Spinnler - Conception Des Machines Principes Et Applications Dynamique

CONCEPTION DES MACHINESCONCEPTION DES MACHINESCONCEPTION DES MACHINESCONCEPTION DES MACHINES PRINCIPES ET APPLICATIONS

2 DynamiqueDynamiqueDynamiqueDynamique

GEORGES SPINNLER

PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES

thomas gerbig

Vous pouvez consulter notre catalogue gnral sur notre serveur Internet http://ppur.epfl.ch

Volume 2 ISBN 2-88074-302-8 1997, Presses polytechniques et universitaires romandes, CH 1015 Lausanne Tous droits rservs. Reproduction, mme partielle, sous quelque forme ou sur quelque support que ce soit, interdite sans laccord crit de lditeur.

TABLE DES MATIRES

Volume 2: DYNAMIQUE

CHAPITRE 12

NERGIE ...................................................................................... 112.1 Introduction ........................................................................ 112.2 Flux dnergie ................................................................... 212.3 Irrversibilit ...................................................................... 912.4 Stockage dnergie mcanique........................................... 1612.5 Commande du ux dnergie ............................................. 3112.6 Circulation de puissance .................................................... 4412.7 Applications ....................................................................... 5112.8 Conclusions principales ..................................................... 61

CHAPITRE 13

MODLES DYNAMIQUES ........................................................ 6313.1 Introduction ........................................................................ 6313.2 Gnralits.......................................................................... 6413.3 Oscillateur lmentaire....................................................... 6513.4 Masses continues, discrtisation ........................................ 6813.5 Modles quivalents ........................................................... 7313.6 Conception des modles..................................................... 8213.7 Modles cintostatiques ..................................................... 10013.8 Exemples de modlisation.................................................. 10613.9 Conclusions principales ..................................................... 114

CHAPITRE 14

MOUVEMENT DES GROUPES ................................................. 11714.1 Introduction ........................................................................ 11714.2 Rgimes de mouvement ..................................................... 11814.3 Equations du mouvement ................................................... 12014.4 Groupe moteur-machine..................................................... 13014.5 Dmarrage .......................................................................... 14214.6 Rgime stationnaire............................................................ 15714.7 Freinage.............................................................................. 16314.8 Mcanismes irrversibles ................................................... 17214.9 Conclusions principales ..................................................... 179

CHAPITRE 15

PRCISION DES MOUVEMENTS............................................. 18115.1 Introduction ........................................................................ 18115.2 Mthodologie ..................................................................... 182

2. Table des mati res Page V Mercredi, 8. f vrier 2006 11:12 11

VI CONCEPTION DES MACHINES

15.3 Erreur cinmatique ............................................................. 18415.4 Erreur dynamique provoque par le mouvement ............... 18615.5 Affolement ......................................................................... 23015.6 Mouvement saccad (stick-slip)......................................... 24015.7 Rebonds.............................................................................. 24615.8 Modles plusieurs degrs de libert ................................ 24815.9 Amlioration des performances dynamiques ..................... 25615.10 Erreur provoque par leffort en bout de chane ................ 27415.11 Mouvements commande non positive ............................. 27915.12 Conclusions principales ..................................................... 280

CHAPITRE 16

EFFORTS DINERTIE ................................................................. 28316.1 Introduction ........................................................................ 28316.2 Gnralits.......................................................................... 28316.3 Sollicitation des pices par les forces dinertie .................. 28816.4 Equilibrage ......................................................................... 30116.5 Conclusions principales ..................................................... 319

CHAPITRE 17

SOLLICITATION DES STRUCTURES...................................... 32117.1 Introduction ........................................................................ 32117.2 Efforts transmis .................................................................. 32317.3 Mcanismes commande positive ..................................... 32517.4 Mcanismes commande non positive .............................. 33117.5 Effets des jeux .................................................................... 36617.6 Vibrations paramtriques.................................................... 36917.7 Attnuation des efforts dynamiques ................................... 37817.8 Chocs.................................................................................. 41317.9 Ressorts .............................................................................. 42117.9 Facteur dapplication.......................................................... 42417.10 Conclusions principales ..................................................... 425

CHAPITRE 18

VIBRATIONS............................................................................... 42718.1 Introduction ........................................................................ 42718.2 Dynamique des rotors ........................................................ 42818.3 Vibrations des machines..................................................... 45918.4 Protection contre les vibrations .......................................... 46618.5 Conclusions principales ..................................................... 490

BIBLIOGRAPHIE ........................................................................ 493INDEX........................................................................................... 499LISTE DES SYMBOLES ............................................................. 507REMERCIEMENTS AUX DITEURS........................................ 515

2. Table des mati res Page VI Mercredi, 8. f vrier 2006 11:12 11

TABLE DES MATIRES VII

Volume 1: STATIQUE

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

CHAPITRE 2

FROTTEMENT

CHAPITRE 3

DTRIORATION DES SURFACES FONCTIONNELLES

CHAPITRE 4

DISSIPATION DNERGIE

CHAPITRE 5

EFFORTS STATIQUES

CHAPITRE 6

DFORMATIONS ET RIGIDIT

CHAPITRE 7

PRCONTRAINTE

CHAPITRE 8

DISTRIBUTION DES EFFORTS

CHAPITRE 9

LIAISONS, MOBILIT

CHAPITRE 10

MCANISMES

CHAPITRE 11

AMPLIFICATION

Volume 3: DIMENSIONNEMENT

CHAPITRE 19

CHAUFFEMENT

CHAPITRE 20

ENTRANEMENT

CHAPITRE 21

STABILIT

CHAPITRE 22

TANCHIT

CHAPITRE 23

RSISTANCE ET CHOIX DES MATRIAUX

CHAPITRE 24

DIMENSIONNEMENT ET SCURIT STRUCTURALE

CHAPITRE 25

DIMENSIONNEMENT LA VITESSE ET AUX DFORMATIONS

CHAPITRE 26

ARCHITECTURE

CHAPITRE 27

CONCLUSIONS GNRALES

2. Table des mati res Page VII Mercredi, 8. f vrier 2006 11:12 11

CHAPITRE 12

NERGIE

12.1 INTRODUCTION

Les machines sont le sige dun ux dnergie qui nat dans les organes moteurs.De lnergie mcanique est:

transmise pour effectuer le travail utile; dgrade en chaleur par le frottement; stocke sous forme potentielle dans les lments dformables et dans les mas-

ses qui slvent; stocke sous forme cintique dans les masses en mouvement.

Des lments ayant emmagasin de lnergie peuvent la restituer et devenirmoteurs; alors le ux dnergie sinverse. Mais certains organes, dits irrversibles,empchent le retour dnergie, sans quils soient forcment immobiles.

Le ux dnergie se commande par les embrayages, les coupleurs et les roueslibres. Les trains picyclodaux prennent une place part parmi les organes decommande, car le sens du ux dnergie y dpend du rapport de vitesses de leursarbres.

Ce chapitre, consacr ltude du ux dnergie, est structur comme suit: Section 12.2 Dnition des organes moteurs et rcepteurs, sens du ux

dnergie selon le rgime de fonctionnement. Section 12.3 Prsentation de la notion dirrversibilit et du facteur de frei-

nage qui constitue un critre pour juger lirrversibilit. Oninsiste sur la diffrence entre le facteur de blocage et le facteurde freinage.

Section 12.4 Etude des accumulateurs dnergie mcanique, en particulierdes ressorts et des volants.

Section 12.5 Prsentation des organes permettant dtablir ou dinterrom-pre un ux dnergie. Trains picyclodaux.

Section 12.6 Circulation de puissance dans les systmes boucls prcon-traints ou contenant au moins un train picyclodal.

Section 12.7 Analyse du ux dnergie dans les vis de mouvement et dansles mcanismes came. Ces exemples runissent aussi desnotions dveloppes loccasion de ltude des mcanismes(chap. 10).

Section 12.8 Conclusions principales.

Chapitre 12 Page 1 Lundi, 6. f vrier 2006 3:49 15

2

CONCEPTION DES MACHINES

12.2 FLUX DNERGIE

12.2.1 Bilan nergtique

La gure 12.1 schmatise le ux dnergie travers une machine. On distinguetrois domaines:

Le

domaine de lenvironnement

change de lnergie avec la machine: ilfournit lnergie motrice , reoit lnergie utile et la chaleur

Q

prove-nant des pertes dans les organes de la machine (pollution thermique).

Le

domaine de la machine

est le sige du flux dnergie motrice, on y trouveles pertes

et lnergie stocke par les divers organes. Le

domaine thermique

contient tout ce qui participe la transmission de lachaleur entre les sources de chaleur et la dissipation lambiance

Q

. Lachaleur

est gnralement gale la perte .

De lnergie mcanique peut tre stocke sous deux formes: stockage dnergie potentielle dans des ressorts ou par dplacement vertical

de masses,

W

U

; stockage dnergie cintique,

W

T

.

Le bilan nergtique la frontire III scrit

Les sommes sont tendues tous les organes concerns.Une drivation par rapport au temps permet de dnir:

= puissance motrice= puissance utile= puissances perdue= puissance de stockage sous forme potentielle= puissance de stockage sous forme cintique

Em Eu

Wp Ws

Q+Q+ Wp

Environnement

Em Qm Q1 Qn chaleurdissipe

Eu

I

III

IICm C1 Cn

Capacitsthermiques

moteur organe 1 organe nWsnoutil

Machine

Ws1

WpmW1 W2 Wn Wn+1

Q+m Q+1 Q+nperteWp1 Wpn

Fig. 12.1 Schma nergtique dune machine.

(12.1)Em = Eu + Wp + WU + WT

Pm EmPu EuPp WpPU WUPT WT


NERGIE

3

Le bilan nergtique (12.1) se transforme en un bilan de puissance

Le

rendement instantan

de la machine est par dnition

Il peut scrire sous la forme

Les termes de stockage sont ngatifs en cas de restitution dnergie. Selon leursigne et leur intensit, le rendement instantan varie entre et , voir ltudedtaille au paragraphe 10.5.4.

