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1
STORIA DELL’ALGEBRA
C. S. Roero
� ALGEBRA RETORICA XVIII a. C.-III
� ALGEBRA SINCOPATA III-XVI Diofanto
� ALGEBRA SIMBOLICA XVI- Viète
Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-
muqabala
Operazione del “completamento”,
trasferimento di termini da un membro
all’altro
Arte di trasformare un’equazione in un’altra
ad essa equivalente
INCOGNITA
Say’ =cosa
Res latino arte cossica, arte dei cossisti
Coss tedesco
2
algebra
Fino alla metà del XIX sec. l’Algebra era lo studio delle equazioni
Serret 1866 Traité d’algèbre superieure
LAGRANGE 1770
Proprietà di simmetria delle radici
RUFFINI 1799 ABEL 1823
eqz di 5° non risolubile
GALOIS 1830
teoria dei gruppi – strutture algebriche
EGITTO EQUAZIONI LINEARI 1 incognita
Una quantità cui viene aggiunto un suo settimo diventa 19. Assumi come falsa risposta 7. Aggiungi 1/7 di essa alla medesima quantità e hai come risultato 8. Poi tante volte 8 deve essere moltiplicato per dare 19, quante 7 per dare il numero corretto. Così dividi 19 per 8. Ottieni 2+1/4+1/8. Ora moltiplica questo per 7. La risposta è 16+1/2+178. Prendi 1/7 di questa quantità e aggiungilo alla medesima, il risultato è il richiesto 19.
3
� Metodo di falsa posizione
EGITTO EQUAZIONI 1 grado
MESOPOTAMIA� Incognita lunghezza uš
� Larghezza say Area a-šà volume sahar
�Tavoletta BM 13091� 1-7 risoluzioni di equazioni 2° ad 1 incognita
� 8-14 sistemi di 2 equazioni in 2 incognite
(nella prima compare la somma dei quadrati,
nella 2a la somma o la differenza o il rapporto
o il prodotto delle incognite)
� 15-24 esercizi e applicazioni , con numero
qualsiasi di incognite
4
Metodi utilizzati
�Completamento del quadrato
�Semisomma e semidifferenzadelle incognite
MESOPOTAMIA
Problema 1 tavoletta BM 13901
� Ho addizionato la superficie e il lato del quadrato 0;45
� Tu porrai 1 l’unità� Tu dividerai in due l’unità:
0;30 e la moltiplicherai per 0;30: 0;15.
� Tu aggiungerai 0;15 a 0;45: 1
� E’ il quadrato di 1.� Tu sottrarrai 0;30 che hai
moltiplicato da 1: 0,30. � È il lato del quadrato.
Completamento del quadrato
5
Completamento del quadrato
Si basa sull’identità
analogamente
Semisomma e semidifferenzaproblema 9 tavoletta BM 13901
Ho sommato la superficie di due quadrati: 21,40, l’uno supera l’altro di 10
Tu dividerai in due 21,40, scriverai 10,50
Dividerai in due 10: 5
Moltiplicherai 5 per 5: 25
Sottrarrai 25 da 10,50: 10,25
Questo è il quadrato di 25
Scriverai 25 due volte
Aggiungerai il 5 che hai moltiplicato al primo 25: 30, è il primo quadrato
Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20, è il secondo quadrato
6
Semisomma e semidifferenza delle incognite
L’importanza dei problemi della duplicazione del cubo, della
quadratura del cerchio e della trisezione dell’angolo sta nel fatto
che i tentativi falliti di risolverli con riga e compasso condussero i
Greci a ideare nuove curve (coniche, quadratrice di Dinostrato,
curva di Ippia, concoide, cissoide, spirale, …) e ad ampliare il
campo di indagine geometrica.
Ippocrate di Chio (V sec a. C.)
Ippia di Elide (V-IV sec. a. C.)
Platone (427-347 a. C.)
Archita di Taranto (428-347 a. C.)
Menecmo (IV sec. a. C.),
Diocle (II sec. a. C.) ...
7
La duplicazione del cubo
Ippocrate di Chio ridusse
il problema a quello
dell’inserzione di medi
proporzionali:
Dati due segmenti a, b,
costruirne altri due x, y che
con a e b , formino la
proporzione:
a : x = x : y = y : b
ma non lo risolse. Menecmo
Menecmo (IV sec. a. C.) ideatore delle conicheottenute considerando tre tipi di cono: rettangolo, acutangolo
e ottusangolo e li taglia sempre con un piano perpendicolare
a una generatrice
parabola iperbole
Risolse il problema della duplicazione
del cubo, passando all’inserzione di medi
proporzionali (Ippocrate) e intersecando
due parabole x2 = ay e y2 = 2ax
o un’iperbole e una parabola
ellisse
8
► Prima Scuola di Alessandria
III sec. a.C. – 30 a.C.
- Euclide (300 a.C.) ElementiLa geometria come teoria ipotetico-
deduttiva
- Archimede (287-212 a. C.) La matematica non è concepita solo come analisi dei problemi astratti,
lontani dalle applicazioni, ma anche come studio di problemi
concreti con riferimento alle altre scienze (fisica, astronomia, …)
Sulla sfera e il cilindro, Misura del cerchio, Sulle spirali,
Sull’equilibrio dei piani, Quadratura della parabola,
Sui galleggianti, Metodo sui teoremi Meccanici, …
- Apollonio (262-190 a. C.) Coniche
► Seconda Scuola di Alessandria I a.C.-V d.C.
