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ANTONIO PIGNEDOLI dell' Univerdt~ di Bologna Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici (Conferenza tenuta il 14 matzo 1961) (*) 1. INTRODUZIONE GENERALE. Nella teoria dei sistemi lagrangiani-basilare, come si sa, per tutta ]a Meccanica analitica -- presentano particolare interesse i sistemi ]agrangiani dotati di vincoli variabili col tempo e soggetti a forze dipendenti dalle accelerazioni. Ammessa l'esistenza del potenziale cinetico, le componenti la- grangiane delle forze risultano funzioni lineari delle accelerazioni e quadratiche delle velocits Considerando poi il caso particolare in cui i vincoli siano indipendenti dal tempo e nell'ipotesi della ignora- bilit~ di m parametri lagrangiani, dall'esistenza degli integrali dei momenti cinetici corrispondenti discende il fatto che il sistema dato si riduce ad un nuovo sistema lograngiano equivalente ad un sistema olonomo con (n ~ m) gradi di liberts e con vincoli indipendenti dal tempo. Si possono anche assegnare le condizioni affinch~ le forze del si- stema ridotto siano conservative. Va poi tenuto presente che i risultati ottenuti si possono applicare utilmente al caso che riguarda il moto relativo di due particelle pun- tuali elettrizzate supposte inter-agenti secondo lo schema (sia pure non rappresentante la reale inter-azione) fornito dalla legge elettrodi- namica di WEBER. (Secondo tale legge, come si sa, la forza di inter- (*) Pervenuta in tipografia il 18 dicembre 1961.

Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

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ANTONIO PIGNEDOLI dell' Univerdt~ di Bologna

Su certi sistemi lagrangiani classici

e relativistici (Conferenza tenuta il 14 matzo 1961) (*)

1. INTRODUZIONE GENERALE.

Nella teoria dei sistemi lagrangiani-basilare, come si sa, per tu t ta ]a Meccanica analitica - - presentano particolare interesse i sistemi ]agrangiani dotati di vincoli variabili col tempo e soggetti a forze dipendenti dalle accelerazioni.

Ammessa l'esistenza del potenziale cinetico, le componenti la- grangiane delle forze risultano funzioni lineari delle accelerazioni e quadratiche delle velocits Considerando poi il caso particolare in cui i vincoli siano indipendenti dal tempo e nell'ipotesi della ignora- bilit~ di m parametri lagrangiani, dall'esistenza degli integrali dei momenti cinetici corrispondenti discende il fatto che il sistema dato si riduce ad un nuovo sistema lograngiano equivalente ad un sistema olonomo con (n ~ m) gradi di liberts e con vincoli indipendenti dal tempo.

Si possono anche assegnare le condizioni affinch~ le forze del si- stema ridotto siano conservative.

Va poi tenuto presente che i risultati ottenuti si possono applicare utilmente al caso che riguarda il moto relativo di due particelle pun- tuali elettrizzate supposte inter-agenti secondo lo schema (sia pure non rappresentante la reale inter-azione) fornito dalla legge elettrodi- namica di WEBER. (Secondo tale legge, come si sa, la forza di inter-

(*) Pervenuta in tipografia il 18 dicembre 1961.

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SU CERTI S I S T E M I LAGRANGIANI CLASSICI E RELATrVISTICI 1 8 3

azione dipende dall'aceelerazione radiale ed ammette il potenziale cinetieo). I1 problema in questione viene rieondotto alle quadrature.

Viene fatto (in modo del tut to naturale) di pensare all'analogo gruppo di problemi e0neernenti la impostazione lagrangiana della Di- namiea relativistiea. Si deve limitarsi alla Dinamiea relativistiea (nel- l 'ambito dello schema deterministieo, eiog non quantistieo) di una par- tieella materiale assimilabile ad un punto poiehg il problema del pas- saggio dalle equazioni relativistiehe del moto di una singola partieella a quelle del moto di un sistema rigido di punti materiali presenta diffieolt~ assai notevoli (~).

Ci6 avviene essenzialmente per il ratio ehela nozione di eorpo ri- gido non pub essere ~c sic et simplieiter ~ introdotta in teoria della re- lativits e per il fatto ehe non g possibile conservare in relativit~ la legge newtoniana eli azione e reazione.

A fondamento della NIeeeaniea di una partieella dotata di alta energia, si pub assumere, eom'g noto, un prineipio variazionale della forma:

t ' ~ t :

+ 2 . ) d t = o, ,-/to

dove Z~ ~ ta (( funzione lagrangiana della particella ~ ed Z~ la (( funzione lagrangiana di inter-azione ~. Se ne dedueono aleune proposizioni ehe estendono quelle della Nieeeaniea analitiea classiea, in partieolare l'integrale generalizzato delle forze vive, e, nel easo della ign0rabilith di una eoordinata, il eorrispondente integrale relativistieo del mo- mento einetico eoniugato.

Si studia il easo in eui le forze generalizzate siano funzioni lineari delle aeeelerazioni e quadratiehe delle veloeit~ lagrangiane. Se si ha l'ignorabilit~ di una coordinata, sussiste in eorrispondenza l'integrale primo relativistieo del momento einetieo e si hanno inoltre due equa- zioni lagrangiane scritte i n funzione di una lagrangiana ridotta. Se, inoltre, il tempo non figura esplieitamente in quest'ultima, sussiste aneora per le equazioni sopra dette l'integrale dell'energia.

Due partieolari problemi riehiameranno la nostra attenzione. I1 primo di essi riguarda il moto di una partieella elettrizzata veloee in un eampo elettrieo e in un eampo magnetico sovrapposti, nel easo in cui il potenziale sealare e le eomponenti del potenziale vettore siano funzioni tutte indipendenti, oltre ehe dal tempo, anehe da una coor- dinata. Sussistono allora l'integrale generalizzato relativistieo della energia ed un integrale relativistieo del momento einetieo eorrispon- dente alla eoordinata eieliea. Tale integrale eontiene in partieolare

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184 A. PIGNEDOLI

quelli classici gi~ stabiliti da AGOSTINELLI (2) e successivamente estesi da BOGalO (3).

I1 secondo problema ~ quello del moto di un elettrone veloce in presenza di un altro elettrone, qualora si assuma come schema di inter- azione elettrodinamica fra le due particelle ancora quello fornito dalla formula di WEBER. Re scaturiscono, in particolare, relazioni numeriche dalle quali emerge il seguente risultato, che appare non destituito di interesse- solo se la distanza fra i due elettroni ~ dell'ordine di 10 -~ cm. sono possibili moti oscillatori.