On est gnralement plus intress de connatre le

rendement moyen

calcul pen-dant une dure assez longue. Les puissances motrices et utiles moyennes sont:

En cas de marche priodique permanente, les moyennes se calculent sur lapriode

T

dun cycle. Au dbut et la n dun cycle, les organes ont la mme vitesse etla mme position, ils contiennent par consquent la mme nergie potentielle et lamme nergie cintique. Le rendement moyen vaut alors

En cas de rgime permanent de machines contenant des organes vitesse cons-tante sans stockage dnergie potentielle, le rendement moyen est gal au rendementinstantan. On a

(12.2)Pm = Pu + Pp + PU + PT

(12.3) = PuPm

(12.4) = 1 Pp + PU + PT

Pm =

PuPu + Pp + PU + PT

+

Pm = 1T

Pm0

T

dt (12.5)

Pu = 1T

Pu dt0

T

(12.6)

= PuPm

= 1 PpPm

(12.7)

(12.8) = PuPm

= 1 PpPm

=

PuPu + Pp


4


Ce rendement est toujours infrieur lunit. Mais le rendement de machines quine fournissent pas dnergie utile (celles dont lutilit est un effort statique ou seule-ment un mouvement) est mme nul. Dans ce cas, ce nest plus le rendement global quiintresse le concepteur, mais seulement la puissance motrice dissipe. Il mettra tout enuvre pour la rduire au minimum.

Le domaine thermique II de la gure 12.1 sera tudi au chapitre 19.

12.2.2

Sens du flux dnergie

Du point de vue fonctionnel,

on appelle

moteur

tout lment fournissant delnergie mcanique. Un lment absorbant de lnergie est dit

rcepteur

. Selon leurrgime de fonctionnement, certains organes jouent un rle double:

un moteur lectrique ou un moteur piston devient un rcepteur lorsquilcontribue freiner une machine;

une masse est rceptrice lorsquelle monte dans le champ de gravit ou motricelorsquelle descend;

un ressort est rcepteur lorsquil se tend ou moteur lorsquil se dtend; une inertie est rceptrice lorsquelle acclre ou motrice lorsquelle ralentit.

Toute chane cinmatique est parcourue par un

ux dnergie

qui prend sa source lorgane moteur. Mais le ux sinverse lorsquun organe rcepteur devient moteur.

Par exemple, le moteur dun engin de levage fournit lnergie pour lever unecharge (g. 12.2a). Aprs les pertes dans les organes de transmission et dans letreuil, la charge reoit lnergie .

Le ux dnergie va du moteur lectrique jusqula charge. En descente (g. 12.2b), la charge fournit lnergie motrice ;

aprs lespertes , lnergie restante

est fournie au moteur. Si linstallation lectrique lepermet, le moteur fonctionne en gnratrice lectrique et renvoie lnergie

aurseau. Le ux dnergie prend maintenant sa source la charge qui est motrice et sedirige vers ce qui est matriellement un moteur lectrique, mais qui joue en ralit lerle dun rcepteur dnergie mcanique; le moteur fonctionne comme un frein.

E

Wpm Wp2 Wp3

Wm

1 2

3

Wu

4

v

Wp'm Wp'2 Wp'3

E' Wf

1 2

3

W 'm v

4(a) (b)

Fig. 12.2 Flux dnergie dans un engin de levage: (a) monte de la charge; (b) descente de la charge.(1) moteur; (2) organes de transmission; (3) treuil; (4) charge.

WmWp

WuWm

Wp WfE


NERGIE

5

Le sens du ux dnergie nest pas toujours vident, on le trouve par ltude dusigne de la puissance. La mthode danalyse est la suivante:

Isoler le systme (g. 12.3). Indiquer le sens du mouvement de chaque lment de liaison. Indiquer le sens des efforts appliqus chaque liaison; il se trouve par ltude

de lquilibre statique. Le signe de la puissance en un point rsulte du produit algbrique du signe du

mouvement par celui de leffort appliqu. Une puissance positive entre dans le systme, une puissance ngative en sort

( 10.5.1).

La reprsentation conventionnelle de la gure 12.4 facilite le travail; dans les troiscases, on indique, toujours de gauche droite, le signe de la vitesse, le signe de leffortet celui de la puissance. Cette reprsentation est aussi indique dans la gure 12.3.

+ + + +

M P < 0

1 2

v F P > 0

sens du flux

Fv

= 0

P

=

0

Fig. 12.3

Recherche du sens du ux dnergie.

+ + +

couple, force

vitesse puissance

Fig. 12.4 Indication conventionnelle des signes des grandeurs mcaniques.

+ + +

+ + 0 0

+

+ + + +

+

0 + 0

+

(a) (b)

P

1

10

2

3

4 5 6

7

8

9

PM2 M1 +

M3

Fig. 12.5 Signes des grandeurs mcaniques dans un rducteur: (a) schma; (b) signes des couples au pre-mier tage.


6


A titre dexemple, cette mthode est applique un rducteur dans la gure 12.5.La puissance entre au point (1), elle sort en (2) du premier pignon pour entrer dans laroue. La puissance est ngative au bout-darbre isol (9) car leffort rsistant estoppos au mouvement, donc la puissance en sort. Le carter est li au bti de lamachine en (10); sa vitesse est nulle, mais le couple appliqu par le bti est positifparce que, dans un rducteur, le couple de sortie est plus grand que le couple dentreet que, dans cet exemple, le couple (9) est ngatif.

12.2.3 Rgimes de fonctionnementQuadrants de fonctionnement

Pour une direction donne, il existe deux sens du mouvement et deux sens pourleffort. Il en rsulte quatre combinaisons donnant deux sens du ux dnergie. Il estcommode de reprsenter ces divers cas de gure dans un diagramme effort-vitesse quidcoupe le plan en quatre quadrants (g. 12.6). On reprsente en abscisse leffort en unpoint de llment considr et en ordonne la vitesse de ce point. Les quadrants I et IIsont valables pour un sens du mouvement, les quadrants III et IV pour le sens oppos.

La gure 12.6 montre le ux dnergie dans un arbre. Le sens positif est x arbitrai-rement dans le quadrant I. Le couple lextrmit (1) est reprsent en abscisse. En ngli-geant les efforts dinertie, le couple lextrmit (2) est toujours oppos. Par consquent,le signe de la puissance en (2) est toujours oppos celui de la puissance passant par (1).

Exemples: rgimes de fonctionnement de moteurs

Ventilateurs, pompes

Ces machines, comme beaucoup dautres, fonctionnent toujours dans un seul sensde rotation. Le moteur fonctionne dans un seul quadrant, par convention le quadrant I.

II

M1 M2

P+ + + +

III

P

M1 M2

+ +

0

I

M1 M2

P+ + + +

+

sens positif arbitraire

M1 M2

P + +

IV

M1 moteur, M2 rsistantM1 rsistant, M2 moteur

M1 moteur, M2 rsistant M1 rsistant, M2 moteur

M1

Fig. 12.6 Les rgimes de fonctionnement dun arbre.


NERGIE

7

Broche de machine-outil

Une broche de machine-outil tourne toujours dans le mme sens. Lorsque lamachine travaille, le moteur fournit de la puissance et travaille dans le quadrant I. Lescommandes lectroniques permettent dinverser le sens du couple lectromagntiquedans lentrefer et de freiner rapidement la broche. Pendant le freinage, le moteur fonc-tionne dans le quadrant II.

Chariot sur une voie horizontale

Le moteur fournit la puissance ncessaire pour vaincre les frottements. Il fonc-tionne dans lun ou lautre sens, dans les quadrants I ou III.

Engin de levage

La gure 12.7 reprsente un treuil, on admet que sa rotation est positive dans lesens de la monte.

est le couple exerc par les frottements et ventuellement par lefrein. Pour analyser le mouvement du treuil, il convient dexprimer lacclration parlquation de la dynamique. Dcrivons chaque quadrant de la gure 12.8.

Quadrant I, monte

Le frottement et la charge sont rsistants. Le moteur menant fournit de la puis-sance; il acclre ou ralentit, selon le signe de lacclration, jusqu sa vitessede rgime permanent.

Quadrant II, monte

Le couple du moteur soppose au mouvement et freine. Aucun rgime perma-nent nest possible, car une fois arrt, le treuil repart en sens inverse.

Mf

+Mm

+Mf

+

+v

G

moteur

frein

Fig. 12.7 Schma dun treuil.

J = Mm Mg Mf (12.9)

J = Mm Mg Mf (12.10)


8


Quadrant III, descente

Le signe moins devant lacclration exprime ce sens du mouvement. Lemoteur et la charge sont menants. Un rgime permanent est possible, gnrale-ment seulement pour de petites charges, lorsque . Si , ladescente sacclre toujours, mme si le moteur est dclench; aucun rgimepermanent nest possible.

Quadrant IV, descente

Le moteur freine. Un rgime permanent est possible seulement si

M

g

>

M

f

.

Vhicule moteur piston

Un moteur piston de vhicule tourne toujours dans le mme sens; il ne fonc-tionne donc que dans le quadrant I ou II (frein-moteur). La transmission vers les rouesmotrices fonctionne en revanche dans les quatre quadrants. On installe un dispositif derenversement de marche dans la transmission (marche arrire) (g. 12.9) pour que levhicule puisse se dplacer en avant ou en arrire.

II freinage en monte M

m

M

f

M

g

v

P

m

< 0

P

f

< 0

P

g

< 0

M

m

I monte M

m

M

f

M

g

v

P

m

> 0

P

f

< 0

P

g

< 0

III

descente

M

m

M

f

M

g

v

P

m

> 0

P

f

< 0 P

g

> 0

IV

freinage en descente

M

m

M

f

M

g

v

P

m

< 0

P

f

< 0 P

g

> 0

0

Fig. 12.8

Fonctionnement du moteur dun engin de levage dans les quatre quadrants.

J = Mm Mg + Mf (12.11)

Mg < Mf Mg > Mf

J = Mm Mg + Mf (12.12)

Fig. 12.9 Flux de puissance dans un vhicule moteur piston, sens des rotations et de la puissance.

+

i

+

P P

transmission moteur


NERGIE

9

12.3 IRRVERSIBILIT

12.3.1 Critres dirrversibilit

Un mcanisme rversible permet le passage dnergie dans les deux sens(g. 12.10a). Il est dit irrversible sil permet la transmission dans un sens seulement,le

sens direct

, et bloque le passage dans le

sens rtrograde

(g. 12.10b). Une chanecinmatique dans laquelle est insr un mcanisme irrversible ne peut transmettre delnergie que dans les quadrants I et III. Il ne faut pas confondre cette notion avec cellede marche irrversible qui a trait uniquement au sens du mouvement. Lutilisation dumme mot prte malheureusement confusion.

