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Soutenabilité, risques climatiques et équations de Reynolds moyennées (RANS) ctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006 par Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

Soutenabilité, risques climatiques et équations de Reynolds moyennées (RANS)

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Soutenabilité, risques climatiques et équations de Reynolds moyennées (RANS). Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006. par Julien Lederer sous la direction du Pr. Roger Lewandowski. Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS). - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Soutenabilité,  risques climatiques et équations de Reynolds moyennées (RANS)

Soutenabilité, risques climatiques

etéquations de Reynolds moyennées

(RANS)Doctorat – université de Rennes 1 – IRMAR - 31 janvier 2006

par Julien Lederer

sous la direction du Pr. Roger Lewandowski

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Introduction

Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)

Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006

Première partie : motivation

Couplage finance – économie – Reynolds Averaged Navier-Stokes (RANS)- RANS (à 1 d° de fermeture), Finance- Economie (FE)- couplages :

+ FE - RANS+ Black & Scholes (BSC) - RANS

Soutenabilité et quelques problèmes mathématiques- critère d’optimisation et soutenabilité- maximisation du critère s.c. FE-RANS - FE-RANS, BSC-RANS, RANS existence, unicité

Deuxième partie : RANS 3D stationnaire sans convection avec viscosités non bornées régularisées en 0

1- Cas scalaire (sans pression et sans convection) stationnaire- formulation variationnelle : espaces de Sobolev à poids dépendant des solutions- densité de fonctions régulières / Sobolev à poids- estimations à priori- passages à la limite

2 - Cas périodique stationnaire sans convection avec pression et viscosité concave- construction de solutions régulières ( )

- estimations à priori- passages à la limite

3H

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Climat Finance - Economie

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Couplage finance-économie-fluides

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Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006

ETAT

FINANCE

ECONOMIECONSOMMATEURS

CLIMAT (RANS)

PRODUCTEURS

Réglementation, contrôle (taxation, dépenses)

Offre, demande, dommages

ProductionEpargne

Consommation

FinancementCapitalisation

Transfert de risquesPrix

Sensibilité

Externalités

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Couplage finance-économie-fluides

Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)

Doctorat - Université de Rennes 1 – IRMAR – 31 janvier 2006

ETAT

FINANCE

ECONOMIECONSOMMATEURS

CLIMAT (RANS)

PRODUCTEURS

Revenus

Gestion de l’environnement, agrégation de comportements, maximisation des profits et satisfactions

ProductionEpargne

Consommation

FinancementCapitalisation

Transfert de risquesPrix

Politique environnementale

Climat Finance - Economie

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Couplage finance-économie-fluides

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Modèles FE - RANS et BSC - RANS

RANS symbolisant le climat :- océans et atmosphère centraux pour le climat => NS incompressible- équations chaotiques => probabilités => RANS- forces, domaines, sources et puits dépendant de l’économie

grande complexité => HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES MAIS difficultés dues aux- viscosités turbulentes- terme quadratique de production d’ECT- cascade inverse en ECT

Finance / Economie: - T.E.E. - lien avec le climat par les prix, usure du capital et renouvellement des matières premières- absence d’opportunité d’arbitrage - transfert de risques par les options

grande complexité mais PAS (trop) D’HYPOTHESES REDUCTRICES =>ouvertures - analyse fondamentale = Keynes, néo-classiques, théorie des jeux …- analyse technique = modélisation statistico-financière

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Décisions soutenables et problèmes mathématiques

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Soutenabilité et contrôle optimal

Soutenabilité :- dépend des sociétés et cultures qui la définissent => consensus international et hiérarchisation de situations insoutenables- soutenabilité vérification de contraintes sur les variables d’état=> critère d’optimisation = 1 dans le domaine et sinon

- critère défini à priori ( = celui des forces politiques en place )

Exemple : limitation de la température

Le problème à résoudre : maximiser

(f est intégrable et = 1 lorsque la limitation est vérifiée et sinon, sous contrainte FE-RANS ou BSC-RANS, avec les contrôles des forces politiques en place)

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Décisions soutenables et problèmes mathématiques

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Première partie : motivation

Sous problème : existence de solutions du modèle RANS 3D + stationnaires + sans convection+ avec des conditions homogènes+ viscosités non bornées

( cas des viscosités bornées : Lewandowski 97, Lewandowski-Murat 97, Gallouët-Herbin 97, Brossier-Lewandowski 02, Bernardi-Chacon-Lewandowski-Murat 03)

(ouvert borné et régulier 3D)

Cas physique :

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Décisions soutenables et problèmes mathématiques

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Première partie : motivation

Contexte :

- viscosités turbulentes + non bornées + dérivables en 0 et+ vérifiant

- terme de production quadratique- cas tri-dimensionnel stationnaire sans convection

Contributions :

- existence de solutions dans le cas scalaire (sans pression ni convection) sans terme de cascade inverse - existence dans le cas tri-dimensionnel périodique (avec pression) sans convection avec cascade inverse pour des viscosités concaves : estimation L infini sur l’ECT

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1- Cas scalaire (Gallouët-Lederer-Lewandowski-Murat-Tartar, Nonlinear analysis TMA 03)

Définitions : (ouverts bornés Lipschitziens simplement connexes)

Généralisations : si le poids b et son inverse sont p-fois intégrables avecReprésentation du dual, réflexivité, Banach, injections continues.

