Structures de donnéesIFT-2000

Abder AlikacemAbder Alikacem

La récursivité

Département d’informatique et de génie logiciel

Édition Septembre 2009

Plan du cours

I. Notions de baseII. Exemple simple (imp. de nombres)III. Limitations (suite de Fibonacci)IV. Arbres (introduction)V. Autres exemplesVI. Sous-séquence de somme maximaleVII. Backtracking

Notions de base

Définition

Un objet est récursif s'il est défini à partir de lui-même. Une fonction est récursive si elle peut s'appeler elle-même de façon directe ou indirecte

Quand ? Suite récurrentes (exemple : factorielle) Type récursifs

Liste non vide = premier + listeArbre binaire = racine + sous-arbre droit + sous-arbre

gauche Définitions récursives

Grammaire : <E> ::= + (<E>,<E>)<E> ::= * (<E>,<E>)<E> := Nombre || identificateur

Récursivité

Idée générale :La réalisation d'une tâche par un algorithme récursifrepose sur deux éléments:

• La résolution partielle du problème d'une façon simple. La réalisation du reste de la tâche étant déléguée aux appels récursifs successifs.

• La détermination d'une condition d'arrêt qui permet d'arrêter la cascade d'appels récursifs. Résoudre le problème au moment où la condition d'arrêt est détectée correspond en général à résoudre un cas trivial de celui-ci.

Récursivité

Quatre règles régissent la récursivité:

1. Présence de cas de base pouvant être résolu sans récursivité2. Toujours progresser vers le cas de base à chaque appel récursif3. « Ayez la Foi »: avoir confiance que les appels récursifs

progressent réellement vers le cas de base.4. Intérêt composé: Ne jamais dédoubler du travail dans deux

appels récursifs différents.

Fonction récursive factorielle

Soit la fonction Factorielle, effectuant l’opération n!

int fact (int n){if (n = = 0) return 1;else return (n * fact (n-1));

}

Règle récursive : fact(n) = n * fact (n-1)Condition d’arrêt : fact (0) =1

PILE DES CONTEXTES

Idée générale

La notion de récursivité très liée au concept des piles.

Les piles sont des structures qui peuvent contenir plusieurs éléments. Toutefois, seul le dernier élément ajouté à la pile est accessible.

Une analogie peut être faite avec les piles d'assiettes. Seule l'assiette du dessus est immédiatement accessible. De la même façon, lorsqu'une assiette est ajoutée, celle-ci est nécessairement déposée sur le dessus de la pile.

PILE DES CONTEXTES

• A chaque appel d’une fonction récursive, les arguments transmis par valeur et les variables locales sont empilés.

• Ces valeurs constituent le contexte d’activation de l’appel.• A chaque retour le contexte situé en haut de la pile est

disponible• Les contextes sont indépendants

Assiette disponible

Ainsi, lorsqu'une fonction est appelée, ses paramètres formels, l'adresse de retour et les variables locales (automatiques) de la fonction appelée sont déposés sur la pile. Toutes ces données sont retirées de la pile à la finde l'exécution de la fonction. Conséquemment, lors d'appels récursifs, les variables de la fonction sont empilées en cascade.

PILE DES CONTEXTES

EXECUTION DE FACTORIELLE(3)

Retour au point appelant

Pile vide

(dépiler)

Return (3 *2)N=3(dépiler) => 1

Return (2 *1)N=2(dépiler) => 2

Return (1*1)N=1(dépiler) => 3

Return(1)N=04 (empiler)

N*fact(0)N=13 (empiler)

N*fact(1)N=22 (empiler)

N*fact(2)N=31 (empiler)

N° appel N° retour Contexte Action

Avantages et inconvénients

Fiabilité Solution naturelle et facile à concevoir :• si la fonction est récursive • quand la structure de données traitée est récursive

Avantages• Formulation compacte, claire et élégante.• Maîtrise des problèmes dont la nature même est récursive.