Llment de liaison menant dun mcanisme permettant la transmission delnergie sera appel par la suite

lment libre

(L); celui qui ne permet pas la transmis-sion sera dsign

lment bloqu

(B). Par exemple, selon leur pas, certains mca-nismes vis de mouvement sont irrversibles; la vis est llment libre et lcrou estllment bloqu.

Quun mcanisme soit irrversible ne signie pas quil ne puisse pas bouger.Pour le mettre en mouvement lorsque llment bloqu est menant, il faut encore luiapporter de lnergie par llment libre. Les deux lments sont alors menants ettoute lnergie quils apportent est dgrade en chaleur par le frottement; on dit que lemcanisme fonctionne en

rgime de freinage

(g. 12.11). On a

En interrompant la fourniture de puissance extrieure llment libre, lemcanisme ralentit, puis sarrte et reste bloqu. Il ne redmarre pas, quelle que soitlintensit de leffort menant appliqu B sil est autobloqu. Le mouvement sera tu-di plus loin (sect. 14.8).

(a) (b)

P

21

P

12

P

21

= 0

P

12

Fig. 12.10

Transmission dnergie dans les mcanismes: (a) rversible; (b) irrversible.

(12.13)Pp = PL + PB

PL

Pp

PB

Fig. 12.11 Rgime de freinage.


10


Un mcanisme irrversible prsente trois rgimes de fonctionnement: llment libre tant menant, il transmet la puissance de L vers B, cest--dire

et ; cest le rgime direct; llment bloqu tant menant, le mcanisme ne peut se mettre en mouvement

que si llment libre est aussi menant, et ; cest le rgime defreinage;

quel que soit le sens du ux dnergie par llment bloqu et quelle que soitlintensit des efforts appliqus cet lment, le mcanisme sarrte et setrouve en situation de blocage lorsque lapport de puissance par llment librecesse, .

Certains mcanismes non uniformes fonctionnent, selon leur position, tantt dansle sens direct, tantt dans le sens rtrograde (p. ex. came, 12.7.2). On apprcie leurcomportement global par un bilan nergtique tendu sur une priode assez longuepour saisir tous les rgimes de fonctionnements instantans rencontrs. Dans le casdun mouvement cyclique, la priode de calcul

T

est gale la priode du mouvement.Lnergie apporte aux lments bloqus et libres dun mcanisme est respectivement

Par dnition,

le

facteur de freinage

est le rapport de lnergie dissipe lner-gie apporte par llment bloqu

,

La capacit de freinage dun mcanisme globalement irrversible est dautantplus grande quil faut lui apporter plus dnergie par son lment libre pour le main-tenir en mouvement. Du point de vue de lirrversibilit, le facteur de freinage est ana-logue un facteur de scurit, car un mcanisme est dautant plus srement irr-versible que le facteur de freinage est plus grand que lunit.

Exprimons le rendement moyen dun mcanisme

isol

dans le sens rtrograde

Comme et sont positifs en rgime de freinage,

le rendement dans le sensrtrograde dun mcanisme autofrein est ngatif.

En introduisant cette expressiondans (12.16), on obtient la relation importante

PL > 0 PB < 0

PB > 0 PL > 0

PL = 0

WB = PB t( ) dt0

T

(12.14)

WL = PL t( ) dt0

T

(12.15)

f = WB + WLWB

= 1 + WLWB

(12.16)

BL = WLWB

(12.17)

WL WB


NERGIE

11

Le facteur de freinage ou le rendement rtrograde sont des

critres dirrver-sibilit

permettant dapprcier le comportement dun mcanisme: ou . Le mcanisme fonctionne en rgime de freinage, le mou-

vement sarrte si llment libre napporte pas assez dnergie. ou . Le mouvement est entretenu parce que lnergie apporte

par llment bloqu est juste sufsante pour couvrir les pertes. ou . Le mcanisme fonctionne en rgime rtro-

grade, il transmet de lnergie de llment B

llment L.

Lnergie dissipe en chaleur dans le mcanisme en rgime de freinage vaut

Ltude de lirrversibilit dun mcanisme doit toujours se faire en marche, encalculant avec les valeurs des coefcients de frottement dynamiques. Si les puissancessont constantes, en particulier avec les mcanismes uniformes, = et

= ; on peut donc aussi calculer

f

et uniquement avec les puissances.

12.3.2 Facteur de blocage et facteur de freinage

Lautoblocage dun mcanisme au repos ( 10.7.1) est le fait quil ne peut pastre mis en mouvement, quelle que soit lintensit de leffort moteur appliqu. Il estcaractris par le facteur de blocage dnit par la relation (10.132).

Lautofreinage, caractris par le facteur de freinage

f

, se manifeste lorsquunmcanisme dissipe plus dnergie quil nen reoit par son lment bloqu.

Bien que ces deux notions soient lies au frottement, elles expriment des ph-nomnes physiques diffrents. Leur comparaison appelle les remarques suivantes:

Le facteur de blocage dun mcanisme se calcule au repos, avec le frottementstatique, dans toutes les positions du mcanisme. Un mcanisme peut fort bientre autobloqu dans certaines positions et libre dans dautres. Par exemple, lemcanisme de la gure 12.12 actionn par une force

F

agissant sur la coulisseest autobloqu seulement dans langle compris entre

0

et +

0

.

Un mcanisme autobloqu ne peut pas tre mis en mouvement par un effortappliqu llment B; mais une fois en mouvement, il nest pas forc-ment autofrein. Il suft, par exemple, de monter un volant sur larbre de la

f = 1 BL (12.18)

f > 1 BL < 0f = 1 BL = 0

0 < f < 1 0 < BL < 1

Wp = WB + WL = f WB = 1 BL( ) WB (12.19)

WL PL TWB PB T BL

a0

F M

0

0

Fig. 12.12 Mcanisme coulisse et manivelle.


12 CONCEPTION DES MACHINES

manivelle du mcanisme coulisse ci-dessus pour franchir les points mortslorsque la coulisse est motrice ( 10.7.5).

Un rendement instantan ngatif ne signie pas quun mcanisme soit toujoursautobloqu puisque dpend de la position. nest pas un critresufsant dautofreinage, sauf dans les mcanismes uniformes.

12.3.3 Exemple: engrenage vis sans finOn sait quun mcanisme vis sans n peut, dans certaines conditions, tre auto-

bloqu et irrversible. La vis (1) est llment libre et la roue (2) est llment bloqu(g. 12.13).

Un couple est appliqu la roue et cre au ple C la force normale de denture (g. 12.14). Le plan normal fait un angle avec laxe de la vis, cest langle

dhlice. La composante de la projection de sur un plan tangent au cylindreprimitif de la vis tend faire tourner la vis en exerant le moment

a0 BL < 0

2

MBd 2

2

1

d 1

Fig. 12.13 Mcanisme vis sans n.

vg

m

v1

v22

1

Fu

Ffu F'fF'

m

F'n

C2

1Fn

n

F'n

Fig. 12.14 Forces de denture.

'0

MBFn m

Fu Fn Fn

M21 = d12

Fu = d12

Fn sin m


NERGIE 13

La projection de la force de frottement soppose au mouvement de la vis parun moment qui atteint au plus

est langle de frottement projet sur le plan tangent au cylindre primitif de lavis. On a

Du point de vue cinmatique, la vitesse priphrique de la vis et celle de laroue sont lies par la relation

Facteur de blocageLe facteur de blocage de la vis seule vaut

Les paliers de larbre de la vis sont chargs par des forces provoques par la forcede denture et leur moment de frottement soppose aussi la rotation de la vis.Dune manire gnrale, ce moment du palier i vaut

avec:diamtre de rfrence du palier, alsage dun roulementcoefcient de frottement quivalent au reposcharge sur le palier

Le couple de frottement total soppose au mouvement. Le facteurde blocage de la vis avec ses paliers vaut alors

Ffu

Mf1 = d12

Ffu = d12

Fn tan 0 cos m

0 0

tan 0 = tan 0cos n

v1 v2

v2 = v1 tan m (12.20)

a0 = Mf1M21

=

tan 0tan m

(12.21)

Fn

Mf0i = dpi2

0i Fpi

dpi0i

Fpi

Mf1 + Mf0i

a0 = Mf1 + Mf0i

M21

a0 = tan 0tan m

+ 1

sin m0i dpid1

FpiFn

(12.22)



Le rapport entre les forces se calcule aisment par une tude de lquilibre sta-tique de la vis et de son arbre.

La roue est autobloque si ; en ngligeant le frottement dans les paliers,si .

Facteur de freinageLorsque la vis tourne, les coefcients de frottement prennent leur valeur dyna-

mique, pour les paliers et dans la denture. Le couple extrieurdentranement de la vis doit vaincre le moment de et les moments defrottement des paliers:

On a la relation entre le couple moteur sur la roue et :

Du fait que ce mcanisme est uniforme, on calcule le facteur de freinage partirdes puissances:

Amplions le troisime terme par ; puis, comme et, avec (12.20) on trouve

Le dernier terme est toujours petit si les paliers sont des roulements. En ngligeantleffet des paliers, la roue est autofreine lorsque f > 1 ou .

12.3.4 Relation entre rendements direct et rtrogradeLe rendement dun mcanisme nest a priori pas le mme lorsquil est parcouru

dans un certain sens par le ux dnergie que lorsquil est parcouru en sens inverse(g. 12.15).

On trouve souvent dans la littrature la relation

a0 > 1 m 0

i = tan Ffu Fu( )

ML = d12

Fncos

sin m( ) + MfiFn

MB = d22

Fncos

cos m( )

f = 1 + ML 1MB 2

f = 1 + d11d2 2

tan m( ) + 1d212

cos cos m( ) i dpi

FpiFn

d1 v1 = 1d1 / 2v2 = 2 d2 / 2

(12.23)f = 1 + tan m( )tan m

+cos

tan m cos m( ) idpid1

FpiFn

m <

1LB

+ BL = k (12.24)


NERGIE 15

et certains auteurs admettent k = 2. Ils en dduisent quun mcanisme est irrversible lorsque son rendement dans le sens direct est

Ces relations ne reposent sur aucune considration physique srieuse et ne sontpas gnrales. Il faut se garder de les utiliser. Voici deux exemples.

