Suites numériques - Chapitre 3delfour/mat1000-chap-3-s4.pdf · SUITES NUMÉRIQUES LIMITE D’UNE SUITE: EXEMPLES DE SUITES EXEMPLE Soit la suite {xn} = {(−1)n/n}.On devine que

SUITES NUMÉRIQUES

CHAPITRE 3

M. Delfour

Département de mathématiques et de statistiqueUniversité de Montréal

17 janvier 2012

M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 1 / 90

PLAN

1 INTRODUCTION : LES PARADOXES

2 SUITE, CONVERGENCE, LIMITE ET POINT D’ ACCUMULATION

3 SUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE

4 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

5 SOUS-SUITES ET SUITES MONOTONES

6 SUITES DE CAUCHY

7 L IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE

8 D’ AUTRES EXEMPLES

9 UN DERNIER THÉORÈME


SUITES NUMÉRIQUESINTRODUCTION - PARADOXES

surface = 1/2 surface = 1/2 surface= 1

FIGURE: La grille


SUITES NUMÉRIQUESINTRODUCTION - PARADOXES

surface = 1/2 surface = 1/2 surface= 1

FIGURE: La grille

périmètre = 4 périmètre = 4 périmètre = 2 +√

2

FIGURE: L’escalierM. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 4 / 90

PLAN






6 SUITES DE CAUCHY





SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE

DÉFINITION

Une suite de nombres réels est une fonction

x : N → R .

On a donc une liste ordonnée d’éléments de R

x(1), x(2), x(3), . . . , x(n), . . .

que l’on écrira simplementx1, x2, x3, . . . , xn, . . .

et que l’on désignera par {xn}.

DÉFINITION

(i) Étant donné une suite {xn} et un point x ∈ R, on dit que {xn} converge vers x si

∀ε > 0, ∃N ∈ N| {z }

tel que ∀n > N, |xn − x | < ε.| {z }

(ii) Une suite {xn} est dite convergente s’il existe un point x ∈ R tel que {xn}converge vers x . Sinon, la suite est dite divergente.


SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE

DÉFINITION

(i) Étant donné une suite {xn} et un point x ∈ R, on dit que {xn} converge vers x si

∀ε > 0, ∃N ∈ N| {z }

tel que ∀n > N, |xn − x | < ε.| {z }

(ii) Une suite {xn} est dite convergente s’il existe un point x ∈ R tel que {xn}converge vers x . Sinon, la suite est dite divergente.

Une suite {xn} converge si

∃x ∈ R, ∀ε > 0, ∃N ∈ N| {z }

, ∀n > N, |xn − x | < ε.| {z }

Une suite {xn} diverge si

∀x ∈ R, ∃ε > 0, ∀N ∈ N| {z }

, ∃n > N tel que |xn − x | ≥ ε.| {z }


SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE : UNICITÉ DE LA LIMITE

THÉORÈME

Si {xn} est une suite convergente, alors il existe un seul point x ∈ R tel que {xn}converge vers x.

On appelera x la limite de la suite {xn} et l’on écrira

limn→∞

xndéf= x .

DÉMONSTRATION.

Supposons qu’il existe deux points x et y , alors pour tout ε > 0,

∃N1 ∈ N tel que ∀n > N1, |xn − x | < ε

∃N2 ∈ N tel que ∀n > N2, |xn − y | < ε

On prend N = max{N1, N2}. Alors pour tous n > N

|y − x | ≤ |y − xn| + |xn − x | < 2ε ⇒ ∀ε > 0, |y − x | < 2ε

En faisant tendre ε vers 0, il vient y = x .


SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE : EXEMPLES DE SUITES

EXEMPLE

Soit la suite {xn} = {(−1)n/n}. On devine que x = 0 est un bon candidat pour la limite.On veut estimer la quantité

|xn − x | =

˛

˛

˛

˛

(−1)n

n− 0

˛

˛

˛

˛

=1n

.

Par la propriété de corps archimédien, pour tout ε > 0, il existe N(ε) ∈ N tel queN(ε) ε > 1. On a donc bien pour tout n > N(ε)

|xn − x | =

˛

˛

˛

˛

(−1)n

n− 0

˛

˛

˛

˛

=1n

<1

N(ε)< ε.

