Stabilité des schémas numériques explicites en mécanique ...erwan.deriaz.free.fr/Porquerolles_2010_Deriaz.pdf · Stabilité des schémas numériques explicites en mécanique des

IntroductionAnalyse de stabilité de von Neumann affinée

Extension aux équations non linéaires

Stabilité des schémas numériques explicitesen mécanique des fluides incompressibles.

Erwan Deriaz [email protected]

Laboratoire de Mécanique, Modélisation & Procédés Propres – Marseilles

avec Dmitry Kolomenskiy [email protected]

Journées de l’équipe d’Analyse Appliquée de MarseillePorquerolles – 17-19.05.2010

Erwan Deriaz [email protected] Conditions type CFL pour le transport



Plan

1 IntroductionLes schémas d’ordre 2 en mécanique des fluidesProblème de stabilitéExpérience numérique

2 Analyse de stabilité de von Neumann affinéeFacteur d’amplificationTest numérique de la stabilitéExemples avec r quelconque

3 Extension aux équations non linéairesLes équations d’Euler incompressiblesEn présence de bordsEt avec la discrétisation spatiale




Les schémas d’ordre 2 en mécanique des fluidesProblème de stabilitéExpérience numérique

Plan








Equations de Navier-Stokes

Équations de Navier-Stokes incompressible :

(N-S)

∂tu + u · ∇u− ν∆u +∇p = f,divu = 0,u(0, x) = u0(x)

x ∈ Rd , t ∈ [0,T ]

On résout numériquement :

∂tu + P [u · ∇u]− ν∆u = P(f)

où P désigne le projecteur de Leray.





Schéma centré d’ordre 2 en temps

Par la suite : f = 0

Étape intermédiaire un+1/2(Id − ν δt

2∆

)un+1/2 = un −

δt2P [(un · ∇)un]

puis(Id − ν δt

2∆

)un+1 = un + δt

(ν2

∆un − P[(un+1/2 · ∇)un+1/2

])





Adams-Bashforth d’ordre 2

En Fourier, le noyau de la chaleur ∂tu = ν∆u est intégré defaçon exacte en posant

v(ξ, t) = eνξ2t u(ξ, t) = e−νt∆u(ξ, t)

On résout alors

∂tv + e−νt∆P[(eνt∆v · ∇)eνt∆v

]= 0

avec, en posant F (v, t) = e−νt∆P[(eνt∆v · ∇)eνt∆v

]vn+1 = vn −

32δt F (vn,nδt) +

12δt F (vn−1, (n − 1)δt)





Plan








Condition CFL

δt = pas de tempsδx = pas d’espace

Habituellement, la contrainte sur le pas de temps

δt ≤ Cδx

est calculée au cas par cas, et C déterminé de façon empiriquepour assurer la stabilité.

Cette condition de stabilité est en fait largementinsuffisante =⇒ C (∼ δx1/3) → 0





Stabilité de von Neumann

Soit l’équation∂tu = F (u)

avec u : Rd ou Td → R et F un opérateur linéaire de symboleconstant σ(ξ) i.e. F (u)(ξ) = σ(ξ)u(ξ).

Soit un schéma de type Runge-Kutta

un(0) = un, un+1 = un(sRK)

un(`) =`−1∑i=0

a`i un(i) + δt`−1∑i=0

b`i F (un(i)) for 1 ≤ ` ≤ sRK

ou de type Adams-Bashforth

un+1 =

sAB∑i=0

ai un−i + δtsAB∑i=0

bi F (un−i)





Stabilité de von Neumann

On isole un mode de Fourier

un(x) = φn eiξ·x

et on calcule le facteur d’amplification m(ζ) avec ζ = σ(ξ)δt

un+1 = m(ζ)un

La stabilité de von Neumann est donnée par :pour tout δx , tous les modes ξ présents dans le calculnumérique satisfont

|m(ζ)| ≤ 1 + Cδt

pour C une constante positive indépendante de δx et δt . Alors

‖uT‖ = ‖m(ζ)T/δtu0‖ ≤ (1 + Cδt)T/δt‖u0‖ ≤ eCT‖u0‖





Cas de l’équation de transport

Pour ν très petit et u une solution régulière, l’étude de stabilitéde Navier-Stokes se rapporte à celle de l’équation detransport

∂tu = a · ∇u

Le symbole de cet opérateur est imaginaire pur :

σ(ξ) = a · iξ





Domaine de stabilité de von Neumann

Le domaine de stabilité d’un schéma numérique est donné parl’ensemble ζ ∈ Cd , |m(ζ)| ≤ 1

Runge-Kutta Adams-Bashforth

Question : que se passe-t-il au niveau de la tangente à (Oy)?





