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Position du problème et modélisation Méthodes numériques Quelques exemples Conclusions et perspectives

Solveur itératif pour la résolution desystèmes couplés fluide structure

Couplage Code_Saturne Code_Aster Salomé YACS

Elisabeth Longatte

EDF R&DCollaboration MFEE / SINETICS / AMA / LaMSID

Novembre 2010


Objectifs

1 Position du problème et modélisation

2 Méthodes numériques

3 Quelques exemples

4 Conclusions et perspectives


Equations de conservation

Fluide homogène newtonien en écoulement incompressible, deviscosité constante et uniforme

divU = 0 Ωf

1UR

dUdt

= − 1F 2

ReZ − gradp +

1RE

∆U Ωf

Solide en petites transformations, de matériau élastique linéaireisotrope

D∂2ξ

∂t2 = −UR2

F 2R

eZ + divσ Ωs

D12(∇tξ +∇ξ) = (1 + ν)σ − νTr(σ)1 Ωs


Equations d’interface

Condition cinématique

URU(x) = D∂ξ

∂t(X , t) Γfs = Ωf ∩ Ωs

Condition dynamique

CY [−p(x)1 +2

REd(x)].n(x) = σ(x).n(x) Γfs = Ωf ∩ Ωs

avec CY = MUR2

Couplage interfacial

x = x = X + Dξ


Problème modèle

Petites vibrations d’une paroi solide rigide indéformable auvoisinage d’un fluide parfait en écoulement à potentiel

divU = 0dUdt

= −gradp

avec U = URU

Développement à l’ordre 1 en λ

U = V + λv p = P + λp

avec λ = D << 1

et V = ∇Ψ


Problème modèle

Equations linéarisées

∇iv i = 0

∂v i

∂t+∇j(V iv j + V jv i) +∇ip = 0

Après développement

∇iv i = 0

∂v i

∂t+∇i [v j(∇jΨ)] + (∇jΨ)[∇jv i −∇v j ] +∇ip = 0


Problème modèle

La solution est de la forme

v i = xi avec v i = −∇i π

π fonction potentielle à moyenne nulle solution de :

∆π = 0

−π − (∇jΨ)(∇j π) + p = 0

Expression de la pression fluctuante

p = π + V .∇π


Evolution spatio temporelle de l’interface

Condition à la paroi vibrante

(V + v).n′ = xs.n′ sur Σ′


Condition à la paroi vibrante

Ordre 0

V .n = 0 sur Σ

Ordre 1

[(V + v).n′]|Σ′ =

V (M).n + V (M).(n′ − n) + [V (M ′)− V (M)].n + (v .n)|Σ

D’où

v .n|Σ = xs.n + V (M).∇Σ(xs.n) + (divΣV )(xs.n)

∂π

∂n |Σ= −xs.n − (divΣV )xs.n − V .∇Σ(xs.n)


Effet du fluide en écoulement sur les mouvements de la structure

Soit une base de modes propres (sans fluide) Xi(r)

xs = Σai(t)X i(r)

Expression de la pression fluctuante

xfi = −∇iπ p = π + V .∇π

∂π

∂n= ˙xs.n − (divV )xs.n − V .∇(xs.n)

implique p(r , t) = Σ[ajΦ1j (r) + ajΦ

2j (r) + ajφ

3j (r)]

Matrice de couplage

F = −[mij ]A + [m′ij ]VA + ([m

′′

ij ]V2o + [m

′′′

ij ]P)A


Résolution du système couplé

Problème modèle

F = −[mij ]A + [m′ij ]VA + ([m

′′

ij ]V2

+ [m′′′

ij ]P)A

Termes de composition de vitesse VA engendrant unamortissement (positif ou négatif)

Termes quasi-statiques V2A et PA

Classe 1 : développement en petites perturbationsRelation linéaire entre cinématique et distribution decontrainte à l’interface

Cas linéaire : résolution d’un problème aux valeurs propresCombinaison avec une méthode de superpositionCas non linéaire : introduction de corrélations empiriques


Résolution du système couplé

Classe 2 : méthode itérativeNon linéarité de l’interface

Conditions aux limites non connues explicitement, nonrésolues implicitement à l’interfaceRésolution par une méthode itérative (point fixe)

Conditions aux limites imposées explicitementRecherche d’une solution satisfaisant les conditions decompatibilité à l’interface


Opérateur de Dirichlet Neumann

Méthode itérativeFormulation non linéaireRelaxation, stabilité conditionnelle

Fonction du module de couplageAvancée en temps (convergence, point fixe)Transferts de champs entre modèles fluide et solide(cinématique et contraintes à l’interface)

FFF f = F(uuuifs)

uuuifs = U(FFF f )

uuuifs = U F(uuuifs)


