E N R I C O GIORGIO G A R N I R dell' Universit& di Liege

S T R U C T U R E D E S D I S T R I B U T I O N S DE L. S C H W A R T Z

(Confe~'enza $enuta il 18 ntaggio 1965)*

S U N T O . - - Si d imost ra un teorema genera le di s t r u t t u r a delle dis t r i - buzioni di L. SCHWARTZ di cui le regola r izza te appar tengono a cer t i spazi di Banach. Esso pe rmet t e di r i t r o v a r e fac i lmente i teoremi di s t r u t t u r a delle dis t r i -

buzioni di ~ ' , ~-'~'La7 c ' ~ , ~ , c~),L| e delle dis tr ibuzioni che ammet tono u n a t r a - s fo rma ta di Laplace. Questo lavoro l*iprende e prec isa dei r i su l t a t i di [2].

1. - Nous adop tons les no ta t ions usuelles de la th~or ie des d i s t r i - bu t i ons [3] (1). P o u r ce qui concerne l ' ana lyse fonc t ionne l le g~n~rale, nous r e n v o y o n s ~ [1] . Soit ~:(q0) une d i s t r i bu t ion d~finie p o u r

E D . (E~), E,~ �9 espace eucl id ien ~ n d imens ions ; p o u r m e t t r e en 4vi- dence la v a r i a b l e m u e t t e qui i n t e r v i e n t dans ~ (cp), on ~crit

On pose

~: (m) = ~: [~o (x)]. (z)

(x)

C'es t une fonc t ion E C . (E~) de y, la d~r iva t ion s ' e f f e c t u a n t sous le s igne ~ . On l 'appel le r~gular is~e de ~: p a r ~.

2. - Voici un th~or~me qui p rec i se la s t r u c t u r e de ~: lo r sque r ~ q~ E B, V ~ E D.(E~), B d~s ignant un espace de B a n a c h conve- nable .

Si B e s t un espace de Banach tel que ~) B cLlI~ b) pour tout compact K c E , , ,

II f II ~,(K) ~ C (K) 11 f tl ~-

* P e r v e n u t a in t ipogra f i a 1'8 se t tembre 1965. (1) Les nombres ent re crochets renvoien t h la bibliographie, plac~e en fin

d 'ar t ic le .

132 E. G, GARNIR

e) {f : l l f l ]s < 1 } n C . ( E . ) est fermr darts C.(E,), alors, toute distribution r telle que cC . ~ E B pour tout q~ E D ( E , ) s" dcrit

�9 f i Akq)r + ~ ' d x , (~-) "5(@

avee ~b et ~ E B e t pour un certain entier k. Etab l i s sons ce t t e proprietY. Posons B ~ {x:lx]<_ R}. M o n t r o n s d ' a b o r d qu 'on a

I 1 ' ~ * ~ 1 1 ~ - - % C Z s u p l l ) ~ ( p l , BR

~ k o

p o u r une ce r t a ine va l eu r de l ' en t i e r k0. P o u r cela, cons id6rons

0 ---- { ~ o : l [ ~ l I B _ _ ~ 1} N I)~(BR.).

C'es t un t o n n e a u de D| (BR). E n ef fe t ,

- - 0 est abso lumen t convexe : si ~1 . . . . . q~ E 0 et Xic~] < 1, on a b ien

- - O es t a b s o r b a n t : I[ ~ ~ r -< C e n t r a i n e 1[ ~: , ( r _< 1 o es t f e rm6.

Comme D_ (BR) est ~ s emi -no rmes d6nombrables , il s u f f i t que O s o i t f e rm~ p o u r les suites. Si ~,~-->el dans D.(BR), on sa l t que ~: ~ ~ --> ~: ~ ~ dans C . (E~). Comme r s O, [[ ~ ~ r 1 e n t r a i n e I I ~ ~ ~~ -< 1, p a r la propr i6 t~ c) de B, donc cp E 0.