Plan








Navier–Stokes et Euler incompressibles

équations 2D, en formulation vorticité–fonction de courant :

∂tω + u · ∇ω − ν∇2ω = 0, ∇2Ψ = ω, u = ∇⊥Ψ.

Code spectral Fourier, AB2 pour u · ∇ω, exacte pour −ν∇2ω.




Facteur d’amplificationTest numérique de la stabilitéExemples avec r quelconque

Plan








Cas particulier du transport

Pour des schémas de type Runge-Kutta

un+1 = m(ζ)un

avecm(ζ) = 1 + β1ζ + β2ζ

2 + · · ·+ βmζm

appliqué à l’équation de transport, ζ = ia δtδx

|m(ζ)|2 = 1+S1 a2(δtδx

)2

+S2 a4(δtδx

)4

+· · ·+Sm a2m(δtδx

)2m

avec

S` = β2`−2β`−1β`+1+2β`−2β`+2−· · ·+(−1)`−12β1β2`−1+(−1)`2β2`





CFL affinée

Si S1 = S2 = · · · = Sr−1 = 0 et Sr > 0, alors δt = o(δx) et

|m(ζ)|2 = 1 + Sr a2r(δtδx

)2r

+ o

((δtδx

)2r)

ou encore

|m(ζ)| = 1 +12

Sr a2r(δtδx

)2r

+ o

((δtδx

)2r)

Alors la condition de stabilité de von Neumann

|m(ζ)| ≤ 1 + Cδt

nous est donnée par

δt ≤(

2CSr

)1/(2r−1)(δxa

)2r/(2r−1)





Théorème liant ordre et stabilité d’un schéma

Theorem

Un schéma d’ordre 2p est stable pour l’équation de transport, au piresous la condition de type CFL :

δt ≤ C δx2p+22p+1 (1)

Preuve : Pour un schéma d’ordre 2p, on a :

un+1 = un + δt ∂t un +δt2

2∂

2t un + · · · +

δt2p

(2p)!∂

2pt un + o(δt2p)

Pour F linéaire dans ∂t u = F (u), ∂`t un = F`(un), d’où le facteur d’amplification :

m(ζ) = 1 + ζ +ζ2

2+ · · · +

ζ2p

(2p)!+ o(ζ2p)

avec o() rassemblant les termes negligeables sous la condition δt = o(δx). Alors pour q ∈ [1, p],

Sq =

2q∑p=0

(−1)(q−p) 1

p!

1

(2q − p)!=

(−1)q

(2q)!

2q∑p=0

Cp2q (−1)p = 0





Plan








Equation de Burgers sans viscosité

∂tu + u∂xu = 0 with x ∈ T(−1,1), t ∈ [0,10/π],u0(x) = 10− 0.1 sin(πx).Code Fourier pseudo-spectrale, déaliasé.critère de divergence : ||uN(·, t)||TV > K ||u0(·)||TV , K ∼ 5.





Plan








Que deux cases mémoire

Pour résoudre∂tu = F (u),

on se propose d’utiliser des schémas du type :

un (0) = un

un (1) = un + αpδtF (un (0))

. . .

un (`) = un + αp−`δtF (un (`−1))

. . .

un+1 = un + α1δtF (un (p−1))

ou encore

un+1 = un + α1δtF (un + α2δtF (un + α3δtF (un + . . . )))





Ordre du schéma

Si F est linéaire, cela correspond à

un+1 = un + β1δtF (un) + β2δt2F 2(un) + β3δt3F 3(un) + . . .

avec βm =∏m`=1 α`. Ou, sachant F `(u) = ∂`t u,

un+1 = un + β1δt∂tun + β2δt2∂2t un + β3δt3∂3

t un + . . .

