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Equations en nombres entiers Stéphane Fischler (Université Paris XI - Orsay) Lycée Michelet (Vanves), 3 mai 2006 Dans le cadre des « Promenades Mathématiques »

Stéphane Fischler (Université Paris XI - Orsay) Lycée ...fischler/amej/Michelet.pdf · Plan 1.Une histoire d'allumettes. 2.Un jeu de construction. 3.Le théorème de Fermat. 4.La

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Equations en nombres entiers

Stéphane Fischler(Université Paris XI - Orsay)

Lycée Michelet (Vanves), 3 mai 2006

Dans le cadre des « Promenades Mathématiques »

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Plan

1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.

Merci à Emmanuel Peyre !

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Plan

1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.

Merci à Emmanuel Peyre !

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On joue avec des allumettes…Allumettes

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Un rectangle, c’est facile !Allumettes

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Un triangle rectangle,c’est plus dur

Allumettes

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Un triangle rectangle,c’est plus dur

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Allumettes

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Ça ne marche pas toujours !

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Allumettes

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C’est un problème de maths !

x allumettesz allumettes

y allumettes

Allumettes

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Théorème de Pythagore

x allumettesz allumettes

y allumettes

x2 + y2 = z2

Allumettes

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Traduction du problème

Trouver des entiers x, y et z tels quex2 + y2 = z2

(avec x, y, z ≥ 1)

Allumettes

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Solution du problème (1)

Théorème : Il existe une infinité d’entiersx,y,z tels que x2 + y2 = z2.

Exemples :32 + 42 = 52

52 + 122 = 132

Allumettes

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Solution du problème (2)Théorème : On a x2 + y2 = z2 si, et seulement

si :x = 2mn x = m2 - n2

y = m2 - n2 ou y = 2mnz = m2 + n2 z = m2 + n2

avec m > n ≥ 1.

Allumettes

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Plan

1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.

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Un jeu de construction

Léa et Léo jouent avec des petits cubes,comme celui-ci :

Ils assemblent leurs petits cubes pour fairedes gros cubes.

Construction

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Chacun le fait de son côté…

Léa Léo

Construction

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avec ses propres petits cubes.

Léa Léo

4 × 4 × 4 = 64 petits cubes2 × 2 × 2 = 8 petits cubes

Construction

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Puis ils les mettent en commun !

Ensemble, ils ont 8 + 64 = 72 petits cubes…

Construction

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Puis ils les mettent en commun !

Ensemble, ils ont 8 + 64 = 72 petits cubes…Ils ne peuvent pas faire un gros cube ! Car :

Gros cube de côté 4 : 64 petits cubesdonc il en reste !

Gros cube de côté 5 : 125 petits cubesdonc il en manque !

Construction

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Peuvent-ils parfois réussir ?

Léa a x3 petits cubes : il en fait un gros cubede côté x.

Léo a y3 petits cubes : il en fait un gros cubede côté y.

A eux deux ils ont x3+y3 petits cubes…

Construction

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Peuvent-ils parfois réussir ?

Léa a x3 petits cubes : il en fait un gros cubede côté x.

Léo a y3 petits cubes : il en fait un gros cubede côté y.

A eux deux ils ont x3+y3 petits cubes : est-ceque ça peut faire z3 ? On veut :

x3 + y3 = z3

Construction

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Non, jamais !

• Théorème : Il n’existe pas d’entiers x,y,z ≥1 tels que

x3 + y3 = z3

• Démontré par Euler (1707 - 1783).• Donc Léa et Léo ne pourront jamais réunir

leurs cubes pour en faire un gros !

Construction

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Plan

1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.

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Résumé

Allumettes : x2 + y2 = z2

Construction : x3 + y3 = z3

Généralisation : xn + yn = zn

avec un entier n ≥ 2.

Fermat

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Théorème de Fermat

Théorème : Si n ≥ 3, il n’existe pas d’entiersx,y,z ≥ 1 tels que

xn + yn = zn

Conjecturé par Fermat vers 1636…… démontré par Wiles en 1994 !

Fermat

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Enoncé par Fermat (1636)

Cubem autem in duos cubos, autquadratoquadratum in duosquadratoquadratos, et generaliter nullamin infinitum ultra quadratum potestatemin duos eiusdem nominis fas est dividere.

Fermat

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Rappels de 1ère …

Pour un polynôme de degré 2 : a X2 + b X + c avec a=1

Racines : (-b-√∆)/2 et (-b+√∆)/2.Distance entre les racines : √∆.Donc le discriminant est le carré de la distance

entre les deux racines.

Fermat

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Stratégie de preuve (1)

Si xn + yn = zn, on considère le polynômeB (B - xn) (B + yn)

Racines : 0, xn et -yn.Distances entre les racines : xn, yn et xn + yn = zn.Discriminant : ∆ = (xyz)2n

(c’est le carré du produit des distances entre les racines)

Fermat

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Stratégie de preuve (2)

Ce polynôme incite à étudier l’équationA2 = B (B - xn) (B + yn)

qui est celle d’une« courbe elliptique »

dont le discriminant ∆ est une puissance 2n-ième…

Fermat

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Stratégie de preuve (3)

Cette courbe elliptique est tellement particulièrequ’elle ne peut pas être modulaire (si n ≥ 3).

