C. R. Acad. Sci. Paris, t. 333, Série I, p. 851–854, 2001Contrôle optimal/Optimal Control(Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations)

Stabilisation et contrôle intermittent de l’équationdes ondesPatrick MARTINEZ, Judith VANCOSTENOBLE

MIP, Université Paul-Sabatier–Toulouse-3, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex 4, FranceCourriel : martinez@mip.ups-tlse.fr; vancoste@mip.ups-tlse.fr

(Reçu le 2 juillet 2001, accepté le 13 septembre 2001)

Résumé. On étudie la stabilisation de l’équation des ondes en dimension1 par un feedback frontièreou localement distribué supposé soit positif-négatif, soit intermittent. On donne égalementdes résultats de contrôlabilité en « temps arbitrairement petit » pour l’équation des ondessoumise à un contrôle localement distribué. 2001 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

On-off stabilisation and controllability of the wave equation

Abstract. We study the stabilization of the one-dimensional wave equation with a boundary or locallydistributed feedback that is positive-negative or on-off. We also give results of controllabilityin “arbitrarily short time” for the one-dimensional wave equation with a locally distributedcontrol. 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

1. Stabilisation frontière par feedback positif-négatif

On considère l’équation des ondes en dimension1 soumise à un feedback linéaire dépendant du tempsa(t)ut(1, t) en un point de la frontière :

utt − uxx = 0, x ∈ (0,1), t � 0,

u(0, t) = 0, t � 0,

ux(1, t) = −a(t)ut(1, t), t � 0,

(u(x,0), ut(x,0)) = (u0(x), u1(x)), x ∈ (0,1),

(1)

où (u0, u1) ∈ V × L2(0,1) (avecV = {v ∈ H1(0,1) | v(0) = 0}). L’énergie deu est définie par :

∀t � 0, Eu(t) =12

∫ 1

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx.

On étudie l’effet d’un feedbackpositif-négatif2T -périodique défini par :

a(t) = a0 > 0 pourt ∈ [0, T ), a(t) = −b0 � 0 pourt ∈ [T,2T ). (2)

Note présentée par Philippe G. CIARLET.

S0764-4442(01)02128-0/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 851

P. Martinez, J. Vancostenoble

Si b0 �= 1, il existe une unique solutionu. Son énergie n’est décroissante que pendant les intervallesde temps[2mT,2mT + T ), sinon elle est au mieux constante lorsqueb0 = 0 (feedbackintermittent) oucroissante lorsqueb0 > 0 (feedbackpositif-négatif). On prouve le :

THÉORÈME 1 (voir [8]). – On suppose(2) avecb0 �= 1 :(i) si 1/T ∈ N, alors il existe(u0, u1) ∈ V ×L2(0,1) tel queEu(t) soit une constante non nulle(si b0 = 0)ou tel queEu(t) → +∞ exponentiellement lorsquet→∞ (si b0 > 0) ;(ii) si 1/T = p′/q′ oùp′ et q′ sont premiers entre eux, on note

KT :=(a0 − 1

a0 + 1

)1/2(b0 + 1b0 − 1

)1/2

si q′ est pair,

KT :=(a0 − 1

a0 + 1

)(q′−1)/2q′(b0 + 1b0 − 1

)1−(q′−1)/2q′

si q′ est impair;

alors si KT < 1, l’énergie de toute solution converge exponentiellement vers0 (commeKtT ) lorsque

t → ∞, et si KT > 1, l’énergie de certaines solutions tend exponentiellement vers+∞ (commeKtT )

lorsquet →∞ ;(iii) si 1/T /∈ Q, on note

K0 :=(

a0 − 1a0 + 1

)1/2(b0 + 1b0 − 1

)1/2

;

alors siK0 < 1, l’énergie de toute solution converge exponentiellement vers0 (commeKt0) lorsquet→∞,

et siK0 > 1, l’énergie de certaines solutions tend exponentiellement vers+∞ (commeKt0) lorsquet→∞.