Avancée en temps

Méthode de point fixePrédiction du déplacement de l’interface

uuun+1,kfsi = uuufsi

(uuun+1,k−1

s , uuun+1,k−1s

)Résolution du système fluide

pn+1,k = p(pn,vvvn

f ,uuun+1,kfsi

)vvvn+1,k

f = vvv(pn,vvvn

f ,uuun+1,kfsi

)Calcul des contraintes exercées par le fluide sur la paroisolide

FFF n+1,kf = FFF

(pn+1,k ,vvvn+1,k

f )


Avancée en temps

Méthode de point fixeRésolution du système solide

uuun+1,ks = uuu

(uuun

s , uuuns , uuu

ns ,FFF

n+1,kf

)Convergence sur le déplacement∥∥∥uuun+1,k

s − uuun+1,k−1s

uuun+1,0s

∥∥∥ ≤ ε

Passage à l’itération suivante ou sous itération


Algorithme de résolution


Exemples of prédicteurs

Prédicteurs explicites (déplacement)

uuuP,n+1s = uuun

s

uuuP,n+1s = uuun

s + ∆tuuuns

uuuP,n+1s = uuun

s +3∆t

2uuun

s −∆t2

uuun−1s

uuuP,n+1s = uuun

s + ∆tuuuns +

∆t2

2uuun

s

uuuP,n+ 1

2s = uuun

s +∆t2

uuuns

uuuP,n+ 1

2s = uuun

s +∆t2

uuuns +

∆t2

8uuun

s

uuuP,n+ 1

2s = uuun

s +5∆t

8uuun

s −∆t8

uuun−1s



Prédicteurs explicites (contrainte)

fff P,n+1f = fff n

f

fff P,n+1f = fff n+1

f

fff P,n+1f =

12

fff nf +

12

fff n+1f

fff P,n+1f = 2fff n

f − fff P,nf

fff P,n+1f = 2fff n+1

f − fff P,nf



Prédiction correction (déplacement initial)

uuuP,n+1s = uuun

s +3∆t

2uuun

s −∆t2

uuun−1s

Prédiction correction (boucle itérative)

uuuP,n+1,ks = uuun+1,k−1

s


Propriétés de convergence

Conservation du bilan d’énergieMéthode de prédiction correction (explicite)


Propriétés de convergence

Méthode itérativeStabilité conditionnelle


Transfert de champs

Méthode de projectionPoids résiduels, interpolationsInterfaces non conformes

uuu[f ,j] =ns∑

i=1

Πijuuu[s,i] Ξs,i =

nf∑j=1

Ξf ,jΠij


Transfert de champs

CondensationCompatibilité des modélisations de l’interface (formulation,discrétisation, maillage, dimension)Condensation 2D ou 3D vers 1D (éléments poutres)Calcul de moyennes spatiales des champs pariétaux


Module de couplage


Exemples

Décomposition en problèmes élémentairesEffets du fluide (sans écoulement permanent)Accrochage fréquentielEffets induits par la turbulence (effets de Reynolds)Bifurcation instationnaire (couplage non conservatif)


Exemple 1

Petits mouvements vibratoires d’un cylindre dans unréseau de cylindres fixes soumis à un écoulementtransversal en régime laminaire

Modélisation


Exemple 1


Vitesse réduite critique d’instabilité dynamique


Exemple 1


Evolution de la fréquence et de l’amortissement enfonction de la vitesse réduite


Exemple 1


Comparaison au modèle théorique de Connors

URC

fnD= KConnors

[m2πξ

ρf D2

]1/2


Exemple 1


Post instabilité


Exemple 2

Petits mouvements vibratoires d’un réseau de cylindressoumis à un écoulement transversal en régime laminaire

Modélisation


Exemple 2

Petits mouvements vibratoires d’un réseau de cylindressoumis à un écoulement transversal en régime laminaire

Critère de stabilité (phase)

CFS = −FosinΦ

ωxo


Exemple 3

Petits mouvements vibratoires d’un conduit flexibleparcouru par un écoulement axial interne en régimelaminaire

Modélisation


Exemple 3


Couplage non conservatif


Exemple 3


Couplage non conservatif


Exemple 4

Vibrations induites par le sillage d’un cylindre rigidesoumis à un écoulement transverse turbulent

Modélisation LES (Re = 3900)


Exemple 4


Accrochage


Exemple 4


Accrochage


Exemple 4


Portrait de phase


Exemple 5

Petits mouvements vibratoires d’un réseau de cylindressoumis à un écoulement transverse turbulent

Modélisation


Conclusions et perspectives

SynthèseModule de couplage

Démonstrateur prototypeAdhérence aux versions de développement deCode_Saturne, Code_Aster et SaloméPerformance, CPU, parallélisme

Verrous à leverPassage à l’échelle réelle

Réduction de modèleHomogénéisationCouplage de modèles (micro macro, hybride RANS LES)

Documents

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