Résultat :

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Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids

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Deuxième partie : analyse d’équations RANS

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Analyse fonctionnelle et quelques espaces à poids

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

Densité : résultat connu (Cattiaux-Fradon). Preuve originale et plus courte (avec T. Gallouet, R. Lewandowski, F. Murat et L. Tartar)

3 étapes : densités respectives de

1. Par troncature et Lebesgue2.

et Lebesgue.

3. Convolution et convergence faible en utilisant la régularité de b puis Hahn-Banach

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

Résultat principal

Solutions d’énergie :

et

Système approché : viscosités bornées (existence par R.L.) et troncature du membre de droite de l’équation de k.

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

Cas scalaire en 3D : estimations à priori

Estimation standard :

Boccardo-Gallouët :

Principale estimation :

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

Cas scalaire en 3D : passages à la limite

(en utilisant la densité …)

/

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas scalaire

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

Cas scalaire en 3D : passages à la limite

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2 - Cas périodique avec terme de cascade inverse et viscosité concave

(J.Lederer et R. Lewandowski, accepté pour publication dans Ann. IHP, analyse non linéaire)

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

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Dans l’article, cas plus général :

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

Cas périodique 3D avec terme de cascade inverse (avec R. Lewandowski)

NB : la condition ci-dessus est due au terme de cascade inverse

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

Preuve en quatre étapes :

1 – Transformation du système

2 – Construction d’un système approché par régularisation des viscosités et du terme de production d’ECT

3 – Estimations à priori

4 – Passages à la limite dans les équations

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1- Transformation du système :

(Kirchoff)

en notant encore au lieu de le système devient

NB : Comme on a

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

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2- Solutions approchées : - et deux fois dérivables et bornées

- avec

Par point fixe (Leray-Schauder), on résout

où est étendu par 0 dans le complémentaire de

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

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3 – Estimations à priori :

- pour les mêmes raisons que dans le cas scalaire,

- comme et

- on dérive formellement l’équation pour le champ de vitesse :

en multipliant par et en intégrant par parties (conditions périodiques),

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

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En intégrant encore par parties,

D’après l’équation pour k,

donc

dans ce cas, comme la viscosité turbulente est minorée par une constante

Comme la viscosité est CROISSANTE, POSITIVE ET CONCAVE

donc

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

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On conclut en utilisant la borne pour :

- une borne pour la vitesse (en particulier pour )

- une borne pour l’ECT (et en particulier L infini) car second membre de carré intégrable

4 – Passages à la limite : on peut remplacer par une troncature de niveau assez élevé et nous ramener au cas habituel des viscosités bornées

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RANS avec viscosité turbulente non bornée : cas périodique et régularité de l’ECT

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Deuxième partie : analyse des équations RANS

2L

2H

6,1W

3L

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Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts

Soutenabilité, risques climatiques et équations de Navier Stokes moyennées (RANS)

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Conclusion

Soutenabilité => contrôle optimal … (financements F.A.O., banque mondiale, … ? )

Problèmes posés restant ouverts :

+ Limitation de la température sc FE-RANS+ Coûts des risques climatiques sc FE-RANS+ Existence et unicité pour FE-RANS et BSC-RANS+ Existence et unicité pour RANS

° Cas stationnaire avec des viscosités non bornées dont l’inverse n’est pas bornée° Cas stationnaire non scalaire sans terme de transport dans des ouverts lipschitziens bornés simplement connexes° Prise en compte du terme de transport° Cas d’évolution pour des viscosités non bornées avec et sans terme de transport

+ De Rham pour Sobolev à poids avec des poids et inverses non bornés à l’infini+ Densité des espaces de fonctions vectorielles à divergence nulle très régulières dans les espaces de Sobolev à divergence nulle

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Un domaine d’application nouveau : définition de politiques soutenables

Contribution : deux résultats d’existence pour RANS, un résultat de densité

Trois conjectures : + le résultat de densité sur les espaces de Sobolev à poids devrait se

généraliser au cas d’espaces de Banach en remplaçant la condition par+ le cas périodique devrait s’étendre au cas d’ouverts lipschitziens bornés et simplement connexes+ De Rham :

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Soutenabilité et risques climatiques : un domaine riche en problèmes ouverts

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Conclusion

)(H1 b)(W p1, b

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FINEn remerciant les membres du jury et l’assistance

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