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OPTICA ACTA, 1966, VOL. 13, NO. 2, 73-95 Spectrometrie des frequences spatiales et coherence R. PRAT Institut d'Optique, Paris, France (Manuscrit re;u le 10 novembre 1965) Resume. Un grand nombre d'6tudes reievent de la spectrom6trie des fr6quences spatiales. L'int6ret croissant que l'on porte cette m6thode nous a conduit imaginer deux types de spectrometres. L'un est entierement d6crit, l'autre fonctionnant en lumiere polaris6e le sera ult6rieurement. 1. Introduction L'6tude de la fonction de transfert des objectifs [5-9, 11], qui a donn6 lieu a un grand nombre de ralisations appartient un domaine particulier de la spectrometrie des fr6quences spatiales. II en est de meme des m6thodes de Michelson et Hanbury Brown et Twiss [3, 4] pour la mesure du diametre des 6toiles. L'int6ret de la spectrom6trie des fr6quences spatiales ne se limite pas ces points particuliers [10]. En effet, l'6tude du spectre d'une image peut donner des renseignements qui 6chappent l'observation directe. Ainsi, la presence d'une fr6quence spatiale privil6gi6e pourra etre r6v6leegrace A un enregistrement spectral. Dans le domaine de la photographie, comme on sait, 'analyse harmonique est un moyen auquel on a souvent recours. On porte actuellement au spectre des fr6quences spatiales des surfaces polies un int6ret croissant et les m6thodes que nous proposons dans ce travail, permettant l'analyse harmonique d'objets convenablement clair6s par transmission ou par rflexion, sont capables de s'adapter ce type d'6tude o l'on desire explorer un domaine spectral assez etal6 et comportant des fr6quences l61ev6es. Nous avons envisage deux proc6d6s, pour cette etude, bases sur la mesure du degr6 de coherence spatiale de deux points 6clair6s par une source; ils se ramenent chacun un principe bien connu que nous rappellerons mais de faqon pr6ciser la maniere dont peut se faire l'exploration spectrale d'une part et d'autre part la resolution que l'on peut esp6rer. Nous ne dcrirons ici qu'un premier proc6d6 s'inspirant de la m6thode de Michelson cite plus haut. Le deuxieme proc6d6, d6j ralis6, fonctionnant en lumiere polarise, sera d6crit prochainement. 2. Principe Les m6thodes proposes sont telles que, dans chaque cas, elles se ramenent au balayage de l'objet par un systeme de franges pas variable. Montrons alors comment peut se faire l'exploration de la surface spectrale S(v, ). Nous calculerons ensuite la rsolution et nous verrons qu'il est possible de l'am6liorer. O.A. F

Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

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OPTICA ACTA, 1966, VOL. 13, NO. 2, 73-95

Spectrometrie des frequences spatiales et coherence

R. PRAT

Institut d'Optique, Paris, France

(Manuscrit re;u le 10 novembre 1965)

Resume. Un grand nombre d'6tudes reievent de la spectrom6trie desfr6quences spatiales. L'int6ret croissant que l'on porte cette m6thode nous aconduit imaginer deux types de spectrometres. L'un est entierement d6crit,l'autre fonctionnant en lumiere polaris6e le sera ult6rieurement.

1. IntroductionL'6tude de la fonction de transfert des objectifs [5-9, 11], qui a donn6 lieu a

un grand nombre de ralisations appartient un domaine particulier de laspectrometrie des fr6quences spatiales. II en est de meme des m6thodes deMichelson et Hanbury Brown et Twiss [3, 4] pour la mesure du diametre des6toiles.

L'int6ret de la spectrom6trie des fr6quences spatiales ne se limite pas cespoints particuliers [10]. En effet, l'6tude du spectre d'une image peut donner desrenseignements qui 6chappent l'observation directe. Ainsi, la presence d'unefr6quence spatiale privil6gi6e pourra etre r6v6leegrace A un enregistrement spectral.Dans le domaine de la photographie, comme on sait, 'analyse harmonique est unmoyen auquel on a souvent recours. On porte actuellement au spectre desfr6quences spatiales des surfaces polies un int6ret croissant et les m6thodes quenous proposons dans ce travail, permettant l'analyse harmonique d'objetsconvenablement clair6s par transmission ou par rflexion, sont capables des'adapter ce type d'6tude o l'on desire explorer un domaine spectral assezetal6 et comportant des fr6quences l61ev6es.

Nous avons envisage deux proc6d6s, pour cette etude, bases sur la mesure dudegr6 de coherence spatiale de deux points 6clair6s par une source; ils se ramenentchacun un principe bien connu que nous rappellerons mais de faqon pr6ciserla maniere dont peut se faire l'exploration spectrale d'une part et d'autre part laresolution que l'on peut esp6rer. Nous ne dcrirons ici qu'un premier proc6d6s'inspirant de la m6thode de Michelson cite plus haut. Le deuxieme proc6d6,d6j ralis6, fonctionnant en lumiere polarise, sera d6crit prochainement.

2. PrincipeLes m6thodes proposes sont telles que, dans chaque cas, elles se ramenent au

balayage de l'objet par un systeme de franges pas variable. Montrons alorscomment peut se faire l'exploration de la surface spectrale S(v, ). Nouscalculerons ensuite la rsolution et nous verrons qu'il est possible de l'am6liorer.

