G. AUVINETInstitujo aefnlg.;ffi

Cd. Universitaria

R. MELLAH

T, À{ASROURII ab aratoire EnvironnementGéamécanique et OuwagesEcole Nation ale Supérieurede Géologie, INPL, JVancy

J. N RODRIGUEZInstituto de Ingenieria

IJN , Mexrco

rypm: les drscussions qurcet article sont acceptées

jusgu'au 7u' aotrt 2001.

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The stochastic finite element methodin geotechnical engineering

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Laméthode des éléments finisstochastiquesen géotechnique

Cet article présente différentes techniques permettantd'appliquer la méthode des éléments finis stochastiques(MEFS) aux ouvrages géotechniques. La MFES a pour butd'évaluer la marge d'erreur sur les résultats desmodélisations numériques du comportement de cesouvrages, compte tenu des diverses incertitudes quiaffectent ces modélisations et, en particulier, de celles quiportent sur les paramètres du sol. On montre comment laméthode des éléments finis peut être couplée à destechniques probabilistes telles que la méthode de Monte-Carlo ou les diverses techniques de perturbation, ycompris les méthodes du ( premier ordre-secondsmoments >r et la méthode des estimations ponctuelles. Lesavantages et les inconvénients de ces diverses techniquessont examinés. L'application de la MEFS est brièvementillustrée par des analyses d'incertitude sur le champ decontraintes dans une structure simple et sur le champ desdéplacements dans un remblai. Les résultats de cesanalyses et d'autres similaires qui seront présentées dansde prochains articles montrent que la MEFS, malgré seslimites actuelles, permet aux ingénieurs géotechniciensd'introduire un degré de réalisme supplémentaire biennécessaire dans les modélisations aux éléments finis.

Mots-clés ; géotechnique, incertitude, méthode deséléments finis stochastiques, sols, méthode de MonteCarlo, techniques de perturbations.

This paper presents several techniques making it possible toapply the Stochastic Finite Element Method (SFEM) togeotechnical structures. SFEM can be used for assessing theerror margin on the results of numerical modeling of suchstructures, taking into account the main uncertainty sources,including those concerning soil parameters. As shown in thepaper, the Finite Element Method can be coupled withprobabilistic techniques such as the Monte-Carlo Method anddifferent perturbation techniques including the First Order-Second Moment method and the Point Estimate method. Theadvantages and limitations of these different techniques arediscussed. The application of the SFEM is briefly illustrated byanalyses of uncertainty on the stress field within a simplestructure and on the displacement field within an embankment.The results of these analyses and those of similar ones that willbe presented in future papers show that, in spite of its currentlimitations, the SFEM can help geotechnical engineers tointroduce a quite necessary additional degree of realism inFinite Element modeling.

Key words i geotechnical engineering, uncertainW, stochasticfinite element method, soils, Monte Carlo method, perturbationtechniques.

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN" 93

4 trimestre 2000

-

lntroductionL'application de f informatique et de méthodes

numériques telles que les différences finies ou les éIé-ments finis a connu un large développement dans Iedomaine de la modélisation des déplacements, défor-mations et contraintes dans les sols et les ouvrages enterre.

Cependant, les sources d'incertitude dans les ana-lyses aux éléments finis en géotechnique sont nom-breuses. Le choix des paramètres des lois de compor-tement à introduire dans le calcul est particulièrementdélicat. Les propriétés des sols naturels ou compactésprésentent généralement des variations spatialesimportantes et les techniques directes ou indirectes uti-lisées pour les déterminer sont souvent peu fiables.Aux incertitudes sur les propriétés, s'ajoutent cellesconcernant les sollicitations, les conditions aux limiteset Ia méthode de calcul elle-même. On s'accorde engénéral à reconnaître que les incertitudes les plusgraves sont celles induites par une mauvaise connais-sance des propriétés des sols.

Les techniques statistiques et probabilistes permet-tant d'évaluer l'incertitude sur le comportement dessols et des ouvrages liée aux diverses incertitudes citéesci-dessus dans les analyses aux éléments finis portentglobalement le nom de < méthode des éléments finisstochastiques ) (MEFS). Comme on le montre dans cequi suit, les différentes techniques disponibles pour lamise en æuvre de Ia MEFS ont leur domaine d'appli-cation, leurs limitations et leurs mérites respectifs. Lesexemples présentés montrent par ailleurs que les résul-tats ffiiques obtenus par la MEFS sont souvent d'inter-prétation délicate.

Les premiers travaux sur l'application de la MEFS àla géotechnique ont été exposés par Cambou et Auvi-net (1,974, 1.975, 1977). lJn logiciel a été développé pourl'analyse stochastique des déplacements et descontraintes dans le sol au cours des excavations réali-sées pour la construction du métro de Mexico. Uneméthodologie analogue a été utilisée par Baech er et al.(1981) pour l'étude des incertitudes sur les tassementsdes fondations. Un logiciel de MFES a été développépar Magnan (1987) (Code de calcul PROBEF). Magnanet aI. (1995) ont par la suite appliqué la MEFS à l'analysede la consolidation uni- et bidimensionnelle des solssous une semelle isolée. Orlandi (1996) et Bouayed(1,997) ont abord é I'analyse stochastique des barragesen terre en utilisant la méthode FOSM en élasticitélinéaire et non-linéaire mais en se limitant dans ce der-nier cas aux incertitudes sur les déplacements. Mellah(1999) a présenté une évaluation de l'applicabilité de laméthode au cas des analyses par éléments finis enélasto-plasticité.

Dans 1e domaine des écoulements en milieuporeux obéissant à la loi de Darcy, Griffith et al. (1993)ont étudié l'influence de la variabilité spatiale de laperméabilité sur I'écoulement de l'eau sous un bar-rage par simulation de champs stochastiques. Parailleurs, Bencheikh (1994) et Lôpez Acosta (1999) ontappliqué la méthode des éléments finis stochastiquesà l'étude des écoulements souterrains dans desmilieux à perméabilité incertaine décrite au moyen devariables aléatoires.

