sociologie mathématique

8/3/2019 sociologie mathématique

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DINÁMICA DE LA CULTURAENSAYO PARA UNA SÍNTESIS

I. DINÁMICA DE LA CULTURA.

1. SUJETO ANTRÓPICO O SUJETO.

Para los fines de este ensayo cualquier ser vivo con sistema nervioso es considerado un SujetoAntrópico. Recíprocamente cualquier Sujeto Antrópico es un ser vivo con sistema nervioso. En estadefinición se da por supuesto el concepto de sistema nervioso en tanto materia de la Biología. En tantoen este ensayo, salvo indicación en contrario, sólo nos referiremos a Sujetos Antrópicos, los podremosdenominar simplemente sujetos.

2. OBJETO ANTRÓPICO.

Para los fines de este ensayo definiremos Objeto Antrópico como un objeto cuya producción o creacióntiene como condición necesaria la intervención de un sistema nervioso, en consecuencia tiene comocondición necesaria a la intervención de un Sujeto Antrópico. En esta definición la dificultad no radica enla definición en sí misma sino en decidir si es o no es Antrópico un objeto determinado. Para los fines de

este ensayo es irrelevante esta dificultad para decidir si un objeto es Antrópico. Conforme a la definición,resulta admisible establecer que los Objetos Antrópicos son creados por los Sujetos Antrópicos.

Debemos destacar que, según la definición anterior, los objetos antrópicos no necesariamente tienenexistencia material dado que los productos del pensamiento tales como la música deben ser considerados objetos antrópicos en tanto su creación requiere necesariamente la intervención de unsistema nervioso. En consecuencia podemos considerar que todos los objetos ideales o materialesgenerados por una cultura determinada son objetos antrópicos.

Debemos destacar también que la producción de objetos antrópicos no es privativa de los sereshumanos, ni de la cultura humana, dado que, según la propia definición, los animales por ejemplo sonproductores de objetos antrópicos. De esta manera, nidos, colmenas y madrigueras son objetosantrópicos y podríamos incluso, aunque no es necesario, hablar de una Antropósfera la cual seríaentendida como el total de objetos en el planeta Tierra que sólo existen en virtud de la existencia de seres

vivos con sistema nervioso.

Es importante reflexionar también que los propios seres vivos con sistema nervioso, incluidos los sereshumanos, son y somos objetos antrópicos, dado que el sistema nervioso es estrictamente necesario parasu propia reproducción y sobrevivencia y por tanto para su creación y existencia. En particular el sistemanervioso es necesario para obtener los alimentos y por tanto sobrevivir, así como para realizar lasprácticas que les permiten reproducirse. Del mismo modo, el alimento de un ser vivo con sistemanervioso, en tanto alimento, no en cuanto objeto en sí mismos, es un objeto Antrópico, ya que es laacción de este ser Antrópico lo que lo convierte de objeto en sí en alimento y por tanto lo convierte enobjeto Antrópico cuando se lo apropia como alimento. De esta manera y en lo particular, las plantas en símismas no constituyen objetos antrópicos, pero las plantas en tanto alimentos de un ser vivo con sistemanervioso si constituyen objetos antrópicos, así como las plantas cultivadas. En consecuencia, podemosestablecer que las plantas no cultivadas no son objetos antrópicos pero si lo son los alimentos de un ser

Antrópico.

Finalmente, en relación con la elección del término “Antrópico” lo hemos adoptado para articular en elconcepto los conceptos de Anthropos (Ser Humano) y Entropía, para denotar que los seres humanos,principal pero no exclusivamente, son productores de objetos que reducen la entropía, es decir creanobjetos estructurados que en forma natural no existirían y para hacerlo aplican su inteligencia sobreobjetos naturales, creando así objetos artificiales.



3. ANTROPÍA DE UN OBJETO.

El concepto de Antropía de un Objeto sólo se aplica a los objetos antrópicos, en consecuencia se aplicaen lo particular a los sujetos antrópicos ya que un sujeto antrópico es al propio tiempo un objetoantrópico, por ello es pertinente hablar de la Antropía de un Objeto y de la Antropía de un Sujeto.

Definimos la Antropía de un Objeto, denotada por A, como A= F (I, E) donde I es la información totalrequerida para su existencia como objeto Antrópico y E es la energía total requerida para producirlo ymantenerlo como objeto Antrópico. Podemos justificar esta definición por el hecho de que dado un objetoAntrópico es factible en principio establecer un conjunto de instrucciones (información) que permitiríancrear y mantener tal objeto y su construcción real requeriría aplicar una determinada energía.

En esta definición es el uso de energía conforme a una determinada información destinada a la creacióndel objeto, lo que requiere la intervención de un sistema nervioso, lo cual hace pertinente el uso deltérmino “Antropía”.

4. COGNOPIA.

El concepto de Cognopía sólo se aplica a Sujetos Antrópicos. Para definir el concepto de Cognopía, esconveniente partir de una noción. Como noción, la Cognopía se refiere a la capacidad de un SujetoAntrópico para crear objetos Antrópicos, sin incluir la energía requerida para la creación de estos. Esimportante precisar que un Sujeto Antrópico, en tanto ser vivo con sistema nervioso, puede crear un ser vivo de su misma especie por su simple reproducción biológica, en este caso en la definición deCognopía no se incluye la información genética contenida como tal en el ser reproducido, es decir, no seincluye la información genética contenida en la célula fertilizada que da lugar al nuevo ser y sólo seincluye el conocimiento o la información que emplea éste ser original para aparearse así como elconocimiento empleado para regular la producción de nuevos sujetos objetos antrópicos. Tal es el casode los recursos empleados por un macho frente a otros machos de su grupo para asegurar sureproducción y entonces su descendencia, así como es el caso de los recursos empleados por la hembrapara elegir a los machos con qué copula. También es el caso de la agricultura y la ganadería en todassus formas y, especialmente en lo que respecta a los conocimientos agrupados en la ingeniería genética.

