 6 6 0 6 1 0 0 0 5 4 1 4 1 1 2 3 0 3 2 0 6 1 0 0 0 5 40 7 7 0 7 0 1 0 5 0 3 2 5 1 1 2 3 3 0 1 0 7 0 1 0 5 0 30 8 8 0 8 0 0 1 4 3 0 1 6 1 2 2 1 2 1 0 0 8 0 0 1 4 3 0

0 3 3 3 0 0 8 7 2 0 0 2 4 0 7 6 1 1 1 1 3 0 0 8 7 2 0 0

0 4 4 4 0 8 0 6 0 2 0 3 5 7 0 5 2 1 2 2 4 0 8 0 6 0 2 0

0 5 5 5 0 7 6 0 0 0 2 4 4 6 5 0 3 3 2 1 5 0 7 6 0 0 0 2

2 0 2 2 0 3 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 6 7 8 1 0 4 5 4 5 6 7

1 0 1 0 1 0 0 0 6 7 8 0 1 3 4 5 0 0 0 0 1 1 2 3 1 2 1

6 0 6 6 0 1 0 0 0 5 4 0 6 2 0 0 0 5 4 1 5 1 2 3 0 4 3

7 0 7 7 0 0 1 0 5 0 3 0 7 0 2 0 5 0 3 2 6 1 2 3 4 0 2

8 0 8 8 0 0 0 1 4 3 0 0 8 0 0 2 4 3 0 1 7 1 2 1 2 1 3 2 0

3 0 3 0 3 0 8 7 2 0 0 3 0 0 8 7 1 0 0 1 4 0 6 5 1 1 1

4 0 4 0 4 8 0 6 0 2 0 4 0 8 0 6 0 1 0 2 5 6 0 4 2 2 2

5 0 5 0 5 7 6 0 0 0 2 5 0 7 6 0 0 0 1 3 4 5 4 0 3 3 1 2 1

Terminamos la sesión con el cálculo de una base de dicha álgebra de Lie, f4 Os , denotada por xi i1,…,52 haciendo

In[831]:= i_,j_ : If@i j, 1, 0D;var Variables@supermatrizD; numero Length@varD;reglas Table@var@@jDD i,j, 8i, numero<, 8j, numero<D;Do@xi supermatriz±±. reglas@@iDD, 8i, numero<D

In[832]:= Dimensions@supermatrizDOut[832]= 27, 27


Recíproco

Hemos probado que una derivación cualquiera en H3 Os, queda determinada sifijamos los 52 parámetros que nos han aparecido. Para completar la demostración,tenemos que probar que cualquier aplicación lineal que tenga estas imágenes paralos elementos básicos es una derivación. Para ello construimos en primer lugar elcomando

In[833]:= CoorAikjjjjjjjj_ a_ c_

_ _ b__ _ _

y{zzzzzzzzE : 88 @@1, 1DD, @@1, 1DD, @@1, 1DD,a@@1, 1DD, a@@2, 2DD, a@@1, 2DD@@1DD, a@@1, 2DD@@2DD,a@@1, 2DD@@3DD, a@@2, 1DD@@1DD, a@@2, 1DD@@2DD,a@@2, 1DD@@3DD, b@@1, 1DD, b@@2, 2DD, b@@1, 2DD@@1DD,b@@1, 2DD@@2DD, b@@1, 2DD@@3DD, b@@2, 1DD@@1DD,b@@2, 1DD@@2DD, b@@2, 1DD@@3DD, c@@1, 1DD, c@@2, 2DD,c@@1, 2DD@@1DD, c@@1, 2DD@@2DD, c@@1, 2DD@@3DD,c@@2, 1DD@@1DD, c@@2, 1DD@@2DD, c@@2, 1DD@@3DD<<

que nos proporciona las coordenadas de un elemento cualquiera de H3 Os, . Porotro lado, el comandoIn[834]:= InvCoor@88a1_, a2_, a3_, a4_, a5_, a6_, a7_, a8_, a9_, a10_, a11_,

a12_, a13_, a14_, a15_, a16_, a17_, a18_, a19_, a20_, a21_, a22_, a23_, a24_, a25_, a26_, a27_<<D :ikjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

ikjjj a1 80, 0, 0<80, 0, 0< a1y{zzz ikjjj a4 8a6, a7, a8<8a9, a10, a11< a5

y{zzz ikjjj a20 8a22, a23, a24<8a25, a26, a27< a21y{zzzAikjjj a4 8a6, a7, a8<8a9, a10, a11< a5

y{zzzE ikjjj a2 80, 0, 0<80, 0, 0< a2y{zzz ikjjj a12 8a14, a15, a16<8a17, a18, a19< a13

y{zzzAikjjj a20 8a22, a23, a24<8a25, a26, a27< a21y{zzzE Aikjjj a12 8a14, a15, a16<8a17, a18, a19< a13

y{zzzE ikjjj a3 80, 0, 0<80, 0, 0< a3y{zzz

y{zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

realiza el proceso inverso, dadas las 27 coordenadas, genera el elemento en suforma matricial. Con estas herramientas, el comprobar que la derivación genéricadeterminada en función de 52 parámetros es una derivación es muy intuitiva. Así,para empezar, tenemos que comprobar que

D(1)=0

Entonces hacemos

In[835]:= InvCoor@[email protected] CERO

Out[835]= True

A continuación tenemos que verificar la igualdad

D Ux y T D x , y, x Ux D y

Sesión V 269

para cualesquiera x, y H3 Os, . Como esta identidad es lineal en la variable y,usaremos como x un elemento genérico y como y cada uno de la base. Para loselementos Ei 1 tenemos

In[836]:= InvCoor@Coor@Ucualq@[email protected]@InvCoor@[email protected], E1@1D, cualqDUcualq@InvCoor@Coor@[email protected] ±±Expand

Out[836]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


Out[837]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0


Out[838]=

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

Para los siguientes elementos básicos X1,2 ei tenemos


In[839]:= Do@Print@Expand@InvCoor@Coor@Ucualq@X1,[email protected]

T@InvCoor@[email protected], X1,2@eiD, cualqDUcualq@InvCoor@Coor@X1,[email protected] CEROD,8i, 8<D

True

True

True

True

True

True

True

True

al igual que



True

True

True

True

True

True

True

True

y por último

Sesión V 271



True

True

True

True

True

True

True

True


SesiónVI : Estudiode la simplicidaddeDer H3 Os, en característica 2

Siguiendo con la notación de la sesión anterior, usaremos la base determinada sinrestricción alguna en la característica para estudiar la simplicidad del álgebra deLie en característica 2. En esta sesión se supone que tenemos cargados losresultados de las anteriores. Para ello hemos comenzado con la introducción dedichos resultados, de ahí que la entrada primera no sea la número 1.

Carga de resultados de sesiones anteriores

Seguiremos un esquema similar al trabajo expuesto en otras sesiones. En primerlugar, definimos una instrucción que nos permitirá "reconocer" elementosgenéricos del álgebra. Es decir, a partir de una matriz del álgebra, el comandoescribe dicho elemento como combinación lineal de los vectores de la base. Nóteseque no se resuelve ningún sistema, sólo se realiza una búsqueda de las entradasapropiadas para reconocer la combinación lineal concreta. Así

In[37]:= Reconoce@m_D : Module@8<,1 m@@12, 12DD; 2 m@@1, 4DD; 3 m@@1, 5DD;4 m@@1, 6DD; 5 m@@1, 7DD; 6 m@@1, 8DD;7 m@@1, 9DD; 8 m@@1, 10DD;9 m@@1, 11DD; 10 m@@5, 12DD; 11 m@@4, 13DD;12 m@@15, 11DD; 13 m@@16, 9DD; 14 m@@27, 1DD;15 m@@22, 1DD; 16 m@@23, 1DD; 17 m@@24, 1DD;18 m@@13, 3DD; 19 m@@12, 3DD; 20 m@@17, 2DD;21 m@@18, 2DD; 22 m@@19, 2DD; 23 m@@14, 2DD;24 m@@15, 2DD; 25 m@@16, 2DD; 26 m@@4, 4DD;27 m@@4, 6DD; 28 m@@4, 7DD; 29 m@@4, 8DD;30 m@@4, 9DD; 31 m@@4, 10DD; 32 m@@4, 11DD;33 m@@7, 6DD; 34 m@@7, 7DD; 35 m@@7, 8DD;36 m@@7, 11DD; 37 m@@6, 6DD; 38 m@@6, 7DD;39 m@@6, 8DD; 40 m@@6, 10DD; 41 m@@6, 11DD;42 m@@5, 6DD; 43 m@@5, 7DD; 44 m@@5, 8DD;45 m@@5, 9DD; 46 m@@5, 10DD; 47 m@@5, 11DD;48 m@@8, 6DD; 49 m@@8, 7DD; 50 m@@10, 8DD;51 m@@9, 7DD; 52 m@@9, 8DD;Sum@ i HHoldForm@xDLi, 8i, 52<DD

De este modo, si construimos un elemento genérico haciendo

In[38]:= Sum@ i xi, 8i, 52<DOut[38]=

0 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 10 11 12 13 14 15 16 17

0 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 18 19 20 21 22 23 24 25 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 19 20 21 22 23 24 25 10 11 12 13 14 15 16 17

3 3 0 26 0 27 28 29 30 31 32 0 11 0 0 0 15 16 17 18 0 20 21 22 0 0 0

2 2 0 0 26 42 43 44 45 46 47 10 0 12 13 14 0 0 0 0 19 0 0 0 23 24 25

7 7 0 45 30 37 38 39 0 40 41 15 0 11 0 0 0 14 13 23 0 19 0 0 0 22 21

8 8 0 46 31 33 34 35 40 0 36 16 0 0 11 0 14 0 12 24 0 0 19 0 22 0 20

9 9 0 47 32 48 49 2 1 26 34 37 41 36 0 17 0 0 0 11 13 12 0 25 0 0 0 19 21 20 0

4 4 0 42 27 0 51 52 37 33 48 0 12 0 17 16 10 0 0 0 20 0 25 24 18 0 0

5 5 0 43 28 51 0 50 38 34 49 0 13 17 0 15 0 10 0 0 21 25 0 23 0 18 0

6 6 0 44 29 52 50 0 39 35 21 26 34 37 0 14 16 15 0 0 0 10 0 22 24 23 0 0 0 18

0 19 19 0 11 12 13 14 0 0 0 1 0 36 41 40 45 46 47 2 0 0 0 0 7 8 9

0 18 18 10 0 0 0 0 15 16 17 0 1 27 28 29 50 52 51 0 3 4 5 6 0 0 0

0 23 23 0 15 10 0 0 0 14 13 50 45 1 26 37 38 39 0 44 43 0 7 2 0 0 0 6 5

0 24 24 0 16 0 10 0 14 0 12 52 46 33 1 26 34 35 44 0 42 0 8 0 2 0 6 0 4

0 25 25 0 17 0 0 10 13 12 0 51 47 48 49 1 34 37 43 42 0 0 9 0 0 2 5 4 0

0 20 20 12 0 0 17 16 11 0 0 27 36 0 32 31 1 26 37 33 48 4 0 0 9 8 3 0 0

0 21 21 13 0 17 0 15 0 11 0 28 41 32 0 30 38 1 26 34 49 5 0 9 0 7 0 3 0

0 22 22 14 0 16 15 0 0 0 11 29 40 31 30 0 39 35 1 34 37 6 0 8 7 0 0 0 3

11 0 11 19 0 20 21 22 0 0 0 3 0 0 0 0 7 8 9 1 26 0 36 41 40 30 31 32

10 0 10 0 18 0 0 0 23 24 25 0 2 4 5 6 0 0 0 0 1 26 42 43 44 50 52 51

15 0 15 23 0 18 0 0 0 22 21 0 7 3 0 0 0 6 5 50 30 37 1 38 39 0 29 28

16 0 16 24 0 0 18 0 22 0 20 0 8 0 3 0 6 0 4 52 31 33 34 1 35 29 0 27

17 0 17 25 0 0 0 18 21 20 0 0 9 0 0 3 5 4 0 51 32 48 49 1 26 34 37 28 27 0

12 0 12 0 20 0 25 24 19 0 0 4 0 0 9 8 2 0 0 42 36 0 47 46 1 37 33 48

13 0 13 0 21 25 0 23 0 19 0 5 0 9 0 7 0 2 0 43 41 47 0 45 38 1 34 49

14 0 14 0 22 24 23 0 0 0 19 6 0 8 7 0 0 0 2 44 40 46 45 0 39 35 1 26 34 37

el comando devuelve, desde luego, una combinación genérica

In[39]:= Reconoce@%DOut[39]= 1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 5 x5 6 x6 7 x7 8 x8 9 x9 10 x10 11 x11

12 x12 13 x13 14 x14 15 x15 16 x16 17 x17 18 x18 19 x19 20 x20 21 x21 22 x22 23 x23 24 x24 25 x25 26 x26 27 x27 28 x28 29 x29 30 x30 31 x31 32 x32 33 x33 34 x34 35 x35 36 x36 37 x37 38 x38 39 x39 40 x40 41 x41 42 x42 43 x43 44 x44 45 x45 46 x46 47 x47 48 x48 49 x49 50 x50 51 x51 52 x52

Definimos de nuevo el corchete Lie

In[40]:= c@x_, y_D : x.y y.x

al igual que la rutina

In[41]:= SinCeros@lis_D : Module@8<,nueva 8<;Do@If@Not@lis@@iDD 0 lis@@iDDD, AppendTo@nueva, lis@@iDDDD,8i, Length@lisD<D; nuevaD

que elimina los ceros de una lista. Antes de la instrucción fundamental, quecalculará ideales generados por elementos del álgebra, definimos

In[42]:= Coordenadas@y_D : Module@8<, coo : Array@aa, 852<D;Do@aa@iD Coefficient@y, HHoldForm@xDLiD, 8i, 52<D;cooD

que expresa en coordenadas un elemento cualquiera y

In[43]:= combina@lis_D : Module@8<,Sum@lis@@iDD HHoldForm@xDLi, 8i, 52<DD

que transforma coordenadas en una combinación lineal. Construimos entonces

274 Estudio de la simplicidad de Der(H3(Os,-)) en característica 2

In[44]:= IdealGenerado@lis_, car_D : Module@8k, ideal<,ideal Map@combina, SinCeros@RowReduce@

Map@Coordenadas, Map@Reconoce, lisDD, Modulus carDDD;Print@"Profundidad ", 0, " ", idealD;dim@0D 0; dim@1D 1; k 1;While@dim@kD 52&&dim@kD dim@k 1D, conj ideal; k k 1; Do@AppendTo@ideal, Reconoce@c@ReleaseHold@conj@@jDDD, xiDDD,8i, 52<, 8j, Length@conjD<D;ideal Map@combina, SinCeros@

RowReduce@Map@Coordenadas, idealD, Modulus carDDD;Print@"Profundidad ", k 1, " ", idealD;dim@kD Length@idealDD;Print@"Ideal ", Map@Reconoce, lisD, " ", ideal," con ", " dimensión ", dim@kDDD

que determina el ideal generado por un conjunto de elementos del álgebra. Elcomando es el mismo que el utilizado en sesiones anteriores, con la precaución demodificar la dimensiíon del álgebra. Determinemos los ideales generados por loselementos de la base del álgebra cuando la característica del cuerpo base es 2.Tenemos así

In[45]:= IdealGenerado@8x1<, 2DProfundidad 0 x1

Profundidad 1 x1, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25

Profundidad 2 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14,x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26 x34 x37


Ideal x1 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16,x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26 x34 x37 con dimensión

26

In[46]:= IdealGenerado@8x2<, 2DProfundidad 0 x2

Profundidad 1 x1, x2, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x12, x13, x14, x19, x23, x24, x25




26

Sesión VI 275

In[47]:= Do@IdealGenerado@8xi<, 2D, 8i, 3, 52<D

Profundidad 0 x3





26

Profundidad 0 x4





26

Profundidad 0 x5





26

Profundidad 0 x6





26


Profundidad 0 x7





26

Profundidad 0 x8





26

Profundidad 0 x9





26

Profundidad 0 x10

Profundidad 1 x1 x26 x34 x37, x2, x4, x5, x6, x10, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x23, x24, x25




26

Profundidad 0 x11

Sesión VI 277





26

Profundidad 0 x12





26

Profundidad 0 x13





26

Profundidad 0 x14





26

Profundidad 0 x15






26

Profundidad 0 x16





26

Profundidad 0 x17





26

Profundidad 0 x18

Profundidad 1 x3, x4, x5, x6, x10, x15, x16, x17, x18, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26 x34 x37




26

Profundidad 0 x19

Sesión VI 279





26

Profundidad 0 x20





26

Profundidad 0 x21





26

Profundidad 0 x22





26

Profundidad 0 x23






26

Profundidad 0 x24





26

Profundidad 0 x25





26

Profundidad 0 x26

Profundidad 1 x2, x3, x6, x9, x10, x11, x14, x17, x20, x21, x23, x24, x26,x27, x28, x30, x31, x35, x36, x39, x41, x42, x43, x45, x46, x48, x49, x50, x52

Profundidad 2 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16,x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26, x27, x28, x29, x30, x31, x32, x33,x34, x35, x36, x37, x38, x39, x40, x41, x42, x43, x44, x45, x46, x47, x48, x49, x50, x51, x52

Ideal x26 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18,x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26, x27, x28, x29, x30, x31, x32, x33, x34, x35, x36,x37, x38, x39, x40, x41, x42, x43, x44, x45, x46, x47, x48, x49, x50, x51, x52

con dimensión 52

Profundidad 0 x27

Sesión VI 281

Profundidad 1 x1 x26 x37, x3, x4, x16, x17, x18, x20, x27, x28, x29, x31, x32, x33, x48, x51, x52

Profundidad 2 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16,x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26, x27, x28, x29, x30, x31, x32,x33, x34, x35, x36, x37, x38, x39, x40, x41, x42, x43, x44, x46, x47, x48, x49, x50, x51, x52



con dimensión 52

Profundidad 0 x28





con dimensión 52

Profundidad 0 x29

Profundidad 1 x1 x26, x3, x6, x15, x16, x18, x22, x27, x28, x29, x30, x31, x35, x39, x50, x52




con dimensión 52

Profundidad 0 x30

Profundidad 1 x3, x7, x11, x15, x21, x22, x26 x37, x28, x29, x30, x31, x32, x38, x39, x40, x41





con dimensión 52

Profundidad 0 x31





con dimensión 52

Profundidad 0 x32





con dimensión 52

Profundidad 0 x33

Profundidad 1 x4, x8, x12, x16, x20, x24, x27, x31, x33, x34 x37, x35, x36, x42, x46, x48, x52


Sesión VI 283



con dimensión 52

Profundidad 0 x34




con dimensión 52

Profundidad 0 x35





con dimensión 52

Profundidad 0 x36






con dimensión 52

Profundidad 0 x37




con dimensión 52

Profundidad 0 x38

Profundidad 1 x5, x7, x13, x15, x21, x23, x28, x30, x34 x37, x38, x39, x41, x43, x45, x49, x50




con dimensión 52

Profundidad 0 x39





con dimensión 52

Profundidad 0 x40

Sesión VI 285





con dimensión 52

Profundidad 0 x41





con dimensión 52

Profundidad 0 x42





con dimensión 52

Profundidad 0 x43






con dimensión 52

Profundidad 0 x44





con dimensión 52

Profundidad 0 x45





con dimensión 52

Profundidad 0 x46



Sesión VI 287



con dimensión 52

Profundidad 0 x47





con dimensión 52

Profundidad 0 x48





con dimensión 52

Profundidad 0 x49






con dimensión 52

Profundidad 0 x50





con dimensión 52

Profundidad 0 x51





con dimensión 52

Profundidad 0 x52




Sesión VI 289


con dimensión 52

De donde podemos afirmar que el álgebra f4 Os, no es simple si lacaracterística del cuerpo base es 2. Siguiendo la línea de otras sesiones,observamos que los primeros elementos del álgebra generan el mismo ideal, dedimensión 26, mientras que el resto, generan el total. El hecho de que siempreaparezca el mismo ideal I, para los elementos de la base, invita a pensar en,primero, si el ideal es minimal, y, segundo, si es único. Para ello vamos a dividiren estas dos partes el trabajo futuro. En primer lugar analizaremos el carácterminimal del ideal, mediante argumentos similares a los empleados en otrassesiones, y después estudiaremos la simplicidad del cociente por ese ideal.