Désavantages• Possibilité de grande occupation de la mémoire.• Temps d'exécution peut être plus long.• Estimation difficile de la profondeur maximale de la récursivité.

Limitations: Fonction récursive Fibonnacci

long fibo (long valeur){ if (valeur <= 1) return valeur; else

return(fibo(valeur-1) + fibo(valeur-2));}

Soit la fonction Fibo (Fibonacci), effectuant l’opération f(n) = f(n-1) + f(n-2)

Exécution de Fibonnacci

Soit les appels effecutés pour fibo(4) :

fibo(4)

fibo(3)

fibo(2)

fibo(1) fibo(0)

fibo(1)

fibo(2)

fibo(0)fibo(1)

Danger de Fibonnacci

Note :• Cette fonction récursive effectue plusieurs appels au même calcul.

Par exemple pour déterminer f(n), on calcule d’abord f(n-1), puis au retour de l’appel, f(n-2) est calculé. Or, dans le calcul de f(n-1), f(n-2) est déjà calculé!

• Ce problème s’aggrave en descendant l’arborescence, puisque f(n-3) sera appelé à 3 reprises : chaque appel récursif entraînera de plus en plus d’appel redondant.

• Règle 4: Ne jamais dupliquer le travail par la résolution d’une même instance d’un problème dans plusieurs appels récursifs.

Champs d'application des algorithmes récursifs

• Structures de données définies récursivement (listes, arbres, graphes, etc.)

• Équations de récurrence (algébriques, vectorielles, booléennes, formelles, ensemblistes, etc.);

• Rétroaction ("backtracking").• …

Nous allons voir ensemble quelques exemples typiques sur la récursivité.

Les tours de Hanoï

Problème : • Soit n tours de tailles décroissantes sur un socle A, transférer

les n tours sur le socle B en utilisant un socle intermédiaire C.

Socle A Socle B Socle C

Déplacement d’une tour : on ne peut empiler qu’une tour de plus petite taille sur une autre tour

Paramétrage

void Hanoi(int n, socle& A, socle& B, socle&C);

n : nombre de toursA : socle de départ (valeur initiale : suite de n tours

décroissantes)B : socle de d’arrivée (valeur initiale : vide)C : socle intermédiaire (valeur initiale : vide)

Les tours de Hanoï : résolution

Socle A Socle B Socle C

Socle A Socle B Socle C

RESOLUTION RECURSIVE

Cas trivial (arrêt)n=1 : il suffit de déplacer l’unique tour de A vers B

Règle récursiven>1 : Hanoi (n-1, A ,C, B)

Déplacer (A,B) Hanoi (n-1, C, B, A)

FONCTION HANOI

void Hanoi (int n, socle& A, socle& B, socle&C){if (n = = 1) Déplacer (A,B);else {

Hanoi (n-1,A,C,B);Déplacer (A,B);Hanoi (n-1,C,B,A);

}}

A : départ B : arrivée C: intermédiaire

ARBRE DES APPELS (n=3)

Déplacer (A,B)

Déplacer (A,C)

Hanoi (3,A,B,C)

Hanoi (2,A,C,B)

Hanoi (1,B,C,A)Hanoi (1,A,B,C)

Déplacer (A,B) Déplacer (B,C)

Hanoi (2,C,B,A)

Déplacer (C,A)

Déplacer (C,B)

Déplacer (A,B)

Autres exemples

• Exemples démontrant des méthodes qui peuvent être implémentés non récursivement et des avantages de la récursivité.