I commentatori e gli enciclopedisti
Pappo (III-IV sec.) Collezione matematica
Proclo (V sec.) Commento al I libro degli Elementi di Euclide
Euclide Elementi libri II VI
� Algebra
geometrica
� Applicazione delle
aree
9
Elementi II.4
a2
b2
ab
ab Se si divide a caso una linea retta, il
quadrato di tutta la retta è uguale
alla somma dei quadrati delle parti e
del doppio del rettangolo compreso
dalle parti stesse.
Applicazione delle aree ed equazioni
�Applicazione parabolica (applicazione)
Costruire un rettangolo di area data S su una base
data b
�Applicazione ellittica (mancanza)
Costruire un rettangolo di area data S su una parte
di un segmento dato b, in modo che l’altezza sia la
parte rimanente del segmento
�Applicazione iperbolica (eccesso)
Costruire un rettangolo di area data S su un
segmento dato b più un segmento aggiuntivo, in
modo che l’altezza sia uguale al segmento aggiunto.
10
�Applicazione parabolica (applicazione)
Costruire un rettangolo di area data S su una base data b
�Applicazione ellittica (mancanza)
�Applicazione iperbolica (eccesso)
S
xb
Sx
b - x
xS x
b+x
a-x
Elementi II.5Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo
compreso dalle parti disuguali della retta insieme col
quadrato della differenza fra le due parti, è uguale al
quadrato della metà della retta.
BA
K
L
D
EG
C
HM
F
ADHK applicazione ellittica
Forma geometrica della formula risolutiva dell’equazione di 2°
11
Elementi VI.27 in forma più generale e separando i casi in cui è possibile risolvere il problema
Tra tutti parallelogrammi costruiti su uno stesso segmento e
mancanti di parallelogrammi simili a quello descritto sulla metà
del segmento dato è massimo quello costruito sulla metà del
segmento dato ed è simile al parallelogramma mancante
ACDL>AKFG
A C
L D
F
K
G
B
E
M
N
Elementi VI.27
Diorisma: l’area da applicare
non deve superare il quadrato
costruito su metà base
A C
L D
K
G
B
EN
F M
12
Apollonio
e le coniche
III-II a. C.
Apollonio di Perga(circa 262-190 a. C.)
La sua vita trascorse fra Alessandria,
dove ricevette la sua educazione
scientifica, e Pergamo dove c’erano
importanti centri di studi superiori e
ricche biblioteche.
Le sue doti di matematico erano così
notevoli che era chiamato “il grande
geometra”.
La sua opera più importante sono le
Coniche in 8 libri di cui l’ottavo è
andato perduto, dove vi è una teoria
completa delle sezioni coniche.
P. Ver Eecke, Les Coniques
d’Apollonius de Perge, 1923
T. Heath, Apollonius of Perga.
Treatise on Conic Sections, 1896
13
Diversamente da Menecmo che utilizzava tre diversi tipi
di cono circolare retto, Apollonio ottiene le coniche come
sezione di un solo cono circolare obliquo (considera le
due falde) e fa variare l’inclinazione del piano secante.
β
α
A
C
B
D
E
O
AO asse del cono
base del cono
β interseca α secondo DE.
Se si prende BC (diametro del
cerchio base) DE
allora ABC è il triangolo assiale
(contiene l’asse del cono)
L’intersezione del piano β con il
triangolo assiale ABC è detta
diametro della conica
Libro I, def. 1 “Se una retta,
che si prolunga all’infinito e
passa sempre per un punto
fisso, viene fatta ruotare
lungo la circonferenza di un
cerchio che non si trovi nello
stesso piano del punto, in
modo che passi
successivamente per ogni
punto di quella circonferenza,
la retta che ruota traccerà la
superficie di un cono doppio”
14
Coniche I, 11
E
parabola
PM//AC BC DE QV//DE
Se PL ∈ β e PL PM e tale che
PL : PA = BC2 : BA·AC
allora
QV2=PL ·PV
Si costruisce HK//BC
HQK ∈ alla sezione (cerchio) con
piano // α, dunque QV2 = HV ·VK
A
β
α
Considero i triangoli simili PHV~AKH ~ABC
HV : PV = BC : AC
Da PM // AC e dalla similitudine di AHK e ABC
VK : PA = BC : BA
HV · VK : PV · PA = BC2 : AC · BA
QV2 PL : PA
QV2 : PV · PA = PL : PA = PL ·PV : PV ·PA QV2=PL · PV
PL : lato retto
Apollonio utilizza l’origine
stereometrica delle coniche come
sezioni del cono solo per ottenere la
proprietà fondamentale delle
sezioni coniche che è piana
(sistema di riferimento: diametro
della conica e tangente alla conica
in un estremo del diametro). A
partire da questa proprietà ricava i
successivi sviluppi della teoria.