E

en géotechnique

ô8REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN'934e trimestre 2000

Les incertitudes dans les analysesaux élënents finis

ffiLes principales sources d'incertitude

Si, pour les structures, la diversité des matériaux estrelativement réduite et leurs propriétés sont mainte-nant assez bien connues, à l'opposé, la mécanique dessols doit s'accommoder de matériaux que la nature adotés de caractéristiques complexes et variables dansl'espace et dans le temps et dont la mesure est délicate.De ce fait, les paramètres mécaniques que l'on doitintroduire dans les calculs en géotechnique, et en par-ticulier dans ceux réalisés par la méthode des élémentsfinis, sont souvent mal connus. On doit ajouter à celales incertitudes sur les sollicitations et les conditionsaux limites ainsi que l'erreur que peuvent introduire leshypothèses et approximations du modèle mécaniqueutilisé. Les incertitudes associées aux erreurs humainespeuvent également être extrêmement importantes maiselles échappent en général aux modélisations probabi-listes ou autres.

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Incertitudes sur les paramètres mécaniques des sols

La connaissance des lois de comportement des solsnaturels ou compactés joue un rôle fondamental dansles calculs de la géotechnique et en particulier dans lesanalyses aux éléments finis effectuées en vue de ladétermination des champs de déplacements,, decontraintes et de déformations au sein des ouvrages etde leur environnement. Les paramètres de la loi decomportement (élastique linéaire ou non-linéaire, élas-toplastique, viscoélastique) sont souvent estimés à par-tir de l'expérience, de corrélations avec les propriétésphysiques et, dans le meilleur des cas, à partir d'unnombre limité d'essais en place ou au laboratoire. Il estclair que l'on doit distinguer deux types d'incertitudes :

celles qui sont associées aux variations spatiales etcelles qui sont dues à la mesure ou à l'estimation desparamètres d'un élément de sol donné.

. Variabilité spatialePar nature, les sols sont des matériaux hétérogènes,

leurs propriétés mécaniques et physiques présententune variation souvent considérable d'un point à l'autredu milieu géotechnique étudlé . La connaissance de ]agéologie du site ou du procédé de construction del'ouvrage permet en général de définir des sous-domaines à caractéristiques à peu près homogènes. Ilpeut ne s'agir toutefois que d'une homogénéité statis-tique dissimulant des variations spatiales souvent trèssignificatives. II est donc nécessaire de reconnaître queles propriétés des sols sont des fonctions aléatoiresspatiales.

o Incertitudes sur Ies mesures et estim ationsdes paramètres

Les lois de comportement courantes sont desmodèles qui donnent du comportement réel du sol une

description plus ou moins satisfaisante. Dans Ia plupartdes cas, les courbes expérimentaies décrivant Ie com-portement du sol au cours d'essais de laboratoire ou enplace sont ajustées à celles prévues par modèle choisi,afin de déterminer les paramètres mécaniques du solconsidéré. L'écarT observé entre le compoftement réeldu sol et la réponse du modèle choisi est dû principale-ment:

- ar.lx erreurs aléatoires commises lors des essais réali-sés ;

- aux erreurs systématiques dues à un biais dans lamesure, souvent inhérent à l'essai réalisé {on observepar exemple des différences systématiques entre larésistance au cisaillement mesurée au scissomètre et autriaxial) ou Iié au remaniement des échantillons etautres facteurs similaires.

Un biais peut également être introduit lorsque la loide comportement ajustée est choisie de façon trop arbi-traire et surtout quand les paramètres du sol sont esti-més de façon subjective fiugement d'expert) ou à partirde corrélations statistiques entre propriétés physiqueset mécaniques. Ce biais, le plus souvent mal connu, doncaléatoire, peut être additif (résultat de l'essai ou de l'esti-mation valide à une constante aléatoire près) ou, le plussouvent, multiplicatif (erreur systématique aléatoire pro-portionnelle au résultat de la mesure ou de I'estimation).

Incertitudes sur les sollicitations et conditions ôux limites

Les forces extérieures et les forces de volume àprendre en compte dans Ies analyses géotechniquesréalisées par la méthode des éléments finis, sont sou-vent elles aussi mal connues. Il en est ainsi des forcestectoniques ou des contraintes transmises au sol par lesfondations, fréquemment estimées à partir de des-centes de charges approximatives. Les conditions auxlimites elles-mêmes ne peuvent souvent être représen-tées que de façon approchée. Les incertitudes ainsiintroduites sont souvent difficiles à évaluer. Si l'on dis-pose des éléments nécessaires, ce type d'incertitudepeut être représenté par un vecteur de variables aléa-toires susceptibles d'être prises en compte dans lesanalyses stochastiques (Cornell, 1971).

ffiffilncertitudes sur la méthode de calcul

Il existe des méthodes théoriques pour déterminerl'erreur implicite dans Ies analyses aux éléments finis apriori et a posteriori (Mestat et Prat, 1999). On trouvepar ailleurs dans la littérature, mais relativement dis-persées, diverses études de sensibilité sur les diffé-rentes caractéristiques d'une modélisation numérique(maillages, méthode d'intégration, critère de plasti-cité...). En général, ces études ne sont pas réalisées demanière systématique et ne se prêtent donc guère autraitement probabiliste et statistique, qui permettraitune étude des facteurs susceptibles d'introduire unbiais dans les calculs aux éléments finis. L'approche dece problème est souvent empirique et passe par Ia vali-dation des résultats sur essais, ouvrages types, etouvrages réels. Si Ies éléments nécessaires sont réunis,ii est toutefois possible de représenter l'erreur sur Iaméthode de calcul au moyen d'un terme aléatoired'erreur multiplicatif ou additif (Cornell, 1971).

Conclusion

Nous avons souligné l'importance que peuventrevêtir les incertitudes sur les propriétés du sol, maisaussi sur les sollicitations, les conditions aux limites etsur Ia validité du modèle lui-même dans ]es analysesaux éléments finis. Il semble qu'en géotechnique, leplus souvent, l'incertitude sur les paramètres méca-niques des matériaux considérés soit la plus impor-tante. Dans la suite, nous nous intéresserons donc plusparticulièrement à la modélisation de cette incertitudeen vue de sa prise en compte dans les analyses aux éIé-ments finis.

ffiModélisation de l'incertitudesur les propriétés des sols

Champ stochastique

Soit V (n, la valeur prise par une propriété du soldonnée au point X d'un domaine RP (p = 1,2,3). Enchaque point, cette valeur, en général non ou malconnue, peut être considérée comme une variable aléa-toire. L'ensemble des variables aléatoires du domaineconstitue un champ stochastique qui peut être décrit aumoyen des éléments suivants :

. Espérancemathématique :

. VariarTce :

o Auto-corrélation :

. Coefficient d'auto-corrélation :

.- (u,X")Prr(x1,xr)=m

Ce coefficient représentesée, adimensionnelle, dontprises entre - 1 et + 1.

o Fonction de distribution

c Auto-covariâDCe :

c,, (x,, X| = r[["(".) - Lr,,,u \)[r (xr)- u"(r,))l @)-/ L\ \ '/ ' u\o1l /\ \ 't , -r/J

Les deux fonctions précédentes représentent ledegré de dépendance linéaire entre les valeurs des pro-priétés mesurées en deux points différents dans ledomaine considéré.