Sesión VII : Estudio del ideal y del cociente


Ideal minimal

Vamos a comprobar que dado un elemento genérico del álgebra f4 Os, , quedenotaremos por Z, podemos hacer corchetes apropiados (con elementos básicos)y obtener siempre un múltiplo no nulo de un elemento de la base. Como para loselementos básicos tenemos determinado el ideal que generan, tendremosjustificado el carácter minimal del ideal. En cada paso, se considera la posibilidadde que los escalares que se obtienen puedan ser nulos, para considerar entoncesotra combinación de corchetes. En efecto, la siguiente cadena de corchetes pruebala veracidad de la anterior afirmación:

Ecuaciones en cualquier característica

In[33]:= Z supermatriz;

In[34]:= Reconoce@c@c@c@Z, x2D, x11D, x45DDOut[34]= 2 x19

In[35]:= Z Z ±. 2 0;

In[36]:= Reconoce@c@c@Z, x38D, x45DDOut[36]= 1 x45

In[37]:= Z Z ±. 1 0;


In[39]:= Z Z ±. 5 0;


In[41]:= Z Z ±. 4 0;


In[43]:= Z Z ±. 6 0;


In[45]:= Z Z ±. 2 0;


In[47]:= Z Z ±. 3 0;


In[49]:= Z Z ±. 1 0;


In[51]:= Z Z ±. 1 0;


In[53]:= Z Z ±. 2 0;


In[55]:= Z Z ±. 3 0;


In[57]:= Z Z ±. 6 0;


292 Estudio del ideal y del cociente

In[59]:= Z Z ±. 1 0;


In[61]:= Z Z ±. 4 0;


In[63]:= Z Z ±. 5 0;


In[65]:= Z Z ±. 3 0;


In[67]:= Z Z ±. 5 0;


In[69]:= Z Z ±. 4 0;


In[71]:= Z Z ±. 2 0;


In[73]:= Z Z ±. 6 0;


In[75]:= Z Z ±. 5 0;

Sesión VII 293


In[77]:= Z Z ±. 2 0;


In[79]:= Z Z ±. 4 0;


In[81]:= Z Z ±. 7 0;


In[83]:= Z Z ±. 3 0;


In[85]:= Z Z ±. 7 0;


In[87]:= Z Z ±. 6 0;


In[89]:= Z Z ±. 2 0;


In[91]:= Z Z ±. 5 0;



In[93]:= Z Z ±. 8 0;


In[95]:= Z Z ±. 1 0;


In[97]:= Z Z ±. 8 0;


In[99]:= Z Z ±. 1 0;


In[101]:= Z Z ±. 1 0;

In[102]:= Reconoce@c@Z, x27DDOut[102]= 1 x27

In[103]:= Z Z ±. 1 0;


In[105]:= Z Z ±. 2 0;


In[107]:= Z Z ±. 4 0;


In[109]:= Z Z ±. 6 0;

Sesión VII 295


In[111]:= Z Z ±. 7 0;


In[113]:= Z Z ±. 8 0;


In[115]:= Z Z ±. 3 0;

In[116]:= Reconoce@c@Z, x18DDOut[116]= x18

In[117]:= Z Z ±. 0;


In[119]:= Z Z ±. 4 0;


In[121]:= Z Z ±. 1 0;


In[123]:= Z Z ±. 3 0;


In[125]:= Z Z ±. 3 0;



In[127]:= Z Z ±. 2 0;


In[129]:= Z Z ±. 5 0;


In[131]:= Z Z ±. 2 0;


In[133]:= Z Z ±. 7 0;


In[135]:= Z Z ±. 1 0;

In[136]:= Reconoce@ZDOut[136]= 4 x29

Ideal

Estudiemos en esta sección la simplicidad del ideal I considerado como un álgebrade Lie. Recordemos que

Ideal x1 x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14,x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26 x34 x37

con dimensión 26

Definiciones

Definimos la siguiente base de I que utilizaremos en lo que sigue

In[137]:= Do@yi_ : xi, 8i, 25<D;y26 : x26 x34 x37;

así como un elemento genérico

In[138]:= Y Sum@ i yi, 8i, 26<D;

Sesión VII 297

Utilizaremos de nuevo el siguiente comando que construimos en sesionesanteriores con el fin de trabajar en característica 2

In[139]:= carack_@a_ b_D : carack@aD carack@bD;carack_@a_ b_D : carack@aD carack@bD;carack_@n_IntegerD : Mod@n, kD;carack_@x_D : x;

A partir de una matriz genérica del ideal, la expresamos como combinación linealde los elementos básicos anteriormente definidos:

In[140]:= IReconoce@m_D : Module@8<,1 m@@12, 12DD; 2 m@@1, 4DD; 3 m@@1, 5DD;4 m@@1, 6DD; 5 m@@1, 7DD; 6 m@@1, 8DD;7 m@@1, 9DD; 8 m@@1, 10DD;9 m@@1, 11DD; 10 m@@5, 12DD; 11 m@@4, 13DD;12 m@@15, 11DD; 13 m@@16, 9DD; 14 m@@27, 1DD;15 m@@22, 1DD; 16 m@@23, 1DD; 17 m@@24, 1DD;18 m@@13, 3DD; 19 m@@12, 3DD; 20 m@@17, 2DD;21 m@@18, 2DD; 22 m@@19, 2DD; 23 m@@14, 2DD;24 m@@15, 2DD; 25 m@@16, 2DD; 26 m@@4, 4DD;

carac2@Sum@ i HHoldForm@yDLi, 8i, 26<DDDrecordando que no resolvemos ningún sistema de ecuaciones. Los siguientescomandos "adaptan" los ya utilizados en el álgebra de Lie f4 Os, a este contexto

In[141]:= c@x_, y_D : x.y y.x


In[143]:= ICoordenadas@z_D : Module@8<, coo : Array@aa, 826<D;Do@aa@iD Coefficient@z, HHoldForm@yDLiD, 8i, 26<D;cooD

In[144]:= ICombina@lis_D : Module@8<,Sum@lis@@iDD HHoldForm@yDLi, 8i, 26<DD


In[145]:= IdealGenerado@lis_, car_D : Module@8k, ideal<,ideal Map@ICombina, SinCeros@RowReduce@Map@

ICoordenadas, Map@IReconoce, lisDD, Modulus carDDD;Print@"Profundidad ", 0, " ", idealD;dim@0D 0; dim@1D 1; k 1;While@dim@kD 26&&dim@kD dim@k 1D, conj ideal; k k 1; Do@AppendTo@ideal, IReconoce@c@ReleaseHold@conj@@jDDD, yiDDD,8i, 26<, 8j, Length@conjD<D;ideal Map@ICombina, SinCeros@

RowReduce@Map@ICoordenadas, idealD, Modulus carDDD;Print@"Profundidad ", k 1, " ", idealD;dim@kD Length@idealDD;Print@"Ideal ", Map@IReconoce, lisD, " ", ideal," con ", " dimensión ", dim@kDDD

Ideal generado por cada uno de los elementos básicos

Con nuestro comando IdealGenerado, del que tantos resultados estamosobteniendo, calculamos los ideales generados en I por los elementos de la basedefinida:

In[146]:= Do@IdealGenerado@8yi<, 2D, 8i, 26<D

Profundidad 0 y1

Profundidad 1 y1, y10, y11, y12, y13, y14, y15, y16, y17, y18, y19, y20, y21, y22, y23, y24, y25

Profundidad 2 y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10, y11, y12, y13, y14,y15, y16, y17, y18, y19, y20, y21, y22, y23, y24, y25, y26

Ideal y1 y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10, y11, y12, y13, y14,y15, y16, y17, y18, y19, y20, y21, y22, y23, y24, y25, y26 con dimensión

26

Profundidad 0 y2

Profundidad 1 y1, y2, y10, y12, y13, y14, y19, y23, y24, y25

Profundidad 2 y1, y2, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10, y11, y12, y13, y14, y15,y16, y17, y18, y19, y20, y21, y22, y23, y24, y25, y26



26

Profundidad 0 y3

Sesión VII 299





26

Profundidad 0 y4





26

Profundidad 0 y5





26

Profundidad 0 y6





26

Profundidad 0 y7






26

Profundidad 0 y8





26

Profundidad 0 y9





26

Profundidad 0 y10

Profundidad 1 y1 y26, y2, y4, y5, y6, y10, y18, y23, y24, y25




26

Profundidad 0 y11


Sesión VII 301




26

Profundidad 0 y12





26

Profundidad 0 y13





26

Profundidad 0 y14





26

Profundidad 0 y15






26

Profundidad 0 y16





26

Profundidad 0 y17





26

Profundidad 0 y18





26

Profundidad 0 y19


Sesión VII 303




26

Profundidad 0 y20





26

Profundidad 0 y21





26

Profundidad 0 y22





26

Profundidad 0 y23






26

Profundidad 0 y24





26

Profundidad 0 y25





26

Profundidad 0 y26




26

Vemos que los ideales generados por los elementos básicos siempre son todo elálgebra I .

Ecuaciones para el ideal

Sesión VII 305

Después de todo el trabajo desarrollado, el lector adivinará que presentaremos acontinuación las ecuaciones que prueban que el ideal generado por los elementosbásicos (el total) está contenido en el generado por cualquier elemento: el álgebrade Lie I es simple. Las mencionadas igualdades son

In[147]:= IReconoce@c@c@c@Y, y1D, y2D, y10DDOut[147]= 11 y2

In[148]:= Y Y ±. 11 0;

In[149]:= IReconoce@c@c@Y, y2D, y10DDOut[149]= 3 y10

In[150]:= Y Y ±. 3 0;


In[152]:= Y Y ±. 15 0;


In[154]:= Y Y ±. 16 0;


In[156]:= Y Y ±. 17 0;


In[158]:= Y Y ±. 18 0;


In[160]:= Y Y ±. 10 0;



In[162]:= Y Y ±. 20 0;


In[164]:= Y Y ±. 12 0;


In[166]:= Y Y ±. 22 0;


In[168]:= Y Y ±. 21 0;

In[169]:= IReconoce@c@Y, y2DDOut[169]= 26 y2

In[170]:= Y Y ±. 26 0;


In[172]:= Y Y ±. 19 0;


In[174]:= Y Y ±. 23 0;


In[176]:= Y Y ±. 24 0;


In[178]:= Y Y ±. 14 0;

Sesión VII 307


In[180]:= Y Y ±. 8 0;


In[182]:= Y Y ±. 6 0;


In[184]:= Y Y ±. 13 0;


In[186]:= Y Y ±. 25 0;


In[188]:= Y Y ±. 2 0;


In[190]:= Y Y ±. 7 0;


In[192]:= Y Y ±. 9 0;


In[194]:= Y Y ±. 4 0;



In[196]:= Y Y ±. 5 0;

In[197]:= IReconoce@YDOut[197]= 1 y1

Cociente

Ahora analizaremos el cociente. Ya tenemos que el ideal es minimal, y siprobamos que el cociente f4 Os, I es simple tendremos que I es tambiénmaximal, con lo que es el único ideal propio no nulo del álgebra.

Definiciones

Reescribimos los comandos necesarios para "trabajar" en el mencionado cociente:


que usaremos en combinación de otros,

In[199]:= Coordenadas@z_D : Module@8<, coo : Array@aa, 852<D;Do@aa@iD Coefficient@z, HHoldForm@xDLiD, 8i, 52<D;cooD

In[200]:= CocCoordenadas@z_D : Module@8<, coo : Array@aa, 826<D;Do@aa@iD Coefficient@z, HHoldForm@yDLi 26D, 8i, 1, 26<D;cooD

que construye las coordenadas a partir de una combinación lineal formal,

Sesión VII 309

In[201]:= Delta@i_, j_D : If@i j, 1, 0DP Array@xx, 852, 52<D;Do@xx@i, jD Delta@i, jD, 8i, 52<, 8j, 52<D;xx@26, 26D 1; xx@26, 34D 1; xx@26, 37D 1;

In[203]:= Proyec@lis_D : Take@lis, 26DIn[204]:= Q Inverse@PD;In[205]:= CocCoordenadasNum@z_D : Proyec@[email protected]

donde hemos usado un simple cambio de base y resultados de álgebra lineal paradeterminar coordenadas en el cociente y

In[206]:= CocCombina@lis_D : Module@8<,Sum@lis@@i 26DD HHoldForm@yDLi, 8i, 27, 52<DD

el correspondiente comando inverso. Sólo resta definir

In[207]:= CocReconoce@z_D : CocCombina@CocCoordenadasNum@Reconoce@zDDDpara presentar la versión, con una simple adaptación, del comando quedeterminará el ideal generado por un elemento (o lista de elementos)

In[208]:= IdealGeneradoCoc@lis_, car_D : Module@8k, ideal<,idealMap@CocCombina, SinCeros@RowReduce@Map@CocCoordenadasNum,

Map@Reconoce, lisDD, Modulus carDDD;Print@"Profundidad ", 0, " ", idealD;dim@0D 0; dim@1D 1; k 1;While@dim@kD 26&&dim@kD dim@k 1D,conj ideal; k k 1; Do@AppendTo@ideal,CocReconoce@c@ReleaseHold@conj@@jDDD, yiDDD,8i, 27, 52<, 8j, Length@conjD<D;

ideal Map@CocCombina, SinCeros@RowReduce@Map@CocCoordenadas, idealD, Modulus carDDD;

Print@"Profundidad ", k 1, " ", idealD;dim@kD Length@idealDD;Print@"Ideal ", Map@CocReconoce, lisD, " ",ideal, " con ", " dimensión ", dim@kDDD

Ideal generado por cada uno de los elementos básicos

Con la ayuda del comando principal definido, determinamos el ideal generado porcada elemento básico:


In[209]:= Do@IdealGeneradoCoc@8yi<, 2D, 8i, 27, 52<D

Profundidad 0 y27


Profundidad 2 y27, y28, y29, y30, y31, y32, y33, y34, y35, y36, y37, y38,y39, y40, y41, y42, y43, y44, y46, y47, y48, y49, y50, y51, y52

Profundidad 3 y27, y28, y29, y30, y31, y32, y33, y34, y35, y36, y37, y38,y39, y40, y41, y42, y43, y44, y45, y46, y47, y48, y49, y50, y51, y52


26

Profundidad 0 y28





26

Profundidad 0 y29

Profundidad 1 y27, y28, y29, y30, y31, y34 y37, y35, y39, y50, y52




26

Profundidad 0 y30




Sesión VII 311


26

Profundidad 0 y31





26

Profundidad 0 y32

Profundidad 1 y27, y28, y30, y31, y32, y34 y37, y36, y41, y48, y49




26

Profundidad 0 y33

Profundidad 1 y27, y31, y33, y34 y37, y35, y36, y42, y46, y48, y52




26

Profundidad 0 y34




26


Profundidad 0 y35





26

Profundidad 0 y36





26

Profundidad 0 y37




26

Profundidad 0 y38

Profundidad 1 y28, y30, y34 y37, y38, y39, y41, y43, y45, y49, y50




26

Profundidad 0 y39


Sesión VII 313




26

Profundidad 0 y40





26

Profundidad 0 y41





26

Profundidad 0 y42





26

Profundidad 0 y43






26

Profundidad 0 y44





26

Profundidad 0 y45





26

Profundidad 0 y46





26

Profundidad 0 y47


Sesión VII 315




26

Profundidad 0 y48





26

Profundidad 0 y49





26

Profundidad 0 y50





26

Profundidad 0 y51






26

Profundidad 0 y52





26

Observamos que el ideal que genera cada uno de los elementos básicos es todo el cociente.

Ecuaciones para el cociente

Sólo resta encontrar, para probar la simplicidad del cociente, un conjunto deidentidades que revelen que haciendo corchetes siempre es posible obtener unmúltiplo no nulo de un elemento básico. Así, el ideal generado por cada uno deellos (el total) está contenido en el generado por cualquier elemento: el álgebra deLie cociente es simple, ya que concluimos que no existen ideales propios no nulos.El mencionado conjunto es

In[210]:= Y Sum@ i yi, 8i, 27, 52<D;In[211]:= CocReconoce@c@c@c@Y, y27D, y28D, y33DDOut[211]= 45 y27

In[212]:= Y Y ±. 45 0;

In[213]:= CocReconoce@c@c@Y, y27D, y28DDOut[213]= 46 y27

In[214]:= Y Y ±. 46 0;

Sesión VII 317


In[216]:= Y Y ±. 47 0;


In[218]:= Y Y ±. 43 0;


In[220]:= Y Y ±. 44 0;


In[222]:= Y Y ±. 38 0;


In[224]:= Y Y ±. 41 0;


In[226]:= Y Y ±. 39 0;


In[228]:= Y Y ±. 40 0;

In[229]:= CocReconoce@c@Y, y27DDOut[229]= 37 y27

In[230]:= Y Y ±. 37 0;



In[232]:= Y Y ±. 42 0;


In[234]:= Y Y ±. 34 0;


In[236]:= Y Y ±. 36 0;


In[238]:= Y Y ±. 35 0;


In[240]:= Y Y ±. 33 0;


In[242]:= Y Y ±. 49 0;


In[244]:= Y Y ±. 48 0;


In[246]:= Y Y ±. 51 0;


In[248]:= Y Y ±. 52 0;

Sesión VII 319


In[250]:= Y Y ±. 50 0;


In[252]:= Y Y ±. 30 0;


In[254]:= Y Y ±. 28 0;


In[256]:= Y Y ±. 32 0;


In[258]:= Y Y ±. 29 0;


In[260]:= Y Y ±. 31 0;


In[262]:= Y Y ±. 27 0;


In[263]:= Y 0 IdentityMatrix@27DOut[263]= True

Descomposiciones de Cartan I f4 Os, I

Finalizamos esta sesión probando que el ideal, visto como álgebra de Lie, esisomorfo al cociente de f4 Os, por él. Para ello revelaremos similaresdescomposiciones de Cartan de ambas álgebras, tan similares que son isomorfas.Comenzaremos con el ideal para pasar después al cociente.

