Sommaire de la séquence 5 - f2.quomodo.comf2.quomodo.com/0DC3D9A1/uploads/203/Maths -Sequence-05.pdf · nombre 1 dans la cellule D2, puis la formule du périmètre de la figure 2

Sommaire de la séquence 5

Séance 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Je retrouve des formules connues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

Séance 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Je calcule en fonction de . . . et je découvre les équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Séance 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114J’étudie la notion d’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Séance 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Je résous des équations complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Séance 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119J’applique la distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Séance 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Je supprime des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Séance 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Je développe une expression de la forme (a+b)(c+d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Séance 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Je résous des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Séance 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128J’effectue des exercices de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

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©Cned-2009

Objectifs Calculer la valeur d’une expression littérale .

Réduire une expression littérale .

Développer une expression littérale .

© Cned – Académie en ligne

© Cned, Mathématiques 4e — 109

Séquence 5séance 1 —

Séance 1Je retrouve des formules connues

Avant de commencer cette séance, lis attentivement les objectifs de la SÉQUENCE 5.Prends une nouvelle page de ton cahier de cours et de ton cahier d’exercices et écris en haut de cette page : « SÉQUENCE 5 : DÉVELOPPEMENTS ».Effectue ensuite le test ci-dessous directement sur ton livret en cochant la ou les bonnes réponses.

je révise les acquis de la 5e1- L’écriture simplifiée de 3 × (a × a + a × 2) est :

® 3 (aa + a2)

® 3 × (a² + 2a)

® 3 (a² + 2a)

® 6a3

2- 17 × 99 est égal à :

® 1 700 – 17

® 17 × 100 – 17 × 1

® 17 × 100 + 17 × 1

® 1 683

3- 16,5 × 3,9 – 6,5 × 3,9 est égal à :

® 10 × 3,9

® 64,35 – 25,35

® (16,5 – 6,5) × 3,9

® 3,9 (16,5 – 6,5)

4- L’expression 5 × (x + 2) peut s’écrire

® 5x + 2

® 5x + 10

® 5(x + 2)

® 7x5- 2x + 5x est égal à :

® 10x² ® (2 + 5)x

® 7x ® 7x²

6- Je choisis un nombre et je calcule la somme du double de ce nombre et de 3. Si je choisis le nombre 2, je trouve :

® 5 ® 10

® 8 ® 7

Effectue les exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 1Retrouve la formule du périmètre de chacune des figures ci-dessous. Chacune de tes expressions littérales devra être la plus simplifiée possible.

a c u

v

x

y

figure 1 figure 2 figure 3 figure 4

Exercice 2Trace une figure dont le périmètre pourrait être donné par l’expression littérale suivante : 8x + 2y.


— © Cned, Mathématiques 4e110

Exercice 3Retrouve la formule de l’aire de chacune des figures ci-dessous. Chacune de tes expressions littérales devra être la plus simplifiée possible.

a x

ay

figure 1 figure 2 figure 3 figure 4

h

c

br

Exercice 4On se propose de trouver une expression littérale de l’aire de cette figure :

1- Noémie propose l’expression littérale suivante : abab

+2

.

Quentin propose celle-ci : 22

a bab

× −

Que penses-tu de leurs propositions ?

2- Manon a trouvé l’expression littérale :

3

2

ab. Qu’en penses-tu ?

Indication : pense à factoriser par ab.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n°2. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.

Séance 2Je calcule en fonction de … et je découvre les équations

Effectue l’exercice suivant sur ton cahier d’exercices.

Exercice 5Voici 3 bateaux tous construits de la même manière : la coque est un trapèze isocèle et la voile un triangle isocèle. Les côtés de même longueur du triangle isocèle mesurent 2 cm de plus que les petits côtés du trapèze.

3 cm

1 cm

4 cm

2 cm

4,5 cm

2,5 cm

a

b

Séquence 5 — séance 2



1- a) Dessine un quatrième bateau en choisissant une mesure pour les petits côtés du trapèze isocèle, en respectant les règles décrites en début d’exercice.

b) Calcule le périmètre des trois bateaux ci-dessus. Tu désigneras par P1, P2 et P3 ces périmètres.

2- Les bateaux étant tous construits sur le même modèle, on décide d’établir une formule pour calculer leur périmètre en fonction de la mesure commune des petits côtés de la coque :

a) Lindsay propose la formule suivante : x + x + x + x + (x + 2) + (x + 2) + (x + 2) Hugo propose : 4 × x + 3 × (x + 2) En remplaçant x par 1, puis 2, puis 2,5 dans chaque formule, regarde si tu retrouves

les périmètres que tu as calculés à la question 1. Les expressions du périmètre de Lindsay et d’Hugo sont-elles correctes ?

b) Ali a été félicité par son professeur. Il a trouvé la formule la plus simple : 7x + 6 Peux-tu expliquer sa réponse ?

c) Quelle mesure faut-il choisir pour x pour que le périmètre du bateau soit égal à 41 cm ?

Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

e retiens ÉCRITURES LITTÉRALES

Simplifications des écritures littérales

Exemples :

Somme : x + x + x = 3x 3x + 5x = 8x

Produit : 3 × (x + 2) = 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6

j

Effectue les deux exercices suivants directement sur ton livret.

Exercice 6Pour chacune des figures proposées, écris une formule pour son périmètre, puis simplifie au maximum l’expression littérale.

figure 1 .........................................................................................................

.........................................................................................................

.........................................................................................................

.........................................................................................................

x cm

x

2x




figure 2 .........................................................................................................

.........................................................................................................

.........................................................................................................

.........................................................................................................

figure 3 : La figure est un carré sur lequel est posé un triangle équilatéral. .........................................................................................................

.........................................................................................................

.........................................................................................................

.........................................................................................................

Exercice 7On souhaite déterminer pour chacune des figures de l’exercice 6 le nombre x pour lequel le périmètre est 42 cm. Pour cela, tu vas utiliser un tableur. Tu peux en télécharger un gratuitement sur internet (openoffice calc sur le site www.openoffice.org). Tu peux aussi utiliser Microsoft Excel.

Sur ta feuille de calcul, recopie le contenu des cellules A1, B1, D1, E1, G1, H1.

a) On va calculer le périmètre de la figure 1 pour x = 1 : inscris le nombre 1 dans la cellule A2, puis dans la cellule B2, écris la formule du périmètre en tapant « =14* » puis en cliquant dans la cellule A2 (le tableur calculera alors 14 × le contenu de la cellule A2). A2 s’inscrit alors en bleu dans la cellule :

Tape sur la touche ENTER et le résultat attendu s’inscrit dans la cellule B2 :


x

x + 3

x

1



Retourne maintenant dans la cellule A2, puis tape un autre nombre, 2 par exemple, suivi de la touche ENTER. Le contenu de la cellule B2 se modifie et tu obtiens le résultat du périmètre pour x = 2.

Continue ainsi à changer la valeur du nombre de la case A2 jusqu’à obtenir la réponse souhaitée pour le périmètre, à savoir 42 cm. Pour quelle valeur de x obtiens-tu 42 cm ? ……………………

b) Complète ta feuille de calcul pour le périmètre de la 2e figure ; commence par entrer le nombre 1 dans la cellule D2, puis la formule du périmètre de la figure 2 dans la cellule E2 (pense à commencer ta formule par le symbole =, n’oublie pas le symbole « * » pour le × et pense à cliquer dans la cellule D2 à la place du x). Tu dois obtenir 21 dans la cellule E2.

Pour quelle valeur de x obtiens-tu 42 cm ? ……………………

Indication : pense aux nombres décimaux !

c) Procède de la même manière pour la 3e figure.

Pour quelle valeur de x obtiens-tu 42 cm ? ……………………

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices. Prends ton temps et essaie de bien réfléchir aux deux questions posées.

Exercice 81- Parmi les quatre « phrases » mathématiques ci-dessous, lesquelles sont des égalités ?

a) 5 + 7 = 12 b) – 6 = –2 × (–3) c) AB = 3 cm

d) EF ≤ 9 e) 2 + 4x = 14 f) 7(4x – 5) = 28x – 35

g) 1 m = 100 cm

2- Parmi les égalités ci-dessus, lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses ?

Lis attentivement le paragraphe ci-dessous.

e retiens Définition :

Une égalité est une expression mathématique qui comporte un signe égal.

Exemples :

x = 3 59 = 31 − 2

Remarque : une égalité peut être vraie ou fausse. L’égalité 7 = 8 est fausse !

j

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 91- L’égalité 5 + 3x = 2 est-elle vraie ? Si ce n’est pas toujours le cas, trouve une valeur de x pour laquelle 5 + 3x = 2.

2- Je choisis un nombre. Je multiplie ce nombre par 3. J’ajoute au résultat 5. J’obtiens 2. Quel nombre avais-je choisi au départ ?





Séance 3J’étudie la notion d’équation

Dans l’exercice 7 de la séance 2, tu as cherché a) pour quelle valeur de x on avait 14x = 42 b) pour quelle valeur de x on avait 12x + 9 = 42 c) pour quelle valeur de x on avait 5x + 6 = 42Ces trois égalités (en gras) s’appellent des équations.Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe ci-dessous.

e retiens ÉQUATION

Une équation est une égalité dans laquelle un nombre est inconnu. Ce nombre est sou-vent désigné par la lettre x. Résoudre une équation signifie trouver la (les) valeur(s) du nombre inconnu (s’il en existe) qui rend(ent) l’égalité vraie. Toute valeur qui rend l’éga-lité vraie s’appelle une solution de l’équation.