Mais D . (BR) est de F r6che t , donc tonnel4. Le t o n n e a u 0 con t i en t donc une semi-boule de D . (B~). D'ofi la th~se, vu la f o r m e des semi- n o r m e s de D.(B~).

I n t r o d u i s o n s ensui te la fonc t ion e~(x), solut ion ~16mentaire de l ' o p 6 r a t e u r

..1 ~: , A Z )2 . t r t ~ l

P o u r rappel ,

- - ,;~, E (:o. (~ o) n L ] ~162 (~,,),

- - j e~ A ~: ~f d x = q~ (0) , V ~o s Doo ( E . ) ,

ce qui e n t r a i n e A ~ e~ ~ 0 dans ~ 0 .

(2) Nous n'6crivons pas l'ensemble d' integration lorsque c'est E~.

S T R U C T U R E DES D I S T R I B U T I O N S DE L. S C H W A R T Z 133

- - e~ E C~ (E~) si k est assez grand, ko 6tant donn6 arbi t ra i rement .

Soit mR une fonction de D= (BR), ~gale ~ 1 dans BR/2. Prenons k assez grand pour que e~,EC~ (E,,), d:onc m~ e~,ED~ (E,J. Alors, ~ , ~ = ~ R ek* el/,, (1) est dans D=(BD d~s que m est assez

grand et tend vers mR e~ dans D~ (BR) si m - o ~ . AinsL ~: * #~ forme une suite de Cauchy dans B, puisque

D~s lors, ~: + ~., converge dans B. Nous d6signons sa limite par r ~: * ~R ek >> E B. Posons enfin

----~+ A k ( 1 - ~ R ) ekEB;

on note que ~V E B, parce que Ak(1 - - aR)e~ E D(E,) . Vu la propri6te a) de B, on a # et ~u E L~o~. Montrons que

/ �9 / ~ @ ) = , A ~ 9 ) ~ d : ~ + q~ ~d~,.

De fait , d'une part,

f A k q~ + dx = lira (A~ q~ 'E: + qb.: ,ix �9 l (*) m~ood

,m ~ oo ( ' * )

en reeourant en (*) ~ la propri6t~ b) de B et en (**) au fair que A ~ qo + ~,~ tend vers A~ q0 + mR e~ dans D= (E,).

D 'aut re part ,

f 9 ----- [~o + (1 - - a~r e~] 9 * (1 ~u dx ~C A ~ [A~ OtR) ek] .

En addit ionnant, il vient

l A ' q ~ + d x + ( 9 ~dx---- '~[A'q~ | e~,]= ~(9>- d

3. - Etudions d 'abord la s t ructure des distributions de 3 ' . I1 importe ~ cette f in d ' introduire l 'espace C~ (ED des f E Co(E),

tels que sup l q f l < oo, ~n

(~) P a r d~finit ion, on a ~llm E Doo (E~), 91/m ~ 0, Qi/m = 07 si Ixl ~ 1 / m ,

@t ~I/~ d x = 1. J

134 E . G . GARNIR

norrn~ par sup l ~ f l .

On suppose e E Co (E,) et ~ > 0. C'est un espace de Banach dont les fonctionnelles lin~aires bor-

n~es s '~crivent

j ' f dff,

ff d~signant une mesure telle que

f d l~ < o r

Ceci pos~, les condi t ions

(a~) t ~: (m) I --< O sup sup (~ + I x' I)~ I D' ~ t , L~ En

~ b v e d

j" d ff~ (1 + i= i~) ~ < o o ,

(c,~) I '~ * ~ I --~ o (70 (1 + tx I")k, V ~ e D~ (E,.,),

avec

Ir et 1~"I-<O(l+I~:I2F,

sont telles qu'~ tout k correspondent k l et k : , tels que

a~ - - ~ b~ ~ ck ~ . d h - - -~ ak, , (k ~ k i ~ ks).

ak ~ b~.