Vis de mouvementLe rendement dans le sens direct, lorsquune vis entrane lcrou, est donn par

[12.1, 12.2]

o est langle moyen du letage et langle de frottement quivalent ( 12.7.1).Dans le sens rtrograde, lcrou est moteur et le rendement vaut

Introduisons ces expressions dans (12.24), il vient

Par exemple, pour et et ; pour 2 > ', le mcanisme est rversible.

Levier du deuxime genreLa force est motrice (g. 12.16). Selon (11.18), le rendement vaut

Si la force devient motrice, ce levier fonctionne selon le 3e genre. On obtientle rendement partir de (11.11), en remarquant que les cotes a et b sont permutes,

(a) (b)

PL PBLBPL PBBL

Fig. 12.15 Rendement selon le sens du ux dnergie: (a) sens direct; (b) sens rtrograde.

BL < 0( )

LB < 1k

= 0,5 (12.25)

(12.26)LB = tan 2

tan 2 + ( )2

BL = tan 2 ( )

tan 2(12.27)

k = 2 1 + tan2

1 tan2 tan2 2

= 2 1 + 2

1 2 tan2 2

= 0,25 2 = = arctan 0,25 = 14,04, LB =0,4688 k = 2,133

F1

(12.28)LB = ba

a + rfb + rf

F2



Puis:

A la limite de lirrversibilit, pour Avec on a et .

ConclusionsCes exemples montrent que les relations (12.24) et (12.25) sont fausses. Il faut

donc tudier lirrversibilit de cas en cas selon la mthode dveloppe plus haut.

12.4 STOCKAGE DNERGIE MCANIQUE12.4.1 Efficacit

Dune manire gnrale, un accumulateur dnergie mcanique absorbe un tra-vail W lors de la charge et restitue le travail lorsquil se dcharge compltement.Lefcacit de laccumulateur, ou son rendement nergtique, est le rapport delnergie restitue lnergie de charge

Lefcacit dpend du principe de stockage et de la construction de laccumulateur.On distingue deux grands domaines dapplication:

Moteur mcanique. Lnergie restitue est utilise pour entraner un mca-nisme, par exemple, le poids dune horloge ou le ressort de rappel dun suiveurde came. Dans ces applications, on recherche une efcacit leve.

rf a F1

Fc

bF2

Fig. 12.16 Levier du 2e genre.

C

BL = a

bb rra rf

(12.29)

k = 2 ab

ab rf2

a2 rf2

(12.30)

BL = 0 b = rf . a = 4 rfk = 1,6 LB = 0,625

W

e = W

W(12.31)


NERGIE 17

Absorption de chocs. Lnergie de chocs (chute de corps, suspension de vhi-cule) est absorbe par le dispositif de stockage, mais on ne veut gnralementpas la restituer au systme. On cherche alors une efcacit basse, mme nulle.

Les dispositifs de stockage dnergie doivent tre petits et lgers. On les comparepar des indices de performance:

Energie volumique. Rapport de lnergie restitue au volume V de la matirede stockage

Energie volumique apparente. Rapport de lnergie restitue au volume occup par tout le dispositif de stockage

Energie massique. Rapport de lnergie restitue la masse m du dispositif destockage

Pour apprcier un absorbeur de choc, on calcule les indices avec lnergieabsorbe.

La vitesse de dcharge, donc la puissance dun accumulateur dnergie, est limi-te par lacclration.

Lnergie mcanique se stocke en principe sous deux formes: nergie potentielle dans des ressorts, des uides comprims ou des poids; nergie cintique dans des masses en mouvement.

12.4.2 Energie potentielle

Energie absorbe et restitueLeffort Q lextrmit dun ressort est li son dplacement q par la caract-

ristique (sect. 6.2)

On observe que la charge et la dcharge dun accumulateur dnergie potentiellesoprent en principe selon des caractristiques diffrentes (g. 12.17). Lnergie four-nie par leffort de charge

wV = W

V(12.32)

Va

wVa = W

Va(12.33)

(12.34)wm = Wm

Q = Q q( ) (12.35)



est reprsente par laire sous la courbe .Lnergie restitue par le ressort est reprsente par laire situe sous la courbe de

dcharge Qd:

Laire hachure entre les courbes de charge et de dcharge reprsente lnergieperdue .

La quantit

est le travail moyen du ressort.

Ressorts mtalliquesLes ressorts mtalliques fonctionnent normalement toujours dans le domaine de

proportionnalit du matriau. Ils dissipent peu dnergie, . En admettant quele matriau suive rigoureusement la loi de Hooke, lnergie de dformation dun l-ment de volume dV sollicit en traction ou en compression monoaxiale vaut

avec le module dlasticit E. Si tout le volume du ressort subissait la contrainte maxi-male , lnergie stocke serait

Q

1

2

Qc

Qd

0 q1q

Fig. 12.17 Caractristique de charge (courbe 1) et de dcharge (courbe 2).

Wp

W = Qc dq0

q1 (12.36)Qc

W = Qd dq0

q1 (12.37)

W W

W = W + W

2(12.38)

W W

dW = 12

2

EdV

max


NERGIE 19

Mais la distribution des contraintes dans le ressort est rarement uniforme, de sorteque lnergie rellement stocke W nest quune fraction de lnergie maximale possi-ble. On dnit le facteur dutilisation du ressort

rapport de lnergie stocke dans un ressort lnergie quil stockerait si tout sonvolume subissait la contrainte maximale. Alors

En cas de sollicitation de cisaillement ou de torsion pure, avec le module de glis-sement G, on a aussi

et

Par la dnition (12.32), on obtient les nergies volumiques

Le matriau est bien utilis lorsque: la contrainte est forte, do lintrt dexcuter les ressorts en acier haute

limite lastique; le facteur dutilisation est lev.

Barre de torsionLnergie stocke dans une barre de torsion pleine (g. 12.18), de diamtre d,

vaut

Wmax = max

2

2EV

A = W

Wmax(12.39)

A = W

max2

2EV

(12.40)

dW = 12

2

GdV

A = W

max2

2GV

(12.41)

(12.42)wV = Amax

2

2E

(12.43)wV = Amax

2

2G



et la contrainte de torsion maximale est

En liminant le moment de torsion entre ces quations et en faisant apparatre levolume

de la barre, on obtient

En introduisant cette valeur dans (12.41), on voit que le facteur dutilisation vaut

Lame chieLnergie stocke dans une lame encastre de section constante (g. 12.19) vaut

Introduisons dans (12.40), avec , on trouve . Cette valeurtrs faible rvle lavantage dune barre de torsion. On peut lamliorer en ralisantune lame dgale rsistance. Avec les notations de la gure 12.20, les contraintes deexion lencastrement et dans une section dabscisse x sont:

L

d a

r d dentelures

d f

Fig. 12.18 Barre de torsion.

l

W = 12

M = 12

M2 lG Ip

max = MIp

d2

V = d2

4l

(12.44)W = 12

max2

2GV

A = 12

(12.45)W = 12

f F = l b h18

max2

E

V = lbh A = 1 / 9


NERGIE 21

A contraintes gales, on en tire

Cette relation indique les voies suivre pour raliser un ressort dgale rsis-tance.

Pour une largeur constante, , on a

hl

F

f

bF

Fig. 12.19 Lame de exion encastre.

h

b bx F

F

hx

l

Fig. 12.20 Lame encastre de section variable.

x

= 6 Flb h2

x = 6 Fxbx hx2

hx2

h2 =

bbx

x

l(12.46)

bx = b

(12.47)hx = hx

l



Lpaisseur de la lame crot paraboliquement partir du point dapplication de laforce (g. 12.21a).

Pour une paisseur constante, ,

La lame se prsente comme un triangle de largeur croissante partir de sonextrmit libre (g. 12.21b).

La largeur triangulaire se ralise approximativement dans les ressorts lamesmultiples des suspensions de vhicules. Les lames paraboliques sont les plus favo-rables et sutilisent pour les ressorts lame unique depuis quon a russi les fabriquerpour un prix acceptable.

Ressorts hlicodauxIls sont principalement sollicits en torsion, leur facteur dutilisation vaut aussi

0,5. Mais vu leur grand encombrement, ils ont une faible nergie volumique appa-rente.

Ressorts en caoutchoucLe caoutchouc naturel et les caoutchoucs synthtiques se prtent la construction

dlments lastiques les plus divers. Le module de glissement du caoutchouc estindpendant de sa forme, il caractrise mieux le matriau que le module dlasticitqui lui varie avec la contraction latrale. Il vaut environ 0,4 2,8 N/mm2 selon laduret; cest--dire 30 000 200 000 fois moins que pour lacier. Contrairement auxressorts en acier dont la souplesse ne dpend que de la gomtrie, celle des ressorts encaoutchouc rside en outre surtout dans le matriau. Cest pourquoi lencombrementdun lment en caoutchouc est beaucoup plus petit que celui dun ressort en acier demme rigidit. Il est aussi lger parce que la masse volumique des caoutchoucs varie

hx = h

(12.48) bx = b

x

l

(a) (b)

h = const.F

F

bx = b xlb = const.

hx = h xlsl Fx

bh

Fbh

l

xl

Fig. 12.21 Ressorts lame de exion dgale rsistance: (a) paisseur parabolique; (b) largeur variationlinaire.


NERGIE 23

entre 920 et 1260 kg/m3. En revanche, leur sensibilit la chaleur les exclut de certai-nes applications. Les ressorts en caoutchouc travaillent habituellement en compres-sion, en torsion ou au cisaillement. On peut leur donner des caractristiques linaires,progressives ou dgressives.

Ressorts gazUn ressort gaz est constitu en principe dun piston qui glisse dans un cylindre

(g. 12.22). Il contient un gaz dont la pression absolue est lorsque le piston setrouve la distance h du fond. Le changement dtat polytrope dun gaz parfait obit la loi

o n est lexposant polytrope.

Compte tenu de la pression ambiante qui sexerce sur sa face extrieure,lquilibre statique du piston sexprime par

Avec et , on trouve la relation entre le dplacement f dupiston et la force:

p0

pp0

=

V0V

n

hp

A

f

Fpa

Fig. 12.22 Ressort gaz.

pa

F = A p pa( ) = A p0 pp0 pap0

= A p0

V0V

n

pap0

V0 = Ah V = A h f( )

F = A p01

1 fh

n

pap0

(12.49)



Lorsque f = 0, alors p = et

Par consquent, en combinant avec lexpression de la force, il vient

On obtient la rigidit par drivation:

avec la rigidit initiale

La rigidit est inversement proportionnelle la longueur initiale de la colonne degaz, elle diminue lorsque la pression initiale augmente, cest--dire lorsque, pour uneforce donne, la section du vrin diminue.