Exemple :

12x + 9 = 42 est une équation. 12x + 9 est le membre de gauche et 42 celui de droite. Résoudre cette équation signifie trouver la (les) valeur(s) de x (s’il en existe) pour laquelle (lesquelles) l’égalité est vraie. 2,75 est une solution de cette équation car 12 × 2,75 + 9 = 42

Remarque : Le signe « = » a un nouveau « sens » dans l’écriture d’une équation. Il pose en fait une question : « pour quelle(s) valeur(s) de x obtient-on une égalité vraie ? »

j

Effectue l’exercice ci-dessous dans ton cahier d’exercices.

Exercice 10Pour chacune des équations, on propose 3 valeurs. Une seule des trois est une solution, laquelle ?

a) 4x – 8 = 5 b) 8x + 7 = 2 c) – 3x + 2 = 2x – 7

valeur 1 : x =

3

4valeur 1 : x = – 1 valeur 1 : x =

9

5

valeur 2 : x =

13

4valeur 2 : x = 0,625 valeur 2 : x = 9

5

valeur 3 : x = 3,2 valeur 3 : x = 5

8valeur 3 : x = – 2

Effectue l’exercice suivant sur ton livret.




Exercice 111- Fais correspondre à chaque phrase une équation.

Quel est le nombre qui ajouté à 4 donne 1 ? ü ü x

25=

Quel est le nombre qui multiplié par 3 donne – 5 ? ü ü x – 7 = 3

Quel est le nombre qui, lorsqu’on lui soustrait 7, donne 3 ? ü ü x × 3 = –5

Quel est le nombre qui divisé par 2 donne 5 ? ü ü x + 4 = 1

2- Résous les quatre équations de la question précédente.


Exercice 12Résous les équations suivantes :

a) 3 + y = – 4 b) 7 × z = – 35 c) 8 = 3 + u d) 4 8

11AB=

Exercice 13Mon triple est égal à – 7. Qui suis-je ?

Exercice 14Essaie de résoudre l’équation : 5 + 3x = 1.

Aide : essaie de calculer 3x avant de calculer x !

Exercice 151- Peux-tu trouver des nombres dont le carré est égal à – 1 ?

2- Résous l’équation : x2 = – 1.

Exercice 16Ali et Lindsay essaient de résoudre l’équation : 5y + 100 = 2y + 150.1- Ali essaie de trouver des solutions entières, mais il ne trouve pas de solution. Lindsay utilise un

tableur, écrit dans la case B1 : 5 * A1+100, dans la case C1 : 2 * A1 + 150. Elle rentre ensuite des valeurs diverses dans la case A1 : 3 ; 2 ; – 1 ; – 2. Pour chacune de ces valeurs, elle n’obtient pas des nombres égaux dans les cases B1 et C1.

Essaie de chercher des solutions par un calcul direct comme Ali, puis utilise un tableur comme Lindsay. Arrives-tu à trouver une solution ?

2- Noémie dit : « j’ai trouvé une solution :

50

3 ! ».

Vérifie que Noémie dit vrai.

Pour terminer cette séance, reporte-toi à la fiche de calcul mental n° 6. Effectue ensuite la série 4 de cette fiche.




Séance 4Je résous des équations complexes

Effectue l’exercice suivant directement sur ton livret.

Exercice 17Au marché, le marchand de fruits et légumes utilise une « balance de Roberval ». C’est une ancienne balance, représentée ci-contre. Le principe de cette balance est simple : lorsqu’il y a le même « poids » sur chaque plateau de la balance, l’aiguille centrale est en position verticale. On dit alors que la balance est en équilibre.

Par exemple, on pose un légume sur le plateau gauche de la balance, l’aiguille se penche vers la gauche.

Si on ajoute à droite des poids qui sont plus lourds que le légume, l’aiguille de la balance se penche vers la droite.

Lorsque la balance est en équilibre, les deux objets sur chacun des deux plateaux ont le même « poids » : ici, le légume pèse 170 g.

100 g50 g

20 g

1- On a représenté ci-dessous les plateaux de la balance du marchand sur lesquels sont posés des pommes et des poids. L’objectif est de trouver le « poids » d’une pomme.

1ère étape :

On traduit par une équation l’équilibre de cette balance en prenant pour x le poids d’une pomme en g.

Complète les pointillés.

2x + …… = …….. 2ème étape :

En enlevant 50 g de chaque côté, l’équilibre est maintenu. Complète les pointillés.

2x = ……….

3ème étape :

Tu connais maintenant le « poids » des 2 pommes. Quelle opération te permet de trouver le « poids » d’une pomme ? …………………………………………. Donc x = ………….


50 g

200 g

50 g

50 g

200 g

50 g

50 g200 g

50 g



2- De la même manière qu’au 1, traduis chaque équilibre par une équation puis trouve le poids y en g d’une clémentine.