Descomposición de Cartan de I

La idea que nos guia es que el subespacio generado por y1 x1 y pory26 x26 x34 x37 es una subálgebra de Cartan del ideal, es decir, es unasubálgebra abeliana maximal formada por elementos diagonalizables. Parademostrar esto, definamos un elemento genérico del ideal I:

In[264]:= gen Sum@ i yi, 8i, 25<D 26 y26;

Vamos a demostrar en primer lugar que y1, y26 es una subálgebra de abelianamaximal. Hemos definido ya un elemento genérico del ideal. Habiendo impuestola condición de que el elemento conmute con y1 obtenemos que debe sercombinación lineal de y1, ..., y9, y26. En efecto:

In[265]:= IReconoce@c@y1, genDDOut[265]= 10 y10 11 y11 12 y12 13 y13 14 y14 15 y15 16 y16 17 y17

18 y18 19 y19 20 y20 21 y21 22 y22 23 y23 24 y24 25 y25

y así

In[266]:= gen2 Sum@ i yi, 8i, 9<D 26 y26;IReconoce@c@y1, gen2DD

Out[266]= 0

Si imponemos ahora la condición de que el nuevo elemento genérico conmute cony26 tenemos

In[267]:= IReconoce@c@y26, gen2DDOut[267]= 2 y2 3 y3 4 y4 5 y5 6 y6 7 y7 8 y8 9 y9

Por lo tanto, si el elemento genérico debe conmutar con y1 y con y26 debe tenertambién nulas las coordenadas desde la segunda hasta la novena. De este modo

Sesión VII 321

In[268]:= IReconoce@gen2D ±. i_ If@2 i 9, 0, iDOut[268]= 1 y1 26 y26

lo que implica que si un elemento conmuta con y1 y con y26 entonces escombinación lineal de ellos. En consecuencia, estos dos vectores generan unasubálgebra maximal. Constatemos ahora que los elementos de esta subálgebra sondiagonalizables. Para ello definamos

In[269]:= h1 y1; h2 y26;

El cálculo

In[270]:= Table@IReconoce@c@h1, yiDD, 8i, 26<DOut[270]= 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, y10, y11, y12, y13, y14, y15, y16, y17, y18, y19, y20,

y21, y22, y23, y24, y25, 0

demuestra que h1, yi es múltiplo de yi para cada i. Por otro lado

In[271]:= Table@IReconoce@c@h2, yiDD, 8i, 26<DOut[271]= 0, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10, y11, y12, y13, y14, y15, y16, y17, 0, 0,

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

y así h2, yi es también múltiplo de yi para cada i. Esto termina por demostrar queH h1, h2 es una subálgebra de Cartan del ideal I. Para encontrar ladescomposición de Cartan del ideal I respecto de H podemos definir las raíces

:HF tal que h1 1, h2 0,

:HF tal que h1 0, h2 1,

:HF tal que hi 1, i 1, 2.

De este modo V y18, ..., y25 , V y2, ..., y9 yV y10, ..., y17 . Por último, vamos a mostrar las relaciones multiplicativasdentro de los espacios raíces y entre ellos. Por ejemplo, V, V F h1 h2ya que:

In[272]:= Table@IReconoce@c@yi, yjDD, 8i, 10, 17<, 8j, 10, 17<DOut[272]=

0 y1 y26 0 0 0 0 0 0y1 y26 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 y1 y26 0 00 0 0 0 0 0 y1 y26 00 0 0 0 0 0 0 y1 y26

0 0 y1 y26 0 0 0 0 00 0 0 y1 y26 0 0 0 00 0 0 0 y1 y26 0 0 0


También tenemos V, V F h2 y V, V F h1 ya que


0 y26 0 0 0 0 0 0y26 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y26 0 00 0 0 0 0 0 y26 00 0 0 0 0 0 0 y26

0 0 y26 0 0 0 0 00 0 0 y26 0 0 0 00 0 0 0 y26 0 0 0

y que


0 y1 0 0 0 0 0 0y1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y1 0 00 0 0 0 0 0 y1 00 0 0 0 0 0 0 y1

0 0 y1 0 0 0 0 00 0 0 y1 0 0 0 00 0 0 0 y1 0 0 0

Por otro lado, como era de esperar, V, V V, V, V V y V, V V, como queda reflejado en


y10 0 0 0 0 y15 y16 y17

0 y11 y12 y13 y14 0 0 0y12 0 0 y17 y16 y11 0 0y13 0 y17 0 y15 0 y11 0y14 0 y16 y15 0 0 0 y11

0 y15 y10 0 0 0 y14 y13

0 y16 0 y10 0 y14 0 y12

0 y17 0 0 y10 y13 y12 0


0 y19 0 0 0 y23 y24 y25

y18 0 y20 y21 y22 0 0 00 y20 0 y25 y24 y18 0 00 y21 y25 0 y23 0 y18 00 y22 y24 y23 0 0 0 y18

y23 0 y19 0 0 0 y22 y21

y24 0 0 y19 0 y22 0 y20

y25 0 0 0 y19 y21 y20 0

Sesión VII 323

y


0 y2 y4 y5 y6 0 0 0y3 0 0 0 0 y7 y8 y9

y4 0 0 y9 y8 y2 0 0y5 0 y9 0 y7 0 y2 0y6 0 y8 y7 0 0 0 y2

0 y7 y3 0 0 0 y6 y5

0 y8 0 y3 0 y6 0 y4

0 y9 0 0 y3 y5 y4 0

Descomposición de Cartan de f4 Os, I

Añadimos, en primer lugar, una función que facilite el resultado de multiplicar enel cociente en característica 2 usando comandos que ya tenemos:

In[278]:= p@x_, y_D : carac2@CocReconoce@c@x, yDDDA continuación buscaremos elementos cuyo operador adjunto diagonalice elálgebra. Afortunadamente estos elementos existen incluso dentro de la base yi Idel álgebra. De este modo

In[279]:= Table@p@y34, yiD, 8i, 27, 52<DOut[279]= 0, y28, y29, 0, y31, y32, y33, 0, 0, 0, 0, y38, y39, y40, y41, 0, y43, y44, 0, y46,

y47, y48, 0, 0, y51, y52

y

In[280]:= Table@p@y37, yiD, 8i, 27, 52<DOut[280]= y27, 0, y29, y30, 0, y32, y33, 0, y35, y36, 0, y38, 0, y40, 0, y42, 0, y44, y45, 0,

y47, 0, y49, y50, y51, 0

Como además

In[281]:= p@y34, y37DOut[281]= 0

estos dos elementos puede que generen una subálgebra de Cartan. Para demostrarque y34 I, y37 I es abeliana maximal, vamos a construir un elementogenérico y a imponerle la condición de conmutar con y34 I e y37 I:


In[282]:= g Sum@ i yi, 8i, 27, 52<D;p@g, y34D

Out[282]= 28 y28 29 y29 31 y31 32 y32 33 y33 38 y38 39 y39 40 y40

41 y41 43 y43 44 y44 46 y46 47 y47 48 y48 51 y51 52 y52

Luego para que el elemento genérico anterior conmute con y34 I debe ser de laforma

In[283]:= g2 27 y27 30 y30 Sum@ i yi, 8i, 34, 37<D 42 y4245 y45 49 y49 50 y50;

y para que este elemento conmute con y37 I debe ser nulo

In[284]:= p@g2, y37DOut[284]= 27 y27 30 y30 35 y35 36 y36 42 y42 45 y45 49 y49 50 y50

con lo que si un elemento del cociente conmuta con y34 I y con y37 I escombinación lineal de ellos (que diagonalizan). Esto demuestra queK y34 I, y37 I es una subálgebra de Cartan. Definamos ahora las raíces y34 I 1, y37 I 0, y34 I 0, y37 I 1 así como la raíz .Determinemos el espacio W x : h, x h x, h H .

Como

In[285]:= p@y34, gDOut[285]= 28 y28 29 y29 31 y31 32 y32 33 y33 38 y38 39 y39 40 y40

41 y41 43 y43 44 y44 46 y46 47 y47 48 y48 51 y51 52 y52

para que y34 I , g g hacemos

In[286]:= g

28 y28 29 y29 31 y31 32 y32 33 y33 38 y38 39 y39 40 y4041 y41 43 y43 44 y44 46 y46 47 y47 48 y48 51 y51 52 y52;

y como


para que y37 I , g 0 debe tenerse que

g 28 y28 31 y31 39 y39 41 y41 43 y43 46 y46 48 y48 52 y

luego W y28 I, y31 I , y39 I , y41 I, y43 I , y46 I , y48 I, y52 I .Determinemos ahora W que estará formado por los g tales que h, g h g. Enresumen y34 I , g 0 y y37 I , g g. Por tanto hacemos

Sesión VII 325

In[288]:= g Sum@ i yi, 8i, 27, 52<D; p@y34, gDOut[288]= 28 y28 29 y29 31 y31 32 y32 33 y33 38 y38 39 y39 40 y40

41 y41 43 y43 44 y44 46 y46 47 y47 48 y48 51 y51 52 y52

así que

In[289]:= g 27 y27 30 y30 34 y34 35 y35 36 y36 37 y37 42 y4245 y45 49 y49 50 y50;

Asimismo


por tanto

W y27 I , y30 I , y35 I, y36 I , y42 I , y45 I, y49 I , y50 I .Finalmente el espacio raíz W es el conjunto de elementos g tales quey34 I , g g y37 I , g . Así hacemos

In[291]:= g Sum@ i yi, 8i, 27, 52<D; p@y34, gDOut[291]= 28 y28 29 y29 31 y31 32 y32 33 y33 38 y38 39 y39 40 y40

41 y41 43 y43 44 y44 46 y46 47 y47 48 y48 51 y51 52 y52

luego

In[292]:= g

28 y28 29 y29 31 y31 32 y32 33 y33 38 y38 39 y39 40 y4041 y41 43 y43 44 y44 46 y46 47 y47 48 y48 51 y51 52 y52;

Por último, como


resulta

W y29 I , y32 I , y33 I , y38 I , y40 I, y44 I , y47 I , y51 I .Resumiendo definimos

In[294]:= k1 y34; k2 y37;K 8k1, k2<;W 8y28, y46, y48, y43, y41, y39, y31, y52<;W 8y35, y49, y27, y50, y30, y45, y36, y42<;W 8y29, y47, y33, y44, y40, y38, y32, y51<;


donde hemos reordenado la base de cada subespacio con vistas al isomorfismo quevamos a definir. Las cuentas

In[295]:= Table@p@W @@iDD, W @@jDDD, 8i, 8<, 8j, 8<DOut[295]=

0 y34 y37 0 0 0 0 0 0y34 y37 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 y34 y37 0 00 0 0 0 0 0 y34 y37 00 0 0 0 0 0 0 y34 y37

0 0 y34 y37 0 0 0 0 00 0 0 y34 y37 0 0 0 00 0 0 0 y34 y37 0 0 0


0 y37 0 0 0 0 0 0y37 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y37 0 00 0 0 0 0 0 y37 00 0 0 0 0 0 0 y37

0 0 y37 0 0 0 0 00 0 0 y37 0 0 0 00 0 0 0 y37 0 0 0


0 y34 0 0 0 0 0 0y34 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 y34 0 00 0 0 0 0 0 y34 00 0 0 0 0 0 0 y34

0 0 y34 0 0 0 0 00 0 0 y34 0 0 0 00 0 0 0 y34 0 0 0

prueban que W, W F k1 k2 , W, W F k2 y W, W F k1.

I f4 Os, I

Podemos establecer un isomorfismo de I en el cociente f4 Os, I asociandohi ki, i 1, 2, y transformando V W, V W y V W. Observamosque los operadores ad ki , i 1, 2, actúan sobre los espacios raíces de igual modoque lo hacían los ad hi , i 1, 2 sobre los correspondientes espacios raíces.Asimismo, como ya hemos visto, las tablas de multiplicar coinciden en cadaespacio raíz de ambas descomposiciones de Cartan. Construyamos entonces elisomorfismo mediante las asignaciones

h1 k1, h2 k2,

y18 y28 I , y19 y46 I , y20 y48 I, y21 y43 I , y22 y41 I ,

Sesión VII 327

y23 y39 I , y24 y31 I , y25 y52 I ,

y2 y35 I , y3 y49 I , y4 y27 I, y5 y50 I , y6 y30 I , y7 y45 I ,y8 y36 I , y9 y42 I,

y10 y29 I , y11 y47 I , y12 y33 I, y13 y44 I , y14 y40 I ,y15 y38 I , y16 y32 I , y17 y51 I .

Veamos los productos entre espacios raíces distintos. Por un lado


y10 0 0 0 0 y15 y16 y17


0 y15 y10 0 0 0 y14 y13

0 y16 0 y10 0 y14 0 y12

0 y17 0 0 y10 y13 y12 0

para los productos V, V en I , mientras que


y29 0 0 0 0 y38 y32 y51


0 y38 y29 0 0 0 y40 y44

0 y32 0 y29 0 y40 0 y33

0 y51 0 0 y29 y44 y33 0

De igual modo


0 y19 0 0 0 y23 y24 y25


y23 0 y19 0 0 0 y22 y21

y24 0 0 y19 0 y22 0 y20

y25 0 0 0 y19 y21 y20 0

mientras que en el cociente



0 y46 0 0 0 y39 y31 y52


y39 0 y46 0 0 0 y41 y43

y31 0 0 y46 0 y41 0 y48

y52 0 0 0 y46 y43 y48 0

en perfecta consonancia con la asignación construida. Para terminar


0 y2 y4 y5 y6 0 0 0y3 0 0 0 0 y7 y8 y9

y4 0 0 y9 y8 y2 0 0y5 0 y9 0 y7 0 y2 0y6 0 y8 y7 0 0 0 y2

0 y7 y3 0 0 0 y6 y5

0 y8 0 y3 0 y6 0 y4

0 y9 0 0 y3 y5 y4 0

en I , mientras que


0 y35 y27 y50 y30 0 0 0y49 0 0 0 0 y45 y36 y42

y27 0 0 y42 y36 y35 0 0y50 0 y42 0 y45 0 y35 0y30 0 y36 y45 0 0 0 y35

0 y45 y49 0 0 0 y30 y50

0 y36 0 y49 0 y30 0 y27

0 y42 0 0 y49 y50 y27 0

Sesión VII 329

en el cociente.


Sesión VIII: Simplicidad def4 HCL

en característica distinta dedos. Una nueva aproximación.

Siguiendo con la notación de sesiones previas, usaremos la base determinada sinrestricción alguna en la característica para estudiar la simplicidad del álgebra deLie en característica distinta de 2 (reduciendo el problema al caso split). En estasesión se supone que tenemos cargados los resultados de las anteriores. Para ellohemos comenzado con la introducción de dichos resultados.


Seguiremos un esquema similar al trabajo expuesto en otras sesiones. En primerlugar, definimos una instrucción que nos permitirá "reconocer" elementosgenéricos del álgebra. Es decir, a partir de una matriz del álgebra, el comandoescribe dicho elemento como combinación lineal de los vectores de la base. Nóteseque no se resuelve ningún sistema, sólo se realiza una búsqueda de las entradasapropiadas para reconocer la combinación lineal concreta. Así


Recuperamos el comando SinCeros


y definimos de nuevo el corchete Lie

In[39]:= c@x_, y_D : x.y y.x

La clave de la demostración que vamos mostrar sobre la simplicidad encaracterística distinta de dos es la serie de identidades que ya hemos usado y quese verifican en "cualquier característica". Estas identidades prueban que a partir decualquier elemento del álgebra es posible obtener, mediante corchetes, algúnmúltiplo no nulo (+1 ó -1) de algún elemento básico. De este modo, sólo restaprobar que el ideal que genera cada elemento básico es el total. Mostraremos elrazonamiento para x1 y después construiremos una rutina que automatizará elproceso. Construimos el conjunto formado por x1 y por los primeros corchetes contodos los elementos básicos. De este modo

In[40]:= lista 8HHoldForm@xDL1<;Do@AppendTo@lista, Reconoce@c@x1, xiDDD, 8i, 52<D;lista SinCeros@listaD

Out[40]= x1, 2 x6, 2 x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21,x22, x23, x24, x25, 2 x29, 2 x32, 2 x35, 2 x36, 2 x39, 2 x41, 2 x44,2 x47, 2 x48, 2 x49, 2 x50, 2 x52

Aumentamos la profundidad, y para ello añadimos a la lista obtenida anteriormentelos corchetes x, xi donde x recorre toda la citada lista y xi recorre la base. De estemodo tenemos (quitando ceros)

In[41]:= lista2 lista;Do@AppendTo@lista2, Reconoce@c@ReleaseHold@lista@@jDDD, xiDDD,8i, 52<, 8j, Length@listaD<D;lista2 SinCeros@lista2D

Out[41]= x1, 2 x6, 2 x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18, x19, x20, x21, x22,x23, x24, x25, 2 x29, 2 x32, 2 x35, 2 x36, 2 x39, 2 x41, 2 x44, 2 x47, 2 x48, 2 x49,2 x50, 2 x52, 4 x6, 4 x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17, x18,x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, 4 x29, 4 x32, 4 x35, 4 x36, 4 x39,4 x41, 4 x44, 4 x47, 4 x48, 4 x49, 4 x50, 4 x52, 4 x44, 4 x47, x19, x23, x24,x25, x10, x12, x13, x14, 2 x6, 2 x9, 4 x29, 4 x32, x18, x20, x21, x22, x11, x15,x16, x17, 2 x6, 2 x9, 4 x52, 4 x48, x20, x25, x24, x18, x12, x17, x16, x10, 2 x6,2 x9, 4 x50, 4 x49, x21, x25, x23, x18, x13, x17, x15, x10, 2 x6, 2 x9, 2 x6, 2 x1,x22, x24, x23, x18, x14, x16, x15, x10, 2 x3, 2 x8, 2 x7, 2 x2, 2 x4, 2 x5,4 x39, 4 x41, x23, x19, x22, x21, x15, x11, x14, x13, 2 x9, 2 x6, 4 x35, 4 x36,x24, x19, x22, x20, x16, x11, x14, x12, 2 x9, 2 x6, 2 x9, 2 x1, x25, x19, x21,