Fu,*r,,r(x),..., v(xn) (v,, v,,"',' Vn ; Xt, x,( u' V(Xz) s u r,..., V(X,) s v,)l

Vvut - EIV(nl (1)

6'u,r, - Varlv(nl (2)

Rvv(Xl, Xr) - EIV(X1)V(X2)] (3)

(5)

I'auto-covariance normali-les valeurs restent com-

cumulée de probabilité :

. . ., Xn) = P[(V(X1)

(6)

On suppose le plus souvent en pratique que lechamp présente une certaine régularité. On admet qu'ilexiste une homogénéité statistique, quitte à subdiviserle milieu en plusieurs sous-domaines. L'hypothése sim-plificatrice la plus courante est celle de la stationnaritéau sens large. L' espérance est considérée commeconstante dans le domaine étudié, éventuellementaprès élimination d'une dérive, et l'on admet que l'auto-

69REVUE FRANçAIsE oE cÉorucHNteuE

N" 934e trimestre 2000

covariance dépend uniquement de Ia distance vecto-rielle t entre les points X, et X, on a alors :

C*6r, Xr) = Cr, (Xr- Xr) - Cw(Xz- Xr) = C* (r) (ou plussimplement C (r)) (7)

À l'origine, cette fonction n'est autre que la variancede V (n.

VarlV(X)l = C (O)

et le coefficient d'auto-corrélation s'écrit comme suit :

pw (X' Xr) - pw (u) ou plus simplement p G) (g)

La représentation graphique de cette fonction reçoitsouvent le nom de a corrélogramme )).

Sous le même formalisme mathématique, l'interpré-tation donnée à ce champ peut être extrêmementvariable. Suivant le sens attribué au concept de proba-bilité, qui doit bien sûr être clairement défini avanttoute analyse probabiliste, on est amené en fait à consi-dérer plusieurs types de champs aléatoires.

a) Champs estimatifsLorsque les propriétés des sols sont estimées à par-

tir d'opinions basées principalement sur l'expérience etles observations d'un expert, le champ stochastique estde type estimatif. Ses paramètres doivent alors refléterles connaissances mais aussi f ignorance de l'expert.Cette situation est courante en géotechnique car il n'estpas toujours possible de réaliser un nombre de mesuressuffisant pour pouvoir s'affranchir d'opinions large-ment subjectives. Dans ce cas, les probabilités reflètentavant tout le rc degré de confiance ) (degree of belieflque méritent les estimations avancées par l'expert.

Au moment du projet des ouwages en terre, on nedispose bien entendu d'aucunes données sur la varia-bilité spatiale des propriétés, à l'exception du zonagegénéral prévu par le projet lui même. Dans cette situa-tion, qui est une de celles où Ia modélisation stochas-tique présente le plus grand intérêt, seul l'emploi d'unchamp estimatif reflétant les incertitudes a priori sur lespropriétés des matériaux des différentes zones est alorspossible.

b) Champs descriptifs de Ia variabilité spatiale

Lorsque l'on dispose d'un nombre suffisant demesures fiables sur la variabilité spatiale des proprié-tés du sol, le champ aléatoire peut être de type descrip-tif et être utilisé pour décrire les incertitudes rési-duelles. Les paramètres du champ peuvent alors êtreestimés par analyse statistique des données. C'est ledomaine de Ia géostatistique au sens qui lui a été donnédurant ces dernières décennies. Dans ce cas, les pro-babilités doivent être interprétées en termes de fré-quence relative. On soulignera que les champs sto-chastiques décrivant la variabilité spatiale despropriétés des sols ne sont connus que par f intermé-diaire de mesures ou d'estimations qui sont elles-mêmes entachées d'incertitude. On ne peut donc avoiraccès qu'à un champ apparent dont les caractéristiquesdiffèrent de celles du champ réel.

Dans la pratique de la géotechnique, l'utilisation deces champs descriptifs se heurte souvent à de sérieusesdifficultés pour les raisons suivantes :

- l'estimation des paramètres du champ doit suivre lesrègles applicables à Ia prise d'échantillons représenta-

tifs aléatoires ou systématiques (Cochran, 1977). Il estcourant en géotechnique que le nombre de donnéesdisponibles ne soit pas suffisant pour que l'estimationsoit précise ; une erreur de type statistique est alorsintroduite dans l'estimation ;

- à l'inverse, quand les données sont nombreuses etfiables, il devient possible d'estimer les paramètres duchamp avec précision mais c'est alors toute l'approcheprobabiliste de la variabilité spatiale qui perd de sonintérêt du point de vue de l'ingénieur;- la corrélation entre les valeurs du champ associées àdeux points du milieu n'est pas une propriété intrin-sèque de ces deux points. Elle dépend bien entendu dudomaine (population) dans lequel elle est définie etduquel elle ne peut être dissociée. Ainsi, dans un milieufortement contrasté du point de vue stratigraphique,les propriétés de deux points appartenant à une mêmecouche peuvent être fortement corrélées, mais ne plusl'être du tout dans une analyse de corrélation ne por-tant plus que sur la couche où ils se trouvent. Un son-dage trop court ou des mesures faites dans un seul planhorizontal ou tout autre zorTe particulière du sol peu-vent donner une image totalement incorrecte de lavariabilité et de la structure de corrélation del'ensemble du milieu ;

- à défaut de mesures, il est parfois possible d'estimerl'ordre de grandeur des distances d'auto-corrélation.On dispose maintenant de nombreux résultats obtenussur différents types de sols mis en place par diversestechniques et concernant en particulier la portée oudistance d'influence de la corrélation (Rossa, 19BB ;

Fawe, 19BT ; Cherubini, 1993). Il est toutefois indispen-sable que les conditions géotechniques du site étudiésoient vraiment similaires à celles des sites où lesmesures ont été réalisées pour que ces valeurs puissentêtre adopté€S ;

- remarquons par ailleurs que les champs stochas-tiques tridimensionnels ne peuvent être pris en comptedans les analyses courantes aux éléments finis endéformation plane. En effet ce type d'analyse supposeune homogénéité parfaite dans la direction perpendi-culaire au plan de l'analyse, ce qui contredit l'hypo-thèse de variation aléatoire spatiale.

c) Champs mktesEn pratique, la situation est souvent intermédiaire

entre les deux précédentes. Les propriétés des sols sontdéfinies par une combinaison d'opinions (probabilités apriori) et de résultats expérimentaux qui peuvent êtreintroduits dans une analyse bayésienne explicite ouimplicite permettant de définir des probabilités a pos-teriori (tenant compte des mesures). L'interprétationdonnée au concept de probabilité devient dans ce casplus ambigu mais ce concept reste malgré tout utiledans la pratique (Divtlevsen, 1996).