O.A. F

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R. Prat

Soitf(x,y) le facteur de transmission d'un objet transparent dont on desireobtenir le spectre des frequences spatiales. La transforme de Fourier def(x,y)s'ecrit:

ODJ(v, ) = f f(x,y) exp [j2-r(vx + py)] dxdy,

oO

c'est-h-dire:

.9(v, ot) J f f(x, y) cos 27r(vx + [y) dx dy

+jf f(x,y) sin 2r(vx + y)dxdy,

soit

Y(v, ) = A (v, ) +.jB(v, p).

Dans le cas gn&ral, le spectre cherche est complexe, A(v, p) etant la partie r&elleet B(v,it) la partie imaginaire. Bien entendu, sif(x,y) est une fonction paire,c'est-h-dire si l'origine est un centre de symetrie pour la rpartition du facteur detransmission, o(v,/z) est rel. On a:

F(v, ) = A(v, [).

Supposons maintenant que l'on superpose h l'objet caracterise par la fonctionf(x,y), un autre objet transparent dont la transmission est sinusoidale et donn~edans le systeme d'axes Ox', Oy' par:

1 + cos 27rv'(x' -. xo'),

avec v' = l/p, p periode des franges traces sur le deuxi6me objet;position du systeme de franges par rapport a l'origine O.

x0 caracterise la

Ii

Figure 1.

Dans le system d'axe, Ox, Oy (figure 1)s'ecrit:

tel que (Ox', Ox)= a la sinusoide

1 +cos27rv'(xcosoe+y sin -x0').

L'ensemble de ces deux objets superposes tant clair6 de maniere uniforme,nous allons montrer que, si l'on donne h l'objet tudi6 un dplacement

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Spectromdtrie des frdquences spatiales et coherence

convenable, le flux transmis est module et que la mesure de l'amplitude de lamodulation de ce flux l'aide d'un photomultiplicateur suivi d'un redresseur parexemple, est un moyen d'obtenir le spectre des frequences spatiales de cet objet.Le flux transmis est de la forme:

( = f (x, y) [1 + cos 2rv'(xcos c +ysin a-x 0 '] dxdy,-00 -0

soit:

= f+ f(x,y)dxdy + cos2rv'x'off f(xy) c cos a + v'ysin a) dxdyff+ ~~~o 2 ('

+ sin 2rv'x' ff f(x,y) sin 27r(v'xcos a + v'ysin a) dxdy,

par suite on peut 6crire:

() = Ct e + A(v, j) cos 2 7rv'xo' + B(v, ix) sin 27rv'x o'

avec v=v'cos et tL=v'sina.

Si par un moyen quelconque on fait varier x0' (on fait vibrer le systeme de frangespar exemple), le flux est module sinusoidalement, les termes d'amplitude A(v, I)et B(v, ) etant en quadrature. On peut alors crire:

I = cte + A(v, t) cos 27rv'x0' + B(v, /) cos ( 27'xo'- ) .

Le flux 4) peut finalement se mettre sous la forme:

( = C te + V(A 2+ B2) cos (27v'x d' - ),

avec tg=B/A (dans le cas d'une fonction paire = 0 puisque B(v, IX)=0). IIest donc modul6 sinusoidalement et l'amplitude de la modulation obtenue enfaisant varier x0 est proportionnelle \ /(A 2 +BZ). D'autre part on a:

V ' COS a,

Ij =v'sina;

par suite, pour une periode p des franges utilis6es, il existe entre v et p la relation:

V2 + 2 = V 2 = Cte.

On voit que l'exploration spectrale, permettant d'obtenir la surface

S(,, v) = V(A2 +- B2 ),

pourra se faire d'une part en faisant subir un mouvement de rotation au systemvibrant portant des franges de p6riode p et d'autre part en faisant varier demaniere continue la periode p. On d&crit ainsi la surface S(vlk,) a l'aide desections cylindriques a bases circulaires concentriques.

On peut aussi faire varier v' c'est-a-dire le pas des franges, l'angle restantconstant; 1'exploration spectrale est faite a l'aide de sections planes (= vtga)de la surface S(v, ).

F2

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R. Prat

2.1. Remarque I

Si f(x,y) repr6sente la rpartition de l'intensit6 dans 1'image d'un pointlumineux donned par un objectif, on obtient la fonction de transfert de l'objectif.Cette m6thode a et6 utilis6e par Simon [11] qui a ralis6 photographiquement desmires sinusoidales de pas diff6rents.

2.2. Remarque II

Si l'on desire obtenir les termes A(v, ,) et B(v,/z), il faut alors determiner laphase du signal moduk, ce qui est possible electroniquement.

3. RsolutionSupposons que lF'objet etudi6 soit un rseau par transmission R(x) de p6riode

p et que l'on soit proche de la rsonance c'est-a-dire que la p6riode de la miresinusoidale pas variable superpos6e au rseau soit proche de p; l'amplitude dela modulation du flux A(v) est alors maximale lorsqu'elle est exactement gale ap,mais variant comme la transfolm6e de Fourier de R(x) qui est de dimension finieL, la largeur du pic de modulation est sensiblement gale Av= 1/IL (figure 2).

A (., .,-jkVI

nt

A; L

U VI i

Figure 2. Variation de l'amplitude de la modulation autour de la fr6quence spatiale 1/plorsque le contour de l'objet a la forme d'un rectangle.

I y a int6ret, pour am6liorer la resolution, diminuer l'effet des maximumssecondaires, par exemple l'aide d'une figure d'apodisation en forme de losangeplace sur l'objet [13, 14].

En effet, A(v) 6tant l'amplitude de la modulation correspondant a un rseauR(x) suppose illimit6 de p6riode p (figure 3), A(v) est de la forme:

A(v)= f R(x)cos2vrvxdx= (v--) +...