Infine, ci si pone il problema, assai delicato, consistente nel do- mandarsi se possano trovarsi, nella Meccanica relativistica ristretta, relazioni del tipo di quell'integrale analogo all'integrale delle forze vive, che sussiste in Meccanica analitica ordinaria in certi casi di si- stemi olonomi con vincoli dipendenti dal tempo, e per forze conserva- tive e posizionali ed energia cinetica indipendenfe dal tempo. Ci si limita a riferirsi, naturalmente, per quanto gi~ si ~ detto, alla patti- cella puntuale di alta energia. Si considera il problema del moto di una tale particella rispetto ad assi rotanti, allo scopo di affrontare poi il problema del moto di una particella elettrizzata veloce sollecitata da un campo elettrico e da un campo magnetico uniformi ed uniforme- mente ruotanti intorno ad un asse con la stessa velocit~ angolare. Si studia il problema nell'approssimazione rappresentata dalla ipotesi di validit~ della forza di LORENTZ: il problema del movimento si tra- duce in un sistema di equazioni differenziali di ardua struttura. Si segnala, perb, un caso di risolubilith del problema in parola. E ci6 si fa con riferimento al (( tempo proprio ~. I1 caso ~ quello (assai riposto e di interesse analitico) in cui ta velocits angolare di rotazione dei campi sia costante rispetto al tempo proprio. In tale caso il problema viene completamente risolto, assegnando la traiettoria della particella e le leggi di variazione della massa maupertuisiana e del tempo ordinario rispetto al tempo proprio. Nel caso particolare di basse energie della particella, il problema trova, invece, completa soluzione.

2. SuI SISTEMI LAGRANGIANI CON FORZE DIPENDENTI DALLE ACCELERA-

ZIONI IN I~ECCANICA CLASSICA.

Sia dato il sistema lagrangiano:

d ( 5 ~ ) ~T - Q r , ( r = l , 2, ..... , n), (1) dt - - ~q~

dove il significato dei simboli ~ quello usuale.

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SU CERTI S I S T E M I LAGRAI~GIAlhrI CLASSICI E R E L A T I V I S T I C I 185

Supponendo l'esistenza di un potenziale cinetico og della forma"

(2) n

.~ - - T + U (q~, q.2, ..... , q . , t) + ~__~ U~ (q~, q2, ..... , q,,, t) i7~ + l

1 '~ + - - ~ ~_~.t U,t (q~, q2, ..... , q,,, t) (~,~ (It, (Ust = Ut . ) ,

1

le equazioni (1) si trasformano nelle"

con

dt "'

v = u + ~ , u,o, + - ~ E,, u,, q, (i, (~). 1 1

Nel caso in cui i vincoli siano indipendenti dal tempo, le (1 ~) diventano-

(1") dt - - bq~ bq~ bq. bq~

( ) 1 ~Ust ~ ~Ur~ qs qt + - ~ E~, 5qr 5qt dt

~ U

Le componenti lagrangiane delle forze sono dunque funzioni li- neari delle accelerazioni e quadratiche delle velocitY. Inversamente, si pus affermare che, quando le componenti lagrangiane delle forze sono di tale forma, esiste il potenziale cinetico Z ~

Mettiamoci ora a considerare il caso in eui i vincoli siano indipen- denti dal tempo. Si avr~:

n "~,

(3) 2 = T + V - ~ Y..a,~O~Os + U + Es U~q~ + 1 1

+-f f - i

con le a~,, U, U, ed Ust dipendenti soltanto dalle coordinate lagrangia- ne. Se si fa l'ulteriore ipotesi della ignorabilit~ di m coordinate, per fissare le idee ql, q2, ..... , q~ (con m < n), allora sussistono gli m in- tegrali primi dei eorrispondenti momenti einetiei:

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18{} ~ . ~ m ~ O L ~

n bA ~ _ b T + U , : + ~ . , U , ~ , = a ~ , ( i = 1 , 2 , ..... , m ) (4) ~q, ~q; ,

dove le ~ sono m costant i . Tali in tegra l i p r imi possono scriversi:

(5) ~ (% + G~) q j + ~., (% + U , ) q~ + G = ~ , (i = 1, ..., m). I m + l

Supponendo che il d e t e r m i n a n t e d e l l e It a~ + U~j 11 (con i, j = = 1, 2, 3, ..... , m) sia diverso da zero, se si indica con �9 ~j = CJ~ l'e-

l emen to ree ipreeo di a~ + U~ in gale de t e rminan te , si r ieava:

(6) 4 , = N ~ [ ~ - G - ~ , ( % + G , ) O ~ ] ~ ( i = ~ , ..... ,m). 1 m + l

P o n i a m o ora"

1 " , , (con b~t bt~ + U,,) (7) cC-- 2 ~,t b.~t q q t = = a,t . I

�9 e separ iamo in ~Y i t e rmin i quadra t i c i in q~, (i = 1, ..... , m); i t e rmini b i l inear i nelle ~ , (i = 1, ..... , n) e nelle qh, (h = m + 1, ..... , n) e i te rmini quadra t i c i nelle q h, (h - m + 1, ..... , n).

Poss iamo scrivere:

(8) Z ' = ~ ' + B + Z"*,

,dove 6:

.(9)

t Z " 1 - - ~-aii bi~ (ti (I i,

1 m + l

i Z " * = 1 " m + I

T e n e n d o presente che si ha:

(10) ~ j b i j(I)j. = I 0 per i=/=

1 I 1 per i = ~,

:in virtfi della (6), si r icava:

(11) ~ / 1 m n

- E. r [~,- G - ~ . (a . + u . ) q , ] �9 2 1 m+l

n

�9 [ ~ - U ~ - 2~ (aii + U~)G] m + l

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SU CERTI SISTEMI LAGRANGIANI CLASSICI E RELATIVISTICI 187

e, ponendo:

.(12') ~o' - 2 ~'~ 0'~ (~' - - U , ) ( ~ - U~), 1

,(12") 1

(12'")

risulta:

7.2l l m n

2 1 m + l

(13) ~ 7 ' = ~o' - -~"~' + ~ ' -

Analogamente risulta" m

(14) B = ~]~ x~ ~ = ~]~j x~ ( c z j - U ~ - x~) q)~J = ~C1'-- 2 ~U~'. 1 1

Ne seguono le espressioni seguenti, rispettivamente per la fun- zione la~angiana ~o e per la funzione lagrangiana ridotta

.e , = . e - - ~ , ~, O, 1

U ~ q)~J (15) Z ~ = T + V = ~ + ~ . ( ~ - - U j - - x j ) + ~U~Cl~+U, 1 m + l

n

(16) s c~7 , + ~'C~'- c~o'--~. , ' + ~]h Uh qh + U. m + l

Per quanto riguarda la (( funzione caratteristica ))del sistema la- grangiano ridotto, si trova"

(17) H* = Z'* + - -~ ~]~j �9 ~j ( ~ , - U,) ( ~ j - Uj) 1

1 1

Facciamo ora le seguenti posizioni:

1 ~]~., (b~ + ~ q)~r b~ br ~ q,, (18) O~ = 2 ,,,+t 1

~$ n tit

m + l m + l 1

m + l

U~) b,~ ] (l ~ =

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188 A. PIGNEDOLI

l m

(20) 7_/= U - ~0' = U - - 2 ]E. r (~,- U,) (~j- Uj); 1

con ci5 otteniamo"

(21) A ~* = 0 2 + O~ + 7_1,

(22) H* = O~ - - 7_/~ ;

e le equazioni del moto del (( sistema lagrangiano ridotto )) diventano, allora:

d ( ~ 0 2 ~ ~0~. ~ ' - ~ ' d ~ ' h (23) d t ~, . b q h - - b q h + ,, + ~ ~-~ ~ b q h (l ~ d t '

(h = m + 1, ..... , n)

I secondi membri di tali equazioni lagrangiane sono funzioni li- neari nelle ~+~, ..... , q,, e perci6 il sistema lagrangiano r idotto ~ equi- valente ad un sistema olonomo con ( n - m) gradi di liberth, a vincoli indipendenti dal tempo, con forza viva 0 2 e soggetto a forze di compo- henri lagrangiane (lineari nelle velocith):

(24) Qh* = bT-/ ~ ( ~7_1 b T / h ) ~q~ + ~ ~

m + l bqh 5q~ , (h = m + 1 , . . . n ) .