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Discrétisation pour les analyses aux é\,ëments finis

Pour introduire f incertitude sur les propriétés dessols dans un modèle de calcul, il est nécessaire de pas-ser de la représentation du champ aléatoire continu àun nombre limité de variables aléatoires. C'est ainsique, pour les calculs aux éléments finis, on dewa fina-lement associer à chaque élément ou groupe d'élé-ments correspondant à un volume de sol donné, des

(B)

70REVUE FRANçAIsE DE cÉorecHntourN" 934e trimestre 9000

paramètres mécaniques aléatoires représentatifs. Leproblème de la définition de ces valeurs représentativesest délicat car il est souvent de nature tout autant méca-nique que statistique. Les méthodes de discrétisationles plus courantes ignorent en fait l'aspect mécaniquedu problème qui ressort des techniques d'homogénéi-sation.

Soit V (n; X e Ç), un champ aléatoire multidimen-sionnel, défini dans un domaine Q et représenté parson espérance pv (n, sa variance "iV) et son coeffi-cient d'autocorrelation pw (X, X'). V est le vecteur desvariables qui permettent de représenter le champ sto-chastique, défini par un vecteur moyen lt eT une matricede covariance T,ru. 11 existe diverses méthodes de dis-crétisation reliant V (n àV (Der Kiureghian et al.,19BB).Nous n'examinerons ici que les plus simples.

. Méthode des points moyensLa valeur du champ dans le domaine O^ d'un élé-

ment ou groupe d'éléments est décrite pani.r. simplevariable aléatoire représentant la valeur au point cen-tral du sous-domaine consid éré :

"(") -v(x.) avec xe Q" (10)

Le vecteur V est formé par toutes les variables a\éa-toires V (X) des sous-domaines considérés. La réalisa-tion du champ ainsi définie est une fonction en escalierprésentant des discontinuités aux frontières des élé-ments.La moyenne et la matrice de covariance du vec-teur sont données en fonction de la moyenoe, de lavariance et des coefficients d'auto-corrélation duchamp, évalués au centre de gravité des sous-domaines.

. Méthode des moyennes spatialesCette méthode a été proposée par Cornell (1971),

puis reprise par Vanmarcke et al. (1983). Le champ estdécrit à l'intérieur du sous-domaine consid éré par lamoyenne spatiale du charnp :

l'abandon de la modélisation par champ stochastiqueet son remplacement par une modélisation plus simplepar variables aléatoires.

o Valeurs ponctuelles et moyennes spatialesdéfinies dans des champs conditionnels

Dans les paragraphes précédents, oh a supposé quele modèle stochastique de l'incertitude spatiale avait puêtre étabh à partir de certaines données ponctuelles oucontinues (sondages) et on a examiné ses possibilitésd'utilisation pour les modélisations stochastiques dansles analyses aux éléments finis. Cette approche ignorele fait que l'existence de ces données réduit considéra-blement l'incertitude au voisinage des points où ellesont été obtenues. 11 est évident que l'on peut fairemieux et estimer les paramètres à attribuer aux é1é-ments finis ou groupes d'éléments finis en prenant encompte directement les résultats des mesures. C'estl'objectif des techniques d'estimation conditionnelle,telles que Ie krigeage (Matheron, 1971) qui peuvent êtreutilisées pour associer à chaque point du milieu uneespérance et une variance conditionnelle de la pro-priété consid érée ou pour attribuer à chaque sous-domaine considéré (élément fini ou groupe d'élémentsfinis) une espérance et variance conditionnelle de lavaleur moyenne de cette propriété sur ce sous-domaine.

:: :::::: |::::: | |:: |::: |:: r::: |: |: |:::::: l: |: |: I l::: |: |: i |: |: |: |: |: |: |: |.: : : : :::: ::::: j : : : |: |: |: |: |:: : : ::: i |: |::::: |:

Conclusion

Les mesures et estimations et la variabilité spatialedes propriétés des sols introduisent une incertitudeimportante dans les analyses aux éléments finis.L'incertitude sur les propriétés des sols peut être repré-sentée par des champs stochastiques. Néanmoins, dansla pratique, la description de f incertitude devra finale-ment être réalisée au moven d'un nombre limité devariables aléatoires.

ELa méthodedes élénents finis stochastiques

Le couplage entre les méthodes probabilistes et laméthode des éléments finis a donné naissance à la< méthode des éléments finis stochastiques I (MEFS).Les techniques permettant d'appliquer la méthode deséléments finis stochastiques (MEFS), peuvent généra-lement être divisées en deux catégories (Teigen et al.1991) : les méthodes des perturbations et les méthodesde simulation. Par ailleurs, la méthode peut être cou-plée avec un calcul de fiabilité (Flores, 1994; Lemaire,1997).La littérature consacrée au développement de cesméthodes et, dans une moindre mesure, à leurs appli-cations dans différents domaines est abondante. Nousciterons entre autres : Vanmarcke et al. (1983) et Bittnar(1ee6)

ffiMéthode des perturbations

La méthode des perturbations est basée sur unereprésentation simplifiée des fonctions de distribution

Jv(x)ao"

"(") -V,=? avec Xe {)"

Jdt"ç)e

(11)

L'ensemble des valeurs moyennes V, des variablesaléatoires forme le vecteur V; les valeurs statistiques petT* (espérance et matrice de covariance) du vecteur Vsont obtenues par intégration des moments du champaléatoire.