D6signons pour D(x) le facteur de transmission du diaphragme en forme delosange plac6 sur l'objet (figure 4); le flux lumineux transmis est modu1 avecune amplitude donn6e par:

A'(u)= f D(x).R(x)cos27ruxdx.

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Spectrometrie des frequences spatiales et coherence

A(v)

AI

r v

Figure 3. Amplitude de la modulation pour la fr6quence fondamentale /pd'un rseau illimit6.

Figure 4. Diaphragme en losange limitant le contour de l'objet.

Soit D(v) la transform6e de Fourier de D(x):

+ ( )d(v) = f D(x) cos 2rvx dx,

-0

or on a:

r+ ~(D(x). R(x)) = J d(v)A(u - v) dv;

-o0

(.......... ) signifie transformed de Fourier de (.......... ).De plus, d6signant par f(x') le facteur de transmission d'un diaphragme en

forme de fente de largeur L/2 (figure 5), on peut exprimer D(x) l'aide de lafonction d'autocorr6lation:

r+ D(x)= f f(x').f(x-x') dx';

or, f(x) est la transforme de Fourier de

L sin (7rvL/2)2 7rvL/2

- D -~~

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Page 6: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

R. Prat

r -

I IIj I 1

I Ii il i"L J

Figure 5. Diaphragme en forme de fente de largeur L/2.

On peut encore ecrire:

in ( 7rvL/2 ) D(x);

par suite:

L2 ( sin (rvL/2) 2

() = ( ivL12 )

Dans ces conditions, 'amplitude de la modulation est donnee par lelproduit decomposition:

() L2 + sin 2 (rvL/2) A(u-v) dv.A'(u) =7 4 _f- (?,vL/2) 2 'A~

A

2L

4 _2 4 4 ,,2f ! j

Figure 6. Variation de l'amplitude de la modulation autour de la fr6quence spatiale /plorsque le contour de l'objet a la forme d'un losange.

D'oii la representation des variations de A'(u) (figure 6) montrant la baissed'amplitude des maximums secondaires, et d'autre part un largissement du piccentral qui se concoit, le diaphragme en losange cachant la moiti6 de la surface de1 'objet.

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Spectrome'trie des fr'quences spatiales et coherence

4. Rappel de notions concernant la coherence4.1

Consid6rons le sch6ma analogue celui de l'exp6rience d'Young (figure 7)pour lequel la source n'est plus astreinte h etre une fente fine, mais pr6sente unecertaine r6partition d'intensit6. Soit T1 et T2 deux petits trous 6clair6s par cettesource place au foyer d'une lentille L.

L

E

Figure 7. Les deux points T1 et T2 sont 6clair6s par une source S quasi monochromatiquedont la rpartition des luminances est quelconque.

Soit V(t) le signal analytique correspondant h un atome de la source:

V(t) = 2 f v(v)exp(j27rvt)dv,

v(v) 6tant la transformed de Fourier de la partie r6elle V(r)(t) du signal analytique:

+ cov(v)= f V(r)(t) exp (-j27rvt) dt.

Dans ces conditions, on sait que l'intensit6 observe en un point P de l'6cran Esitu6 h une distance D des trous T et T2 est de la forme:

Ip = Il + I2 + 2VIi1VI 2 (Y1 2 (to)),

( .......... ) signifie partie relle de l'expression entre parentheses. On a:

T 2 P- T 1Pto=vv

v vitesse de la lumiere,

I,= vkl2V . V*,

12= k212V2. V2*,

k1 et k2 coefficients tenant compte de la diffraction due aux ouvertures T1 et T2,

12(t) Vl(t + to)V 2 *(t)Y12(t0) = v1I

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Page 8: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

R. Prat

et par suite:

-(y 12 (t0 )) = 1 1 + vI(v)v 2*(v)exp(j2rvto)dv;(V'I VI2 X -Go

y12(t0) est le degree de coherence complexe des vibrations issues de T1 et T2.On peut ecrire, tant donn6 le dispositif experimental:

I = 12 = Iet I = 2I[1 + (yl2(tO))].De plus on a:

ql 2(y(to)) = Il 12(to)l cos (D(to)donc:

1p = 2I(1 + Iy(to) cos D(to)).

or, cos()(to) pouvant prendre la valeur 1 lorsque to varie, c'est-a-dire lorsquele point P se deplace sur l'ecran, on peut definir un contraste y tel que:

max - Im in = Y2(to);

Y Imax + Im in

Irl2(to)l est precis6ment le degree de coherence. On voit donc que le contrastedes franges ainsi que nous l'avons defini, est 6gal au degree de coherence des deuxtrous T1 et T2 eclair6s par la source S.

4.2Supposons, maintenant, la lumiere quasi monochromatique c'est-i-dire emise

autour de la frequence v0.La coherence mutuelle Fr2(to) = V 1(t+ to )V 2*(t) peut s'ecrire:

r1 2(tO) =-2 f v1(v)v 2 * (v) exp (j27rvto) dv;Pl(°= T o

d'oii, le degr6 de cohrence complexe peut se mettre sous la forme:

2 exp (j27wvtO) f oY12 (t) = T2e (- - vl(V)v 2*(v) exp [j2 r(v- vo)to] dv,

ou encore:

Y1 2(to) Y12 (to) I exp [j((to) + 2rvoto)];

mais comme v -v 0 est peu different de z6ro on a:

y 12(t) | y12(to)lexp [j((0)+ 2rv0to)]

donc le contraste y d6fini plus haut est tel que:

Y Y- 12(0)l

4.3La lumiere etant quasi-monochromatique, le signal V(t) peut s'ecrire:

V(t) = 2 exp (j27rvot) J v(v) exp [j2r(v- vo)t] dv,

V(t) = A(t) exp (j27rvot).