pParabola,
Coniche I.11
Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo (PV·PL)oggi
QV2=PL ·PV
15
Iperbole,
Coniche, I.12 QV2=PV ·VR
Se PL : PP’ = BFxFC : AF2 allora
Dim.: teor. Euclide
triangoli simili PHV, ABF
triangoli simili P’VK, AFC
triangoli simili P’LP, P’RV
QV2=PV ·VR
QV = y
PV = x
PL = p
PP’= d
QV2=PV ·VR
Iperbole,
Coniche, I.12
R
L
Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR)
16
Ellisse, Coniche, I.13
Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR)
QV = y
PV = x
PL = p
PP’= d
Se PL : PP’ = BF FC : AF2
allora QV2=PV ·VR
A
BC M
R
L P’
P
H
Q
V K
F
Caratteristiche dell’opera Coniche
♦Apollonio usa l’origine stereometrica delle coniche solo per ottenere la proprietà fondamentale di ogni conica (proprietà piana) ed è questa che costituisce la base dei successivi sviluppi della teoria
♦ Gli strumenti matematici utilizzati sono:- l’algebra geometrica (che serve per surrogare la mancanza
dell’algebra) i cui ingredienti sono la teoria delle proporzioni(Elementi, libro V) che permette di eseguire operazioni di
moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice;
l’applicazione delle aree (Elementi, II) che offre il mezzo di risolvere
problemi che conducono a equazioni di 1° e 2° grado (Elementi, II.5,
II.14)
- l’uso delle coordinate, il modo di dare la relazione fondamentale
delle coniche è stabilire un legame fra ascisse e ordinate di un sistema di riferimento: diametro della conica (asse x) e tangente alla
conica in un estremo del diametro (asse y). Gli assi possono essere sia
ortogonali che obliqui. Ordinata:sec. XVII ordinatim applicata (tracciata ordinatamente)
17
Uso dell’applicazione delle aree (geometria)per ‘costruire’ - ‘risolvere’ un problema (equazione)
Trovare un quadrato la cui area sia uguale a quella di un dato
rettangoloABCD
A
CD
BFE
x
a
b
x2 = a ⋅⋅⋅⋅ b
il triangolo AGE è rettangolo e
dunque
BG2 = AB⋅⋅⋅⋅BE = AB⋅⋅⋅⋅BC
G Si prolunghi AB di un segmento
BE = BC.
Si prenda il punto medio F di AE,
si tracci il cerchio di centro F e
raggio FE.
Sia G il punto di intersezione del
prolungamento del lato BE del
rettangolo dato con la
circonferenza, allora BG è il
segmento cercato.
La tangente alla parabola
Prop. I. 33
“Si prenda un punto T
sul diametro di una parabola
fuori della curva e tale che
TP = PV,
dove V è il piede dell’ordinata
da Q al diametro PV.
La retta TQ sarà tangente alla
parabola”
Apollonio dimostra che TQ è tale che ogni suo punto diverso da
Q giace fuori dalla parabola.
Quello che usa non è un metodo generale applicabile ad
ogni curva, ma vale solo relativamente alla parabola.
T
Q
V’VP
K
Q’
18
Schema riassuntivo delle Coniche
19
DIOFANTO III sec. d. C.ARITHMETICA 13 libri
problemi determinati e indeterminati
I.27 Trovare due numeri tali che la loro somma e il loro
prodotto siano numeri dati
Condizione necessaria:
Il quadrato della
semisomma supera di un
quadrato perfetto il
prodotto
20
Diofanto Arithmetica I.27
Condizione necessaria: Il quadrato della semisomma
supera di un quadrato perfetto il prodotto
Diofanto Arithmetica III.4
Trovare tre
numeri tali che
se il quadrato
della loro somma
è sottratto da
ciascuno di essi,
il resto sia un
quadrato.
Poniamo che la somma
sia un aritmo x
Problema indeterminato
21
Algebra sincopata abbreviazioni per incognite
� x S
� x2 ∆∆∆∆y
� x3 Ky
� x4 ∆∆∆∆y∆∆∆∆
�Il resto è scritto a parole, ad esempio
Diofanto Arithmetica
Medioevo476 caduta impero romano Occ.
1453 caduta impero romano Oriente
► Grande fioritura della cultura islamica VIII - XV
traduzioni e commenti dei classici, algebra, geometria, aritmetica
► Omar Al Khayyam (XI-XII sec.)
soluzione geometrica delle equazioni di
terzo grado, critica ad Euclide
► In Occidente geometria pratica,
prospettiva, riscoperta dei classici
► Nicole Oresme - Parigi XIV sec.
introduce i diagrammi
22
Confini dell’impero abbaside al tempo di Harun al-Rashid
storia CALIFFI – biblioteche, arabi chiedono ai bizantini libri come indennità di guerra
MANSUR 754-775 chiede a Bisanzio trattati matematici
Euclide
HARUN AL-RASHID 786-809incoraggia scienziati e traduzioni in lingua araba e siriaca Mille e
una notte
MAMUN 813-833 sogno - Baghdad
la casa della saggezza
23
Le scienze arabe VIII-XVI traduzioni
Scienze religiose
Geografia
Scienze linguistiche
Scienze storiche
Scienze giuridiche:
diritto – computo di eredità, …
Astrologia
Teologia e filosofia
Retorica
Scienze fisiche:
medicina – botanica –veterinaria – agraria
Filosofia:
logica – metafisica –fondamenti
Matematica:
aritmetica – geometria
Astronomia
Musica
TRADUZIONI di opere matematiche IX sec.
