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Stabilit´e lin´eaire globale de couche limite d´ecoll´ee ... Stabilit´e lin´eaire globale de couche limite d´ecoll´ee Par F. Alizard, J.-Ch. Robinet SINUMEF Laboratory, ENSAM

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  • Stabilité linéaire globale de couche limite décollée

    Par F. Alizard, J.-Ch. Robinet

    SINUMEF Laboratory, ENSAM CER de PARIS

    151, Boulevard de l’Hôpital,

    75013 PARIS, FRANCE

    email : [email protected]

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 1 -

  • Objectifs de l’étude

    Étude de l’influence d’une perturbation 3D sur un décollement se développant sur une plaque

    plane.

    Calcul du champ de base (2D et stationnaire) :

    Ecoulement modèle : couche limite décollée solution des équations de Falkner-Skan.

    Ecoulement ”réaliste” : couche limite décollée solution des équations de Navier-Stokes.

    Formulation du problème :

    Résolution des équations de stabilité linéaire globale par une méthode spectrale,

    Résolution d’un problème aux valeurs propres par un algorithme d’Arnoldi pour une perturba-

    tion 2D et 3D.

    Mise en évidence de différentes familles de mode :

    Modes globaux tridimensionnels instables stationnaires.

    Modes globaux bidimensionnels stables spatialement amplifiés (type TS, KH).

    Modes globaux tridimensionnels stables spatialement amplifiés (type Görtler).

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 2 -

  • Champ de base : solution Falkner-Skan (1)

    Construction du champ de base à l’aide d’une famille de solutions de Falkner-Skan

    Falkner-Skan : f ′′′ + ff ′′ + β(1 − f ′2) = 0

    f(0) = f ′(0) = 0 et f(η → ∞) = 1

    η = y

    Re

    x(2 − β) , ψ(x, y) = f

    (2 − β)x

    Re Ue

    U(x, y) = ∂ψ

    ∂y , V (x, y) = −

    ∂ψ

    ∂x

    Profil β(x):

    β

    f’’ (0

    )

    -0.15 -0.1 -0.05 0

    -0.1

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    x

    β

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 3 -

  • Champ de base : solution Falkner-Skan (2)

    Écoulement de couche limite décollée solution des équations de Falkner-Skan se développant sur

    une plaque plane, pour un nombre de Reynolds de 105.

    x

    y

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.50

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    Lignes iso-vitesse longitudinale du champ de base solution des équations de Falkner-Skan.

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 4 -

  • Champ de base : solution Navier-Stokes (1)

    Les équations de Navier-Stokes 2D incompressible dans une formulation fonction de courant-

    vorticité sont utilisées :

    ∂ω

    ∂t + u

    ∂ω

    ∂x + v

    ∂ω

    ∂y =

    1

    Re

    (

    ∂2ω

    ∂x2 + ∂2ω

    ∂y2

    )

    et ∆ψ = ω,

    où ω et ψ sont la vorticité et la fonction de courant respectivement.

    Les conditions aux limites sont les suivantes :

    ∂ψ/∂y = U(x), ω = 0 pour la frontière supérieure et ψ = 0, ∂ψ/∂y = 0 pour la paroi.

    A l’entrée et à la sortie, un profil de Blasius et les conditions ∂2ψ/∂x2 = 0, ∂2ω/∂x2 = 0 sont

    respectivement imposées.

    Un schéma du second ordre est utilisé pour l’équation de transport de la vorticité et l’équation de

    Poisson de la fonction de courant.

    Un algorithme de type A.D.I est utilisé pour résoudre l’équation de transport, l’équation de Poisson

    est résolue par un algorithme A.D.I de Peaceman-Rachford.

    La grille utilisée est homogène dans la direction x et géométrique suivant y : (nx × ny) =

    (300 × 100).

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 5 -

  • Champ de base : solution Navier-Stokes (2)

    Écoulement de couche limite décollée solution des équations de Navier-Stokes se développant sur

    une plaque plane, Reδ? = 610.

    X

    Y

    1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 0

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    Lignes iso-vitesse longitudinale du champ de base solution des équations de Navier-Stokes.