• Ex : recherche dichotomique (binaire)• Ex : Dessin d’une règle

Recherche binaire (dichotomique)

Idée générale :• La recherche d’une valeur particulière dans un tableau ordonné

se fait par divisions successives du tableau en deux parties. Le fait que le tableau soit ordonné permet de déterminer rapidement la moitié dans laquelle se trouve l’élément recherché.

i = début –1j = fin +1 Tant que i et j ne se rencontrent pas Trouver le milieu du sous-tableau courant Si la valeur cherchée < tableau [milieu] j = milieu Si la valeur cherchée = tableau [milieu] Retourne milieu Si la valeur cherchée > tableau [milieu] i = milieuRetourne -1

Recherche dichotomique : Exemple d’exécution

Valeur Cherchée = 17; Début = 0, Fin = 10Valeur Cherchée = 17; Début = 0, Fin = 10

00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010

-2-2 55 77 99 1111 1515 1717 2020 2121 3030 3939

iijj

milieumilieu

-1-1 1111

La valeur cherchée est dans la partie gauche du tableau

Valeur cherchée = tableau[milieu]Valeur cherchée > tableau[milieu]

La valeur cherchée est dans la partie droite du tableau

Valeur cherchée < tableau[milieu]

On retourne milieu

Recherche binaire programmation non-récursive

int RechercheBinaire( int * tab, int debut, int fin,int val){

int i = debut - 1; int j = fin + 1; while ( i+1 != j) {

int milieu = (i+j)/2; if ( val < tab[milieu]) j = milieu; if (val == tab[milieu]) return milieu; if (val> tab[milieu]) i = milieu;

} return -1;}

Fonction récursive pour la recherche binaire

int rechercheBinaire(int * tab, int debut, int fin, int val){

int milieu;if (debut > fin) return -1; else {

milieu= (debut + fin)/2; if( val == tab[milieu]) return milieu; else {

if( val < tab[milieu]) return(rechercheBinaire(tab,val,debut, milieu-1)); else {

return(rechercheBinaire(tab,val,milieu+1,fin)); }}

}}

Sous-séquence de somme maximale

Définition:• La technique de diviser et conquérir (divide-and-conquer) est une

méthode de résolution de problèmes basée sur la récursivité:

• Diviser en plusieurs sous problèmes résolus récursivement.

• Conquérir, où la solution du problème original est composé de la solution des sous-problèmes.

Sous-séquence de somme maximale

Définition:

Étant donnée des entiers (possiblement négatifs) A1, A2,. . . , AN, trouver et

identifier la séquence correspondante à la valeur maximale de .

La somme de la sous-séquence est nulle si tous les entiers sont négatifs.

j

ik kA

Sous-séquence de somme maximale

Exemple:

Soit les entiers suivants: {4, -3, 5, -2, -1, 2, 6, -2}. On divise cet ensemble en deux:

Première moitié Deuxième moitié

Valeurs

Sommes

4 -3 5 -2 -1 2 6 -2

4* 0 3 -2 -1 1 7* 5

Sommes à partir du centre (* indique la somme maximale pour chaque moitié)

Sous-séquence de somme maximale

Cas possible:Cas possible:

• Cas 1: La séquence est situé dans la première moitié.• Cas 2: La séquence est situé dans la deuxième moitié.• Cas 3: La séquence commence dans la première moitié et se

termine dans la deuxième moitié.

Algorithme de la sous-séquence de somme maximale

Sommaire de l’algorithme:

1. Déterminer récursivement la sous-séquence de somme maximale uniquement dans la première moitié.

2. Déterminer récursivement la sous-séquence de somme maximale uniquement dans la deuxième moitié.

3. Avec deux boucles consécutives, déterminer la sous-séquence de somme maximale qui débute dans la première moitié et qui termine dans la deuxième moitié.

4. Choisir la somme la plus élevée des trois.

Fonction récursive pour la sous-séquence de somme maximale

template<class Comparable>Comparable maxSubSum( const vector<Comparable> & a, int left, int

right){ Comparable maxLeftBorderSum = 0, maxRightBorderSum = 0; Comparable leftBorderSum = 0, rightBorderSum = 0; int center = ( left + right ) / 2;

if(left == right) return a[left] > 0 ? a[left] : 0; Comparable maxLeftSum = maxSubSum(a,left,center); Comparable maxRightSum = maxSubSum(a,center+1,right); for(int i=center; i>=left ;i--) { leftBorderSum += a[i]; if( leftBorderSum > maxLeftBorderSum ) maxLeftBorderSum = leftBorderSum; } . . .