1ère étape :

5y + ………… = …………………..

2ème étape :

………………… = …………………..

3ème étape :

………………… = …………………..

y = …………

Le poids d’une clémentine est donc ……………g soit environ

……………. g (arrondi au dixième de g près).


e retiens PROPRIÉTÉ (ADmISE)On ne change pas une égalité si on ajoute (ou soustrait) à ses deux membres un même nombre.On ne change pas une égalité si on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre non nul.

Exemple : Résoudre l’équation 5y + 100 = 2y + 150

5y = 2y + 50 on a retranché 100 aux deux membres

3y = 50 on a retranché 2y aux deux membres

y = 50

3 on a divisé chaque membre par 3

On contrôle en remplaçant y par

50

3 dans chaque membre :

5 ×

50

3 + 100 =

250

3 +

300

3 =

550

3 2 ×

50

3 + 150 =

100

3 +

450

3 =

550

3

La solution de l’équation est

503

.

j


100 g 100 g50g

100 g 100 g

50g

50g




je comprends la méthodeRésoudre l’équation : 4x – 3 = 8x + 4

1- Je fais disparaître le terme en x du membre de droite en retranchant 8x à chaque membre.

4x – 3 – 8x = 8x + 4 – 8x

2- Je simplifie chaque membre, les « x » ont disparu du membre de droite.

– 4x – 3 = 4

3- Je fais disparaître le « – 3 » du membre de gauche en ajoutant 3 à chaque membre.

– 4x – 3 + 3 = 4 + 3

4- Je simplifie chaque membre, il ne reste que des « x » dans le membre de gauche, et des nombres dans celui de droite.

– 4x = 7

5- Ensuite, je peux utiliser deux méthodes :

1ère

m

étho

de Je pense à la définition du quotient d’un nombre par un autre nombre non nul.

Le nombre qui multiplié par –4 donne 7 est

7

4− . x =

−= −

7

4

7

4

2èm

e m

étho

de

Je divise chaque membre par – 4 pour trouver la valeur de x cherchée.

−

−=

−

=−

= −

4

4

7

47

4

7

4

x

x

Effectue les exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 181- Résous l’équation : 3x – 5 = 5x + 1

2- Résous l’équation : 7x + 6 = 3x – 2

3- Résous l’équation : 9x – 8 = – x – 3

Exercice 19Noémie et Quentin ont réalisé chacun une feuille de calculs à l’aide d’un tableur.

Noémie fait calculer dans la case B1 du tableur :

Le double du nombre qui se trouve dans la case A1, résultat auquel on ajoute 5, et on divise le tout par 3.

Quentin fait calculer dans la case B1 du tableur de son ordinateur :

Le nombre qui se trouve dans la case A1 moins 8, résultat que l’on divise par 2.a) Complète les formules que doivent écrire Noémie et Quentin :

Noémie : B1 = ……………………………………………

Quentin : B1 = ……………………………………………




b) Pour quelle(s) valeur(s) (s’il en existe) du nombre de la case A1 Quentin et Noémie obtiennent-ils le même nombre dans la case B1 ? Appelle x le nombre de la case A1.


Séance 5J’applique la distributivité

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 20Aux questions du professeur « Qu’est-ce qu’une somme ? », « Qu’est-ce qu’un produit ? », Ali a répondu : « Une somme, c’est par exemple 6 + 15, et un produit 15 × 3 ».

« C’est très bien, mais alors 6 + 15 × 3, c’est une somme ou un produit ? » a demandé le professeur ?1- Quelle serait ta réponse ?

2- Quentin a proposé : « C’est une somme puisque c’est le signe + qui apparaît en 1er dans le calcul ». Mais Manon n’est pas d’accord : « Non, c’est un produit car la multiplication a priorité par rapport à l’addition ». À ton avis, qui a raison ?

3- Effectue le calcul suivant : 6 + 15 × 3

Quelle opération as-tu fait en dernier ?

Cette opération te permet de déterminer si l’expression est une somme ou un produit … alors conclus !


e retiens Pour déterminer si une expression est une somme ou un produit, on doit déterminer l’opération qui sera faite en dernier. Si cette opération est une addition (respectivement une soustraction), on conclura que c’est une somme (respectivement une soustraction) et si cette opération est une multiplication, on conclura que c’est un produit.Exemples : 5 × 3 + 8 est une somme car l’opération faite en dernier est une addition.

3 × (x – 2) est un produit car l’opération faite en dernier est une multiplication.5 × 3 + 8 est : « la somme du produit de 5 par 3 et de 8 »3 × (x – 2) est : « Le produit de 3 par la différence de x et de 2 »

j

Effectue les 3 exercices suivants directement sur ton livret.




Exercice 21Pour chaque expression, entoure la bonne réponse.