Remarques. – 1. Dans le casa0 = 1, lorsque1/T /∈ N, alors on obtient la décroissance exponentielle (etplus précisément dans ce cas l’arrêt en temps fini)pour toute valeurb0 ( �= 1).

2. Dans le casintermittent(b0 = 0), on obtient la stabilisation exponentielle si et seulement si1/T /∈ N.Ce résultat estradicalement différentde ceux connus dans le cas des équations différentielles ordinaires.En effet, dans le cas de l’oscillateur (voir [10,11] et les reférences incluses), la condition de stabilisationporte sur lalongueurdes intervalles de temps pendant lesquels on applique le feedback et non pas sur leurlocalisationcomme c’est le cas ici.

3. Cependant, la condition1/T ∈ N est naturelle car cohérente avec la condition générale desrayonsoptiquesde C. Bardos et al. [1] pour les systèmes indépendants du temps. Elle correspond au fait qu’ilexiste des rayons optiques qui ne touchent la région de contrôle (x = 1) qu’à des instants où le feedbackn’agit pas (oùa(t) =−b0 � 0).

4. On peut étendre le théorème 1 au cas d’un feedbackqT -périodique défini para(t) = a0 pourt ∈ [0, T ),et a(t) = −b0 pourt ∈ [T, qT ). Par exemple, dans le cas intermittent, la condition de stabilisation devient1/T /∈

⋃q−1p=1 N (voir [8]).

5. Les preuves de ces résultats sont basées sur la formule de d’Alembert associée à des propriétés decongruence et d’équirépartition du type théorème de Weyl.

2. Contrôlabilité et stabilisation interne intermittente

2.1. Contrôlabilité en temps « arbitrairement petit » et contrôlabilité intermittente. –On considère leproblème de la contrôlabilité exacte de l’équation des ondes au moyen d’un contrôle localement distribué :

utt − uxx = h(x, t), (x, t) ∈ (0,1)×R+,

u(0, t) = u(1, t) = 0, t ∈ R+,

u(x,0) = u0(x), ut(x,0) = u1(x), x∈ (0,1).(3)

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Stabilisation et contrôle intermittent de l’équation des ondes

D’après A. Haraux [3], on sait que : si(a, b) ⊂ (0,1), et siT > T0(a, b) := 2max(a,1− b), alors, pourtout (u0, u1) ∈ H1

0(0,1)× L2(0,1), il existeh tel que

supp(h) ⊂ (a, b)× (0, T ), (4)

et tel que la solutionu de (3) vérifie aussi

u(x,T ) = ut(x,T ) = 0, x ∈ (0,1). (5)

On affaiblit ici la condition (4) en cherchant un contrôleh tel que

supp(h) ⊂ (a, b)× J, (6)

oùJ ⊂ (0, T ), J �= (0, T ). On prouve le :

THÉORÈME 2 (voir [9]). – Soient(a, b)⊂ (0,1) etT > T0 = 2max(a,1− b). On suppose que

[0, T ] = [t0, t1]∪ [t1, t2]∪ [t2, t3]∪ · · · ∪ [t2n−1, t2n]∪ [t2n, t2n+1] = J0 ∪ I1 ∪ J1 ∪ · · · ∪ In ∪ Jn,

avect0 = 0, t2n+1 = T et où, pourj ∈ {0, . . . , n}, Jj = [t2j , t2j+1] sont des intervallesnon videsetoù, pourj ∈ {1, . . . , n}, Ij = [t2j−1, t2j ] sont des intervalles(éventuellement vides) vérifiant la conditionsuivante:

∀j ∈ {1, . . . , n}, |Ij | < b− a. (7)

Alors pour tout(u0, u1) ∈ H10(0,1) × L2(0,1), il existeh ∈ L2((0,1) × (0, T )) vérifiant (6) et tel que la

solutionu de(3) vérifie aussi(5).