⇒ ∀ε > 0, ∃N(ε) tel que ∀n > N(ε), |xn − x | < ε.


SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE : EXEMPLES DE SUITES

EXEMPLE

Soit la suite {xn} = {(3n + 17)/n}. On devine que x = 3 est un bon candidat pour lalimite. On veut estimer la quantité

|xn − x | =

˛

˛

˛

˛

3n + 17n

− 3

˛

˛

˛

˛

=17n

.

Par la propriété de corps archimédien, pour tout ε > 0, il existe N(ε) ∈ N tel queN(ε) ε > 17. On a donc bien pour tout n > N(ε)

|xn − x | =

˛

˛

˛

˛

3n + 17n

− 3

˛

˛

˛

˛

=17n

<17

N(ε)< ε.

⇒ ∀ε > 0, ∃N(ε) tel que ∀n > N(ε), |xn − x | < ε.


SUITES NUMÉRIQUESL IMITE D ’ UNE SUITE : EXEMPLE DE SUITE DIVERGENTE

Une suite {xn} converge si

∃x ∈ R, ∀ε > 0, ∃N ∈ N| {z }

, ∀n > N, |xn − x | < ε.| {z }

EXEMPLE

Soit la suite {xn} = {(−1)n}. Si elle convergeait, il existerait un point x ∈ R tel que (enprenant ε = 1)

∃N tel que ∀n > N, |(−1)n − x | < 1.

Pour n pair on a (−1)n = 1 et

|1 − x | < 1 ⇒ −1 < 1 − x < 1 ⇒ 0 < x < 2;

pour n impair on a on a (−1)n = −1 et

| − 1 − x | < 1 ⇒ −1 < 1 + x < 1 ⇒ −2 < x < 0.

Cette contradiction démontre que la suite n’est pas convergente.


SUITES NUMÉRIQUESPOINT D’ ACCUMULATION ET SUITE

La notion de suite peut aussi servir à caractériser un point d’accumulation d’unepartie E de R.

THÉORÈME

x0 ∈ E ′ ⇐⇒ ∃{xn}, xn ∈ E , xn 6= x0| {z }

, tel que limn→∞

xn = x0.

DÉMONSTRATION.

(⇒) Si x0 ∈ E ′,

∀δ > 0, V ′(x0, δ) ∩ E 6= ∅.

Donc, en prenant δn = 1/n, pour tout n ∈ N il existe xn ∈ E , xn 6= x0, tel que|xn − x0| < 1/n. On a donc construit la suite {xn}. Pour montrer qu’elle converge, onprend ε > 0. Par la propriété de corps archimédien, il existe N ∈ N tel que N ε > 1,d’où

∀n > N, |xn − x0| <1n

<1N

< ε.

La suite est donc convergente vers x0. . . .suite . . .


SUITES NUMÉRIQUESPOINT D’ ACCUMULATION ET SUITE

THÉORÈME

x0 ∈ E ′ ⇐⇒ ∃{xn}, xn ∈ E , xn 6= x0| {z }

, tel que limn→∞

xn = x0.

DÉMONSTRATION.

(⇐) On veut montrer que

∀δ > 0, V ′(x0, δ) ∩ E 6= ∅.

Comme la suite est convergente, pour chaque δ > 0, il existe N ∈ N tel que pour toutn > N, |xn − x0| < δ. Comme xn 6= x0, V ′(x0, δ) ∩ E 6= ∅ et x0 est donc bien un pointd’accumulation de E .


PLAN






6 SUITES DE CAUCHY





SUITES NUMÉRIQUESSUITES BORNÉES

DÉFINITION

(i) Une suite {xn} est bornée supérieurement si il existe M ∈ R tel que

∀n ∈ N, xn ≤ M.

(ii) Une suite {xn} est bornée inférieurement si il existe m ∈ R tel que

∀n ∈ N, m ≤ xn.

(iii) Une suite {xn} est bornée si elle est bornée inférieurement et bornéesupérieurement.