On a f~(~1) ~ f~ (~2), si D ~ 1 ~ D z~2, ( l ~ 1 , . . . , k). Pa r consequent, ~ (~) ne d~pend que de ~, D r . . . . D~o et s '~crit

~: [, D ~ . . . . , D ~ ~)]. C'est une fonctionnelle d~finie sur le sous- espace lin~aire

{(7~, .D~, ..., D',,p) : ~ E D ~ (.E,,)} E Co x Co '+I~E' x ... x v(,, ~+'~l')k .

Elle s'~tend donc ~ cet espace par le th~or~me de Hahn-Banach, par

n n

~:r (x , , ..., ~,)1 = ~ ~ [ ( o , . . . , ~ , ..., o)] = ~ t : , (~,,,), I=1 | = I

S T R U C T U R E DES D I S T R I B U T I O N S DE L. S C H W A R T Z 135

avec

D~s lors,

avec

~z e [O(0~+l~t')~] ".

~:(~) -- ~ fD~dm, f dtt~

(1 ~ : i ~ I-')~ < o~ . bk ~ - ~ ek.

Rappelons l'in6galit6 imm6diate

+ I~1 ~ ~ 4(1 + ].y [~) (1 + I x - - y12).

Elle ent ra ine

Z<k

~4 (1 -1-lyl~)" "~ ..up 1(1 + I~l~)Z/)Z~l �9 f I<k

L'hypoth~se signifie que

pour tout ~ E D . (E.). L'espace de Banach

* q? E Clo/(I+[~F)~: �9

Clo/(l+ I xF) k

dttz (1 + I~1') '

dtt, (1 + I~1~)* "

r6pond aux conditions impos~es ~ B dans le w 1. En effet , si on d6signe les 616ments de cet espace par f,

a) f E Co(E.)~LI~"c(E.). b) ]lf]]z~K)-~-fK If] dx

f ]fl .j'(1 + Ixl2)~dx. - - (1 + f l ~ I ')" (l+lxI~)kdx<---suP(l+lx]2)k I~ K

c) Si .f,,,---+f dans C.(E.) , on a, pour tout compact K c E . .

sup < 1 ~ sup < I , V K /~n (I + Ixl~) k -- K (i + IXl~) i --

Ill Ifl ---~ sup _% 1, V K ~ sup < 1.

D'ofl la conclusion d ~ .

[36 E. G. GARNIR

d,~ . - ~ - a ~ .

En effet, on a

f q) I'~(r = . , (~+ I , ~ , l * ) " , ~ * , q , (1..4_ i~1~),,,

_<snpO + lxl")k,I a,~ml, i (1+

<= Csup sup (1+ [xl~)' I D ~ I . E,, z<2k

T (1 + Ix{")",

-bsup(1-1-1xl~)'~'lT'l' t" I ~ l d x E. .r ( I + i x V ) ~'

d.r

4. - Examinons ensuite le cas des distributions de c2)'L,. A. Les condi t ions

(ak)

(b~)

(e)

(a)

sont telles que

[ ~ ( 9 ) [ ---< C sup t{-I )lep[iLt, l-.~k

% . ~ = f Ah ~ r dx + l '~ ~" d:,; , a v e c ~ e t ~ E L - ,

K dgs ignant une cons tante f ixe .

a.k ~ bk.

I1 SUffit de reprendre le raisonnement du w 3 en rempla~ant par

L~ t o u s l e s espaces Cg qui interviennent .

~k ~ " ~ " e .

De fair, k k

l = l l ~ l

c----------~ el.

I1 suffit pour cela de v~rifier que l'espace de Banach L1 sat isfai t aux conditions impos~es ~ B, dans le w 2.

