Série S

Mathématiques

Baccalauréat blanc : Session de Décembre 2012- Janvier 2013 Durée de l’épreuve : 4 heures - Coefficient : 7

Exercice 1 (5 points) - Commun à tous les candidats Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

0; u; v( ) .

Partie A On considère les trois points , et A B C d’affixes respectives 3 , 1 3 et 1 3A B Cz i z i z i= + = − + = − − .

1. a. Ecrire les nombres complexes et A Bz z sous forme exponentielle.

b. Dans un repère orthonormé direct 0; u; v( ) (unité 2cm), placer les points , et A B C

(on laissera visible les traits de construction). c. Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle.

2. On note D le point d’affixe D Cz iz= et E le point tel que BE

=OC

.

a. Calculer et D Ez z les affixes respectives des points D et E . Placer ces points dans le repère.

b. Montrer que les vecteurs OE

et AD

sont orthogonaux et que OE AD= . Partie B

Le but de cette partie est de retrouver le résultat précédent dans le cas général 1. U

et V

étant deux vecteurs non nuls du plan d’affixes respectives z

U et z

V , monter que

Si zU = iz

V alors U

et V

sont orthogonaux et U

= V

2. Soient , , , et A B C D E les points d’affixes respectives , , , et A B C D Ez z z z z tels que :

B Az iz= , D Cz iz= et E B Cz z z= +

a. Justifier que les triangles OAB et OCD sont isocèles rectangles en O .b. Justifier que le quadrilatère OBEC est un parallélogramme.

3. Montrer que D A Ez z iz− = . Conclure.

Exercice 2 (5 points)  - Commun à tous les candidats - La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C

Partie A On donne l’algorithme suivant :

Variables : U nombre réel S nombre réel i nombre entier naturel

Initialisation : Affecter U la valeur 13 Affecter S la valeur U

Traitement : Pour i allant de 1 à 3

Affecter à U la valeur 1 4U +5 5

Affecter à S la valeur S+U Fin de pour

Sortie : Afficher S Faire « tourner » cet algorithme dans un tableau du type de celui donné ci-dessous :

i U S Affichage 13 13

1 … … …………

Certains résultats de la partie B pourront être utilisés dans la partie C mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie B On définit :

• la suite ( )nu par 0 13u = et, pour tout entier naturel n , 11 45 5n nu u+ = +

• la suite ( )nS par, pour tout entier naturel n , 0 1 20

.......n

n k nk

S u u u u u=

= = + + + +∑ .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 1215n nu = + .

En déduire la limite de la suite ( )nu .

2. a. Déterminer le sens de variation de la suite ( )nS .

b. Calculer nS en fonction de n .

c. Déterminer la limite de la suite ( )nS .

Partie C Etant donné une suite ( )nx définie pour tout entier naturel n , on considère la suite ( )nS définie par

0

n

n kk

S x=

=∑ .

Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est Vraie ou Fausse. Justifier dans chaque cas. Proposition 1 : si la suite ( )nx est convergente alors la suite ( )nS l’est aussi.

Proposition 2 : les suites ( )nx et ( )nS ont le même sens de variation.

Exercice 3 (5 points)  - Commun à tous les candidats -

Soit f la fonction définie sur ] [;3−∞ par ( )2

3

x

ef xx

−

=−

.

On note ( )C sa courbe représentative dans un repère orthonormé 0;i ;j( ) .

Partie A : Etude des variations de la fonction

1. On admet que la fonction f est dérivable sur ] [;3−∞ ; on note dont f ʹ′sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout ] [;3x∈ −∞ , ( ) ( )( )

2

2

12 3

x

x ef x

x

−−

ʹ′ =−

2. Etudier les variations de la fonction f sur ] [;3−∞ .

Partie B : Recherche d’une tangente particulière

Soit a un réel strictement inférieur à 3.