La variance de la valeur moyenne d'une propriétéaléatoire dans un domaine donné tend à diminuerquand les dimensions du domaine considéré augmen-tent (sauf dans le cas trivial de la corrélation parfaite).Dans Ia littérature , ce phénomène est connu sous lenom de a réduction de variance >. Dans la mesure oùl'on a recours à des moyennes spatiales pour les calculsaux éléments finis, les incertitudes résiduelles les plussignificatives sont donc souvent celles correspondantaux biais des tests ou des corrélations, qui eux ne souf-frent pas de réduction de variance, ce qui peut justifierdans de nombreux cas, au moins en géotechnique,

71REVUE FRANçAIsE DE cÉorectNreue

N. 934e trimestre 2000

de probabilité de fonctions de variables aléatoires, âumoyen des nièmes premiers moments (le nombredépendant de la technique utilisée). L'estimation de cespremiers moments est obtenue en ajoutant à un termecentral moyen les effets n perturbateurs ) introduits parchaque variable aléatoire considérée séparément.

':|||i|:|:||:|:|:||||||::|::i::||||||||:|!.::|:|i!.|'|i't:tti:i::t:itititt:ttitit:t:ttttttttt:!:.:t:ttir.t-tit::r:::: i:::i....:. r:r:i::r :::::r:r:r:r r:j:j:j:r:ir:::l

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|:::::::::|:|:|:::::::::::::::::::j:::::i::::|.|.:':::':::.::|:::|;l:::j:::::'j:::|:::|::::::::::::|:|:|:::::::::|:|:j:j:|:|:|:j:::I

Méthode classique des perturbations (Mathews, 1964)

La méthode est basée sur l'approximation de la den-sité de probabilité d'une fonction de variable aléatoire àpartir du développement limité en série de Taylor decette fonction.

La résolution du système d'équations de base de Iaméthode des éléments finis en élasticité linéaire permetde déterminer le vecteur du champ des déplacementset par conséquent ceux des contraintes et des déforma-tions

{Ll : tKl-' {F}

âVEC :

{t/} , vecteur du champ de déplacements aux næuds dusystème ;

{B : vecteur des forces extérieures et volumiques appli-quées aux næuds ;

[K] : matrice de rigidité fonction du vecteur de variablesaléatoires x - (xu xr, ..., x)'qui représentent les aléasdu système.

Si Ies aléas sont assez petits et présentent unemoyenne nulle, la matrice de rigidité peut se mettresous Ia forme :

La détermination des deux premiers moments de laréponse et de leurs intervalles de confiance dépend dudegré d'approximation de la fonction considérée :

Si l'approximation souhaitée est du premier ordre,Ie vecteur du champ des déplacements s'écrit commesuit :

avec:E lU- {lJo}

(17)

(18)

Une fois tISl- 1 déterminée, oD peut évaluer tous les

déplacements {Lp}, {rL' l { U!!I. De la même façon, onL rJ,l-uJ

peut déterminer les vecteurs du champ des contraintes{o} et du champ des déformations {e} à partir des équa-tions de la théorie d'élasticité.

et cov,lr,ul _r[({r} -E'[r])({r}) -E'trl)]

=Ëitri l{ri}'[ *,,"i):4:4

{r} -{'o}.I{'i}",;-1

{r} ={ro}.i{rl},,*:iit ui\ xi+ (20);-4 ;-4 ;-4'_ll_l|_]

(12)

(13)

Si l'approximation est du deuxième ordre, le déve-Ioppement en série de Taylor jusqu'au troisième termenous permet d'écrire :

(1e)

(21)["] -["0].i["1 ],,* +ii[";],,"r+

i='l ! i=I j=1

itu'v,*Lttlr';]", " j+:4 1:4:4t-t t-t t-l

{ri}, {';}d'équations

tuttl = [K'] ({r,;'} - tril{uj} - trjl{ul} - t"f l{r'})]2

L"U

avec , Etr[r] - E'[r] .:ËË[t|",xi*

n : nombre de variables aléatoires,

tISl : matrice de rigidité évaluée en x - (x' xz, ..., *n)'- 0.

f f jl ., [f j.'1 I ' dérivées partielles de Ia matrice de rigi-L 1l L uldité [K], définies pâr :

rrafrl-,',à'frlfrll= -L"Jl__n

frj, l- r r;L ,l àx,l*=o; L^^i l- d"Nl x=o (14)

I

Le vecteur du champ de déplacements tU prendalors la forme suivante :

Les vecteurs des coefficients {LP},

évalués après avoir résolu le systèmevant :

{L,p} = []31-1 {Ip}

(15)

sont

sui-

(16)

,nnnncov"lr,u] - cov'lu,ul +1tLl>trf l{ufl]J 4 ? t=,

k=1 r=1

(t[ x i,x,]u[ x j,"u ] + E[",, " ult[" ,,",]) Qz)

L'application de cette méthode demande bienentendu le calcul de toutes les dérivées partielles pre-mières et secondes de la matrice de rigidité.

l:iiliiïiili+iiiiiiliiiiiiiiliïiiiilr;lriiiiiii:i:ii,iriiiiiiii

Méthode du premier ordre - seconds moments(FOSM ; Cornell, 1971)

La méthode FOSM, proposée par Cornell (1971), estégalement basée sur le développement en série de Tay-Ior. Le caractère aléatoire est analysé en termes d'espé-rance mathématique, de variance et de covariances desparamètres.

Le principe de cette méthode est d'approximer ladensité de probabilité d'une fonction d'une variablealéatoire, g&), en remplaçant cette dernière par lesdeux ou trois premiers termes de son développe-ment en série de Taylor au voisinage de Ia moyennede x,.

[r'] '({.'}-["t]{"'})

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN'934e trimestre 2000

e(*,) - s(u.,) * (t, - F*,)[9]L ' Jltx;

r t2, (ti-F*i)-la'r(",)l-:rr2L'Jpx;

et:

Covl, o ,, ,f =âà[*],'[*],

varruor=ià[*]" l-tx;

ds k1a&l

'/.1

It,i : la valeur moyenne de la variable aléatoire x,.

On peut distinguer les cas suivants :

Dans le cas d'une fonctioû y - g(x) d'une seulevariable aléatoire x (et éventuellement d'autresvariables non-aléatoires), l'expression (23) prend laforme suivante :

Covlx,,rif (3t1

xj

Remarquons que cette méthode ne permet d'obte-nir la forme exacte de la densité de probabilité quedans le cas où celle-ci est gaussienne.