Es necesario asignar a la noción de Cognopía un carácter mensurable, lo cual requiere modificar la

noción anterior ya que tiene un carácter dicotómico puesto que se reduce a la disyuntiva tener o no tener capacidad para producir objetos antrópicos. Para trascender este carácter dicotómico, definiremos laCognopía de un Sujeto como la suma de las antropías de los distintos objetos antrópicos que es capaz deproducir. De esta definición se deduce que la Cognopía de un sujeto en lo general no permanececonstante en el tiempo, ya que en un tiempo determinado el sujeto puede ser capaz de producir un objetoAntrópico distinto a los que era capaz de producir en un tiempo anterior y por tanto su Cognopía seincrementa. Este crecimiento representa una noción generalizada de lo que se denomina aprendizaje, delmismo modo que Cognopía representaría una noción generalizada del concepto de conocimiento, dehecho podría considerarse no sólo generalizada sino no antropomorfa, ya que el conocimiento humanosería Cognopía, pero las capacidades animales a las que se suele rehusar denominar conocimiento, sonCognopía. En esta misma reflexión, cabe destacar que el concepto de Sujeto Antrópico es una nocióngeneralizada de sujeto inteligente, no es una noción antropomorfa, de esta manera el ser humano implicaser Antrópico, pero la implicación inversa no es verdadera, los animales son seres Antrópicos.

Las definiciones realizadas tienen un carácter general e incluyente que busca eludir las conclusionestautológicas que excluyen a los no humanos de la inteligencia y el aprendizaje por el hecho de definir ambos conceptos por sus características humanas.

5. ENERGÍA.

El concepto de energía se da por definido en los términos de las ciencias físicas y químicas a partir deesto se entiende por Energía de un Objeto Antrópico, la energía empleada en la producción del objetoantrópico. En estricto sentido, al crear un Objeto Antrópico los sujetos antrópicos no crean energía ni



materia solamente emplean ciertas clases de conocimiento, es decir Cognopía, para transformar materiay energía disponible.

6. SISTEMA ANTRÓPICO.

Definimos sistema Antrópico como el sistema social constituido por una comunidad de sujetos antrópicos,

sus objetos antrópicos y sus recursos naturales o no antrópicos, incluyendo la energía disponible.

7. ANTROPÍA, COGNOPÍA y ENERGÍA DEL SISTEMA ANTRÓPICO.

Definimos la Antropía de un Sistema Antrópico como la suma de la Antropía de los objetos antrópicoscontenidos en este Sistema. Del mismo modo, definimos la Cognopía de un Sistema Antrópico como lasuma de la Cognopía del total de los sujetos antrópicos contenidos en el Sistema. Finalmente, definimosla Energía Disponible por un Sistema Antrópico como la suma de la energía disponible para el total desujetos antrópicos contenidos en el Sistema.

8. RELACIONES ENTRE LOS CONCEPTOS.

El concepto de Antropía de un Objeto da lugar implícitamente al concepto de Antropía, en tantocaracterística que se puede asignar a los objetos antrópicos, del mismo modo que el concepto peso tienesentido en tanto característica o propiedad de asignable a un objeto en un campo gravitacional. Enconsecuencia, podemos emplear indistintamente el concepto de Antropía en lugar de Antropía de unObjeto o Antropía de un Sistema. El mismo razonamiento puede aplicarse a la Cognopía de un Sujeto yal de Cognopía de un Sistema, por tanto, podemos hablar indistintamente de Cognopía. Esta reflexiónpermite considerar a la Antropía, la Cognopía y la Energía como una función aplicada sobre los objetosya que podemos asociar a cada objeto o sistema la Antropía del objeto o sistema, a cada sujeto osistema podemos asociarles la Cognopía del sujeto o del sistema y a cada objeto le podemos asociar laenergía aplicada en su creación y mantenimiento, del mismo modo que podemos asociarle a cada sujetoo sistema la energía disponible para cada uno de ellos.

Una primera reflexión sobre el concepto o la función Cognopía, consiste en destacar que se trata de unafunción no lineal ya que es factible establecer que la Cognopía genera Cognopía o al menos establecer que la producción de Cognopía en un Sistema depende de la Cognopía existente en el mismo. Daremos

por establecida esta característica basándonos en los resultados de la Neurofisiología, laNeuropsicología, la Psicología del Aprendizaje y la Antropología Cognitiva.

Del mismo modo, podemos remitirnos a la Teoría de la Evolución para fundamentar que las capacidadescognitivas se retroalimentan en virtud de la selección natural y fundamentar también con base en ello laafirmación de que la producción de Cognopía depende de la Cognopía existente.

Del mismo modo, podemos establecer que la producción de Cognopía depende de la Antropía existente,para ello consideramos suficiente comprender que el conocimiento es una forma particular de laCognopía y que está suficientemente fundado el hecho de que en una sociedad la producción deconocimiento depende de los medios materiales y culturales que posee. Bajo esta misma línea dereflexión consideramos que se puede establecer que la Cognopía depende la energía disponible y que ladisponibilidad de la energía depende de la cognopía.

