1. Vocabulaire a. Sphres et boules

Sphre Soit O un point de lespace et R un nombre positif. La sphre de centre O et de rayon R est lensemble des points M de lespace tels queOM = R. Une sphre est une surface. Boule Soit O un point de lespace et R un nombre positif. La boule de centre O et de rayon R est lensemble des points M de lespace tels queOM R. Une boule est un solide.

Exemple La sphre ci-contre a pour centre Oet pour rayon R = OM. O, A et Cnappartiennentpas cette sphre.M et B appartiennent la sphre. Les points M, C, O, B appartiennent la boule. A nappartient pas la boule car OA > R.

b. Grand cercle

Soit une sphre de centre O et de rayon R. Un grand cercle de la sphre est un cercle de centre O et de rayon R. Remarque : Si le milieu du segment form par deux points de la sphre est le centre de la sphre, alors on dit que ces deux points sont diamtralement opposs.

Exemple On considre la sphre de centre O ci-contre. Les points A et B sont diamtralement opposs. On dit aussi que [AB] est un diamtre de la sphre. Deux grands cercles de la sphre ont t reprsents en orange et en vert.

2. Section plane d'une sphre Quand elle existe, la section plane dune sphre par un plan est un cercle ou un point. Exemple Soit une sphre de centre O et de rayon R. On considre un plan P et un point H de ce plan tel que la droite (OH) soit perpendiculaire ce plan. On appelle la distance OH la distance du centre O au plan P.

1er cas Si OH > R, alors le plan P ne coupe pas la sphre ; il ny a donc pas de point commun.

2eme cas Si OH = R, alors le plan P coupe la sphre en un unique point H. La section plane se rduit alors au pointH. On dit que le plan P est tangent la sphre.

3eme cas Si 0 < OH < R, alors la section plane de la sphre par le plan P est un cercle de rayon [MH]. Le triangleOHM est rectangle en H. Par application du thorme de Pythagore dans OHM, il vient :

. On dit que la sphre est spare en deux calottes sphriques.

Remarque : Si OH = 0, alors la section de la sphre par un plan est un grand cercle de la sphre et la sphre est ainsi spare en deux hmisphres.

3. Aire et volume a. Aire d'une sphre

Soit une sphre de centre O et de rayon R. Laire de cette sphre est donne par :

A = 4R2. Exemple On souhaite peindre un ballon de 30 cm de diamtre. Pour cela, on a besoin de la surface du ballon. Autrement dit, calculer laire de la sphre. A = 4R2 = 4 152 = 900 2 826. La valeur exacte de laire est 900 cm2. Une valeur approche est 2 826 cm2. b. Volume d'une boule

Soit une boule de centre O et de rayon R. Le volume de cette boule est donne par :

. Exemple 1 Trouver le volume dune boule de 6 mtres de rayon.

. La valeur exacte du volume est 288 m3. Une valeur approche lunit du volume est de 904 m3. Exemple 2 La Terre est un solide assimilable une boule de rayon 6370 km. En donner un volume approch en criture scientifique.

. Une valeur approche du volume terrestre est 1,1 1012 km3.