Sommes

Le symbole

Soit n un entier naturel et In la somme des entiers

impairs 1, 3, 5, …,2n – 1.

In = 1 + 3 + 5 + …+ (2n – 1)

Pour n = 5 : I5 = 1 + 3 + 5 + 7+ 9

Pour n = 4 : I4 = 1 + 3 + 5 + ?+ 7

Pour n = 3 : I3 = 1 + 3 + 5 + ?+ 5 ???

On introduit la notation : 1

(2 1)n

nk

I k

Le symbole

•Plus concis•Ecriture compréhensible même si n = 1, n = 2…•Permet de savoir combien il y a de termes.

La somme n’est pas fonction de k. On peut tout aussi bien écrire :

(k et j sont des variables muettes)1

(2 1)n

nj

I j

Quelques exemples

Le symbole

5

1

( 1)j

j j

1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

1

1n

k n

1

n

k

a an

Le symbole

0 0 0

n n n

k k k kk k k

u v u v

Propriété 1Pour tout entier naturel n et pour toutes suites de nombres (un) et (vn) :

0 0

n n

k kk k

au a u

Propriété 2Pour tout entier naturel n, pour toute suite de nombres (un)

et pour tout nombre réel a :

Propriété 3Pour tous entiers naturel n (n > 1) et p tels que p < n, et pour toute

suite de nombres (un) : 0 0 1

pn n

k k kk k k p

u u u

Calcul de sommes d’entiers

Soit n un entier naturel non nul.

On se propose de calculer les sommes :

11

( )n

k

S n k

22

1

( )n

k

S n k

33

1

( )n

k

S n k

Un exemple historique

11

Calcul de ( )n

k

S n k

1 1 2 3 ...(10 98 99 100 0)S

1 100 99 98 ... 3 2 1(100)S

12 (100) 101 101 101 ... 101 101 101S

0

1

1 0

1

(100)k

kS

100

11

2 (100) 101k

S k k

1

100 101(100)

2S

100 100

11 1

d'où 2 (100) 101k k

S k k

1

1

100

101(100)k

S k

somme S1

1

11

11

1

1

( )

d'où 2 1

1

( )

( )

n

nk

k

n

nk

k

S n

S n

S n

k

nk k

n k

11

Calcul de ( )n

k

S n k

Première méthode : Un changement de variable

11 1

2 ( ) 1 1n n

k k

S n k n k n

1

( 1)( )

2

n nS n

22

1

1

1 1

2

1

1 2 1

2 ( )

n n n n

k k k k

S n n

k k

n

k

11

Calcul de ( )n

k

S n k

Deuxième méthode : Une somme « télescopique »

22Pour tout nombre : 1 2 1k k k k

22

1 1

Donc : 1 2 1n n

k k

k k k

22

1 1 1 1

1 2 1n n n n

k k k k

k k k

1

( 1)( )

2

n nS n

2

1

et : 2 1n

k

k n

33 2

1 1 1

3

1

2

1

13 ( )3

1 3 3

(

1

)

n n n n n

k k k k k

S n nS nn

k k k k

22

1

Calcul de ( )n

k

S n k

33 2

1 1

Donc : 1 3 3 1n n

k k

k k k k

33 2Pour tout nombre : 1 3 3 1k k k k k

33 2

1 1 1 1 1

1 3 3 1n n n n n

k k k k k

k k k k

32

( 1)3 ( ) 3

2

n nS n n n

2

23 ( ) 2 3( 1) 22

nS n n n

2

( 1)(2 1)( )

6

n n nS n

Une somme télescopique

33

1

Calcul de ( )n

k

S n k

Pour tout entier naturel k non nul :

2 2

1 1( ) ( 1)S k S k

33

1

( )n

k

S n k

2

3

( 1)( )

2

n nS n

La différence des carrés de nombres triangulaires successifs est un cube.

Donc 2 2 2

3 1 1 11

( ) ( ) ( 1) ( )n

k

S n S k S k S n

2 2 2 2

3

( 1) ( 1)

4 4

k k k k

k

2 2 2 2( 1) ( 1)

4 4

k k k k

Somme des termes d’une suite géométrique

Soit q un réel non nul.

On pose, pour tout entier naturel n :0

nk

nk

S q

1

0 0

1

alors

1

n nk k

n nk k

n

qS S q q

q

1 1Si 1,

1

n

n

qq S

q

Si 1, 1nq S n

Du bon usage des pointillés

Quel sens donner aux écritures :

0,33333…

1 1 1 11 ... ...

2 4 8 2n

0,99999…

Soit n un entier naturel quelconque.( 1)

1 2 3 ... 2

n nn

(1)

( 1)1 2 3 ... ( 1)

2

n nn

(2)

( 1)Donc: 1 2 3 ... ( 1) 1 +1

2

n nn

n

( 1)Donc: 1 2 3 ... +1

2

n nn

( 1) ( 1)Donc : +1 = d'où ( 1) 2 ( 1)

2 2

n n n nn n n n

2 d'où 1n n n

Du bon usage des pointillés

Où est l’erreur ?

On pose : S = 1 – 1 + 1 – 1 +…+ 1 – 1 +…

Alors : S =1 – (1 – 1 + 1 – … – 1 + 1 – …)

S = 1 – S

S = 0,5

Où est l’erreur ?

Du bon usage des pointillés

Aire sous la parabole

La parabole ci-contre représente la fonction f définie par : f (x) = x2 + 4 . L’objectif est de calculer l’aire sous l’arche de parabole hachurée ci-contre

2

4 A = Aire (ASA’) = 8

2ème étape On ajoute les aires des 4 triangles A’I’m’, I’m’S, SIm, ImA .Ces 4 triangles ont une hauteur commune égale à 1 (AA’/4), une même base Im = OS/4Leur aire cumulée est donc A /4 = 2

Aire sous la parabole

3e étape : on ajoute des triangles dont l’aire cumulée équivaut à celle d’un triangle de hauteur AA’ et de base OS/16. elle est donc égale à A /16.A chaque étape, on rajoute ainsi des triangles dont l’aire totale est le quart de l’aire totale des triangles rajoutés à l’étape précédente.

Aire sous la parabole

Pourquoi la base est-elle ainsi à chaque fois divisée par 4 ?

A la première étape, la base vaut OS. A l’étape suivante, en posant a=0 et b=2, la base vaut :

2( ) ( ) 1 1OS

2 2 4 4

a b f a f bf a b

2

a b

2

a bf

Et ainsi de suite …

L’aire totale de l’arche de la parabole vaut donc :

Aire sous la parabole