Poich~ la funzione lagrangiana r idot ta A~* non contiene esplici tamente il tempo, sussiste l ' integrale della energia

(25) H* = 02 - - 7~' -- costante.

0sserviamo che, ponendo 01 - 0, cio~ 7_1 h = 0, (h - m + 1, ..... , n), la forza viva del sistema lagrangiano ridotto risulta uguale a 0o, e si ha il potenziale delle forze dato da

1 " __ ~/j).

I1 sistema lagrangiano ridotto corrisponde, allora, ad un sistema olonomo con ( n - - m ) gradi di liberts con vincoli indipendenti dal tempo e soggetto a forze conservative. I n forma esplicita, le condizioni di annul lamento delle 7_/h risultano:

(26) Uh + ~ j q ) ~ s ( a ~ _ _ U j ) b ~ h _ 0 , ( h - m + 1, ..... , n ) . 1

Per l 'arbi trar iet~ delle ~i deve essere, separatamente:

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SU C E R T I S I S T E ~ I I L A G R A l g G I A I g I CLASSICI E R E L A T I V 1 S T I C I 189

(27) ~Z_~ij O i j ~i bib = O, 1

(27 ') ~ ' h - ~ , i (I)'J ~ b~:h = O, (h = m + l, ..... , n) 1

Siecome poi le q)~J non possono essere tutte nulle, la eondizione (27) riehiede ehe sia:

(28) b~h = a,: h + Uih = O, (i = 1, 2, . . . . . , m; h = m + 1, . . . . . , n ) .

Dopo ci6, ta condizione (27') diventa:

( 2 9 ) 7-/h = O, (h - - m + 1, . . . . . , n ) .

Quando queste eondizioni sono soddisfatte, le x~ risultano tutte nulle e quindi g:

% ' = % ' = B = 0 ; T ' - - ~ o ' " T = T * + ~ o " 0 2 = T * "

2 * = ~ * - - ~0' + U = ~* + 7-/; 7 / = U - - ~ ' .

I1 sistema considerato si riduce dunque ad un sistema olonomo con ( n - m) gradi di liberts dotato di forza viva ~ * e soggetto a :forze dipendenti dal potenziale:

i m

72 = u 2 Z . ~ - - % ) - - % ) 1

3. ~V[OTO RELATIVO DI DUE CORPUSCOLI ELETTRIZZATI SUPPOSTI INTER-

AGENTI SECONDO LA LEGGE ELETTRODINAMICA DI WEBER.

Un caso particolare di indubbio interesse, al quale sono applica- bili i risultati preeedentemente esposti, g quello del moto relativo di due partieelle elettrizzate, assimilabili a punti materiali, dotate di masse m 1 ed m~, di eariehe rispettive e Ied e., e the si suppongono inter- agenti seeondo lo schema rappresentato dalla tegge elettrodinamiea di WEBER (6).

Le equazioni differenziali del moto assoluto delle due partieelle P1 e P2 sono, in Meecaniea elassiea"

d 2 P ~ _ ele2 [ i'2 - - 2 r ~" J (30) m~ dt ~ r3 1 - - c o. (P~ - - P 2 ) ,

d2P,2 _ e, e2 [ ~ 2 ~ 2 r ~ ] ( 3 1 ) m 2 d t ~ r3 1 - - c" (P~ - - P2) ,

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190 A. PIGNRDOLI

dove r ~ la distanza P 1 P2 e c ~ la velocits della luce nel vuoto. L 'equa- zione differenziale vettoriale del moto relativo dei due elettroni ~:

d 2 ( P 1 - - P 2 ) _ tz [ r (32) d t 2 r3 1 - - c2 (P~ - - P . ) ,

dove si ~ posto: (1 1) e I e2 +

m 1 m 2

--[z .

Nella (32) appare chiaramente c h e l a forza di inter-azione fra 1~ due particelle dipende, oltre che dalla velocits radiale, anche dall~ accelerazione radiale. I1 moto allo s tud io ~, evidentemente, un moto. centrale.

Assumendo, allora, il piano del moto come piano x y, con l'originr in P2 e riferendo P~ alle coordinate polari r e 0, si hanno le equazioni lagrangiane del moto"

"-> b ( P 1 - - P 2 ) (33 ) ~ - - r ~)2 = Q~ = F •

b r

-- ~ ( ~r2 - - 2 r i; ) r2 1 - - v2 ,

-~ b (P~ - - P~) d (r ~ ) = Q o = F • = o (34 ) -d-t b0 '

la seconda delle quali fornisce l 'integrale delle aree r 2 6 = ~,. I1 po- tenziale cinetico ~ della forma:

(35) 2 = T + V - ] ( # ~ + r 0-6 ~ ) + ~ + z ( r ) # ~ 2 r

con z (r) funzione di r, che ora determineremo.

La prima delle equazioni lagrangiane del moto si scriver~"

( 3 6 ) ~ - - r 62 - ~ d), (r) #2 _ _ 2 ), (r) ~:. r 2 dr

Confrontando la (36) con la (33), si deduce che z (r) vale:

tx 1 . (37) ) , ( r ) - - c2 �9 r '

per cui la funzione lagrangiana risulta:

(38) 2 = 1 ( ~ + r ~6~ ) + ~ + c: 2 r r

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SU CERTI SISTEMI LAGRANGIANI CLASSICI E RELATIVISTICI 191

Essa non contiene esplicitamente il tempo, onde sussiste l ' integrale dell' energia-

(39) H - - b 2 : _ + __-5"e {~__Z~ - 1 (~:2_t_r~62)+ 5~: bO 2

~:2 Ez + -- h (costante) .