L’ordre du schéma apparaît directement.

Et aussi la stabilité : si 〈F (u),u〉 = 0 et 〈F (u), v〉 = −〈u,F (v)〉

‖un+1‖2L2 = ‖un‖2

L2 +S1δt2‖F (un)‖2L2 +S2δt4‖F 2(un)‖2

L2 +S3δt6‖F 3(un)‖2L2 +. . .

avec les S` précédemment calculés.





Exemples

Euler explicite : un+1 = un + δtF (un)

β2 6= 12 =⇒ ordre 1 ,

S1 = 1 =⇒ δt ≤ 2C(δxa

)2 ,

Runge− Kutta 2 : un+1 = un + δtF (un + 12δtF (un))

β1 = 1, β2 = 1/2 et β3 = 0 6= 16 =⇒ ordre 2 ,

S1 = 0 et S2 = 1/4 =⇒ δt ≤ 2 C1/3 ( δxa

)4/3 ,

Schéma 3 : un+1 = un + δtF (un + 12δtF (un + 1

4δtF (un)))

β1 = 1, β2 = 1/2, β3 = 1/8 6= 16 =⇒ ordre 2 ,

S1 = S2 = 0 et S3 = 1/64, =⇒ δt ≤ 27/5 C1/5 ( δxa

)6/5 .





Exemples

Schéma 4 :

un+1 = un+δtF (un+12δtF (un+

2−√

22

δtF (un+2−√

24

δtF (un))))

β3 = 2±√

24 6= 1

6 =⇒ ordre 2 ,

S1 = S2 = S3 = 0 et S4 = β24 =⇒ δt ≤

(2Cβ2

4

)1/7 (δxa

)8/7 ,

Schéma 5 :

un+1 = un+δtF (un+δt2

F (un+δt3

F (un+δt4

F (un+δt6

F (un)))))

β1 = 1, β2 = 1/2, β3 = 1/6, β4 = 1/24 etβ5 = 1/144 6= 1/120 =⇒ ordre 4 ,S1 = S2 = S3 = S4 = 0 et S5 = β2

4 − 2β3β5 < 0=⇒ CFL usuelle .





Domaine de stabilité et CFL

Domaine de stabilité Stabilité expérimentale




Les équations d’Euler incompressiblesEn présence de bordsEt avec la discrétisation spatiale

Plan








Propriété d’asymétrie du transport

Lemme

Soient u,v,w ∈ H1(Ω)d , Ω un ouvert de Rd , telles que (u · ∇)vet (u · ∇)w ∈ L2. Si div u = 0 et u · n = 0 sur ∂Ω, alors

< v, (u · ∇)w >L2(Ω)= − < (u · ∇)v,w >L2(Ω)

Corollaire

Avec les mêmes hypothèses,

< v, (u · ∇)v >L2(Ω)= 0





Stabilité L2 pour Euler explicite [R. Temam]

TheoremUne erreur εt valant ε0 au temps t = 0 se propage dans leschéma Euler explicite avec :

‖εt‖L2 ≤ e(A2

02

δtδx2 +A1)t‖ε0‖L2

où A0 = supx∈Rd , t∈[0,T ]

‖u(t ,x)‖, A1 = supx∈Rd , t∈[0,T ]

‖∇u(t ,x)‖

δt le pas de temps et δx le pas d’espace.Alors le schéma Euler est stable sous la condition CFL δt

δx2 ≤ Cpour une constante C > 0.