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Page 9: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

Spectrometrie des fre'quences spatiales et coherence

Comme v = v0, A(t) varie lentement avec le temps en comparaison avec le termeoscillant exp (j27rvo0t); donc on peut 6crire:

V(r)(t) = a cos (2 rvt-t -)

On peut alors raisonner de deux falcons pour obtenir le contraste des franges:Soit en calculant Y12(0)= Vl(t)V 2*(t), soit en cherchant calculer l'intensit6

due un seul atome de la source en un point P de l'ecran puis faire la sommedes intensit6s pour tous les atomes de la source.

Nous utiliserons ce deuxieme mode de raisonnement qui est particulierementsimple.

5. Contraste des franges avec une source large et procedeNous nous placerons dans le cas oii l'on observe le phenomene i l'infini grace

une lentille L' de distance focale F' (figure 8); nous designerons par a l'amplitudemaximale de la vibration lumineuse due au point M de la source pour chaqueouverture T, T2. La direction des vibrations diffract~es par les trous T et T2

Figure 8. Chaque point M de la source contribue a la valeur de l'intensiteau point P de l'ecran.

dans la direction du point P sur l'ecran E etant fixe, nous d6signerons par 8 ladifference de marche correspondante qui ne dpend que de la position de P;par contre chaque point M de la source caracteris6 par le vecteur contraireU (u, v) de l'onde incidente correspond une difference de marche:

8 = uX+ vY,

X et Y coordonn6es du trou T, le trou T2 coincidant avec l'origine des axes.L'intensit6 au point P due l'el1ment ds de la source est alors:

dIp = 2a2 1 + cos ( (uX+ vY) + 00 ) ] ds,

avec

2A8o#0= ,

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Page 10: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

R. Prat

Par consequent, pour la source entire on a:

Ip= f f2a2 (1 +cos( 2r (u+ vY) + 0 o)dxdy,

Ox et Oy 6tant les axes de coordonnees dans le plan de la source; mais u = - x/Fet v = -y/F (F distance focale de la lentille L)par suite:

I,= jf 2a2( 1 +cos(27r (Ax+ Y) -0o)dxdy,

et si l'on pose:2a 2 =f(x,y) intensity6 en chaque point de la source),

X YFA- ' FA /'

on a:

Ip= ff f(x.y) dxdy+cos 0 f f(x ,y)cos27r(vx+py)dxdy

+ sin 00 f f (x, y) sin 27r(vx + ly) dx dyd S

soit.Ip = Cte + A (v, [k) cos 00 + B(v, [t) sin 00;

c'est-a-dire:Ip = ctC + (A2 + B2) cos (- ),

avecB

tg= A.

II apparait immediatement que le contraste y des franges, qui n'est autre que ledegree de coherence obtenu en donnant cos (00- ) la valeur + 1, est gal V/(A 2 + B2) amplitude du spectre des fr6quences spatiales de la source S:

7= /(A2+ B 2 ).

On peut dire encore que l'amplitude de la modulation de l'clairement de l'cranE est gale \/(A2+B 2). Le premier proc6d6 que nous proposons consisteprecis6ment determiner l'amplitude de la modulation de l'clairement doncl'amplitude spectrale /(A 2 + B2).

D'autre part, etant donn6es les expressions de v et i, on voit que l'explorationspectrale se fera en faisant varier X et Y, c'est-a-dire en faisant decrire au trou T1le plan X2Y tout en mesurant l'amplitude de la modulation des franges en faisantvarier qo (en d6placant le point P).

6. RemarquesI. Le calcul pr6cedent pouvait se faire diff6remment en consid6rant que dans

le plan E, on observe l'image d'un objet etendu eclair6 de maniere incoh6rente,la pupille etant form6e par l'ensemble des trous T1 et T2.

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Page 11: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

Spectrometrie des frequences spatiales et coherence

Supposons le grandissement gal 1 et F'= F; cette pupille correspondune tache de diffraction dont l'intensite s'6crit au point P de coordonn6es x0, Yodans le plan image:

90 = 1 + cos 2r X( X+ Y) .

Par suite, l'intensit6 au point P due a tous les points M(x,y) de l'objet est donndepar le produit de composition:

IP= ff(xy) +cos27r ((X -xo)X + (Y o)Y) dxdy;

on retrouve bien l'expression pr6cedente avec

2r(xoX+yoY)4o = FA

II. Nous avons obtenu des expressions tout a fait analogues a celles 6tabliesau dbut de ce travail. En effet, la source S etant ralis6e l'aide d'un objettransparent eclair6 de maniere uniforme et incoherente, le dispositif decrit revienta faire coincider avec l'objet un systeme h transmission sinusoidale ralis6 par lestrous T1T2 et le point P.

III. Etant donn6e la maniere dont on ralise la source, il est possible de fairevibrer l'objet dans son plan pour obtenir l'amplitude de la modulation au pointP qui reste alors fixe. En effet, 'objet tant rapport aux axes de coordonneesOx, Oy faisons-lui subir une translation O'O(a, f). Les nouvelles coordonneesdu point M(x,y) de l'objet par rapport l'origine O' sont alors: x + , y + etl'on a maintenant:

x+a y+fu=-F v-F

Ainsi, dans l'expression de l'intensit6 IP, q0 pourra etre remplac6 par:

- 2-r(v, + pfl).