for(int j=center+1; j<=right; j++) { rightBorderSum += a[j]; if( rightBorderSum > maxRightBorderSum ) maxRightBorderSum = rightBorderSum; }

return max3( maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum );}

template <class Comparable>Comparable maxSubsequenceSum( const vector<Comparable> & a){ return a.size() > 0 ? maxSubSum( a, 0, a.size() – 1) : 0;}

Fonction récursive pour la sous-séquence de somme maximale

Sous-séquence de somme maximale (Exemple)

3 2 -5 -1 0 -1 2

3 2 -5 -1 0 -1 2

3 2 -5 -1 0 -1 2

2 -5 -1 0 -1 2

2

3

2 0 0 0 0

0 12

00 0

0

max(2,0,2+0)

2

max(3,2,3+2)

3

0 0

max(0,0,0+0)

0 2

max(0,2,0+2)

max(0,2,0+1)

Sous-séquence de somme maximale (Exemple)

3 2 -5 -1 0 -1 2

3 2 -5 -1 0 -1 2

3 2 -5 -1 0 -1 2

2 -5 -1 0 -1 2

2

3

2 0 0 0 0

0 12

00 0

0

max(2,0,2+0)

2

max(3,2,3+2)

3

0 0

max(0,0,0+0)

0 2

max(0,2,0+2)

max(0,2,0+1)

max(5,2,0+0)=5

Algorithme à essais successifs

Problématique Pour résoudre certains types de problèmes, il peut être souvent utile de procéder à l'exploration systématique des différentes solutions possibles. Il est donc essentiel de développer des techniques algorithmiques qui permettent une telle exploration.

AES ou encore algorithme de back trackingidée : construire progressivement une solution à un problème donné en essayant toutes les possibilités à chaque étape de la construction.

Remarque : la complexité de ce genre d ’algorithme est de nature exponentielle => à utiliser si l ’on n ’en connaît pas de meilleur.

Algorithme à essais successifs

AES ou encore algorithme de back tracking

On part d’une situation initiale So (ex : échiquier vide) pour aller vers une situation finale Sf (ex : Huit reines placées). Plusieurs situations peuvent répondre au problème. La situation finale est atteinte par le passage successif de situations jusqu’à atteindre Sf.

Le passage de la situation Si à Si+1 se fait par une action.

Pour chaque situation Si on a le choix entre plusieurs actions menant à des situations éventuellement différentes.

Algorithme à essais successifs

MODELISATION Une fonction Succès(S) qui permet de savoir si une situation S répond au problème. Une fonction EnsembleChoix(S) qui permet d ’obtenir à partir d ’une situation S donnée l’ensemble des actions possibles pour passer à une situation suivante.Une fonction Successeur(S,A) qui donne la situation obtenue par l’application de l’action A à la situation S.Pour chaque situation Si on a le choix entre plusieurs actions menant à des situations éventuellement différentes.On appelle chemin une suite d ’actions : <A0, A1, …, An>

Fonction AES (s:Situation) : (Chemin,Situation)Variables trouvé, choixsi succès(s) alors

trouvé=vrai; retourner(vide,s)sinon

trouvé=faux; choix <- ensembleChoix(s)tant que choix n’est pas vide et non trouvé faire

action <-un élément de choixchoix <-choix - {action}(chemin,situation)<- (AES (successeur(s,action)))

fin tant quesi trouvé alors

ajouter(action, chemin),sf))sinon retourner (Erreur Chemin, Erreur action);fin si

fin si

Algorithme

Backtracking

Exemple. Calcul du trajet du robot

Il s'agit de concevoir un algorithme qui permet à un robot de trouver un chemin menant à la sortie d'un labyrinthe. Pour ce faire le robot explore systématiquement les quatre directions vers lesquelles il peut se déplacer. De plus, afin d'éviter que le robot ne se retrouve sur des cases déjà explorées chacune de celles-ci seront marquées à mesure qu'elles sont visitées. C'est de façon récursive que les cases faisant partie du chemin seront identifiées.