7x + 6 somme produit

22

a bab

× − différence produit

4 × x + 3 × (x + 2) somme produit

2(5x – 3) différence produit

3 × x × y + 1 somme produit

(x + 6) × (x + 5) somme produit

Exercice 22Fais correspondre à chaque phrase l’expression littérale correcte :

La somme de x et du double de la somme de x et de 6 ü ü (2x + 6) × x

Le produit du double de x par la somme de x et de 6 ü ü 2 × 6 + 2 × x

Le produit de la somme de 2x et de 6 par x ü ü x + 2 × (x + 6)

La somme du double de 6 et du double de x ü ü 2x × (x + 6)

Exercice 23De la même manière que dans l’exercice précédent, écris les phrases qui traduisent les expressions littérales.

6 + 8 × x...................................................................................................

...................................................................................................

3 × (x + 2)...................................................................................................

...................................................................................................

2x × 2y...................................................................................................

...................................................................................................

2x × 4 + x...................................................................................................

...................................................................................................

Effectue l’exercice ci-dessous sur ton cahier d’exercices.

Exercice 24On prend pour unité de longueur le cm. Le rectangle RECT a pour longueur x et pour largeur 5.

L’objectif de l’exercice est de trouver pour quelle valeur

de x l’aire du rectangle TRIO est égale aux 35

de l’aire

du rectangle RECT.


T

R E

C

I

O

5 cm

3 cm

x cm



1- Exprime RI en fonction de x.

2- Déduis-en une expression littérale de l’aire du rectangle TRIO, puis développe cette expression en utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction.

3- Traduis par une équation l’objectif de l’exercice, en utilisant l’expression trouvée au 2).

4- Résous cette équation et réponds au problème posé.

Prends ton cahier de cours et recopie le paragraphe suivant.

e retiens DÉVELOPPER ET FACTORISER

Développer un produit, c’est transformer un produit en une somme ou une différence :k (a + b) = k a + k b k( a – b) = k a – k b exemple : exemple :7 (x + 2) = 7x + 7 × 2 = 7x + 14 5 (x – 3) = 5x – 15

Factoriser une somme ou une différence, c’est transformer une somme ou une différence en un produit :k a + k b = k (a + b) k a – k b = k ( a – b) exemple : exemple :9 x + 9 y = 9 (x + y) n t – n c = n ( t – c)

j


Exercice 25Développe les expressions suivantes :

A = 5 (x – 9) B = −3 (4y + 1)

C = −2 (−3x + 5y) D = 4x (7 – 2x)

Exercice 26Factorise les expressions suivantes :

A = 12a – 12b B = 27u + 36v – 45w

C = 5x – 5 D = −12y + 24z

Exercice 27Le rectangle ABCD de longueur y et de largeur x est décomposé en 3 figures : le carré BOUT de côté 2, le rectangle TUNA et le rectangle DNOC.1- Trouve les expressions littérales des aires des

quadrilatères ABCD, TUNA, BOUT et DNOC. Donne leur forme développée.

2- En additionnant les aires de TUNA, BOUT et DNOC, retrouve l’expression de l’aire de ABCD.

3- Trouve une expression littérale des périmètres des quadrilatères ABCD, TUNA, BOUT et DNOC. Donne la forme factorisée des périmètres de ABCD et DNOC.


N

A

C

T

U O

B

D

y cm

x cm

2 cm



Exercice 28Laquelle de ces figures a pour périmètre 5 (x + 1) ?

x

0,5

figure 1

x + 2,5

x

figure 2

x

0,25

figure 3


Séance 6Je supprime des parenthèses

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 29Le professeur demande « simplifiez cette expression littérale : 3x + (5 – 9x) + 2 – (7 – 6x) »

Hugo obtient 0, Quentin trouve – 12x et Manon a pour résultat 18x – 10.

1- À l’aide d’un calcul pour quelques valeurs de x, détermine parmi les trois élèves celui ou celle qui semble avoir la bonne réponse.

2- Le professeur sait que les erreurs proviennent du mauvais calcul de la partie « 2 – (7 – 6x) » de l’expression.

Pour expliquer ce point, il rappelle que multiplier un nombre par (–1) revient à prendre son opposé.

a) Complète les pointillés – 7 = …… × 7 8 = …… × (– 8)

b) Complète les pointillés en développant l’expression.

– (a + b) = (–1) × (a + b) = ……………………………………………………..

Le professeur conclut en disant : « C’est finalement simple, l’opposé d’une somme, c’est la somme des opposés ! ».

c) À l’aide de la règle prouvée précédemment et donnée par le professeur, simplifie l’expression littérale : 2 + 3x + (5 – 9x) – (7 – 6x).





e retiens SUPPRESSION DES PARENThèSES• On peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe +.Exemples :

8 + (3 – 13) = 8 + 3 – 13 = − 2 3x + (5 – 9x) = 3x + 5 – 9x = − 6x + 5• On peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe −, il suffit de se souvenir de

la propriété : « l’opposé d’une somme est la somme des opposés ».Exemples :

8 – (3 – 13) = 8 – 3 + 13 3x – ( −7 + 6x) = 3x + 7 – 6xL’opposé de 3 est – 3. L’opposé de –7 est 7.