Synthèse : Si xn + yn = zn avec n ≥ 3 alors on aconstruit une courbe elliptique qui n’est pasmodulaire.

Fermat

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Stratégie de preuve (4)

Conjecture (Taniyama - Weil) : Une tellecourbe elliptique non modulaire ne peutpas exister.

Wiles a démontré cette conjecture, doncle théorème de Fermat.

Fermat

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Et après Fermat ?

Théorème : L’équationxn + yn = 2zn avec n ≥ 3

n’a que des solutions triviales x,y,z ≥ 1.

Solutions triviales : telles que x = y = z.

Démontré par Darmon et Merel (1997).

Fermat

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Plan

1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.

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Puissances pures

• Carrés : 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 =16,52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, …

• Cubes : 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 =64,53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, …

• Puissances quatrièmes : 14 = 1, 24 = 16, …• Puissances cinquièmes : 15 = 1, 25 = 32, …• etc.

Catalan

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Dans l’ordre croissant

1 4 8 9 16 25 27 32 36 49 64 …

On voit que 8 et 9 sont consécutifs.

Est-ce que ce sont les seules puissancespures consécutives ?

Catalan

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Conjecture de Catalan

• Théorème : Les seules puissances puresconsécutives sont 8 et 9.

• Conjecturé par Catalan en 1844.• Démontré par Mihailescu en 2002.

Catalan

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Autre formulation

• Conjecture de Catalan : L’équationxa = yb + 1

admet une seule solution x,a,y,b avec a,b ≥ 2 :(x,a,y,b) = (3,2,2,3).

• Tijdeman, 1976 : les solutions sont ennombre fini.

Catalan

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Plan

1. Une histoire d'allumettes.2. Un jeu de construction.3. Le théorème de Fermat.4. La conjecture de Catalan.5. Les nombres 1111…111.

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Nombres formés de 1

• 11 n’est pas une puissance pure.• 111 n’est pas une puissance pure car :

102 = 100 < 111 < 121 = 112

43 = 64 < 111 < 125 = 53

34 = 81 < 111 < 256 = 44

25 = 32 < 111 < 243 = 35

111…11

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Nombres formés de 1

• 1111 n’est pas une puissance pure car :332 = 1089 < 1111 < 1156 = 342

103 = 1000 < 1111 < 1331 = 113

54 = 625 < 1111 < 1296 = 64

45 = 1024 < 1111 < 3125 = 55

36 = 729 < 1111 < 4096 = 46

27 = 128 < 1111 < 2187 = 37

111…11

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De même…

• 11111 n’est pas une puissance pure.• 111111 n’est pas une puissance pure.• 1111111 n’est pas une puissance pure.• etc.

Un nombre formé de 1 peut-il être unepuissance pure ?

111…11

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• Théorème : Un nombre formé de n fois lechiffre 1 ne peut jamais être une puissancepure (si n ≥ 2).

• Démontré par Bugeaud et Mignotte (1999).

111…11

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Comment généraliser ?

• 11111 = 99999 / 9• 99999 = 100000 - 1 = 105 - 1

• 111….111 =

• Puissance pure : yq avec q ≥ 2.

10n - 110 - 1n chiffres

111…11

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Théorème de Bugeaud-Mignotte

Théorème : L’équation

= yq

n’a aucune solution n,y,q ≥ 2.

10n - 110 - 1

111…11

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Généralisation

Conjecture : L’équation

= yq

admet exactement trois solutions (x,n,y,q)avec x,y,q ≥ 2 et n ≥ 3.

xn - 1x - 1

111…11

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Les trois solutions

74 - 1 7 - 1

= 202

35 - 1 3 - 1

= 112

183 - 1 18 - 1

= 73

35 = 243

74 = 2401

183 = 5832 et 73 = 343

111…11

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On en est loin…

On ne sait pas démontrer que l’équation

= yq

n’admet qu’un nombre fini de solutionsavec x,y,q ≥ 2 et n ≥ 3.Seuls certains cas particuliers sont connus.

xn - 1x - 1

111…11

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Méthodes de démonstration

• Théorie algébrique des nombres :Cas particuliers de Fermat ; Mihailescu.

• Modularité des courbes elliptiques :Wiles ; Merel-Darmon.

• Formes linéaires de logarithmes :Tijdeman ; Bugeaud-Mignotte.

• Et il y en a d’autres !

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Merci pour votre attention !

Sur le même thème :exposé d’Eva Bayer à la BNF,

le 10 mai à 18h30Hermann Minkowski, grand prix de

l'Académie des sciences à 18 ans

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Plan projectif éclaté en 3 points

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Produit de deux droites projectives

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Plan projectif

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Droite projective sur Q(i)