La rigidit est inversement proportionnelle la temprature initiale. Pour lestempratures et , on a le rapport des rigidits

La rigidit dun ressort gaz diminue lorsque la temprature slve. Par cons-quent, la frquence propre dun oscillateur comprenant un tel lment varie comme

.

Calculons le travail de la force lorsque le piston effectue une course f:

p0

F0 = A p0 1 pap0

(12.50)

F = F0

1 pap0

1

1 fh

n

pap0

(12.51)

k = dFd f = k0

1

1 fh

n + 1 (12.52)

k0 = nF0

h 1 pap0

(12.53)

T01 T02

(12.54)k1k2

=

T02T01

T 0,5

W = F d f0

f


NERGIE 25

Introduisons lexpression (12.51) de la force. Aprs intgration et quelques trans-formations, on trouve

Le premier terme reprsente lnergie stocke dans le gaz comprim et le secondest le travail de la force exerce par le milieu ambiant sur le piston.

La caractristique dun ressort pneumatique est fortement progressive(g. 12.23); elle augmente vite avec lenfoncement du piston, donc avec la chargeapplique. Lexposant polytrope devient n = 1 en cas de compression lente (iso-therme), et le travail accumul vaut alors

En cas de compression rapide, on se rapproche de ladiabate pour laquelle n = ,lexposant adiabatique du gaz considr; par exemple = 1,4 pour de lair. Lnergiestocke est alors plus importante cause de lchauffement du gaz.

Les ressorts gaz sont souvent fabriqus sous la forme de soufets (g. 12.24)qui sutilisent notamment dans les suspensions de vhicules.

Masse dans le champ de gravitUne masse mobile dans le champ de gravit terrestre stocke et restitue sans perte

lnergie potentielle

Son rendement nergtique, toujours gal lunit, est parfait.

W = p0 V0n 1

1

1 fh

n 1 1

pa A f (12.55)

A pa

F

F0

0 f

n = 1

k

n > 1

W

Fig. 12.23 Caractristique dun ressort pneumatique.

W = p0 V0 lnV0V

pa V0 V( ) (12.56)

W = m gh = Vgh (12.57)



Une masse prsente la caractristique, souvent avantageuse, dexercer une forceconstante, quelle que soit sa position. En revanche, lnergie stocke ne reprsentequune petite fraction de lnergie stocke dans un ressort mtallique de mme masseeffectuant le mme dplacement.

On rencontre souvent le cas dune masse quon doit lever et dont on souhaitercuprer lnergie potentielle lorsquelle redescend. Par exemple, dans certains che-mins de fer de montagne, les moteurs fonctionnent en gnrateur la descente et ren-voient le courant au rseau. Selon la gure 12.25, le rendement nergtique vaut

et sont les rendements du systme pour chaque sens du ux dnergie.

12.4.3 Energie cintiqueToute pice en mouvement contient de lnergie cintique, mais seuls les volants

sont utiliss pour la stocker parce que la rotation est facile exploiter. On tudie ici lesvolants grande vitesse quon laisse fortement ralentir pour en retirer de lnergie. Lesvolants destins rgulariser la marche de machines accumulent et librent de lner-gie sur un ou deux tours seulement ( 14.6.1).

air de rgulation

souffletdiaphragmeavec tranglement

Fig. 12.24 Ressort gaz soufet.

W

W'

12

21W stock

Fig. 12.25 Schma de rcupration dnergie.

(12.58)e = WW

= 12 21

12 21


NERGIE 27

Un accumulateur dnergie se compose en principe (g. 12.26) dun volant (1)dont larbre est guid par des paliers trs faible perte (2), souvent des paliersmagntiques. Le volant est reli un dispositif (3) capable de le mettre en mouvementet dchanger de lnergie avec le systme extrieur; on utilise des transmissionsmcaniques, lectriques ou hydrostatiques. Le groupe est install dans une enceintetanche (4) mise sous vide pour supprimer les pertes par ventilation.

Le volant, de moment dinertie J, tournant la vitesse initiale , contientlnergie cintique

En ralentissant jusqu la vitesse , il libre lnergie

Ecrivons cette expression sous la forme

o

est le facteur de dcharge. On extrait 75% de lnergie cintique initiale en laissant levolant ralentir jusqu la moiti de sa vitesse initiale. On exploite une part de lnergie

E

4

3 2

1

2

Fig. 12.26 Principe dun accumulateur dnergiecintique volant.

R

Jm

Fig. 12.27 Volant.

0

(12.59)T0 = 12

J 02

1

T0 T1 = 12

J 02 1

2( )

(12.60)T0 T1 = T0 1 T1T0

= T0 d

d = 1 10

2

(12.61)



initiale dautant plus importante que le dispositif de transmission dnergie peut tra-vailler dans une plus grande gamme de vitesse. Le rendement de cette transmissiontant , on dispose nalement de lnergie utile

Cette quation permet de calculer lnergie cintique initiale ncessaire pour quele volant puisse fournir lnergie voulue.

Le moment dinertie J peut scrire en fonction de la masse m du volant sous laforme

o R est son rayon extrieur et est un facteur gomtrique qui ne dpend que de laforme du volant (g. 12.27).

Une importante caractristique dun volant est son nergie massique; avec(12.59) et (12.63), on trouve

Par ailleurs, lexpression de la contrainte de comparaison dterminante pour lecalcul de la rsistance du volant est toujours de la forme

est un facteur qui ne dpend que de la gomtrie du volant et de lhypothse derupture ( 24.3.5) valable la limite du matriau envisag. La contrainte de compa-raison ne doit pas excder la contrainte admissible. A la vitesse maximale , on a lavitesse priphrique admissible

avec:S facteur de scurit

rsistance limite du matriau

Introduisons cette vitesse dans (12.64). On trouve, la limite de contrainteadmissible,

avec le facteur de forme

W = d T0 (12.62)

J = m R2 G1 (12.63)

G1

T0m

=

12

R2 02 G1 (12.64)

g = R2 2 G2 (12.65)

G2

0

(12.66)vadm = R0 = 1

G2Rlim

S

Rlim

(12.67)T0m

=

GFS

Rlim


NERGIE 29

On tire de (12.66) la vitesse maximale du volant autorise par sa rsistancemcanique:

Il est intressant de connatre lnergie cintique maximale que peut contenir unvolant lorsquil fonctionne la vitesse priphrique la plus grande permise par sarsistance. Avec un facteur gomtrique , la masse du volant peut scrire sous laforme:

Introduisons la masse dans (12.67), puis le rayon tir de (12.66). On trouve

Lanalyse des formules (12.67) et (12.71) conduit aux conclusions suivantes pourconstruire un volant performant:

choisir un matriau dont la rsistance spcique est leve (bre decarbone ou autres composites);

choisir une gomtrie de volant dont le facteur de forme est grand (g. 12.28);ne pas percer le volant au centre, utiliser une gomtrie dgale rsistance(sect. 25.2);

installer le volant sur un arbre lent; dans ce cas il est lourd et encombrant maisil contient plus dnergie quun volant rapide plus lger ( 26.5.6).

Ces conclusions dmontrent lintrt quont trouv les matriaux compositespour la construction daccumulateurs dnergie performants. Le lecteur intress parle sujet consultera avec prot [12.3].

Signalons que les volants sont soumis un couple gyroscopique ds que leur axede rotation change de direction dans lespace,

avec:J moment dinertie vitesse de rotation du volant vitesse angulaire du changement dorientation

(12.68)GF = G1

2G2

(12.69)0 max = 1

S G2

Rlim

1/21R

G3

m = R3 G3 (12.70)

(12.71)T0 = 1

03

G3 GFG2

3/21

3/2Rlim

S

5/2

Rlim /

M = J (12.72)



Le couple gyroscopique charge les paliers du volant. Ce problme est particu-lirement aigu bord de vhicules routiers o il a dj conduit de srieuxmcomptes. Il inuence aussi le comportement des vhicules. Introduisons le momentdinertie tir de (12.59), avec (12.62) on a

On a intrt utiliser, dans les applications mobiles, des volants lgers et rapides,donc fabriqus en matriaux composites, exploits avec un grand facteur de dcharge.

Exemple: disque pleinLe moment dinertie dun disque plein isotrope autour de son axe de rotation

vaut

Do, par comparaison avec (12.63), .Les manuels de calcul donnent la contrainte de comparaison avec lhypothse de

lnergie de distorsion maximale:

disque d'gale rsistance

disque conique

disque

jante mince

disque avec jante

disque perc

0,7 0,98

0,7 0,95

0,606

0,5

0,4 0,5

0,303

GF

Fig. 12.28 Facteur de forme de volants, calcul avec lhypothse de rupture la contrainte maximale.

(12.73)M = 2 W' d 20

0

J = 12

m R2

G1 = 1 / 2

g = 3 +

8 R2 2


NERGIE 31

Alors, selon (12.65) et avec le coefcient de Poisson ,

et le facteur de forme (12.68)

Calculons la masse dun disque dpaisseur b:

do, par identication avec (12.70),

Application numrique = 1000 kJ; S = 2,2; b/R = 0,3. Acier avec = 500 106 Pa; = 7860 kg/m3.

Par (12.67), on obtient m = 57,1 kg; (12.70) donne le rayon du volant, R = 0,198 m et(12.69) fournit la vitesse maximale = 12800 t/min.

Dans les mmes conditions, mais avec un alliage daluminium, on a = 290 106 Pa; = 2800 kg/m3: m = 35,1 kg; R = 0,237 m; = 13620 t/min.

12.5 COMMANDE DU FLUX DNERGIE12.5.1 Gnralits

La commande du ux dnergie a pour objet dinterrompre, dtablir ou demoduler ce ux. La puissance rsultant du produit dun effort par la vitesse, on peut enprincipe agir sur chacun de ces deux facteurs.

Commande de leffortLes organes permettant de couper la transmission deffort se classent selon leur

mode de commande: les embrayages sont commands volont de lextrieur; les coupleurs sont des embrayages commands automatiquement par la vitesse

de larbre primaire; les roues libres interrompent la transmission de couple lorsque llment

secondaire est plus rapide que llment menant; les limiteurs de couple sont commands par lintensit de leffort transmis.