Euclide Elementi
Data
scritti di ottica
di meccanica, …
Archimede tutte le opere
Apollonio Coniche
De sectione rationis
Pappo
Diofanto Arithmetica
Nicomaco di Gerasa
Erone di Alessandria
24
Scienze matematichecontributi principali
�Algebra�Teoria delle equazioni di 2° e 3° grado
�Algebra dei polinomi
�Geometria�V postulato di Euclide
� Costruzioni con riga e compasso
�Teoria delle coniche
�Aritmetica - numerazione posizionale indiana
�Trasmissione di opere classiche
790 - 850 AL-KHWARIZMIpadre dell’algebra
� Algoritmi de numero indorum
� Al-kitab al-muhtasar fi hisab al-giabr wa’l-muqabala
Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere
� Problemi su contratti commerciali
� Teoria equazioni di 1° e 2° grado
� Geometria e algebra
� Divisione di eredità
25
Algoritmi de numero indorum B. Boncompagni Algoritmi de numero indorum (Roma 1857)
K. Vogel Mohammed ibn Musa Alchwarizm’s Algorithmus (Aalen 1963)
Algoritmus →→→→ algoritmo
Evoluzione delle cifre indo-arabiche
1 Igin
2 Andras
3 Ormis
4 Arbas
5 Quinas
6 Calcus
7 Zenis
8 Temenias
9 Celentis
0 Zephir
Al-kitab al-muhtasar fi hisab
al-giabr wa’l-muqabala
Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliere
opera che racchiude le più raffinate e le più nobili operazioni di calcolo di cui gli uomini hanno bisogno per la ripartizione delle loro eredità e delle loro donazioni, per le divisioni e i giudizi, per i loro commerci e per tutte le operazioni che essi hanno fra loro relative agli strumenti, alla ripartizione delle acque dei fiumi, all’architettura e ad altri aspetti della vita civile
26
dirham (moneta greca dracma) numero
say’ cosa o gizr radice incognita res
mal bene quadrato dell’incognita census
EQUAZIONI 6 tipi canonici
l. I quadrati sono uguali alle radici ax2 = bx
2. I quadrati sono uguali a numero ax2 = c
3. Le radici sono uguali a numero ax = c
4. I quadrati e le radici sono uguali a numero ax2 + bx = c
5. I quadrati e i numeri sono uguali alle radici ax2 + c = bx
6. Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati bx + c = ax2
operazioni
al-jabr completamento, riempimento restauratio
al-muqabala messa in opposizione, bilanciamentooppositio
al-hatt coefficiente dell’incognita ridotto all’unità
x2 + (10 – x)2 = 58
2x2 + 100 – 20x = 58
con l’al-jabr 2x2 + 100 = 20x + 58
con l’al-muqabala
2x2 + 42 = 20x
e infine l’al-hatt dà x2 + 21 = 20x
che riconduce l’equazione di partenza al tipo 5
27
Algebra retorica
l. I quadrati sono uguali alle radici ax2 = bx
2. I quadrati sono uguali a un numero ax2 = c
3. Le radici sono uguali a un numero ax = c
x2 = 5x
“La radice del quadrato è 5 e 25 costituisce il suoquadrato”
1/2 x = 10⇒⇒⇒⇒ x = 20 x2 = 400
Formula per radicali
Dimostrazione geometrica
Quadrato x2
4 rettangoli 10/4 x
4 quadratini che completano il quadrato
x=3
Tipo 4
x2 + 10x = 39
x2 + px = q
x 10/4
x
D
H
28
x 10/4
x
x2 + px = qCompletamento del quadrato
x2 + 2·5x
39+25=64
5+x=8
x=3
Tipo 4x2 + 10x = 39 x2 + px = q
5
5x
29
Quadrati e numeri uguali a radici x2 + 21 = 10x
Il seguente esempio è un’illustrazione diquesto tipo: un quadrato e 21 unitàuguali a 10 radici.
La regola risolutiva è la seguente:dividi per 2 le radici, ottieni 5.Moltiplica 5 per se stesso, hai 25.Sottrai 21 che è sommato al quadrato,resta 4. Estrai la radice, che dà 2 esottrai questo dalla metà della radice,cioè da 5, resta 3. Questa é la radice delquadrato che cerchi e il suo quadrato è9. Se lo desideri, aggiungi quella allametà della radice. Ottieni 7, che è laradice del quadrato che cerchi e il cuiquadrato è 49.
10 : 2 = 5
5 · 5 = 25
25 – 21 = 4
5 – 2 = 3
x = 3 x2 = 9
2 + 5 = 7
x = 7 x2 = 49
Se tu affronti un problema che si riconduce aquesto tipo di equazione, verifica l’esattezza dellasoluzione con l’addizione, come si è detto. Se nonè possibile risolverlo con l’addizione, otterraicertamente il risultato con la sottrazione. Questo èil solo tipo in cui ci si serve dell’addizione e dellasottrazione, cosa che non trovi nei tipi precedenti.
Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividia metà la radice e la moltiplichi per se stessa e ilprodotto risulta minore del numero che è aggiuntoal quadrato, allora il problema è impossibile.
Se invece risulta uguale al numero, ne segue che laradice del quadrato sarà uguale alla metà delleradici che sono col quadrato, senza che si tolga osi aggiunga qualcosa.
x2 + q = p x discussione sulle radici
∆> 0
due radici
distinte
(p/2)2 < q
∆ < 0
(p/2)2 = q
∆ = 0
due radici
coincidenti
30
Tipo 5 x2 + 21 = 10x
x2 + q = p x x < p/2
GCDE = px
GCDE=ABCD+GBAE
ABCD = x2 GBAE=(p–x)x = q
GFKM= (p/2)2 IHKL = (p/2 −−−− x)2
EILM = FBAH
IHKL= GFKM – GBAE
(p/2−−−−x)2 = (p/2)2 −−−− q
IH = AH=
AD = HD–AH
G C
E
M
F
IH
K
D
x
p/2
A
B
L
Tipo 5
ABCD=x2 GF=FC=p/2
AL=BF=x-p/2
BFHI=(x-p/2)2
GFKM = (p/2)2
GBLM+IHKL=GBAE = q
BFHI=GFKM-GBAE=(p/2)2-q
BF=...
