Statistiques en 3ème M-S

• Contenu disciplinaire :• Séries statistiques à un caractère :

paramètres de position, de dispersion.

• Séries statistiques à deux caractères : Tableau à deux entrées, distributions

marginales, fréquences marginales - paramètres de position et de dispersion des distributions marginales. Nuage de points, point moyen.

Aptitudes à développer

• Résumer une série statistique à un caractère et déterminer ses paramètres de position et de dispersion.

• Interpréter une distribution normale.• Organiser une série statistique à deux

caractères dans un tableau à deux entrées et déterminer ses distributions marginales ainsi que leurs paramètres de position et de dispersion.

• Représenter à l’aide d’un nuage de points une série statistique à deux caractères et déterminer son point moyen.

• L’étude des séries statistiques se fera sur des exemples puisés dans l’environnement de l’apprenant.

• On initiera l’apprenant à faire des raisonnements statistiques pour interpréter les résultats.

• Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en rapport avec l’environnement.

• En particulier , ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle tatistique ou probabiliste

Statistiques en 4ème M-S

• Contenu disciplinaire : Séries statistiques à deux caractères

• Ajustements affines (méthode des moindres carrés, méthode de Mayer), droites de régression,

• corrélation linéaire, coefficient de corrélation linéaire, covariance.

• Exemples d’ajustements non affines.

Aptitudes à développer

• Déterminer et tracer une droite de régression.

• Calculer la covariance d’une série statistique double.

• Calculer le coefficient de corrélation linéaire et interpréter le résultat

• L’étude des séries statistiques se fera sur des exemples puisés dans l’environnement de l’apprenant.

• On initiera l’apprenant à faire des raisonnements statistiques pour interpréter les résultats.

• Les élèves résolvent des problèmes dans des situations mathématiques ou en rapport avec l’environnement.

• En particulier, ils résolvent des problèmes puisés dans des situations réelles menant à un modèle statistique ou probabiliste

Paramètres de position

et dedispersion

Paramètres de position

et dedispersion

On considère la série

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17

Son effectif est Son étendue est Sa moyenne est Sa variance est Son écart type est Sa médiane est Son 1er quartile est Son 3ème quartile est Son écart interquartile est

17

16

9

24

4.89

9

5

13

8

On considère la série

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17

Son effectif est Son étendue est Sa moyenne est Sa variance est Son écart type est Sa médiane est Son 1er quartile est Son 3ème quartile est Son écart interquartile est

17

29

11

71.29

8.44

9

5

13

8

On considère la série

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-25-27-30

17

16

9

24

4.89

9

5

13

8

2ème application2ème application

Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit :

Loyer x (dinars)

[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[

Nombre 21 26 15 12 6

Loyer x (dinars)

[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[

Nombre 21 26 15 12 6

Effectifs cumulés

21 47 62 74 80

Classe modale : [150 , 200[

Polygone des effectifs cumulés croissants ?

Médiane ?

Quartiles ?

Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit :

Loyer x (dinars)

[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[

Nombre 21 26 15 12 6

Loyer x (dinars)

[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[

Nombre 21 26 15 12 6

Effectifs cumulés

21 47 62 74 80

Classe modale : [150 , 200[

Loyer x (dinars)

[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[

Nombre 21 26 15 12 6

Effectifs cumulés

21 47 62 74 80

Médiane : 150 21

Me 40

200 47

2147

150200

2140

150

Me

Me = 186.538

Quartile Q1 : 100 0

Q1 20

150 21

021

100150

020

1001

Q

Q1 = 147.619

Loyer x (dinars)

[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[

Nombre 21 26 15 12 6

Effectifs cumulés

21 47 62 74 80

Quartile Q3 : 200 47

Q3 60

250 62

4762

200250

4760

2003

Q

Q3 = 243.333

Loyer x (dinars)

[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[

Nombre 21 26 15 12 6

Effectifs cumulés

21 47 62 74 80

Quartile Q3 : 200 47

Q3 60

250 62

4762

200250

4760

2003

Q

Q3 = 243.333

Loyer x (dinars)

[100 , 150[ [150 , 200[ [200 , 250[ [250 , 300[ [300 , 350[

Nombre 21 26 15 12 6

Effectifs cumulés

21 47 62 74 80

Me = 186.538

Q1 = 147.619

2ème application bis2ème application bis

Les loyers mensuels de 80 appartements d’un ensemble d’ immeubles est réparti comme suit :

Loyer x (dinars)

[100 , 140[ [140 , 200[ [200 , 240[ [240 , 320[ [320 , 440[

Nombre 21 26 15 12 6

Loyer x (dinars)

[100 , 140[ [140 , 200[ [200 , 240[ [240 , 320[ [320 , 440[

Nombre 21 26 15 12 6

Densité d’effectif

0.525 0.4333 0.375 0.15 0.05

histogramme

Classe modale:

[100,140[

Comparaison de deux séries

Comparaison de deux séries

Personnes traitées pour toxicomanie dans certains pays d’Europe.

X : nombre de personnes traitées en 2001

Y : âge moyen des personnes

PaysNbre de

personnes âge moyen

Danemark 4 079,00 31,10

Allemagne 13 607,00 26,80

Grèce 3 679,00 27,80

Espagne 49 376,00 31,50

France 16 670,00 30,80

Irlande 4 778,00 25,10

Italie 150 400,00 32,30

Hollande 10 139,00 32,80

Suède 1 336,00 31,80

Angleterre 40 184,00 28,30

8.2942410

294248x

83.2910

3.298y

1863534081)( xV

62161)( yV

670.43168)( x

4932.2)( y

Personnes traitées pour toxicomanie dans certains pays d’Europe.

X : nombre de personnes traitées en 2001

Y : âge moyen des personnes

PaysNbre de

personnes âge moyen

Danemark 4 079,00 31,10

Allemagne 13 607,00 26,80

Grèce 3 679,00 27,80

Espagne 49 376,00 31,50

France 16 670,00 30,80

Irlande 4 778,00 25,10

Italie 150 400,00 32,30

Hollande 10 139,00 32,80

Suède 1 336,00 31,80

Angleterre 40 184,00 28,30

8.2942410

294248x

83.2910

3.298y

1863534081)( xV

62161)( yV

670.43168)( x

4932.2)( y

8.2942410

294248x

83.2910

3.298y

1863534081)( xV

62161)( yV

670.43168)( x

4932.2)( y

Écart type relatif de x :

467.1)(

x

x

Écart type relatif de y :

083.0)(

y

y

Comparaison des variables x et y:

Écart type relatif

Nbre de personnes (x)

1 336

3 679

4 079

4 778

10 139

13 607

16 670

40 184

49 376

150 400

Écart interquartile relatif

4079)(1 xQ

10139)( xme40184)(3 xQ

36105407940184)( xe

561.310139

36105

)(

)(

xm

xe

e

âge moyen (y)

25,10

26,80

27,80

28,30

30,80

31,10

31,50

31,80

32,30

32,80

Écart interquartile relatif de x et y:

8.27)(1 yQ

8.30)( yme8.31)(3 yQ

48.278.31)( ye

130.08.30

4

)(

)(

ym

ye

e

Comparaison des variables x et y:

Écart type relatif

467.1)(

x

x 083.0)(

y

y

Écart interquartile relatif

561.3)(

)(

xm

xe

e

130.0)(

)(

ym

ye

e

Loi normaleLoi normale

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.

Durée (t) en minutes

Nombre de communications

0.5 1

1 4

1.5 16

2 38

2.5 74

3 80

3.5 67

4 39

4.5 15

5 5

6 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 2 4 6 8

Durée (t) en minutes

Nombre de communications

0.5 1

1 4

1.5 16

2 38

2.5 74

3 80

3.5 67

4 39

4.5 15

5 5

6 1

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.

99.2t

67.0)( tv82.0)( t

82.3,16.2, tt

65.4,33.12,2 tt

48.5,51.03,3 tt

Durée (t) en minutes

Nombre de communications

0.5 1

1 4

1.5 16

2 38

2.5 74

3 80

3.5 67

4 39

4.5 15

5 5

6 1

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.

01.3t

49.0)( tv70.0)( t

Durée (t) en minutes

Nombre de communications

0.5 1

1 4

1.5 16

2 38

2.5 74

3 80

3.5 67

4 39

4.5 15

5 5

6 1

82.3,16.2, tt

65.4,33.12,2 tt

48.5,51.03,3 tt

65% des effectifs sont dans l’intervalle

Durée (t) en minutes

Nombre de communications

0.5 1

1 4

1.5 16

2 38

2.5 74

3 80

3.5 67

4 39

4.5 15

5 5

6 1

82.3,16.2, tt

65.4,33.12,2 tt

48.5,51.03,3 tt

96% des effectifs sont dans l’intervalle

Durée (t) en minutes

Nombre de communications

0.5 1

1 4

1.5 16

2 38

2.5 74

3 80

3.5 67

4 39

4.5 15

5 5

6 1

65.4,33.12,2 tt

48.5,51.03,3 tt

99% des effectifs sont dans l’intervalle

Durée (t) en minutes

Nombre de communications

0.5 1

1 4

1.5 16

2 38

2.5 74

3 80

3.5 67

4 39

4.5 15

5 5

6 1

48.5,51.03,3 tt

0.99% des effectifs sont dans l’intervalle

Durée (t) en minutes

Nombre de communications

0.5 1

1 4

1.5 16

2 38

2.5 74

3 80

3.5 67

4 39

4.5 15

5 5

6 1

3,3 tt

65% des effectifs sont dans l’intervalle

tt ,

96% des effectifs sont dans l’intervalle

2,2 tt

La série x est normale ( ou gaussienne )

Double entréeDouble entrée

On a relevé le prix de vente Y ( en milliers de dinars) de 50 voitures

de même puissance , et de modèles

comparables, en fonction de leur âge X (en années) depuis

leur première mise en circulation. On a obtenu

le tableau suivant :

âge Xprix Y

4 5 6 7

[11 ,12[ 0 0 2 11

[12 ,13[ 0 0 10 4

[13 ,14[ 0 1 3 2

[14 ,15[ 0 7 0 0

[15 ,16[ 1 2 0 0

[16 ,17[ 6 1 0 0

distributions marginales des variables X et Y:

âge Xprix Y

4 5 6 7

[11 ,12[ 0 0 2 11

[12 ,13[ 0 0 10 4

[13 ,14[ 0 1 3 2

[14 ,15[ 0 7 0 0

[15 ,16[ 1 2 0 0

[16 ,17[ 6 1 0 0

âge Xprix Y

4 5 6 7

[11 ,12[ 0 0 2 11

[12 ,13[ 0 0 10 4

[13 ,14[ 0 1 3 2

[14 ,15[ 0 7 0 0

[15 ,16[ 1 2 0 0

[16 ,17[ 6 1 0 0

marge en X 7 11 15 17

distributions marginales des variables X et Y:

âge Xprix Y

4 5 6 7 marge en Y

[11 ,12[ 0 0 2 11 13

[12 ,13[ 0 0 10 4 14

[13 ,14[ 0 1 3 2 6

[14 ,15[ 0 7 0 0 7

[15 ,16[ 1 2 0 0 3

[16 ,17[ 6 1 0 0 7

marge en X 7 11 15 17 50

distributions marginales des variables X et Y:

âge Xprix Y

4 5 6 7 marge en Y

[11 ,12[ 0 0 2 11 13

[12 ,13[ 0 0 10 4 14

[13 ,14[ 0 1 3 2 6

[14 ,15[ 0 7 0 0 7

[15 ,16[ 1 2 0 0 3

[16 ,17[ 6 1 0 0 7

marge en X 7 11 15 17 50

âge moyen et le prix moyen des voitures vendues?

âge X 4 5 6 7

marge en X 7 11 15 17

50

17715611574X

50

292 84.5

âge moyen et le prix moyen des voitures vendues?

âge Xprix Y

4 5 6 7 marge en Y

[11 ,12[ 0 0 2 11 13

[12 ,13[ 0 0 10 4 14

[13 ,14[ 0 1 3 2 6

[14 ,15[ 0 7 0 0 7

[15 ,16[ 1 2 0 0 3

[16 ,17[ 6 1 0 0 7

marge en X 7 11 15 17 50

âge moyen et le prix moyen des voitures vendues?

prix Y centre marge en Y

[11 ,12[ 11.5 13

[12 ,13[ 12.5 14

[13 ,14[ 13.5 6

[14 ,15[ 14.5 7

[15 ,16[ 15.5 3

[16 ,17[ 16.5 7

50

75.1635.1575.1465.13145.12135.11Y

50

292Y 38.13

âge moyen et le prix moyen des voitures vendues?

écarts types de X et de Y ?

84.5X

38.13Y

âge Xprix Y

4 5 6 7 marge en Y

[11 ,12[ 0 0 2 11 13

[12 ,13[ 0 0 10 4 14

[13 ,14[ 0 1 3 2 6

[14 ,15[ 0 7 0 0 7

[15 ,16[ 1 2 0 0 3

[16 ,17[ 6 1 0 0 7

marge en X 7 11 15 17 50

âge X 4 5 6 7

marge en X 7 11 15 17

22 XX)X(V 284.550

174915361125716

09.184.550

1760)X(V 2

04.1)X(V)X(

84.5X

écarts types de X et de Y ?

84.5X

38.13Y

âge Xprix Y

4 5 6 7 marge en Y

[11 ,12[ 0 0 2 11 13

[12 ,13[ 0 0 10 4 14

[13 ,14[ 0 1 3 2 6

[14 ,15[ 0 7 0 0 7

[15 ,16[ 1 2 0 0 3

[16 ,17[ 6 1 0 0 7

marge en X 7 11 15 17 50

écarts types de X et de Y ?

prix Y centre marge en Y

[11 ,12[ 11.5 13

[12 ,13[ 12.5 14

[13 ,14[ 13.5 6

[14 ,15[ 14.5 7

[15 ,16[ 15.5 3

[16 ,17[ 16.5 7

22 YY)Y(V 2

222222

38.1350

7.5.163.5.157.5.146.5.1314.5.1213.5.11

94.238.1350

90985)Y(V 2

71.1)Y(V)Y(

38.13Y

écarts types de X et de Y ?

covariance du couple ( X , Y)?

Y.XY.X)Y,X(COV

XY

4 5 6 7

11.5 0 0 2 11

12.5 0 0 10 4

13.5 0 1 3 2

14.5 0 7 0 0

15.5 1 2 0 0

16.5 6 1 0 0

Y.X50

yxn jij,i

38.1384.550

3826

62.1)Y,X(COV

84.5X 38.13Y

Y a-t-il ajustement affine du couple (X , Y)?Equation de la droite de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés.

)Y()X(

)Y,X(COVr

62.1)Y,X(COV

04.1)X(

71.1)Y( 71.104.1

62.1

90.0r

r ≥ 0.86. L’ajustement affine entre X et Y

est justifié.2

3

62.1)Y,X(COV Soit D : y = ax + b la droite de régression de Y en X

)X(V

)Y,X(COVa 48.1

0944.1

6192.1

XaYb 02.2284.548.138.13

09.1)X(V

38.13Y 84.5X

02.22x48.1y:D

Y a-t-il ajustement affine du couple (X , Y)?Equation de la droite de régression de Y en X par la méthode des moindres carrés.

02.22x48.1y:D 3y 02.22x48.13 85.12x

Avec 3 mille dinars, l’étudiant peut se permettre une voiture dont l’âge est entre 12 et 13 ans

a- Un étudiant n’a que 3 mille dinars. Peut-il acheter une telle voiture? et de quel âge?

b- A quel prix estime-t-on la vente d’une voiture neuve de cette catégorie ?

0x 02.22y On estime à 22.020 mille dinars le prix d’une voiture neuve de cette catégorie.

Ajustement affineet

non affine

Ajustement affineet

non affine

Un laboratoire développe un nouvel antibiotique A.Une personne a reçu le produit actif par voie intraveineuse. Les concentrations du produit dans le sang (mg/l) ont été mesurées à différents temps (en minutes ) après l’injection du produit :

Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240

Concentration x (mg/l)

5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240

Concentration x (mg/l)

5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

34.3x

G(60.75, 3.34)

75.60t

écarts types (t) et (x)?

Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240

Concentration x (mg/l)

5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

34.3x

75.60t 22 tt)t(V 2

2i 75.60

8

t 68.5937

05.77)t(V)t(

22 xx)x(V 36.2

53.1)x(V)x(

22

i 34.38

x

Coefficient de corrélation du couple (t, x) Equation de la droite de régression de x en t?

34.3x

75.60t

68.5937)t(V

05.77)t(

36.2)x(V

53.1)x(

x.tx.t)x,t(COV x.t8

xt ii

34.375.608

15.719 23.113

Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240

Concentration x (mg/l)

5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

)x()t(

)x,t(COVr

53.105.77

23.113

95.0r

34.3x

75.60t

68.5937)t(V

05.77)t(

36.2)x(V

53.1)x(

23.113)x,t(COV

95.0r

Soit D : x = at + b la droite de régression de x en t

)t(V

)x,t(COVa 02.0

6875.5937

2390.113

taxb 50.475.6002.034.3

50.4t02.0x:D

Coefficient de corrélation du couple (t, x) Equation de la droite de régression de x en t?

50.4t.02.0x:D 34.3x

75.60t

t 1 5 10 20 30 60 120 240

x 5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798

00.1z

75.60t

68.5937)t(V

05.77)t(

598.0)z(V

77.0)z(

61.59)z,t(COV

99.0r

Soit D’ : x = at + b la droite de régression de z en t

)t(V

)z,t(COVa 01.0

6875.5937

61.59

tazb 60.175.6001.01

60.1t01.0z:'D

t 1 5 10 20 30 60 120 240

x 5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798

00.1z

75.60t

68.5937)t(V

05.77)t(

598.0)z(V

77.0)z(

61.59)z,t(COV

99.0r

Soit D’ : x = at + b la droite de régression de z en t

)t(V

)z,t(COVa 01.0

6875.5937

61.59

tazb 60.175.6001.01

60.1t01.0z:'D

t 1 5 10 20 30 60 120 240

x 5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

z =ln(x) 1.609 1.558 1.508 1.408 1.308 1.007 0.405 -0.798

60.1t01.0z:'D

60.1t01.0)xln(

60.1t01.060.1t01.0 eeex

t01.0e5x

La concentration du produit actif est donnée par la fonction :f(t) =

t.01.0e5

f(t) = Valeur moyenne de la fonction f sur [ 1 , 240]?

t.01.0e5

240

1

t.01.0 dte51240

1f

240

1

t.01.0e01.0

1

239

5

88.1f

48001.0e5)480(f

88.1f

3) f(t) = c- quelle devrait être la concentration du produit 8 heures après l’injection?

t.01.0e5

34.3x

04.0)480(f

Temps t (min) 1 5 10 20 30 60 120 240

Concentration x (mg/l)

5 4.75 4.52 4.09 3.70 2.74 1.5 0.45

Méthode de MayerMéthode de Mayer

Le tableau suivant donne les valeurs moyennes mensuelles des précipitations (x) en mm de pluie sur Tunis en fonction de la température (t) en °C

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67

Ajustement affine par la méthode de Mayer du nuage des points de la série double (t , x).

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67

Soit G1 le point moyen correspondant aux 6 premières entrées du tableau et soit G2 le point moyen correspondant aux 6 dernières entrées du tableau

6

95t1 83.15

6

231x1 5.38

6

126t 2 21

6

223x 2 16.37

G1(15.83 , 38.5)

G2(21 , 37.16)

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67

Ajustement affine par la méthode de Mayer du nuage des points de la série double (t , x).

G1(15.83 , 38.5)

G2(21 , 37.16)

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67

6

80t1 33.13

6

322x1 66.53

6

141t 2 5.23 6

132x 2 22

G1(13.33, 53.66) G2(23.5, 22)

M(t, x) (G1G2)

016.1066.53x16.3133.13t

54.94t11.3x

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67

066.532266.53x

33.135.2333.13t

6

80t1 33.13 6

322x1 66.53

6

141t 2 5.23 6

132x 2 22

G1(13.33, 53.66) G2(23.5, 22)

M(x, y) (G1G2)

016.1066.53y16.3133.13x

54.94t11.3x

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67

066.532266.53y

33.135.2333.13x

54.9411.3 tx

Mois J F M A M J J A S O N D

temp. t 11 12 13 16 19 24 26 27 25 20 16 12

préc. x 69 46 44 40 23 9 1 9 36 54 56 67