= 0,3

G2 = 3 +

8 = 0,413

GF = G1

2G2 = 0,606

m = R2 b

G3 = bR

T0 Rlim

n0

Rlim n0



Commande de la vitesseLes botes et les variateurs de vitesses permettent en principe de moduler le ux

de puissance. Mais on ne les classe habituellement pas parmi les organes de com-mande du ux dnergie, car leur rle se situe principalement sur un plan cinma-tique.

Les trains picyclodaux tiennent une place part. Fonctionnant avec trois arbresmobiles, ils peuvent travailler en rpartiteur ou en sommateur de puissance, selon lavitesse de leurs arbres.

12.5.2 Commande extrieureLes embrayages tablissent ou interrompent volont la transmission de couple

entre deux arbres. Ils sont commands extrieurement, la main, par un courant lec-trique, par une pression dhuile ou pneumatiquement. Leur fonctionnement est enprincipe indpendant de la vitesse des arbres et du couple transmis. Il existedinnombrables modles dembrayages dans le commerce, mais on peut les classer endeux catgories selon la manire dont les forces sont transmises:

Transmission par obstacle, par exemple les embrayages crabots. Ils ne peu-vent senclencher qu larrt ou lorsque les vitesses des deux arbres sont quasisynchrones.

Transmission friction. Ce type dembrayage permet de dmarrer en douceurun arbre arrt en laissant patiner les surfaces de frottement jusqu la syn-chronisation des vitesses. Le dtail du processus dembrayage sera examin auparagraphe 14.5.4.

Tous les embrayages fonctionnent dans les quatre quadrants, mais le couplemaximum transmissible par un embrayage friction est limit par le patinage.

12.5.3 Commande par la vitesseOn appelle coupleurs des transmetteurs de couple dont lintensit du couple

transmis dpend de la vitesse de larbre dentre ou de la diffrence entre la vitessedes deux arbres. On se limite dcrire le fonctionnement des coupleurs centrifugesqui sont commands par la vitesse de larbre menant. En revanche, les coupleurs dontle couple transmis dpend de la diffrence de vitesse des arbres et qui sont aussi pilo-ts de lextrieur des ns de rgulation seront dcrits propos de lentranement desmachines ( 20.5.5).

Les coupleurs centrifuges transmettent un couple dont la valeur dpend de lavitesse de larbre dentre. La gure 12.29 illustre un exemple de construction. Desmasselottes (2) sont disposes sur le moyeu dentranement (1) et maintenues axiale-ment par les disques (5). Les garnitures (4) entourent les masselottes avec lesquelleselles sont lies par un tton; des ressorts de traction (3) rapprochent les masselottes dumoyeu. A partir dune certaine vitesse du moyeu, la force centrifuge est sufsante pourvaincre les ressorts et pousser les masselottes contre le tambour (6) encore arrt. Lecouple dembrayage tend entraner larbre secondaire, la forme du moyeu est telleque la force de frottement est amplie cinq fois par un mcanisme dauto-assistance(sect. 11.5). Si la vitesse diminue, les ressorts rappellent les masselottes et interrom-pent la transmission du couple.


NERGIE 33

Le couple transmis scrit sous la forme

avec:coefcient dpendant de la construction du coupleurvitesse de larbre primairecouple rsultant de la prcharge des ressorts

Cette caractristique parabolique est reprsente la gure 12.30. La vitessedenclenchement ou de couplage

sajuste en jouant sur la tension des ressorts. Des coupleurs billes (g. 12.31), galets ou poudre ne prsentant pas de retard lenclenchement, on peut crire

6

5 4

1

3

2

Fig. 12.29 Coupleur centrifuge (Suco).

ME

M00 1E

1

Fig. 12.30 Caractristique dun coupleur centrifuge.

ME = a12 M0 0 (12.74)

a

1M0

(12.75)1E = M0a



Les coupleurs centrifuges servent surtout au dmarrage de machines grandeinertie ( 14.5.3). Ils ne peuvent dmarrer que dans les quadrants I et III, mais fonc-tionnent parfaitement dans les quatre quadrants ds que les deux arbres sont syn-chroniss (g. 12.32). Ils patinent si le couple transmettre est trop grand, .

Les coupleurs centrifuges fonctionnent aussi comme freins centrifuges si larbresecondaire est reli au bti. Ils servent de rgulateurs de vitesse, par exemple dans despetits engins de levage main pour limiter la vitesse de chute libre, mais la vitessedquilibre varie fortement avec la charge.

12.5.4 Commande par le sens de la vitesse relativeUn type daccouplement, appel roue libre, permet de transmettre un couple dun

arbre un autre dans un sens seulement. Lenclenchement automatique dpend de lavitesse relative des deux arbres. Une roue libre fonctionne de manire analogue cequi se passe si une voiture (1) pousse une voiture (2) (g. 12.33). La liaison tant uni-latrale, on observe deux tats de fonctionnement:

ME = a12 (12.76)

1 2 3(a) (b)Fig. 12.31 Coupleur centrifuge billes: (a) larrt; (b) en marche (Metalluk, Bauscher Bamberg).

M > ME

ME

dmarrage

M0

II

III

I

IVdmarrage

Fig. 12.32 Domaine dutilisation dun coupleur centrifuge.


NERGIE 35

Etat I, engagement. Le vhicule (1) pousse le second avec une force F; lesvitesses sont gales, .

Etat 0, libre. Le vhicule (2) avance plus vite que le premier et lui chappe,. La liaison est interrompue, F = 0.

Dans le cas o le vhicule (2) recule, il peut repousser (1) tant que (tat I); une force est transmise, la voiture (2) est motrice. Si (1) recule plus vite que(2), , la liaison est interrompue (tat 0). Naturellement quaucune forcen'est transmise si avec .

Il existe en principe deux types de roues libres: Roue libre cliquet avec roue rochet (g. 12.34). Transmission positive dont

lenclenchement ne sopre que dans des positions spares par le pas angu-laire des dents.

Roue libre corps de blocage (g. 12.35). Des billes, des rouleaux ou descames sarc-boutent entre la bague extrieure et le plateau intrieur. La trans-mission non positive senclenche en toute position, ces roues libres sont silen-cieuses. Il existe aussi des roues libres lamelles.

La gure 12.36 montre les symboles utiliss pour reprsenter une roue libre dansles schmas. La che du couple indique le sens dans lequel il est transmis de larbre(1) larbre (2).

v2 = v1 > 0

v2 > v1

v1 = v2 < 0

v1 < v2 < 0v1 < 0 v2 > 0

Etat I

1 2

v1 v2

v1 = v2 > 0

Etat 0

1 2

v1 >< 0

v2 > v1

v2 > 0+

1 2

v1 v2

v1 = v2 < 0 F

1 2

v1 < 0 v2 >< 0

v1 < v2

+

Fig. 12.33 Poussage de vhicules.

+

+

F

2 2

Fig. 12.34 Roue rochet et cliquet. Fig. 12.35 Roue libre billes.



Les tats de fonctionnement dune roue libre selon la vitesse des arbres sontreprsents la gure 12.37:

Larbre (1) tourne dans le sens positif et entrane larbre (2) la mme vitesse( = ). Le point guratif se trouve sur la demi-droite . La roue libre estengage, le couple transmis de larbre (1) larbre (2) est moteur. La puis-sance est transmise de (1) (2).

Larbre (2) tourne dans le sens ngatif et entrane larbre (1) la mme vitesse( = ), demi-droite . La roue libre est engage, larbre (2) transmet uncouple . La puissance est transmise de (2) vers (1).

La vitesse de larbre (2) est algbriquement suprieure celle de larbre (1),

>

. La roue est libre; aucun couple nest transmis, = 0. Cet tat estreprsent dans tout le demi-plan .

Le demi-plan ne peut contenir aucun point guratif de fonctionnement, sice nest quil se produise une rupture, puis un affolement de la roue libre.

Une roue libre ne transmet un couple que dans les quadrants I et IV, lorsque est positif (g. 12.38). La transmission de puissance est impossible dans les quadrantsII et III.

Les roues libres remplissent essentiellement trois fonctions.Antidvireur. Une roue libre dont un lment est reli au bti ne permet le mouve-

ment dun arbre que dans un sens et le bloque dans le sens oppos (organe de scurit).

M1 1

(a) (b)Fig. 12.36 Symbole dune roue libre: (a) schma fonctionnel; (b) schma cinmatique.

2

2 1 D1M1

1 2 D2M1

2 1 M13

4

+ 2 > 1M1 = 0

libre3 0

2 D12 = 1

M11

2M1 moteur

1

4

impossible (rupture)M1

2

1D2

M2 moteur

Fig. 12.37 Vitesses et fonctionnement dune roue libre.

engagement

M1


NERGIE 37

Utilise dans les engins destins soulever un poids, elle empche que la masse nerevienne en arrire en cas de panne de courant ou de rupture du mcanisme dentrane-ment: engins de levage, chemins de fer crmaillre, convoyeurs (g. 12.39a), escala-tors, tlskis, pompes centrifuges refoulant sous la nappe libre dun rservoir.

Accouplement automatique. On dit aussi fonction roue libre. La roue libre estplace entre deux arbres, mais ne transmet un couple que dans un seul sens des mou-vements relatifs. Par exemple (g. 12.39b), une machine est entrane par un moteurprincipal (1) ou par un moteur auxiliaire (2); la roue libre (3) laisse ce moteur aurepos tant que le moteur principal fonctionne. En cas de panne, le moteur auxiliairesaccouple automatiquement ds quil est enclench. Si les moteurs sont de mmeimportance, on remplace aussi laccouplement (4) par une roue libre. Des roues libres

Fig. 12.39 Fonctions des roues libres: (a) convoyeur; (b) accouplement dun moteur auxiliaire; (c) change-ment de vitesse automatique; (d) commande pas pas.

M2 3 4 1

(a) (b)

(c) (d)

1 2 4

5 63

i1 < 0i2 > 0

2 3 1

II

2 > 1libre

III

1 < 2libre

I

2 = 1M1 moteur, M2 rsistant

IV

1 = 2M1 rsistant, M2 moteur

0

M1 1 2

M2P

M1M1

1 2 M2P

Fig. 12.38 Quadrants de fonctionnement dune roue libre.

1



remplissent cette fonction daccouplement automatique dans les dmarreurs et dansles bicyclettes.