A partir de estas consideraciones procedemos a definir la Cultura de un Sistema como una función L = L(C, E, A, t), donde C, E y A representan la Cognopía, la Energía y la Antropía del Sistemarespectivamente y t representa el tiempo.

Entendida la Cultura de un Sistema en estos términos, el problema a resolver en el presente ensayopodemos formularlo de la siguiente manera:



Cuál es, si existe, la ecuación o el sistema de ecuaciones que establece laevolución de L en el tiempo y por tanto la evolución, de la Cultura del Sistemaen el tiempo

A fin de establecer las ecuaciones buscadas, es conveniente elegir el Campo de los Números Complejoscomo dominio de la funciones C, E y A ya que mediante esta elección podemos realizar las siguientesdefiniciones:

C = CK + i CL Donde C es un número complejo en el que CK representa lo que definimos como CognopíaCortical y CL representa lo que definimos como Cognopía Límbica.

En esta definición estamos asumiendo como Cognopía Cortical, las capacidades derivadasde la corteza cerebral, especialmente las que corresponden al neocortex, en tanto que por Cognopía Límbica estamos asumiendo las capacidades derivadas del sistema límbico oincluso las capacidades derivadas de un sistema nervioso con menor desarrollo. En uno yotro caso, el significado de estas capacidades lo damos por supuesto y como derivado dela Neurofisiología y la Neuropsicología. Debemos recordar que en un número complejo, ies la unidad (o elemento neutro ante la multiplicación) en el Campo de los NúmerosImaginarios y que i2=-1. Hemos elegido esta forma de representar para diferenciar cualitativamente ambos tipos de Cognopía, lo cual se consigue en virtud de que en la suma

de dos números complejos se suman componente real con componente real y componenteimaginaria con componente imaginaria.

A = AV + i AR Donde A es un número complejo en el que AV representa lo que definimos como Antropíavirtual, consistente en la Antropía de los objetos virtuales, es decir objetos que no sonmateriales, tales como una sinfonía en tanto secuencia de sensaciones auditivas captadase interpretadas por un sistema nervioso, una creencia religiosa, una teoría o todo objetopensado, y AR representa lo que definimos como Antropía material, consistente en laAntropía de los objetos antrópicos materiales, tales como una casa, un hacha de piedra, ola secuencia de vibraciones reales en un medio que conforman la sinfonía.

E = E + i (0) Donde E representa la energía real y la cantidad i (0) = 0 indica que la componente

imaginaria de la energía es 0 (cero) ya que para producir objetos antrópicos reales o

virtuales y para generar Cognopía Cortical o Límbica se consume energía real es decir,energía del mundo físico.

Definimos también: L = L (CK + i CL), ER, (AV + i AR)) entonces

Hemos establecido que la Cultura de un Sistema queda descrita mediante la función L = L (C, E, A, t),esta definición tiene el propósito de calcular la evolución en el tiempo de la Cultura del Sistema mediantepor un conjunto de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de las funciones C, E, A y t, a las quedenominaremos ecuaciones de la dinámica del sistema o simplemente ecuaciones del sistema. Elpropósito sustantivo de este ensayo es precisamente generar y proponer tales ecuaciones.

Conforme a esta definición L asocia al vector r = (C, E, A) = ((C K + i CL), ER, (AV + i AR)) que pertenece alespacio K3, el vector L = L (C, E, A) = L ((C K + i CL), ER, (AV + i AR)) que también pertenece al espacio K3,

donde K representa al campo de los números complejos. Es decir L: R € K

3

→ L € K

3

Partamos de observar que, conforme a su definición, la Antropía del Sistema es una función de laCognopía y de la Energía y que estas funciones dependen a su vez del tiempo, es decir: A (t) = (C (t), E(t)). Del mismo modo, a cada instante t le corresponde un vector r (t) = r (C (t), E (t), A (t)).Adicionalmente, la función A (t) = (C (t), E (t)) asocia a cada instante t un valor C (t) y un valor E (t), a suvez estos dos valores asocian a cada instante t un valor A (t), en consecuencia, la función A (t) = (C (t), E(t)). Constituye la ecuación de una superficie en el espacio C3 que podemos ilustrar mediante el siguientedibujo:



En el dibujo se representan dos puntos r 1 y r 2 que corresponden a los tiempos t1 y t2 respectivamente, loscuales están unidos por una curva representada en color blanco sobre la superficie que corresponde a lafunción A (t) = (C (t), E (t)). Para establecer las ecuaciones buscadas partimos de los siguientespostulados teóricos:

1. De todas las posibles curvas que están sobre la superficie y conectan los puntos r 1 y r 2, sólo una curvarepresenta la trayectoria real del Sistema.

2. La función de esta curva es una función r (t) = r = (C (t), E (t), A (t)) que constituye la trayectoria del

sistema entre los tiempos t1 y t2

3. Establecemos como Principio de Optimización Cultural la idea de que la curva correspondiente a latrayectoria real del Sistema es aquella curva sobre la superficie que tiene longitud mínima.

A partir de estos postulados el problema consiste en deducir cual es la curva que satisface lo que hemosdenominado como Principio de Optimización Cultural. Pero este es un problema clásico del CálculoVariacional, el cual desarrollamos a continuación.