. Application de Ia méthode FOSM en éIasticitéIinéaire (Cambou, 1977)

Pour un milieu continu et isotrope et suivant une ]oide comportement élastique linéaire, le principe de basedes éléments finis en élasticité est la résolution du sys-tème d'équations (12) :

{t4 = [K-'(xuXr,...,xn)l{E = {g(x'x2,...,x)}Il est possible d'estimer les premiers moments, ainsi

que les covariances des divers résultats de l'analyse, ense basant sur le développement en série de Taylord'ordr e 2 :

EIU kl - Elg *8r, xr,. . ., xn)l = g o}-r^., F*,r,. . ., Fxn GZ)

En dérivant les équations du système, on obtient :

{Fr} - [K] {Ur} = {UJ (35)

avec , [u"] = '{'} ., {e.} = -*}{ulL'r I-E L^ f J - a", l"J

{U ) et tQ définissent respectivement des déplace-ments et forces fictives qui peuvent être utilisés pourobtenir les dérivées partielles des déplacements parrapport à chaque paramètre aléatoire en ayant recoursau même algorithme que pour la résolution du système(12). Ces dérivées partielles peuvent alors être inséréesdans les équations (32) à (34).

On voit que la méthode se ramène en fait à celle desperturbations classiques.

De la même façon, pour l'estimation des incerti-tudes sur les contraintes, on obtient, en dérivant le sys-tème d'équations général de l'élasticité par rapport auxcaractéristiques aléatoires du milieu :

y-g(") -o(u^) .( x-'")[+]'L dx

)u^

*(*-u.)'f{441 +2 L àx2 )u.

et:

u[u] -E[n(,)] = sU,-)* +f+91 ,cÂ,z t àx2 Ju" Q5)

var[u] = var[n(")] = "rl#)'),, (26)

Si la fonction dépend de plusieurs variables aléa-toires y - g(x' x2..., x),le développement en série deTaylor donne :

.+Ëi[+9] covtx,*,11 tÂÂl àx,âxi

)u,ou* i

varlr] = var[n('1,x2, x")] =ËË[+)lr7L a"' l,^u

(23)

(24)

[*] cov[",,",] (33)

L , rp*j

[*] cov[','',] (34)

^rt t tr*j

t[r] - E[n(",, ,x2,...,x" )] = s|t *t,t-r x2,...,u,,)

varlu-] =ztl*],"[*],

&I - a[P][r] {u} * rp1rr4}

àr, àr, L J t lL t àr,(36)

REVUE FRANçAISE DE GËOTECHNIQUEN'93

4e trimestre 2000

Covlxn x] (28)

avec r? : rrorrbre total de variables aléatoires.

La méthode se généralise pour les fonctions mul-tiples de plusieurs variables aléatoires.

Pour chaque fonction :

EVol - Elgx(x' xr,..., xn)1 = gx(F^t, pl*z, ..., lt.) (29)

Avec :

{o} : tenseur des contraintes ;

[D] : matrice d'élasticité ;

[B] : matrice géométrique.

Pour l'estimation des incertitudes sur les déforma-tions, on obtient :

a{e} alrl . . ,a{u}"L"J _"L"ttrl .[r] "L"Jà,, à,, àr, (37)

Covlx,,*if

xj

73

Covlr,Jo,U,] =I>j=1 j=1

(30)

Les dérivées des contraintes et des déformationsobtenues à partir de ces équations peuvent être insé-rées dans des développements de Taylor analogues àceux des déplacements. Ces différentes dérivées peu-vent êtres déterminées explicitement en différenciantIa matrice de rigidité [K], la matrice [B] et la matrice [D][B] par rapport aux variables aléatoires x, (Bouayed,1997).

. Application de Ia méthode FOSM en présencede non-Iinéarités géométriques ou mécaniques

Si des non-linéarités géométriques ou mécaniquessont présentes dans Ies modèles utilisés, la détermina-tion des déplacements en chaque næud par la méthodedes éléments finis se fait de manière itérative. Le calculexplicite des différentes dérivées des fonctions dudéveloppement de Taylor devient impossible. Laméthode FOSM reste cependant applicable. Il devientalors nécessaire de calculer les dérivées des dévelon-pements de Taylor numériquement. À cet effet, diffé-rents auteurs ont proposé des méthodes numériquesqui permettent de calculer les différentes dérivéesd'une manière approchée. Les plus utilisées sont cellesdes approximations d'Evans (1967) et la méthode desrapports polynomiaux (Chowdury ef al. 1993). Cettedernière méthode a été utilisée dans de nombreusesétudes et a donné des résultats satisfaisants, tant pourdes analyses de sensibilité (Orlandi, 1996; Bouayed,1997) que pour des analyses de fiabilité (Nechnech,1994; Benmansour, 1996). On doit souligner cependantque, dans certains cas, la méthode, comme toute tech-nique numérique, peut se heurter localement à cer-taines difficultés si la fonction implicite reliant Ies résul-tats de l'analyse numérique et les paramètres aléatoiresn'a pas un comportement régulier. Remarquons aussique les méthodes numériques pour Ie calcul des déri-vées présentent par rapport aux méthodes de dériva-tion explicite, l'avantage de pouvoir être appliquées defaçon < externe l au code de calcul par éléments finis,sans qu'il soit nécessaire de modifier ce code.

Méthode des approximations ponctuelles

Rosenblueth (1975) aprésenté une méthode qui per-met d'estimer les premiers moments d'une fonction devariables aléatoires, en connaissant seulement les troispremiers moments de chaque variable et se basant surune approximation au moyen de valeurs ponctuelles,c'est-à-dire en utilisant une distribution de probabilitédiscrète à mêmes moments. Il a montré ou'une formu-lation générale de la méthode est posôible avec unnombre quelconque de points d'estimation pourchaque variable aléatoire. La démarche générale estreprésentée sur la figure L.

La méthode devient malheureusement troo lourdedès que le nombre de variables aléatoires dépasse ladizaine, surtout s'il s'agit de variables corrélées entreelles.