BC=FC+BF=
x2 + 21 = 10x
x2 + q = p x x > p/2
D
C
K
F
I H
AE
BG
L
x2
p/2x - p/2
M
(p/2)2
31
Tipo 6 3x + 4 = x2 px+q=x2
ABCD=x2 ARHD = px
RBCH = x2 – px = q
quadrato TKHG = (p/2)2
TL = CH = MN = x – p
GL=CM=CG,GL=GT+LT=GH+HC
LNKT=RBMN
NMCH+BMNR=RBCH=q=gnomone
NMCHGTKN
LMCG=TKHG+q=(p/2)2+q
CG =
CD = CG+GD
x
p/2
(p/2)2
p
C
DA
B
HR
L T
M
KN
x
q
G
Abu-Kamil (850-930)
Libro sull’al-jabr e l’almuqabalaelevato livello teorico - tendenza all’aritmetizzazione
cubo x3 quadrato-quadrato x4
quadrato-quadrato-cosa x5
espressioni con irrazionali
regole per la determinazione immediata di x2 sotto forma diradicali
Ogni regola è dimostrata geometricamente e si prescinde dall’omogeneità dimensionale
32
Abu-Kamil (850-930)Dividere 10 in due parti x e 10 – x tali che
moltiplicata per diventa
(10 – x)/x = y è trasformata in
Elevando al quadrato giunge a un’equazione di 2° di soluzione
X-XII sec. due correnti
� indirizzo aritmetico-algebrico
X sec.
traduzione araba dell’opera di Diofanto
961-976 Abul-Wafa
Libro sull’aritmetica necessaria
agli scribi e ai mercanti
XI sec al-Karagi Al-Fahri
XI-XII sec as-Samaw’al
Libro luminoso sull’aritmetica
� indirizzo geometrico-algebrico
965-1093 ibn al-Haytham
Al-hazen
973-1048 Al-Biruni
1048-1123 Omar al-KhayyamSulle dimostrazioni dei problemi di
algebra e almuqabala
XII sec. Sharaf al-din al-TusiTeoria delle equazioni
33
al-Khwarizmi
regola di approssimazione radice quadrata di
N = a2 + r
al-Uqlidisi (morto intorno al 952)
Algebra e Aritmetica
al-Karagi
al-hisabi maestro di aritmetica
� Manuale sulla scienza
dell’aritmetica
� Al-Fakri
scopo dell’algebra
Potenze
x5 = x2 x3 quadrato-cubo
x6 = x3 x3 cubo-cubo
1:x=x:x2=x2:x3=x3:x4=...
tabella dei coefficienti di
(a + b)n fino a n = 12
Algebra e Aritmetica
34
AL-KARAGI
Al-Fakri
l’algebra è l’aritmetica dell’incognita
ax2n + bxn = c
ax2n + c = bxn
bxn + c = ax2n
ax2m+n = bxm+n + cxm
Algebra e Aritmetica
Algebra e Aritmetica
al-Karagi Manuale sulla scienza dell’aritmetica
quadrato
Gnomone (rettangoli uguali di lati n e
1+2+3+...+n)
Area gnomone
2n(1+2+...+n) – n2 = n3
Essendo
1+2+3+...+n =n(n+1)/2
da cui
13+23+ …+n3 = (1+2+ …+n)2
A R
D
B
E
C
F
G
S
n2
35
XI-XII sec as-Samaw’al
Libro luminoso sull’aritmetica
Regole da usare coi negativi
4 3 2 1 0 1 2 3 4
______________________________________
x4 x3 x2 x 1 1/x 1/x2 ...
Algoritmo per la divisione dei polinomi
Algoritmo per l’estrazione di radici quadrate di
polinomi
indirizzo geometrico-algebrico
equazioni cubiche - problemi classici
duplicazione del cubo Menecmo parabola x2 = ay
iperbole xy = ab
problema di Archimede
“Dividere una sfera data in modo tale che il rapporto fra i volumi dei segmenti ottenuti sia uguale ad un rapporto dato”
965-1093 ibn al-Haytham Al-hazen
973-1048 Al-Biruni trisezione dell’angolo
36
Omar al-Khayyam
1048-1122Poeta matematico astronomo
Rubaiyyàt
Ogni mattina che il volto del tulipano si riempie di rugiada,
la corolla della viola si incurva sul prato.
in verità, mi piace il boccio della rosa
Che si raccoglie attorno il lembo della sua veste.
Sotto specie di verità, non di metafora,
noi siamo dei pezzi da gioco, e il cielo è ilgiocatore.
Giochiamo una partita sulla scacchiera dellavita,
e ad uno ad uno ce ne torniamo nella cassetta del Nulla
Questa volta del cielo in cui noi ci troviamo smarriti,
ci appare a somiglianza di una lanterna magica.
Il sole è la candela, il mondo la lanterna,
e noi siam come le immagini che vi vanno intorno rotando.
Omar al-Khayyam1048-1122
Rubaiyyàt
Giacché non si può contar sulla vita dalla sera al mattino,
bisogna in conclusione seminare ogni seme di bontà.
Giacché a nessuno lasceranno in possesso questo mondo,
bisogna almeno sapersi serbare il cuor degli amici.
Dicono dolce l’aria di primavera
dolce la corda del liuto e la flebile melodia,
dolce il profumo della rosa, il canto degli uccelli, il roseto,
O stolti, tutto ciò sol con l’Amico è dolce!
37
Omar al-Khayyam1048-1122
Rubaiyyàt
Ci troviamo a vivere sotto questa volta del
cielo piena di frottole.
L’anima è una caraffa, la morte una pietra,
il cielo un pazzo.
La coppa della mia vita è giunta ai settanta:
e quegli la romperà appena essa sia colma.
Il cielo versa dalle nuvole petali candidi.
Diresti che si sparge sul giardino una
pioggia di fiori.
Nella coppa pari a un giglio io verso il vino
rosato,
ché dalla nuvola color di viola scende una
pioggia di gelsomini.