Algorithme du retour-arrière

Plan du site

N

EO

S

Légende

: point de départ

: point d’arrivée

: mur ou obstache

E

S

0

A B C D E F G H I

S

E1

2

3

4

5

6

Programmation du trajet d’un robot mobile

#define Y 9 /* Les dimensions du labyrinthe */#define X 7char laby[X][Y] = { {'X', 'X', 'X', 'X', 'X', 'X', 'X', 'X', 'X'}, {'X', ' ', ' ', 'X', ' ', ' ', ' ', ' ', 'X'}, {'X', ' ', 'X', 'X', ' ', 'X', 'X', ' ', 'X'}, {'X', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', 'X', 'X', 'X'}, {'X', 'X', 'X', ' ', 'X', ' ', 'X', ' ', 'X'}, {'X', 's', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', ' ', 'X'}, {'X', 'X', 'X', 'X', 'X', 'X', 'X', 'X', 'X'}};int main(){ int i, j; bool Parcours(int x, int y); if (Parcours(1,1)) { // Imprimer le résultat de la recherche for (i = 0; i < X; i++, cout<<endl) for (j = 0; j < Y; j++) cout<<laby[i][j]; } else cout<<"Il n'existe aucun chemin.\n"; return 0;}

Programmation du trajet d’un robot mobile (suite)

bool Parcours(int x, int y){ if (laby[x][y] == 's') { /* on a trouvé la sortie */ laby[x][y] = 'S'; return true; } else if (laby[x][y] == ' ') { /* la case est libre */ laby[x][y] = 'o'; /* marquer la case visitée */ if (Parcours(x-1, y)) /* Parcours nord */ return(true); else if (Parcours(x, y+1)) /* Parcours est */ return(true); else if (Parcours(x+1, y)) /* Parcours sud */ return(true); else if (Parcours(x, y-1)) /* Parcours ouest */ return(true); else laby[x][y] = '-'; /* on laisse une marque */ } return false;}

Retour en arrière - exercice

• Quel est le chemin parcouru? Combien de retours en arrière?

• Utiliser des appels récursifs et l’ordre d’appel suivant:• Nord• Sud• Est• Ouest

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

B S

C

D

E

F EG

H

I

J

Retour en arrière - réponse

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

X

E

S

oo

o

o

oo X

X

o

o

o

o

o

o o o

o

oX

o

o o

o

o o o

o

o

o

o o

oX

Xo

o

L’ELIMINATION DE LA RECURSIVITE

Pourquoi ?Problème d’encombrement mémoire= > Diminuer la taille de la pile

Comment ? Écrire un algorithme itératif équivalent Gérer dans l’algorithme la pile des sauvegardes => ne garder

que celles utiles

Transformer un algorithme récursif en une version itérative équivalente qui conduise à une diminution de la pile.

Transformation : un cas simple

void fonction (H x){ if (c(x)) A0(x);else { A1(x) ;

fonction(F1(x)); }

void fonction (H x){ while (! c(x)) {A1(x);

x=F1(x);}

A0(x);}

Un seul appel récursif terminal.=> La pile est inutile.=> Version itérative équivalente qui conduise à l ’élimination de la pile.