De fair, si on note f les ~Mments de L1,

a) f E L . c:: L1 '~,

S T R U C T U R E DES D I S T R I B U T I O N S DE L. S C H W A R T Z L37

b) I III1~, (~) = f ,~ Ill dx <_ r u e s K - I I/11~., c) si fm--> f dans C. (E,), on a, pour tout compact K c E , ,

I1.1~ II L| ~ 1 - - ~ - sup If,,~ I ~ 1, v K K

= ~ . sup I f I --< 1 , V K ~ sup t . f I ~ I .

d ~-l~ ast.

En effet, on a

I ' E (~,) I <-- II r II L~ II A x q~ II L, + II ~ I1 .a| II g' II r,,

C Z II 1) ~ ~ II .~'1 ~ l--..~l

B. Th6or6me enti~rement analogue pour les dis tr ibut ions de ~-2)'~.. L'6nonc6 pr6c6dent subsiste si on remplace L, et L . pa r L.~.

C. Pour les dis tr ibut ions de c2)'L~, l'6nonc6 est moins precis, car ]e dual de L_ contient L~ sans lui ~tre identique.

Ici, on a l e s relations

a ~ b ~q*- c

en tre les conditions

~,) ~ ~ E L I , V ~ E z~,=,, (Ep ,

f i b) "~. ~ g, = A~ cp qS dx q- q~ ~ d:r,

avec ( b e t ~ ELI,

c) ~:(cp) ~ C sup I tD~IJL | l~21"

Les d6monstrat ions sont analogues.

5. - Etudions f inalement la s t ruc ture des distr ibutions qui ad- me t t en t une t ransformde de Laplace (----- :~- transformde).

On appelle respect ivement ensemble de ~ - t r a n s f o r m ~ b i l i t d d'une fonct ion mesurable f ou d'une distr ibution ~:, les ensembles

v ~ = n v ~ . ~ . E D~ (E n)

et

Semlnario Z~atematico e Fisico IL

138 E. G. GARNIR

Nous avons pos6 (x, 5)----- ~ x~ 5, , . ~t6~1

La s t ruc tu r e des d i s t r ibu t ions telles que 1 ~ r Q est f ix6e p a r le th6or~me su ivant , su r lequel se fonde la th6or ie de la t r a n s f o r m a - t ion de Laplace des d is t r ibut ions , selon [2].

A t o u t c o m p a c t ~, ~ v ~ Q , de l ' e n v e l o p p e c o n v e x e d ' u n n o m b r e f i n i de p o i n t s ~ , . . . , 5s ~ F ~ , on p e u t a s s o c i e r u n e n t i e r k~. e t d e u x

f o n c t i o n s ~ e t ~ . , t e l les que

et z E /'~y. et F ~ z

Cetto proposi t ion r~sulte du th6or~me du w 2 appliqu6 /~ l 'es- pace B des fonet ions mesurables f , telles que

no rm6 p a r

j , sup e-t~,~ l . f (x) I dx ~ ~ , ~ E u

J " e_(X,~ ) 11 f II = sup I f (x) I dx. ~EY-

V6ri f ions d ' abord que B e s t bien un espace de Banach. C 'es t v i s ib lement un espace l in6aire. Sa norme sa t i s f a i t aux re la t ions

II~fll = ]AI . I l f l l , I I f + g l l ~ Ilfll + Ilgll

e t [If[] ~ 0 en t r a ine ~ I f ( x ) l ---- 0 pour tou t ~ E ~ , donc f(5) ~ 0 pp~ v u l e s propri6t6s de la t r a n s f o r m a t i o n de Laplace des fonct ions .

B e s t complet. De fair , si

sup I ~-(~'~) I.ti~ (x) - .tq ('~) I dx - + O, t E ~ ,I

lo rsque p, q--> ~ , f~ eat de Cauchy dans #~ --L1, la mesure tz~ 6tant . d6f inie su r t ou t ensemble bor61ien born6 e pa r

1

tt~ (e) ---- [ e - ( x , ~ ) d ~ T � 9

6

II existe donc f ( x ; 5), 5 E ~ , tel que

f ,~-(~"~) I.t'~ (x) - f (x; ~) I dx --~ O.