L’opposé de –13 est 13. L’opposé de +6x est –6x.

8 − (3 – 13) = 8 − 3 − (−13) = 8 − 3 + 13

3x − (−7 + 6x) = 3x − (−7)− (+6x) = 3x + 7 − 6x

j


je comprends la méthodeSupprime les parenthèses, puis simplifie : – (6y – 1) – (– 5y + 3)

Simultanément, je change les signes dans chaque parenthèse car elles sont précédées d’un signe «−».

–(6 y – 1) – (–5 y + 3) = −6 y + 1 + 5 y – 3

Je simplifie en regroupant les termes semblables :

−6y + 1 + 5 y – 3 = – y – 2


Exercice 30Supprime les parenthèses précédées d’un signe « – » :

A = − (4 + 5x) C = − (13x – 5y + 3) E = − (−10x – 3)

B = − (9x – 5) D = − (−1 + 7a) F = − (7 – x + 2y)

Exercice 31Supprime les parenthèses puis simplifie les expressions littérales suivantes :

A = 6a – (7 – 9a) + (−7a + 2) C = − (5c – 5) – (5c – 5)B = 19 + (5 – b) – (b + 1) D = − 4 – (6d + 1) – (7 – 3d)




Exercice 32Le professeur de mathématiques propose aux élèves de travailler par groupes de quatre afin de répondre au problème suivant :Trouver le plus possible d’expressions littérales pour l’aire du polygone ACDEGIJK.

Lindsay, Manon, Hugo et Ali travaillent dans le même groupe et décident de se répartir le travail de la manière suivante :Lindsay calculera l’aire du polygone en additionnant les aires des rectangles ABJK, BCHI et DEGH.Manon calculera l’aire du rectangle MENK puis retranchera les aires des rectangles MDCA et GNJI.Hugo calculera l’aire du rectangle MEGL, retranchera l’aire de MDCA et ajoutera l’aire de LIJK.Ali vérifiera que les 3 expressions de ses camarades sont bien égales.1- Quelles sont les expressions littérales de Lindsay, Manon et Hugo ?

2- Fais le travail d’Ali.

Exercice 33Dans la figure ci-contre, les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Calcule x c’est-à-dire FE.


Séance 7Je développe une expression de la forme (a + b)(c + d)

Effectue les deux exercices suivants dans ton cahier d’exercices.

Exercice 34On a découpé le rectangle LIDU ci-contre en 4 rectangles UBTO, BLET, ISTE et DOTS.

1- Donne deux expressions littérales de l’aire de LIDU :• la 1ère sous la forme d’un produit• la 2ème sous la forme d’une somme, en

additionnant les aires des rectangles UBTO, DOTS, BLET et ISTE.

2- En t’aidant de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition vue à la séance 5, trouve une méthode pour passer de la 1ère à la 2ème expression.


A B C

HI

JK

L

D E

F

G

N

M

y

x

1

B D

7 cm

2 cm D ∈ [AB]E ∈ [AC]C ∈ [EF]FE = x

A

E

C

F

2 cm 3 cm

U B L

E

ISD

O T

x

y

2

5




e retiens Double distributivitéQuels que soient les nombres a, b, c et d : (a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

Exemples : 76 × 37 = (70 + 6)(30 + 7) = 70 × 30 + 70 × 7 + 6 × 30 + 6 × 776 × 37 = 2 100 + 490 + 180 + 42 = 2 812

(x + 5)(y + 2) = x × y + x × 2 + 5 × y + 5 × 2 = xy + 2x + 5y + 10

j


je comprends la méthodeDévelopper et réduire : (3x – 5)(–2x – 1)

Dans un premier temps, je pense que :

(3x + (−5))(−2x + (−1))(3x −5)(−2x −1) =

Je multiplie d’abord 3x par (–2x + (–1)). J’obtiens : 3x × (−2x) + 3x × (−1)

Je multiplie ensuite –5 par (–2x + (–1)). J’obtiens : –5 × (–2x) + (–5) × (−1)J’écris. (3x – 5)(–2x – 1) = 3x × (–2x) + 3x × (– 1) + (–5) × (– 2x) + (–5) × (–1)Je simplifie chaque produit. (3x – 5)(–2x – 1) = –6x² – 3x + 10x + 5

Je regroupe les termes semblables : (3x – 5)(–2x – 1) = –6x² + 7x + 5

Effectue les deux exercices suivants sur ton cahier d’exercices.