Consideremos la funcional

Aquí es una función (una funcional) que asigna a cada función L el valor S. La condición necesaria

para que una función L corresponda a un extremo de esta funcional es que la variación de S sea igual a

cero, es decir:

Para mostrar el desarrollo de la variación de la funcional sin complicar la notación consideraremos que L

depende de una sola variable r y realizaremos la variación a partir de un incremento δ r y δ r´, tenemosentonces L = L (r, r´, t)

Supongamos que la funcional alcanza su mínimo en la función r(t), entonces para cualquier función δ r(t) = r(t) – r0(t) (llamada variación) donde r0(t) es una pequeña función del mismo tipo que r(t) la

funcional S incrementará su valor en la función r(t) + δ r(t). Por construcción en los tiempos t1 y t2 las

funciones r(t) y r(t) + δ r(t) deben coincidir ya que es el lugar de donde parten y a donde terminan

las trayectorias, entonces: r(t1) = r(t1) + δ r(t1) entonces δ r(t1) = 0 y también r(t2) = r(t2)+ δ r(t2) entonces δ r(t2) = 0



En consecuencia la variación de S por el cambio r(t) + δ r(t) está dada por

Bajo el supuesto de que la variación por construcción es pequeña podemos desarrollar esta resta en

Serie de Taylor como potencias de . Este desarrollo incluye términos de orden 1, 2, 3, …, n

pero la condición de que la primera variación se anule implica que todos los términos deben ser cero.En consecuencia podemos conservar sólo el primer término para expresar a partir de él la referida

variación de S, tenemos entonces:

Al realizar la variación indicada tenemos:

Para simplificar el sub integral hagamos una integración por partes considerando que:

=

Sustituyendo en la integral tenemos:

El segundo sumando al ser evaluado para t1 y t2 es igual a cero ya que la condición es que se anule enlos extremos, tenemos entonces:

Esta igualdad debe ser cero para todas las posibles funciones δ r, lo cual sólo es posible si el términoentre corchetes es idénticamente cero, por ello:

Establecimos arriba que, a fin de no complicar la notación matemática realizaríamos el desarrolloconsiderando que la función L dependía sólo de una variable y su derivada r´.En el caso general, la función L dependerá de varias variables P, Q,…, V y las variaciones se realizansobre cada variable. En este caso general tenemos no una ecuación sino un conjunto de ecuaciones, unapor cada variable, esto es:



…

En Calculo Variacional estas ecuaciones son conocidas como ecuaciones de Euler, la Física, como partede la Mecánica son conocidas como las ecuaciones de Lagrange en tanto que la función L se conocecomo Lagrangiana.

La condición de mínimo que hemos establecido y las ecuaciones de Euler constituyen resultados bienestablecidos como teoremas en el Cálculo Variacional. Un tratamiento matemático formal de estosteoremas puede ser encontrado en libros relativos a Cálculo Variacional, Cálculo Vectorial o GeometríaDiferencial, por ello no consideramos necesario presentarlas como parte de este trabajo.

Podemos proceder ahora a la aplicación de estos resultados para la funcional que nos interesa,simplificaremos la notación considerando que a la Antropía y a la Cognopía les corresponde una única

dimensión. Para ello partimos de una función Lagrangiana L = L (C (t), E (t), A (t)) y buscamos la

funcional

Esta funcional debe representar la longitud de la curva ℓ entre los puntos inicial y final, pero la longitud deuna curva está dada por la expresión:

(Ecuación 1)

En esta expresión y representa el módulo o magnitud del vector en el caso que nos

interesa, la curva ℓ no se encuentra en el espacio en general, sino que los puntos o vectores r (t) = r (C(t), E (t), A (t)) de la curva y por tanto esta misma, se encuentran sobre la superficie dada por la función A(t) = (C(t), E (t)). En este caso, debemos expresar la longitud del segmento de la curva ℓ, en términos dela ecuación de la superficie, para ello consideramos que r (t) = r (C (t), E (t)) dado que sobre la superficie

se cumple que A (t) = (C(t), E (t)), es decir A es función de C y de E y por tanto r depende en últimotérmino solamente de estas mismas dos variables. Tenemos entonces:

Si calculamos la diferencial tenemos:

Entonces

Sustituyendo en la integral tenemos:



A partir de esta expresión encontramos que la Lagrangiana que corresponde a la longitud del segmentode la curva ℓ es la raíz que aparece en la integral, es decir:

(Ecuación 2)

Esta Lagrangiana es función de las variables C y E. Encontramos así la solución al problema planteado

de establecer el sistema de ecuaciones que determina la evolución de la Cultura del Sistema en eltiempo, estas ecuaciones son:

(Ecuación 3)

Con una Lagrangiana L que representa la Cultura del Sistema y está dada por la Ecuación 2.

II. DINÁMICA DE UNA CULTURA EN PARTICULAR: EL CASO DE DEPREDADORES SIMPLES.

A fin de considerar la aplicación de este enfoque y sus posibles resultados, realizaremos el análisis de uncaso particular. Para el efecto consideraremos un caso simple consistente en grupo social integrado por sujetos hipotéticos que denominaremos depredadores simples. Consideraremos que estos depredadores

tienen una Cognopía que se reduce exclusivamente a sus capacidades de caza y reproducción. Se tratade sujetos hipotéticos con características que podrían asimilarse a las de depredadores reales condiferencias interindividuales que pueden ser despreciadas, una corteza cerebral escasamentedesarrollada y pocas o nulas capacidades para generar alternativas ante variaciones del medio, comoconsecuencia de una conducta inflexible o poco flexible.