L'amplitude de la modulation peut donc simplement s'obtenir en faisant varierx0 ou y0 ce qui peut etre r6alis6 en faisant vibrer l'objet dans son plan.

IV. Lorsque la source a une repartition d'intensite symetrique par rapport al'origine 0, donc lorsque f(x,y) est une fonction paire, le terme B(v, ) est nul.On a donc:

Ip= Cte +A(v,tp)coso;

le degree de coherence est alors gal A (v, ,u).En particulier, si la source est circulaire et uniforme, le degr6 de coherence est

donned par l'amplitude au point T d'une tache de diffraction fictive due uneouverture circulaire ayant pour dimension celle de la source et se formant dans leplan des trous T et T2; c'est le theoreme de Van-Cittert-Zernike. D'unemaniere plus generale, lorsque la source presente un centre de symetrie on peutdire que le degr6 de coherence est donned par la transformee de Fourier de larepartition des luminances de cette source.

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Page 12: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

Ainsi, dans le cas qui nous preoccupe pour lequel on desire eclairer un objet demaniere incoherente, le dispositif d'6clairage, un arc par exemple, devra etre vudepuis le plan de l'objet sous un angle suffisamment grand pour que la dimensionA/a correspondant la tache de diffraction fictive soit petite compte tenu dudomaine de frequences spatiales explore.

7. Ralisation experimentalDans le montage experimental que nous proposons les trous T1 et T2 sont

remplaces par deux fentes fines paralleles F1 et F2 distantes de Y (figure 9).

Figure 9. Les trous T et T2 sont remplaces par deux fentes fines F1 et F2distantes de Y.

(a) Pour bien se rendre compte de ce qui se passe, 6tudions pour un point Mde la source situe en dehors de l'axe l'aspect de la figure de diffraction dans leplan de l'ecran E c'est-a-dire dans le plan image rapport aux axes O'x', O'y'.Soit Ox, Oy les axes dans le plan de la source et OX, Q Y ceux dans le plan oi setrouvent les deux fentes F1 et F2 parall1les h 2X, F2 coincidant avec QX.

A chaque point lumineux tel que M, la lentille L de distance focale F faitcorrespondre une onde plane de direction MQ caract6rise par le vecteur unitaireU(u, v), le phenomene d'interference (ou la tache de diffraction) etant observedans le plan focal de la lentille L' de distance focale F'; l'onde incidente planeconsidered correspondent des ondes diffract~es caracteris~es par le vecteurunitaire U'(u', v') tel que:

U' = U = Ct e ,

alors que v' peut &tre quelconque.Les rayons diffracts forment donc deux familles de surfaces coniques paralleles

ayant pour axes les fentes F1 et F 2 et d'angle au sommet a tel que cos a = u.L'ecran etant parallele aux axes des surfaces, on observe dans le plan focal

de la lentille une ligne lumineuse en forme de branche d'hyperbole tres aplatie(cos est petit) le long de laquelle se repartissent les interferences lumineuses.Etant donn~es les dimensions du montage cette ligne peut etre consider commeun segment de droite suivant la direction PM'.

(b) Calculons maintenant la difference de marche pour les vibrations diffracteesparvenant au point P (x',y') du phenomene d'interference correspondant au

84 R. Prat

Page 13: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

Spectromitrie des frequences spatiales et coherence

point M; parmi celles-ci, considerons les vibrations passant par le pointquelconque N de la fente F1, et celles passant par i; on a:

8=uX+vY;

or, comme u- u' = 0,

8= (v-v')Y;

lasdiffdrence de marche ne dpend que de la distance Y des deux fentes et descosinus directeurs v et v' de l'onde incidente et de l'onde diffractee; la tache dediffraction est donc une ligne lumineuse d'intensit6

l+cos2r(v-v'Y) = 1 + cos 2r y + y )1+cos2~i. A FA FA,

puisque l'on a:

y ,y yv= - et v= -F F' F'

en prenant F'= F.En particulier, si le point M(x,y) drit une fente parallele Ox (figure 9),

y est constant; par suite on voit que

8=-(F +Y) Y'

ne depend pas de x' et varie proportionnellement ay'. On observe bien un systemde franges rectilignes, parallles la fente source et aux fentes F1 et F2.

(c) Le flux lumineux ·D correspondant la ligne y' = Cte passant par le pointP et paralle O'x' est donned un facteur pros par le produit de composition:

0= fff(xy) ( +cos2,r (Y +Y') Y dx dy,

f(x,y) intensity de la source ralis6e par l'objet que l'on etudie &claire de maniereincoherente.

On peut ecrire

= f f f(x,y)daxdy+ cos2f d(xy)cos2 dxdy

-sin 27rTy Jf(x, y) sin 2y dx dy,

soit:

= Cte + A(0, ) cos 00- B(0, /,) sin 0.

Faisons subir a l'objet une rotation telle que l'axe Ox tourne de l'angle ;l'ordonn6e y devient x sin c +ycos o; par suite:

Ysi~ Ycos\,=cte +cosoff f(x,y)cos2( Ysina x FA y)dxdy

- Jff( TA FA x+ YFhY

_sin o f f f(x,y)sin27r ( sinx + YCS 0) dxdy.