Omar al-Khayyam Sulle dimostrazioni dei problemi di
al-jabr e al-muqabala
l’algebra è la teoria delle equazioni
Non riesce a trovare la soluzione per radicali
delle equazioni cubiche
“Forse uno di quelli che verranno dopo
di noi riuscirà a trovarla.”
classifica 14 tipi di equazioni cubiche
risoluzione con l’intersezione di coniche
38
14 tipi di equazioni cubiche
binomia x3=a.
trinomie x3+bx=a
x3+a=bx
bx+a=x3
x3+cx2=ax3+a=cx2
x3=a+cx2
Omar al-Khayyam Sulle dimostrazioni dei problemi di
al-jabr e al-muqabala
quadrinomietre termini positivi uguali ad un
termine positivo
x3 + cx2 + a = bxx3 = a + bx + cx2
x3 + a + bx = cx2
x3 + bx + cx2 = a
due termini positivi sono uguali a duepositivi
x3 + cx2 = bx + ax3 + a = cx3 + bxx3 + bx = cx2 + a
“Sulle dimostrazioni dei problemi di al-
jabr e al-muqabala”.
39
L’ascissa QS del punto
P di intersezione delle
curve rappresentate in
figura è la radice cercata.
Al-Khayyam non scrive
equazioni, ma usa
le proporzioni
C(q/2,0)
40
Grafico della funzione y = x3 +3x -10 eseguito con Maple
41
Equazioni trinomie senza termine di secondo grado
x3 + bx = c
Equazioni trinomie senza termine di primo grado
x3 + ax2 = c
Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad
un termine positivo
x3 + ax2 + bx = c
Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a
due termini positivi
x3 + bx = ax2 + c
Visualizzazione con Cabri
Equazioni trinomie senza termine di secondo grado
x3 + bx = c
42
Equazioni trinomie senza termine di primo grado
x3 + ax2 = c
Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo
x3 + ax2 + bx = c
43
Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi
x3 + bx = ax2 + c
Caso di 3 soluzioni positive
44
Omar al-KhayyamSulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e
al-muqabala
x3 + p2x =p2 q
Cerchio
x2+y2=qx
Parabola
x2=py
Fine XII Sharaf Al-Din al-Tusi
Teoria delle equazioni cubiche
sviluppa lo studio delle curve
discussione sistematica dell’esistenza delle radici positive, legata al ruolo del discriminante
Teoria delle equazioni
Soluzioni approssimate
45
Sharaf Al-Din al-TusiTeoria delle equazioni soluzioni approssimate
x3+px=N x3+36x=91 750 087
x = x1+x2+x3 x1 = a·102 x2 = b·10 x3 = c
x3=(x1+x2+x3 )3 36x= 36x1+36x2+36x3
x3=a3106+3a2b105+3ab2104+3a2c104+6abc103+b3103+3ac2
102+3b2c102+3bc210+c3
36x=36a102+36b10+36c
Si cerca a tale che a3<91 si trova a=4 tabella
N 9 1 7 5 0 0 8 7
x13 36x1 64 144
N1 2 7 7 3 5 6 8 7
N1= 91750087-64000000-14400=27735687
N - x13· 106 - 36x1·102
Si cerca b tale che 3a2b<277 cioè 3·16 b<277 trovab=5
N1 2 7 7 3 5 6 8 7
x23 1 2 5
3x1x22+ 3x2x1
2+36x2 2 7 0 0 1 8 0
N2 6 0 8 8 8 7
N2 = N1 – 3a2b·105 – 3ab2104 – b3103 – 36b10
Si cerca c tale che 3a2c<60 cioè 3·16 c<60 trova c=1
x = 4·102 + 5·10 + 1= 451
Sharaf Al-Din al-Tusi
Teoria delle equazioni soluzioni approssimate
46
variabilità e moto [ sec XIV]
Fu uno dei temi preferiti nelle università, in particolare a
Oxford e a Parigi. I filosofi scolastici del Merton College
di Oxford formularono la cosiddetta regola mertoniana:
se un corpo si muove di moto uniformemente
accelerato, la distanza percorsa è uguale a quella
che percorrerebbe nello stesso intervallo di tempo un
altro corpo con moto uniforme e velocità pari a quella
raggiunta dal primo corpo nell’istante di mezzo
dell’intervallo temporale.
La velocità non era definita in modo rigoroso, ma era intesa come una “qualità del
moto”
Nicole Oresme (1323?-1382) ebbe l’idea di rappresentare geometricamente i
vari moti: lungo una linea orizzontale segna dei punti che rappresentano gli istanti
di tempo (longitudini) e da ogni punto innalza un segmento perpendicolare la cui
lunghezza rappresenta la velocità in quell’istante (latitudini)
Moto uniforme v = costante
L’area del trapezio
rettangolo, che
rappresenta lo spazio
percorso con moto
uniformemente
accelerato, è uguale
all’area del rettangolo
che rappresenta lo
spazio percorso con
velocità costante pari
a
Con i suoi diagrammi Oresme poteva
“dimostrare” la regola mertoniana
v0=0v0>0
Moto uniformemente
accelerato [uniformemente
difforme]
Moto vario [difformemente
difforme]
v1 v2
Tractatus de latitudinibus formarum
t1 t2
47
Rinascimentosecoli XV e XVI
► 1447 primo libro a stampa
Nascita della prospettiva- Leon Battista Alberti (1404-1472)
- Piero della Francesca (1410?-1492)
- Albrecht Dürer (1471-1528)
► Nel Cinquecento si assiste a:
- un formidabile sviluppo dell’algebra ad opera degli algebristi italiani (S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari, R. Bombelli, risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado)
- la riscoperta dei classici greci (commenti e traduzioni di Euclide, Archimede e Apollonio )
► François Viète (1540-1603) getta un ponte fra algebra e geometria classica
► Johann Kepler (1571-1630)
le coniche, calcolo di volumi con tecniche infinitesimali
Equazioni di terzo grado
Leonardo Fibonacci Pisano Flos 1225
Fornisce una soluzione approssimata in forma sessagesimale 1; 22, 7, 42, 33, 4, 40
Paolo Gherardi Libro di ragioni 1328 classifica 9 casi e le formule risolutive sono errate perché generalizzazioni della formula di secondo grado
48
Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344
Formule risolutive esatte per particolari
equazioni, ma non svela il procedimento
Equazioni di terzo grado
Equazioni di terzo e quarto grado
Mastro Dardi Aliabra Argibra 1344
Qual è l’interesse mensile richiesto a quel tale cui sono state
prestate 100 lire se dopo 3 anni tra capitale e interesse sono state
restituite 150 lire?