A partir de las condiciones del problema y dada la escasa diferencia interindividual, podemos considerar lo siguiente:

1) C= C0N donde N es el número de individuos y C0 es la Cognopía de un individuo;

2) A= A0N donde N es el número de individuos y A0 es la Antropía de un individuo; y,

3) = E0N ya que en este caso representa el consumo de energía por los depredadores,

el cual es proporcional al número de individuos y E0 es el consumo por individuo.

Podemos suponer además que la escasa capacidad o Cognopía de los depredadores simples implicauna cultura estática, la cual tiene los mismos rasgos a lo largo de su historia. Esto significaría que suLagrangiana no puede depender explícitamente del tiempo ya que de lo contrario a distintos tiemposcorresponderían expresiones distintas de la Lagrangiana, expresiones que representarían una dinámicade la cultura distinta para distintos momentos de la historia de esta cultura. Podemos suponer del mismo

modo que la Lagrangiana tampoco puede depender de la dirección del vector ya que todas las



direcciones de cambio cultural deben considerarse equivalentes, en consecuencia la Lagrangiana solo

puede depender de Este razonamiento puede formularse de manera formal en términos

matemáticos, para el efecto partimos de la expresión de la Lagrangiana dada por la Ecuación 1, es decir:

Entonces o bien

Para nuestro caso es conveniente expresar L como Consideremos ahora que Z = Zo es el valor de Z enel que el sistema y por tanto el tamaño de la población se encuentra en equilibrio, haremos un desarrolloen Serie de Taylor en torno a esta posición de equilibrio, para ello consideraremos una pequeña variaciónde Zo dada por , tenemos entonces:

o + z ⃒ 0 (Z0 + )

Además o = [E02N0

2 + (C0N0)´ 2 + (A0N0)´ 2]1/2 = [Eo2No

2 + Co´ 2No2 + Ao´ 2No

2]1/2

o = [E02 + Co´ 2 + Ao´ 2]1/2 No

O bien o = ξNo

En consecuencia tenemos L = ξNo + (1/2 ξNo) [(ξ2No2 + ξ2 δ 2 + (C0δ)´ 2 + (A0δ)´ 2]

En esta última ecuación δ es una pequeña variación de N alrededor de No y este valor representa el

tamaño de la población en equilibrio. Desarrollando la última ecuación tenemos:

L = ξNo + (1/2 ξNo) [ξ2No2 + E0

2δ2 + (C0´δ+C0δ´)2 + (A0´δ +A0δ´)2]

L = ξNo + (1/2 ξNo) [ξ2No2 + E0

2δ 2 + (C0´2+A0´2) δ2 + (C02+A0

2) δ´ 2 + 2(CoCo´+AoAo´) δδ´]

L = ξNo + (1/2 ξNo) [ξ2No2 + ξ2δ 2 + (C0

2+A02) δ´ 2 + 2(CoCo´+ Ao Ao´) δδ´]

Haciendo Q = C02+A0

2 L = ξNo + (1/2 ξNo) [ξ2No2 + ξ2δ2 + Qδ´2 + Q´ δδ´]

Si calculamos las derivadas parciales respecto a δ y δ´ tenemos:

Lδ = (1/2 ξNo) (2ξ2δ + Q´δ´) = Lδ´ = (1/2 ξNo) (2Qδ´ + Q´δ)

Derivando Lδ´ respecto al tiempo tenemos

Lδ´ = (-ξ2´/4 ξNo) (2Qδ´ + Q´δ)+ (1/2 ξNo) (2Q´δ´ + 2Qδ´´ + Q´´δ + Q´δ´)

Lδ´ = (-ξ2´/4 ξNo) (2Qδ´ + Q´δ)+ (1/2 ξNo) (3Q´δ´ + 2Qδ´´ + Q´´δ)

Las Ecuaciones de Euler son Lδ - Lδ´ = 0 En consecuencia tenemos:

(1/2 ξNo) (2ξ2δ + Q´δ´) + (ξ2´/4ξNo) (2Qδ´ + Q´δ) - (1/2 ξNo) (3Q´δ´ + 2Qδ´´ + Q´´δ)= 0



Multiplicando por 2 ξNo tenemos:

2ξ2δ + Q´δ´ + (ξ2´/2) (2Qδ´ + Q´δ) - 3Q´δ´ - 2Qδ´´ - Q´´δ = 0

2ξ2δ + (ξ2´/2) (2Qδ´ + Q´δ) - 2Q´δ´ - 2Qδ´´ - Q´´δ = 0

Reagrupando términos tenemos

2Qδ´´ + (2Q´- ξ2´Q) δ´ + (Q´´- (ξ2´/2) Q´ - 2ξ2) δ = 0

Dividiendo entre 2Q tenemos finalmente que la ecuación del Sistema es:

(Ecuación 4)

Para el caso particular en que no hay capacidad de adaptación tedríamos que Co´, Ao´, Co´´ y Ao´´

son igual a cero. Además y dado que Co = CoC+ i CoL

como CoC = 0 tenemos Co2

= i2

CoL2

=-CoL

2 del mismo modo Ao = AoV + i AoR como AoV = 0 entonces Ao2 = i2 AoR

2 por esto Ao2 = -

AoR2, aplicando estas condiciones a la ecuación 4 tenemos:

O bien δ´´ + w02 δ = 0 (Ecuación 5)

Este resultado es muy significativo ya que ésta es la ecuación de Lotka Volterra para la relaciónpresa-depredador.