Dans la même ligne, Bolle (1988) a proposé uneméthode dite des < perturbations indépendantes Ibasée sur la discrétisalion en trois points de la fonctionde distribution de probabilité d'une variable aléatoireet faisant appel au développement limité en série deTaylor et à la transformation des variables de base envariables principales non corrélées. Les premiersmoments de la distribution de Ia fonction f fx) sont

r1iiiiiiiiiiiiiiiiiii1i:iiii1liiiiiiiiiiiii ru;iiiriiii1 Approximation biponctuellede RosenbluethRosenblueth's two-point estimates method.

déterminés en ajoutant à la valeur de la fonction calcu-lée au point central de la distribution discrétisée lasomme des différents termes dispersants, ou perturba-teurs, liés à chaque variable aléatoire indépendante(additivité des effets de chaque variable aléatoire). Laméthode des perturbations indépendantes est trèsavantageuse si le nombre de variables considérées estimportant.

ffiMéthodes desimulation

Pour se libérer des contraintes liées à l'utilisationdes méthodes de transformation analytiques et numé-riques disponibles, dont le champ d'application est par-fois trop restreint et qui sont difficiles à mettre enæuwe, il est toujours possible d'avoir recours aux tech-niques de simulation basées sur la méthode de Monte-Carlo. Un jeu de valeurs des variables aléatoires repré-sentant les champs stochastiques est obtenu au hasard,mais en respectant les densités de probabilité et les cor-rélations, et l'analyse numérique du problème est effec-tuée. On répète cette opération jusqu'à ce qu'une ten-dance statistique se définisse et permette de juger dela dispersion des résultats. Si le vecteur de variablesaléatoires consid éré est à composantes indépendantes,la simulation se fait pour chacune des composantes. Sile vecteur est à composantes dépendantes, oo peut seramener au cas simple précédent, en utilisant laméthode de Cholesky généralisée qui permet de diago-naliser la matrice de covariance. Cette méthode n'estvalable que si le vecteur de variables aléatoires estgaussien. Dans le cas contraire, il existe dans la littéra-ture des méthodes de simulation propres à chacunedes lois utilisées. On peut par ailleurs se ramener au casgaussien en appliquant différentes transformations(Fogli, 1980).

L'inconvénient majeur de la méthode de Monte-Carlo est sa convergence extrêmement lente. Plu-sieurs techniques existent pour déterminer lenombre de simulations nécessaires pour uneapproximation fixée par un intervalle de confiance.Parmi les méthodes les plus pratiques, citons laméthode classique de convergence (intervalle deconfiance d'une valeur moyenne espérée) et laméthode de Chebishev.

f*(*)Ilr\I t\t/ \l/ \,

P-

lp*tl-+xx'

fr(v)

v=frù >

v=f@ >xo -yo

14REVUE FRANçAIsE or cÉorecHNreuEN'934e trimestre 9000

EApplications

Pour illustrer les techniques exposées dans lesparagraphes précédents nous nous limiterons à pré-senter deux exemples simples.

ffiAnalyse stochastique d'une structure simple

Considérons une plaque de chant sur deux appuis,l'un fixe et l'autre glissant sur un plan horizontal, etsoumise à une force localisée (Fig.2).La plaque estconstituée par deux matériaux à module d'Young a\éa-toire, mais à même espérance et avec un coefficient devariation (écart type divisé par espérance) CV - 10 "Â etcorrélés négativement (p- - 1).

Les diagrammes de la figure 3 représentent l'espé-rance des contraintes horizontales et verticales et descisaillements (colonne de gauche), et leur écart type(colonne de droite) obtenu para la méthode FOSM.

On est frappé par la complexité de la répartitionspatiale des incertitudes. Celle-ci obéit en effet à demultiples facteurs dont les effets ne sont pas toujoursmis en valeur de façon suffisamment précise par la dis-crétisation en éléments finis ni par l'algorithme d'inter-polation (Surfer) utilisé :

- conditions aux limites concernant les contraintes (pasde contraintes verticales sur les faces horizontales de la

,iïii:i:iliilliiiïii,iiiiliiiiiiiiiiiiiiïiËçÏiiffïiiiii Plaque sur deux appuis constituée de deuxmatériaux différents.Plate on two supports made of two differentmaterials.

plaque, pas de contraintes horizontales sur les côtésverticaux, pas de cisaillements sur tous les côtés de laplaque). Ces conditions aux limites éliminent locale-ment l'incertitude ;

- pe{te d'homogénéité lors des variations aléatoiresdes deux rnodules, créant des sollicitations d'interac-tion parasites à l'interface, qui amplifient les incerti-tudes initiales ;

Plaque sur deux appuisË(E)ftPa rv{s} E{v} tV {v} p {81,Ës}

nanrÉRrnu r â1 x lûa 0.10 0,3s 01

urrÉRrau r 21 x t04 0.10 0.30 0

ESPÉRATiICE8ûâ X

2.8 t.b * xâ.5 1S 't7.S tû 22,.fr ?$ 27.fir I I t t 1._.-..-,-.- | |

ÉcAHT-TYPË$tc t

9 7.fi rS 1P.â i5 17.6 2A âi2

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Espérance et écart type des contraintes verticales (sigry), horizontales (sigx) et de cisaillement (tauxy).Expected value and standard deviation of vertical (sigy), horizontal (sigx) and shear stresses (tauxy).

t5REVUE FRANçAISE DE GÉoTECHNIQUE

N'934e trimestre 9000

t1' û'3m

- effets de moyenne aflénuant l'incertitude au voisinagede f interface (voir cisaillement).

Seule la technique des éléments finis permet de saisirce comportement complexe des incertitudes, difficile àprévoir a priori et d'interprétation délicate.

ffiAnalyse stochastique d'un remblai

Pour l'analyse des structures en terre, telles que lesremblais et barrages en terre, des analyses ont pu êtreréalisées en utilisant la méthode de Monte-Carlo et laméthode FOSM. La méthode FOSM peut être mise enæuvre en procédant au calcul numérique des dérivéespar la méthode des quotients pol5rnomiaux, ce qui per-met de ne pas modifier les logiciels classiques aux éIé-ments finis tels que FEADAMB4 ou CESAR-LCPC.L'emploi de ces logiciels comme sous-programmesd'une analyse d'incertitude pose toutefois de redou-tables problèmes de couplage. Pour illustrer l'applica-tion de ces méthodes, nous présenterons certains résul-tats concernant les déplacements dans un remblai encours de construction.

On considère ici un remblai constitué par deuxmatériaux mis en place par couches (Fig. 4).On admetque les deux matériaux suivent une loi non-linéairesimple de type Kondner-Duncan (Dunc àD, 1984).L'espérance des valeurs des neuf paramètres de cetteloi est indiquée dans le tableau. Par simplictté, on aadmis ici que ces paramètres présentaient tous un coef-ficient de variation de 10 %. Pour un matériau donné,les valeurs des coefficients de corrélation entre para-mètres ont pu être estimées par une analyse statistique

+" ,,,,,.,,.,.,,,.-., ,,,,, ..,-* ,l.?ffi.,m:, , "---,---.. .-.- -.*-*&

de la base de données de Duncan (1984). Pour desmatériaux différents, les corrélations considérées sontsubjectives et cherchent à refléter le fait que les mêmesdoutes existent sur les mêmes paramètres. La matricede corrélation finalement utilisée pour les deux maté-riaux est présentée sous forme de tableau (tableau I).