85

Page 14: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

R. Prat

On peut donc crire:

(= Cte+ cosc A(vL)-sinCB(v, t)=Cte+ V(A2+B 2)cos (27T Y T + )

avec

Ysin a Y cos BF ' FA et tg =A.

Pour une distance Y donn6e, entre v et / existe la relation:

y2V2 +,2 = F2A2 = cte.

Ainsi que nous l'avons dja montre, l'exploration spectrale peut se faire d'unepart, en faisant varier et d'autre part Y. La surface S(v,/) = V/(A 2+B 2) estalors dcrite suivant des sections cylindriques bases circulaires concentriquesdans l'espace des frequences spatiales.

Nous verrons plus loin qu'il est preferable de faire varier Y; dans ces conditionson a: v=/tgc ; l'exploration spectrale est faite l'aide de sections planes de lasurface S(v, ) obtenues pour differentes valeurs de .

8. Description du montageNous indiquons ici la ralisation possible suivante (figure 10). L'objet

etudier eclaire de mani6re incoherente se trouve dans le plan focal de la lentille L.F1 et F2 sont deux fentes fines associees chacune a une lentille et un miroir: l1, M1et 12, M2 respectivement; chaque ensemble FlllM1, F 2M2 peut se dplacersymetriquement avec un mouvement uniforme de part et d'autre de l'axe OO', la

orcc bel5ovre Objet

Figure 10. Ralisation experimentale th6orique.

distance F1 F2 etant gale a Y. Les miroirs M3, M4, M, et la lame semi transparenteS completent un dispositif interferometrique permettant aux ondes issues deF1 et F2 d'interferer.

Signalons qu'un interf6rom6tre d'un type analogue a te mis au point parM. Cagnet en vue de la mesure du diametre des toiles [12]. L'amplitude de lamodulation du flux lumineux obtenue, soit en faisant vibrer l'objet dans son plansoit l'aide d'une lame de verre faces paralleles placee sur un des trajets de

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Page 15: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

Spectromitrie des frequences spatiales et coherence

l'interferometre et anime d'un mouvement oscillant, est mesuree grace unphotomultiplicateur suivi d'un appareillage lectronique appropri6 (redresseur)et d'un enregistreur [13, 14].

L'enregistrement spectral se fait en meme temps que les fentes F1 et F2 sedeplacent, l'angle caracterisant la position de l'objet etant constant.

Dans ces conditions comme on l'a vu precedemment on peut 6crire:

v=/tgc.

On voit que la surface spectrale S(v, ) est explore l'aide de sections planesperpendiculaires au plan des coordonn~es v, et dont les traces sur ce planpassent par l'origine.

I'!

7.~ ~ ~ ~ .r

r;~~4

F4I~ P' I -T

ihrfromit

I.re. M4

L 14i

Figure 11. Ralisation experimentale pratique.

En fait l'appareil ainsi dcrit n'est pas d'une ralisation commode, l'inter-f6rometre devant rester rgl6 pendant le dplacement des fentes F et F2; onpeut eviter cette difficulty grace h une autre disposition qui s'inspire de la m6thodede Michelson (figure 11). Les fentes F1 et F2 restent fixes, mais ce sont les fentesF1 ' et F2' images de F1 et F2 respectivement donnees par les miroirs Ml, M2, M2',M2 ' qui s'ecartent l'une par rapport a l'autre grace au deplacement de M1' et M2',la distance F1 ', F 2' tant pr&cis6ment gale a la variable Y.

Comme pr6cedemment, l'objet se trouve dans le plan focal de la lentille L.

8.1. Influence de la largeur des fentes

Jusqu'a maintenant, nous n'avons pas tenu compte des effets de la diffractionen ce sens que nous avons suppose les ouvertures T, T2 et les fences F, F 2suffisament fines. Pour en tenir compte le calcul peut se faire de la manieresuivante:

Soit a la largeur des fentes et leur distance. Nous avons montre que toutse passe comme si le phenomene 6tait a une seule dimension.

87

A��l r2

Page 16: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

88 R. Prat

Considerons alors un objet ne comportant qu'une seule frequence spatiale,= l/p; la rpartition des intensit6s de la source module par cet objet est de laforme:

2 -r(y -Yo)O(y) = 1 + cos

P

Nous dsirons connaitre l'intensit I de l'image en un point P d'ordonnee Yo'de l'ecran o elle se forme, la pupille du systeme optique form6e par les lentillesL1 et L2 tant l'ensemble des deux fentes F1 et F2.

Nous supposerons le grandissement gal 1. Si D(y')=A(y').A*(y') estla rpartition de l'energie dans la tache de diffraction due aux deux fentes, on a:

IP = O(y')*9(y') = f O(y') (y o - y ' ) dy'

par suite on peut &crire:

i(/x) = 0(). a(),

i, 0, d designant respectivement les transformees de Fourier de Ip, 0, ; on a:

O()= f (1 + cos 2 (YpY°))exp (j2-ry') dy'

=() + exp [j27r(yO/p)] / 1- + exp [-j2(Yo/)] ( 1 )2 2 p 2 P

8(/t) tant la fonction de Dirac (figure 12),r+ O

d() =f A(y'). A*(y') exp (j2-,y') dy'.-oo

Mais on sait que l'on a:P+

A(y')= A*(y')= J T(v) exp(j27rvy')dv

eto+co

T(v) = A(y') exp (-j 2 ,rvy') dy',

avec v = Y/FA.-avec v = Y/FA.

l

.4

A ~ ± /

Figure 12. Transformee de Fourier de 'objet periodique illimit6 0(y).

