Statistiques descriptives Niveau: L1 Enseignant:Iharantsoa Zoëla RAMANGASON [email protected]

Statistique IStatistiques descriptives

Niveau: L1

Enseignant:Iharantsoa Zoëla [email protected]

Cours de Iharantsoa Zoëla RAMANGASON

Programme

Partie introductiveLa statistiqueTerminologies

I. Distributions statistiques unidimensionnellesI.1. Distributions à caractère qualitatif

I.1.1. Tableau statistiqueI.1.2. Représentations graphiques

I.2. Distributions à caractère quantitatif


Programme (suite)

I.2.1. Variables statistiques discrètesI.2.1.1. Tableau statistiqueI.2.1.2. Représentations graphiques

I.2.2. Variables statistiques continuesI.2.2.1. Tableau statistiqueI.2.2.2. Représentations graphiques

Contrôle continu


I.3. Les caractéristiques de positionI.3.1. Le ModeI.3.2. Les quantiles

I.3.2.1. Détermination d’un quantileI.3.2.2. La MédianeI.3.2.3. Les quartilesI.3.2.4. Les déciles

I.3.3. La moyenne arithmétique pondérée

Programme (suite)


I.4. Les caractéristiques de dispersionI.4.1. L’écart moyen absoluI.4.2. La variance et l’écart-typeI.4.3. Le coefficient de variationI.4.4. Les moments centrés

I.5. Les caractéristiques de formeI.5.1. Le coefficient d’asymétrie de Fisher

Programme (suite)

I.5.2. Le coefficient d’aplatissement de Pearson

I.6. Les caractéristiques de concentrationI.6.1. La courbe de concentrationI.6.2. L’indice de Gini


Programme (suite)


II. Distributions statistiques bidimensionnellesII.1. Distributions marginales

II.1.1. Tableau à double entréeII.1.2. EffectifsII.1.3. Fréquences

II.2. Représentation graphique: nuage de points pondérés

Programme (suite)


II.3. Les caractéristiques globalesII.3.1. Les moyennesII.3.2. Les variances et les écart-types

II.4. Le moment centré d’ordre 1.1II.5. Le coefficient de corrélationII.6. La droite des moindres carrés

Programme (suite)


Partie introductive

La statistique

Etymologie: sciences de l’état

La statistique est une branche des mathématiques appliquées qui a pour objet l’étude des phénomènes mettant en jeu un

grand nombre d’éléments


Partie introductive

La statistique

La statistique est également l’ensemble de données numériques concernant l’état ou

l’évolution d’un phénomène qu’on étudie au moyen de la statistique

La statistique descriptive est la statistique utilisée en démographie


Partie introductive

La statistique

Les statistiques couvrent les domaines d’application telles que la gestion,

l’économétrie, la recherche démographique, l’agronomie, la médecine, la biologie …

Utilités: pour étudier objectivement un phénomène; pour aider à prendre une décision

rationnelle


Partie introductive

TerminologiesPhénomène: tout fait extérieur qui se manifeste

à la conscience par l’intermédiaire des sens; toute expérience intérieure qui se manifeste à la

conscienceDonnées: codes, compréhensibles ou non, que

nous voyons, entendons, ou percevons, mais qui n’ont aucune utilité si nous ne possédons pas les

clés pour les décrypter


Partie introductive

TerminologiesInformation: données traitées (sélectionnées,

transformées et diffusées aux personnes qui en ont besoin)

Population statistique: l’ensemble homogène des personnes, des animaux ou des objets

étudiés


Partie introductive

TerminologiesUnité ou individu statistique: l’élément représentatif composant la population

statistiqueEffectif total: nombre d’individus observés, noté

« n »Caractère: aspect particulier de l’individu auquel

on s’intéresse. Il peut être qualitatif ou quantitatif


Partie introductive

Exercices1. Prenez une décision quelconque que vous

devriez prendre. De quels éléments avez-vous besoin pour que vous puissiez prendre la bonne

décision?

2. Observez l’évolution d’un phénomène quelconque. Prenez note de cette évolution


I. Distributions statistiques unidimensionnelles

I.1. Distributions à caractère qualitatif

Un caractère est qualitatif s’il est lié à une observation ne faisant pas l’objet d’une mesure

Modalités « Ci »: ce sont les différentes rubriques associées à un caractère qualitatifEx: Le caractère « sexe » comporte deux modalités: « masculin » et « féminin »



Propriétés: Les modalités d’un caractère doivent être exhaustives et disjointes. A chaque individu, on doit pouvoir associer une modalité et une seule.Lorsque les modalités ne permettent pas l’exhaustivité, on peut ajouter une modalité « divers » ou « autres », regroupant les individus impossibles à classer



Effectif « ni »: nombre de fois où la modalité numéro « i » a été observéeFréquence « fi »: quotient de l’effectif « ni » par l’effectif total « n »

telle que

Démontrez que:



I.1.1. Tableau statistique

ModalitésCi

Effectifsni

Fréquencesfi %

C1 n1 f1

C2 n2 f2

… … …Ck nk fk



I.1.2. Représentations graphiquesDiagramme à barres

Colérique

Sanguin

Flegmatique

Mélancolique

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Effectifs

Axe des abscisses: ni ou fi

Axe des ordonnées: Ci



I.1.2. Représentations graphiquesDiagramme en colonnes/en tuyaux d’orgue

Axe des abscisses: Ci

Axe des ordonnées:ni ou fi

Colérique Sanguin Flegmatique Mélancolique0

2

4

6

8

10

12

14

16

Effectifs



I.1.2. Représentations graphiquesDiagramme à secteurs

360° correspond à 100% de fi

3.4483%

51.7241%

20.6897%

24.1379%

ColériqueSanguinFlegmatiqueMélancolique



I.1.2. Représentations graphiquesDiagramme figuratif

Colérique Sanguin Flegmatique Mélancolique



Applications numériquesEtude des tempéraments des élèves de la classe


I. Distributions statistiques unidimensionnelles

I.2. Distribution à caractère quantitatifUn caractère est quantitatif s’il est mesurable par un nombre

Les variables statistiques comprennent les grandeurs liées à l’espace, au temps, à la masse ou aux combinaisons de ces diverses grandeurs



I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD)

Les variables statistiques discrètes (VSD) sont des variables dont les seules valeurs possibles sont distinctes et isoléesValeurs observées: « xi » au lieu de « Ci »

Effectifs: « ni »

Fréquences:



I.2.1. Variables statistiques discrètes (VSD)Fréquences cumulées croissantes: cumul des fréquences associées aux valeurs du caractère strictement inférieures à x. On les note « Fi »

Fi = Fi-1 + fi

I.2.1.1. Tableau statistiqueSur le tableau statistique, mettez xi, ni et fi entre les lignes et Fi sur les lignes




I.2.1.1. Tableau statistiqueVariablexi

Effectifni

Fréquence relativefi %

Fréquence cumuléeFi %

F0 = 0 %x1 n1 f1

F1

x2 n2 f2F2

… … ……

xk nk fk

Fk = 100 %




I.2.1.2. Représentations graphiquesDiagramme différentiel / en bâton

Axe des abscisses: xi

Axe des ordonnées: ni ou fi

15 16 17 18 19 210

2

4

6

8

10

12

14




I.2.1.2. Représentations graphiquesDiagramme intégral / cumulatif


Axe des ordonnées: Fi




Applications numériques1. Etude des âges des élèves de la classe2. Etude des années de naissance des élèves de

la classe



I.2.2. Variables statistiques continues (VSC)

Dans un intervalle de valeurs, les valeurs possibles des variables statistiques continues (VSC) sont en nombre infiniExtrémité de classe: « ei »

Amplitude: ai = ei – ei-1

Centre de classe:ei-1

ei

xi ai




Effectifs: « ni »

Fréquences: Fréquences cumulées croissantes: cumul des fréquences associées aux valeurs du caractère strictement inférieures à x. On les note « Fi »

Fi = Fi-1 + fi




I.2.2.1. Tableau statistiqueSur le tableau statistique, mettez ai, xi, ni et fi entre les lignes et ei et Fi sur les lignesei ai xi ni fi Fi

e0 F0 = 0%a1 x1 n1 f1e1 F1a2 x2 n2 f2e2 F2… … … …… …ak xk nk fkek Fk = 100%




I.2.2.2. Représentations graphiquesHistogramme


Axe des ordonnées: ni ou fi




I.2.2.2. Représentations graphiquesPolygone des fréquences


Axe des ordonnées: fi




I.2.2.2. Représentations graphiquesDans le cas où les amplitudes sont différentes

- On utilise la densité pour tracer l’histogramme des effectifs- On utilise la fréquence rectifiée pour tracer l’histogramme ou le polygone des fréquences, et où a est le PGCD des amplitudes




I.2.2.2. Représentations graphiquesCourbe des fréquences cumulées croissantes


Axe des ordonnées: Fi

16 17 18 19 20 21 220.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%

Fi




Applications numériques

Etude des âges des élèves de la classe


I.3.1. Le ModeNoté « Mo ». C’est la (les) valeur(s) observée(s) d’effectif maximum.Cas d’une VSC: on ne peut parler que d’« intervalle modal ».Une série possédant plusieurs modes est dite « plurimodale ».

I.3. Caractéristiques de position


I.3.2. Les quantilesOn appelle quantile d’ordre α%, noté Qα, la valeur xi du caractère telle que α% des valeurs observées soient strictement inférieures à xi.

I.3.2.1. Détermination d’un quantile d’ordre α% (0< α<100)

Cas d’une VSD: La courbe cumulative est constituée de paliers horizontaux.


Deux cas doivent être distingués:1° Aucun palier horizontal n’a pour ordonnée la valeur α%. On convient alors de considérer comme Qα la valeur observée xi telle que l’on ait: F(xi)<α%<F(xi+1). On a: Qα=xi.

2° Un palier horizontal a pour ordonnée la valeur α%. On n’a pas de Qα mais un intervalle [xi;xi+1[.





α%F(xi+1)

F(xi)

Xi-1 Xi Xi+1

Cas 1°



α%

F(xi)

Xi-1 Xi Xi+1

Cas 2°


Cas d’une VSC: Pour calculer le Qα, il faut déterminer la classe dans laquelle les Fi atteignent α%.Le Qα est, dans Fi, la valeur qui vérifie F(Qα)=α %



I.3.2.2. La MédianeLa médiane, notée Me, est le Q50. Elle partage la série des valeurs observées en deux séries de même taille.La médiane est, dans la fréquence cumulée, la valeur qui vérifie F(Me) = 50%.



I.3.2.3. Les quartilesLes trois quartiles partagent la série en 4 séries de même taille: Q25, Q50 et Q75.

I.3.2.4. Les décilesLes 9 déciles partagent la série en 10 séries de même taille: Q10, Q20, Q30, Q40, Q50, Q60, Q70, Q80, et Q90



I.3.3. La moyenne arithmétique pondérée

C’est le paramètre de position le plus utilisé. En effet, la moyenne arithmétique est définie de façon objective. En plus, elle possède une signification concrète.



I.4.1. L’écart moyen absolu1° Ecart moyen absolu par rapport à la moyenne

2° Ecart moyen absolu par rapport à la médiane

I.4 Les caractéristiques de dispersion


I.4.2. La variance et l’écart-type

La variance:

L’écart-type:


I.4.3. Le coefficient de variation

(en pourcentage)

I.4.4. Les moments centrés d’ordre r

Egalités remarquables:




I.5.1. Le coefficient d’asymétrie de Fisher

Si γ<0, la distribution est étalée vers la gauche (biais négatif)

I.5. Les caractéristiques de forme


Si γ>0, la distribution est étalée vers la droite (biais positif)

Si γ=0, la distribution est symétrique


I.5.2. Le coefficient d’aplatissement de Pearson

Si β=3, la distribution est « normale » (courbe « en cloche » de Gauss)



Si β<3, la distribution est plus aplatie que la normale (hyponormale ou platykurtique)

Si β>3, la distribution est moins aplatie que la normale (hypernormale ou leptokyrtique)



I.6.1. La courbe de concentration

Axe des abscisses: Fi

Axe des ordonnées: Qi

Qi sont les valeurs globales relatives cumulées croissantes: Qi=Qi-1+qi, avec:


I.6. Les caractéristiques de concentration

Faible concentration

Forte concentration



I.6.2. L’indice de GiniMéthode des triangles:

g est toujours compris entre 0 et 1. Plus la valeur de g est grande, plus la concentration est forte.




II.1. Distributions marginalesII.1.1. Tableau à double entrée

II. Distributions statistiques bidimensionnelles

xi yj y1 y2 y3 ni.

x1 n11 n12 n13 n1.

x2 n21 n22 n23 n2.

n.j n.1 n.2 n.3 n..


II.1. Distributions marginalesII.1.2. Effectifs



II.1. Distributions marginalesII.1.3. Fréquences



II.2. Représentation graphique: nuage de points pondérés

Abscisses: xi

Ordonnées: yj

(Mettez leseffectifs entreparenthèses,à côté despoints)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7


II.3. Les caractéristiques globalesII.3.1. Les moyennes



II.3. Les caractéristiques globalesII.3.2. Les variances et les écart-types



II.4. Le moment centré d’ordre 1.1C’est la covariance du couple (x,y)



II.5. Le coefficient de corrélation

On a:

Le nuage de points est une droite si et seulement si, r=-1 (droite descendante) ou r=1 (droite ascendante)



II.6. La droite des moindres carrés



Applications numériquesEtude de la variation des tailles en fonction des

âges des élèves de la classe


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