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SU UNA FAMIGLIA DI SUPERFICIE OMALOIDICHE. Nota del dott. D. M0nt0sano, a Roma. Adunanza del 24 giugno I888. Nella presente Nora considero la superficie omaloidica di ordine arbitrario n siffatta che fra i suoi puntied i piani di una stella (0) avente per centro un punto semplice delia superficie, vi sia una corri- spondenza univoca e prospettiva, nella quale cio~ due qualsiansi ele- menti corrispondenti, l'uno, P, della superficie, l'akro, =, della stella (0) si appartengano. Lo studio di queste speciali superficie omaloidiche ~ della maggiore importanza per la teorla delle reciprocit~t birazionali nulle, giacch~ le superficie che in una tale reciprocit~ corrispondono alle stelle di piani, presentano il carattere ora accennato. I. Sia dunque ~,, ~ 0 la pifi generale superficie omaloidica rap- presentabile prospettivamente su i piani della stella (0). Ad un fascio di piani della stella che abbia per asse la retta r ==_ O, corrisponde sulla ,/, una curva gobba razionale R, la quale passa per gh n- I punti (r,I,,) divers1 da O, ed ha un altro punto su ogni piano ~ per r, sicch~ risulta di n ~~ ordine. 2. Prendendo dl ogni piano ~ della stella (0) il polo pr in una correlazione polare nulla (r), si ottiene un punto del piano to, che corrisponde ad 0 in (r); e su tale piano si viene a rappresentare punto

Su una famiglia di superficie omaloidiche

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SU UNA FAMIGLIA DI SUPERFICIE OMALOIDICHE.

Nota del dott. D. M 0 n t 0 s a n o , a Roma.

Adunanza del 24 giugno I888.

Nella presente Nora considero la superficie omaloidica di ordine arbitrario n siffatta che fra i suoi pun t i ed i piani di una stella ( 0 ) avente per centro un punto semplice delia superficie, vi sia una corri- spondenza univoca e prospettiva, nella quale cio~ due qualsiansi ele- menti corrispondenti, l 'uno, P, della superficie, l 'akro, =, della stella ( 0 ) si appartengano.

Lo studio di queste speciali superficie omaloidiche ~ della maggiore importanza per la teorla delle reciprocit~t birazionali nul le , giacch~ le superficie che in una tale reciprocit~ corrispondono alle stelle di piani, presentano il carattere ora accennato.

I. Sia dunque ~,, ~ 0 la pifi generale superficie omaloidica rap- presentabile prospettivamente su i piani della stella (0 ) .

Ad un fascio di piani della stella che abbia per asse la retta r ==_ O, corrisponde sulla ,/, una curva gobba razionale R, la quale passa per gh n - I punti (r,I,,) divers1 da O, ed ha un altro punto su ogni piano ~ per r, sicch~ risulta di n ~~ ordine.

2. Prendendo dl ogni piano ~ della stella ( 0 ) il polo pr in una correlazione polare nulla ( r ) , si ottiene un punto del piano to, che corrisponde ad 0 in (r); e su tale piano si viene a rappresentare punto

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13 -~' D. MONTESANO.

per punto la ~,, in modo the un punto P della superficie e la sua imma-

gine P~ in to sono su dl un ragglo p pt del complesso lineare r do-

vuto alia correlazione (r). In tale rappresentazione alle r e t t e r ' di to corrispondono sulla

le curve R~ del ~ I, sicch~ le sezioni plane della ,1, avranno per lm- magini le curve C,, =_ K[' . . . K[ l di un sistema lineare oo 3 ~, pel qua-

le Xr ~- - n ( n - I).

3. I1 punto 0 della superficie ,I, si comporta al pari di qualsiasi altro punto della r esso cio~ ha un unico piano tot che gli corri-

sponde nella stella ( 0 ) e perci6 anche un solo punto 0 t come imma- gine su co.

I punti di sezione diversi da 0 di un raggio arbitrario r della ( 0 ) colla superficie ,t,~ hanno per immagine su to n - - I punti delia retta /

che ~ coniugata alla r nella r , mcch~ nella rete delle curve C~ di che passano pel punto 0 ~ (e che perci6 sono le immagini delle semoni plane della ~,, passanti per O) ogni fascio ha i suoi n - - I punti basi,

diversi da 0 ~ e dai punti K, su dl una retta / , e viceversa ogt~i retta r r ~ sostegno di un tale gruppo di n - I punti , cio~ i gruppi della

rete delle C ~ O r (*) di x corrispondonoprospettivamente alle rette r' di to. E l'n-mo punto, in cui una C~ del fascio avente i punti base su

la r t sega tale retta, ~ il polo nella correlazione r del piano r: the

contiene la curva delia superficie . di cui la C~ ~ lhmmagine in to.

4- Una rete arbitraria n del sistema x determina una stella dl piani (P) dello spazio, quella costituita dai piani sostegni delle curve delia superflcle r che hanno per immagine su to le curve della fete n che si consldera.

E le due forme (P), rI vengono a corrispondersl univocamente in modo che ad ogni piano w della i ~ corrisponde nella 2 ~ la curva 6" immagine della (~aa) ed a ogre retta g della ~ 11 gruppo ( A ~ . . . A~,)

(*) Per brevita dlremo gruppo d~ una rete ogni gruppo costitmto dm punn base

non fissi di un fasr della fete. D~remo anche ordme del gruppo ~1 numero dei. suol puuti.