C 2 ?" r

Eliminandovi (}, il cui valore in funzione di r, cio~ (} - . ~ / r 2, risulta dall 'integrale delle aree, si ha:

1 ~ + -4 ~ ~: tz - - h (40) 2 -~-" c 2 r r '

da cui il tempo t, che ~ fornito dall ' integrale seguente:

-4- 2h.+ 2 ~ 2[z 1 r r 2 1 -~ c2 r

Ma dalla (40), con semplici passaggi, segue anche l 'equazione della traiettoria:

+ + . .

nella quale si ~ posto:

r y2 c 2

~ - = ~o 2, (costante),

2 h ~2

Dall 'equazione (42), supponendo che il raggio vettore sia inizial- (dl/r d~ )

mente ereseente con 0, \ ~/-~ - dO < 0 , si deduce 0 in funzione di ~,

per separazione di variabili e mediante quadrature ellittiehe. 5Ia, in una approssimazione in eui si traseurino i termini di or-

dine superiore al primo in ~ - C 2

scrivere:

d~ ~,~o~ ~2 [ (43) dO -

(44)

(quantit~ molto piccola), si pub

1

La (43) si integra ponendo:

= [ c o s (0 - - 0o) + ] ,

dove ~ ~ una quantit~ dello stesso ordine di ~.

Page 11: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

1 9 2 A. PIGNEDOLI

Sost i tuendo e t rascurando i termini di ordine superiore al primo in z ed ~, si ha, per la determinazione di ~, l 'equazione differenziale:

d~ cos (0 - - 0o) 1 (45) dO - ~ sin (0 - - 0 o ) + - 2 z sin (0 - - 0 o ) �9

] - ~ + ~o cos (o - - o o)

e questa fornisce:

1 1 (46) ~ = 2 r 1 7 6 - ~ 0 + ~o sin (O - - Oo)

e quindi, infine:

(47) 1 _ ~ Z~o s i n ( O 0 o ) . r 72 + ~ o C ~ 2

1 . r ~ + ~o s i n ( 0 - 0o) .

La (4:7) g l 'equazione della t ra ie t tor ia del moto relat ivo di un elet- t rone r ispet to all 'altro. Per ~ = 0, tale equazione si r iduee al l 'equa-

2

zione polare di una ellisse di pa ramet ro p - ~" e di eeeentrieit~ e = p ~ o.

,(48) 1 = r ~-z- + ~o cos (0 - - 0o).

Con la stessa approssimazione, la (41) fornisce"

f r dr 1 j'~ dr .(49) t - - t o = ~/2hr ~ + 2~r - - ,;2 + T ~ %/2hr ~ +2~r__7 ~

Posto 2

a ~ (1 - - e 2) - - Y a -- 2 h ' 2 h '

dove a ed e sono, r i spe t t ivamente , il semiasse maggiore e l 'eccentricit~ dell'ellisse, ed assumendo come limite inferiore degli integrali r~ = - - a (1 ~ e), si ottiene"

1 (" r dr (50) t - - t o = % / ~ 2 h ,.~, V/a~e 2 - ( a - r ) 2 +

+ 1 ~ jl ~ dr i ( a - - r )

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SU CERTI SISTEMI LAGRANGIANI CLASSICI E RELATIVISTICI 193

Posto ancora r = a (1 - - e cos u), si ha:-

a ~ u

(51) t - - t o % / - - 2 h ( u - - e s i n u ) + 2 % / - - 2 h

Quest 'ult ima fornisce il tempo nel moto relativo considerato e si riduce alla nota formula di KEPLERO nel caso in cui sia ~ = 0.

4 . S U L L E E Q U A Z I O N I L A G R A N G I A N E D E L L A D I N A M I C A D I U N A P A R T I -

C E L L A D I A L T A E N E R G I A .

Consideriamo ora una particella, assimilabile ad un punto, do- tara di alta energia (relativistica). Alla base della sua dinamica - -ne l l ' ambi to della validitg degli schemi deterministici, cio~ non quan- r - - potr~ essere assunto come principio fondamentale il principio variazionale seguente:

"* t~

(52) a (,~, § A~) dt = O, L ta

il quale esprime la stazionariet~ dell'integrale hamiltoniano d'azione. Nella (52) A~p sta ad indicare la (( funzione lagrangiana della particella )), caratterizzante appunto la medesima come non sollecitata da campi di ~orza, ed A~ la (( funzione lagrangiana di inter-azione)), dipendente dalla esistenza e dalla s t rut tura del campo di forza sollecitante la particella stessa. Dalla (52) discendono, per il moto della particella veloce considerata, le equazioni lagrangiane relativistiche:

(53) dt b(t~ bq~ bq~ dt bq~ - Q ' (r = 1, 2, 3),

dove la forza generalizzata Q si riduce a nel caso in cui la fun- bq~

zione lagrangiana di inter-azione F2~ non dipenda dalle velocitg la- grangiane q. Alla (53) equivalgov.~ le equazioni hamiltoniane:

(54) dp~ . - bH dq~ _ ~H dt bq~ dt opt

dove la (( funzione caratteristic~ )) H ~ dato da:

~ e m i n a r i o M a t . e F i n . d i M i l a n o . vol. XXXII 13

Page 13: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

194 A. P I G N E D O L I

E l'equazione di JACOBI si scrivers

W ( ~ W t) = 0 . (56) dt + H q, bt '

Nel caso in cui una coordinata lagrangiana (per fissare le idee la q~) sia ignorabile, si avr~:

(57) ~dt ~l~ -- dt , ~q~ + ~0~'~ = 0 , (p~(P) + p~(~) = c~ = c o s t ) ;

si verificher~, cio~, il sussistere dell'integrale primo del momento ci- netico corrispondente alla sopra detta coordinata ignorabile. Pifl in particolare potr~ awenire quanto segue. Se la lagrangiana di intera- zione non dipende dalle velocit~ lagrangiane, le equazioni di LAORAN- GE (53) si riducono alle seguenti:

d b2p b.g~ _ b.e~ (r ---- 1, 2, 3). (58) dt b(l~ 5q~ bq~ '

Se, inoltre, tanto la funzione lagrangiana di interazione A~ quanto la funzione lagrangiana della particella A~p sono indipendenti dalla coor- dinata q~, ne discende:

d b27 P - 0, p~(~) - costante. (59) dt 5(l ~

Supponiamo ora di avere ache fare con una funzione lagrangiana della forma, molto generale:

(60) 2 = ~ + ~ = ~ (r r t) + u + Z~ us r + 1

c o n

U~t -- Ut~, U = U (q, t), U s - Us (q, t), U~t - Ut~ (q, t).