Transformation : un cas simple

void enumerer (int n){ if (n <= 0) cout << "fin";else { cout << n ;

enumerer (n - 1); }

void enumerer (int n){ while (n > 0) {

cout << n ; n = n - 1;

} cout << "fin";

}

c(x) : n <= 0

A0 : cout << "fin";

A1 : cout << n;

F1 (x) : n = n - 1;

Transformation : autre modèle

T fonction (T2 x){ if (c(x)) return f(x);

else { return u (g(x), fonction(h(x))); }

T fonction (T2 x){ if (c(x)) return f(x);

else {p=g(x); x=h(x); while (! c(x)) {

p = u(p,g(x));

x=h(x);}return u (p,f(x)); }

}

Exemple : un seul appel récursif

Version récursive : ! c(x) => u [ g(x),fonction(h(x)) ] puis c(h(x)) => u [ g(x),f(h(x)) ]

Version itérative : ! c(x) => p=g(x); x=h(x); puis c(h(x)) => u [ g(x),f(h(x)) ]

même résultat

Exemple : deux appels

Version récursive! c(x) => u [ g(x),fonction (h(x)) ]! c(h(x)) => u [ g(x), u [ g(h(x)),fonction (h2(x)) ] ] c(h2 (x)) => u [ g(x), u [ g(h(x)),f(h2(x)) ] ]

Version itérative ! c(x) => p=g(x); x=h(x); ! c(h(x)) => p = u [ g(x), g(h(x))]

x= h2 (x) c(h2 (x)) => u [u [ g(x), g(h(x))] ,f(h2(x)) ]

même résultat

u doit être une relation associative

Factorielle

int fact (int x){ if (x = = 0) return 1;else return (x * fact (x-1)); }

c(x) : x = =0

f(x) =1

u : *

g(x) : x

h(x)=x-1

int fact (int x){if (x==0) return 1;else {p=x; x=x-1;

while (!(x==0)){p = p * x ;x= x-1;

}return p*1;

}}

Transformation : autre modèle

algorithme P (T x){si (c(x)) alors A0(x)sinon { A1(x)

P(F1(x)) A2(x) P(F2(x)). . .Am(x) P(Fm(x))

Am+1(x) }

}

ARBRE DES APPELS (m=2)

P(x)

P [F1(x)]

P [F1(F1(x))]

A0On remonte

A1

A1

P [F2(F1(x))]

A2

A0On remonte

A3On remonte

A2

P [F2(x)]A3

Transformation : autre modèle

algorithme P (T x){empiler (x,1) // marque fin de pile

REPETER { TANT QUE (non c(x)) FAIRE

A1(x)empiler (x,2) x <- F1(x)

FAIT A0(x)depiler (x, numret)TANT QUE(numret = = m+1)FAIRE

Am+1(x) depiler (x, numret)

FAIT

SI (numret != 1) alors Anumret(x)empiler

(x,numret+1) x <- Fnumret(x)

FSI JUSQU ’A (numret = = 1)

depiler (x, numret) // fin de // pile

On empile :• le contexte (données)• n° de l ’action suivante

FONCTION HANOI

void Hanoi (int n, socle& A, socle& B, socle&C) {if (n = = 1)Déplacer (A,B); // A0(x) else { // A1(x) : action vide

Hanoi (n-1,A,C,B); // P(F1(x)) Déplacer (A,B); // A2(x) Hanoi (n-1,C,B,A);} // P(F2(x))

}

c(x) : n = =1A0(x) : deplacer (A,B)A1(x) : action videF1(x) : permuter(B,C); n=n-1;A2(x) : deplacer (A,B)F2(x) : permuter(A,C); n=n-1;A3(x) : action vide

m=2

Am+1 : action vide

Dernier appel terminal =>Economie mémoire (pile)

Transformation : Hanoi

void Hanoi (int n, ...) {empiler (x,1) REPETER {

TANT QUE (non c(x)) FAIRE //action videempiler (n,a,b,c,2) permuter(B,C); n=n-1;

FAIT deplacer (A,B); //A0(x)depiler (n,a,b,c,numret)TANT QUE (numret = m+1) FAIRE

Am+1(x) depiler (x, numret)

FAIT

SI (numret != 1) alors deplacer (A,B); //A2(x)empiler (x,numret+1)

permuter(A,C); n=n-1;FSI

JUSQU ’A (numret = = 1)depiler (n,a,b,c,numret)

Dernier appel est terminal

Pas d ’appel récursif suivant