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SU UNA FAMIGLIA DI SUPERFICIE OMALOIDICHE. I ~

della 2 ~ costituito dai punti che sono le immagini su co degli n punti

( go . ) - - - -A , , . . . , A, ; e siccome le rette A,A~ . . . . , A,A'~ ap- partengono al complesso lineare F , perci6 gli n punti A . . . . . , A, sono la sezione del raggio g col gruppo di piani ~ , . . . , ~" della stella (o3, nella r corrisponde al g uppo . . . , ,'1").

Col variare della g nella stella (P) e del corrispoDdente gruppo ( ~ , . . . , ~',) nella stella ( 0 ) fra le due forme (P), ( 0 ) viene ad aversi una corrispondenza reciproca ( I , n ) di grado n, nella quale cio~ ai raggi g di ~In fascio ( P - ~)corrispondono gruppi (~'~, . . . , ~') inviluppanti un cono d i n ~ classe : y, ~ ",(~' . . . -L~z che ~ coni*ugato nella correlazione ( r ) alla curva C, che neila rete rl corrisponde al piano % e per c~6 che ora si ~ detto la superficie generata dalle due stelle reciproche comprende la superficie ~,.

L'ulteriore parte di tale superficie ~ un cono 7., luogo dei raggi g della stella (P) che appartengono ad uno dei piani ~r del corrispon- dente gruppo della stella (O).

Si noti infatti che ogni piano ~ che contenga la retta r ~ P O, ha per corrispondente nella rete n una curva C, che passa pel polo R eli ~ nella r , sicch~ al gruppo delia rl che contiene il punto R , corrisponde un raggio g del pmno ~, e quindi fra gli n piani ~ the corrispondono a g neila stella (O) ve ne ~ uno , ~, che contiene il raggio g.

Ed in un fascio (P ~ ~:) delia stella (P) vi sono n di tall raggi g, quelli che corrispondono agli n gruppi delia fete rl contenenti ciascuno uno degli n punti R comum al!a curva C~ che nella rete n corrisponde al piano ~, e~ alla retta r' , che ~ coniugata nella correlazione r alia ret- ta r ~ P O, sicch~ le rette g ora accennate formano un cono y., ~ P"r "-~.

E ci ~ lecito affermare che: Dato in una stella ( 0 ) ul~ reticolo di coni di classe n, i cui gruppi

stano d~ ordme n , e fra di ess~ ve ne sia uno , T, che abbia n - - I

dei suoz piam appartenenti ad un fascio ( r ) , r~fertto proiettivamente il retzcolo ad una stella dt ptani (P), che a~bia zl centro P sulla retta r, ed in modo che ad ogre piano p dd fascio (r) corrisponda il cono del

remolo che conmne ~I gruppo T e ~l p~ano ~, fra la stella di raggi (P) e la stella di prom ( 0 ) viene ad aversi una corrisponden~a re@roca ( I , n)

siffatta che la superficie originata da tale corrtspondenza si spezza in

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I34 U~I, CO'glO

generale

D. MONTESANO.

Z, ~ P" r"-' ed in una superficie ,I,,, ~ O, che ~ la superficie pi~ rappresentabile prospettivamente sui piani della stdla O.

5. Ogni punto fondamentale, K,, della rappresentazione della o,, su o + l'immagine di una curva piana di ~. di ordine r , sicch6 nel sistema y. vi + una curva 6'. che passa pel punto K, con un ramo di pih che le altre.

La superticie ,I,, ammette, in generale, una sola hnea doppia, della quale l'ordine e l'immagine sul piano o si determinano con i metodi indic~ti da C a p o r a l i (*).

Di maggiore importanza riesce la considerazione della congruenza delle congiungenti i punti della superficie ,I,. alle proprie immagini sul piano o, giacch~ trovandosi questa congruenza nel complesso lineare r gode propriet~, che per le congruenze analoghe (studiate anche dal C a p o r a l i ) non si verificano.

Essa congruenza Q + di grado n; sono mulupli per essa secondo n - - I i raggi del fascio ( O - o) del complesso r , sono multiph se- condo r~, . . . , r z i .-a,,,~io~ dei fasci (K, - - "~,), . . , (K~ - - ",(t)di tale complesso

Ulteriormente la Q ha altri n + I fasci semplicb i quali hanno per centri n + I punti U , , . . . , U,,+~ della curva (~o ~,) dl cui cia- scuno riguardato appartenente alla superficie ~ ha come immagine su to s~ stesso.

Le curve T,+, ~---K~, . . . Kf l U, . . . U.+,, seziom del piano con le superficie della congruenza Q,, contenute helle singole con- gruenze lineari del complesso F, formano un sistema lineare ~4 siffat- to che due curve del sistema hanno in comune 2n punti situati su d~ una conica.

Ogni curva T,+, contiene due punti A, A' allineau con O , di cui ciascuno + centro di un fascio di raggi che xnsleme ad un fascio proiet- tivo di curve C, del sistema ~ genera la curva.

Le coppie cosutuite dai punti A,A' ora accennnati, dovute alle curve T,+, di un fascio, appartengono alla stessa conica che contiene i 2 n punti non fissi, base del fascio.

Roma, gmgno i888 DOMENICO MONTESANO.

(*) C a p o r a 1 i : Sopra i s~stemi hneari tr~plamente ~nfimti di curve algebr~r

piane, n ~ i6 (Memorie di Geometria e&te da Pellerano, Napoh, x888).