Upload
bertrand
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
1/29
Statistique 3 (5009)
Y. ASKOURA, MCF Universit Paris 2.
L2 conomie-gestion, Paris II,2015/2016
Statistique 3 (5009) 1 / 113
Contenu du cours :1. Notion de probabilit :Modle probabiliste. Probabilit
conditionnelle. Thorme de Bayes. Indpendance.2. Variable alatoire :
Variable alatoire discrte. Esprance, variance. Moments.Variable alatoire continue. Fonction de rpartition, densit.
3. Lois usuelles :Lois usuelles discrtes : Bernoulli, binmiale, Hypergomtrique,
Poisson, Pascal.Lois usuelles continues : uniforme, exponentielle, normale,gamma, khi-deux.
4. Lois empiriques :chantillon. Moyenne et variance empiriques. Loi de Student. Loide Fisher-Snedecor.
5. Lois multidimensionnelles :Couple de variables alatoires discrtes. Loi marginale. Loiconditionnelle. Loi dune sommes. Couple de variables alatoirescontinues
Statistique 3 (5009) 2 / 113
Bibliographie
Gilbert SAPORTA, Probabilits analyse des donnes etstatistique, Ed. Technip, Paris 2006.
Jean-Pierre Lecoutre, Statistique et probabilits-cours etexercices corrigs, 5ime dition, Dunod, Paris 2012.
Jean-Pierre Lecoutre, TD statistique et probabilits, 5ime dition,Dunod, Paris 2011.
Statistique 3 (5009) 3 / 113
Bibliographie
LB1/AND/S: Anderson, Sweeney et Williams, Statistiques pourlconomie et la gestion", De Boeck.
LB1/PIL/P: A. Piller, Probabilits pour conomistes", Ed.Premium.
LB1/LAL/P: C. Lalibert, Probabilits et statistiques", Ed. ERPI.
LB1/REA/P: J. P. Rau et G. Chauvat, Probabilits etstatistiques", Ed. Armand Colin.
LB1/GOL/P: B. Goldfarb et C. Pardoux, Introduction lamthode statistique", Ed. Dunod.
Statistique 3 (5009) 4 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
2/29
DnombrementPermutation :suite ordonne de nobjets :
Il y aPn= n!possibilits
Exemple : de combien de faons peut-on disposer 10 personnessur 10 chaises alignes ?rponse :10! = 1 2 3 ... 10 faons.Arrangement :de kobjets parmi n: permutation dekobjets parmi
n
Il y aAkn= n!
(n k)!possibilitsExemple : Combien faut-il dpenser pour gagner srement auQuint+ une course 10 chevaux ? (Quint+ : un pari=2esurles 5 premiers chevaux dans leurs ordres darrives) rponse :10!5! 2e
Exemple : Combien de mots composs de 10 lettres distinctes,peut-on former avec un alphabet de 26 lettres?rponse : 26!(2610)!
Statistique 3 (5009) 5 / 113
Dnombrement
Permutation avec rptition :suite ordonne de kobjets parmino un objet peut figurer plusieurs fois :
Il y aPkn=nk possibilits
Exemple : Combien de mots de passe composs de 5 lettres,
peut-on former avec un alphabet de 26 lettres?rponse :265Combinaison :un sous-ensemble dekobjets parmin:
Il y aCkn = n!
k!(n k)! possibilits
Exemple : Combien dquipes de football un entraneur peut-ilformer avec 15 joueurs ?rponse : 15!11!(1511)! =
121314151234
Statistique 3 (5009) 6 / 113
Probabilit, gnralitsUneexprience alatoireest une exprience dont on ne peutprvoir par avance le rsultat.
Lensemble de tous les rsultats possibles (ou issues) est appeluniversou ensemble fondamental, not gnralement
Exemple 1. On lance un d : lunivers est ={1; 2; 3; 4; 5; 6}
Unvnementest un sous-ensemble dissues. Souvent dsignpar une assertion logique concernant le rsultat de lexprience.
Dans lexemple 1, obtenir un nombre pair est un vnement, ilest gal A = {2, 4, 6}, il est ralis si lune des issues 2,4 ou 6est obtenue.
Unvnement lmentaireconsiste en un seul lment.
Lvnement contraire (ou complmentaire) dun vnement A,notAest constitu de lensemble des issues non incluses dansA. Si Aest ralis,Anest pas ralis, et rciproquement. On noteaussiA = \ A.Noter queA = A.
Statistique 3 (5009) 7 / 113
vnement certain =univers ,
vnement impossible=,Soient Aet Bdeux vnements,
A B: cest lvnement (Aet B) ou lintersection deAet B,A B: cest lvnement (Aou B) ou lunion de Aet B,Aet Bsont dit incompatibles ssi la ralisation de lun exclut la
ralisation de lautre, autrementA B=.Autres oprations :
A\B= {xA : x /B}
AB= (A\B) (B\A)
Statistique 3 (5009) 8 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
3/29
PropritsChacune des oprationsetest associative et commutative.
A (BC) = (A B) C, A B= B AA (BC) = (A B) C, A B= B A
Chacune des oprationsetest distributive sur lautre :A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C)
plus gnralement :
A (iIN
Bi) = iIN
(A Bi)et A (iIN
Bi) = iIN
(A Bi)
Le contraire de lunion (resp. lintersection) est lintersection (resp.lunion) des contraires :A B= A Bet A B= A Bplusgnralement :
iIN
Ai= iIN
Aiet iIN
Ai= iIN
Ai
( dmontrer en exercice :indication double inclusion)Statistique 3 (5009) 9 / 113
ExempleDans lexemple 1, le contraire de{2, 3} {3, 4, 5}est{1, 4, 5, 6} {1, 2, 6}= {1, 6}.
Unsystme complet dvnements(ou partition) de est unecollection A1, A2, ..., Andvnements de vrifiant :
i6=j, Ai Aj=SAi=
Exemple ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1,2}, {3,4,5,6} est un systme complet dvnements.
{1},{2}, {3},{4},{5},{6} est un systme complet dvnements.
{1,2,3}, {3,4,5,6} nest pas un systme complet dvnements.
{1},{2}, {3},{4,6} nest pas un systme complet dvnements.
Statistique 3 (5009) 10 / 113
DfinitionUne collection dvnementsC de lunivers est ditealgbre(tribu) ssi :
1)AC, AC,2) Cest stable par union dnombrable : pour tout famille
dnombrable dvnements Ai, i IN,deC, on aS
iINAi C.
3) C.
RemarqueLa premire et la dernire condition impliquent que C,La premire et la deuxime conditions impliquent queCest stable
par intersection dnombrable,
En remplaant le mot dnombrable par fini, on obtient la
dfinition dune algbre.
Statistique 3 (5009) 11 / 113
ExampleTribu discrte : La collection de tous les vnements imaginablesP()de est unealgbre.Tribu grossire est C ={, }.C ={E :Eou Eest dnombrable}est une tribu.Si ={1, ..., 10}, alors ;C ={,, {1}, {2}, {1, 2},\{1, 2},\{1},\{2}}est une tribu.