Esta ecuación tiene como solución N = a cos (w0t+b) donde a y b son constantes.

La capacidad predictiva de esta ecuación en la realidad es ampliamente conocida, por ello al arribar aesta ecuación como caso particular de las ecuaciones de la Dinámica del Sistema que hemosestablecido, tenemos un elemento sustancial a favor de la validéz del enfoque que hemos propuesto.

En el caso de una especie con una pequeña plasticidad en su conducta tenemos una capacidad de

aprendizaje aun cuando esta sea pequeña, por ello Co´ y Ao´ no son cero, se trata. Podemos

simplificar la expresión de la Ecuación 4 empleando los parámetros α1 y α2 de esta manera tenemos:

δ´´ + 2α1δ ´+ α2δ = 0 (Ecuación

6)

Esta ecuación se puede resolver proponiendo δ = eλtal aplicar este valor en la ecuación tenemos:

(λ2+ 2α1 λ+ α2) eλt = 0 Entonces λ2+ 2α1λ + α2 = 0 λ = -α1 ±(α1

2 - α22)1/2

Esta ecuación característica tiene dos raíces dadas por

λ1= - α1 + (α12 - α2

2)1/2 λ2 = - α1 - (α12 - α2

2)1/2

δ´´ +δ = 0

E0

2

CL

2+AR

2

δ´´ + δ´ +δ = 0

2Q´´- ξ2´Q

´- 4ξ2

4Q

2Q´- ξ2

´Q2Q



Estas dos raíces dan lugar en principio a dos soluciones particulares de la expresión δ = eλtque están

dadas por:

δ1 = eλ1t y δ2 = eλ

2t

Estas soluciones particulares están determinadas por los parámetros λ1 y λ1 los cuales a su vez están

determinados por los parámetros α1 y α2 y específicamente por la diferencia α1

2-α22 ya que está

diferencia determinará si las raíces de la ecuación característica pertenecen a los números reales o a losnúmeros imaginarios. Tenemos, en principio, tres alternativas.

1) El caso α12 < α2

2 para el cual la solución está dada por δ = a cos [(α22 – α1

2)1/2 + b]

2) El caso α12 = α2

2 = α2 para el (α22 – α1

2)1/2 = 0 entonces λ1 = λ2= α entonces la solución

está dada por δ = e-αt

3) El caso α12 > α2

2 en el cual λ1 y λ2 son reales y negativas y la solución está dada por

δ = c1eλ1t + c2 eλ

2t

Estas tres soluciones representan oscilaciones armónicas decrecientes en el tiempo, dado que δrepresenta la variación del tamaño de la población en torno al tamaño en equilibrio, tenemos que laperturbación generada al sistema implica una oscilación en torno al estado de equilibrio que decrecepaulatinamente para llevar al sistema nuevamente al estado de equilibrio. En consecuencia, la capacidadde aprendizaje se traduce en una conducta plástica que permite al sistema regresar al equilibrio despuésde una perturbación.

Es conveniente mostrar el significado de estas soluciones en un caso particular. Para elloconsideraremos el caso en que el sistema está integrado por individuos que mantienen un ritmo de

aprendizaje constante y por tanto C0´´=A0´´= 0. Para hacerlo debemos desallollar α1 y α2 y aplicar

este criterio, tenemos así:

Q´ = (C0

2

+A0

2

)´ = 2(C0C0´+A0A0´) ξ

2

´ = [E0

2

+ C0´

2

+ A0´

2

]´ ξ

2

´=2(C0Ć0´´+ A0Á0´´)

Q´´ = 2(C0C0´+A0A0´)´ = 2(C0´2+A0´2) + 2(C0 C0´´+A0 A0´´)

2Q´´- ξ2´Q´- 4ξ2 = 4(C0´2+A0´2)+2(C0 C0´´+A0 A0´´)-4 (C0Ć0´´+A0Á0´´) (C0C0´+A0A0´)-4(E0

2+C0´2+ A0´2)

2Q´´- ξ2´Q´- 4ξ2 = 2(C0 C0´´+A0 A0´´) - 4 (C0Ć0´´+A0Á0´´) (C0C0´+A0A0´) -4E0

2

Por otra parte:

α1= (2Q´- ξ2´Q)/ (2Q) = (Q´/Q) - ξ2´/2 = [2(C0C0´+A0A0´)/ (C02+A0

2)] - (C0Ć0

´´+ A0Á0´´)

Dado que

2Q´´- ξ2´Q´- 4ξ

2

4Q

α2

=

α1=

- (C0Ć

0´´+ A

0

Á0´´)

2(C0C

0´+A

0A

0

´)

C0

2+A0

2



En el caso particular que queremos ilustrar, donde C0´´=A0´´= 0 tenemos

Tenemos entonces α12 - α2

2= [(C02+ A0

2)´2 - E04] /(C0

2+A02) entonces α1

2 - α22> 0

El tipo de solución dependerá del tamaño relativo entre (C02+A0

2)´2 y E04 o lo que es equivalente, del

tamaño relativo entre (C02+A0

2)´ y E02 es decir, de la relación entre el consumo energético individual

E0 y los ritmos de aprendizaje C0 y del ritmo de producción de alimentos y descendientes A0.

