Sondages Similitudes Équivalence 3juin2013

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  • 7/24/2019 Sondages Similitudes quivalence 3juin2013

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    24 3. Les methodes a conduction de courant DC

    mathematiques permettent de transformer le probleme et de le resoudre plus facilement dune autrefacon. Limportant est de savoir quil est mathematiquement possible de trouver une solution pourun terrain a n couches.

    3.6 Lexploration verticale du sol : les sondages

    3.6.1 Generalites

    On a vu que pour un sous-sol homogene et isotrope, il est possible de trouver la resistivite dumilieu en injectant du courant et en mesurant le V ainsi cree. Pour un dispositif comme celui dela figure3.4,la resistivite se trouve par la relation

    =V

    I

    2

    1

    AM 1

    AN 1

    BM + 1

    BN

    K

    , (3.35)

    ouK est un facteur geometrique du dispositif delectrode, et ou les unites sont :

    I= mA, V = mV, = m, distances = m.Jusquici, nos calculs de la resistivite du sol se sont bases sur lhypothese dun sous-sol ho-

    mogene et isotrope. Or, il nen est rien en realite. Le but de la prospection electrique est justementde permettre au geophysicien de se faire une image de la structure et des heterogeneites du sol.Lexploration par methode a courant continu se fait de deux facons :

    1. sondages electriques : exploration verticale ;

    2. profilage (trane electrique) : exploration horizontale.

    Lexamen de sous-sols heterogenes va nous amener a definir la notion de resistivite apparente (a).Si dans un sous-sol heterogene quelconque on injecte un courant I a laide dun dipoleAB et quon

    mesure une difference de potentiel V a laide dun dipole MN, chacune de ces quatre electrodesetant placee nimporte ou, alors la resistivite apparente a est donnee par

    a=V

    I

    21

    AM 1

    AN 1

    BM + 1

    BN

    , (3.36)

    et correspond a la resistivite dun sous-sol homogene pour lequel on mesurerait les memes valeursV et Ipour le meme dispositif delectrodes. La resistivite apparente a donc la dimension duneresistivite et est exprimee en m.

    La resistivite apparente nest pas caracteristique dun site donne car elle depend du dispositifdelectrodes employe. La valeur de ana par consequent aucune signification en soi (mesure relative).On peut lui donner un sens en la comparant a dautres valeurs

    1. quantitativement : sondages electriques sur terrains tabulaires ;2. qualitativement : cas des tranes electriques.

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    3.6 Lexploration verticale du sol : les sondages 25

    3.6.2 Principe

    (configuration Schlumberger)

    M, N: fixes

    A, B: mobiles

    Figure 3.16: Illustration du principe de mise enoeuvre dun sondage.

    Lorsquon injecte un courant dans le sol, lesfilets de courant penetrent a une profondeurtheoriquement infinie. On a cependant demontreque pour une longueur de ligne AB constante,

    la densite de courant diminue avec la profon-deur. Un corps produit une distorsion des lignesequipotentielles dautant plus importante que ladensite de courant est forte. Donc, si le corps estprofond, la ligne AB est grande. Cest le principedes sondages electriques : disposant dun quadripoleAMNB, on fait varier la longueurAB en laissant lepointO, centre deAB et de M N, fixe (figure3.16).On peut alors tracer la courbe representative de aen fonction de L = AB/2.

    Linterpretation de ces courbes nest pratique-ment possible que si : (1) les resistitives des differentes couches sont bien contrastees ; (2) les couches

    ont une extension verticale et horizontale assez importante ; et (3) les terrains sont stratifies hori-zontalement ou sub-horizontalement.

    3.6.3 Interpretation des courbes de sondage

    La methode la plus efficace dinterpretation dun modele consiste en lutilisation dalgorithmesdinversion qui, a partir dun modele grossier de sous-sol et connaissant lequation du potentiel ala surface pour un systeme delectrodes donne, vont restituer un modele dont la reponse sajuste(statistiquement) le mieux possible a la courbe mesuree. Le calcul dinversion se fait evidemmentsur ordinateur (PC).

    Un probleme se pose cependant ! Il faut etre en mesure de pouvoir predire un modele initial pourles algorithmes dinversion, ce qui nest pas toujours evident. De plus, sur le terrain, on naura pasnecessairement un ordinateur a la portee de la main. Que faire ?