DfinitionSoitC0une collection densembles de. La plus petite tribuC
contenantC0 est appele tribu engendre parC0. On noteC =(C0).(C0)est lintersection des tribus sur contenantC0.
ExamplePour = IR, la tribu engendre par les intervalles ouverts de IRestappele tribu borlienne de IR. Elle est aussi engendre par lesintervalles ferms, les intervalles de type(])[a, +[, aIR,...etc.
Statistique 3 (5009) 12 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
4/29
Modliser la chance
DfinitionOn appelle espace probabilisable un couple(; C), oCest unealgbre dvnements de lunivers.Une probabilit dun vnement est un nombre de [0 ;1], elle doitvrifier cependant quelques conditions :
DfinitionUne (loi de) probabilit sur(,C)est une application P deC imagesdans[0; 1]tq :
1) P() = 1,
2) Pour toute collection dnombrable dvnements 2 2incompatibles, Ai, i IN, on a : P(
iINAi) =
PiIN
P(Ai)
Le triplet(, C, P)est appelespace probabilis.
Statistique 3 (5009) 13 / 113
Proprits.SoientA, B, Ai, i INdes lments de C.1) P() = 0,2) P(A) = 1 P(A),3) SiABalors,P(A)P(B),4) P(A B) = P(A) +P(B) P(A B),5) P(
SiINAi)
PiINP(Ai),
6) SiAi, i IN,vrifieAi Ai+1etAi= (on noteraAi ) alors,limiP(Ai) = 1
7) SiAi, i IN,vrifieAi Ai+1etAi=(on noteraAi ) alors,limiP(Ai) = 0
8) SiAi, i IN,est un systme complet dvnements, alors,
E C, P(E) =XiIN
P(E Ai)
Statistique 3 (5009) 14 / 113
Justifications
1)-4) sont videntes.
5) PosonsB1= A1et Bi+1= Ai+1\
ij=1
Aj
. On a alors,Bi=Ai
etBiest un systme complet. Donc, P(Ai) = P(Bi) =P
P(Bi).Comme pour touti,Bi Ai,
PP(Bi)
PP(Ai)et donc
P(Ai)P
P(Ai).
6) Considrons lesBicomme dans 5). Alors,P(Ai) = P(ji
Bj). Donc
lim P(Ai) = limiP
jiP(Bj) =
Pi
P(Bi). CommeBiest un systme
complet,Ai=Bi= , doP
i
P(Bi) = 1. Donc, lim P(Ai) = 1.
7) Dcoule de 6) par passage au complmentaire.
8) vidente. Il suffit de remarquer que les E Aisont 2 2incompatibles et que leurs union est gale E.
Statistique 3 (5009) 15 / 113
ExampleConsidrons les rsultats suivants dune section de 100 tudiants :
70% des tudiants ont une note10 dans lunit A.80% des tudiants ont une note10 dans lunit B.90% des tudiants ont une note10 dans lunit A OU danslunit B.
Quelle est la probabilit quun tudiant pris au hasard ait une note10 dans lunit A et dans lunit B?Rponse :P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0.7 + 0.8 0.9=0.6soit 60%.Est-il possible davoir P(A) = 0.7,P(A B) = 0.6 ou P(A B) = 0.6 etP(B) = 0.5 ?Rponse :NON, pourquoi ?
Statistique 3 (5009) 16 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
5/29
Probabilits ConditionnellesSupposons quon sait que Bsest ralis. Nous rduisonsartificiellement donc lunivers B (lunivers restera toujours ) enannulant les probabilit des vnements incompatibles avecBet enaugmentant les probabilits des vnement rencontrantB. Oncherche alors la probabilit quun vnement Ase ralise.
Dfinition
Soit B un vnement avec P(B)6=0. On appelleprobabilitconditionnellede Asachant (ou si) B, la quantit :
P(A/B) =P(A B)
P(B)
RemarqueIl convient de vrifier que lapplication A7P(/B)dfinie estune loi de probabilits sur(, C)
Statistique 3 (5009) 17 / 113
FIGURE:La partie hachure reprsente A B
Example
On lance un d quilibr 6 faces. Sachant quun nombre 5 estralis quelle est la probabilit que ce soit un nombre pair :B= {1; 2; 3; 4; 5}et A = {2; 4; 6}. Intuitivementp= 25 . Par la formule
prcdente :P(A/B) = P(AB)P(B) =
P({2;4})P({1;2;3;4;5}) =
2656
= 25 .
Proprit (Formule des probabilits totales) :SoientBi, i IN,unsystme complet dvnements, alors,
P(A) =XjIN
P(A/Bj)P(Bj)
Statistique 3 (5009) 18 / 113
ExampleTrois machinesM1, M2et M3fabriquent des boulons de mme type.M1sort en moyenne 0.3%de pices dfectueuses,M20.8%et M31%.On mlange 1000 pices dans une caisse, dont 500 proviennent deM1, 350 deM2et 150 de M3. On tire au hasard un boulon de la caisse.Calculer la probabilit quil soit dfectueux.Rponse : NotonsMi: le boulon est fabriqu parMi et D: le boulon
est dfectueux.M1, M2, M3forme alors un systme completdvnements.
P(D) =P(D/M1)P(M1) +P(D/M2)P(M2) +P(D/M3)P(M3)
=0.003 5001000+0.0083501000+0.01
1501000
=......
Statistique 3 (5009) 19 / 113
vnements indpendantsDfinitionA et B sont indpendants ssi P(A/B) = P(A)(quiv. P(B/A) = P(B))
La connaissance de Bne change pas la chance de ralisation de Aetvice-versa.SiP(A/B) = P(A)alors, P(AB)
P(B) =P(A)donc, P(AB)
P(A) =P(B)ou bienP(B/A) = P(B). La dfinition est donc cohrente. En outre ce calculmontre que
Aet Bsont indpendants P(A B) = P(A)P(B)
ExampleOn tire avec remise 2 fois de suite une boule dune urne contenant 3boules blanches et 7 noires indiscernables au toucher. Alors,A :obtenir une boule blanche au 1er tirage est indpendant deB :obtenir une boule blanche au 2ime tirage. Ceci est vident. Onpeut vrifier ce fait par le calcul.
Statistique 3 (5009) 20 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
6/29
Example (suite)Notons n les boules noires et b les blanches. Alors, ={bb; bn; nb; nn} ;A = {bb; bn} ;B= {bb; nb}P(A B) = P(bb) = 310 310 = 0.09 ;P(A) = 310 310+ 310 710 = 0.3 etP(B) = 310
310+
710
310 = 0.3. On a bienP(A B) = P(A)P(B).