332 Simplicidad de f4(C) en característica distinta de dos

x20, x17, x11, x13, x12, 2 x3, 2 x8, 2 x7, 2 x2, 2 x5, 2 x4, x10, 2 x25,x1 x26 x34 x37, 2 x42, 2 x43, 2 x44, 2 x50, 2 x52, 2 x51, x2, x4, x5, x6,2 x17, 2 x12, 2 x13, x11, 2 x22, x1 x26 x34 x37, 2 x36, 2 x41, 2 x40, 2 x30,2 x31, 2 x32, x3, x7, x8, x9, 2 x14, 2 x15, 2 x16, x12, 2 x24, 2 x42, 2 x36, 2 x47,2 x46, x1 x26 x34 x37, 2 x33, 2 x48, x4, x9, x8, x2, 2 x16, 2 x14, 2 x10, x13,2 x23, 2 x43, 2 x41, 2 x47, 2 x45, 2 x38, x1 x26 x34 x37, 2 x49, x5, x9, x7, x2,2 x15, 2 x14, 2 x10, x14, 2 x19, 2 x44, 2 x40, 2 x46, 2 x45, 2 x39, 2 x35,x1 x26 x34 x37, x6, x8, x7, x2, 2 x11, 2 x12, 2 x13, x15, 2 x21, 2 x50,2 x30, x1 x26 x34 x37, 2 x38, 2 x39, 2 x29, 2 x28, x7, x3, x6, x5, 2 x11,2 x13, 2 x17, x16, 2 x20, 2 x52, 2 x31, 2 x33, x1 x26 x34 x37, 2 x35, 2 x29,2 x27, x8, x3, x6, x4, 2 x11, 2 x12, 2 x17, x17, 2 x18, 2 x51, 2 x32, 2 x48, 2 x49,x1 x26 x34 x37, 2 x28, 2 x27, x9, x3, x5, x4, 2 x16, 2 x15, 2 x10, x18, 2 x17,x3, x4, x5, x6, 2 x1 x26 x34 x37, 2 x27, 2 x28, 2 x29, 2 x50, 2 x52, 2 x51,2 x20, 2 x21, 2 x25, x19, 2 x14, x2, x7, x8, x9, 2 x1 x26 x34 x37, 2 x36, 2 x41,2 x40, 2 x45, 2 x46, 2 x47, 2 x22, 2 x23, 2 x24, x20, 2 x16, x4, x9, x8, x3,2 x27, 2 x36, 2 x32, 2 x31, x26 x34 x37, 2 x33, 2 x48, 2 x22, 2 x24, 2 x18, x21,2 x15, x5, x9, x7, x3, 2 x28, 2 x41, 2 x32, 2 x30, 2 x38, x26 x34 x37, 2 x49, 2 x22,2 x23, 2 x18, x22, 2 x11, x6, x8, x7, x3, 2 x29, 2 x40, 2 x31, 2 x30, 2 x39, 2 x35,x26 x34 x37, 2 x19, 2 x20, 2 x21, x23, 2 x13, x7, x2, x6, x5, 2 x50, 2 x45,x26 x34 x37, 2 x38, 2 x39, 2 x44, 2 x43, 2 x21, 2 x19, 2 x25, x24, 2 x12, x8, x2,x6, x4, 2 x52, 2 x46, 2 x33, x26 x34 x37, 2 x35, 2 x44, 2 x42, 2 x20, 2 x19, 2 x25, x25,2 x10, x9, x2, x5, x4, 2 x51, 2 x47, 2 x48, 2 x49, x26 x34 x37, 2 x43, 2 x42,2 x18, 2 x24, 2 x23, 2 x6, 2 x9, x10, x11, x14, x17, x20, x21, x23, x24,4 x32, 2 x35, 2 x36, 2 x39, 2 x41, 4 x44, 2 x48, 2 x49, 2 x50, 2 x52, x17, x16,x20, x18, 2 x29, 2 x32, 2 x52, 2 x48, x17, x15, x21, x18, 2 x29, 2 x32, 2 x50, 2 x49,2 x29, 2 x3, x16, x15, x22, x18, 2 x31, 2 x30, 2 x1 2 x26, 2 x27, 2 x28, x15, x11,x22, x21, 2 x39, 2 x41, 2 x32, 2 x29, x16, x11, x22, x20, 2 x35, 2 x36, 2 x32, 2 x29,2 x32, 2 x3, x17, x11, x21, x20, 2 x31, 2 x30, 2 x26, 2 x28, 2 x27, x12, x16, x20,x24, 2 x35, 2 x36, 2 x48, 2 x52, 2 x6, 2 x9, x13, x14, x16, x17, x21, x22, x24, x25, 2 x29,2 x32, 4 x35, 2 x39, 2 x41, 2 x44, 2 x47, 2 x48, 4 x49, 2 x52, 2 x35, 2 x8, x14, x16, x22,x24, 2 x31, 2 x40, 2 x46, 2 x33, 2 x34, 2 x36, 2 x8, x12, x11, x20, x19, 2 x31,2 x40, 2 x46, 2 x1 2 x34, 2 x33, 2 x6, 2 x9, x12, x14, x15, x17, x20, x22, x23, x25, 2 x29,2 x32, 2 x35, 2 x36, 4 x39, 2 x44, 2 x47, 4 x48, 2 x49, 2 x50, x13, x15, x21, x23, 2 x39, 2 x41,2 x49, 2 x50, 2 x39, 2 x7, x14, x15, x22, x23, 2 x30, 2 x40, 2 x45, 2 x37, 2 x38,x14, x11, x22, x19, 2 x36, 2 x41, 2 x39, 2 x35, 2 x41, 2 x7, x13, x11, x21, x19, 2 x30,2 x40, 2 x45, 2 x38, 2 x1 2 x37, x12, x10, x25, x24, 2 x52, 2 x48, 2 x44, 2 x47,x13, x10, x25, x23, 2 x50, 2 x49, 2 x44, 2 x47, 2 x44, 2 x2, x14, x10, x24, x23, 2 x26,2 x46, 2 x45, 2 x42, 2 x43, x14, x13, x23, x19, 2 x39, 2 x41, 2 x47, 2 x44, x14, x12,x24, x19, 2 x35, 2 x36, 2 x47, 2 x44, 2 x47, 2 x2, x13, x12, x25, x19, 2 x1 2 x26,2 x46, 2 x45, 2 x43, 2 x42, 2 x48, 2 x4, x12, x17, x20, x25, 2 x27, 2 x33,2 x37, 2 x42, 2 x51, 2 x49, 2 x5, x13, x17, x21, x25, 2 x28, 2 x34, 2 x38, 2 x43,2 x51, 2 x50, 2 x5, x15, x10, x23, x18, 2 x28, 2 x1 2 x34, 2 x38, 2 x43,2 x51, x17, x10, x25, x18, 2 x52, 2 x48, 2 x50, 2 x49, 2 x52, 2 x4, x16,x10, x24, x18, 2 x27, 2 x33, 2 x1 2 x37, 2 x42, 2 x51

En este conjunto (la característica no es 2) están todos los elementos básicos y portanto el ideal que genera x1 es el total. De cara a sistematizar esta afirmaciónejecutamos

Sesión VIII 333

In[42]:= res 8<;Do@If@Not@Or@MemberQ@lista2, HHoldForm@xDLiD, MemberQ@lista2,HHoldForm@xDLiD, MemberQ@lista2, 2 HHoldForm@xDLiD,

MemberQ@lista2, 2 HHoldForm@xDLiDDD,AppendTo@res, iDD, 8i, 52<D;

res

Out[42]=

donde en la lista res acumulamos los elementos básicos que no aparecen de laforma x, x, 2x ó 2x. No encuentra ninguno, luego están todos. En ocasiones,como veremos, aparecerán algunos elementos básicos en sumandos, losdestacaremos y analizaremos con detalle. Condensamos estas técnicas en elcomando siguiente, borrando primero las variables empleadas

In[43]:= Clear@lista, lista2DIn[44]:= TotalQno2@k_D : Module@8<,

lista@kD 8HHoldForm@xDLk<;Do@AppendTo@lista@kD, Reconoce@c@xk, xiDDD, 8i, 52<D;lista@kD SinCeros@lista@kDD;lista2@kD lista@kD;

Do@AppendTo@lista2@kD,Reconoce@c@ReleaseHold@lista@kD@@jDDD, xiDDD,8i, 52<, 8j, Length@lista@kDD<D;

res 8<; lista2@kD SinCeros@lista2@kDD;Do@If@Not@Or@MemberQ@lista2@kD, HHoldForm@xDLiD,

MemberQ@lista2@kD, HHoldForm@xDLiD,MemberQ@lista2@kD, 2 HHoldForm@xDLiD,MemberQ@lista2@kD, 2 HHoldForm@xDLiDDD,

AppendTo@res, iDD, 8i, 52<D;resD

Ejecutamos la rutina y a la vez añadimos un índice para identificar la salida. Deeste modo obtenemos unas salidas que nos indican, a partir de x2 en adelante, loselementos del conjunto con profundidad 2 que no responden al esquema x, x, 2xy 2x:

In[45]:= Do@Print@i, TotalQno2@iDD, 8i, 2, 52<D2 34, 37

3 34, 37

4 26, 34

5 26, 37


6

7 26, 34

8 26, 37

9

10 34, 37

11 34, 37

12 26, 34

13 26, 37

14

15 26, 34

16 26, 37

17

18 26, 34, 37

19 26, 34, 37

20 34

21 37

22 26

23 34

24 37

25 26

26

27 1, 34

28 1, 37

29 26

30 1, 34

31 1, 37

32

33 1, 26

34

35

36 34

Sesión VIII 335

37

38 1, 26

39

40 1, 26

41 37

42 1, 34

43 1, 37

44

45 1, 34

46 1, 37

47 26

48

49

50 34

51 1, 26

52 37

Observamos que algunos de los elementos básicos, en profundidad 2, no generan"directamente" a todos los elementos básicos. Lo que ocurre es que aparecen comocombinación lineal. De este modo, analizaremos los casos con detalle, y para elloprobaremos que se pueden obtener como combinación lineal de otros.

Para x2 x34 y x37

Usaremos que en la variable lista2[i] se almacenan los corchetes de profundidad 2. Si hacemos

In[46]:= lista2@2D@@88DDOut[46]= x1 2 x34

vemos que x34 también está en el ideal ya que se puede obtener de esta expresión yde que x1 sí está. Por otro lado si hacemos



vemos que x37 también está en el ideal, por estar de nuevo x1 y de este modo elideal generado por x2 es el total. La siguiente cadena de entradas prueba que elmismo razonamiento se aplica al resto de elementos básicos y cada uno de ellosgenera el total:

Para x3 x34 y x37



Para x4 x26 y x34

In[50]:= lista2@4D@@303DD lista2@4D@@273DDOut[50]= 2 x26

In[51]:= lista2@4D@@273DD lista2@4D@@288DDOut[51]= 2 x34

Para x5 x26 y x37


In[53]:= lista2@5D@@157DDOut[53]= x1 x26 x34 x37

Para x7 x26 y x34


Sesión VIII 337

In[55]:= lista2@7D@@440DDOut[55]= 2 x26 2 x37

Para x8 x26 y x37



Para x10 x34 y x37



Para x11 x34 y x37



Para x12 x26 y x34

In[62]:= lista2@12D@@62DDOut[62]= 2 x26 x1


Para x13 x26 y x37




Para x15 x26 y x34



Para x16 x26 y x37


In[69]:= lista2@16D@@286DDOut[69]= x26 x34 x37

Para x18 x26, x34 y x37




Para x19 x26, x34 y x37



Sesión VIII 339


Para x20 x34


Para x21 x37


Para x22 x26


Para x23 x34

In[79]:= lista2@23D@@455DDOut[79]= 2 x37 2 x34

Para x24 x37


Para x25 x26


Para x27 x1 y x34



In[83]:= lista2@27D@@262DDOut[83]= x37 x34

Para x28 x1 y x37



Para x29 x26


Para x30 x1 y x34



Para x31 x1 y x37



Para x33 x1 y x26


Sesión VIII 341


Para x36 x34


Para x38 x1 y x26



Para x40 x1 y x26



Para x41 x37


Para x42 x1 y x34



Para x43 x1 y x37




Para x45 x1 y x34



Para x46 x1 y x37



Para x47 x26


Para x50 x34


Para x51 x1 y x26


Sesión VIII 343


Para x52 x37


De este modo, hemos comprobado que cualquier elemento de la base que hemosdeterminado genera todo el álgebra. Este hecho, unido a las ecuaciones que hemosdeterminado libres de característica, nos permiten concluir la simplicidad delálgebra de Lie fuera de característica dos.


Sesión IX: Expresión simplificada de un elemento genérico de f4 Os en

característica distinta de 2. En esta sesión nos proponemos obtener una expresión simplificada de un

elemento genérico en f4 Os como una matriz cuadrada de orden 6 encaracterística distinta de 2. Para ello, en primer lugar, definiremos los comandosnecesarios para trabajar formalmente en f4 Os .

Comando formales

Introducimos las propiedades que debe verificar el producto de octoniones, quedenotamos por p, así como la involución.

In[1]:= Clear@pD;p@x_, z_ t_D : p@x, zD p@x, tD;p@x_ y_, z_D : p@x, zD p@y, zD;p@ i_ x_, y_D : i p@x, yD; p@x_, i_ y_D : i p@x, yD;p@ i_, x_D : i x; p@x_, i_D : i x;

p@0, x_D : 0; p@x_, 0D : 0; p@1, x_D : x; p@x_, 1D : x;p@ x_, y_D : p@x, yD; p@x_, y_D : p@x, yD;p@q@x_, y_D, z_D : q@x, yD z; p@x_, q@y_, z_DD : q@y, zD x;p@ 2 x_, y_D : 2 p@x, yD; p@2 x_, y_D : 2 p@x, yD;p@x_, 2 y_D : 2 p@x, yD; p@x_, 2 y_D : 2 p@x, yD;pA 1

2x_, y_E : 1

2p@x, yD; pAx_, 1

2y_E : 1

2p@x, yD;

pA 1

2x_, y_E : 1

2p@x, yD; pAx_, 1

2y_E : 1

2p@x, yD;@ @x_DD : x; @ x_D : @xD;

así como algunas reglas que simplificarán algunas expresiones.

In[2]:= reglas 91

2p@p@x_, e_D, @f_DD 1

2p@p@x_, f_D, @e_DD q@e, fD x,

1

2p@p@x_, @e_DD, f_D 1

2p@p@x_, @f_DD, e_D q@e, fD x=;

Los siguientes comandos definen los elementos necesarios para definir laestructura de H3 Os, tal y como hicimos en secciones pasadas

In[3]:= X1@ _D : ikjjjjjj 0 0 00 00 @ D 0

y{zzzzzz; X2@ _D : ikjjjjjj 0 0 @ D0 0 0

0 0

y{zzzzzz;X3@ _D : ikjjjjjj 0 0@ D 0 0

0 0 0

y{zzzzzz;junto con el producto que hace de H3 Os, un álgebra de Jordan

In[4]:= E1ikjjjjjj 1 0 00 0 00 0 0

y{zzzzzz; E2 ikjjjjjj 0 0 00 1 00 0 0

y{zzzzzz; E3 ikjjjjjj 0 0 00 0 00 0 1

y{zzzzzz; Id E1 E2 E3;

P@x_, y_D :HDo@a@i, jD Inner@p, x@@iDD, Transpose@yD@@jDD, PlusD,8i, 3<, 8j, 3<D; Array@a, 83, 3<DL;J@x_, y_D : P@x, yD P@y, xD

2;

donde además hemos introducido los idenpotentes Ei.

Imágenes de los elementos básicos de f4 OsEs sencillo probar que las imágenes de los idempotentes E1, E2 y E3, denotadaspor Ei , respectivamente, son

In[5]:= @E1D ikjjjjjj 0 x @yD@xD 0 0y 0 0

y{zzzzzz; @E2D ikjjjjjj 0 x 0@xD 0 w0 @wD 0

y{zzzzzz;@E3D ikjjjjjj 0 0 @yD0 0 wy @wD 0

y{zzzzzz;en función de tres octoniones x, y y w. Definimos un elemento cualquiera de H3 Os, como F en la forma

In[6]:= Fikjjjjjj 1 r3 @r2D@r3D 2 r1

r2 @r1D 3

y{zzzzzzOut[6]=

1 r3 r2 r3 2 r1r2 r1 3

que nos servirá para determinar la imagen de los X1 ei . Definimos D X1 z F eimponemos las relaciones E1oX1 z 0, 2E2oX1 z X1 z , X1 z1 oX1 z2 q z1, z2 Id E1 que implican, transformadas por la derivación, las ecuacionesD E1 oX1 z E1oD X1 z =0, 2D E2 oX1 z 2E2oD X1 z D X1 z yD X1 z1 oX1 z2 X1 z1 oD X1 z2 q z1, z2 D E1 . Así, en primer lugartenemos que la siguiente matriz debe ser nula

346 Expresión simplificada de un elemento genérico de f4(Os)

In[7]:= J@ @E1D, X1@zDD J@E1, FDOut[7]=

112 p y , z r32

12 p x, z r22

12 p z, y r32 0 0

12 p z , x r22 0 0

al igual que

In[8]:= 2 J@ @E2D, X1@zDD 2 J@E2, FD F

Out[8]=

1 0 p x, z r20 p w, z p z, w 2 0

p z , x r2 0 p w , z p z , w 3

y

In[9]:= 2 J@X1@zD, FD q@z, zD @E1DOut[9]=

0 p r2 , z x q z, z p r3, z q z, z yp z, r2 q z, z x p z, r1 p r1, z z 2 z 3

p z , r3 y q z, z 2 z 3 z p z , r1 p r1 , z

Recogiendo la información que nos proporcionan estas igualdades tenemos que

In[10]:= F ±±. 8 1 0, r3 @p@z, yDD, r2 @p@x, zDD,3 2 q@w, zD, 2 2 q@w, zD <

Out[10]=

0 p z, y p x, zp z, y 2 q w, z r1 p x, z r1 2 q w, z

junto con la condición para el parámetro r1 dada por q z, r1 0. Esto motiva quelas imágenes de los elementos básicos X1 ei para i 1, …, 8 de H3 Os, ,denotadas por X1 ei , sean de la forma

In[11]:= @X1@ei_DD : ikjjjjjjj 0 @p@ei, yDD p@x, eiDp@ei, yD 2 q@w, eiD r1,i@p@x, eiDD @r1,iD 2 q@w, eiD y{zzzzzzz

No obstante, como D X1 z1 oX1 z2 X1 z1 oD X1 z2 q z1, z2 D E1 sihacemos z1 ep y z2 eq tendremos que debe ser cero la matriz siguiente:

In[12]:= Expand@J@ @X1@epDD, X1@eqDD J@X1@epD, @X1@eqDDD q@ep, eqD @E1D ±±.reglasD

Out[12]=0 0

12p p ep , y , eq

12p p eq , y , ep q ep , eq y

12p ep , p x, eq

12p eq , p x, ep q ep , eq x

12p ep , r1,q

12p eq , r1,p

12p r1,p , eq

12p r1,q , ep 0

12p ep , p eq , y

12p eq , p ep , y y q ep , eq 0

12p ep , r1,q

12p eq , r1,p

12p r1,p , eq

12p r1,q , ep

Para analizar estas identidades introducimos los comandos vectorial y escalar, yautilizados, para definir el producto en Os, matrices de Zorn:

Sesión IX 347

In[13]:= vectorial@8x_, y_, z_<, 8u_, v_, w_<D8y w z v, z u x w, x v y u<;escalar@8x_, y_, z_<, 8u_, v_, w_<Dx u y v z w;

prodAikjj _ x_

y_ _y{zz, ikjj _ z_

t_ _y{zzE :J escalar@x, tD z x vectorial@y, tD

y t vectorial@x, zD escalar@y, zD NA continuación, la conjugación sig y la forma bilineal simétrica cua en el álgebra de Cayley:

In[14]:= sig@x_D : J x@@2, 2DD x@@1, 2DDx@@2, 1DD x@@1, 1DD N;

cua@x_, y_D : 1

2Hprod@x, sig@yDD prod@y, sig@xDDL

y la base canónica, denotada por ai, i 1, …, 8 y la matriz nula cero:

In[15]:= a1 J 1 80, 0, 0<80, 0, 0< 0N;

a2 J 0 80, 0, 0<80, 0, 0< 1N; a3 J 0 81, 0, 0<80, 0, 0< 0

N;a4 J 0 80, 1, 0<80, 0, 0< 0

N;a5 J 0 80, 0, 1<80, 0, 0< 0

N; a6 J 0 80, 0, 0<81, 0, 0< 0N;

a7 J 0 80, 0, 0<80, 1, 0< 0N; a8 J 0 80, 0, 0<80, 0, 1< 0

N;cero 0 a1;

El comando octo, definido como sigue, permite usar una variable, subindizada ono, para representar un octonión cualquiera:

In[16]:= octo@Hx_Li_D : Sum@xi,j aj, 8j, 8<D;octo@x_D : Sum@xi ai, 8i, 8<D;

y así escribimos

In[17]:= octo@tDOut[17]=

t1 t3, t4, t5t6, t7, t8 t2

para representar un octonión en las variables ti, o bien

In[18]:= octo@t1DOut[18]=

t1,1 t1,3, t1,4, t1,5

t1,6, t1,7, t1,8 t1,2


La entrada (2,1) es 12 p ep, p x, eq 12 p eq, p x, ep q ep, eq x ,que es idénticamente nula tal y como prueba la siguiente rutina:

In[19]:= cierto True;

DoAcierto cierto&&

1

2prod@ai, sig@prod@octo@xD, ajDDD

1

2prod@aj, sig@prod@octo@xD, aiDDD

prod@cua@ai, ajD, sig@octo@xDDD cero,8i, 8<, 8j, 8<E;cierto

Out[19]= True

La entrada (1,3) es 12 p p ep, y , eq 12 p p eq, y , ep q ep, eq y , y también es nula, como prueba la rutina:

In[20]:= cierto True;

DoAcierto cierto&&

1

2prod@sig@prod@ai, octo@yDDD, ajD

1

2prod@sig@prod@aj, octo@yDDD, aiD

prod@cua@ai, ajD, sig@octo@yDDD cero,8i, 8<, 8j, 8<E;cierto

Out[20]= True

Entonces tiene que ocurrir que

12 p ep, r1,q p eq, r1,p p r1,p, eq p r1,q, ep = 0

para todos 1 p q 8 al igual que la identidad12 p ep , r1,q p eq , r1,p p r1,p , eq p r1,q , ep

que es equivalente a la anterior. Es decir, los coeficentes denotados por r1,i, debenverificar q ep, r1,q q eq, r1,p 0 para 1 p q 8. Veamos entonces lasimágenes X2 ei . Para ello definimos la matriz genérica FF de la forma

In[21]:= FFikjjjjjj 4 s3 @s2D@s3D 5 s1

s2 @s1D 6

y{zzzzzzOut[21]=

4 s3 s2 s3 5 s1s2 s1 6

Sesión IX 349

Las ecuaciones

E2 X2 z 0, 2E1 X2 z X2 z

y

X2 z1 X2 z2 q z1, z2 Id E2

obligan a que las siguientes matrices deben ser nulas:

In[22]:= J@ @E2D, X2@zDD J@E2, FFDOut[22]=

0 12 p z , w s32 012 p w, z s32 5

s12 12 p x , z

0 s12 12 p z, x 0

In[23]:= 2 J@ @E1D, X2@zDD 2 J@E1, FFD FF

Out[23]=

p y , z p z , y 4 0 00 5 p x , z s10 p z, x s1 p y, z p z, y 6

In[24]:= 2 J@X2@zD, FFD q@z, zD @E2DOut[24]=

p z , s2 p s2 , z p z , s1 x q z, z 4 z 6 zp s1, z q z, z x 0 p s3 , z w q z, z

z 4 z 6 p z, s3 q z, z w p z, s2 p s2, z

Y entonces imponemos las relaciones para tener

In[25]:= FF ±±. 8 5 0, 4 2 q@y, zD, 6 2 q@y, zD, s1 @p@z, xDD,s3 @p@w, zDD<

Out[25]=

2 q y, z p w, z s2 p w, z 0 p z, xs2 p z, x 2 q y, z

teniéndose además que q z, s2 0. Por tanto está justificado el expresar la imágen de los elementos X2 ei en la forma

In[26]:= @X2@ei_DD : ikjjjjjjj 2 q@y, eiD @p@w, eiDD @s2,iDp@w, eiD 0 @p@ei, xDDs2,i p@ei, xD 2 q@y, eiD y{zzzzzzz

y analicemos las ecuaciones que involucran, y que veremos que determinarán, a loscoeficientes denotados por s2,i para i 1, …, 8. A partir del hecho de que lasiguiente matriz sea nula:


In[27]:= 2 J@X2@epD, @X2@epDDD q@ep, epD @E2DOut[27]=

p ep , s2,p p s2,p , ep p ep , p ep, x x q ep , ep 0p p ep , x , ep q ep , ep x 0 wq ep , ep p p w, ep , ep

0 q ep , ep w p ep , p w, ep p ep , s2,p p s2,p , ep

obtenemos la identidad: p ep , s2,p p s2,p , ep 0. Antes de seguirobteniendo indentidades para los s2,i, veamos los siguientes comandos que nosserán de gran utilidad:

In[28]:= t@x_, y_, z_D : J@J@x, yD, zD;dt@x_, y_, z_D : t@ @xD, y, zD t@x, @yD, zD t@x, y, @zDD;

Usaremos las dos identidades siguientes para obtener más relaciones que debensatisfacer los parámetros s2,i. La primera de ellas esHX2 Hz1L X1 Hz2LL X2 Hz3L 1

4X1 HHz2 z1L Hz3LL

que puede verificarse haciendo

In[29]:= J@J@X2@z1D, X1@z2DD, X2@z3DD 1

4X1@p@p@z2, z1D, @z3DDD ±±.8 @p@y_, x_DD p@ @xD, @yDD<

Out[29]=

0 0 00 0 00 0 0

El comando dt nos permite simplificar la identidad que se obtiene a partir de laanterior, aplicando la derivación, y la recogemos en la variable resul0. Hemosutilizado dicha identidad haciendo z1 z3 ep y z2 eq y así

In[30]:= resul0Expand@4 dt@X2@epD, X1@eqD, X2@epDD q@ep, epD @X1@eqDDD;

La identidad que involucra los parámetros s2,i es

In[31]:= resul0@@2, 3DD ±±. 8q@ei_, ei_D 0, p@p@x_, ei_D, @ei_DD 0<Out[31]= p p eq, ep , s2,p p p eq, s2,p , ep

igualada a cero por supuesto. Si ahora tomamos en dicha identidad los valoressiguientes de los elementos básicos z1 ep, z2 eq y z3 ek tenemos queX2 ep X1 eq X2 ek 14 X1 ew siempre que ew eqep ek . Así, usamos el

comando dt para obtener la identidad obtenida a partir de la anterior aplicando laderivación y albergamos el resultado en la variable resul1 en la forma

In[32]:= resul1 Expand@4 dt@X2@epD, X1@eqD, X2@ekDD @X1@ewDDD;H ew p@eq epD @ekD L

Sesión IX 351

y entonces la entrada (2,3) nos proporciona la identidad

In[33]:= resul1@@2, 3DDOut[33]= p p eq, ep , s2,k p p eq, s2,p , ek p p r1,q, ep , ek r1,w

expresión que debe ser nula siempre que ew p eqep ek . Repitiendo estos cálculos con la identidad HX1 HxL X2 HyLL X1 HzL 1

4X2 H HzL Hx yLL

tenemos que X1 ep X2 eq X2 ek 14 X1 ew siempre que ew ek ep, eq .Entonces la indentidad se obtiene a partir de

In[34]:= resul2 Expand@4 dt@X1@epD, X2@eqD, X1@ekDD @X2@ewDDD;H ew @ekD p@ep eqD Les la siguiente

In[35]:= resul2@@1, 3DDOut[35]= p p eq , ep , r1,k p p eq , r1,p , ek p p s2,q , ep , ek s2,w

igualada a cero y siempre que ew ek p ep, eq . Es el momento entonces deresumir las identidades que deben satisfacer los parámetros s2,i:

(1) p p eq, ep , s2,p p p eq, s2,p , ep 0, para todos 1 p, q 8.

(2) p ep , s2,p p s2,p , ep 2q ep , s2,p 2q ep, s2,p 0, para todo 1 p 8.

(3) p p eq , ep , r1,k p p eq , r1,p , ek p p s2,q , ep , ek s2,w siempre que ew HekL p Hep eqL.

(4) p p eq, ep , s2,k p p eq, s2,p , ek p p r1,q, ep , ek r1,w siempre que ew p eq, ep ek .

La determinación de los X3 ei es muy sencilla usando las relaciones demultiplicación de los Xi z . Por tanto definimos

In[36]:= @X3@ei_DD : 2 J@ @X1@epDD, X2@eqDD 2 J@X1@epD, @X2@eqDDDH si @ep eqD ei Lsiempre que epeq ei. Usamos la variable imag3 para analizar las entradas y entonces


In[37]:= imag3 @X3@eiDD ±±. p@ @x_D, @y_DD @p@y, xDDOut[37]=

p p x, ep , eq p p x, ep , eq p ep , s2,q p r1,p , eq 2 q w, ep eq p p w, eq , ep

p ep , s2,q p r1,p , eq p ep , p eq , x p ep , p eq , x 2 q y, eq ep p p ep , y , eq2 q w, ep eq p ep , p w, eq 2 q y, eq ep p eq , p ep , y p p eq , x , ep p eq , p x, ep p p eq , x , ep p eq , p x, ep

Para construir la fila de la matriz genérica que buscamos asociada a esta imagennecesitamos las entradas (1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,1) y (1,2) en este orden. Dichasentradas son las siguientes

In[38]:= imag3@@1, 1DDOut[38]= p p x, ep , eq p p x, ep , eq

In[39]:= imag3@@2, 2DDOut[39]= p ep, p eq, x p ep, p eq, x

In[40]:= imag3@@3, 3DDOut[40]= p p eq, x , ep p eq, p x, ep p p eq, x , ep p eq, p x, ep

In[41]:= imag3@@2, 3DDOut[41]= 2 q y, eq ep p p ep, y , eq

In[42]:= imag3@@3, 1DDOut[42]= 2 q w, ep eq p ep , p w, eq

y por último

In[43]:= imag3@@1, 2DDOut[43]= p ep, s2,q p r1,p, eq

Estamos entonces en situación de determinar la matriz genérica de un elemento def4 Os . En primer lugar, definimos el comando expandir que expresará encoordendas una imagen cualquiera en H3 Os, :

In[44]:= expandir@m_D : 8m@@1, 1DD, m@@2, 2DD, m@@3, 3DD, m@@2, 3DD,m@@3, 1DD, m@@1, 2DD<

y así no tenemos más que usarlo con las imágenes de la base de H3 Os, ya determinadas para obtener

Sesión IX 353

In[45]:= 8expandir@ @E1DD,expandir@ @E2DD, expandir@ @E3DD, expandir@ @X1@eiDDD,expandir@ @X2@eiDDD, expandir@ @X3@eiDDD< ±±.8 p@p@x, epD, eqD p@ @eqD, @p@x, epDDDTraza@p@p@x, epD, eqDD, p@ep, p@eq, xDDp@ @p@eq, xDD, @epDD Traza@p@ep, p@eq, xDDD,

p@p@eq, xD, epD p@eq, p@x, epDDp@ @p@x, epDD, @eqDD p@ @epD, @p@eq, xDDDTraza@p@p@eq, xD, epD p@eq, p@x, epDDD,p@ @eqD, @r1,pDD p@ @s2,qD, @epDD t3,i<

Out[45]=

0 0 0 0 y x0 0 0 w 0 x0 0 0 w y 00 2q w, ei 2q w, ei r1,i p x, ei p ei , y

2 q y, ei 0 2 q y, ei p ei , x s2,i p w, eiTraza p p x, ep , eq Traza p ep , p eq , x Traza p p eq , x , ep p eq , p x, ep 2 q y, eq ep p p ep , y , eq 2q w, ep eq p ep , p w, eq t3,i

donde hemos reconocido algunas entradas de la última fila como la traza que seindica y hemos definido t3,i : p eq , r1,p p s2,q , ep siempre que epeq ei. Es necesario aclarar que las primeras tres columnas de cada fila sonentradas escalares y que cada expresión con subíndice i resume 8 filas. Tambiénseñalar que la última fila de esta matriz en realidad son 8 filas, una para cadasolución de la condición epeq ei con i 1, …, 8. El siguiente paso natural esanalizar los parámetros r1,i, s2,i y t3,i para confirmar que la dimensión del álgebraes 52. Ya tenemos que los octoniones x, y y w aportan 24 parámetros ynecesitamos conocer qué ocurre con los restantes. En la siguiente secciónestudiamos esto con detalle.

Dimensión del álgebra

Los parámetros r1,k

En primer lugar veamos cuántos parámetros aportan los r1,i con 1 i 8. Para ellodefinimos las variables rr1,i, en lugar de r1,i para no mezclar los cálculos, comooctoniones cualesquiera haciendo

In[46]:= Do@rr1,k_ : octo@xxkD, 8k, 1, 8<Dy así, por ejemplo, tenemos

In[47]:= rr1,4

Out[47]=xx4,1 xx4,3, xx4,4, xx4,5

xx4,6, xx4,7, xx4,8 xx4,2

Hemos deducido en secciones anteriores que los parámetros r1,i deben satisfacerlas relaciones q ep, r1,q q eq, r1,p 0 para 1 p q 8. Reunimos dichasidentidades en la variable ecuar y así


In[48]:= ecuar True;Do@Do@ecuar

ecuar&&cua@ap, rr1,qD cua@aq, rr1,pD cero, 8p, 1, q<D,8q, 1, 8<DIn[49]:= ecuar ±± LogicalExpand

Out[49]= xx1,2 0 xx2,1 0xx1,1

2

xx2,2

2 0

xx3,1

2

xx2,6

2 0

xx3,2

2

xx1,6

2 0 xx3,6 0

xx4,1

2

xx2,7

2 0

xx4,2

2

xx1,7

2 0

xx3,7

2

xx4,6

2 0 xx4,7 0

xx5,1

2

xx2,8

2 0

xx5,2

2

xx1,8

2 0

xx3,8

2

xx5,6

2 0

xx4,8

2

xx5,7

2 0 xx5,8 0

xx6,1

2

xx2,3

2 0

xx6,2

2

xx1,3

2 0 xx6,3 0

xx3,3

2

xx6,6

2 0

xx4,3

2

xx6,7

2 0

xx5,3

2

xx6,8

2 0

xx7,1

2

xx2,4

2 0

xx7,2

2

xx1,4

2 0

xx6,4

2

xx7,3

2 0 xx7,4 0

xx3,4

2

xx7,6

2 0

xx4,4

2

xx7,7

2 0

xx5,4

2

xx7,8

2 0

xx8,1

2

xx2,5

2 0

xx8,2

2

xx1,5

2 0

xx6,5

2

xx8,3

2 0

xx7,5

2

xx8,4

2 0 xx8,5 0

xx3,5

2

xx8,6

2 0

xx4,5

2

xx8,7

2 0

xx5,5

2

xx8,8

2 0

de donde obtenemos

In[50]:= solucir 8xx1,2 0, xx1,1 xx2,2,xx1,6 xx3,2, xx2,7 xx4,1, xx3,7 xx4,6, xx2,8 xx5,1,xx3,8 xx5,6, xx1,3 xx6,2, xx3,3 xx6,6, xx5,3 xx6,8,xx1,4 xx7,2, xx4,4 xx7,7, xx2,5 xx8,1, xx6,5 xx8,3,xx4,5 xx8,7, xx5,5 xx8,8, xx3,5 xx8,6, xx7,5 xx8,4,xx1,5 xx8,2, xx5,4 xx7,8, xx3,4 xx7,6, xx6,4 xx7,3,xx2,4 xx7,1, xx4,3 xx6,7, xx2,3 xx6,1, xx4,8 xx5,7,xx1,8 xx5,2, xx1,7 xx4,2, xx2,6 xx3,1, xx2,1 0, xx3,6 0,xx4,7 0, xx5,8 0, xx6,3 0, xx7,4 0, xx8,5 0<;

Sólo nos resta imponer estas relaciones obtenidas a los parámetros r1,i haciendo

In[51]:= Do@rr1,k rr1,k ±±. solucir, 8k, 1, 8<Dpara contabilizar el número de parámetros libres que aportan los r1,i de tal forma que

In[52]:= var 8<;Do@AppendTo@var, Variables@rr1,kDD, 8k, 1, 8<D

Sesión IX 355

y entonces

In[53]:= Length@Variables@varDDOut[53]= 28

con los tenemos que entre los parámetros de los tres octoniones x, y y w más estos28 suman un total de 52. Es de esperar por tanto, puesto que ya hemos demostradoanteriormente que la dimensión es 52, que los parámetros s2,i no aporten ningunonuevo más y por supuesto tampoco los t3,i que están definidos en función de éstos.

Los parámetros s2,i

Las ecuaciones que hemos obtenido para los parámetros s2,i con i 1, …, 8 son

(1) p p eq, ep , s2,p p p eq, s2,p , ep 0 para todos p, q 1, …, 8.

(2) p ep , s2,p p s2,p , ep 2q ep , s2,p 2q ep, s2,p 0 para todo p 1, …, 8.

(3) p p eq , ep , r1,k p p eq , r1,p , ek p p s2,q , ep , ek s2,w siempre que ew ek p ep, eq y

(4) p p eq, ep , s2,k p p eq, s2,p , ek p p r1,q, ep , ek r1,w siempre que ew p eq, ep ek .

Analicemos cada una de estas cuatro identidades. En primer lugar, y al igual quehemos hecho con los r1,i, definimos

In[54]:= Do@ss2,i octo@yyiD, 8i, 1, 8<Dy resolveremos las identidades (1)-(4).

(1) p p eq, ep , s2,p p p eq, s2,p , ep 0, para todo p, q 1, …8.