Le equazioni lagrangiane presentano, allora, forze generalizzate funzioni lineari delle accelerazioni e quadratiche delle velocits Pre- cisamente, tall equazioni si scrivono"

(61) dt ~(l~ aq~ aqr , bq, 6q~ ,

1 ~U~ 2 (l r - - + - - ~ ~ s , aq,. S q t" , s t

dt Z. , dt r - - Z , , ~.., q~"

Page 14: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

SU CERTI SISTEMI LAGRANGIANI CLASSICI E REL. (TIVISTICI 1 9 5

Nel caso in cui si abbia la ignorabilit~ di una coordinata lagrangiana (per fissare le idee della q~) si avr5~ quanto segue" la prima delle equa- zioni differenziali (61) diventerS~"

d ~2 P - -

d t ~(l ~

bU 1

Z s 5Uls

~ qs ~ s - - Z S Z 2 b q t (l s q t - - Z,c Uls "qs

bt ~.~ b U1, ~ dU 1 dU

~ U~s ~ = ( dU 1 d ) - - d t + - - ~ . ~ U ~ , ~ ,

ene conseguirk l'integrale primo del momento cinetico corrispondente alla coordinata q~"

3

( 6 ~ ) ~ 2 __ ~ "~P "4-" V 1 -JI- Z $ Vs l Us "--0~1

dove x~ ~ una costante. A tale integrale primo, per la completa de- scrizione del movimento, dovranno essere associate le equazioni la- grangiane seguenti, scritte in termini della funzione lagrangiana ri- dotta Z ~ = Z ~ - ~ q ~:

(63) -- O, (j - - 2 , 3 ) dt bq ~ ~qj

Sotto l'aspetto hamiltoniano, si vede subito che dalle equazioni la- grangiane discende:

dH ~ ('~P + "~) = 0 (64) dt + dt '

e se la funzione lagrangiana Z~p + Z~ non dipende esplicitamente dal tempo, si ha l'integrale primo relativistico generalizzato delle forze rive:

H =,:,Z q =Z: 0 + 4 = .

Nel caso particolare in cui la funzione lagrangiana di inter-azione Z~ sia funzione delle sole q~, l'integrale primo (65) diventa:

(66) ,=l bqr ~'" --~f~P - - ~i---- costante.

Page 15: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

196 A. PIG~TEDOLI

Giova osservare che, nel caso precedentemente considerato, in cui si abbia una coordinata ignorabile, e quindi un integrale primo del mo- mento cinetico corrispondente, se la funzione lagrangiana r idot ta A~* -- ~ + ~ - - ~i q ~ non risulta esplicitamente dipendente dal tem- po, sussiste ancora l 'integrale primo delle forze vive"

3 b,~(~ ( 6 7 ) H * = Z

~-2 bqj j - - ~ * = costante,

integrale che, nel nostro caso, assume la forma"

3 1 3

a=l ~ 1 s ----- cost.

5. SUL PROBLEMA DEL MOTO DI UNA PARTICELLA ELETTRIZZATA IN UbT

CAMPO ELETTROMAGNETICO. I N T E G R A L I PRIMI.

Consideriamo ora il problema del moto di un corpuscolo elettriz- zato di carica e e massa a riposo mo, sollecitato da un campo elettro- magnetico. Essendo V ed A rispet t ivamente i l potenziale scalare ed il potenziale vettore, tall che il campo elettrico E ed il campo magnetico H sono dati da"

1 b A H -- rot A E -- grad V

' c d t '

potenziali ai quali LORENTZ impone, come noto, la condizione, restrit- t iva della indeterminazione dei medesimi

div A -~ -- O, c dt

la funzione lagrangiana relativistica di inter-azione per la particella puntuale considerata, mobile nel campo elettromagnetico, vale, come si sa"

e -+ -+ 2 ~ - e V ~ v x A ,

C

sicch~, essendo ~ - m oc 2 V I I - ~ 2 , (~ _ v / c ) , si ha:

(69) ~--s + ~ - - - - m 0c 2 % / 1 - ~ 2 - e V + v •

Page 16: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

SU CERTI SISTEMI LAGRANGIANI CLASSICI E RELATIVISTICI 197

Indicando con P la posizione istantanea della particella rispetto ad una terna di assi Cartesiani ortogonali 0 x y z, di versori I, J, K, ed individuando P mediante le coordinate cilindriche r, ~, z, sarg"

P - - O = r e~ I + z K , (i = %/~ 1),

i :) = v = r e i~ I + r ~ i e i~ I q- ~ K .

Dette poi A 1, A 2, A ale componenti del potenziale vettore A in coor- dinate cilindriche, si avr~:

A = A t e i ~ l + A 2 i e i ~ l + A a K ,

per cui la funzione lagrangiana Z ~ = Z~p + Z~ sarh:

(70) Z a = ~ Jrs = _ _ m o C 2 v l - i2 q_r 2q32 q_~2 d - - e V +

e + ( # A ~ + r S A 2 + ~ A a ) .

C

Nel caso in cui le funzioni V, A~, A 2 ed A a siano tutte non esplicitamente dipendenti dal tempo, sussisterh l'integrale generalizzato delle forze vive.

Se, inoltre, le sopraddette funzioni sono tutte indipendenti da (che ~, dunque, coordinata ignorabile o ciclica), le equazioni lagran- giane del movimento ammetteranno ulteriormente l'integrale primo:

(71) 5Z~ m~ r2 ~ q- e - r A 2 = costante.

~ V l c~1 (#~ + r~ (~= + ~ =) c

Se, essendo H = rot A, si a s s u m e / t = grad O, con �9 funzione armonica, e si fa l'ipotesi di indipendenza di r da ~, si ha:

bO bO (72) rot A -- grad r § grad z

~r ~Z '

e tanto il campo elettrico quanto il campo magnetico sono simmetrici rispetto all'asse Oz. Supponendo allora:

A , = A 3 = 0 , A 2 = ~ ( r , z ) ,

A = r ~ F g r a d ~ , rot A = grad (r, ~F) A grad ~,

grad (r ~F) A grad q~ = grad O,

Page 17: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

198 A. PIGI~EDOLI

si ha:

(73) r bz 6r br

bO

bz

da cui, e l iminando r discende:

b2~F b [

~z ~ +-gz-z ~ -- 0,

~ [ 1 ~ 2 ( r ~ F ) = r ~r r

~ (r~r) ] ~z + ~2 (r 'r) 5z 2 = 0 ,

( 1 5 +

Dalle (73) si trae"

(r A) ~r - - "r

br 5z

(r A) ~r - - r - - - , ( A = ~F).

bz br

M:a si ha, d ' a l t r a parte:

b(I) bO rot A :- grad r +

~r ~z grad z = rot [tF (r, z) K A grad r] =

bA ) bA = 1 A + K grad r.

r br bz

Indicando ora con G (r, z) la (( funzione associata ))di (I), tale che g"

bG be bG be -- r ~ , -- r ~ , G - - r t F , A G - - A 2 ( r W ) - - 0 ,

5r 5z 6z br 2

si pub assumere r A = G e scrivere quindi l ' integrale pr imo (71) sot to la forma"

1

(74) m0 r2 (? ( 1 - - # 2 _jr_ ~,2 ~2 ~_ ~2,)-- 2- c~ + G = costante.

Analogamente , nel caso in cui le funzioni V, A1, A 2, A~ dent i dalla variabi le z, supponendo:

siano indipen-

A1 = A 2 = 0, A 3 = A (x, y), A = A (x, y ) g r a d z,

H = rot A = grad A A grad z = grad (I),

Page 18: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

SU CERTI SISTEMI LAGRANGIAI~I CLASSICI E RELATIVISTICI 199

sussister~ l 'integrale primo" ~ 2 . ~2 + r ~ (~ + ~ ]--~- b~ -- m~ ~ t l ~ c 2 ] + e A - - c o s t a n t . (75)

\ C

in cui A ~ la funzione armonica coniugata di r Gli integrali (74) e (75) sono l'estensione relativistica di quelli classici ot tenuti da BOG- GIO (7), il quale aveva esteso quelli precedentemente trovati da AGO- S T I N E L L I (8) nelle sue ricerche sul problema delle aurore boreali.