Exercice 35Développe puis réduis les expressions suivantes.

A = (x + 3)(y + 1) B = (2x + 5)(3x + 2) C = (x – 2)(6x + 7)

D = (3a – 2)(a – 3) E = (3 – y)(y – 6) F = (−5x – 1)(2x – 3)

Exercice 36Calcule les aires des figures bleues.

y + 5

x − 2

3x + 2

y

2y

2

3





Séance 8Je résous des problèmes


je comprends la méthodemettre en équation le problème ci-dessous :

Louis, Margot et Lorraine sont frère et sœurs. Louis a 2 fois plus de CD que Margot et Lorraine a 12 CD de moins que Margot. À eux trois, ils ont 96 CD. Combien chacun a-t-il de CD ?Je choisis l’inconnue. Je choisis d’appeler x le nombre de CD de Margot.Je traduis le problème posé par une équation d’inconnue x.

Le nombre de CD de Louis est le double de celui de Margot soit 2x.

Lorraine a 12 CD de moins que Margot, elle en a donc : x – 12

Si j’ajoute le nombre de CD de chacun, je trouve 96.l’équation suivante traduit le problème posé :

2x x xnombre de CD

de Louisnombre de CD

de

+ +

Margot

−− =12 96nombre de CD

denombre total

de CDLorraine

{ { { {Je résous l’équation. 2x + x + x – 12 = 96

4x – 12 = 96

4x = 96 + 12

4x = 108

x = 108

4 x = 27

Je réponds au problème posé. x = 27 donc Margot a 27 CD.

Louis en a le double, donc il a 54 CD.

Lorraine en a 12 de moins que Margot, elle a donc 15 CD.Je vérifie que la solution trouvée convient en reprenant l’énoncé.

Je vérifie que le total du nombre de CD fait bien 96 : 27 + 54 + 15 = 96.


Exercice 37Le professeur de Lindsay, Ali et Hugo donne le problème suivant à résoudre :« Louis, Margot et Lorraine sont frère et sœurs. Louis a 4 ans de plus que Margot, et Margot a 2 fois l’âge de Lorraine. La somme de leurs trois âges est 34 ans. Quels âges ont Louis, Margot et Lorraine ? »1- Lindsay choisit pour inconnue l’âge de Margot. Comment va-t-elle résoudre le problème posé ?

Aide-toi de la méthode précédente, suis bien les 5 étapes !2- Ali pense que la mise en équation de ce problème est plus simple si on choisit pour inconnue l’âge de

Lorraine. Écris sa résolution. Te semble-t-elle plus simple que celle de Lindsay ?3- Hugo a choisi pour inconnue l’âge de Louis. Écris sa résolution. Que penses-tu de son choix ?




Exercice 38J’achète un billet de train avec une réduction de 3 %. Je paie 145,5 €.

Quel était le prix du billet avant la réduction ?

Exercice 39Un rectangle a une longueur égale au triple de sa largeur. Sa largeur est de (x – 3) cm et son périmètre est de 56 cm. Quelle est sa longueur ?

Exercice 40Léa achète dans un théâtre pour un groupe de 18 personnes des places à 15 € et à 21 €. Sachant qu’elle a dépensé au total 300 €, combien a-t-elle acheté de places de chaque sorte ?

Pour l’exercice suivant, tu effectueras les deux premières questions directement sur ce livret et le reste sur ton cahier d’exercices.

Exercice 41Voici un programme de calcul :

Étape 1 : Choisis un nombre.

Étape 2 : Multiplie-le par 2.

Étape 3 : Retranche 3 au résultat précédent.

Étape 4 : Multiplie le résultat précédent par 5.

Étape 5 : Retranche le décuple du nombre de départ. Le décuple d’un nombre est 10 fois ce nombre.

Étape 6 : Ajoute 15.

1- Manon, Quentin et Noémie ont choisi chacun un nombre différent : 3 pour Manon,

5

2

pour Quentin et − 4 pour Noémie. Complète les étapes de leurs calculs ci-dessous :

manon Quentin Noémie

Étape 1 : 3 Étape 1 :

5

2 Étape 1 : − 4

Étape 2 : 2 × 3 = 6 Étape 2 : ………… Étape 2 : …………Étape 3 : ………… Étape 3 : ………… Étape 3 : …………Étape 4 : ………… Étape 4 : ………… Étape 4 : …………Étape 5 : ………… Étape 5 : ………… Étape 5 : …………Étape 6 : ………… Étape 6 : ………… Étape 6 : …………

2- Que remarques-tu ? ......................................................................................................

3- En prenant n pour le nombre choisi au départ, écris une expression littérale traduisant le programme de calcul.

4- Écris sous la forme d’une conjecture la remarque faite au 2) (reprends l’expression trouvée au 3)

5- Démontre cette conjecture.




