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  • - 1 -

    Universit de Versailles et Saint Quentin-en-Yvelines LISV - Laboratoire d'Ingnierie des Systmes de Versailles Btiment Descartes RC27 45, Avenue des Etats-Unis 78035 Versailles Master 2 SPI DSME Responsable: Paolo VANNUCCI (paolo.vannucci@meca.uvsq.fr) Cours Matriaux Composites: Anisotropie et mcanique des stratifis A.U. 2005-06

    Squence complte de calcul d'un stratifi Dans ce document on dtaille les tapes ncessaires mener bien le calcul d'un stratifi, une fois sa composition connue (matriaux des plis et squence d'empilement) et lorsque le mme stratifi est soumis un tat de sollicitation mcanique et thermique connu. Un exemple numrique est dvelopp la fin. 1. DONNEES DE DEPART 1.1 Matriaux composant le stratifi: ils sont orthotropes et d'habitude connus grce aux constantes de l'ingnieur dans l'es directions d'orthotropie de la couche, E1, E2, 12 et G12, aux caractristiques de rsistance de chaque pli Xc, Xt, Yc, Yt, S et ventuellement F12*, aux coefficients de dilatation thermique et d'absorption d'eau dans les deux directions d'orthotropie, 1, 1, 1 et 2, et leur paisseur hc. Une alternative est celle de donner directement les composantes tensorielles du tenseur de la rigidit Q, Q11, Q12, Q22 et Q66; dans ce cas, l'tape de calcul du tenseur Q partir des constantes de l'ingnieur n'est videmment pas ncessaire.

    1.2 Actions mcaniques: elles sont donnes en spcifiant, dans les axes du stratifi, le tenseurs N et M des actions de membrane et de flexion: Nx, Ny, Nxy, Mx, My et Mxy. 1.3 Actions thermiques: elles sont donnes en spcifiant la variation de temprature t par rapport un tat sans contraintes (normalement celui de fabrication du stratifi) et la variation de temprature t entre la surface suprieure et l'infrieure du stratifi. 1.4 Actions hygroscopiques: elles sont donnes en spcifiant le pourcentage d'eau m absorbe par rapport l'tat de fabrication du stratifi et la variation m de pourcentage d'eau entre la surface suprieure et infrieure du stratifi.

    2. CALCUL DES TENSEURS DES COUCHES On dtaille dans ce paragraphe la faon dont on calcule les tenseurs caractristiques de chaque couche, qui serviront ensuite au calcul des tenseurs caractristiques du stratifi. Bien videmment, dans le cas, trs frquent, d'un stratifi compos de plis identiques, ce calcul ne se fait qu'une seule fois, pour le pli de base.

    2.1 Tenseurs Qk: pour chaque couche k, il faut calculer le tenseur de rigidit rduite dans les axes d'orthotropie de la couche:

  • _____________________________________________________________________

    - 2 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    ,

    ,1

    ,1

    ,1

    1266

    2112

    222

    2112

    12112

    2112

    111

    GQ

    EQ

    EQ

    EQ

    =

    =

    =

    =

    (1)

    avec

    1

    21221 E

    E = . (2)

    2.2 Tenseurs k=Qkk: si le chargement thermique n'est pas nul, pour chaque couche k il faut calculer le tenseur des rigidits thermique dans les axes d'orthotropie de la couche:

    .0000

    00

    222112

    212111

    2

    1

    66

    2212

    1211

    ++

    =

    ==

    QQQQ

    QQQQQ

    kkk Q (3)

    2.3 Tenseurs k=Qkk: si le chargement hygroscopique n'est pas nul, pour chaque couche k il faut calculer le tenseur des rigidits hygroscopique dans les axes d'orthotropie de la couche:

    .0000

    00

    222112

    212111

    2

    1

    66

    2212

    1211

    ++

    =

    ==

    QQQQ

    QQQQQ

    kkk Q (4)

    3. CALCUL DES TENSEURS DU STRATIFIE On dtaille dans ce paragraphe la faon dont on calcule les tenseurs qui dcrivent le comportement du stratifi:

    =

    HG

    GF

    WV

    VU

    DBBA

    MN

    hmm

    htt

    o . (5)

    3.1: Tenseurs A, B et D: ces tenseurs sont donns par

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    zz

    zz

    zz

    13

    13

    12

    12

    1 1

    );)((31

    ,))((21

    ,))((

    QD

    QB

    QA

    (6)

    ici, k est l'angle dont l'axe x1 du pli k est tourn par rapport l'axe x du stratifi, comme en figure. Il est impratif d'exprimer les diffrents tenseurs Qk dans le mme repre, celui de la plaque, {x, y, z}.

    y

    x1

    x2

    x3 z

    x

    k

  • _____________________________________________________________________

    - 3 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    Pour ce faire, on utilise les formules de changement de repre: si c= cos k et s= sin k, alors