EXEMPLE

Les suites {1/n}, {sin n}, {(3n + 17)/n} sont bornées, mais les suites {n} et {n2} nesont pas bornées supérieurement.

THÉORÈME

{xn} convergente =⇒ {xn} bornée.


SUITES NUMÉRIQUESSUITE CONVERGENTE ET BORNITUDE

THÉORÈME

{xn} convergente =⇒ {xn} bornée.

DÉMONSTRATION.

Si {xn} est convergente, il existe x ∈ R tel que pour ε = 1, il existe N ∈ N tel que

∀n > N, |xn − x | < 1 ⇒ |xn| < 1 + |x |⇒ ∀n ∈ N, |xn| ≤ max{|x1|, . . . , |xN |, 1 + |x |}

et donc {xn} est bornée.

REMARQUE

La réciproque n’est pas vraie car la suite {(−1)n} est bornée et divergente.


PLAN






6 SUITES DE CAUCHY





SUITES NUMÉRIQUESOPÉRATIONS SUR LES LIMITES

CONVENTION

On adopte la convention suivante : la notation

x = limn→∞

xn

signifiera que la suite {xn} est convergente et qu’elle a pour limite x .

THÉORÈME

Soient deux suitesx = lim

n→∞xn y = lim

n→∞yn

Alors les opérations suivantes préservent la convergence :(i) lim

n→∞(xn ± yn) = x ± y

(ii) ∀k ∈ R, limn→∞

(k xn) = k x

(iii) limn→∞

(xn yn) = x y

(iv) Si y 6= 0, limn→∞

(xn/yn) = x/y



EXEMPLE

3n + 2n − 1

=3 + 2

n

1 − 1n

⇒ limn→∞

3 + 2n

1 − 1n

=31

= 3

DÉMONSTRATION.

(i) On part de l’estimé

|xn ± yn − (x ± y)| = |xn − x ± (yn − y)| ≤ |xn − x | + |yn − y |

Pour ε > 0, on choisit

N1 ∈ N tel que ∀n > N1, |xn − x | <ε

2

N2 ∈ N tel que ∀n > N2, |yn − y | <ε

2

On prend N = max{N1, N2} et

∀n > N, |xn ± yn − (x ± y)| ≤ |xn − x | + |yn − y | <ε

2+

ε

2= ε.



THÉORÈME

Soient deux suitesx = lim

n→∞xn y = lim

n→∞yn

Alors les opérations suivantes préservent la convergence :

(ii) ∀k ∈ R, limn→∞

(k xn) = k x

DÉMONSTRATION.

(ii) On part de l’estimé

|kxn − kx | = |k(xn − x)| = |k | |xn − x | ≤ (|k | + 1) |xn − x |


N ∈ N tel que ∀n > N, |xn − x | <ε

|k | + 1

⇒ ∀n > N, |kxn − kx | ≤ (|k | + 1) |xn − x | < (|k | + 1)ε

|k | + 1= ε.



THÉORÈME

Soient deux suites x = limn→∞ xn et y = limn→∞ yn

(iii) limn→∞(xn yn) = x y

DÉMONSTRATION.

(iii) On part de l’estimé

|xn yn − x y | = |xn yn − xn y + xn y − x y | ≤ |xn| |yn − y | + |xn − x | |y |

Mais on a montré qu’une suite convergente est bornée. Si M > 0 est telle que |xn| ≤ Mpour tout n ∈ N, alors

|xn yn − x y | ≤ M |yn − y | + |xn − x | |y | ≤ (M + |y |) (|yn − y | + |xn − x |)


N1 ∈ N tel que ∀n > N1, |xn − x | <ε

2(M + |y |)N2 ∈ N tel que ∀n > N2, |yn − y | <

ε

2(M + |y |)On prend N = max{N1, N2} et ∀n > N, |xn yn − x y | < ε.



THÉORÈME

Soient deux suites x = limn→∞ xn et y = limn→∞ yn.

(iv) Si y 6= 0, limn→∞(xn/yn) = x/y

DÉMONSTRATION.