La gure 12.39(c) schmatise une bote de vitesses. Le moteur lectrique (1) est marche rversible; dans un sens de rotation, la roue libre (2) entrane larbre (6) par latransmission (3), dans lautre sens de rotation, la roue libre (4) le mne parlintermdiaire du train dengrenages (5). Larbre (6) tourne toujours dans le mmesens, les deux vitesses senclenchent automatiquement selon le sens de rotation dumoteur.

La gure 12.40 illustre un exemple dapplication de roues libres dans un groshlicoptre permettant automatiquement deux situations: vol avec un seul moteur pen-dant que lautre moteur est arrt, ou descente freine en cas de panne des deuxmoteurs, les rotors tournant librement.

Commande pas pas. La gure 12.39(d) montre comment la rotation continue delarbre (1) est transforme en une rotation pas pas de larbre (3) par la roue libre (2)monte dans le moyeu du bras. Ce mcanisme sutilise pour commander des mouve-ments davance de chariots de machines-outils, des pompes de graissage, des disposi-tifs dalimentation de machines textiles ou de machines emballer.

Certains coupleurs ne peuvent transmettre un couple que si les vitesses de leursarbres sont diffrentes. On tudiera leurs caractristiques au paragraphe 20.5.5.

12.5.5 Commande par le couple transmisLes limiteurs de couple ou accouplements de scurit servent protger les

mcanismes de surcharges dangereuses. Selon le principe de transmission mis enuvre, on distingue:

Transmission par obstacle: une pice volontairement sous-dimensionne, sou-vent une goupille, se rompt en cas de surcharge et interrompt la transmission. Ilfaut chaque fois remplacer la pice de rupture pour remettre laccouplement entat.

4

3 2

1

76

74

3

2

1

Fig. 12.40 Chane cinmatique dun hlicoptre birotor deux moteurs. (1) moteur; (2) embrayages lamelles; (3) roues libres; (4) rducteurs; (5) arbre de liaison des rotors; (6) accouplements; (7) rotors.

5


NERGIE 39

Transmission par obstacle escamotable: une pice, par exemple une bille pous-se dans une encoche en V, sort de lencoche en cas de surcharge. Larbremoteur peut continuer de tourner sans dommage.

Transmission par friction: le mcanisme transmet toujours le couple maximal,mais glisse et permet larrt de la machine bloque. Toute la puissance dumoteur est convertie en chaleur dans laccouplement quil faut imprati-vement protger contre la surchauffe en arrtant immdiatement le moteur;pour cela, un palpeur actionne un contact en cas de patinage ou ouvre unembrayage.

Les limiteurs de couple sont caractriss par le couple de tarage pour lequelils glissent ou interrompent la transmission. Le couple rsiduel est celui qui estencore transmis aprs dclenchement du limiteur.

Les limiteurs de couple fonctionnent gnralement dans les quatre quadrants(g. 12.41). Ils sont le plus souvent peu prcis, cest pourquoi il est ncessaire dedimensionner les autres organes avec une marge de scurit sufsante.

Tous les organes de transmission non positifs (p. ex. courroies trapzodales) fonten principe ofce de limiteurs de couple, car ils sont susceptibles de patiner ( 10.6.3).

12.5.6 Trains picyclodauxUn train picyclodal comporte habituellement trois arbres (il en existe aussi

deux arbres). Dans lexemple reprsent la gure g. 12.42, larbre (1) porte le pla-ntaire central; une couronne denture intrieure est relie un arbre (3). Des pignonsappels satellites (2) sont disposs entre le plantaire et la couronne; ils sont ports parun chssis porte-satellites ou bras (b) reli au troisime arbre. Ces dsignations sontconventionnelles.

Il existe de nombreuses autres dispositions dengrenages, la gure 12.43 montrepar exemple un mcanisme compos de deux plantaires centraux (1) et (3) et de satel-lites doubles forms des pignons (2) et . Les trois arbres dun train picyclodalsont coaxiaux, cest une caractristique souvent trs prcieuse pour la disposition desmachines.

MTMrs

MrsMT MT

Mrs0

M

1

Fig. 12.41 Domaine de fonctionnement des limi-teurs de couple.

Fig. 12.42 Schma du train picyclodal reprsent la gure 8.11.

2

b3

1

(2)



Ltude dtaille des trains picyclodaux sort du cadre de cet ouvrage, le lecteurconsultera par exemple [12.4, 12.5, 12.6]. On commence par rappeler les relationsprincipales de ces mcanismes, puis on analysera le ux de puissance.

Relations de baseOn appelle raison du train picyclodal le rapport de transmission entre larbre

(1) et larbre (3) lorsque le porte-satellites est immobilis:

La valeur de la raison caractrise elle seule les proprits principales dumcanisme: relations cinmatiques, relations statiques, puissances et rendement, irr-versibilit. On dit que le train est positif si > 0, il est dit ngatif lorsque < 0.

22'

b

31

satellite doubletournant fou

plantaire

porte-satellites plantaire

faisant rle

bti

de couronne

secondaire

(b)(a)Fig. 12.43 Train picyclodal trois satellites doubles et deux plantaires: (a) schma; (b) corch.

(12.77)i0 = 13

i0 i0

+

1M1

3M3

+ + +

+

+

b

Mb3

b

1

i0

Fig. 12.44 Vitesse et couple aux arbres dun train picyclodal. Fig. 12.45 Symbole dun train pi-cyclodal.

b

3

1


NERGIE 41

La gure 12.44 montre un train picyclodal isol, le sens positif est arbitraire.Dans cet exemple, les arbres (1) et (3) sont moteurs mais tournent en sens inverse,larbre (b) est un arbre de sortie parce que sa puissance est ngative. Un train picy-clodal est symbolis dans les schmas selon la gure 12.45.

La relation entre les vitesses des trois arbres est rgie par la formule dite deWillis:

ou, sous une forme plus commode lemploi,

Lquilibre statique des couples scrit en toute gnralit

Cette quation nest satisfaite que si deux couples ont le mme signe et que lesigne du troisime est oppos. On dmontre les relations suivantes:

Dans ce qui suit, on suppose que le mcanisme fonctionne sans perte, = 1.Cette hypothse simplie les relations sans affecter nos conclusions.

Transmission de puissanceLes trains picyclodaux prsentent lavantage de pouvoir fonctionner en som-

mateur de puissance. Il suft en principe dentraner deux arbres pour commander letroisime. Ce montage rserve cependant des surprises. En effet, selon la vitesse, lundes arbres peut devenir un arbre de sortie alors quon croit lui fournir de lnergie; onassiste alors une inversion du sens du ux dnergie. Parmi les diverses combinai-sons possibles, choisissons dentraner les arbres (1) et (3) par des moteurs et tudionsle mouvement de larbre de sortie (b), puis la transmission de puissance (g. 12.46).

(12.78)i0 = 1 b3 b

1 i0 3 = 1 i0( ) b (12.79)

M1 + M3 + Mb = 0 (12.80)

M1Mb

= 1

1 i0M3Mb

=

i01 i0

(12.81)

(12.82)

mot. B

mot. A

3 M3 P3

1 M1 P1 1

3

i0b b Mb Pb

isol

+

Fig. 12.46 Train picyclodal entran par deux moteurs.



On particularise ltude ci-aprs en traant les graphes pour une raison ngative, < 0.

Lquation (12.79) fournit la vitesse de larbre (b):

Cest une combinaison linaire des autres vitesses. La gure 12.47 reprsentecette relation de manire adimensionnelle. La vitesse de sortie peut sannuler et mmesinverser selon le rapport des vitesses dentre. Le rapport de transmission entrelarbre (1) et larbre (b) se tire de lquation (12.83), on trouve

Lorsque

=

0, = est aussi le rapport de transmission du train pi-cyclodal couronne xe (g. 12.48).

Etudions maintenant la transmission de puissance. La part de larbre (1) la puis-sance de sortie est

En introduisant le rapport des couples (12.81) et celui des vitesses (12.84), ontrouve

i0

b = 1

1 i01 i0 3( ) (12.83)

i1b = 1b

= 1 i0( ) 113

i0

13

(12.84)

3 i1b 1 i0

b3

1

10i0

I II III

13

i1b

1 i0

130i0

Fig. 12.47 Vitesse relative de larbre (b) dun trainpicyclodal raison ngative.

Fig. 12.48 Rapport de transmission i1b en fonctiondu rapport de vitesses des autres arbres.

P1Pb

=

M1Mb

1b

P1Pb

=

113

i0

13

(12.85)


NERGIE 43

En outre,

Avec (12.82) et (12.84), il vient

La gure 12.49 reprsente ces rapports de puissance en fonction du rapport. Le diagramme se dcompose en trois domaines.

Domaine I, . Le rapport est ngatif; comme de la puissancesort par (b), cela signie que entre dans le mcanisme. , donc sgn =sgn et < 0, de la puissance sort aussi par larbre (3). Par consquent, le trainrpartit la puissance entre les arbres (3) et (b). Larbre (3) devient un arbre de sortie,il envoie de la puissance vers le moteur B qui devient un rcepteur (quadrant II ou IV).

Domaine II, . Par un raisonnement analogue, on voit que lapuissance pntre par larbre (3) et sort par les deux autres. Le moteur (A) fonctionneen freinage.

Domaine III, > 0. et sont ngatifs, donc > 0 et > 0.Ces deux puissances pntrent dans le mcanisme qui fonctionne comme sommateurde puissance, .

P3Pb

=

M3Mb

3b

=

M3Mb

31

1b

P3Pb

=

i013

i0(12.86)

1 / 31 / 3 < i0 P1 / Pb

P1 P3 / Pb > 0 P3Pb P3

P1

i0 < 1 / 3 < 0

1 / 3 P1 / Pb P3 / Pb P1 P3

P1 + P3 = Pb

P3Pb

P1Pb

i0 13i0 01

2

1

P3

PbP1

+

+

P3

PbP1

+ P3

P1

Pb

+

rpartition P1 = P3 + Pb rpartitionP3 = P1 + Pb

sommation P1 + P3 = Pb

Fig. 12.49 Distribution des puissances selon le rapport des vitesses 1/3, pour i0 < 0.

I II III



On aboutirait des rsultats analogues en permutant les arbres relis auxmoteurs. En conclusion, un train picyclodal fonctionne comme sommateur oucomme rpartiteur de puissance selon le rapport de vitesses de ses arbres.