    +

    +

    =

    22

    66

    12

    11

    422224

    333333

    2222442222

    22224422

    333333

    422224

    42)(2

    224

    )(242

    QQQQ

    ccscsssccssccssccscscssccscscscssccs

    cssccssccsscscscsc

    QQQQQQ

    yy

    ys

    ss

    xy

    xs

    xx

    . (7)

    Si les plis sont identiques, les formules sont plus simples; en numrotant les couches selon le schma de figure, on obtient

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kk

    n

    k kk

    n

    k k

    dnh

    bnh

    nh

    13

    3

    12

    2

    1

    ),(31

    ,)(21

    ,)(

    QD

    QB

    QA

    (8)

    avec

    [ ].)2(34)1(1241

    ,12

    +++=

    =

    nnnkkd

    nkb

    k

    k

    (9)

    A remarquer que les coefficients bk sont antisymtriques par rapport au plan moyen et les dk symtriques.

    3.2 Tenseurs U, V et W: ces tenseurs dcrivent le comportement thermo-lastique du stratifi; en gnral,

    ( )

    ( )

    ( ).)(31

    ,)(21

    ,)(

    13

    13

    12

    12

    1 1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    zz

    zz

    zz

    W

    V

    U

    (10)

    La rotation de k des tenseurs k, qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grce aux relations suivantes:

    =

    22

    11

    22

    22

    csscscsc

    yy

    xy

    xx

    . (11)

    Dans le cas de plis identiques, alors:

    z n

    h/2

    h/2

    zk-1 zk

    k

    1

  • _____________________________________________________________________

    - 4 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    .)(31

    ,)(21

    ,)(

    13

    3

    12

    2

    1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkk

    n

    k kkk

    n

    k kk

    dnh

    bnh

    nh

    W

    V

    U

    (12)

    3.3 Tenseurs F, G et H: ces tenseurs dcrivent le comportement hygro-lastique du stratifi; en gnral,

    ( )

    ( )

    ( ).)(31

    ,)(21

    ,)(

    13

    13

    12

    12

    1 1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    n

    k kkkk

    zz

    zz

    zz

    H

    G

    F

    (13)

    La rotation de k des tenseurs k, qui sont des tenseurs du second ordre, se fait grce aux relations suivantes:

    =

    22

    11

    22

    22

    csscscsc

    yy

    xy

    xx

    . (14)

    Dans le cas de plis identiques, alors:

    .)(31

    ,)(21

    ,)(

    13

    3

    12

    2

    1

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    n

    k kkk

    n

    k kkk

    n

    k kk

    dnh

    bnh

    nh

    H

    G

    F

    (15)

    4. INVERSION DE LA LOI DE COMPORTEMENT Le calcul des contraintes dans chaque couche ncessite du calcul des dformations et pour cela il est indispensable d'inverser la loi de comportement (5). Faisons cela par tapes.

    4.1 Cas d'un chargement mcanique: dans ce cas la (5) se rduit

    =

    DBBA

    MN o

    ; (16)

    en gnral, l'inversion donne

    =

    MN

    DBBA

    1o

    (17)

    et donc il faut inverser la matrice complte; cela est faisable et on peut crire la formule d'inversion d'une matrice 66 une fois pour toute. Le problme est que cette formule est trs longue et complique. Une autre faon d'aborder ce mme problme est d'inverser un un les

  • _____________________________________________________________________

    - 5 -

    P. Vannucci - Calcul d'un stratifi

    trois tenseurs qui apparaissent dans (17), A, B et D. On peut donc rcrire la (17) sous la forme

    =

    MN

    dbba

    T

    o

    (18)

    avec

    ( )( )

    ( ) .,

    ,

    1111

    11

    11

    ==

    =

    =

    BDBBDAaBDb

    BBADd

    BBDAa

    (19)

    Le problme se simplifie considrablement au cas o le stratifi est dcoupl; dan ce cas B=b=O et

    ,,

    dMaN

    ==o

    (20)

    avec

    .,

    1

    1

    ==

    DdAa (21)

    On rappelle la formule d'inversion de A (pour D c'est analogue):

    =2

    1222112611161222162612

    261116122

    16661166122616

    221626126612261622666221

    AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

    a , (22)

    avec

    .2 222162616126621222611662211 AAAAA+AAAAAAA = (23)

    4.2 Cas d'un chargement thermique et/ou hygroscopique: dans ce cas la (5) se rduit

    +

    +

    +

    =

    HG

    GF

    WV

    VU

    DBBA

    hmm

    htt

    o 1

    . (24)

    Encore une fois, en inversant les tenseurs un un grce aux (19) on trouve:

    +

    +

    +

    =

    hg

    gf

    wv

    vu

    2

    1

    2

    1 hmm

    htt

    o , (25)

    avec

    ,,,

    ,

    T2

    T1

    dWVbwbWaVvdVUbv

    bVaUu

    +=

    +=+=

    +=

    (26)

    et

  • _____________________________________________________________________

    - 6 -

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