6. ~/~OVIMENTO D I D U E P A R T I C E L L E D I A L T A E N E R G I A N E L L O S C H E M A

D I I N T E R - A Z I O N E E L E T T R O D I N A M I C A D I W E B E R .

Vaste ed important i sono le ricerche esistenti sulla inter-azione di due particelle cariche in movimento relativo (9). Per quanto ri- guarda l 'aspetto relativistico della questione, l a teoria relativistica diretta della inter-azione in parola ~ stata f a t t a da K. ARZELn~S (~0), il quale ha fornito formule in accordo con le attuali conoscenze fisiche.

Tuttavia, per la relativa semplicits di t rat tazione che consente, la classica legge elettrodinamica di W E B E R , pur non fornendo la reale inter-azione, riesce comoda analit icamente e consente alcuni risultati molto espressivi dal punto di vista meccanico anche - - come faremo v e d e r e - nella impostazione in cui si tenga conto della variabilit~ della massa con legge relativistica.

Consideriamo, dunque, il problema del moto centrale di una par- ticella puntuale P~ di carica e e di massa a riposo too, costretta a muo- versi, in virtu della inter-azione elettrodinamica con un 'a l t ra parti- cella puntuale P2 pure di massa a riposo m o e di carica e. Le equazioni differenziali vettoriali relativistiche del moto (( assoluto )) delle due particelle, a distanza r all ' istante t nel sistema di riferimento dell'os- servatore sono, rispetto a tale sistema di riferimento solidale con l'os- servatore:

d m~ vl - (P1 -- P2), - ~ V / 1 - v / / c : r3 1 ~ c~

, d e 2 ~ 2 ~ 2 r~" ( ) [ ] T~0 /)2 __

:(76) ~ dt %/1~_. ~,,2/c 2 r3 1 ~ c2 (P1-- P~): .i

d P 1 dP~ v ~ - d t , v ~ - d t ' r = m o d ( P ~ - - P ~ ) ,

�9 dr .. d2r ) r - - d t ' r - dt 2 .

Page 19: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

200 A. PIGNEDOLI

Assumeremo come equazione differenziale vettoriale relativistica deI moto relativo delle due particelle la seguente:

(77) dt m dt --

ra 1 ~ - - 2 r ~ ]

c 2 (P~ - - P 2 ) ,

dove m = m o (1 - -v2 /c2) -~12 6 la massa assunta alla velocitY,

d ( P x - P2) dalla particella P~ pensata nel suo moto relativo v = dt alla particella P2 considerata come ferma (~). Si tratta, dunque, del problema del moto centrale di una particella puntuale P di massa a riposo mo sollecitata da una forza del tipo di WEBER, affetta da un coefficiente uguale a due, cio~ dalla forza:

(78) F - - 2e2 I r a 1 - - i ' 2 - - 2 r ' r i l c 2 P - - O r

Quindi la funzione lagrangiana di inter-azione sara:

(79) ~ - - 2e2 ( r 1 ~r2 ) c2

e quella totale diventer~"

(80) z = ~ + z , - C 2 V 2 m o % / 1 - - [c2+ 2e~(

1 ?" ,

___moc~~~__ ~~ ~e~ ( i'~) c 2 + r 1 c~ .

(81)

Per le equazioni lagrangiane del movimento considerato"

V ~ + r~(~ ~ C 2

4e:~ ) m o T C 2 - -

m 0 r ~2

~ + r~i) ~ C 2

~e~( + - ~ 1

r~) c~ = 0,

m~ -3i- ~/ r 2 6 e

C 2

- - 1 -- 0,

Page 20: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

SU C E R T I S I S T E M I L A G R A N G I A N I CLASSICI E R E L A T I V I S T I C I 201

sussiste intanto l 'integrale primo relativistico del momento della quan- tit~ di moto:

(82) mot20 ( 1 - - r2 + r2 02) -~/~ �9 c~ -- A, (A ---- costante).

Siccome poi la funzione lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, sussisters l ' integrale primo dell'energia, che ha la forma:

(83) m o J ( 1 ~ 2 + r 2 d ~ ) _ l / : , 2e~ ( ~2 ) - - - - 1 + h C 2 ?. C ~ �9

_ _ _ _ 1 ' Tenendo conto del fatto che deve essere 0 < ~2 < c ~, eliminazione della derivata 6 f r a i due suddett i integrali primi delle equazioni del moto fornisce la seguente limitazione per le distanze r della particella P dal centro di forza 0 durante il movimento centrale considerato:

h 2 c 4 h A 2 c e - -m~ r ~ + + 1 ~ 0 , con r > 0

( 8 4 ) 3 ( r ) - - 4 e 4 - -~ 4 e 4 - - - - "

In merito ai movimenti si ha quanto segue:

I) per h ~ 0 non si hanno moti periodici;

C 4 e 4 h 2 2 c 4 II) per h ~ 0 , m02 ( 1 - - 4 /A 2c ~ ) ~ ~ m o , con A 2 c2/4 e 4 ~ 1, si ha moto oscillatorio fra r~ ed r2, radici positive della equazione ~ (r) - 0;

I I I ) per h ~ 0, 0 ~ h 2 ~ mo ~ c 4, A 2 c2/4 e 4 ~ 1, det ta r~ la radice positiva ammessa, sotto tali condizioni, dall 'equazione ~ ( r ) = 0, la r varierh fra 0 ed r~.

Indicando poi con R (r) il valore di ~2 trova-

(85) t - - t o = -4- %/R (r) '

j 0 - - 0 o = q - r 2 R ( r ) + t o o 2 c 2 r ~ R (r)lA ~

per un moto possibile si

dr.

Dal punto di vista numerico (~2), per la oscillatorietk del movi- mento, deve essere anzitut to verificata la condizione:

(86) 0 ~ h ~ 8,1 �9 10 -7 ergon.

Page 21: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

202 x. PIGNEDOLI

(87)

Supponendo poi:

v ~ 10 ~~ cm/sec, ~: ~ 10 ~~ cm/sec, ne discende"

4,55 �9 10 -19 (88) h ---- 8 ,667-10 -~ = -5

T

Inoltre, assumendo e = 4 , 7 7 - 1 0 -~~ u.e.s .C.G.S. , deve essere:

A > 1,47 �9 10 -29 (C.G.S.).

m ~ 1,07 �9 m o,

5,05 �9 10-2~

e, per l'oscillatoriet~ del movimento, risulta per la distanza r delle due particelle l 'ordine di grandezza di 10 - n cm.

7. SUL PROBLEMA DEL MOTO DI UNA PARTICELLA RISPETTO AD ASSI

ROTANTI.