Para esta primera identidad usamos la variable conj1 para reunirlas a todas y así

In[55]:= conj1 8<;Do@Do@AppendTo@conj1, prod@prod@aj, aiD, sig@ss2,iDD

prod@prod@aj, ss2,iD, sig@aiDD ceroD, 8i, 8<D,8j, 8<DEn la variable primera recogemos la solución que se obtiene resolviendo el sistema

In[56]:= conj1


Out[56]=yy1,2 0, 0, 0

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

yy2,1 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

yy3,6 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

yy4,7 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

yy5,8 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

yy6,3 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

yy7,4 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

yy8,5 0, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, 00, 0, 0 yy1,2

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, 00, 0, 0 yy2,1

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, 00, 0, 0 yy3,6

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, 00, 0, 0 yy4,7

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, 00, 0, 0 yy5,8

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, 00, 0, 0 yy6,3

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, 00, 0, 0 yy7,4

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, 00, 0, 0 yy8,5

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 yy1,2, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 yy2,1, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 yy3,6, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 yy4,7, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 yy5,8, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

Sesión IX 357

0 yy6,3, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 yy7,4, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 yy8,5, 0, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, yy1,2, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, yy2,1, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, yy3,6, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, yy4,7, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, yy5,8, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, yy6,3, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, yy7,4, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, yy8,5, 00, 0, 0 0

0 0, 0, 0

0, 0, 0 0,

0 0, 0, yy1,2

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, yy2,1

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, yy3,6

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, yy4,7

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, yy5,8

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, yy6,3

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, yy7,4

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, yy8,5

0, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 0yy1,2, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 0yy2,1, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,


0 0, 0, 0yy3,6, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 0yy4,7, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 0yy5,8, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 0yy6,3, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 0yy7,4, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 0yy8,5, 0, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, yy1,2, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, yy2,1, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, yy3,6, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, yy4,7, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, yy5,8, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, yy6,3, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, yy7,4, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, yy8,5, 0 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, 0, yy1,2 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, 0, yy2,1 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, 0, yy3,6 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, 0, yy4,7 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, 0, yy5,8 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, 0, yy6,3 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00, 0, yy7,4 0

0 0, 0, 00, 0, 0 0

,

0 0, 0, 00 0 yy8 5 0

0 0, 0, 00 0 0 0

Sesión IX 359

In[57]:= primera 8yy1,2 0, yy2,1 0, yy3,6 0, yy6,3 0,

yy4,7 0, yy7,4 0, yy5,8 0, yy8,5 0<;y entonces imponemos estas soluciones a los parámetros

In[58]:= Do@ss2,i ss2,i ±±. primera, 8i, 1, 8<D(2) q ep, s2,p 0, para todo p 1, …, 8.

Para este segundo conjunto de ecuaciones definimos

In[59]:= conj2 8<;Do@AppendTo@conj2, cua@ai, ss2,iD ceroD, 8i, 8<D

pero si vemos explícitamente este conjunto vemos que

In[60]:= conj2

Out[60]= True, True, True, True, True, True, True, True

es decir,se verifican las 8 identidades.

(3) p p eq , ep , r1,k p p eq , r1,p , ek p p s2,q , ep , ek s2,w siempre que ew ek p ep, eq

Este conjunto de ecuaciones debe analizarse con más detalle. Estas ecuaciones noson válidas para todos los valores de los subíndices sino sólo para aquellos queverifiquen que ew ek p epeq . Definimos para ello el comando ecuación

In[61]:= ecuacion@i_, j_, k_, w_D : prod@prod@sig@ajD, sig@aiDD, rr1,kDprod@prod@sig@ajD, sig@rr1,iDD, akDprod@prod@sig@ss2,jD, sig@aiDD, akD sig@ss2,wDH si ew @ekD p@ei ejD L

que junto con el siguiente ciclo nos permite reunir en la variable super aquellasecuaciones que verifican la condición y por tanto deben ser satisfechas por losparámetros s2,i. Asi hacemos

In[62]:= super True;

Do@Do@Do@Do@If@aw prod@sig@akD, prod@ai, ajDD,super super&&ecuacion@i, j, k, wD ceroD, 8w, 8<D,8k, 8<D, 8j, 8<D,8i, 8<D

y reunimos en la variable incog las incógnitas que hemos de resolver


In[63]:= incog 8<;Do@AppendTo@incog, Variables@ss2,iDD, 8i, 8<D;incog Flatten@incogD;

El sistema de ecuaciones es

Sesión IX 361

In[64]:= super ±± LogicalExpandOut[64]= xx5,7 yy1,3 0 yy1,4 xx5,6 0 xx4,6 yy1,5 0 xx3,1 yy1,6 0

xx4,1 yy1,7 0 xx5,1 yy1,8 0 xx6,2 yy2,3 0 xx7,2 yy2,4 0xx8,2 yy2,5 0 yy2,6 xx8,4 0 xx8,3 yy2,7 0 yy2,8 xx7,3 0xx8,4 yy3,1 0 yy2,6 yy3,1 0 xx3,1 yy3,2 0 yy1,6 yy3,2 0xx7,7 xx8,8 yy1,1 yy3,3 0 xx2,2 xx6,6 yy2,2 yy3,3 0xx7,6 yy3,4 0 xx8,6 yy3,5 0 xx8,1 yy3,7 0 yy3,8 xx7,1 0xx8,3 yy4,1 0 yy2,7 yy4,1 0 xx4,1 yy4,2 0yy1,7 yy4,2 0 xx6,7 yy4,3 0 xx6,6 xx7,7 yy3,3 yy4,4 0xx6,6 xx8,8 yy1,1 yy4,4 0 xx2,2 xx7,7 yy2,2 yy4,4 0xx6,6 xx7,7 yy3,3 yy4,4 0 xx8,7 yy4,5 0 yy4,6 xx8,1 0yy3,7 yy4,6 0 xx6,1 yy4,8 0 xx7,3 yy5,1 0 yy2,8 yy5,1 0xx5,1 yy5,2 0 yy1,8 yy5,2 0 xx6,8 yy5,3 0 xx7,8 yy5,4 0xx6,6 xx8,8 yy3,3 yy5,5 0 xx7,7 xx8,8 yy4,4 yy5,5 0xx6,6 xx7,7 yy1,1 yy5,5 0 xx2,2 xx8,8 yy2,2 yy5,5 0xx6,6 xx8,8 yy3,3 yy5,5 0 xx7,7 xx8,8 yy4,4 yy5,5 0xx7,1 yy5,6 0 yy3,8 yy5,6 0 yy5,7 xx6,1 0 yy4,8 yy5,7 0xx6,2 yy6,1 0 yy2,3 yy6,1 0 xx5,7 yy6,2 0 yy1,3 yy6,2 0yy6,4 xx5,2 0 xx4,2 yy6,5 0 xx2,2 xx8,8 yy4,4 yy6,6 0xx2,2 xx7,7 yy5,5 yy6,6 0 xx2,2 xx6,6 yy1,1 yy6,6 0xx7,7 xx8,8 yy2,2 yy6,6 0 xx2,2 xx8,8 yy4,4 yy6,6 0xx2,2 xx7,7 yy5,5 yy6,6 0 yy6,7 xx6,7 0 yy4,3 yy6,7 0yy6,8 xx6,8 0 yy5,3 yy6,8 0 xx7,2 yy7,1 0yy2,4 yy7,1 0 xx5,6 yy7,2 0 yy1,4 yy7,2 0 xx5,2 yy7,3 0yy6,4 yy7,3 0 yy7,5 xx3,2 0 yy7,6 xx7,6 0 yy3,4 yy7,6 0xx2,2 xx8,8 yy3,3 yy7,7 0 xx2,2 xx6,6 yy5,5 yy7,7 0xx6,6 xx7,7 yy6,6 yy7,7 0 xx2,2 xx7,7 yy1,1 yy7,7 0xx6,6 xx8,8 yy2,2 yy7,7 0 xx2,2 xx8,8 yy3,3 yy7,7 0xx2,2 xx6,6 yy5,5 yy7,7 0 xx6,6 xx7,7 yy6,6 yy7,7 0yy7,8 xx7,8 0 yy5,4 yy7,8 0 xx8,2 yy8,1 0yy2,5 yy8,1 0 xx4,6 yy8,2 0 yy1,5 yy8,2 0yy8,3 xx4,2 0 yy6,5 yy8,3 0 xx3,2 yy8,4 0 yy7,5 yy8,4 0yy8,6 xx8,6 0 yy3,5 yy8,6 0 yy8,7 xx8,7 0 yy4,5 yy8,7 0xx2,2 xx7,7 yy3,3 yy8,8 0 xx2,2 xx6,6 yy4,4 yy8,8 0xx6,6 xx8,8 yy6,6 yy8,8 0 xx7,7 xx8,8 yy7,7 yy8,8 0xx2,2 xx8,8 yy1,1 yy8,8 0 xx6,6 xx7,7 yy2,2 yy8,8 0xx2,2 xx7,7 yy3,3 yy8,8 0 xx2,2 xx6,6 yy4,4 yy8,8 0xx6,6 xx8,8 yy6,6 yy8,8 0 xx7,7 xx8,8 yy7,7 yy8,8 0

en el que las incógnitas son las yyi. De este modo


In[65]:= segunda8yy1,3 xx5,7, yy1,5 xx4,6, yy1,7 xx4,1, yy2,3 xx6,2,

yy2,5 xx8,2, yy2,7 xx8,3, yy3,1 xx8,4, yy3,4 xx7,6,





yy1,1 xx2,2 xx8,8 yy8,8, yy3,3 xx2,2 xx7,7 yy8,8,

yy5,5 xx2,2 xx6,6 xx7,7 xx8,8 yy8,8,








yy2,4 xx7,2, yy1,8 xx5,1, yy1,6 xx3,1, yy1,4 xx5,6<;con la determinación de algunas de las variables de s2,i en función de las ya fijadaspor los r1,i. Entonces imponemos estas reglas a los parámetros haciendo

In[66]:= Do@ss2,i ss2,i ±±. segunda, 8i, 1, 8<DSi hacemos un recuento de los parámetros que tenemos hasta este momento tenemos que

In[67]:= var 8<;Do@AppendTo@var, Variables@ss2,iDD, 8i, 8<D

y así

In[68]:= Length@Variables@varDDOut[68]= 29

Intuimos entonces que la última ecuación que nos resta por estudiar eliminará el parámetro extra que aparece yy8,8 .

4 p p eq, ep , s2,k p p eq, s2,p , ek p p r1,q, ep , ek r1,w siempre que ew

p eq, ep ek

Procedemos igual que la ecuación anterior definiendo el comando otraecuacion haciendo

Sesión IX 363

In[69]:= otraecuacion@i_, j_, k_, w_D :prod@prod@aj, aiD, sig@ss2,kDD prod@prod@aj, ss2,iD, sig@akDDprod@prod@rr1,j, aiD, sig@akDD rr1,wH si ew p@ej eiD @ekD L

y reunimos en otrasuper el conjunto de las ecuaciones que deben satisfacer los parámetros s2,i siempre que ew p eqep ek :

In[70]:= otrasuper True;Do@Do@Do@Do@

If@aw prod@prod@aj, aiD, sig@akDD,otrasuper otrasuper&&otraecuacion@i, j, k, wD ceroD,8w, 8<D, 8k, 8<D,8j, 8<D,8i, 8<D

Resolvemos el sistema siguiente buscando ya el parámetro nuevo yy8,8 yobtenemos

In[71]:= otrasuper±± LogicalExpandOut[71]= xx2,2 xx6,6 xx7,7 xx8,8 2 yy8,8 0

Por tanto imponemos esta última regla a todos los parámetros s2,i de la forma

In[72]:= DoAss2,i ss2,i ±±. yy8,8 1

2H xx2,2 xx6,6 xx7,7 xx8,8L,8i, 1, 8<E

y por tanto hemos probado que dichos parámetros no aportan ninguno nuevo tal ycomo debía ser. Finalizamos observando que los parámetros t3,i no aportanninguno ya que están definidos en función de los anteriores en la format3,i : p eq , r1,p p s2,q , ep siempre que epeq ei. Entoncesconfirmamos en este caso el número de parámetros 24 28 52 donde losprimeros 24 los aportan tres octoniones x, y y w y los 28 restantes el bloque de losr1,i.


365 AP¶ENDICE A. RESULTADOS F¶³SICOS Y TABLAS

Ap¶endice A

Resultados f¶³sicos y tablas

xA.1 Part¶³culas elementales y sus propiedades

Hacia el a~no 1932 los f¶³sicos conoc¶³an en total cuatro clases de part¶³culas ;a saber, los electrones, los fotones, los protones y los neutrones. Quitando alfot¶on, estas part¶³culas son los constituyentes de la materia observada. Por aquelentonces se supon¶³a que ¶estas eran objetos elementales en el sentido de que noestaban constituidas a su vez por unidades todav¶³a m¶as peque~nas. Desde enton-ces, sin embargo, la situaci¶on ha cambiado dr¶asticamente, incluso el conceptomismo de part¶³cula elemental, conoci¶endose en la actualidad varios cientos depart¶³culas elementales.

Todas las part¶³culas elementales que se conocen, se pueden clasi¯car en dosgrupos: part¶³culas estables y part¶³culas de vida corta o resonancias. El t¶erminode part¶³cula estable es muy relativo, ya que dentro de este grupo se encuentranpor ejemplo tanto el electr¶on, que tiene vida in¯nita, como el meson ¼0 quetiene una vida del orden de 10¡16 segundos. La estabilidad se entiende en elsentido de que las correspondientes part¶³culas viven un tiempo mucho mayor queel tiempo caracter¶³stico 10¡24 ¡ 10¡23 segundos, que es el tiempo que empleauna se~nal luminosa en recorrer la distancia de 10¡13 cent¶³metros t¶³pica de lasdimensiones de las part¶³culas elementales.

Las part¶³culas estables se distribuyen en las siguientes cuatro clases:

1. La clase del fot¶on.

2. La clase de los leptones ( part¶³culas ligeras ), en la que se encuentra elelectr¶on, el mu¶on ¹, el neutrino electr¶onico ºe, el neutrino mu¶onico º¹ ylas correspondientes cuatro antipart¶³culas que aparecen en las reacciones

n! p+ e¡ + ºe; ¹¡ ! e¡ + ºe + º¹


366 SECCI ¶ON A.1. PART¶³CULAS ELEMENTALES Y SUS PROPIEDADES

donde el trazo sobre el s¶³mbolo de la part¶³cula indica antipart¶³cula 1.

3. La clase de los mesones (part¶³culas de masa media) en la que tenemoslos tres mesones ¼ ( ¼¡; ¼0 y ¼+, donde ¼¡ es la antipart¶³cula de ¼+ y¼0 su propia antipart¶³cula ), los cuatro mesones K ( dos part¶³culas y dosantipart¶³culas ) y un mes¶on ´, que es antipart¶³cula de s¶³ mismo.

4. La clase de los bariones ( part¶³culas pesadas ) que contiene los dos nu-cleones, el proton p y el neutr¶on n, un hiper¶on ¤, tres hiperones §, doshiperones ¥, un hiper¶on y sus correspondientes antipart¶³culas (v¶ease latabla ).

El conjunto de todos los mesones, bariones y resonancias forman una gran fami-lia de part¶³culas conocida como hadrones2. En las publicaciones rusas se sueleutilizar el t¶ermino hadenones para referirse a los leptones y al fot¶on.Cada part¶³cula tiene una masa en reposo que se mide en Mev ( Megaelec-

tronvoltios ), unidad de energ¶³a3. La gama de valores de las masas en reposode las part¶³cula es muy amplia: desde 0 para el fot¶on y el neutrino, hasta 3000Mev o m¶as. La primera distribuci¶on de part¶³cula elementales se basaba en sumasa, pero esta clasi¯caci¶on, al igual que las masas de los ¶atomos en el sistemaperi¶odico, result¶o un tanto fortuita.Una importante caracter¶³stica de una part¶³cula es el valor de lo que se conoce

como sp¶³n4. En primer lugar esta nueva magnitud qued¶o establecida para elelectr¶on. En efecto, en los experimentos de Stern y Gerlach se observaba quesi por un campo magn¶etico no homog¶eneo se hace pasar un haz de ¶atomos dehidr¶ogeno, el haz se desdoblaba en dos. El desdoblamiento en dos haces habla enfavor de la existencia de un nuevo grado de libertad intr¶³nseco para el electr¶onal que se llam¶o sp¶³n. La existencia de un sp¶³n para el electr¶on qued¶o establecidaantes de la formalizaci¶on de la Mec¶anica Cu¶antica y se efectuaron intentos deinterpretar el sp¶³n como manifestaci¶on de una rotaci¶on de la part¶³cula en tornode un eje propio (de ah¶³ su nombre), no obstante, este nuevo grado de libertadtiene un car¶acter puramente cu¶antico, de hecho haciendo ~! 0 el sp¶³n se anula.Para caracterizar las part¶³cula elementales se introduce el n¶umero lep-

t¶onico L, y el n¶umero bari¶onico, B. Por de¯nici¶on, para los leptones L =+1; B = 0; para los antileptones L = ¡1; B = 0; para los bariones L = 0; B =+1, para los antibariones L = 0; B = ¡1; para los mesones y fotones L = B = 0.En todas las reacciones estos n¶umeros cu¶anticos se conservan, lo que, en parte,justi¯ca su de¯nici¶on e importancia.Todos los hadrones se distribuyen en peque~nas familias cuyos miembros se

designan con un mismo s¶³mbolo ( por ejemplo ¼). Estas familias se llamanisomultipletes. Las part¶³culas que componen un isomultiplete tienen aproxima-damente la misma masa pero diferente carga el¶ectrica. A cada isomultiplete

1Concepto introducido por el f¶³sico Paul Dirac al combinar la Mec¶anica Cu¶antica con LaTeor¶³a de la Relatividad.

2Del t¶ermino griego ®̧±½¶o& que signi¯ca robusto.3Recu¶erdese la equivalencia entre masa y energ¶³a demostrada por Albert Einstein.4Del t¶ermino ingl¶es to spin que signi¯ca girar.



se atribuye un determinado valor del n¶umero isosp¶³n T , que determina eln¶umero de miembros del multiplete 2T +1. As¶³ por ejemplo, el valor del isosp¶³ndel nucle¶on ( prot¶on o neutr¶on) es T = 1

2 .Las distintas part¶³culas que componen un isomultiplete se distinguen entre

s¶³ por los valores de la proyecci¶on T3 del isosp¶³n sobre un tercer eje de un espacio¯cticio. Se veri¯ca la siguiente relaci¶on

Q = T3 +1

2(B + S)

entre la caraga, la tercera componente de isosp¶³n, el n¶umero bari¶onico y unnuevo n¶umero cu¶antico que se conoce como extra~neza. En reacciones como lacreaci¶on de hadrones, la extra~neza se conserva, lo que permiti¶o poner en claroalgunas de las peculiaridades de estas reacciones, por ejemplo el hecho de que laspart¶³cula con extra~neza siempre se crearan a pares. En vez de la extra~neza, losf¶³sicos pre¯eren utilizar otro n¶umero cu¶antico, la hipercarga Y ¶³ntimamenteligada con S por :

Y = B + S:

Un resumen de todas las propiedades de las part¶³culas elementales puede verseen la tabla A.1.

A.1.1 Tipos de interacciones

Las part¶³culas elementales pueden participar en las m¶as diversas interacciones:una part¶³cula se aniquila con su propia antipart¶³cula , en el choque de part¶³culasr¶apidas se forman nuevas part¶³culas , muchas part¶³culas son inestables y setransforman en otras, etc. Actualmente se conocen cuatro tipos de interaccionesque, enumeradas en orden creciente de intensidad, son:

1. La interacci¶on gravitatoria, de radio de alcance in¯nito pero de muy pe-que~na intensidad, lo que permite no tenerla en cuenta en el desarrolloactual de la teor¶³a de part¶³culas elementales.