Calcolo degli interessi per un periodo di 4 anni
49
Calcolo degli interessi per un periodo di 5 anni
Piero della Francesca Trattato d’abaco
Luca Pacioli Summa de arithmetica,
geometria, proporzioni et proporzionalità
1494 Venezia
EQUAZIONI
Equazioni di terzo grado
1530-1534Cartelli di sfida matematica
Antonio Maria del Fiore sfida
Zuannin de Tonini da Coi
Nicolò Tartaglia
Scipione dal Ferro 1465-1526
Girolamo Cardano
Annibale della Nave
Nicolò Tartaglia 1500-1557
50
Scipione dal Ferro 1465-1526
Ms. 595 Biblioteca Universitaria Bologna Pompeo
Bolognetti
Il capitolo di cose e cubo uguale a
numero.
Quando le cose e li cubi si agguagliano al
numero, ridurai la equatione a 1 cubo,
partendo per la quantità delli cubi. Poi
cuba la terza parte delle cose, poi quadra
la metà dil numero, e questo summa con il
detto cubato, et la radice quadra di detta
summa più la metà dil numero fa un
binomio, et la radice cuba di tal binomio
men la radice cuba dil suo residuo val la
cosa.
Tartaglia confida a Cardano la
sua formula sotto giuramento
che non la svelerà
Tartaglia 1500-1557Cardano1501-1576
51
Quando che 'l cubo con le cose appresso
Se agguaglia a qualche numero discreto
Trovami dui altri, differenti in esso;
Dapoi terrai, questo per consueto,
Che 'l loro produtto, sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto;
El residuo poi suo generale,
Delli lor lati cubi, ben sottratti
Varrà la tua cosa principale.
Tartaglia
In el secondo, de cotesti atti
Quando che 'l cubo, restasse lui solo,
Tu osserverai quest'altri contratti
Del numer farai due tal part' a volo,
Che l' una, in l' altra, si produca schietto,
El terzo cubo delle cose in stolo;
Delle quali poi, per commun precetto,
Terrai li lati cubi, insieme gionti,
Et cotal somma, sarà il tuo concetto
Tartaglia
52
El terzo, poi de questi nostri conti,
Se solve col secondo, se ben guardi
Che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, et non con passi tardi
Nel mille cinquecent' e quattro e trenta
Con fondamenti ben saldi, e gagliardi
Nella Città del mar 'intorno centa.
Venezia 1534
Tartaglia
Tartaglia
53
Tartaglia
caso 1°
Tartaglia
caso 2°
54
Tartaglia
caso 3°
Girolamo Cardano 1501-1576
� Ars Magna 1545
� Pubblica le soluzioni dell’equazione di terzo e di quarto grado
� Mostra di saper eliminare il termine nell’equazione di grado n con un’opportuna traslazione
55
CARDANO Ars Magna 1545
Dimostrazione geometrica
Solidi AB3, BC3, 3AB2 BC, 3AB BC2
CARDANO Ars Magna 1545
originaleinterpretazione
56
CARDANO Ars Magna 1545
Raffaele BOMBELLI 1530-1572
Opera su l’Algebra 1572
Il caso irriducibile: q2/4 - p3/27 < 0 porta alla radice
quadrata di un numero negativo, espressione
intrattabile,
“sofistica e lontana dalla natura dei numeri”
57
Caso irriducibile
ha 3 radici reali
Bombelli dà un senso
alle radici dei numeri
negativi
Rafael BOMBELLI 1530-1572
Radici quadrate di una quantità negativa
Più di meno p d m
Meno di meno m d m
Più via più di meno fa più di meno
Meno via più di meno fa meno di meno
Più via meno di meno fa meno di meno
Meno via meno di meno fa più di meno
Più di meno via più di meno fa meno
Più di meno via men di meno fa più
Meno di meno via più di meno fa più
Meno di meno via men di meno fa meno
58
Equazioni di quarto grado
Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano
Luca Pacioli Summa de arithmetica, geometria,
proporzioni et proporzionalità 1494 Venezia
Equazioni di quarto grado
INDIA Bhaskara 1115-1178 Vija Ganita
Se sei versato nelle operazioni di algebra, dimmi il numero il
cui biquadrato meno il doppio della somma del quadrato e 200
volte il numero è uguale alla miriade meno uno.
59
Equazioni di quarto grado
Zuannin de Tonini da Coi (Giovanni Colla) sfida Tartaglia nel 1535
Dividere 20 in tre parti che siano in proporzione continua e tali che
il prodotto delle due minori sia 8
Equazioni di quarto grado
1539 Cardano chiede a Tartaglia di risolvergli un
quesito postogli da Zuannin de Tonini da Coi,
analogo al precedente
“Questo proponeva Zuannin de Tonini da Coi, e
diceva che non era risolubile; io invece dicevo che si
sarebbe potuto risolvere, solo che tuttavia non
sapevo come sino a che non lo risolse FERRARI.”