    On utilisera la bonne vieille methode de nos ancetres : les abaques. Les abaques sont une serie decourbes types calculees pour divers contrastes de resistivite et epaisseur pour les differentes couchesdu sol. Linterpretation consiste a trouver la courbe qui sajuste le mieux a la courbe mesuree et onobtient ainsi les parametres du sous-sol.

    Autre question

    Il existe une infinite de possibilites de combinaisons de valeurs de resistivite, depaisseur et denombre de couches dans la nature. Comment sen sortir ?

    Deux faits particuliers vont nous venir en aide :

    1. Il est possible dinterpreter les sondages obtenus au-dessus de terrains an couches uniquementa laide dabaques pour les cas deux et trois couches ;

    2. La loi de similitudefait quon na pas besoin dinterpreter les courbes en fonction des valeursabsolues de et h, mais bien selon leurs valeurs relatives.

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    26 3. Les methodes a conduction de courant DC

    A' N'M' B'

    '1

    '2

    A NM B

    1

    2

    Figure 3.17: Illustration du principe de similitude.

    3.6.4 Lois de similitude

    Imaginons deux structures geometriquement semblables avec un rapport de similitude kL, Met M etant deux points homologues semblables (figure3.17). Sachant quil existe une similitudeelectrique telle que 1 =k 1 2 =k 2.

    Au voisinage dune electrode, on a

    V = I

    2r V =

    I

    2r=

    kI

    2 1

    kLr

    V

    V = I

    IkkL

    (3.37)

    Puisque a = K VI (Kest le facteur geometrique de lequation (3.35)), que a = K V

    I et que

    pour deux dispositifs delectrodes de meme dimension, les constantes Ksont egales, on a alors

    a = K

    V I

    I

    kkL

    I

    = KV

    I

    kkL

    (3.38)

    = akkL

    Supposons maintenant que le dispositifAMNB devienne AMNB selon le rapport de simili-tudekD. Pour mesurer a, on aura

    a = K V

    I ouK =K kD, dou

    a = kD K V

    I

    = kD K 1

    I

    V I

    I

    kkL

    (3.39)

    et on a

    a= kDakkL

    . (3.40)

    Si kD =kL, on retrouve :

    a= a k.

    Deux resultats fondamentaux

    1. On obtient le meme asur deux terrains electriquement identiques (k = 1) et geometriquementsimilaires a condition de choisir des quadripoles dans le meme rapport de similitude ;

    2. Si, sur un terrain heterogene, un quadripole donne mesure a= a au point O, sur un secondterrain heterogene geometriquement identique au premier, mais dont les resistivites sont mul-tipliees par un facteur k, le quadripole precedant mesurera en O une resistivite apparenteegale a a = k a.

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    3.6 Lexploration verticale du sol : les sondages 27

    Deux conclusions importantes

    1. Les sondages de surface sinterpretent de la meme facon que ceux en profondeur. Il sagit dechoisir des quadripoles a lechelle du probleme traite.

    2. On peut toujours, sans modifier le probleme, passer de

    h1 1 1 1h2 2 h2h1

    21

    kL = 1h1...

    ... a...

    ... avec

    hn1 n1hn1h1

    n11

    k = 1

    1

    1a1

    Cest pour cela que les sondages sont traces avec des axes logarithmiques, car seules les or-donnees a lorigine varieront pour des courbes representant des terrains geometriquement etelectriquement semblables.

    3.6.5 Interpretation des sondages electriques par les abaques

    Cas deux couches

    LorsqueAB/2 est petit, le courant se concentre dans la premiere couche eta tend vers1. Pluson ecarte A et B, plus la proportion totale du courant qui passe dans la deuxieme couche augmente ;a delaisse 1 et devient influencee par 2. Lorsque AB/2 est tres grand, la majorite du courantpasse dans le deuxieme milieu et a tend vers2.

    Les sondages se presentent sur papier bi-logarithmique avec AB/2 en abscisse eta en ordonnee.

    1. Dapres ceci, si 1 < 2, on aura une pente positive, avec une asymptote a x = y (soit 45) si2 (demontrable mathematiquement). Donc, dans ce cas, on ne peut avoir de droite depente superieure a 45. On se sert de ceci comme mecanisme de verification de la validite denotre travail.