12.6 CIRCULATION DE PUISSANCE

12.6.1 Transmissions boucles prcontraintesUne chane cinmatique forme de voies de transmissions parallles boucles est

presque toujours prcontrainte. Aprs mise en mouvement, la prcharge effectue untravail qui circule en circuit ferm, on assiste une circulation de puissance. Les pertesdnergie le long de la boucle doivent tre compenses par un apport extrieur.

La puissance circulante se superpose la puissance utile transmise par le mca-nisme et surcharge certains organes.

Etudions ce phnomne lexemple dun rducteur engrenages form de deuxvoies parallles (g. 12.50) visant rpartir le ux de puissance utile. On suppose lemcanisme parfait. Ltude statique dtaille de ce mcanisme gure au paragraphe 8.4.5.

On suppose dabord que le mcanisme fonctionne vide (g. 12.51). Couponsles arbres intermdiaires pour isoler chaque tage, le sens de rotation de larbredentre est positif. Supposons que des erreurs de fabrication et de montage provo-quent un couple de prcontrainte sur larbre A lentre de ltage II. Pour uneraison dquilibre statique, le couple sur le bout darbre B est oppos . Lesbouts darbre de ltage I sont chargs par les ractions ces couples.

Faisons tourner larbre dentre dans le sens positif. Les arbres intermdiairestournent en sens inverse dans le sens ngatif. Le produit des signes de la vitesse et ducouple donne partout le signe de la puissance. La puissance pntre dansltage II tandis que en sort. On constate que la puissance de prcontrainte cir-cule en une boucle ferme, elle circulerait en sens contraire si le couple de prcontraintetait oppos celui qui a t admis, ou si les arbres tournaient en sens inverse.

Chargeons maintenant la transmission par la puissance P (g. 12.52). Elle serpartit entre les deux branches et se superpose la puissance circulante. En supposantune rpartition symtrique, larbre A transmet la puissance

i1 i2

i2i1

rcepteurmoteur

Fig. 12.50 Schma dun rducteur deux voies.

M0AM0B M0A

2 M0A2 M0B

PA = 12

P + P0 (12.87)


NERGIE 45

et larbre B

Le facteur de surcharge de la voie A vaut

Larbre B ne transmet pas de puissance si = P/2; dans ce cas = P et = 2, larbre A transmet toute la puissance. En inversant le sens de rotation, le sens

de la circulation de puissance sinverse et cest larbre B qui est surcharg.

12.6.2 Exemples

Banc dessai dengrenagesLe rendement dune transmission est par dnition

PB = 12

P P0 (12.88)

Ks = 0,5 P + P0

0,5 P = 1 + 2 P0

P(12.89)

P0 PAKs

= P2P1

(12.90)

I A IIktA

2 2M0A M0A

P0

+ 0 0

ktB2 2M0B M0B

+ +

+

1

Fig. 12.51 Efforts et puissance de prcontrainte.

+ +

I IIcirculation P0

A

PP

B

Fig. 12.52 Flux des puissances.

B

P0

P0



On peut dterminer en principe sa valeur en mesurant la puissance dentre

etla puissance de sortie . Mais cette mesure na pas de sens ds que le rendement de latransmission est lev parce que les erreurs de mesure sont du mme ordre de grandeurque les pertes. On pourrait fort bien trouver > 1!

Une mthode diffrentielle permet de mesurer directement la perte. Un bancdessai pour mesurer le rendement dengrenages conu selon ce principe consiste endeux engrenages identiques relis par leurs arbres (g. 12.53). Un organe (5) insrentre les pignons cre un couple de prcontrainte dont la puissance circule dans laboucle.

La gure 12.54 dcrit le ux de puissance. Le moteur fournissant P, la puissance = + P pntre dans lengrenage I et la puissance = est fournie au

second. Il en ressort

Le rendement des rducteurs nest pas forcment le mme selon que le uxdnergie les traverse dans un sens ou dans lautre. Posons

Ces deux quations permettent de calculer immdiatement la valeur des rende-ments. On obtient, pour le premier,

La puissance fournie par le moteur se mesure avec prcision par le couplemtre(2) et par le tachymtre (3) (g. 12.53):

P1P2

M0

1 M2

3

1 M

i

I II

i

M0M

4

kt

5

Fig. 12.53 Schma dun banc dessai dengrenages.

P1 P0 P2 I P1

P0 = P0 + P( ) I II

II = c I (12.91)

I = cP0

P0 + P(12.92)

P = M 1


NERGIE 47

Le couplemtre (4) mesure le couple de prcharge , alors

En portant ces puissances dans lexpression (12.92), on obtient

Il suft donc en principe de mesurer les couples pour trouver le rendement. Lerapport c peut se dterminer partir dune mesure dchauffement des engrenages.

Ce banc dessai permet de mesurer facilement les pertes en fonction de la puis-sance transmise en jouant sur le couple de prcontrainte et sur la vitesse.

Cette mthode est conomique parce que la puissance des engrenages nest pasdissipe dans un frein, la puissance du moteur nest quune fraction de la puissancetransmise.

VhiculesCertains chemins de fer prsentent des sections traction par adhrence et

dautres sections pourvues de crmaillres. On peut imaginer entraner simultanmentle pignon de crmaillre et les roues motrices par un mme moteur. La vitesse duconvoi est impose par lentranement positif crmaillre; en revanche, la vitessepriphrique des roues diffre de la vitesse de translation dans une mesure qui dpendde lusure des bandages. Entre les roues et les rails existe donc une vitesse de glisse-ment qui engendre une force de frottement parasite qui prcontraint le mcanisme etpeut surcharger la crmaillre. La solution radicale ce problme consiste dbrayerlentranement des roues lorsque la propulsion a lieu par crmaillre. La FabriqueSuisse de Locomotives a brevet un mcanisme diffrentiel permettant de fonction-ner en traction mixte an daccrotre la traction [12.7]; un dispositif spcial dautoblo-cage intervient en cas de patinage des roues.

Les vhicules routiers nont jamais dessieu rigide, un diffrentiel coupe laboucle de prcontrainte qui se formerait dans les virages du fait que la roue situe lextrieur dun virage doit tourner plus rapidement que celle qui se trouve lint-rieur. Le chemin parcouru par lessieu avant est diffrent de celui parcouru par lessieuarrire dans les virages ou lorsque le vhicule passe sur des ondulations du sol, cest

1+ +P P0

PpI I II PpII

P2

Fig. 12.54 Schma du ux dnergie.

P1

M0

P0 = M0 1

I = cM0

M0 + M(12.93)



pourquoi les vhicules routiers quatre roues motrices sont quips dun diffrentiel,dit central, situ dans la liaison entre les essieux avant et arrire. Les tracteurs agri-coles en sont dpourvus parce que les roues peuvent glisser dans le terrain meuble; enrevanche, il faut dbrayer lessieu avant dans la marche sur route.

12.6.3 Variateurs diffrentielsLassociation de variateurs mcaniques et de trains picyclodaux permet de ra-

liser des mcanismes aux proprits intressantes.

Montage 1Un moteur reli larbre A commande la couronne (3) dun train picyclodal par

lintermdiaire de lengrenage (4) (5) (g. 12.55) et le pignon central (1) par unvariateur courroie (6) (7). La gure 12.56 schmatise le mcanisme. La vitesse est impose par le moteur. La vitesse de sortie du porte-satellites est fonction de lavitesse la sortie du variateur. A partir de la relation cinmatique fondamentale destrains picyclodaux (12.79), on crit

3b

1

(12.94)b3

=

11 i0

13

i0

3

2 b

B

A

C 65

47

1

Fig. 12.55 Variateur permettant larrt de larbre de sortie B.

P33

i0bMb

Pb

P11ivi1

Fig. 12.56 Schma dun variateur train picyclodal de la gure 12.55.


NERGIE 49

Le ux de puissance est identique celui tudi en relation avec la gure 12.46.Supposons que le mcanisme soit charg par un couple constant , toujours oppos la vitesse b. La puissance de sortie du systme isol

est ngative. La formule (12.85) donne la puissance passant par larbre (1); en intro-duisant , on trouve

La puissance passant par larbre (3) vaut, avec (12.86),

La vitesse de sortie relative et les puissances sont reprsentes la gure 12.57.On y reconnat les trois domaines de fonctionnement dj analyss plus haut(g. 12.49). Il y a circulation de puissance dans les domaines I et II; le variateur estparcouru par un ux de puissance suprieur la puissance de sortie lorsque

Mb

(12.95)Pb = b Mb = 1

1 i0

13

i0

3 Mb

Pb

(12.96)P1 = M11 = 1

1 i03 Mb

13

P1

i0

Pb

P3

I II IIIPb

P

P3

1

1

Oi0/2

i01 i0

3Mb

i01 i0

3Mb

13

b3

P1

b3

Fig. 12.57 Vitesse de sortie et puissance dans les arbres du train picyclodal du variateur reprsent lagure 12.55. Trac pour un train ngatif, i0 < 0.

(12.97)P3 = M3 3 = i0

1 i0Mb 3

P1 Pb

(12.98)13

< i02

avec i0 < 0



Lexamen de la gure 12.57 et la formule (12.94) montrent que larbre de sortiesarrte lorsque = . En variant la vitesse autour de cette valeur, on obtientun mouvement lent et on peut mme inverser la marche sans que le variateur sarrtede tourner. Cette proprit est avantageuse parce que larrt de larbre de sortie desvariateurs friction est toujours nfaste cause de leur usure. Mais il est vrai quilexiste dans ces conditions une importante circulation de puissance. On observe encoreque la puissance est constante, elle change seulement de sens linversion de mar-che du porte-satellites avec linversion du couple dentranement.

Montage 2Dans ce montage (g. 12.58), le moteur entrane le porte-satellites du train pi-

cyclodal. La couronne (3) est relie larbre de sortie et, par lintermdiaire dunvariateur courroie, encore au plantaire central (1). La gure 12.59 schmatise lemcanisme.

(12.99)13

> i02

avec i0 > 0

1 i0 3 1

P3

P

P

I

I3

1

2

26

x x

Fig. 12.58 Variateur pour rglage n de vitesse.

Fig. 12.59 Schma dun variateur pour rglage n.

bb

11

i

3 3

5

7

4

b

P


NERGIE 51

Posons le rapport de transmission du variateur

et tirons la vitesse de sortie de lquation (12.94):

Calculons la sensibilit de la vitesse de sortie la variation du rapport de trans-mission du variateur:

Cette drive est petite si la raison du train picyclodal est fortement ngative.On peut ainsi obtenir un rglage trs n

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