Le but de cette partie est de rechercher l’existence de tangentes à la courbe ( )C au point d’abscisse a , qui passe par l’origine du repère.

1. On appelle ( )aT la tangente à la courbe ( )C au point d’abscisse a .

Donner une équation de la droite ( )aT .

2. Démontrer qu’une tangente à la courbe ( )C au point d’abscisse a passe par l’origine du repère

si et seulement si 2 6 0a a− − + = .3. Conclure.

Partie C : Représentation graphique

Dans un repère orthonormé, tracer les éventuelles tangentes déterminées dans la partie B puis la courbe ( )C .

Exercice 4 (5 points)  - Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité – (Nouvelle Calédonie 03-12) Soit f la fonction définie sur par ( ) xf x xe= .

On désigne par ( )C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal 0;i ;j( ) .

Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [ ]0;1 .

Sur la courbe ( )C tracée ci-dessous, on a placé les points et A B d’abscisses respectives et 1a .

On a tracé les segments [ ]OA et [ ]AB . On a hachuré la partie de plan délimitée par les segments [ ]OA et

[ ]AB et la courbe ( )C . On a placé les points ( );0A aʹ′ et ( )1;0Bʹ′ . Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre a pour laquelle l’aire de la partie hachurée, ci-dessous, est minimale.

Intégrale = 1

0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

1

1,5

2

2,5

3

-0,5

-1

-1,5

-2

-2,5

-3

0 0,1

0,5

x

y

O

A

A'

B

B'

Partie A On admet que l’aire de la partie de plan, grisée sur le graphique, délimitée par la courbe ( )C , l’axe des

abscisses et le segment [ ];B Bʹ′ est égale à 1. 1. Donner l’aire du triangle OAAʹ′ .

2. Montrer que l’aire du trapèze ABB Aʹ′ ʹ′ est égale à ( )212

a aa e ae ae e− + − + .

On rappelle la formule de l’aire d’un trapèze ( ) + 2

Grande base Petite base Hauteur×

3. En déduire que l’aire de la partie hachurée est égale à ( )1 22

aae ae e− + − .

Partie B Soit g la fonction définie sur [ [0;+∞ par ( ) ( ) 2xg x x e e e= − + − .

1. Soit gʹ′ la fonction dérivée de la fonction g .

a. Calculer ( )g xʹ′ pour tout réel x de [ [0;+∞ .

b. Vérifier que la fonction dérivée seconde de la fonction g , notée g ʹ′ʹ′, est définie sur [ [0;+∞

par ( ) ( )2 xg x x eʹ′ʹ′ = + .

c. En déduire les variations de la fonction gʹ′ .d. Etablir que l’équation ( ) 0g xʹ′ = admet une unique solution α dans l’intervalle [ ]0;1 .

Déterminer une valeur approchée de α à 110− prèse. En déduire les variations de la fonction g sur [ [0;+∞ .

2. En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu’il existe une valeur de a ,que l’on précisera, pour laquelle l’aire hachurée est minimale.

Exercice 4 (5 points ) -Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité-

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A

On considère l’équation ( ) : 7 6 1E x y− = où et x y sont des entiers naturels.

1. Donner une solution particulière de l’équation ( )E .

2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation ( )E .

Partie B

Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples ( ),n m d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation

( ) : 7 3 2 1n mF − × =

1. On suppose 4m ≤ .Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions.

2. On suppose maintenant que 5m ≥ .

a. Montrer que si le couple ( ),n m vérifie la relation ( )F alors ( )7 1 mod32n ≡ .

b. En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple ( ),n m vérifie

la relation ( )F alors n est divisible par 4.

c. En déduire que si le couple ( ),n m vérifie la relation ( )F alors ( )7 1 mod5n ≡ .

d. Pour 5m ≥ , existe-t-il des ( ),n m d’entiers naturels vérifiant la relation ( )F ?

3. Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples ( ),n m d’entiers naturels non nuls vérifiant la

relation ( )F .