MIA

f P

Page 17: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

Spectrometrie des frequences spatiales et coherence 89

T(v) caracterise le diaphragme former par les fentes F1 et F2. On peut alorsecrire:

+ )T(d(tz) = T(v) T( - v) dv;

-0

Figure 13. Fonction de transfert correspondant aux deux fentes F1 et F2.

d(/) est donc gal la fonction d'autocorrelation representee sur la figure etrelative la fonction T(v) (figure 13); or on a:

i(t) d( ) ( x)+ - exp[+j2 r(Y/P)] )+exp[-j2(y0 /p)] (+ 1

par suite:

I(y) J d(y')8 () exp (-j27y') dv + exp [j2(yop)]

r+cod(tz)$ /I exp ( -j2.ry')dt, + exp [-j2,(yo/p)]f P ~~~~~2

x x d(d)$( + -exp ( -j2rty' )d) d,

donc:

I(y') = d(O) + d () exp [-j27r (y'-Y)/P)] + d (-) exp [+j2r(y' -Yo)/P)]

Mais d(p) est une fonction paire

d () =d(--)

et:

I(y')=l +d( ) cos2 7 yp ;

O.A. C~~~~~~~~

GO.A.

Page 18: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

R. Prat

d'oii:

y=dQ).d(PI

y s'obtient en faisant varier soit y' soit y.D6signons par I la distance des fentes F1F2. Supposons que l'on soit proche

de la resonance, c'est-h-dire que le pas des franges AF/I correspondant h la distanceI des fentes soit peu different la periode p de l'objet.

1 1 a

Si = AF) passe par un maximm (=2

Si 1 = I- + a y s'annule.p tF - AF' y

Donc la largeur des fentes intervient en c sens qu'il se produit un elargissementdu pic de modulation.

Au lieu de n'obtenir la modulation maximale que pour la valeur de la frequencespatiale 1/p, une modulation rsiduelle subsiste dans un intervalle de frequence6gal 2alAF.

9. RsolutionNous avons suppose dans ce raisonnement que l'objet tait illimite. Dans

ces conditions la resolution n'est limitee que par la largeur des fentes et est gale h:

AV AF

Pratiquement l'objet est limited et l'on devra utiliser des fentes de largeur telleque la rsolution soit proche de la resolution th6orique calcul6e plus haut, ilsuffit que l'on ait:

2 aL AF

d'oi:

2AFa L

L d6signant la dimension de l'objet qui est en jeu dans le cas de 'apodisation l'aide d'un diaphragme en forme de losange.

10. RemarquesI. On a trouv6 en supposant Yo = 0 que:

) = [d()-8(1)] + 7-2 [ [d() 8 (p - + d(p) ( ] ;

90

Page 19: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

Spectrometrie des fr'quences spatiales et coherence

or,

Y[d(M)] =(y'), Y[8(/)]= 1,

= exp ( -j27r ) I , ( ,-'- )se

) exp (-j2mpy') da

xp[-j2r(Lh- )Y'] d (P-)

Figure 14. Variation de l'amplitude de la modulation au voisinage de la difference demarche nulle (y ' 0) si l'on tient compte de la largeur des fentes F, et F2 .

de meme:

+j27r) .¢)On peut donc ecrire:

'(Yv'): f~] 9(y')dy'+ f2 9(Y') exp-j (Yp - y')]dy'

+ f 9(Y') expE +j p (yv'-Y')]dY';+ ,

or,r+

d(p)= f -9(y') exp(j2mry') dy';

donc

Iyp')=d(O)+On retrouve bien ' expression pr-jydente.On retrouve bien 'expression precedente.

G2

91

yf )-j27r -;

p

1 1)d(-- _xp ( +j 27ryp,).

2 p p

IFI ( /J- - P, I = f +- 0'0 a ( p -

1 I�F a 1-1 - - = exp

I ( p

3�7 [8 (,+ -

P1 I =Cxp (

Page 20: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

R. Prat

II. On peut se preoccuper de savoir ce qui se passe lorsque l'objet tudie n'estplus illimit6 mais que sa dimension suivant la direction Oy est gale L.

Dans ces conditions en supposant Y0 = 0, on peut 6crire

/ y'O(y')=F(y') ( 1 +cos27ry )

F(y') etant constamment gale (1) dans l'intervalle:

L L-2' +2

et nulle h 1'exte6rieur. Par suite:

O(p)= F(y') (1 + cos 2r Y ) exp(j2vty')dy'.

On peut ecrire:

0(/)= F(y')exp (j2ry')dy'+ - _ F(y')exp [j2r ( + ) y'] dy

+ F(y') exp [ (2r I- y'] dy',

soit:

0 (a) = A () + -2A (+ p + -2A tP)

avec

sin riL (/n l \ sin ,+ (l/p)]LA(/p)=L A /1 tp+pJ =L

r-[t,+(1/p)]L

A 1) =L sinlr[,- (1/p)]LA t-p ) sin7r[l,-(1/p)]L

on a donc:

7[A(t1-)] = A() exp (-j2-ry')dp =F(y'),oo

.f [A (+p)-]:=F(y')exp (j-Y'),

,* [A ( p ) ] =F(y') exp _- ~-Y,);

or, on a:

i(l,)=A()-d(j,)+ A (U,+p d(v)+ A (u.-p d(p)

92

Page 21: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

Spectrometrie des frquences spatiales et coherence

par consequent:

1{ .2r ,\I(YP')= J F(Yp'-Y')9(Y')dY' + exp (J-Yp')