(iv) On part de l’estimé˛

˛

˛

˛

xn

yn− x

y

˛

˛

˛

˛

=|xn y − x yn|

|y | |yn|=

|xn y − x y + x y − x yn||y | |yn|

≤ |xn y − x y ||y | |yn|

+|x y − x yn|

|y | |yn|

≤ |y | |xn − x ||y | |yn|

+ |x | |y − yn||y | |yn|

≤ 1|yn|

„

|xn − x | + |x ||y | |yn − y |

«

≤ 1|yn|

„

1 +|x ||y |

«

(|xn − x | + |yn − y |)

Il nous manque donc une borne sur le premier terme pour conclure.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 22 / 90


LEMME

Soit une suite y = limn→∞ yn telle que y 6= 0.Il existe β > 0 et N ∈ N tels que

∀n > N, |yn| ≥ β.

DÉMONSTRATION.

Pour ε = |y |/2 > 0, il existe N ∈ N tel que

∀n > N, |yn − y | <|y |2

⇒ |yn| ≥ |y | − |yn − y | ≥ |y | − |y |2

=|y |2

On prend β = |y |/2.



THÉORÈME

Soient deux suites x = limn→∞ xn et y = limn→∞ yn.

(iv) Si y 6= 0, limn→∞(xn/yn) = x/y

DÉMONSTRATION.

(iv) En utilisant le lemme : il existe un N0 ∈ N tel que pour tout n > N0

˛

˛

˛

˛

xn

yn− x

y

˛

˛

˛

˛

≤ 1|yn|

„

1 +|x ||y |

«

(|xn − x | + |yn − y |)

≤ 1β

„

1 +|x ||y |

«

(|xn − x | + |yn − y |) .

On termine maintenant la démonstration comme dans les autres cas.


SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI TENDENT VERS±∞

On peut ajouter aux suites convergentes deux autres types de suites qui par abus delangage et de notation “convergent" soit vers +∞ ou −∞.

DÉFINITION

1 Une suite {xn} tend vers +∞ si

∀M > 0, ∃N ∈ N| {z }

tel que ∀n > N, xn > M| {z }

.

On écriralim

n→∞xn = +∞.

2 Une suite {xn} tend vers −∞ si

∀M > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N, xn < −M.

On écriralim

n→∞xn = −∞.

EXEMPLE

Pour a ∈ R, a > 0, limn→∞ na = +∞. Pour M > 0, il existe N ∈ N tel que N > M1/a etpour tout n > N, na > Na > M.



EXEMPLE

Soit a ∈ R. On veut montrer ce qui suit

limn→∞

an =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

+ ∞ si 1 < a

1 si a = 1

0 si − 1 < a < 1

∄ si a ≤ −1.

(i) 1 < a. On pose h = a − 1 > 0 et on utilise l’inégalité de lli

an = (1 + h)n ≥ 1 + nh.

Pour tout M > 0, on cherche N ∈ N tel que 1 + Nh > M : par la propriétéarchimédienne, il existe N ∈ N tel que Nh > M − 1. Donc pour tout n > N,

an ≥ 1 + nh > 1 + N h > M

⇒ limn→∞

an = +∞.



EXEMPLE

Soit a ∈ R. On veut montrer ce qui suit

limn→∞

an =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

+ ∞ si 1 < a

1 si a = 1

0 si − 1 < a < 1

∄ si a ≤ −1.

(ii) a = 1. Alors an = 1n = 1 et la suite est constante et converge vers 1.

(iii) |a| < 1. On pose h déf= 1/|a| − 1 > 0. On estime

|an − 0| = |a|n =

„

11 + h

«n

=1

(1 + h)n ≤ 11 + nh

≤ 1nh

.

Pour ε > 0, on prend N ∈ N tel que N · [ε · h] > 1. Pour n > N,

|an − 0| ≤ 1nh

≤ 1Nh

< ε.



EXEMPLE

Soit a ∈ R . limn→∞

an =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

+ ∞ si 1 < a

1 si a = 1

0 si − 1 < a < 1

∄ si a ≤ −1.