Indpendance mutuelle
DfinitionLes vnements A1, A2, ..., Ansont dits mutuellement indpendants ssipour tout sous-ensemble dindices I{1, ..., n}, on a :
P
iIAi
=YiI
P(Ai)
Cette notion est plus forte que 2 2 indpendants
Statistique 3 (5009) 21 / 113
Furmule De Bayes
Premire formule de Bayes:
P(B/A) =P(A/B)P(B)
P(A)
En effet, P(A/B)P(B)P(A) =
P(AB)P(B)
P(B)
P(A) = P(AB)
P(A) =P(B/A)
Deuxime formule de Bayes: Soient Bi, i INun systmecomplet dvnements, alors,
P(Bi/A) = P(A/Bi)P(Bi)P
jINP(A/Bj)P(Bj)
Il suffit dcrire, en utilisant la formule des probabilits totales :P(A) =
PjIN
P(A/Bj)P(Bj)dans la premire formule de Bayes.
Statistique 3 (5009) 22 / 113
ExampleTrois machinesM1, M2et M3fabriquent des boulons de mme type.M1sort en moyenne 0.3%de pices dfectueuses,M20.8%et M31%.On mlange 1000 pices dans une caisse, dont 500 proviennent deM1, 350 deM2et 150 de M3. On tire au hasard un boulon de la caisse,il est dfectueux. Calculer la probabilit quil ait t fabriqu parM1.Rponse : NotonsMi: le boulon est fabriqu parMi et D: le boulonest dfectueux. Il sagit de calculer
P(M1/D) = P(D/M1)P(M1)
P(D/M1)P(M1)+P(D/M2)P(M2)+P(D/M3)P(M3)
= 0.003 5001000
0.003 5001000+0.0083501000 +0.01
1501000
0.26
RemarquePratiquement, la formule de Bayes sapplique comme dans lexemple
prcdent pour calculer des probabilits dvnements ayantcaus
dautres (probabilits de cause).
Statistique 3 (5009) 23 / 113
ExampleUne urneAcontient 10 boules noires et 20 boules rouges. Une urneBcontient 10 boules noires et 40 boules rouges. On mlange les deuxurnes en versant leurs contenus dans une urneC. On tire au hasardune boule de lurneC, elle est rouge. Quelle est la probabilit quecette boule provient de lurne A ?Rponse :NotonsA: la boule provient de A,B: la boule provient de
B00etR: la boule est rouge. Aet Bforme un systme completdvnements.Alors,
P(A/R) = P(R/A)P(A)
P(R/A)P(A) +P(R/B)P(B)=
2338
2338+ 45 58
=1/3
Statistique 3 (5009) 24 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
7/29
Variables alatoires :Exemple introductif.On lance deux ds, si les deux chiffres obtenus sont identiques ongagne ce chiffre, sinon on perd 1e.
Ici on dfinit une application Xde lensemble ={(i,j), i,j{1, ..., 6}}dansE= {1; 1, 2, 3, 4, 5, 6}.NotonsPXla probabilit sur les gains possibles. X=kdsignelensembleX1(k) = {(i,j) : X(i,j) = k}.La probabilit de gagner 4eest
PX(4) = P(X=4) = P(X1(4)) = P({4, 4}) = 1/36
La probabilit de perdre 1eest
PX(1) =P(X=1)=P( \ {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)})=30/36
Xest une variable alatoire, la loi deXest la loi probabilits sur lesvaleurs deX, soit
PX(1); PX(1); ...; PX(6)Statistique 3 (5009) 25 / 113
FIGURE:Variable alatoire
Notons(IR,B)lensemble des nombres rels muni de sa tribu(-algbre) borlienne B (B est la plus petitealgbre contenant lesintervalles de IR: ou lintersection de toutes les algbres contenantles intervalles de IR. On dit queB est engendre par les intervalles).
DfinitionUne variable alatoire (v.a.) relle est une application X de(, C, P)dans(IR,B)qui est mesurable, i.e., vrifiant :
X1(B)C, BBStatistique 3 (5009) 26 / 113
La loi de Xest la probabilit image PXdePpar X, autrement dit :
PX(B) = P({w :X(w)B}) = P(X1(B))
Notons quePXest dfinie sur(IR,B).Dans lexemple prcdent la loi deXest donne par le tableausuivant :
k 1 1 2 3 4 5 6
PX(k) 56 136 136 136 136 136 136
RemarqueLes lois des v.a. discrtes peuvent tre donnes dans un tableau et
reprsentes par un diagramme en btons.
Statistique 3 (5009) 27 / 113
Fonction de rpartitionDfinitionLa fonction de rpartition F dune v.a. relle X est lapplication deIR
dans[0; 1]dfinie par
F(x) = P(X
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
8/29
Proprit: Fest une fonction monotone croissante continue gauche. Elle admet un nombre de discontinuits au plus dnombrableet vrifie
F() = 0 et F(+) = 1 (1)
Rciproquement, toute fonction monotone croissante continue gauche et vrifiant (1) dfinit une loi de probabilit unique sur IR.Proprit: Fpermet de calculer les probabilits dintervalles :
P(aX
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
9/29
Indpendance de variables alatoiresDfinitionSoient X et Y deux v.a. relles dfinies sur le mme espace
probabilis(, C, P)X et Y sont indpendantes ssi
P[(X E) (Y F)] = P(X E)P(Y F); E, F B(IR)
(X, Y)est un couple de v.a. dfini de(, C, P)dans IR2
. Sa loi produitPXYest not, si Xet Ysont indpendantes parPXY=PX PYCorollaryX et Y sont indpendantes ssi la fonction de rpartition du couple
(X, Y)dfinie par H(x, y) = P(X
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
10/29
TheoremSi : IR IRest une fonction relle quelconque et X une v.a. dedensit f, alors,
E((X)) =
ZIR
(x)f(x)dx
Sans exiger de densit X, de faon gnrale :
E((X)) =
Z
( X)dP=ZIR
(x)dPX(x)
Ce rsultat permet de calculer lesprance de(X)sans connatre saloi (uniquement avec la loi deX)
Statistique 3 (5009) 37 / 113
VarianceDfinition
La variance de la v.a. X , note V(X)ou2Xest dfinie par :
V(X) = 2X=E([X E(X)]2)Cas discret : V(X) =
Pipi(xi E(X))2
Cas continue,Xde densitf,V(X) =
ZIR
(x E(X))2f(x)dx
RemarqueV(X)mesure la dispersion de X autour de son esprance E(X).
X =p
V(X)est appelcart-type. Il a lavantage par rapport la variance de sexprimer dans la mme unit de mesure que X , il
a donc plus de sens pour les interprtations.
Statistique 3 (5009) 38 / 113
Proprit de la variance :Formule de Knig-Huyghens :
E([X a]2) = V(X) + (E(X) a)2
En effet,E([X a]2) =E([(X E(X)) + (E(X) a)]2)
=E[(X E(X))2] +E[(E(X) a)2]+2E[(X E(X))(E(X) a)]=V(X) + (E(X)
a)2 +2(E(X)
a)E[X
E(X)]
=V(X) + (E(X) a)2 +2(E(X) a)(E(X) E(X))=V(X) + (E(X) a)2
Cela signifie queV(X)est la valeur minimale de E([X a]2)quandavarie dans IR.Pour a=0, on a :
la formule classique :
V(X) = E(X2) E(X)2
Statistique 3 (5009) 39 / 113
Autres propritsV(X+ a) = V(X),aIR.V(aX) = a2V(X),V(X) = 0X= a,
Ingalit de Bienaym-Tchebychev relie lesprance etlcart-type : pour tout k> 0, P(|X E(X)|> k) 1
k2
la covariance deXet Yest dfinie par
cov(X, Y) = E[(X
E(X))(Y
E(Y))] =E(XY)
E(X)E(Y)
SiXet Ysont indpendantes, alors cov(X, Y) = 0V(X+ Y) = V(X) +V(Y) +2cov(X, Y).SiXet Ysont indpendantes :
V(X+ Y) = V(X) +V(Y)
V(XY) = V(X)V(Y) +V(X)(E(Y))2 +E(X)(V(Y))2.Soit admettant un D.L. dordre 2, alors,V((X))(0(E(X)))2V(X)
Statistique 3 (5009) 40 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
11/29
Moments dordres suprieurs
Le moment centr dordre k(sil existe) est dfini par
k=E([X E(X)]k)
La variance est donc le moment centr dordre 2.
Si la densit deXest symtrique, alors,2k+1=0
Le coefficient dasymtrie est
1=33
et le coefficient daplatissement est
2=44
Statistique 3 (5009) 41 / 113
Loi discrte uniforme
DfinitionLa v.a. X valeurs dans A= {x1, ..., xn}IRsuit la loi uniforme sur A(on note X U(A)) si X prend l es valeurs de A de faonquiprobables :
P(X= xi) = 1|A|
=1n
Cas particulier :X U(A)avecA = {1, 2, ..., n}P(X=i) = 1nEsprance deX
E(X) = 1n1 +1n
2 + 1n3 +...+1n
n
= 1n(1 +2 +...+n)= 1n
n(n+1)2
E(X) =n+1
2
Statistique 3 (5009) 42 / 113
VarianceV(X) =E(X2) E(X)2 = 1n12 + 1n22 +....+ 1nn2
n+1
2
2= 1n(1 +2
2 +32 +...+n2) n+12 2= 1n
n(n+1)(2n+1)6
n+1
2
2= n+112 (4n+2 3(n+1))
Donc
V(X) =n2 1
12
Remarque
Pour avoir le terme rouge S2nprcdent, on additionne les quations :
(1 +1)3 =13 +3 12 +3 1 +1(2 +1)3 =23 +3 22 +3 2 +1
... =...
(n+1)3 =n3 +3 n2 +3 n+1Do(n+1)3 =1 +3S2n+3
n(n+1)2 +n donc
S2n= 13 [(n+1)
3 (1 +n) 3 n(n+1)2 ] = n+13 [n2 +2n+1 1 3n2] =...Statistique 3 (5009) 43 / 113
Loi de Bernoulli de paramtrep
DfinitionX suit la loi de Bernoulli de paramtre p si elle prend deux valeurs
possibles1 avec probabilit p et0 avec probabilit1 p. La valeur0symbolise lchec et1 le succs.
Lesprance deX: E(X) = (1 p) 0 +p 1= p
E(
X) =
p
La variance deX:V(X) = (1 p)(0 p)2 +p (1 p)2
=p(1 p)[p+ (1 p)]=p(1 p)
V(X) = p(1 p)
Statistique 3 (5009) 44 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
12/29
Loi BinomialeDfinitionX suit la loi Binomiale de paramtres n et p ssi X reprsente le
nombre de succs dans n rptitions indpendantes de lpreuve de
Bernoulli de paramtre p. Autrement X=nP
i=1Xi, o chaque Xisuis la
loi de Bernoulli de paramtre p et les Xisont indpendantes. On note
X B(n; p).
Soit k{0, ..., n}Dans la listex1; x2; ...; xnde ralisations des Xi, la probabilitdavoirksuccs est, par lindpendance des Xi, :
pk(1 p)nk
Il y aCknfaons de choisir les kvaleursxi=1. Donc,
P(X=k) = Cknpk(1 p)nk, k=0,.., n
Statistique 3 (5009) 45 / 113
Esprance et variance
Lesprance deX: De lindpendanceE(X) =nP
i=1E(Xi) = np
E(X) = np
La variance deX: De lindpendance
V(X) =n
Pi=1
V(Xi) = np(1
p)
V(X) = np(1 p)
Proprit :La somme de deux v.a. binomiales indpendantes demme paramtrepest une v.a. binomiale :
X1 B(n1; p)X2 B(n2; p)
X1et X2 indpendantes
=X1+X2 B(n1+n2; p)
Statistique 3 (5009) 46 / 113
Loi hypergomtriqueDfinitionConsidrons une population de N individus, dont une proportion p,
donc N0= pN individus, possdent un caractre donn, disant C. Onprlve n individus (sans remise ou dun coup). La v.a. X qui compte le
nombre dindividus ayant le caractre C suit une loi hypergomtrique
de paramtre N, n, p, on note X H(N; n; p).
Pour k= 0, ..., n
Choisirkindividus ayant le caractre C parmi lesnrevient choisirI kindividus parmi les N0possdant C. Le nombre de possibilits est
CkN0 .I n kindividus parmi lesN N0individus ne possdant pas C. Le
nombre de possibilits estCnkNN0 .Donc,
P(X=k) =CkN0 C
nkNN0
CnN
Statistique 3 (5009) 47 / 113
Esprance et variance
NotonsSun chantillon de nindividus. Dfinissons surlensemble des chantillons de taille nla variable suivante associ un individui:
i(S) =
1, siiS,0, sinon.
E(i) = P(i=1)= nb chantillons contenant inb total dchantillons =probabilit dinclure lindividu i
dansS.Nombre dchantillons total est CnNNombre dchantillons incluant un individuidonn est
Cn1N1
Do P(i=1) = Cn1
N1Cn
N=
(N1)!(n1)!(N1(n1))!
n!(Nn)!N! =
nN
Et donc, E(i) = nNStatistique 3 (5009) 48 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
13/29
Numrotons les individus de la population de 1, ..., Net introduisant :
Yi=
1, siiN0(possde C),0, sinon.
On a doncX= X
iSYi
E(X) = E(PiS
Yi) = E(NP
i=1Yii) =
NPi=1
YiE(i) = N0nN
E(X) = np
Statistique 3 (5009) 49 / 113
Variance
V(X) = V(XiS
Yi) = V(NX
i=1
Yii) =NX
i=1
Y2i V(i) +X
i,j:i6=jYiYjcov(i, j)
V(i) = E(2i) E(i)2 =E(i) E(i)2 = nN n
2
N2
cov(i, j) = E(ij)
E(i)E(j)
E(ij) =probabilit que lchantillon contienne iet j=P({i,j}S)=Donc,E(ij) =
Cn2N2Cn
N= (N
2)!(n2)!(N2(n2))!
n!(Nn)!N! =
n(n1)N(N1) .
On en dduit que
cov(i, j) = n(n 1)N(N 1)
n2
N2 =
n
N
(n 1)N n(N 1)N(N 1) =
n
N2N nN 1
Notons aussi quil y aN0(N01)couple(i,j)dansN0aveci6=j.Donc,V(X) = N0(
nN n2
N2) N0(N0 1) nN2 NnN1 =np(1 nN)
N0(N01)n(Nn)N2(N1)
Statistique 3 (5009) 50 / 113
V(X) = np( NnN )np(N01)(Nn)N(N1) =npNnN1 ( N1N N01N ) = npNnN1 (1p)
V(X) =N nN 1np(1 p)
RemarqueSi N est trs grand devant n, on peut approcher V(X)np(1 p)quiest la variance deB(n, p). De faon gnrale
H(N; n; p)tend versB(n; p)quand N tend vers +
Ce qui signifie PH(X=k)PB(X=k)o PH dsigneH(N; n; p)etPBdsigneB(n, p). En pratique cette approximation sapplique dsque n
N
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
14/29
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
15/29
Esprance et VarianceNous remarquons que la loi binomiale ngative est la loi dune sommedenv.a. indpendantes suivant chacune la loi gomtriques,correspondant auxnsuccs successifs :Donc
X=nX
i=1
Xi
oXisuit une loi gomtrique de paramtre pet les Xisontindpendantes.Posonsq= 1 p.
E(X) =nX
i=1
E(Xi) = n
p
V(X) =nX
i=1
V(Xi) =n q
p2
Statistique 3 (5009) 57 / 113
Loi de PoissonNotonsTune priode de temps dans laquelle on sait quil arrive enmoyennevnements. On fait les hypothses suivantes :
Pour un petit intervalle de temps t, la probabilit de ralisationde lvnement est proportionnelle t(=t)La probabilit de deux ralisations sur test ngligeable quandtdevient trs petit.Les ralisations des vnements sont indpendantes.Exemple : Nb appels tlphoniques pendant une priode T, Nbpices dfectueuses dans une livraison importante de bonnequalit,...,etc.
On dmontre que la v.a. Xqui compte le nombre de ralisations delvnement dansTsuit la loi de Poisson de paramtre, noteP(),donne par
P(X=k) =ke
k!
Esprance et variance E(X) = et V(X) = Statistique 3 (5009) 58 / 113
PropritSiX1 P(),X2 P(), alors,X1+X2 P( +)SiXn B(n; pn)et lim
n+npn= finie, alors, Xnconverges (en
loi) vers une variable de poisson P(). En pratique, siX B(n, p)avecn>50 et p50 et0.01
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
16/29
Esprance et variance
E(X) =
ZIR
xf(x)dx=
Z ba
x
b a dx= 1b a
12
x2b
a
= 1
2(b a) (b2a2)
E(X) =a+b
2
V(X) =E(X2)
E(X)2
E(X2) =RIR
x2f(x)dx=R
ba
x2ba dx
= 13(ba)(b3 a3) = (ba)(b2+ba+a2)3(ba) = b
2+ba+a2
3
V(X) = b2+ba+a2
3 (a+b)2
4
= 4 b2+4ab+4a23(a2+2ab+b2)
12
= b22ab+a2
12
= (ba)2
12
V(X) =(b a)2
12Statistique 3 (5009) 61 / 113
Fonction de rpartition
F(x) =
Z x
f(t)dt=
0 si x< aRxa
1ba dtsi x[a; b]
1 si x> b=
0 si x< axabasi x[a; b]1 si x> b
FIGURE:Fonction de rpartition - Loi uniforme
Attention :Si X, Y U([a; b])et Xet Ysont indpendantes, alors,X+ Yne suit pas une loi uniforme.
Statistique 3 (5009) 62 / 113
Loi exponentielleLa densit dune v.a.Xqui suit la loi exponentielle est donne par :
f(x) = ex, six0 et f(x) = 0 sinono >0Esprance et Variance
E(X) =R+
0 xex dx= [x( 1
ex)]+0 +
R+0 e
x dx= [ 1
ex]+0 =
1
E(X) =
1
V(X) =E(X2) E(X)2E(X2) =
R+0 x
2ex dx= [x21
ex]+0 R+
0 2x1
exdx= 2
E(X) = 2
2
V(X) = 22
12
= 12
V(X) = 12
Statistique 3 (5009) 63 / 113
Exemple dutilisation. La loi exponentielle sutilise principalement pourestimer la dure de vie de matriel (ou composants) lectronique ; enfiabilit de faon gnrale. 1
est alors, le temps moyen entre 2
dfaillances.reprsente le taux de dfaillance.
Exercice. Dterminer la fonction de rpartition de la loi exponentielle.
Statistique 3 (5009) 64 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
17/29
Lois gammaDfinitionOn dit que la v.a. positive X suit la loi gamma de paramtres r et
(strictement positifs), on note X (r;), si sa densit est donnepar :
f(x) = r
(r)exxr1, x0 et f(x) = 0, si x< 0
o pour tout r>0, (r) =R+0 exxr1 dx
Cas or> 1en intgrant par partie,
(r) = (r 1)(r 1)Et donc, en remarquant que (1) = 1,
r IN= (r) = (r 1)!Cas or= 1On retrouve la loi exponentielle de paramtre Cas o=1 on note simplement (r)ou r
Statistique 3 (5009) 65 / 113
Esprance et VarianceE(X) =
r
(r)
R+0 xe
xxr1 dx= r
(r)
R+0 e
xxr dx
= r
(r)(r+1)r+1
R+0
r+1
(r+1)exxr dx
= r
(r)(r+1)r+1
= 1
r(r)(r) =
r
E(X) = r
V(X) =E(X2
) E(X)2
E(X2) = r
(r)
R+0 x
2exxr1 dx= r
(r)
R+0 e
xxr+1 dx
= r
(r)(r+2)r+2
R+0
r+2
(r+2)exxr+1 dx
= r
(r)(r+2)r+2
= 12
r(r+1)(r)(r) =
r(r+1)2
V(X) = r(r+1)2
r22
= r2
V(X) = r
2
Proprit: Si X (r1,),Y (r2,)et Xet Ysont indpendantesalors :X+ Y (r1+r2;)
Statistique 3 (5009) 66 / 113
Loi du khi-deux
Dfinition
La loi du khi-deux n degrs de libert, note2n, est le cas particulier
de la loi( n2 ;12 ). Donc,
Densit :
f(x) =
1
2n2
( n2 )e
12 xx
n21, x0 et f(x) = 0, si x< 0
E(2n) =n212
=n
V(2n) =n21
22=2n
Si X 2n,Y 2met X et Y sont indpendantes, alors,
X+ Y 2n+m
Statistique 3 (5009) 67 / 113
Loi normale (ou de Laplace-Gauss)
Une loi trs importante, utilise par exemple : variation du diamtredune pice dans une fabrication, rpartition des erreurs de mesureautours de la vraie valeur,....Le thorme central limite lui donne unrle capital : la moyenne de v.a. indpendantes et de mme loi suitasymptotiquement une loi normale. Do son utilit en chantillonnage.
DfinitionX suit une loi normale, on note X N(,)si sa densit est :
f(x) = 1
2e
12 (
x
)2
, x IR
On admet que fest une densit donc,RIR
1
2e
12 (
x
)2
dx=1 ouZIR
e12 (
x
)2
dx=
2 (2)
Statistique 3 (5009) 68 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
18/29
FIGURE:Densit - Loi normale
Statistique 3 (5009) 69 / 113
Proprits
FIGURE:Densit - Loi normale
SiX N(;), La courbe de sa densit est symtrique par rapport la droite verticale x= , do
P(X) = P(X) = 12 ,P(X h) = P(X+h) = 1P(X[h;+h])2 , h>0
Valeurs particuliresP( 1, 64< X< +1, 64) = 0, 90P( 1, 96< X< +1, 96) = 0, 95P( 3, 09< X< +3, 09) = 0, 99
Statistique 3 (5009) 70 / 113
Esprance et variance
E(X
) = 1
2
ZIR
x
e12 (
x
)2
dx
Avec le changement de variabley= x
donc, dy= dx, on a
E(X
) = 1
2
ZIR
ye12 y
2dy=
12
[e 12 y2 ]+= 0
Donc, E(X)
=0 ou encore
E(X) =
V( X
) =E(( X
)2) E( X
)2 =E(( X
)2)
E(( X
)2) = 1
2
RIR
( x
)2e12 (
x
)2
dx
= 1
2
RIR
y(ye12 y
2)dy
=
2
[y(e 12 y2 )]+
RIR
e 12 y2 dy
= 12
RIR
e12 y
2dy
Statistique 3 (5009) 71 / 113
Avec la variabley,ZIR
e12 y
2dy=
ZIR
e12 (
x
)2 1
dx=1
2=
2
Du calcul prcdent :
V(X
) = E((X
)2) = 1
2
2=1
doV(
X
) = 12
V(X) = 1
Ou encore,V(X) = 2
Statistique 3 (5009) 72 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
19/29
Proprit1) La loi normale admet des moments de tout ordre.2) SiX N(1;1),Y N(2;2)et Xet Ysont indpendantes
alors,X+ Y N(1+2,q21+ 22)
Statistique 3 (5009) 73 / 113
Loi normale centre rduiteDfinitionLa v.a. X suit la loi normale centre rduite, on note X N(0; 1)si sadensit est
f(x) = 1
2e
12 x
2, x IR
Cest donc un cas particulier de la loiN(;)gnrale.
La densit deN(0; 1)est centre en 0, sa courbe est symtriquepar rapport laxe des ordonnes.
X N(0; 1) =E(X) = 0 et V(X) = 1X N(;) = X
N(0; 1)
Dfinition (df. alternative de la loi 2)Soit X1, X2,..., Xn indpendantes et suivant chacuneN(0; 1). Alors,
X21 +X22 +...+X
2n
2n
Statistique 3 (5009) 74 / 113
ExempleX N(0, 1).Donner la loi de X2, son esprance et sa variance.
Lecture tables statistiques
Statistique 3 (5009) 75 / 113
chantillonnage
On veut estimer les paramtres dune population (ex. moyenne,variance, proportion).
On constitue un chantillon denobservations partir desquelleson tablit lestimation.
Linfrence statistique nest possible que si lchantillon a t tirsuivant des rgles rigoureuses...
Pour estimer la dure de vie (suppose comme v.a.), dun appareillectronique, on prlve au hasard n appareils de mme type eton mesure leurs dures de vie : les diffrences entre les duresde vie mesures sont supposes comme tant des fluctuationsalatoires. La thorie des probabilit justifiera alors, la qualit delapproximation de la dure de vie (moyenne) relle inconnue dela dure de vie (moyenne) mesure sur lchantillon.
Statistique 3 (5009) 76 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
20/29
On dispose dune population et dune v.a. X(dfinie sur )suivant une loi P.Un chantillon (alatoire) de taille nest unn-uplet(X1, ..., Xn)dev.a. indpendantes suivant une mme loi parente Pde X. On ditaussi unn-chantillon deX(ou issu de X) ou encore unchantillon thorique.Les valeurs observes (mesures)x1, x2, ..., xnsont desralisations respectives des v.a.X1, ..., Xnou de lchantillon. Le
n-uplet(x1, x2, ..., xn)est aussi appel parfois chantillon(empirique). Notons que celui-ci nest pas alatoire.
DfinitionUne statistique T est une v.a. fonction mesurable de X1,..., Xn,
T=f(X1, ..., Xn)
exemple f(X1, ..., Xn) = 1
n
PXi= X .
Autre terminologie, caractristique=statistique.
Statistique 3 (5009) 77 / 113
Fonction de rpartition empirique
Soit Xune v.a. de fonction de rpartition Fet X1, ..., Xnun chantillondeX.La fonction de rpartition empiriqueest dfinie par :
Fn(x) =Nombre de v.a.Xi x
n =
1n
n
Xi=11I{Xix}
nFn(x) =nP
i=11I{Xix}et chacune des 1I{Xix}est une v.a. de Bernoulli
despranceF(x). DonFn(x) B(n, F(x)). Donc,
E(Fn(x)) = F(x)et V(Fn(x)) =1n
F(x)(1 F(x))
Statistique 3 (5009) 78 / 113
Esprance empiriqueNotons,E(X) = m,V(X) = 2 etk(moment centr dordrek) lescaractristiques deX.Caractristique de lchantillon :
La moyenne de lchantillon (moyenne empirique) :
X=1n
nXi=1
Xi
Proprit.On a
E(X) = met V(X) = 2
n
E(X) = E(1n
nXi=1
Xi) =1n
nXi=1
E(Xi) = m
De lindpendance desXi
V(X) = V(1n
nXi=1
Xi) = 1n2
nXi=1
V(Xi) =2
n
Statistique 3 (5009) 79 / 113
Variance empiriqueLa variance de lchantillon (ou empirique) est
S02 =1n
nXi=1
(Xi X)2
Proprit.
S02 =
1n
nXi=1
X2i
! X2
En effet,S02 = 1n
nPi=1
(Xi X)2 = 1nnP
i=1(X2i 2XiX+ X
2)
= ( 1n
nPi=1
X2i ) 2 1nnP
i=1XiX+
1n
nPi=1
X2
= ( 1n
nPi=1
X2i ) 2X1nnP
i=1Xi+ X
2= ( 1n
nPi=1
X2i ) 2XX+ X2
=
1n
nPi=1
X2i
X2
Statistique 3 (5009) 80 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
21/29
Dcomposition deS02
S02 =
1n
nXi=1
(Xi m)2!
(X m)2
En effet,S02 = 1n
Pni=1(Xi m+m X)2
= 1
n
nPi=1
[(Xi
m)2
2(Xi
m)(X
m) + (X
m)2]
= ( 1n
nPi=1
(Xi m)2 2 1nnP
i=1(Xi m)(X m) + 1n
nPi=1
(X m)2
= ( 1n
nPi=1
(Xi m)2) 2(X m) 1nnP
i=1(Xi m) + (X m)2
= ( 1n
nPi=1
(Xi m)2) 2(X m)(X m) + (X m)2
=
1n
nPi=1
(Xi m)2
(X m)2
Statistique 3 (5009) 81 / 113
Biais deS02
Theorem
E(S02) =n 1
n 2
Dmonstration.
E(S02
) =E[1
n
nPi=1(Xi m)
2 (X m)2]=
1n
nPi=1
E[(Xi m)2]
E[(X m)2]
=
1n
nPi=1
V(Xi)
V(X)
=2 2n = n1n 2
Autre proprit.V(S02) = n1n3
[(n 1)4 (n 3)4]et sinest trsgrandV(S02) 44n (justification :calcul long.)
Statistique 3 (5009) 82 / 113
E(S02)6=2. On dit queS02 est une statistique biaise de2. Pourcette raison, on introduit la variance empirique modifie (ou corrige) :
S2 = 1n 1
nXi=1
(Xi X)2
ainsi, S2 = nn1 S02 etE(S2) = nn1 E(S
02) = nn1n1
n 2 =2 et doncS2
est sans biais.Corrlation entreXet S02
Sans perte de gnralits, on suppose que m=0. En fait,cov(X, S02) = cov(X
m, S02)et S02(X) = S02(X
m).
cov(X, S02) =E(X S02) E(X)E(S02) = E(X S02)=E
"1n
nPi=1
Xi
1n
nPj=1
X2j X2
!#
= 1n2
E
" nPi=1
Xi
nP
j=1X2j
!# E(X3)
= 1n2
E
nP
i=1
nPj=1
XiX2
j
! E(X3)
Statistique 3 (5009) 83 / 113
Sii6=j, commeXiet Xjsont indpendantes,E(XiX
2j ) = E(Xi)E(X
2j ) = 0 (puisque m=0).
Do
cov(X, S02) = 1n2
E
nPi=1
X3i
E
"1n
nPi=1
Xi
3#
= 1n2
E
nPi=1
X3i
1
n3E
nPi=1
X3i
( explication prcdente)
On obtient
cov(X, S02) = 3n2
3n3
= n 1n3
3
Et donc,Xet S02 sont corrles (varie dans le mme sens) sauf si3= 0 qui est le cas dune distribution symtrique.Attention :cov(X, Y) = 06=Xet Y indpendantes
Statistique 3 (5009) 84 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
22/29
chantillon gaussienIci,X N(m,). Donc,X1, ..., Xnest un chantillon deN(m;).
Comme lesXisont indpendantes,
X N(m,
n)
Theorem
nS02
2 =
(n
1)S2
2 2n1
Remarquele degr de libert n 1est du au nombre de termes indpendants(parmi les Xi X ) dont la somme des carrs constitue nS02.
Theorem (de Fisher)
X et S2 sont indpendantes ssi X1, X2, ..., Xnest un chantillon de loinormale.
Statistique 3 (5009) 85 / 113
On dduit des proprits de la loi 2, que
E(S02) =n 1
n 2
V(S02) = 2n 1
n2 4
Et aussi,E(S2) = 2
V(S2) = 2n 1
4
Statistique 3 (5009) 86 / 113
ExempleOn prlve 25 pices dune production industrielle. Les tudes
pralables ont dmontr que le diamtre de ces pices suitN(10, 2).Entre quelles valeurs a-t-on90%de chances de trouver le diamtremoyen de ces 25 pices et leurs variance ?
X N(10; 225
). Donc avec une proba de 0.9 on a
10 1.64 225
< X
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
23/29
Application
Le rsultat prcdent est trs utile car il ne dpend pas de , onutilisera donc cette formule chaque fois que est inconnu.
Exemple (Test t de Student)(test paramtrique) On souhaite tester si une machine fabricant des
pices industrielles est toujours bien rgle. On admet que le diamtre
des pices produites suit une loi normale. Le diamtre moyen despices est sens tre gal 10(units). On prlve 25 pices des
pices produites par cette machine. On veut tester lhypothse
H0:00 moyenne=1000avec un risque de rejet tort de10%
Les diamtres de ces pices :
9,5-10-10,5-10,32-9,5-9,88-9,6-10-10,01-10,23-10,55-10,4-11-11,2-
11,6-10,9-10,05-10,02-9,97-9,86-9,78-10,05-10,11-10,64-9,89
Statistique 3 (5009) 89 / 113
Exemple (suite)On met deux hypothses
H0: m0 = X=m ici m=10,
H1: m06=m test bilatral (unilatral si ex : m0> m).Aprs calcul, on trouve : X= 10, 2224 S2 =0, 275994Xm
Sn= 10 ,222410
0,275994252.12
Fractiles de la loi de Student, 24 degrs de libert, p=0.1,e.i. t
tel que P(|Z|> t) = 0.1est t1.711. Ici Z= XmS
n
Comme2.12 /[1.711; +1.711], H0est rejete.
Statistique 3 (5009) 90 / 113
Loi de Fisher-Snedecor
DfinitionLa loi de Fisher-Snedecor n et m degrs de libert, note F(n, m),est dfinie comme suit : Si U 2n, Y
2met U et Y sont
indpendantes, alors, U/nY/m F(n, m)
E(F(n, m)) = mm2 , m>2 et V(F(n, m)) = 2m2(n+m2)
n(m22)(m4) , m>4
Exemple
X, Y, Z et W sont des v.a. IID, suivantN(0, 1). Posons R= X2
Y2+Z2+W2
Donner t0.95tq P(Rt0.95) = 0.95On a X2 21 et Y
2 +Z2 +W2 23. Do
3 X2
Y2+Z2+W2 =3R F(1, 3). On lit de la table de F(1, 3)
P(3Rx) = 0.95, on lit x= 10.1, donc t0.95=10.1/3Application deF(n, m) : tests dhypothses non traits ici.
Statistique 3 (5009) 91 / 113
Couples de variables alatoiresSoient Xet Ydeux v.a. dfinies de (, C, P)dans IR. On sintresseici au couple (X, Y) : (, C, P)(IR2,B(IR2)).Couple de v.a. discrtes1. Loi conjointe :On appelle loi du couple(X, Y), la probabilitPXYdonne par
PXY(xi, yj) = P(X=xi Y=yj)SiXprend les valeurs :x1, ..., xnet Yles valeurs : y1,..., ym. On note
pij=PXY(xi, yj), i= 1, ..., net j= 1, ..., mOn peut reprsenter (cas fini) la loi de (X, Y)dans un tableau.y1 yj ym
x1...