Nella Meccanica analitica classica esistono, come si sa, casi di sistemi olonomi con vincoli dipendenti dal tempo per cui sussiste un integrale primo analogo a quello delle forze rive. Invero, dalle equa- zioni lagrangiane:

(89) dt . bCl~ bq~ - - Q ' (r = 1 , 2 , 3 , . . . . . , n ) ,

nell'ipotesi di vincoli arbitrari, per cui l 'energia cinetica vale T - -- T O + T~ + T~ (con T o indipendente dalle q, e T~ e T 2 funzioni omo- genee delle q, r ispet t ivamente di primo e di secondo grado), segue:

d " bT

(9o ) d t - - = % q �9 ~ = l ~ b t '

e, se il secondo membro della (90) ~ la der ivata totale rispetto al tempo di una certa funzione V (ql, q2, ..... , q., t), ne discende, integrando"

(91) T 2 - T O = V + h,

integrale primo che, per forze conservative e posizionali ed energia cinetica T indipendente dal tempo, diventa l ' integrale primo delle forze vive (U = potenziale delle forze)"

(92) T 2 - T O = U + h,

da cui appare che il termine (lineare nelle ~) T~ dell'energia cinetica ha carat tere g i r o s t a t i c o .

Page 22: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

SU C E R T I S I S T E M I L A G R A I ~ G I A N I CLASSICI E R E L A T M S T I C I 203

Ci si pub domandare se proposizioni analoghe esistono in mecca- nica relativistica ristretta. Ci riferiremo all'unico sistema che, almeno per ora, presenti concreto interesse fisico in meccanica relativistica ristretta: la particella (puntuale) veloce.

Considereremo per questo il problema del moto di una particella puntuale P, di massa maupertuisiana m, sollecitata da una forza di tipo conservativo e riferita ad una terna di assi cartesiani Oxyz, ruotanti, rispetto al tempo t valutato nel sistema dell'osservatore, con velocit~ costante co, intorno all'asse Oz mantenuto fisso. Essendo x (t), y (t), z (t) le coordinate di P all 'istante t rispetto agli assi Oxyz il sistema lagrangiano delle equazioni del moto della particella pun- tuale (di energia relativistica) considerata sar~ il seguente"

(93)

- ~ ( ~ - - ~ y ) ~ + ( y + ~ x ) ~ + ~ - ~x I-- c2

( ~ - - co y)2 § (~/ + cox) 2 + ~2 -- by 1 c2

] - ~ (~ - - coy )2 § ( 9 § cox) 2+22 bz i-- e'-'

Ed il problema della integrazione delle medesime appare subito, evidentemente, assai arduo, poich~ nessun integrale primo appare deducibile dalle (93), in generale. Invero non appare certo agevole liberarsi dalla complicata espressione della massa maupeI-tuisiana. Va subito osservato, invece, che se la velocit& v della particella molto piccola rispetto alla velocit& della luce c (caso della meccanica classica) allora la massa maupertusiana tende a diventare la massa a riposo (costante) mo. E per m - m o le equazioni del moto diventano:

m o ( ~ - 2 ~o 9 - - ~2 x) --

(94) < m o ( ~ ) + 2 ~o~--o~ ~ y ) -

~U

bX

~

m o Z - - ~U 5z

~U ~y

Page 23: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

204 A. PIGNEDOLI

Moltiplicando la prima per 2, la seconda per ~, la terza per 2 som- mando ed integrando rispetto al tempo, si ottiene l 'integrale p r ime delle forze vive:

1 1 (95) - -2 mo (~2 + ~)2 + ~2) 2 m~ r 2 (x2 + y2) _ U + h,

integrale che 6, evidentemente, del tipo (92).

Passiamo ad esaminare, in particolare, il caso in cui il moto della. particella avvenga sotto l'azione di un campo elettrico e di un campo magnetico sovrapposti, uniformi ed uniformemente rotante solidal- mente col riferimento cartesiano intorno all'asse z con la stessa velo- cit~ angolare costante r Dette E~, E 2 ed E 3 le componenti del camp(~ elettrico ed H~, H2, H ale componenti del campo magnetico, le equa- zioni del moto della particella veloce considerata saranno"

(96)

- -~ ( e - - c o y ) 2 + (y + fox) 2 + ~2 _ 1 - - c2

e - e E a +

C

-3Y

[H~ (~ + ~ x ) - H~ ~ ],

mo (~ + ~ x) ( ~ - - c o y)e + (y + r x) 2 + ~2

1 - - c2

e -- e E 2 + [H~ ~ - - H 3 ( ~ - - co y)],

C

-3-/-

e = e E 3 +

C

]_ ( ~ - ~ y ~ ~- (u + ~ ~)~ + ~ -

C 2

[H.., (2 co y ) - H~ (9 + o~ x]).

L'integrazione del sistema differenziale (96) costituisce problema assai arduo, come ben si vede. Dal punto di vista analitico, appare interessante un caso riposto in cui 6 possibile la integrazione delle

Page 24: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

SU CERTI SISTEI~I LAGRANGIAI~I CLASSICI E RELATMSTICI 205

equazioni del moto, con deduzione delle equazioni parametriche della traiettoria della particella. Consideriamo, cio~, la classe dei casi par- t icolari in cui il moto della particella sia prodotto dall'azione di un campo elettrico e di un campo magnetico sovrapposti, uniformi e ruo- tanti intorno ad un asse con la stessa velocit~ angolare costante r pensa ta calcolata rispetto al tempo (( proprio )) ~, cio~ rispetto al tem- po del riferimento (( di quiete )). Penseremo dunque i due campi ruo- tanti uniformemente rispetto al tempo z, solidalmente col sistema di riferimento cartesiano intorno ad Oz. Tenuto conto che iI tempo proprio ed il tempo ordinario sono legati della relazione

1 _( dt _ m 1 -~ , (97) d~ m 0 c-

se si suppone E 1 . = E 3 = 0 , E 2 = E , H 2 = H 3 = 0, H I = H , si ot- ter ranno, le equazioni differenziali seguenti del moto della particella considerata cui si aggiungono le equazioni che legano t ed m a ~, provenienti dalla (97) e dalla equazione generale vettoriale del moto scritta in termini di tempo

d~P e m o d P (13 - - e m E + A H )" (gs) mo c d ,

(99)

/ ( d x ) dx _ po(~) m~ d-: o~ y = P~ d'~ m o

dy ) e m~ d~ § o~x = e E t § c x H + p 0 (~),

dz e dt m~ d~: c y H + po (3) - 1 -~- - - - - -

' d1:

q-- o~ y,

e E y m o c 2

m = m o ( l + e ) moc2 E y

ivi p 0 (1), p 0 ( 2 ) e p0 (3) sono le componenti costanti dell'impulso iniziale. rispetto al tempo z. I1 sistema differenziale in questione si integra, ~ornendo"

Page 25: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

206 A. PIGNEDOLI

x ( ':) __ ~ c ~ co sin g~ z c 2 o~ ( A 2 c o s ~ ~: + ~22

y (I:) = c I c o s ~'~ 2" -71- c 2 s i n ~ 1: + ~ A 2

~22

~ 0 ,

(100)

z ( 1 : ) - - e H c~ s i n ~ + moC A

i 2 ~00(3) + ~: + ~ ' ~ ,

~2 mo

e H c 2

moC ~2 cos ~ ~: +

t ( ' = ) = l : + e E cl s i n ~ - : - - m o C 2 g~

e E A 2 + "r,

m o c 2 ~ 2

e E c 2

~n o c 2 ~ cos ~2 �9 +

m(.z)----m o + c~ c lcos~2~: +co. A 2 )

sin ~ -= +

con c~ e c 2 costanti di integrazione e dove si ~ posto:

e 2 H 2 e 2 E 2 e E (Opo(~) g~2 = to ~ - - A 2 _ e H p o ~3)

m0 2 m02 c 2 , - - mo 2 m o mo

Con c ib i l problema, nel caso considerato, ~ risolto, nel senso che si conoscono in termini finiti i legami fra ognuna delle coordinate spa- ziali ed il tempo proprio nonch~ le relazioni intercorrenti f r a i l t empo ordinario ed il tempo proprio e la massa maupertuis iana ed il t empo proprio.