Séance 9J’effectue des exercices de synthèse

Tous les exercices de cette séance sont des exercices extraits de sujets du Diplôme National du Brevet. Ils sont à effectuer sur ton cahier d’exercices.

Exercice 42Onagre est un opérateur de téléphonie mobile qui propose les abonnements suivants :

Abonnement A : abonnement 19 €, puis 0,30 € la minute de communication.

Abonnement B : abonnement 29 €, puis 0,20 € la minute de communication.

1- Complète le tableau.

Durée (en minutes) 30 45 60 90Abonnement A (en €) ………….. ………….. ………….. …………..Abonnement B (en €) ………….. ………….. ………….. …………..

2- Soit x le nombre de minutes de communication. Exprime le prix de chaque abonnement en fonction de x.

3- Détermine le nombre de minutes correspondant à un montant de 151 € avec l’abon-nement A.

4- Trouver le nombre de minutes pour lequel les deux tarifs sont égaux.

Exercice 431ère partie

Sur un plan, un terrain rectangulaire est représenté par un rectangle ABCD de largeur AB = 9 cm et de longueur

BC = 12 cm.1- Déterminer l’aire du triangle ACD.

2- Calculer AC.

2ème partie

Les distances sont exprimées en cm et les aires en cm². E est le point du segment [AD] tel que AE = 4 et F est un point de [CD].

1- On suppose que CF = x. Montrer que l’aire du triangle EFD est 36 – 4x

2- Pour quelle valeur de x l’aire du triangle EFD est-elle égale à 24 cm² ?


A E

B C

D

F9 cm

12 cm

4 cm



Exercice 44x est un nombre positif compris entre 0 et 10 ; les longueurs sont exprimées en cm et les aires en cm².

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur.

Il s’agit de savoir s’il existe une valeur de x pour laquelle ABC est un triangle rectangle.

1- Calcule AB et AC lorsque x = 4.

Lorsque x = 4, ABC est-il un triangle rectangle ?

2- Développer et réduire (x + 7)² et (x + 8)²

3- En déduire : AB² − AC² = 2x + 15

4- Pour quelle valeur de x le triangle ABC est-il rectangle ?

Pour terminer cette séquence voici un test, lis attentivement les questions et coche directement la ou les bonnes réponses puis regarde le corrigé.


A

B

C

5

x + 7

x + 8



je m’évalue

1- Une expression littérale du périmètre de cette figure est :

x

x4

A B

C D H

® 2x + 5

® 3x

® 2x + (x – 4) + 4

® Ce n’est pas possible de savoir.

2-L’équation 12x + 8 = –10x – 3 a pour solution :

®

5

2

® –2

®

11

2

®

1

2

3- 5(x + 3) + 3(x – 2) est égal à :

® 8x + 9

® 8x + 1

® 2x + 9

® 8x + 13

4- Parmi ces expressions, laquelle n’est pas un produit ?

® (3x + 1)(2x + 7)

® (3 + x) × 2

® 5x × 2x – 3x + 1

® 7(1 + x)

5- Le produit de la somme de n et de 3 par le quart du triple de n s’écrit :

® n n+ ×3

43

® n n× + ×3

1

43

® n× 3+

3n4

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

® ( )nn

+ ×33

4

6- – (5x + 4) – (3x + 1) est égal à :

® –5x + 4 – 3x + 1

® –5x – 4 – 3x – 1

® 5x – 4 + 3x – 1

® –5x – 4 – 3x + 1

Séquence5 — séance 9



7- (3x – 2)(5x – 1) est égal à :

® 15x² – 13x + 2

® 15x² + 13x + 2

® 15x² + 7x + 2

® 15x² – 7x – 2

8- Sophie, âgée de 39 ans, a deux filles de 8 ans et 5 ans. Dans combien d’années la somme des âges des 2 filles sera-t-elle égale à l’âge de leur mère ?

® Dans 34 ans.

® Dans 31 ans.

® Dans 26 ans.

® Dans 13 ans.

9- Quelle expression traduit le programme suivant : « Choisis un nombre, ajoute 5, multiplie le résultat par le double du nombre de départ, et enfin retranche le décuple du nombre de départ ».

® x + 5 × 2x – 10x

® (x + 5) × 2x – 10x

® 2x²

® x

10- L’aire de la surface bleue est donnée par l’expression :

x

y

2

A C

E F G

B

I D H

® x × y – y²

® (x – y) × y

® x(y + 2) – y(y + 2) – 2(x – y)

® (y + 2)(x – y) – 2(x – y)

Séquence5séance 9 —

AGEC est un rectangle ;(BF) // (CE) ;(HD) // (GE)


Documents

Sommaire de la séquence 5 - f2.quomodo.comf2.quomodo.com/0DC3D9A1/uploads/203/Maths -Sequence-05.pdf · nombre 1 dans la cellule D2, puis la formule du périmètre de la figure 2