Statistiques à une variable. Indicateurs de tendances

Statistiques à une variable

Indicateurs de tendances

Sommaire • Exemple• Indicateurs de tendance centrale

– Moyenne arithmétique simple– Moyenne arithmétique pondérée– La médiane– Exercices

• Indicateurs de dispersion1. Étendue 2. quartiles

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Sommaire

• Autres exemples– Série quantitative discrète avec peu

de valeurs– Série quantitative discrète avec d

e nombreuses valeurs– série quantitative continue

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Exemple

Le tableau suivant regroupe les notes de mathématiques de 3 élèvesd’une seconde bac pro 3 ans

Pour mettre une appréciation, le professeur de mathématiques doit analyser ces résultats.

Quelle appréciation mettriez-vous pour chacun de ces trois élèves?

Antoine 10 11,5 12 10,5 11 11 11

Martin 8 15 8 16 8 11 8

Guillaume

6 14 17 5 13 11 13

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Réponse:Pour comparer des séries un seul indicateur n’est pas suffisant

Moyenne Médiane Étendue

Antoine 11,00 11 12 - 10 = 2

Martin 10,57 8 16 - 8 = 8

Guillaume 11,29 13 17 - 5 = 12

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En effet la moyenne des trois élèves est autour de 11.Pour Antoine, le travail est régulier:

L’étendue est faible (2)Toutes ses notes sont autour de 11

Pour Martin, le travail est irrégulier:Et 50 % de ses notes sont inférieures à 8 la note 16 remonte la moyenne

Pour Guillaume, le travail est irrégulier, l’étendue est12

mais 50 % de ses notes sont supérieures à 13. la note 6 fait baisser la moyenne.Conclusion:

Si le bulletin ne rendait compte que de la moyenne, cela donnerait une vision partielle du travail d’un élève.

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Indicateurs de tendance centraleIndicateurs de tendance centrale1. Moyenne arithmétique simple

Le moyenne arithmétique de N nombres x1; x2; …; xn est:

1 2 ... nx x xx

N

Exemple: La moyenne des notes, 8,15,8, 16, 8, 11,8 est:

8 15 8 16 8 11 810,57

7x

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2. Moyenne arithmétique pondérée

Le moyenne arithmétique pondérée de nombres x1; x2; …; xp affectés des effectifs n1; n2; …; np est:

1 1 2 2 ... p pn x n x n xx

N

Exemple: La moyenne des notes affectées d’un coefficient , (8; 4), (10; 2), (11; 1), (12,5; 3), (11,5; 2) est:

4 8 2 10 1 11 3 12,5 2 11,510,29

12x

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3. La médiane

La médiane d’une série de valeurs rangées par ordre croissant est le nombre qui partage la série en deux séries ayant le même effectif.

Ainsi 50% des valeurs de la série sont inférieures à la médiane et 50 % sont supérieures à la médiane.

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3. La médiane Exemple:

Cas où le nombre des valeurs est impair

Cas où le nombre des valeurs est pair

On a ordonné les retraits d’argent (en €) fait par une personne sur un mois

3 3

20;20;40; 60; 80;80;100médianevaleurs valeurs

4 4

20;20;40;50; 80;90;100;120médianevaleurs valeurs

Me = 6050 80

652eM

On a ordonné les retraits d’argent (en €) fait par une personne sur un mois

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Exercices

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1 à 9 page 2719 page 30

Indicateurs de dispersionIndicateurs de dispersion1. Étendue d’une série statistique

L’étendue (E) d’une série statistique est la différence entre la plus grande valeur du caractère (Maximum) et la plus petite (Minimum).

Exemple: L’étendue des notes, 2; 15; 8; 16; 8; 11; 18 est:

Retour

E = Max - Min

E = 18 – 2 = 16

Indicateurs de dispersionIndicateurs de dispersion

Le premier quartile Q1: plus petite valeur du caractère correspondant au moins au quart de l’effectif total

Exemple: Notes obtenues par 18 élèves d’une classe, rangées par ordre croissant:2;2; 3; 4; 7; 8; 8; 9; 10; 10; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 17; 20.

Retour

N = 18; N/4 = 4,5 arrondi à l’entier supérieur 5La 5e note est 7Le premier quartile Q1 = 7: Il y a au moins 25% des notes inférieures ou égales à 7

2. Quartiles


Le deuxième quartile Q2: plus petite valeur du caractère correspondant au moins à la moitié de l’effectif total


Retour

N = 18; N/2 = 9 La 9e note est 10Le deuxième quartile Q2 = 10: Il y a au moins 50% des notes inférieures ou égales à 10


La médiane Me: valeur du caractère correspondant au moins à la moitié de l’effectif total


Retour

N = 18; est pair donc

Ici, la médiane Me = Q2 = 10Il y a autant de notes inférieures à 10 que supérieures à 10

10 1010

2Me


Le troisième quartile Q3: plus petite valeur du caractère correspondant au moins au trois quarts de l’effectif total


Retour

N = 18; N×0,75 = 13,5 arrondie à l’unité supérieure 14 La 14e note est 15Le troisième quartile Q3 = 15.Il y a au moins 75% des notes inférieures ou égales à 15


Le quatrième quartile Q4: plus petite valeur du caractère correspondant au moins à l’effectif total; c’est le Max


Retour

N = 18; La 18e note est 20Le quatrième quartile Q4 = 20.100% des notes sont inférieures ou égales à 20

Autres exemples de calculs d’indicateurs Autres exemples de calculs d’indicateurs Série quantitative discrète avec peu de valeurs

Exemple 1: Notes d’un élève, rangées par ordre croissant:

Retour

12×0,25 = 3 donc Q1 = 3 qui est la 3e valeur; 12×0,50 = 6 donc Q2 = 12 qui est la 6e valeur; 12×0,75 = 9 donc Q3 = 15 qui est la 9e valeur;

1

2,5

2

1

2;2; ;9;10; ;13;14; ;16;17; 03 12 15 2Me

notes

Autres exemples de calculs d’indicateurs Autres exemples de calculs d’indicateurs Retour

N = 12:

Le quatrième quartile Q4 = 20.100% des notes sont inférieures ou égales à 20

1

2,5

2

1

2;2; ;9;10; ;13;14; ;16;17; 03 12 15 2Me

notes

12 1312,5

2Me

Série quantitative discrète avec de nombreuses de valeurs

Exemple 2: Des jeunes de 12 à 25 ans ont été interrogés sur le temps d’écoute des radios musicales chaque semaine (que ce soit sur baladeur, sur autoradio ou dans des lieux publics). L’enquête a fourni la répartition ci-dessous.Comment décrire la répartition des réponses de ces auditeurs?

Retour


Questionnaire: L’écoute de la radio chez les adolescents et les jeunes adultes a beaucoup baissé ces dernières années. D’après vous, quel critère principal peut expliquer cette diminution?Quelle est la population de cette enquête?Est-il possible de déterminer une durée moyenne d’écoute?Pour quelle durée d’écoute la moitié des auditeurs sont concernés?À partir de quelle valeur atteint-on ¾ des réponses, soit 75%?

Retour


Temps d'écoute en heure (xi)

nombre de jeunes (ni)

Produits ni×xiEffectif cumulé

total

1 45

1,5 120

2 60

2,5 134

3 165

3,5 122

4 78

4,5 65

5 71

Total N = 860

45×1 = 45120×1,5 = 180

60×2 = 120

134×2,5 = 335

165×3 = 495

122×3,5 = 427

78×4 = 312

65×4,5 = 292,5

71×5 = 355

2 564,5

45165

225359

524

646724789

860

La moyenne:

Le temps moyen est de 2,98 heures soit ( 2h58min48s)

2564,52,98

860x Retour





total

1 45

1,5 120

2 60

2,5 134

3 165

3,5 122

4 78

4,5 65

5 71

Total N = 860

45×1 = 45120×1,5 = 180

60×2 = 120

134×2,5 = 335

165×3 = 495

122×3,5 = 427

78×4 = 312

65×4,5 = 292,5

71×5 = 355

2 564,5

45165

225359

524

646724789

860

L’effectif total est 860 (nombre pair), donc la médiane Me est la moyenne des valeurs des 430e et 431e rangs. Cette médiane, ici, est égale à 3 heures

524

Retour





total

1 45

1,5 120

2 60

2,5 134

3 165

3,5 122

4 78

4,5 65

5 71

Total N = 860

45×1 = 45120×1,5 = 180

60×2 = 120

134×2,5 = 335

165×3 = 495

122×3,5 = 427

78×4 = 312

65×4,5 = 292,5

71×5 = 355

2 564,5

45165

225359

524

646724789

860

L’étendue de cette série est: E = Max – Min = 5 – 1 = 4 heures

524

Retour

Premier quartile Q1


Effectif cumulé total

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Total

45165

225359

646724789

860

On prend comme rang du premier quartile Q1 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 215; soit 225; donc Q1 = 2 h

524

0,25 21860 5 225

Retour

Deuxième quartile Q2



1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Total

45165

225359

646724789

860

On prend comme rang du deuxième quartile Q2 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 430; soit 524; donc Q2 = 3 h

524

0,50 43860 0 524

Retour

Troisième quartile Q3



1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Total

45165

225359

646724789

860

On prend comme rang du troisième quartile Q3 l’effectif cumulé qui suit immédiatement 430; soit 646; donc Q3 = 3,5 h = 3h 30 min

524

0,75 64860 5 646

Retour

Caractère EffectifEffectifs cumulés

[10; 20[ 11

[20; 30[ 15

[30; 40[ 10

[40; 50[ 14

Total 50

On commence par compléter la colonne des effectifs cumulés et la cellule de l’effectif total N.

Retour

Calcul des quartiles d’une série quantitative à valeurs continues

Exemple: Calculons les quartiles de la série suivante

11

26

3650


[10; 20[ 11

[20; 30[ 15

[30; 40[ 10

[40; 50[ 14

Total 50

Donc Q1 est compris dans l’intervalle

Retour

Calcul du premier quartile Q1

11

26

3650

0,25 1 65 5 20 2, [20; 30[


[10; 20[ 11

[20; 30[ 15

[30; 40[ 10

[40; 50[ 14

Total 50

Retour

Calcul du premier quartile Q1

11

26

3650

1

30 2020 (12,5 11) 21

15Q


[10; 20[ 11

[20; 30[ 15

[30; 40[ 10

[40; 50[ 14

Total 50

Retour

Calcul du deuxième quartile Q2

11

26

3650


0,50 2 25 5 60 [20; 30[


[10; 20[ 11

[20; 30[ 15

[30; 40[ 10

[40; 50[ 14

Total 50

Retour

Calcul du deuxième quartile Q2

11

26

3650

2

30 2020 (25 11) 29,33

15Q


[10; 20[ 11

[20; 30[ 15

[30; 40[ 10

[40; 50[ 14

Total 50

Retour

Calcul du troisième quartile Q3

11

26

3650


0,75 3 05 5 50 7, [40; 50[


[10; 20[ 11

[20; 30[ 15

[30; 40[ 10

[40; 50[ 14

Total 50

Retour

Calcul du troisième quartile Q3

11

26

3650

3

50 4040 (37,5 36) 41,1

14Q

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