Preuve de la stabilité L2

Supposons une erreur εn pour un dans le schéma d’Euler :

un+1 + εn+1 = un + εn − δtP [((un + εn) · ∇)(un + εn)]

aussi εn+1 vérifie en norme L2 :

‖εn+1‖ ≤ ‖εn + P [(un · ∇)εn] δt + A1εnδt‖≤ ‖εn + P [(un · ∇)εn] δt‖+ ‖A1εnδt‖

(2)

avec un et εn à divergence nulle, on a :

εn ⊥ (un · ∇)εn =⇒ εn ⊥ P [(un · ∇)εn]

‖εn + P [(un · ∇)εn] δt‖2L2 = ‖εn‖2L2 + ‖P [(un · ∇)εn] ‖2L2δt2

Avec ‖εn‖H1 ≤ ‖εn‖L2δx , ‖εn + P [(un · ∇)εn] δt‖L2 ≤

√‖εn‖2

L2 + A20δt2

δx2 ‖εn‖2L2





Preuve de la stabilité L2

Sachant que (1 + x)1/2 ≤ 1 + x2 ,

Donc ‖εn+1‖L2 ≤

(1 +

(A2

02

δtδx2 + A1

)δt

)‖εn‖L2

Stabilité pour ‖εn+1‖ ≤ (1 + Cδt) ‖εn‖Car alors étant donné t = nδt ,

‖εt‖ ≤ (1 + Cδt)t/δt ‖ε0‖ ≤ eCt‖ε0‖

Ainsi

‖εt‖ ≤ e

(A2

02

δtδx2 +A1

)t‖ε0‖





Stabilité L2 pour le schéma centré d’ordre 2

Theorem

Supposons que l’équation (NS) a une solution u(t ,x) ∈ C2.Une petite erreur εn, avec ‖εn‖L2 = O(δx2) sur un - une solutiondiscrète proche de u(nδt , ·) - dans le schéma numériqued’ordre 2, devient au pas n + 1, εn+1 avec :

‖εn+1‖L2 ≤(

1 + λA40δt4

8δx4 + A1δt + o()δt)‖εn‖L2 (3)

avec λ une constante proche de 1, et o()une fonction tendantvers 0 sous la condition δt = o(δx).Aussi ce schéma est stable sous la condition CFL :

δt ≤ Cδx4/3 (4)





PreuveEn ne gardant que les termes dominants,

εn+1 = εn−δtP [(un · ∇)εn]+δt2

2P [(un · ∇)P [(un · ∇)εn]]−δtP [(εn · ∇)un]+o()

OrP [(un · ∇)εn] ⊥ εn

P [(un · ∇)P [(un · ∇)εn]] ⊥ P [(un · ∇)εn]

〈εn,P [(un · ∇)P [(un · ∇)εn]]〉 = −‖P [(un · ∇)εn] ‖2L2

D’où :

‖εn − δtP [(un · ∇)εn] +δt2

2P [(un · ∇)P [(un · ∇)εn]] ‖2L2

≤ ‖εn‖2L2 + λδt4

4‖un‖4L∞

‖εn‖2L2

δx4 + o()δt





Plan








Expérience numérique

Équation de Navier-Stokes :

(N-S)

∂tu + u · ∇u− ν∆u +∇p = f,divu = 0,u(0, x) = u0(x)

x ∈ [1

16,

1516

]×T, t ∈ [0,T ]

Pénalisation sur [0, 116 ]× T et [15

16 ,1]× TDeux méthodes numériques : AB2 et une méthoded’ordre 2 stable sous CFL usuelle :

un+1 = un + δt F(

un + un−1

2+ δt F (un)

)−→ Le développement de la turbulence demande une grandeprécision et crée des instabilités numériques.





Domaine de stabilité





Plan








Stabilisation par dissipation numérique

Amortissement dû à la discrétisation spatiale : m(ζ)× v(ξ)

Exemple ordre 1 : v(ξ) = sin(πξ)πξ

−→ Pas d’instabilité lorsqu’il y a de la viscosité numérique (cfZang & Shu, 2004).




Conclusion–Perspectives

Résultat connu pour Euler explicite [Roger Temam, LoydTrefethen],Schémas d’ordre 2 très utilisés en mécanique des fluides,avec des CFL trop faibles,Résultat de stabilité trop peu connu (présenté de façonpeu évidente dans Zang & Shu Siam J. Numer. Anal.2004, pour RK2 Galerkin Discontinu),Explique un phénomène numérique effectivement observé,Pour un schéma amplificateur de petites échelles,l’instabilité sera franche ou n’aura aucun impact6= schémas stables sous CFL usuelle, l’erreur de stabilitén’apparaît pas toujours clairement.


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