Remarques. – 1. Le théorème 2 donne un résultatde contrôlabilité exacteen « temps arbitrairement petit »dans tout intervalle d’espace donné(a, b).

2. La preuve est basée sur une nouvelle inégalité d’observabilité (voir [9]). On en déduit la contrôlabilitéexacte via la méthode HUM de J.-L. Lions [7]. Plus généralement, on montre une inégalité d’observabilitépour l’équation des ondes avec un potentiel borné et on en déduit via la méthode de E. Zuazua [12] lacontrôlabilité de l’equation des ondessemi-linéaire.

3. La condition (7) est également cohérente avec la condition des rayons optiques de C. Bardos et al.On montre de plus qu’elle est optimale. Si elle n’est pas vérifiée, on peut ne pas avoir contrôlabilité dumoins en tempsT0 (voir [9]). Cependant, dans certaines situations, il est possible d’obtenir un résultat decontrôlabilité sans supposer (7) à condition toutefois de contrôler pendant un tempsT assez long. Parexemple, considérons pour simplifier une région symétrique(a, b) = (1/2−λ,1/2+λ) avec0 < λ < 1/2.Alors on montre le :

THÉORÈME 3 (voir [9]). – Soit0 < λ < 1/2 et τ > 0. Pour toutN ∈ N, on noteT = (2N + 1)τ et onécrit

[0, T ] = [0, τ ]∪ [τ,2τ ]∪ · · · ∪[(2N − 1)τ,2Nτ

]∪

[2Nτ, (2N + 1)τ

]= J0 ∪ I1 ∪ J1 ∪ · · · ∪ In ∪ Jn,

avec pourj ∈ {0, . . . ,N}, Jj = [2jτ, (2j + 1)τ ], et pourj ∈ {1, . . . ,N}, Ij = [(2j − 1)τ,2jτ ]. On noteJ =

⋃Nj=0 Jj .

Si 1/τ /∈ 2N, alors il existeNτ ∈ N tel que, pour tout(u0, u1) ∈ H10(0,1) × L2(0,1), il existe h ∈

L2((0,1)× (0, T )) vérifiant(6) et tel que la solutionu de(3) vérifie aussi(5).

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P. Martinez, J. Vancostenoble

Remarques. – 1. On obtient donc un résultat sans condition entre|Ij | et b − a = 2λ et qui est valablepour toutλ.

2. En revanche, si1/τ ∈ 2N, on peut montrer qu’il n’y pas contrôlabilité exacte en aucun tempsT .

2.2. Stabilisation intermittente. –On considère l’équation des ondes soumise à un feedback intermittentlocalement distribué dansω = (1/2− λ,1/2 + λ) :

utt − uxx = −a(t)χω(x)ut, x ∈ (0,1), t � 0,

u(0, t) = u(1, t) = 0, t � 0,

(u(x,0), ut(x,0)) = (u0(x), u1(x)), x ∈ (0,1).(8)

On prouve le :

THÉORÈME 4 (voir [8]). – On suppose(2) avecb0 = 0 et 0 < λ � 1/2 :(i) si (1/T ∈ 2N etT > 2λ), alors il existe(u0, u1) ∈H1

0 ×L2(0,1) tel que l’énergie de la solutionu de(8)soit une constante non nulle;(ii) si (1/T ∈ 2N et T < 2λ), ou si 1/T /∈ 2N, alors l’énergie de toute solution de(8) tend vers0exponentiellement.

Remarque. – Les remarques 2, 3 et 4 qui suivent le théorème 1 s’appliquent encore ici.

Remerciements. Les auteurs tiennent à remercier V. Komornik et E. Zuazua pour leurs commentaires sur cestravaux.

Références bibliographiques

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préparation).[9] Martinez P., Vancostenoble J., Exact controllability in “arbitrarily short time” of the semilinear wave equation (en

préparation).[10] Pucci P., Serrin J., Asymptotic stability for intermittently controlled nonlinear oscillators, SIAM J. Math.

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