STRUCTURR DES DISTRIBUTIONS DE L. SCHWARTZ 139

Cependant , f ( x ; ~) est i nd6pendan t de ~, car f ~ ( x ) .---> f ( x ; r dans L ~ ( E , O , vu que, pour t ou t compac t K c E , , ,

�9 ,u. / / i ]f(x)l 4.~ _< e(=,~) e-<=,~) I f l dx < V e-(=,~) i.t'l dx . �9 z ~ K

K ~Eg K K

E n outre , comme on a

" ~-(=,~)I j ~ (x) i' e-(=,~) _ -- j~(x)l dx _< sup If~ (x) - - ]~ (x) I < ~,

quel que soit ~ > O, d~s que p, q >_ N(e) , cette re la t ion subsis te lorsque q--> ~ et il v ient

j " e-(=,~) l fp (x) --. t '(x) Iax <_ ~,

d~s que p est assez g rand , quel que soi t 5 E x , donc

s sup / e-(=,~) I,t~ (x) - - . / ( x ) I dx ~ , .

Etab l i s sons ensui te que l 'espace B sa t i s f a i t aux condi t ions impo- s~es dans le w 2.

a) B E L~ ]'~ car, pour t ou t compac t K de E . on a

I.f I ~ sup e(',~), e-(=,~) I f I E LI- �9 E K ~E y.

b) Nous venons de voir que

llfll L,(a)_< C I I f ( l~ .

c) Si f . - - + / dans C= (E~), alors, pour tou t compact K de E . , il v ien t

"uP i "-('"> t.~-. I ~., <- ~ =+ ~.p j .-'=")Lt;, J ,l= <_ K

=+ sup [ .-(.,~, I./I ,I,., < 1 =+ .~,p t " -"" l.rl d., <_ 1, K

vu que

sup j ,,-(=,-~)M'Idx- sup j e-(-,~' l.f,,,. Id:r ~E~ ~Ex

K K

_< sup j e-(=,~) t.t" --.t;~ I dx _< sup ,~-(=,~). rues K . s u p I . / ' - - ] ; , I ~ E ~ .~EK K

K .~Ex

1 4 0 E . G . GARNIR

Assurons-nous enfin que ~: * ~ 6 B, si K se trouve dans l'enve- loppe convexe des points ~ , . . . , ~N 6 F ~ .

et

E n e f fe t , on a a lo r s

N --2~i(~i,z)

e - ( ~ , z ) ~ e {,~---i

N N

N

N , .

i~ - I i ~ l i ~ l

N

L.~I

SOMMAIRE.- On d~montre un th~or~me g~n~ral de structure des distribu-

tions de L. SCHWARTZ dont les r~gularisdes appartiennent ~ certains espaces de Banach. II permet de retrouver ais~ment les th4or~mes de structure des distri-

butions de ~..Q', r c~),/~,, C~),L= et des distributions qui admettent une transform~e de Laplace. Ce travail reprend et pr6cise des rdsultats de [2].

B I B L I O G R A P H I E

[1] E. G. GARNIR, M. DE WILDE, J. SCHMETS, Espaces lin~aires d semi-normes I, H, I I I (S~rninaire d 'Analyse Math~matique et d'Alg~bre, Liege, 1962o65).

[2] E. G. GARNIR et M. MUNSTEr, Transforn~ation de Laplace des distributions de L. Schwa~'$z (Bull. Soc. R. Sc. Liege, 1964, pp. 615-631).

[3] L. SCHWARTZ, Th~orie des Distributions (Hermann, Par is , t. I, 1950, t. I I , 1951).

[4] L. SCHWARTZ, Transformation de Laplace des disSributions (Comm. Math. Univ�9 Lund, tome suppl, d~di6 ~ M. Riesz, 1952, pp. 196-206).