X | F(yp'- y')exp (-j-y') (y')dy' + 2-exp (-jyp)

X F(yY -y')exp +j27ry') (y')dy'

Calculons le coefficient de

1 .27r')2exp (jYpv);

on a:

| F(y,'-y')exp (-jpy) dy'=exp j27ye) x 7 F(yp'-y')

exp jp (yp,'-Y') d(yp'-y')=exp (-i2yp)L sin.(1). L

| (y')exp -j fy')dy'=d(1) ·

Par suite, v tant la variable d'integration:

F(y -y')(y')exp (-j2y') dy'

f -~~~ ~ ~~~~~~~~i r [ (/)- v]

= exp[-j2,ryp' (p-) ] I(v). L , sin 7r [(lp)-V]L dV=B (1 ).- L 2Tp ~ V)G IL~i(/)v]LG

On peut aisement se rendre compte que le coefficient de

1 2,7r ,\exp (-jpY)

est 6gal a:

(B' )= | exp [j27y' ( -v) d(v). sinus [(1/p)-v]L dv;P f -00 I G V)] -[(1p) -v]L

supposons que l'on soit proche d'un maximum de d(v); par exemple,

1 1p AF;

pour que le produit intervenant dans 'expression de B(1/p) ou de B'(1/p) soitdifferent de 0, il faut necessairement que (p)- v soit petit

( v_,1 a )p- ~).

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Page 22: Spectrométrie des Fréquences Spatiales et Cohérence

R. Prat

De plus, si l'on est au voisinage de la difference de marche nulle (yp' -- 0) on peut6crire:

B' ( ) B (3) f ~ d(v)L sin 7r[( l 1/p ) - v]L dB' =B f ~d''L S- dv;

'\p) J7 r [( 1p) - v]L

d'ou:

I(yp')C+B - cos 2 r.

Dans cette expression, 1/p est la fr6quence spatiale de l'objet et C est peu differentd'une constante. L'amplitude de la modulation est donc gale B(1/p) produitde composition des deux fonctions d(v) et:

L sin 77[(1/p)- v]Li(l/p)- ]L

repr6sent6es sur la figure (figure 14). Elle est approximativement gale a leur airecommune; on voit, lorsque v fr6quence spatiale de l'objet est gale (/AF), quela largeur des fentes est optimale si

a 1

AF L

ou, dans le cas de l'apodisation si

a 2

AF L

on retrouve la valeur d6jh obtenue:

2AFa L

11. Cas des reseauxSi l'objet tenant lieu de source est un reseau par transmission, amplitude

de la modulation passera par un maximum chaque fois que l/AF sera gale h unefr6quence spatiale du rseau. En particulier, si la lumiere n'est pas mono-chromatique et si l'on se fixe sur la fr6quence l/p, par exemple, la distance desfentes I sera diff6rente pour chaque longueur d'onde puisque l'on doit avoir:

1 1

AF p

on obtient alors un spectre de longueurs d'ondes.

12. ConclusionLes occasions o l'on dsire connaitre le spectre des fr6quences spatiales

d'un objet se faisant de plus en plus nombreuses et la simplicity de la m6thodejustifient l'6tude th6orique pr6c6dente. Par exemple, le calcul a montr6 unpoint important, savoir que du fait de la largeur des fentes l'amplitude de lamodulation devait tre mesur6e au voisinage de la difference de marche nulle.

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Spectrometrie des frdquences spatiales et coherence

Ainsi, grace cette tude on a pu se rendre compte des precautions que l'ondoit prendre afin d'obtenir une information spectrale convenable.

Ce travail a beneficie de l'aide apportee par le fonds de developpement dela Recherche Scientifique et Technique.

A large number of investigations are concerned with the spectrometry of spatialfrequencies. The growing interest which is shown toward this technique has led us tolook into two types of spectrometer. One of these is fully described, the other, whichfunctions in polarized light, will be described subsequently.

Eine grosse Zahl von Untersuchungen befasst sich mit der Spektrometrie dcr Raum-frequenzen. Das wachsende Interesse, das dieser Methode entgegengebracht wird,veranlasst uns, zwei Arten von Spektrometern vorzuschlagen. Davon wird die einevollstindig bschrieben, waihrend die andere, die mit polarisiertem Licht arbeitet, erstspiter dargestellt warden soll.

BIBLIOGRAPHIE

[1] MARECHAL, A., et FRAN4ON, M., 1960, Diffraction, structure des images (Rev. opt).[2] BoRN, M., et WOLF, E., 1964, Principle of Optics (Pergamon Press).[3] HANBURY BROWN, R., et Twiss, R. Q., 1957, Proc. roy. Soc. A, 242, 300.[4] HANBURY BROWN, R., et Twiss, R. Q., 1957, Proc. roy. Soc. A, 243, 291.[5] SCHADE, O. H., 1951,J .S.M.P.T.E., 56, 137.[6] SCHADE, O. H., 1952, Ibid., 58, 181.[7] SCHADE, O. H., 1953, Ibid., 60, 97.[8] SCHADE, O. H., 1955, Ibid., 64, 593.[9] SCHADE, O. H., 1958, Ibid., 67, 561.

[10] VIENOT, I., 1958, Proc. phys. Soc., Lond., 72, 661.[11] SIMON, J., 1961, Rev. Opt., 40, 213.[12] BLUM, E., et CAGNET, M., 1961, C.R.A.S., 253, 2657.[13] CONNES, P., 1959, Rev. Opt., 38, 157.[14] CONNES, P., 1960, Ibid., 39, 402.

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