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 6 -

  • Stabilité linéaire globale : généralitées (1)

    Quantités physiques instantanées : Q(x, y, z, t) = Q(x, y)+εq(x, y)exp(iβz−ωt)+c.c., ε� 1

    Le champ de base Q(x, y) est stationnaire, bidimensionnel (homogène dans la direction transverse)

    et solution des équations Navier-Stokes incompressible.

    q(x, y) sont les fonctions propres, avec β = 2π/λz, le nombre d’onde suivant z et ω la pulsation

    complexe.

    Les équations aux petites perturbations définissent le système suivant : 

    Dxu + Dyv + βw = 0, (

    L −DxU )

    u− (DyU )v −Dxp = −ωu,

    −(DxV )u + (

    L − DyV )

    v −Dyp = −ωv,

    Lw + βp = −ωw,

    avec

    L = N − UDx − VDy et N = (1/Re) (

    D2x + D 2

    y − β 2 )

    Im(ω) < 0 : Stable, Im(ω) > 0 : Instable.

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 7 -

  • Stabilité linéaire globale : généralitées (2)

    Conditions aux limites (V.Theofilis, 2003) :

    Pour les vitesses : Le système différentiel précédent est complété par des conditions limites

    d’adhérence à la paroi et de nullité à l’infini.

    Instabilités globales intrinsèques de l’écoulement, aucune perturbation n’est imposée en entrée.

    Des conditions aux limites d’extrapolation sont imposées en sortie.

    Pour la pression: des conditions de compatibilité sont imposées.

    ∂p

    ∂x =

    1

    Re ∆2du− U

    ∂u

    ∂x − V

    ∂u

    ∂y , et

    ∂p

    ∂y = 0

    Méthode numérique :

    Le système différentiel associé aux conditions aux limites définit le problème aux valeurs propres

    suivant :

    AX = ωBX

    avec ω les valeurs propres et X les vecteurs propres.

    Collocation spectrale Chebyshev/Chebyshev.

    Le spectre est résolu par l’algorithme d’Arnoldi via une transformation shift-inverse.

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 8 -

  • Stabilité linéaire globale : résultats généraux

    Les profils de Falkner-Skan sont absolument stables pour une perturbation 2D (Hammond et

    Redekopp, JFM 1998). L’écoulement est donc globalement stable pour une perturbation 2D

    (présente analyse).

    Analyse de la stabilité globale pour une perturbation 3D, méthode spectrale multi-domaines (3

    domaines), maillage 128 × 45, balayage en nombre d’onde transverse β ∈ [0; 80].

    Trois familles de modes ont été observées :

    Un mode global stationnaire tridimensionnel instable pour une gamme de nombre d’onde

    transverse.

    Des modes globaux bidimensionnels temporellement stables mais spatialement amplifiés (de

    type Tollmien-Schlichting et Kelvin-Helmholtz, dépendent du type de condition aux limites

    d’entrée).

    Des modes globaux tridimensionnels temporellement stables mais spatialement amplifiés (de

    type Görtler, dépendent fortement de la courbure locale des lignes de courant).

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 9 -

  • Stabilité linéaire globale : mode 3D stationnaire

    Aspect des diverses fonctions propres liées au mode le plus instable pour β = 34 (λ ∼= 0.18).

    Ce mode semble similaire à celui observé par Theofilis et al. (2000) pour un bulbe plaque plane

    et Barkley et al. pour la marche descendante.

    x

    y

    0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    x

    y

    0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    x

    y

    0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    x

    y

    0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 10 -

  • Stabilité linéaire globale : mode 3D stationnaire (2)

    Remarques:

    La majeur partie de l’influence des perturbations est concentrée dans le bulbe pour toutes les

    fonctions propres, notamment pour celle portant sur la direction z de l’écoulement, relative à

    la tridimensionnalisation du décollement.

    Caractère fortement oscillant de la perturbation propre liée à la pression.

    GDR 2502 CONTRÔLE DES DÉCOLLEMENTS - 11 -

  • Stabilité linéaire globale : mode 3D stationnaire (3)

    Analyse de tridimensionalisation du décollement : effet du mode stationnaire 3D :

    Reconstruction du champ instantané:

    Q ¯ (x, y, z, t) = Q(x, y) + ε(Re(q(x, y))Cos(βz) − Im(q(x, y))Sin(βz))exp(ωt), ε� 1

    Analyse des iso-valeurs de la vorticite