(iv) a ≤ −1. On peut déjà éliminer ±∞. En effet, pour tout n pair, an = |a|n ≥ 1, ce quiélimine −∞. Aussi, pour tout n impair, an = −|a|n ≤ −1, ce qui élimine +∞. On a vuque le cas a = −1 donnait une suite divergente.Il reste le cas a < −1 pour lequel |a| > 1 et |a|n > 1. Supposons quelimn→∞ an = A ∈ R. En particulier, pour ε = 1, il existe N ∈ N tel que pour tout n > N,|an − A| < 1. Si n est pair, an = |a|n

||a|n − A| = |an − A| < 1 ⇒ −1 < |a|n − A < 1| {z }

⇒ 1 < |a|n < 1 + A| {z }

et A > 0. Si n est impair, an = −|a|n

| − |a|n − A| = |an − A| < 1 ⇒ −1 < −|a|n − A| {z }

< 1 ⇒ 1 < |a|n < 1 − A| {z }

et A < 0. On a une contradiction. Donc, {an} ne converge pas.


SUITES NUMÉRIQUESLES SUITES QUI SONT DES QUOTIENTS DE POLYNÔMES

EXEMPLE

On considère la suite {xn} suivante :

xndéf=

P(n)

Q(n)=

ar nr + ar−1nr−1 + · · · + a1n + a0

bsns + bs−1ns−1 + · · · + b1n + b0avec ar 6= 0 et bs 6= 0

On a les résultats suivants :

limn→∞

P(n)

Q(n)=

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

ar

bssi r = s

+ ∞ si r > s et ar bs > 0

−∞ si r > s et ar bs < 0

0 si r < s



THÉORÈME

(i) limn→∞

xn = +∞ et

limn→∞

yn = +∞⇒ lim

n→∞xn + yn = +∞

(ii) limn→∞

xn = −∞ et

limn→∞

yn = −∞⇒ lim

n→∞xn + yn = −∞

(iii) limn→∞

xn = +∞ et

limn→∞

yn = +∞⇒ lim

n→∞xn yn = +∞

(iv) limn→∞

xn = −∞ et

limn→∞

yn = −∞⇒ lim

n→∞xn yn = +∞

(v) limn→∞

xn = −∞ et

limn→∞

yn = +∞⇒ lim

n→∞xn yn = −∞

(vi) limn→∞

|xn| = +∞ ⇐⇒ limn→∞

1xn

= 0

(vii) limn→∞

xn = x > 0 et

limn→∞

yn = +∞⇒ lim

n→∞xn yn = +∞

(viii) limn→∞

xn = x < 0 et

limn→∞

yn = +∞⇒ lim

n→∞xn yn = −∞



REMARQUE

Le théorème ne renseigne pas sur les cas suivants :

(i)lim

n→∞xn = +∞

limn→∞

yn = −∞

)

⇒ limn→∞

xn + yn =?

(ii)lim

n→∞xn = 0

limn→∞

yn = ±∞

)

⇒ limn→∞

xn yn =?

(iii)lim

n→∞xn = ±∞

limn→∞

yn = ±∞

)

⇒ limn→∞

xn

yn=?

Ces cas exceptionnelssont appelés formesindéterminées.

EXEMPLE

(i) xn = n2 et yn = −n ⇒ limn→∞(xn + yn) = +∞.

(ii) xn =√

2n + 1 et yn = −√

2n⇒ lim

n→∞(xn + yn) = lim

n→∞

√2n+1−

√2n

1

√2n+1+

√2n√

2n+1+√

2n= lim

n→∞

1√2n+1+

√2n

= 0.

(iii) xn = n2 et yn = 1n ⇒ limn→∞(xn yn) = +∞ .

(iv) xn = 3n et yn = 1/(2n + 1) ⇒ limn→∞(xn yn) = limn→∞3

2+1/n = 32 .


SUITES NUMÉRIQUESQUELQUES OUTILS POUR DÉMONTRER LA CONVERGENCE

THÉORÈME(DES DEUX GENDARMES)

Soient les trois suites {xn}, {yn}, et {zn} suivantes :

1 limn→∞

xn = x

2 limn→∞

zn = x

3 ∀n ∈ N, xn ≤ yn ