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Complément de connaissances

STATISTIQUES - PROBABILITES – ARITHMETIQUE –CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES

I) STATISTIQUES – MOYENNES

A) Définition  :      La moyenne   !   d’une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par l’effectif total.

! =  !"##$  !"#  !"#$%&'(  "!""!#!"#  ×!"#$%&"

!""!#$%"  !"!#$  =  !!!! +  !!!! +⋯ . .+!!!!

!

Exemple 1 : Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d'interventions par jour sur un mois. On a obtenu la distribution suivante:

 

 

 

 

         ! =   !  ×  !  !  !  ×  !  !  !  ×  !  !  !  ×  !!  !  ×!!!  ×!    !!!!!!!!!!!

      Donc          ! =   !""!"

 =  6,2  

   Exemple 2 : Lorsque les valeurs sont regroupées par classe, le calcul du montant moyen s’effectue en utilisant les centres des classes comme valeurs de la variable x  i.  

Pour un échantillon de 60 véhicules, on connaît le nombre de km parcourus :

Km ( en milliers) [0 ; 20 [ [20 ; 40 [ [40 ; 60 [ [60 ; 80 [

Effectif 7 24 20 9

Nb d'interventions xi 3 5 6 7 8 9

Nb de jours ni 2 4 9 6 3 1

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! =   !  ×  !"  !  !"  ×!"!!"  ×!"!!  ×!"    !!!"!!"!!

        Donc          ! =   !"!#!"

 ≈ 40,33      

Le nombre moyen de kilomètres parcourus par un véhicule est de 40 333 kilomètres environ.

B) Propriétés de la moyenne :

Propriété 1 : La moyenne est la valeur théorique que prendraient toutes les valeurs si elles étaient égales.

Propriété 2 : Si on multiplie chaque valeur de la série statistique par un réel a (a non nul), alors la moyenne est multipliée par a.

Propriété 3 : Si on ajoute à chaque valeur de la série statistique le réel b, alors la moyenne augmente de b.

Propriété 4 : Si une série est partagée en deux séries d’effectifs N et P, de moyenne ! et !, alors la moyenne de la série totale est :

! = !  ×  !  !!  ×  !  

!!!

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II) PROBABILITES

A) Calcul de probabilités

Propriété : Dans une expérience aléatoire :

La probabilité p(A) d’un évènement A vérifie : 0 ≤ p(A) ≤ 1

La somme des probabilités des évènements élémentaires vaut 1.

La probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le constituent.

Remarques : La probabilité de l’évènement vide vaut 0 : p(∅) =0

La probabilité de l’évènement certain vaut 1 : p(Ω) =1

Définition : Lorsque, dans une expérience aléatoire, toutes les issues ont la même probabilité de se réaliser, on dit que l’expérience est équiprobable. Propriété : Lors d’une expérience aléatoire ayant n issues équiprobables :

    La probabilité de chaque évènement élémentaire est !!

La probabilité d’un évènement A est :  

p(A)  =  !"#$%&  !"  !"#  !"#$%"&'()!"#$%&  !"  !"#  !"##$%&'#

   =    !"  !"  !"#  !é!"#$!!"  !  !

 

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B) Évènement contraire

Définition : On appelle évènement contraire d’un évènement A, l’évènement noté A qui contient l’ensemble des évènements élémentaires n’appartenant pas à A.

Propriété : La probabilité de l’évènement contraire d’un évènement A est : p(A) = 1 – p(A)

     

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III) ARITHMETIQUE

A) Multiples

Définition : Un entier a est appelé multiple d’un entier b non nul si:

Il existe un entier k tel que :  a  =  b  ×  k  

 

Propriétés : 0 est un multiple de tout entier Tout entier est multiple de lui-même et multiple de 1

Si a  et b sont des multiples de c       Alors a  +  b  est un multiple de c

Si a  et b  sont des multiples de c       Alors a  –  b    est un multiple de c

Si a  et b  sont des multiples de c       Alors a  × b  est un multiple de c

Si a  est un multiple de b Alors tout multiple c de a est aussi multiple de b

B) Diviseurs

Définition : Un entier a non nul est appelé diviseur d’un entier b si :

Il existe un entier k tel que : b  =  a  ×  k  

Remarque : les expressions suivantes sont équivalentes :

a est un multiple de b ó b est un diviseur de a ó b divise a

Propriétés :

Tout entier est un diviseur de 0 et de lui-même

Tout entier est divisible par 1

Si c est un diviseur de a et c est aussi un diviseur de b

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Alors c est un diviseur de (a  +  b) et de (a  –  b)

Si a est un diviseur de b et si b est un diviseur de c Alors a est un diviseur de c

Remarques : (démonstrations à savoir faire)

Tout entier divisible par 2 est appelé pair ; sinon il est impair

La somme de deux nombres pairs est un nombre pair

La somme de deux nombres impairs est un nombre pair

Le produit de deux nombres pairs (resp. impairs) est un nombre pair (resp. impair)

Le carré d’un nombre pair (resp. impair) est pair (resp. impair)

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IV) CALCUL D’AIRES ET DE VOLUMES

A) Unités de mesure

Unités  de  longueur  

km hm dam m dm cm mm

 

Unités  d’aires  et  unités  agraires  

1 m² = 100 dm² = 0, 01 dam² 1 hectare (ha) = 1 hm²

1 are (a) = 100 m²

1 centiare (ca) = 1 m²

km² hm² dam² m² dm² cm² mm² ha a ca

Unités  de  volumes  et  de  capacité  

Les m3 sont des unités de volume. Les Litres (L) sont des unités de capacité

1 m3 = 1000 dm3

1 L = 1 dm3

1 m3 = 1 000 L

1 L = 100 cL

1 cm3 = 0,1 cL

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 hL daL L dL cL mL

 

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Unités  de  masse  

1 tonne (t) = 1 000 kg

1 quintal (q) = 100 kg

1 kg = 1 000 g

t q . kg hg dag g dg cg mg

 

B) Formulaire – figures planes

Définition : le périmètre d’une figure plane est la longueur de son contour, une unité de longueur étant choisie.

carré rectangle losange

Aire = c²

Périmètre = 4c

Aire = L×l

Périmètre = 2(L+ l)

Aire = !  ×!

!

Périmètre = 4c

parallélogramme triangle trapèze

Aire = b×h Aire = b×h2 Aire =(B+b)

2 ×h

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disque

Aire = πr²

Périmètre= 2 πr