La modélisation par éléments finis permet de simu-ler la construction par couches (non-linéarité géomé-trique). L'incertitude sur les résultats est évaluée parMonte-Carlo et par FOSM. Le programme en élémentsfinis stochastiques utilisé fournit l'espérance (Fig. 5) etle coefficient de variation des déplacements verticauxdus à f incertitude sur tous les paramètres du modèle.On observe que les résultats obtenus par FOSM (Fig.6)et par Monte-Carlo (Fig. 7) sont analogues. Les irrégu-larités du champ des coefficients de variation montrentpar ailleurs que pour une analyse en éléments finis sto-chastiques, le maillage doit généralement être plus finque pour une analyse ordinaire.

EConclusion

La méthode des éléments finis stochastiques pré-sente un intérêt particulier pour les ingénieurs géo-techniciens car elle permet d'évaluer l'influence desincertitudes affectant les propriétés des matériaux surla validité des résultats de ce type d'analyse numé-rique. EIle peut être employée pour obtenir les écartstypes et les coefficients de variation et pour définir desintervalles de confiance sur les résultats de la modéli-sation tels que les déplacements,, les déformations etles contraintes. Comme nous l'avons montré, malgréses limites actuelles, la MEFS permet donc aux ingé-

It { r{ t.}.r rïl >

i* ii5,5

4)q,Fxtf,,IsLddlHIu

fç1trl

mat 1

rrtii,t,2

1?0 180 û"5

4ffû 6tû t.6

*.7 110

Q.7 2*t

&.2

fi"5

L* Vn

li|iiiiiii1ïiiiiiiiiiiiiïiiiiifiîilllË tl*|iï1 Remblai construit par couchesEmbankment constructed placing

et constitué de deux matériaux différents.successive layers of two different materials.

76REVUE FRANÇAISE DE GEOTECHNIQUEN" 934e trimestre 2000

tttlirifuii'iliiiiiiiiffiËË*#ii*iliiii Matrice de corrélation des propriétés des deux matériauxCorrelation matrix of the two materials.

Matériau 1

rï-

=arl

c

r().Prrl

K

Kur

n

R"T

K.om

c(kPa

g[')ag(")

K

Kur

n

R"T

K.om

c(kPa

ç(')ag(')

0,7 0,6 - 0,4 0

0,6 0,7 - 0,4 0

- 0,4 - 0,4 0,7 0

0000,70,3 0,4 0 0

-0,1 0 0 -0,1000000000000

1 0,9 - 0,7

0,9 1 - 0,6

-0,7 -0,6 1

- 0,1 - 0,1 - 0,2

0,5 0,6 - 0,4

- 0,2 - 0,3 0,3

- 0,2 - 0,2 0,1

0,2 0,2 0,2

0,4 0,1 0

Matériau 2

0,3 - 0,1 0

0,4000000 -0,1 0

0,70000,70000,70 0 -0,30 0 -0,2

000000000000

- 0,3 - 0,2

0,7 0,3

0,3 0,7

NI-{fi<

t-\q).PaT<

0,7 0,6 - 0,4 0

0,6 0,7 - 0,4 0

- 0,4 - 0,4 0,7 0

0000,70,3 0,4 0 0

-0,1 0 0 -0,1000000000000

0,3 - 0,1

0,4 0

000 -0,10,7 0

0 0,7

000000

0000000000000000000,7 -0,3 -0,2

- 0,3 0,7 0,3

- 0,2 0,3 0,7

- 0,1 0,5

- 0,1 0,6

- 0,2 - 0,4

1 -0,2-0,2 1

- 0,1, - 0,6

- 0,2 - 0,4

0,2 0,4

0 0,1,

- 0,2 - 0,2

- 0,3 - 0,2

0,3 0,1

- 0,1 - 0,2

- 0,6 - 0,4

1 0,3

0,3 1

- 0,2 - 0,5

- 0,3 - 0,3

0,2 0,4

0,2 0,1

0,2 0

0,2 0

0,4 0,1,

- 0,2 - 0,3

- 0,5 - 0,3

1 0,5

0,5 1

sl.s

45,{l

37"5

s0,0

2?,.5

I5.{l

30,* 45.{l

Déplacements verticaux (m), (espéranceVertical dispiacements (m), (expected value)

6û"$ 75.û

mathématique).

1ûS,0 l2*,$

1 0,9 - 0,7 , - 0,1 0,5 - 0,2 - 0,2 0,2 0,4

0,9 1 - 0,6 - 0,1 0,6 - 0,3 - 0,2 0,2 0,1

- 0,7 - 0,6 1 - 0,2 - 0,4 0,3 0,1. 0,2 0

- 0,1, - 0,1 - 0,2 1 - 0,2 - 0,1 -0,2 0,2 0

0,5 0,6 - 0,4 - 0,2 1 - 0,6 - 0,4 0,4 0,1

- 0,2 - 0,3 0,3 - 0,1 - 0,6 1 0,3 - 0,2 - 0,3

- 0,2 - 0,2 0,1 - 0,2 - 0,4 0,3 1 - 0,5 - 0,3

0,2 0,2 0,2 0,2 0,4 - 0,2 - 0,5 1 0,5

0,4 0,1 0 0 0,1 - 0,3 - 0,3 0,5 1

-rr,7a

'-0.$o "-

tr 5,0

5?-5

45.0

3?,5

3t).CI

22"5

l5^{l

?.5

{1.00.û ïs,t 30,0 45,û 6S,0 75.0

mii#$fifiiifiiiiiiiifi;ffiiiffiii Coefficient de variation des déplacements verticaux (FOSM).Coefficient of variation of vertical displacements (FOSM).

77

ï0"$ 1fis.0 tzs.o

REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN" g3

4e trimestre 2000

3',1.s&

30.m

?;?'.fi$

15.{H

1.5û

$,mL7*,û

',1:t;11:t:1:1tt'1it,i1:iiitiiitli'1::iii1t':,t:11ir11fffig11ff;itti1 Coefficient de variation des déplacements verticaux (MC).Coefficient of variation of vertical displacements (MC).

nieurs géotechniciens d'introduire un degré de réa-lisme supplémentaire bien nécessaire dans les modé-lisations aux éléments finis. Elle est également très

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