2. La interacci¶on nuclear d¶ebil, responsable de las desintegraciones lentas depart¶³culas elementales, con radio de acci¶on muy corto, del orden de 10¡17

cm.

3. La interacci¶on electromagn¶etica, de alcance tambi¶en in¯nito al igual quela gravitatoria, que es la interacci¶on de part¶³culas cargadas con fotones, ymediante ¶estos, de dichas part¶³culas entre s¶³ . Debido a lo que se conocecomo procesos virtuales, en la interacci¶on electromagn¶etica pueden tomarparte tambi¶en part¶³culas neutras.

4. La interacci¶on nuclear fuerte, que es la interacci¶on de los hadrones, res-ponsable de su dispersi¶on y de su formaci¶on, entre otras. La interacci¶onnuclear fuerte es de corto alcance, su radio de acci¶on es del orden de 10¡13

cm.



Clase Part¶³c. Masa Spin Tiempo de S T T3(Mev) vida (seg)

Fot¶on ° 0 1 1 - - -Ha B,L=0de ºe 0 1/2 1 - - -no Leptones º¹ 0 1/2 1 - - -nes B=0 e¡ 0.511 1/2 1 - - -

L=1 ¹¡ 105.66 1/2 2:2£ 10¡6 - - -¿¡ - 1/2 ¡ - - -º¿ - 1/2 ¡ - - -¼+ 139.58 0 2:6£ 10¡8 0 1 1¼0 134.98 0 0:8£ 10¡16 0 1 0¼¡ 139.58 0 2:6£ 10¡8 0 1 -1

Mesones K+ 493.8 0 1:2£ 10¡8 1 1/2 1/2B=0 K0 497.8 0 8:6£ 10¡11 1 1/2 -1/2

L=0 K0

497.8 0 5:7£ 10¡8 -1 1/2 1/2K¡ 493.8 0 1:2£ 10¡8 -1 1/2 -1/2

Ha ´ 548 0 » 10¡17 0 0 0dro p 938.25 1/2 > 3:2£ 1037 0 1/2 1/2nes n 939.55 1/2 » 103 0 1/2 -1/2

¤ 1115.6 1/2 2:5£ 10¡10 -1 0 0Bariones §+ 1189.5 1/2 0:8£ 10¡10 -1 1 1B=1 §0 1192.6 1/2 < 1£ 10¡14 -1 1 0L=0 §¡ 1197.4 1/2 1:6£ 10¡10 -1 1 -1

¥0 1314.7 1/2 3£ 10¡10 -2 1/2 1/2¥¡ 1321.2 1/2 1:7£ 10¡10 -2 1/2 -1/2 1674 3/2 » 1£ 10¡10 -3 0 0

Tabla A.1: Part¶³culas elementales estables.

Todas estas interacciones se distinguen no solamente por su intensidad sino porlas leyes de conservaci¶on que cumplen. En todas las interacciones se conserva laenerg¶³a, la cantidad de movimiento, el momento cin¶etico, la carga el¶ectrica y losn¶umeros bari¶onico y lept¶onico. Sin embargo, para el isosp¶³n T , su proyecci¶on T3,la extra~neza S ( o la hipercarga Y ) no existen leyes de conservaci¶on universales.

La interacci¶on fuerte es la m¶as sim¶etrica de todas, ya que en las reaccionesque determina se conservan los n¶umeros cu¶anticos indicados. En particular laconservaci¶on del isosp¶³n expresa la independencia de carga: todos los miembrosde un isomultiplete se comportan de la misma manera respecto de las interaccio-nes fuertes. Al a~nadir la interacci¶on electromagn¶etica se rompe la equivalenciade las part¶³culas que forman parte de un mismo isomultiplete, puesto que po-seen cargas diferentes. Es precisamente esta interacci¶on la responsable de queexistan peque~nas diferencias entre las masas de dichas part¶³culas . Bajo la in-teracci¶on electromagn¶etica se conserva la extra~neza S. La interacci¶on d¶ebil es



la menos sim¶etrica de todas, no se conservan ninguno de los n¶umeros cu¶anticosmencionados.

A.1.2 Leptones y quarks

Toda la materia est¶a constituida por leptones y por quarks, siendo estos ¶ultimos,los constituyentes con los que est¶an formados los hadrones.

Las diferencias que se mani¯estan entre leptones y quarks son notables. Seconocen seis leptones, cuyo prototipo podr¶³a ser el electr¶on. Dotado de una masapeque~na, equivalente en unidades de energ¶³a a unos 500.000 electronvoltios, tieneuna unidad de carga el¶ectrica; por convenci¶on, la carga del electr¶on es negativa.Otros dos leptones, el mu¶on y la part¶³cula llamada tau, poseen la misma cargay parecen ser id¶enticos al electr¶on en todas sus propiedades, salvo en la masa.La del mu¶on supera en m¶as de 200 veces la masa del electr¶on; la del lept¶on tau,viene a multiplicar por 3500 veces la del electr¶on.

Los leptones restantes comprenden tres clases de neutrinos, el¶ectricamen-teneutros y cuya masa es muy peque~na, si es que la tienen. Cada lept¶on cargadoposee un neutrino asociado. Adem¶as, por cada uno de los seis leptones hayun antilept¶on, dotado de la misma masa pero con carga el¶ectrica opuesta. Elantielectr¶on, o positr¶on, el antimu¶on y el antitau presentan todos carga +1. Losantineutrinos, al igual que los neutrinos, carecen de carga el¶ectrica.

Mientras que los leptones se encuentran como part¶³culas libres, no se hapodido todav¶³a examinar ning¶un quark aislado. Los quarks se observan s¶olocomo constituyentes de los hadrones, familia a la que pertenecen los protones yneutrones.

Existen 6 clases distintas de quarks: se les denomina abajo o quark d, delingl¶es \down", arriba o quark u (\up"), extra~no o quark s (\strange"), encantoo quark c (\charm"), fondo o quark b (\bottom") y cima o quark t (\top"), cuyaexistencia ha sido recientemente probada. Los quarks poseen cierta propiedad,conocida como color, que establece una regla de combinaci¶on entre ellos, y quepuede ser rojo, azul o verde. Dicha regla es la de que los quarks, a la hora decombinarse, lo hacen de tal forma que la part¶³cula que resulta sea incolora, yasea porque se combinen tres quarks, uno de cada color, o bien un quark con unantiquark con su anticolor.

Los seis tipos de quarks se corresponden, de una manera aproximativa, conlos seis leptones, pero no existe entre los leptones el an¶alogo al color de los quar-ks. Este hecho conlleva consecuencias observables importantes: la interacci¶onfuerte se debe a la interacci¶on entre colores, por lo que los leptones, al carecerde ¶este, no se ver¶an afectados por dicha interacci¶on.

Otra propiedad distintiva de los quarks es su carga el¶ectrica fraccionaria.Los quarks d, s y b tienen carga ¡ 1

3 , mientras que los quarks u, c y t poseencarga + 2

3 . Los antiquarks se denotan por¹d, ¹u, etc, y poseen valores opuestos

de la carga el¶ectrica.

El prot¶on por ejemplo, est¶a formado por la combinaci¶on uud, cuya cargatotal es +1, es decir, aunque los quarks tengan carga fraccionaria, se combinan



para formar part¶³culas de carga entera. El neutr¶on responde a la combinaci¶onudd mientras que el mes¶on ¼+ resulta ser la uni¶on u ¹d.

La tabla A.2 muestra algunas de las distribuciones de quarks para formarmesones, mientras que en la tabla A.3 para formar bariones.

Mes¶on Estructura¼¡ ¹ud¼0 u¹u=d ¹d¼+ ¹duK¡ ¹usK0 d¹sK+ u¹s

K0 ¹ds

Tabla A.2: Estructura quark de algunos mesones.

Bari¶on Estructurap uudn udd¤ uds§+ uus§0 uds§¡ dds¥0 uss¥¡ dss¡ sss

Tabla A.3: Estructura quark de algunos bariones.

Los quarks tambi¶en poseen n¶umeros cu¶anticos como hipercarga, n¶umero ba-ri¶onico, tercera componente de isosp¶³n o extra~neza. En la tabla A.4 se muestrael valor de dichos n¶umeros cu¶anticos para los quarks, teni¶endose para los corres-pondientes antiquarks los mismos valores pero con signo opues-to. Los quarksposeen nuevos n¶umeros cu¶anticos conocidos como charm, beauty y truth, es de-cir, encanto, belleza y verdad. Los valores de dichos n¶umeros cu¶anticos, adem¶asdel extra~neza, vienen descritos en la siguiente tabla:

El concepto de quark fue propuesto orginalmente por Murray GellMann yGeorge Zweig en el a~no 1964. Desde entonces el modelo de quarks de los hadro-nes a pasado de ser una hip¶otesis atrevida a convertirse en la moderna teor¶³ade los hadrones.



Quark T3 Y Q B Su +1=2 +1=3 +2=3 +1=3 0d ¡1=2 +1=3 ¡1=3 +1=3 0s 0 ¡2=3 ¡1=3 +1=3 ¡1c 0 +1=3 +2=3 +1=3 0b 0 +1=3 ¡1=3 +1=3 0t 0 +1=3 +2=3 +1=3 0

Tabla A.4: N¶umeros cu¶anticos de los seis quarks.

Quark S Charm Beauty Truthu 0 0 0 0d 0 0 0 0s ¡1 0 0 0c 0 +1 0 0b 0 0 +1 0t 0 0 0 +1

Tabla A.5: N¶umeros cu¶anticos: extra~neza, encanto, belleza y verdad.

A.1.3 Bosones y fermiones

El Principio de Exclusi¶on de Pauli (PEP en lo sucesivo) establece5 como sabe-mos la imposibilidad de que dos part¶³culas ocupen una misma posici¶on con elmismo momento lineal6. Sin embargo el desarrollo de la mec¶anica cu¶antica llevoa los f¶³sicos a descubrir part¶³culas que no obedec¶³an a este principio. M¶as biendichos part¶³culas parec¶³an obedecer una especie de Principio de Antiexclusi¶on dePauli, el cual las obligar¶³a a ocupar una misma posici¶on con el mismo momentolineal. De hecho, este es si se piensa el fen¶omeno que ocurre con el rayo l¶aser:los fotones tienden a concentrarse en el mismo lugar7, y con la misma velocidad,lo que les lleva a formar un ¯n¶³simo haz coherente, capaz de desarrollar tareasaltamente especializadas.

Las part¶³culas obedientes al PEP reciben el nombre de fermiones mientrasque las otras se llaman bosones. Son fermiones por ejemplo el electr¶on, el prot¶on,los neutrinos y otras, mientras que como ejemplos de bosones podemos citar losfotones, gluones, gravitones, etc. A su vez, dentro de los bosones se encuentranlos llamados bosones intermediarios que son los responsables de 'transmitir' lasinteracciones de los fermiones seg¶un las cuatro tipos de fuerzas de la naturaleza.As¶³ los bosones intermediarios de la llamada interacci¶on electromagn¶etica sonlos fotones: dicho de otro modo, cuando dos part¶³culas interaccionan electro-

5Grosso modo.6Directamente relacionado con la velocidad de la part¶³cula.7Con el limite del principio de Incertidumbre de Heissenberg.



magn¶eticamente, lo que se est¶a produciendo es un intercambio de fotones. Lainteracci¶on fundamental de la interacci¶on electromagn¶etica es la de un fot¶on in-cidiendo sobre un electr¶on. El hecho de que s¶olo exista un bos¶on intermediarioen la interacci¶on electromagn¶etica est¶a directamente relacionado con el n¶umero1 que es precisamente la dimensi¶on del grupo U(1) del modelo est¶andar

U(1)£ SU(2)£ SU(3):

Los bosones intermediarios de la interacci¶on d¶ebil son tres: Z, W+, y W¡.En la secci¶on siguiente explicaremos algo m¶as sobre la naturaleza de este tipode interacci¶on. El n¶umero 3 de bosones de la interacci¶on d¶ebil coincide con ladimensi¶on del grupo de Lie SU(2) dentro del modelo est¶andar. Los bosonesintermediarios de la interacci¶on fuerte son los llamados gluones. Hay 8 gluonesque se encargan de las interacciones fuertes, y dicho n¶umero como podemosimaginar coincide con la dimensi¶on del grupo SU(3). En de¯nitiva el n¶umerode bosones intermediarios es 1 + 3 + 8 = 12, uno (fot¶on) por la fuerza electro-magn¶etica, tres (W§,Z) por la fuerza de interacci¶on d¶ebil, y 8 (los gluones) porla fuerza de interacci¶on fuerte.

A.1.4 El Modelo Est¶andar.

La secci¶on anterior no queda del todo clara si no se dice algo m¶as sobre lascuatro tipos de interacciones de la naturaleza:

1. Electromagnetismo.

2. Interacci¶on d¶ebil.

3. Interacci¶on fuerte.

4. Gravedad.

Electromagnetismo

Al menos indirectamente, la interacci¶on electromagn¶etica es conocida por todos.Es la responsable por ejemplo de la existencia de corrientes el¶ectricas. Sin ellano habr¶³a televisores ni coches y pr¶acticamente todas las comodidades de la vidamoderna ser¶³an inexistentes. En el transcurso de los ¶ultimos 100 a~nos hemosaprendido que estas fuerzas tambi¶en son responsables de la estructura de los¶atomos, del enlace qu¶³mico de los mismos, as¶³ como de la formaci¶on de cristales.En el lenguaje moderno de la mec¶anica cu¶antica, las ecuaciones de Maxwelldescriben la propagaci¶on de fotones (es decir part¶³culas de luz) en el espacio. Laatracci¶on o repulsi¶on entre objetos cargados se explica a trav¶es del intercambiode fotones. As¶³ por ejemplo la dispersi¶on de electrones es una reacci¶on que tienelugar cuando dos electrones (con carga negativa como se sabe) se mueven unoen las proximidades del otro. Se produce entonces un intercambio de fotonesque lleva a ambos a repelerse mutuamente. El hecho de que un intercambiode part¶³culas entre dos objetos produzca una repulsi¶on mutua no es extra~no



ni siquiera para la mec¶anica cl¶asica. Pensemos por ejemplo en dos barcos enaltamar, situados uno enfrente del otro y ca~none¶andose mutuamente. Otroejemplo de reacci¶on gobernada por la interacci¶on electromagn¶etica es la que seproduce entre un electr¶on y un positr¶on (antipart¶³cula del electr¶on), reacci¶onen la que ambas part¶³culas se aniquilan mutuamente para dar lugar a fotones.En resumen, como ejemplos de part¶³culas que interaccionan electromag-

n¶eticamente, podemos citar al electr¶on y a su antipart¶³cula el positr¶on. Lapart¶³cula de intercambio (m¶as precisamente el bos¶on intermediario) en la inte-racci¶on electromagn¶etica, es s¶olo uno: el fot¶on. Como hemos mencionado antes,1 es tambi¶en la dimensi¶on de U(1) grupo que se introduce en el modelo est¶andarpara explicar el electromagnetismo.

Interacci¶on d¶ebil

Este tipo de interacci¶on es responsable de las desintegraciones lentas de part¶³culas.Su radio de acci¶on es muy corto, del orden de 10¡17cm. Los procesos de inte-racci¶on d¶ebil que se observan en la naturaleza se pueden dividir en dos clasesdistintas:

a) Procesos en los que la carga el¶ectrica cambia en una unidad (por ejemplo ladesintegraci¶on ¯,

n! p+ e¡ + ºe

reacci¶on en la que un neutr¶on se descompone en un prot¶on, un electr¶on yun antineutrino).

b) Procesos en los que la carga el¶ectrica no experimenta cambio (conocidascomo reacciones de las corrientes neutras). Un ejemplo de este tipo deproceso es la dispersi¶on de neutrinos (mu¶onicos)

º¹ + p! º¹ + p

o tambi¶en la dispersi¶on de neutrinos electr¶onicos

ºe + e¡ ! ºe + e

¡:

Hay un denominador com¶un en todos los procesos de interacci¶on d¶ebil: siempreparticipan en ellos cuatro fermiones. Unas veces un fermi¶on se transforma enotros tres fermiones (por ejemplo la desintegraci¶on ¯ que hemos explicado arriba,en la que un neutr¶on produce un electr¶on, un prot¶on y un neutrino). En otrasocasiones, dos fermiones reaccionan para dar lugar a otros dos, como por ejemploen la reacci¶on º¹ + n! ¹¡ + p.Las part¶³culas que participan en la interacci¶on d¶ebil son los llamados lepto-

nes, y los quarks8. Hay seis leptones: el electr¶on e¡, el mu¶on ¹, el lept¶on tau¿ , y un neutrino para cada uno de ellos: el neutrino electr¶onico ºe¡ , el neutrinomu¶onico º¹, y el neutr¶³no tau º¿ . Todas estas part¶³culas son fermiones y adem¶as

8Si bien estos ¶ultimos participan en todas las interacciones b¶asicas.



por cada una de estas seis part¶³culas existe su correspondiente antipart¶³cula conla misma masa y carga el¶ectrica opuesta. Los leptones son verdaderas part¶³culaselementales sin estructura.La otra familia de part¶³culas elementales que participan en la interacci¶on

d¶ebil son los quarks. Hay seis tipos de quarks: up, down, strange, charm, top ybottom. Los quarks participan de todos los tipos de interacci¶on, no solo de lad¶ebil. En la secci¶on siguiente hablaremos con m¶as detalle de los mismos.Vamos a explicar la relaci¶on entre la interacci¶on d¶ebil y su grupo de aforo

SU(2). Utilizaremos el ¶algebra de Lie su(2) de dicho grupo en lugar del propiogrupo. Esta es una de las ventajas de la teor¶³a de grupos de Lie: la posibilidadde trabajar con el ¶algebra de Lie asociada lo que supone una linealizaci¶on delproblema. Por otra parte en Mec¶anica Cu¶antica las part¶³culas vienen dadaspor sus correspondientes funciones de onda y tanto la funci¶on de onda Á comocualquier m¶ultiplo suyo eitÁ por un complejo de m¶odulo uno representan a lamisma part¶³cula. Esto hace posible trabajar a conveniencia con un ¶algebra ocon su complexi¯cada. Si partimos de los generadores

H =

µi 00 ¡i

¶; E =

µ0 1¡1 0

¶; F =

µ0 ii 0;

¶de su(2) podemos considerar los generadores del ¶algebra de Lie complexi¯cadasu(2)C dados por Z =

i2H,W

¡ = E=2¡iF=2,W+ = ¡E=2¡iF=2 que resultanser

Z =

µ¡ 12 00 1

2

¶; W¡ =

µ0 10 0

¶; W+ =

µ0 01 0

¶:

As¶³ tenemos identi¯cados los bosones intermediarios de la interacci¶on d¶ebil conestos generadores de su(2)C. La clave para la aplicaci¶on de la teor¶³a de ¶algebrasde Lie en el modelo est¶andar es la identi¯caci¶on de los generadores del ¶algebracon los bosones intermediarios de la interacci¶on bajo estudio, y la identi¯caci¶onde los fermiones con elementos b¶asicos de representaciones irreducibles comple-jas del ¶algebra de Lie en cuesti¶on. As¶³, tiene sentido la operaci¶on

