SOMME DES ENTIERSSOMME DES ENTIERSEt NOMBRES TRIANGLEEt NOMBRES TRIANGLEExemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 101 + 2 + 3 + 4 = 10

1 3+ 2 6+ 3 10+ 4

Par Clément (9 ans) – Août 20111

Découverte Junior – Gérard Villemin

SOMME de 1 + 2 + 3 + 4 = ?SOMME de 1 + 2 + 3 + 4 = ?

1 2 3 4

11 44

22 33

5

5

10

1 + 2 + 3 + 4 = 10

2

La somme des entiers de 1 à 4 est le nombre triangle numéro 4 (T4).

SOMME de 1 + 2 + … + 9 = ?SOMME de 1 + 2 + … + 9 = ?1 2 3 4

11 9922 88

5 6 7 8 9

33 7744 66

4055

451 + 2 + 3 + 4 + 5 6 + 7 + 8 + 9 =

3

La somme des entiers de 1 à 9 est le nombre triangle numéro 9 (T9).

SOMME de 1 + 2 + … + n = ?SOMME de 1 + 2 + … + n = ?

1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 8 7 6 5 4 3 2 1

1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010

SS

2 S

2S = 9 x 10 et si 9 devient n

2S = n . (n+1) S = n . (n+1) / 2 S = 9 . (9+1) / 2 = 9 x 10 /2 = 9 x 5 = 45

L’astuce, c’est d’écrire une deuxième fois tous les nombres dans l’autre sens. C’est la méthode de Gauss (1777-1855).

4

nIci, n vaut 9Ici, n vaut 9

SSnn = n . (n+1) / 2 = n . (n+1) / 2

n = 11 => s11 = 11 x 12 / 2= 66

n = 50 => s50 = 50 x 51 / 2= 1 275

n = 70 => s70 = 70 x 71 / 2= 2 485

n = 99 => s99 = 99 x 100 / 2= 4 950

n =100 => s100 =100 x 101 / 2= 5 050

S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … 99 + 100 = 5 050.

5

Je sais calculer facilement Je sais calculer facilement 1 + 2 + … jusqu’à 1 + 2 + … jusqu’à n’importe quel nombre (n)n’importe quel nombre (n) avec cette formule: avec cette formule:

Exemples:

La somme des entiers de 1 à 100 est le nombre triangle numéro 100 (T100).

Les points et les traitsLes points et les traits2 points 1 trait

3 points 3 traits

4 points 6 traits

5 points 10 traits

Avec 5 points, il y a 1+2+3+4 = 10 traits

Un en moins

6

+2

+3

+4

1

Calcul de la quantité de traits Calcul de la quantité de traits selon le nombre de points (n)selon le nombre de points (n)

Avec 5 points, il y a 1+2+3+4 = 10 traits

Avec 6 points, il y a 1+2+3+4+5= 15 traits

Avec 5 points, il y a (5 – 1) x 5/2 = 10

Avec 11 points, il y a (11 – 1) x 11/2 = 55

Avec n points, il y a (n – 1) . n / 2

Un en moins

7

La quantité de traits pour 11 points est le nombre triangle numéro 10 (T10).

Somme des entiers de 1 à (n-1)

Je m’amuse à y ajouter les carrés, les cubes et les puissances 4, 5 et 6.

J’ai fait ces calculs à l’aide d’un tableur.

Je remarque que, pour un même nombre n, son carré est plus grand que son nombre triangle: n² > Tn

8

Table des nombres triangleTable des nombres triangle