Cómo hemos visto, el factor α1 que aparece en la ecuación δ´´ + 2α1δ ´+ α2δ = 0 (Ecuación 6),

produce un efecto de amortiguación de las oscilaciones correspondientes al caso de aprendizaje cero,esto representaría que el efecto de una pequeña capacidad de aprendizaje consiste en una estabilizaciónde la población, lo cual puede interpretarse como consecuencia de una conducta plástica que permiteuna mejor adaptación al medio.

Es conveniente realizar una última consideración en otro terreno que se refiere a los efectos derivados dela competencia entre dos subconjuntos de un mismo grupo social. Para mostrar estos efectos debemostomar en cuenta que las ecuaciones de cada subsistema pueden considerarse independientes en virtudde que las derivadas parciales correspondientes a las variables NA y NA´ relativas al subsistema A, seanulan al aplicarse a las componentes de la Lagrangiana correspondientes al subsistema B, en otrostérminos se puede establecer que las componentes de la Lagrangiana correspondientes a lossubsistemas A y B son independientes entre si. De esto deriva que las soluciones correspondientes acada subsistema se deducen independientemente, si aplicamos esto partiendo de la solución particular

δ = Ceλt tenemos: δA = CBeλAt y δB = eλ

Bt De esto deriva

Ln (δA /CA)= λAt Ln (δB /CB)= λBt al igualar el tiempo tenemos:

T = (Ln NA- Ln CA)/ λA = (Ln NB - Ln CB)/ λB En consecuencia resulta:

δA =r δBs Con s = λA/λB r = CA/ CB

s

Esta ecuación, que es conocida en múltiples campos de estudio como fórmula alométrica y significa quelos ritmos relativos de desarrollo de un subsistema en relación con otro se mantienen constantes, pero eneste caso el significado debe ser interpretado con mayor profundidad. Debemos observar que en la

ecuación alométrica el factor determinante de la relación entre los dos subsistemas es el exponente s =λA/λB. Al tomar en cuenta que s es función de la λA y λB debemos recordar que:

λ= - α1 ± (α12 - α22)1/2

Dado que C0 y A0 constituyen las capacidades básicas iniciales, la relación entre los dos subsistemas

depende fundamentalmente de estos dos factores, es decir, depende de la diferencia de las capacidades

C0A´ y A0A´ del subsistema A respecto de las capacidades C0B´ y A0B´. En consecuencia, la relación

depende de las distintas capacidades de aprendizaje entre los individuos de los dos subsistemas, lorelevante es que depende en forma exponencial, es decir depende de manera no lineal de estascapacidades. En términos llanos podemos establecer que una pequeña diferencia en las capacidades de

α2

=

- E0

2

C0

2+A0

2α

1=

(C0

2+ A0

2)

´

C0

2+A0

2

α2

=

- E0

2

C0

2+A0

2α1=

(C0

2+ A0

2)

Ć

0

2+A0

2



aprendizaje genera una diferencia sustancial, exponencial, en la capacidad de desarrollo de unsubsistema a costa del otro. Es decir una pequeña diferencia genera una gran diferencia (¿aleteos demariposas?).

III. CONSIDERACIONES Y PREGUNTAS ABIERTAS.

El enfoque teórico propuesto en este ensayo y su formalismo matemático tienen supuestos ontológicos ymetodológicos que deben ser aplicados en el estudio de sistemas culturales bajo el mismo. Estossupuestos son fundamentalmente los siguientes:

1. En primer término debemos destacar que en el estudio de cualquier sistema cultural, los objetos

culturales en estudio y las relaciones entre los sujetos culturales en estudio, deben ser pensadoscomo objetos antrópicos y como sujetos antrópicos. Es decir, no se trata de considerar catedrales,música o enredaderas, sino que se trata de considerar estos objetos, reales o virtuales, en tantoobjetos antrópicos. De esta manera, una enredadera en la barda de un jardín, no debe ser considerada en tanto enredadera, sino en tanto objeto antrópico creado por un sujeto antrópico.

2. Cada objeto antrópico debe su existencia a la cognopía que le es inherente, es decir a la cognopía del

o de los sujetos antrópicos que lo crearon y a la energía empleada por estos para crearlo. Estacognopía corresponde al estado de conocimiento o de creencia del sujeto antrópico. En el ejemplo, laenredadera existe en virtud del estado de creencia que la considera un objeto decorativo y el estadode conocimiento que sabe sembrarla, cultivarla y podarla. Lo mismo puede aplicarse a la existencia decatedrales o a la existencia de prácticas familiares tales como emplear una enorme cantidad detiempo y energía en discutir o ver televisión ya que estas prácticas son objetos antrópicos virtualesque son producidos en virtud de la cognopía (en este caso estados de creencia) y la energía queconsumen tales prácticas.

3. En el estudio de un sistema cultural determinado, es necesario y es factible establecer las particionesdel sistema total en los subsistemas pertinentes al estudio en cuestión, esta partición corresponde alpapel epistemológico del análisis en tanto que la consideración de los diferentes subsistemas y elsistema total, corresponden al papel epistemológico de la síntesis, o si así se quiere ver, a laperspectiva holística. Debemos destacar que no se trata de una u otra perspectivas, analítica osintética, analítica u holística sino a la presencia de ambas perspectivas epistemológicas en el mismoacto cognitivo.