Ferrari elenca 20 possibili tipi di equazioni di quarto
grado, 14 quadrinomie, 6 trinomie
60
Ludovico Ferrari 1522-1565 allievo di Cardano
Il metodo consiste inizialmente nel cambiare la variabile ed
eliminare il termine di terzo grado
Se non è un quadrato perfetto, lo si rende tale con opportune
aggiunte, in modo da scrivere l’equazione nella forma
Ferrari aggiunge alcuni termini così da avere
quadrati perfetti
Ora si dovrà scegliere w in modo che il secondo membro
risulti un quadrato ed essendo
Si dovrà imporre che il discriminante sia zero, cioè
Equazione di terzo grado in w, detta risolvente cubica di
Ferrari, una cui soluzione permette di scrivere
61
Sia la soluzione dell’equazione
cubica, per cui si avrà solo da risolvere
un’equazione di secondo grado
esempio
62
François Viète 1540-1603In artem analyticem isagoge sursim excussa ex
operae restitutae mathematicae analyseos seu
algebra nova 1591 “L’arte che oggi presento è un’arte nuova, o per lo meno un’arte
talmente degradata dal tempo, talmente sporcata e intricata dai
barbari, che ho creduto necessario, dopo avere eliminato tutte le
proposizioni erronee, … di donarle una forma interamente
nuova. … Tutti i matematici sanno che sotto il nome di Algebra
et Almucabala, che essi vantano e chiamano la Grande Arte, si
nasconde una miniera d’oro di incomparabile ricchezza. Essi
fecero anche delle ecatombe e dei sacrifici ad Apollo quando
avevano trovato la soluzione di uno solo di quei problemi, che io
risolvo spontaneamente a decine, a ventine, un fatto che prova
che la mia arte è il metodo d’invenzione più sicuro in
matematica”.
Viète In artem analyticem isagoge
•logistica numerosa, il calcolo numerico
• logistica speciosa, il calcolo letterale
“Per rendere con un artificio questo metodo più facile,
le grandezze date si distingueranno dalle grandezze
incognite o cercate, rappresentandole con un simbolo
costante, immutabile e ben chiaro, indicando, per
esempio, le grandezze cercate con la lettera A oppure
con un’altra vocale A E, I, O, U, Y e le grandezze date
con le consonanti B, D, G, ecc.”.
63
Terminologia e simbolismo
latus o radix incognita x A
quadratum Aq
cubus Ac
quadrato-quadratum Aqq
quadrato-cubus Aqc+addizione, – sottrazione, = minus incertum,
in o sub moltiplicazione,---- divisione,
Rq radice quadrata,
Rc radice cubica,
Rqq radice quarta,
aeq. uguaglianza.
Zetesi Forma canonica delle equazioni
Le operazioni che riconducono un’equazione alla sua forma
canonica sono:
• l’antitesi (trasposizione), cioè il passaggio dei termini da un
membro all’altro;
• l’hypobabismo (abbassamento), abbassamento della
potenza massima dell’incognita in un’equazione mancante del
termine noto;
• il parabolismo (divisione), che consente di togliere,
mediante divisione, il coefficiente della potenza massima
dell’incognita.
64
Viète mira a fondere il linguaggio della geometria con
quello dell’algebra, per cui spesso, dopo aver scritto
l’equazione in forma canonica, la mette sotto forma di
analogismo, cioè il primo membro dell’equazione è
uguale al prodotto degli estremi di una proporzione e il
secondo membro al prodotto dei medi.
esempio: l’equazione
corrisponde a
Viète la scrive come analogismo, nella forma
Viète De aequationum recognitione
et emendatione 1615
Tramite la ZETESI procede ad un esame diretto delle relazioni
fra l’incognita, i coefficienti e i termini noti dell’equazione
canonica
Interpretazione delle equazioni di secondo e terzo grado come
proprietà di una serie incognita di 3 o 4 grandezze in proporzione
continua
Dati la media proporzionale e la somma degli estremi trovare
le grandezze
65
Teoria delle equazioni algebriche
2° grado
tipo soluzioni:
2 reali se
2 complesse se
legami radici-coefficienti
Teoria delle equazioni algebriche
3° grado
tipo soluzioni:
3 reali se
1 reale, 2 complesse se ∆>0
legami radici-coefficienti
66
problemi studiati
esistenza di soluzioni
AA. Girard 1629
ogni eqz di grado n ha esattamente n radici
teorema fondamentale dell’algebra
1799 Carl Friedrich Gauss
Ogni equazione algebrica ammette almeno una
radice reale o complessa
determinazione soluzioni: esatte o approssimate
Teoria delle equazioni algebriche
Dai problemi di calcolo delle radici delle equazioni
algebriche sorti nel Cinquecento, sotto la spinta delle
difficoltà di soluzione delle equazioni di quinto grado,
progressivamente l'attenzione si spostò sulle proprietà
che legano il sistema delle radici al campo dei
coefficienti. La principale di queste proprietà era data
dalle funzioni simmetriche elementari delle radici, che
sono date direttamente, a meno del segno, dai
coefficienti dell'equazione.
Teoria delle equazioni algebriche
67
� 1770 J. L. Lagrange Réflexions sur la résolution algébrique des équations
� 1799 Gauss teorema fondamentale dell’algebra
� 1799 P. Ruffini
L’equazione di grado 5 non è in generale risolubile per radicali
� 1824 N. Abel
� 1829-1832 E. Galois teoria dei gruppi
� 1846 ad opera di Liouville è edita sul Journal deMath. Pure et appl. la teoria di Evariste Galois
equazioni algebriche