    2. Lorsque 1 > 2, on a une pente negative, la aussi on a une asymptote lorsque 2 0.Remarquez que pour un meme contraste de resistivite, lorsque 2 < 1, on arrive beaucoupplus vite a la valeur de 2 que lorsque1 < 2.

    Comment interpreter ?

    1. Il suffit de superposer le sondage effectue aux abaques deux couches disponibles (Wenner ouSchlumberger), les axes doivent etre de meme dimension.

    2. On deplace la courbe sur les abaques jusqua ce quelle se superpose a une des courbes desabaques (ou a une courbe imaginaire puisque tous les 2

    1ne sont pas indiques). Attention ! il

    faut garder les axes des deux graphiques bien paralleles.

    3. Lorsque les deux sont superposes, a laide de la position de lorigine de labaque, on peut

    trouver 1 eth1 et connaissant a quelle droite on est superpose, on aura2.

    Cas trois couches

    Linterpretation devient un peu plus compliquee, puisquaux deux courbes possibles quon auraitdans le cas deux couches, on passe a quatre cas possibles.

    Les abaques deux couches ne dependaient que de trois parametres 1, 21

    eth1. Dans le cas a trois

    couches, il y a cinq parametres dont on doit tenir compte, soient1, 21

    , 31

    , h1 et h2h1

    . Les abaques

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    28 3. Les methodes a conduction de courant DC

    Tableau 3.2: Les quatre type de courbe de sondage pour des terrains a trois couches

    Type H 1 > 2 3 > 2

    AB/2

    a

    Type Q 1 > 2 3 < 2

    AB/2

    a

    Type K 1 < 2 3 < 2

    AB/2

    a

    Type A 1 < 2 3 > 2

    AB/2

    a

    sont donc plus compliquees et plus nombreuses. En general, on les presente selon les contrastes deresistivite et on trace les courbes pour differents h2

    h1.

    Linterpretation se fait aussi en comparant (a justant) la courbe experimentale avec les abaques.

    1. On interprete la partie gauche (AB/2 petit) de la courbe a partir de labaque 2 couches. Onobtient ainsi h1, 1 et

    21

    . On note alors le point (h1, 1) sur la courbe experimentale.

    2. A partir des valeurs trouvees au numero 1 (i.e. 11

    = 1, 21

    =x) et en placant le point (h1, 1)sur lorigine de labaque trois couches, on cherche la courbe de labaque qui se superpose le

    mieux a la courbe de terrain.

    On obtient ainsi h2h1

    et 31

    . De la meme maniere, on peut interpreter une courbe de sondage quatreou cinq couches.

    Cas quatre couches

    A partir dabaques deux couches, on trouve .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . h1, 1, 12

    ;

    A partir dabaques trois couches, on aura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    , h2h1

    ; On calcule le point equivalent pour les deux premieres couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .e, he; A laide des abaques trois couches, on peut trouver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1, 3

    e, 4e

    , h3he

    ;

    Pour verifier4, on utilise le meme stratageme que pour le cas trois couches vu precedemment.

    Cela permet de trouver 1, 21

    , 31

    , h2h1

    ; on a donc trouve tous les parametres necessaires a lin-terpretation.

    Pour verifier la valeur de 3 trouvee, on peut remplacer les deux premieres couches par unecouche equivalente et interpreter a nouveau avec labaque deux couches. On aura un meilleur estimede3 de cette facon. Le calcul de la couche equivalente est detaille dans les notes a la section (3.6.6).

    Ce terme est donne selon e1

    et heh1

    dou on peut trouvereet he. On placee,he sur le graphique

    et on peut lire 2e

    et trouver2 qui, en realite, est 3.

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    300

    300

    100

    50

    10

    0

    5

    4

    3

    1 5 10 50 100 m

    Grind

    m

    Water table

    1052

    L

    50 100 m

    layermastercurves(calculated)measuredapparentresistivities

    B1/4(35m distance)

    375 2100 175

    38080 1500

    700

    Depth +

    +

    +

    +

    +

    +

    ++

    +

    +

    +

    +

    +

    Figure 3.18: Illustration du principe dequivalence. Lesreponses des modeles 3, 4 et 5 sajustent aussi bien a lacourbe mesuree.

    m

    a

    L/2

    Depth(m)

    500

    200

    100

    50

    50

    50

    380

    15 20

    380

    0

    150

    20

    15

    1010 20 100

    100

    200 500 1000 m

    m

    m

    m

    m

    m

    ll

    ll

    lll

    l

    l

    Figure 3.19: Illustration du principe dequivalence. Lesmodeles I et II donnent des reponses quasi-identiques.