Estas particiones del sistema dependen del estudio en cuestión, de esta manera podemos subdividir el sistema total tomando como criterio a distintos subgrupos de sujetos antrópicos, grupos culturales,podemos subdividir el sistema según clases distintas de objetos antrópicos, podemos subdividirlo paraconsiderar la relación de un subsistema respecto de otro o de un subsistema respecto del sistematotal, podemos subdividirlo en función de distintas clases de cognopía o en los subsistemas queresulten pertinentes para el estudio en cuestión. La elección de esta subdivisión constituye elcomponente metodológico fundamental.

4. La partición del sistema total en diferentes subsistemas, tiene como propósito metodológico elestablecimiento de las ecuaciones del Sistema total como un conjunto de ecuacionescorrespondientes a cada uno de los subsistemas. Este proceso conlleva a considerar un espacio dedimensión 5n donde n es el número de subsistemas, ya que a cada variable independientecorresponde una dimensión del espacio y cada subsistema, considerado independientemente, esrepresentado por 5 variables, dos correspondientes a la Antropía, dos a la Cognopía y una a laEnergía. De este modo, las ecuaciones del Sistema total y los subsistemas están dadas por

y Con C= CL j, CK j E= E j j =1, 2,…, n



5. La división del sistema total en los diferentes subsistemas tiene como objetivo metodológicofundamental, el conocimiento de las pautas de interación entre los subsistemas, las cuales bajo estateoría son pautas de crecimientos, intercambios relativos y distribuciones de la antropía, la cognopía yla energía entre los distintos subsistemas. Las características de estas relaciones de intercambio,distribución o crecimientos relativos, corresponderán en el formalismo matemático a ecuaciones querelacionan las soluciones de cada subsistema, derivadas de sus respectivas ecuaciones. El modelo

teórico predice la existencia de relaciones no lineales que dan lugar a intercambios y distribucionescon fenómenos recurrentes de concentración y con pautas dependientes de las condiciones iniciales.Este es el caso de la ecuación alométrica encontrada para los crecimientos relativos de la poblaciónentre los dos subgrupos estudiados en el presente ensayo.

6. La dificultad metodológica sustancial, es decir la componente creativa del conocimiento o estudio,consiste más allá de las matemáticas requeridas, en la comprensión de las condiciones del fenómenobajo estudio y su modelación como objetos o sistemas teóricos, ya que son estas condiciones las quehacen factibles el establecimiento de las ecuaciones del sistema y los subsistemas y por tanto ladeducción de su dinámica y de su evolución esperada en el tiempo o la evolución anterior que locoloca en la dinámica actual.

Este es el enfoque aplicado en los casos estudiados en el presente ensayo, ya que al analizarlos entérminos ontológicos y metodológicos, debemos destacar que la especie de “depredadores simples”es una “especie” estrictamente teórica, es decir no existe tal especie en la realidad, sin embargo alconsiderarla teóricamente es factible asignarle características también teóricas tales como una escasadiferencia interindividual, una cognopía y una antropía básicas correspondientes exclusivamente a lacasa de sus presas, o bien una capacidad de aprendizaje nula o “pequeña” que permiten sutratamiento en serie de Taylor en torno al punto de equilibrio del sistema. Estas configuracionesteóricas corresponden a la componente de la teoría como ciencia formal, del mismo tipo que la lógicao las matemáticas. La componente fáctica de la teoría es resultado de su confrontación con larealidad, lo cual conlleva a responder las preguntas sustanciales ¿existe una especie o grupo deanimales cuyas características sean asimilables al concepto teórico de “depredador simple conconductas inelásticas” o al de “depredador simple con capacidad de aprendizaje mínimo”? ¿estasespecies reales son ranas y lobos respectivamente? ¿la dinámica poblacional real de estos grupos oespecies es igual o sustancialmente igual a la dinámica predicha por la teoría? Debemos destacar queestas preguntas significan la exigencia del criterio de falzabilidad que es necesario en cualquier teoría

de cualquier campo de estudio de la realidad.

A fin de considerar las posibilidades del enfoque teórico y su formalismo matemático, consideramosconveniente proponer el siguiente grupo de hipótesis y preguntas teóricas que resultan factibles de ser estudiadas y nos limitaremos a plantear:

1. En virtud del efecto de retroalimentación que tiene la Antropía, es factible establecer una Ley delCrecimiento Antrópico que puede ser deducida de las ecuaciones del Sistema encontradas.

2. Si construimos la noción de Diferencial Antrópico, considerado como la diferencia de Antropía entre

dos objetos y la noción de Diferencial Antrópico General como la suma de los Diferenciales Antrópicosde un Sistema, puede deducirse que el Diferencial Antrópico General crece con la Antropía Total, delo cual deriva una Ley de crecimiento del Diferencial Antrópico General.

3. La concentración de antropía en un subsistema tiene como efecto una concentración creciente a costade otros subsistemas, esta concentración se mantendrá hasta puntos de inflexión derivados dedesequilibrios que afectan la permanencia de los subsistemas.

4. Cada subsistema tomará del Sistema total una parte que dependerá de su capacidad de extracción,

en una especie de relación alométrica, esta capacidad dependerá directamente de la Antropía delsubsistema. De esta manera un subsistema tonará más Antropía del Sistema Total en la medida quetiene más Antropía, dando lugar a una Ley de la Concentración Creciente de la Antropía.



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