... ...
xi pij...
xn
On aP
i
Pj
pij=P
i
Pj
PXY(xi, yj) = 1
Statistique 3 (5009) 92 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
24/29
Exemple
X\ Y 0 1 5 71 0.11 0.06 0.1 0.082 0.09 0.08 0.13 06 0.05 0.07 0.12 0.11
p22= PXY(2; 1) = 0.08 p14= PXY(1; 7) = 0.08.On peut vrifierque
XiX
j
PXY(xi, yj) = 1
Lois marginales.Ce sont les lois deXet de Yinduites par la loi ducouple.Loi marginale deX.P(X=xi) =
Pj
P(X=xi Y=yj)(formule desproba. totales).Do
P(X=xi) =mX
j=1
pij= pi
Statistique 3 (5009) 93 / 113
Loi marginale de Y.De mme
P(Y=yj) =nX
i=1
pij= pj
y1 yj ym PX
x1...
... ...
xi pij pi...
...
xn...
pY pj 1On a
nXi=1
pi= 1 etmX
j=1
pj= 1
Statistique 3 (5009) 94 / 113
Exemple
X\ Y 0 1 5 7 PX1 0.11 0.06 0.1 0.08 0.352 0.09 0.08 0.13 0 0.36 0.05 0.07 0.12 0.11 0.35PY 0.25 0.21 0.35 0.19 1
p3 =0.35 p4= 0.19.
On peut vrifier que
nXi=1
pi =1 etmX
j=1
pj= 1
Statistique 3 (5009) 95 / 113
loi conditionnelleLoi conditionnelle deXsachantY=yj
P(X=xi/Y=yj) =P(X=xi Y=yj)
P(Y=yj) =
pij
pj
Loi conditionnelle deYsachantX=xi
P(Y=yj/X=xi) =P(Y=yj X=xi)
P(X=xi) =
pij
pi
Exemple (P(Y/X=-1) dans lexemple prcdent)
X\ Y 0 1 5 7 PX1 0.11 0.06 0.1 0.08 0.35...
... ...
... ...
yj 0 1 5 7P(Y/X=1) 0.11/0.35 0.06/0.35 0.1/0.35 0.08/0.35
Statistique 3 (5009) 96 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
25/29
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
26/29
Variance conditionnelle
On appelle variance deYsachantX= x, noteV(Y/X=x), laquantit dfinie par
V(Y/X=x) = E([Y E(Y/X=x)]2/X=x)
La v.a. variance conditionnelle, note V(Y/X), est dfinie par
x7V(Y/X=x) = (X)
Thorme (Thorme de la variance totale (ou dedcomposition de la variance))
V(Y) = E[V(Y/X)] +V[E(Y/X)]
Statistique 3 (5009) 101 / 113
Calcul de la variance de lexemple prcdent
1) calcul de E[V(Y/X)]:V(Y/X= R) = 16 (1 216)2 + 16 (2 216)2 +...+ 16 (6 216)2 = 3512V(Y/X= B) = 14 (2 +5)2 + 14 (4 +5)2 +...+ 14 (8 +5)2 =5
Do
E[V(Y/X)] =2
335
12+
1
35=
65
182) Dautre part,V[E(Y/X)] = 23 (
216 23 )2 + 13 (5 23 )2 = 17
2
18
Au final
V(Y) = E[V(Y/X)] +V[E(Y/X)] =6518
+172
18 =
35418
=59
3
Statistique 3 (5009) 102 / 113
Somme de v.a. discrtesPosonsZ=X+ Y,Zprend les valeurszk= xi+ yj, k= 1, ..., K.
P(Z=zk) =X
i,j:xi+yj=zk
P(X=xi Y=yj)
Si Xet Ysont indpendantes, (on peut parler de convolution de v.a.)
P(Z=zk) =P
i:j,zk=xi+yjP(X=xi)P(Y=zk xi)
= Pi
P(X=xi)P(Y=zk
xi)
(si6j,tqzk=xi+ yjle terme se simplifiecar P(Y =zk xi) = 0)
=P
j:i,xi+yj=zkP(X=zk yj)P(Y=yj)
=Pj
P(X=zk yj)P(Y =yj)(si6i, xi+ yj=zkle terme se simplifiecar P(X=zk yj) = 0)
Statistique 3 (5009) 103 / 113
ExempleSoient X et Y donnes dans le tableau :
X\ Y 0 1 5 71 0.11 0.06 0.1 0.082 0.09 0.08 0.13 06 0.05 0.07 0.12 0.11
Alors, Z=X+ Y prend les valeurs : -1, 0, 2, 3, 4,6=-1+7 et 6+0,7=2+5 et 6+1, 9, 11, 13. Sa loi est donc,
zk 1 0 2 3 4 6 7P(Z=zk) 0.11 0.06 0.09 0.08 0.1 0.13= 0.2=
0.08 +0.05 0.13 +0.07
Suite, zk 9 11 13
P(Z=zk) 0 0.12 0.11
Statistique 3 (5009) 104 / 113
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
27/29
Maximum de 2 v.a. discrtes
Posons,U= max{X, Y}, alors,Uprend les valeursuk= max{xi, yj}, i= 1,.., n,j= 1, ..., m
P(U= uk) = P(X=uk Y uk) +P(X wk Y=wk)
Statistique 3 (5009) 105 / 113
Exemple
X\ Y 0 1 5 71 0.11 0.06 0.1 0.082 0.09 0.08 0.13 06 0.05 0.07 0.12 0.11
max{X, Y}uk 0 1 2 5 6 7pk 0.11 0.06 0.17 0.23 0.05 +0.07 +0.12 0.19
min{X, Y}wk 1 0 1 2 5 6pk 0.35 0.14 0.15 0.13 0.12 0.11
Statistique 3 (5009) 106 / 113
Couple de v.a. continues
On suppose ici que Xet Ysont continues valeurs dans IR2,
La fonction de rpartition du couple(X, Y)est
H(x, y) = P(X
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
28/29
On admet que lon peut dfinir les lois conditionnellesP(X/Y =y)et P(Y/X=x) partir des densits conditionnellesdeXsachantYet de YsachantX.Sihest la densit du couple (X, Y),fla densit de Xet gcelle deY, alors,
f(x/Y =y) =h(x, y)
g(y) etg(y/X= x) =
h(x, y)
f(x)
Moments : Si : IR2 IRest une fonction mesurable, alors :
E((X, Y)) =
ZIR
2(x, y)h(x, y)dxdy
Donc,
E(XY) =
ZIR
2xyh(x, y)dxdy
Statistique 3 (5009) 109 / 113
Soient Xet Ydeux v.a. relles.
PosonsZ=X+ Y, alors,Za pour fonction de rpartition
FZ(z) = P(Z
7/25/2019 Statistiques - Cours L2 Eco Gestion
29/29
Covariance et corrlation linaireLa covariance deXet Yest dfinie par
cov(X, Y) = E[(X E(X))(Y E(Y))] =E(XY) E(X)E(Y)cov(X, Y)est dautant plus forte que Xet Yvarient dans mmesens.
Le coefficient de corrlation entre Xet Yest dfini par
= cov(X, Y)
XY
SiXet Ysont indpendantes alors :
cov(X, Y) = 0 et donc =0
et la rciproque est fausse.
= 1 lorsquil existe une relation linaire entreXetY:X=aY+ b
Statistique 3 (5009) 113 / 113