Dal punto di vista geometrico, il moto della particella appare come moto risultante dei movimenti di tre punt i P1, Po., Ps. I1 pr imo di essi, cio~ P~, decsrive, per ogni c~, una traiet toria ellittica, il secondo, cio~ P2, descrive per ogni P2, pure una traiet toria ellittica, mentre il terzo, cio~ Ps, descrive una ret ta su di un piano parallelo al piano Oxz. Natura lmente tale piano ~ individuato quando sia assegnato il vet tore impulso iniziale rispetto al tempo proprio, cio~ il vet tore P0-

I1 problema si semplifica per v < c, m--> mo, z - + t (t4). Suppo- n e n d o s e m p r e E ~ = E 3 = 0 , E 2 - E , H 2 = H 3 = 0 , H ~ = H , e s e m - pre nell 'ipotesi di rotazione solidale dei campi con velocits angolare o~ costante nel tempo (( assoluto ~ t, le equazioni differenziali"

Page 26: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

SU CERTI SISTEMI LAGRANGIANI CLASSICI E RELATIVISTICI 207

(lol)

~ - - 2 co 9 - - co2x = 0, i c - dx )

dt ' etc. ,

( 9 + 2 o) 2 - - o~2 y) = E + 1

H ~ , , c

1 ~ -- H (i] + co x ) , (~ - mole ) .

c

I1 s i s tema differenziale (101) si in tegra e fornisce:

x = A cos (co t + ~ o ) - - 2 ~ ~'~12

C COS (~"~1 t + Yo), (ao costante) ,

(102) y = - - A sin (~ t + ~o) + ~

0) 2 ~12 (q co + c~ r),

2 o~2 _~_ ~.2 C sin (g~t + Yo) - -

Z --- C COS (~"~1 t + "~'0) ~-~1 ~r 2 q t + c 2

dove si ~ posto"

E H o 2 r 2 q - - , r - - , ~ = c o + ,

ed A, C, Yo, ~o, C1, C~ sono cos tan t i di integrazione.

I1 m o v i m e n t o r isul ta da un moto circolare sul p iano x y, da un moto ret t i l ineo nel piano y z e da un moto ellittico.

Page 27: Su certi sistemi lagrangiani classici e relativistici

208 A. PIGI~EDOLI

B I B L I O G R A F I A

(1) Cfr. W. PAULI, Encykl. der Mathem. Wissenschaflen, V.2. J. L. SYNGE, Transactions of Royal Society of Canada, (3), 28, 1934. O. Coswx DE BEAUREGARD, La thdorie de la relativitd restreinte, Masson, Paris, 1949.

(2) C. AGOSTr~EL~, Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino, vol. 73, 1937-38 {giugno); Rendiconti della R. Accadem:~a dei Lincei, 2 ~ sem. 1938.

(3) T. BOGGIO, Comptes Rendus, luglio 1938; Comptes Rendus, dicembre 1938; Bollettino dell' U.M.I, novembre 1938.

(4) Cfr. E. T. WnZTTAKER, Analytical Dynamics, Dover Pubblications, New York, 1944, cap. II , pag. 44.

(5) Cfr, A. PIGNEDOLI, Atti della Societh dei Naturalisti e Matematici di Modena, vo]. L X X V I I , 1946.

(e) Vedi: W. WEBER, Annalen der Physik, Band L X X I I I , 1848.

(T) Cfr. T. BoGota, (( Comptes Rendus )), luglio 1938. Id. cc Comptes Rendus ~ dicembre 1938. Id. (c Boll. UMI )), novembre 1938 (gis citati).

(8) C. AGOSTI~EL~Z, c( Atti della R. Accademia delle Scienze, di Torino )~, giugno 1937-38. Id . c( Rend. della R. Accademia dei Lincei)), 2 ~ sem. 1938 (gis citati).

Cfr. anche A. PIGNEDOLI, (( Atti della R. Accademia delle Scienze del l ' Is t i tuto di Bolo- gna ~), 1959.

(~) Cfr. C. F. GAuss, Zur mathematischen Theorie der elektrodynamischen Wirkung, Werk, GSttingen, 1867. W. WEBER, Elektrodynamische Maasbestimmungen uber ein allgemeines Grundgesetz der eleIctrischen Wirkung, J. Springer, Berlin, 1892. B. RrEMAN~, Ein Beitrag zur Ele]ctrodynamik, (c Amnalen der Physik )~, 1867. Idem, Gesammelte mathematische Werke, Teubner, Leipzig, 1892. W. RITZ, Recherches critiques sur les thdories electrodynamiques de Maxwell et Lorentz, c( Arch. Gen~ve )), 1908. Idem, Recherches critiques d'dldctrodynamique gg- nerale, (~ Ann. Chim. Phys. ~), 1908. T. BoGGIO, Sulla legge elementare di Weber relativa alle azioni elettrodinamiche di due cariche elettriche in movimento, ~ Rend. della R. Acc. dei Licei )), 1903. F. W. WARBV~TO~, Reciprocal electric force, ~ Phys. Rev. )~ 1946. Idem, Relative electrodyna- talcs, ~ Bull. Amer. Phys. Soc.)), 1948.

(10) H. ARZEL~S, La dynamique relativiste et ses applications, I, Ganthier-Villa~s, Paris 1957.

1960.

(11) Cfr. A. PIGNEDOLI, cc Bollettino della U.M.I. ~, serie I I I , marzo 1956.

(lz) Cfr. A. PIGI~EDOLI, ~ Annali di matematica pura ed applicata ~, serie IV, tomo LI,

(is) Cfr. A. PIe, NEDOLI, Meccanica relativistica e moti di particelle elementari, c~ Atti del Congresso U.M.I. di :Napoli ~, 1959. Idem, ~c Atti dell'Acc, delle Scienze del l ' Is t i tuto di Bologna ~ serie X1, tomo VII , 1960.

(14) Cfr. A. Pm~EDOLI, ~ Atti della Soc. dei Naturalist i e Matem. di Modena ~, 1946. ~Idem, c~ Atti del Seminario matematico e fisico dell 'Universits di Modena ~, vol. I I , 1947-48.