    3.6.6 Principe dequivalence

    Des terrains de distribution de resistivite differente peuvent donner des courbes de sondagesquasi-identiques dont la difference ne sera pas mesurable (figures 3.18 et 3.19). La solution nestdonc pas unique, tout comme en gravite ou en magnetisme.

    Au-dessus de terrain H ou A, ces courbes de sondages sont equivalentes si la conductance longitu-dinale(S= h

    ) reste la meme. Dans le cas des terrains de type K ou S, cest la resistance transversale

    (R= h) qui est importante.

    Ce principe nest bon que si h2h1

    2 nest pas trop eleve. On peut connatre dans quelles limites leprincipe tient a laide des diagrammes de Pylaev.

    Section geoelectrique

    Soit un modele de sol tabulaire, avec une aire unitaire en surface (figure 3.20). Si on supposeque le courant est perpendiculaire a la stratification (figure3.21), la resistance dans une couche estR= L

    S = h

    a2. Pour une section unitaire (a= 1), la resistance devient R = h.

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    30 3. Les methodes a conduction de courant DC

    a

    a

    H

    h

    1

    2

    3

    Figure 3.20: Sol tabulaire.

    I

    h

    Figure 3.21: Courant perpen-diculaire a la stratification.

    La resistance transversale totale est alors T =n

    i=1 ihi. La resistivite transversale moyenne(t) est definie par

    t = T

    H =

    ni=1 ihini=1 hi

    .

    Si le courant se deplace parallelement a la stratification (figure 3.22), alors R = aah

    = h

    . La

    conductance est ainsi definie par S= 1R

    = h

    . La conductance longitudinale totale est

    S = 1R=

    ni=1

    hii

    . (3.41)

    La conductivite longitudinale moyenne est

    e = S

    H

    =

    hiihi

    , (3.42)

    et la resistivite longitudinale est

    e=hi

    hii

    . (3.43)

    La consequence de ceci est que chaque couche est isotrope, mais le tout a un comportementanisotrope. Le coefficient danisotropie est definie par

    =

    te

    =

    ST

    H2.

    Ce coefficient est superieur a un puisque t > e. De meme, moy =

    et.

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    3.6 Lexploration verticale du sol : les sondages 31

    I

    Figure 3.22: Courant pa-rallele a la stratification.

    Utilite du principe dequivalence

    Soit un terrain type H

    21

    = 2=1

    8= 0.125

    h2h2

    = v2 = 4

    3 =

    labaque nexiste pas. La plus proche est pour 21

    = 2 = 0.1. Peut-on lutiliser pour interpreter ?Utilisons le diagramme de Pylaev et la reponse est oui !

    Conservons la conductance longitudinale S= h/

    S= 4

    0.125= 32.

    On veut que S= 32 = x0.1

    donc h2h1

    = 3.2. On va donc interpreter avec 0.1, 3.2,.

    Si on a un terrain K ou S, on conserve la resistance transversale

    R = h (3.44)

    = 2

    1 h2

    h1(3.45)

    =

    2

    1 h2

    h1(3.46)

    Conductance longitudinale totale

    Dans le cas ou n = , la courbe a une asymptote a 45 pour un ecartement AB/2 grand. Onpeut demontrer que lintersection de cette asymptote avecAB/2 a = 1 m = St.

    3.6.7 Phenomene des a-coup de prise

    Le phenomene des a-coup de prise se produit lorsquune electrode dinjection se trouve en contactavec une petite masse tres conductrice dans le sol. Le courant est alors canalise par ce conducteur et

    on observe une brusque augmentation de a. Cela a une incidence sur les profils et sur les sondages.A mesure que lon augmente lecartement AB/2, le voltage mesure a M N diminue, jusquau

    moment ou on doit augmenter la distance MN. On effectue alors un embrayage. Si, en deplacantles electrodes, on frappe un petit conducteur superficiel, il y a a-coups de prise et une discontinuiteapparat dans la courbe de sondage.

    Precaution a prendre

    Au point dembrayage, on fait 4 mesures : AB avec M N etM N etAB avec M N etM N.