Bos¶on ¢ fermi¶on = fermi¶oncuya interpretaci¶on f¶³sica ser¶a el hecho de que al interaccionar el bos¶on especi¯-cado con determinado fermi¶on, se produce el fermi¶on del miembro de la derecha.Las representaciones irreducibles de dimensi¶on dos de su(2) se llamaran dobletesde su(2), las tridimensionales recibir¶an el nombre de tripletes, etc. La represen-taci¶on unidimensional se llamar¶a singlete.Por ejemplo una representaci¶on irreducible de su(2)C se puede obtener con-

siderando la anterior base

Z =

µ¡1 00 1

¶; W¡ =

µ0 10 0

¶; W+ =

µ0 01 0

¶:

de su(2)C, donde ya se ha producido una identi¯caci¶on de los bosones Z;W§

de la interacci¶on d¶ebil con una base de dicha ¶algebra. Podemos entonces consi-derar la representaci¶on unitaria en el espacio C2 con base can¶onica e¡ = (1; 0),



ºe = (0; 1) cuyos elementos hemos identi¯cado con el electr¶on y el neutrinoelectr¶onico. Dicha representaci¶on que es irreducible viene dada por

Ze¡ = (1; 0)µ¡1 00 1

¶= ¡e¡;

Zºe = (0; 1)

µ¡1 00 1

¶= ºe;

W¡e¡ = (1; 0)µ0 10 0

¶= ºe;

W¡ºe = (0; 1)µ0 10 0

¶= 0;

W+e¡ = (1; 0)µ0 01 0

¶= 0;

W+ºe = (0; 1)

µ0 01 0

¶= e¡:

Analicemos, el signi¯cado de estas igualdades. La primera Z(e¡) = ¡e¡, seinterpreta diciendo que al interaccionar un bos¶on Z con un electr¶on, produceun electr¶on9. La segunda igualdad Z(ºe) = ºe se interpreta como que la inte-racci¶on del bos¶on Z con el neutrino electr¶onico ºe tambi¶en produce un neutrinoelectr¶onico. La igualdad W¡e¡ = ºe expresa el hecho de que al interaccionarun bos¶on W¡ con un electr¶on produce un neutrino ºe y por ¯n la igualdadW+ºe = e¡ se interpretan diciendo que la interacci¶on del bos¶on W+ con elneutrino ºe, nos devuelve un electr¶on. As¶³ pues la pareja fe¡; ºeg es base deuna representaci¶on irreducible de su(2) y por tanto se dice que es un dobleterespecto a dicha ¶algebra.Podemos explicar algunas de las reacciones que hemos estudiado antes, a la

luz de estas ideas. Por ejemplo la reacci¶on de la corriente neutra

ºe + e¡ ! ºe + e

¡

se puede interpretar del siguiente modo: el neutrino incidente con el electr¶onen el miembro de la izquierda emite un bos¶on Z y produce un neutrino (comoconsecuencia de la igualdad algebraica Z(ºe) = ºe). Acto seguido el bos¶onZ interacciona con el electr¶on seg¶un la igualdad Z(e¡) = ¡e¡ y produce unelectr¶on. As¶³ la reacci¶on queda esquematizada en ºe + e

¡ ! ºe + e¡. Otras

reacciones de la interacci¶on d¶ebil se explican del mismo modo, por ejemploº¹ + p! º¹ + p.Hay otros dobletes en la interacci¶on d¶ebil. Por ejemplo si tomamos la re-

presentaci¶on irreducible bidimensional e identi¯camos el quark d con (1; 0) y elquark u con (0; 1) tenemos entonces las ecuaciones

Zd = ¡d; Zu = u; W¡d = u; W+u = d:

9El signo menos no es signi¯cativo desde el punto de vista f¶³sico dada la identi¯caci¶on quese hace de una part¶³cula con funci¶on de onda Á y la part¶³cula representada por eitÁ.



En t¶erminos f¶³sicos: un quark u se transforma en un quark d al interaccionarcon el bos¶on W+ mientras que un quark d puede transformarse en un quark ual interaccionar con un bos¶on W¡. Se dice entonces que fu; dg es un dobletepara su(2).El resumen de dobletes respecto a SU(2) es el siguiente:

1. e¡; ºe.

2. ¹; º¹.

3. ¿; º¿ .

4. u; d (quarks up y down).

5. s; c (quarks strange y charm).

6. t; b (quarks top y bottom).

Interacci¶on fuerte.

La interacci¶on fuerte tambi¶en conocida como interacci¶on nuclear fuerte es decorto alcance, su radio de acci¶on es del orden de 10¡13cm. Este tipo de fuerzasson los que dan cohesi¶on interna a los n¶ucleos at¶omicos. De hecho, si el n¶ucleo delos ¶atomos est¶a formado por protones y neutrones, >qu¶e hace que los protones nose dispersen por efecto de la interacci¶on electromagn¶etica, al tener todos cargapositiva? La respuesta es que debe haber alg¶un tipo de fuerza muy superior enintensidad a la electromagn¶etica, que los mantenga unidos.Las part¶³culas que participan en la interacci¶on fuerte son en primer lugar los

quarks de los que ya sabemos que hay seis tipos: up, down, charm, strange, topy bottom. Los quarks son part¶³culas elementales y para cada uno de los quarksexiste el correspondiente antiquark. Son fermiones de spin 1=2 y tienen cargasel¶ectricas fraccionarias10. Hablemos ahora de los hadrones que como hemosdicho son part¶³culas compuestas por quarks. Hay dos tipos de hadrones:

² Bariones. Son fermiones que participan de la interacci¶on fuerte. Est¶anformados por tres quarks (representados qqq) o por tres antiquarks (¹q¹q¹q).Como ejemplos de bariones podemos citar los nucleones (protones y neu-trones), estos son los bariones m¶as masivos. La estructura quark de unprot¶on es uud (dos quarks up y uno down) mientras que la de un neutr¶ones udd.

² Mesones. Participan en la interacci¶on fuerte pero son bosones por lo queno obedecen el Principio de Exclusi¶on de Pauli. Tiene spin entero. Cadames¶on esta formado por la combinaci¶on de un quark y un anti-quark,esto se representa esquem¶aticamente por q¹q. Ejemplos de mesones son laspart¶³culas K+ (s¹u), K¡ (d¹s), y el Pi¶on (u ¹d).

10Estas sin embargo nunca se observan directamente ya que los quarks se unen en part¶³culascompuestas llamadas hadrones.



Para el estudio de los quarks se hace necesario el introducir un nuevo n¶umerocu¶antico llamado color. En efecto la part¶³cula ¢++ formada por tres quarks u,es decir con estructura uuu, parec¶³a contradecir el Principio de Exclusi¶on dePauli al tener tres fermiones (cada uno de los tres quarks) en el mismo estado(incluso los spines de los quarks apuntando en la misma direcci¶on). Esto s¶olose puede superar si se supone que cada quark puede existir en uno de los tresestados rojo, verde o azul. Es decir se supone la existencia de un nuevo n¶umerocu¶antico denominado color aplicable a los quarks. Adem¶as el n¶umero tres esnecesariamente la cantidad de colores aplicables a los quarks si se quiere superarla contradicci¶on. As¶³ se hace posible que el modelo de los quarks obedeciera laestad¶³stica de Fermi, y los quarks entran de pleno derecho en el esquema defermiones.Supongamos que las fuerzas de interacci¶on fuerte entre quarks sean en cierto

modo an¶alogas a las fuerzas entre electrones y positrones, en el sentido de que laspudi¶eramos describir en t¶erminos de intercambio de objetos virtuales an¶alogos alos fotones y que llamaremos gluones. Estos gluones ser¶³an entonces los bosonesintermediarios de la fuerzas de interacci¶on fuerte. El acoplamiento de los gluonesa los quarks es sin embargo m¶as complicado que el acoplamiento de los fotones alos electrones. Cuando un fot¶on entra en interacci¶on con un electr¶on, el electr¶onsigue siendo un electr¶on, queremos decir que la estructura del electr¶on no hacambiado para nada (su carga electr¶³ca sigue siendo la misma por ejemplo). Porotro lado un glu¶on que interact¶ua con un quark tiene la posibilidad de cambiarel color del quark. Por ejemplo un quark rojo puede transformarse durante lainteracci¶on con un glu¶on, en un quark verde. De hecho los distintos gluonespueden ser caracterizados por sus propiedades de transformaci¶on de color.Los quarks tienen color (rojo, verde o azul) y cuando forman otras part¶³culas,

se junta en funci¶on del color. Los antiquarks tienen anti-color (rojo, verde oazul). Los gluones son bicoloreados: tiene un color y un anti-color.Consideremos en primer lugar la evidencia de los experimentos:

1. Experimentalmente uno se ve obligado a pensar que existen asociacionesestables de un quark con un anti-quark. Estas asociaciones generan untipo de part¶³culas conocidas como mesones.

2. Del mismo modo existen asociaciones de tres quarks formando las part¶³culasconocidas como bariones.

3. Los llamados experimentos 3R sugieren que cualquiera que sea el tipo defuerza que cohesiona los quarks, debe constar de tres tipos de cargas (lostres colores).

En consecuencia los gluones se pueden identi¯car con parejas como azul-antirojo, rojo-antiverde, o incluso verde-antiverde. Seg¶un esto habr¶³a nueveposibles gluones

color¡ anticolordonde color 2 frojo; verde; azulg y anticolor 2 fantirojo; antiverde; antiazulg.Estamos pensando como siempre en los bosones intermediarios de la interacci¶on



fuerte (gluones) van a actuar sobre los fermiones produciendo nuevos fermio-nes. En part¶³cular los gluones interaccionan con los bariones que son part¶³culassin color ya que est¶an formados por quarks cada uno de un color. Pero sipermitimos que el n¶umero de gluones sea nueve, cada bari¶on incoloro podr¶³ainteraccionar con una combinaci¶on lineal de gluones, en concreto con el glu¶onrojo-antirojo+verde-antiverde+azul-antiazul, produciendo otro tal bari¶on. Estoes contrario a la evidencia experimental por lo que nos vemos obligados a dejarla familia de gluones en los siguientes:

rojo-antiverde rojo-antiazulverde-antirojo verde-antiazulazul-antirojo azul-antiverde

rojo-antirojo+verde-antiverde rojo-antirojo+azul-antiazul

La teor¶³a m¶as sencilla para describir este hecho es la proporcionada por el grupoSU(3) con los gluones como los estados b¶asicos de su ¶algebra de Lie. Esto quieredecir que en el ¶algebra de Lie complexi¯cada su(3) podemos encontrar la baseformada por las matrices0@ 0 1 0

¡1 0 00 0 0

1A ;0@ 0 0 10 0 0¡1 0 0

1A ;0@ 0 0 00 0 10 ¡1 0

1A ;0@ 0 i 0i 0 00 0 0

1A ;0@ 0 0 i0 0 0i 0 0

1A ;0@ 0 0 00 0 i0 i 0

1A ;0@ 1 0 00 ¡1 00 0 0

1A ;0@ 1 0 00 0 00 0 ¡1

1A ;como vemos de traza nula. En el ¶algebra de Lie complexi¯cada su(3)C podemosconseguir una base como

e12 =

0@ 0 1 00 0 00 0 0

1A ; e13 =

0@ 0 0 10 0 00 0 0

1A ; e23 =

0@ 0 0 00 0 10 0 0

1A ;

e21 =

0@ 0 0 01 0 00 0 0

1A ; e31 =

0@ 0 0 00 0 01 0 0

1A ; e32 =

0@ 0 0 00 0 00 1 0

1A ;e11 ¡ e22 =

0@ 1 0 00 ¡1 00 0 0

1A ; e11 ¡ e33 =0@ 1 0 00 0 00 0 ¡1

1A ;que no es m¶as que una base del ¶algebra de Lie de las matrices complejas 3 £3 de traza nula. Podemos entonces identi¯car cada una de estas 8 matricescon los gluones descritos antes. Por ejemplo la matriz e12 se identi¯ca con



el glu¶on verde-antirojo (asignamos la primera ¯la al color rojo, la segunda alrojo y la tercera el azul, del mismo modo asignamos la primera columna alantirojo, la segunda al antiverde y la tercera al antiazul). Por ejemplo el glu¶onrojo-antirojo+verde-antiverde se corresponder¶³a con la matriz e11 ¡ e22. As¶³podr¶³amos asociar el rojo al vector (1; 0; 0), el verde al (0; 1; 0) y el azul al(0; 0; 1) (los anticolores se asociar¶³an a los correspondientes vectores columna).Los gluones act¶uan sobre los colores entonces de una manera natural y el grupoSU(3) no es m¶as que el grupo de simetr¶³as del espacio (tridimensional) de color.

A.1.5 ¶Algebras de Lie otra vez.

El modelo est¶andar tratado en la secci¶on anterior ilustra una de las formas deutilizar la teor¶³a de ¶algebras y grupos de Lie en la disciplina de la f¶³sica depart¶³culas. Sin embargo esta no es la ¶unica forma de explotar las posibilidadesde las ¶algebras y grupos de Lie.

Para explicar una segunda e interesante aplicaci¶on de las ¶algebras de Lie enmec¶anica cu¶antica debemos presuponer en el lector una familiaridad con ciertasnociones propias de esta ¶ultima ¶area de conocimiento. As¶³, en mec¶anica cu¶anticael concepto de magnitud f¶³sica se sustituye por el de observable, y los posiblesvalores de un observable (llamados n¶umeros cu¶anticos) se corresponder¶³an conlos valores de las magnitudes f¶³sicas. Son observables por ejemplo, la velocidad,posici¶on, momento, carga, masa, color, etc, de una part¶³cula. Por otro lado cadapart¶³cula se identi¯ca con una funci¶on Á (por ejemplo una funci¶on Á : ! C deun dominio de R4 en el cuerpo de los complejos). Dicha funci¶on conocida comofunci¶on de onda acumula toda la informaci¶on posible que se pueda extraer enlos experimentos que involucren a la part¶³cula. La interpretaci¶on f¶³sica de estafunci¶on es un tema delicado pero algunos f¶³sicos opinan que dicha funci¶on midela densidad de probabilidad de que la part¶³cula se encuentre en una determinadaregi¶on de R4. De este modo si C ½ R4 es un cubo cuatridimensional, la integralZ

C

kÁk2d¾

medir¶³a la probabilidad de encontrar la part¶³cula en C.

Si disponemos de un conjunto de part¶³culas, las diversas funciones de ondade cada una de estas, generan un espacio de Hilbert H y los observables seidenti¯can con operadores autoadjuntos T : H ! H de dicho espacio. De estemodo los observables act¶uan sobre las funciones de onda produciendo funcionesde onda. Si por ejemplo tenemos T (Á) = ¸Á diremos que el valor del observablede operador T aplicado a la part¶³cula de funci¶on de onda Á es el autovalor ¸.As¶³, si encerramos los observables (o mejor dicho sus operadores) en un ¶algebrade Lie g, y las funciones de onda en un g-m¶odulo M tenemos una situaci¶onid¶onea para nuestro estudio. Pero >por qu¶e un ¶algebra de Lie y no un ¶algebraalternativa o de Jordan?. La respuesta se puede dar a la luz de uno de los m¶asfamosos teoremas de la mec¶anica cu¶antica : el Teorema de Independencia deObservables, tambi¶en conocido como Teorema de Compatibilidad.



Cuando un observable se aplica a una part¶³cula estamos inevitablementecambiando el estado de la misma. La igualdad T (Á) = ¸Á no s¶olo quiere decirque el n¶umero cu¶antico del observable de operador T es ¸ sino adem¶as, que lapart¶³cula ha quedado en dicho estado. Es decir, antes de hacer caer el peso delobservable sobre la part¶³cula, no sabemos lo que ocurrir¶³a, pero justo despu¶esde tal acci¶on, el observable de operador T queda alterado a ese valor. Este esuno de los aspectos mas conocidos de la mec¶anica cu¶antica : no se puede expe-rimentar sin alterar el estado de las cosas. Supongamos ahora dos observablesde operadores T y S. Si aplicamos el observable S a la part¶³cula cuya funci¶onde onda es Á, estamos alterando su estado. Si despu¶es de aplicar S aplicamos Tvolvemos a alterar el estado de la part¶³cula. Supongamos que ahora volvemosa aplicar el observable S. En de¯nitiva hemos aplica S luego T y ¯nalmente Sotra vez. Puede ocurrir que el valor que toma S la segunda vez que se aplicacoincida con su valor la primera vez que fue aplicado. Diremos entonces que Ses compatible con T (esta relaci¶on resulta ser sim¶etrica). En caso contrario ha-blaremos de observables incompatibles: la aplicaci¶on de T perturba los valoresde S. Pues bien el conocido como Teorema de Compatibilidad nos dice que dosobservables de operadores S y T son compatibles si y s¶olo si [S; T ] = 0, es decircuando los operadores conmutan.Dado un sistema de part¶³culas, tendremos m¶as informaci¶on sobre ¶el cuanto

m¶as observables independientes conozcamos. Como la relaci¶on de compatibili-dad se traduce en conmutatividad de los operadores, se entiende que el ambienteid¶oneo en que dispondremos de una mayor cantidad de informaci¶on es cuando losobservables elegidos para el estudio del sistema se alojen en una sub¶algebra deCartan de un ¶algebra de Lie L. Esto es as¶³ porque en condiciones de dimensi¶on¯nita y semisimplicidad, las sub¶algebras de Cartan son abelianas maximales.Por tanto dispondremos de un sistema maximal de observables independien-tes. Pero >por qu¶e elegir un ¶algebra de Lie y no cualquier otro tipo de ¶algebracon una sub¶algebra abeliana maximal? La respuesta viene dada por que enel ambiente mencionado antes, la sub¶algebra de Cartan H de L produce unadescomposici¶on del ¶algebra en la forma

L = H © L®1 © ¢ ¢ ¢ © L®ndonde ®1; : : : ; ®n son las ra¶³ces de L respecto de H y para cada h 2 H , eloperador ad(h) : L ! L act¶ua diagonalmente sobre cada subespacio L®i . Enforma m¶as general, hab¶³amos dicho que las funciones de onda generan un espaciode HilbertH . Si estudiamos un sistema ¯nito de part¶³culasH es simplemente unespacio vectorial complejo de dimensi¶on ¯nita, y L un ¶algebra de endomor¯smosT : H ! H . Entonces ser¶a posible tambi¶en descomponer H es una suma directade subespacios H½ tales que cada T 2 H act¶ue diagonalmente sobre cada H½. Seentiende entonces que en ese momento habremos cazado los n¶umeros cu¶anticosde los observables T 2 H (que no ser¶an otra cosa que los autovalores de losoperadores T ).De este modo el sistema quedar¶a totalmente descrito. En consecuencia el

ambiente de las ¶algebras de Lie resulta ¶optimo para buscar modelos algebraicasen f¶³sica de part¶³culas.


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Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer"Sobre los teoremas de Cartan-Jacobson y Chevalley-Schafer" realizada por el Licenciado D. Pablo Alberca Bjerregaard,mani¯esta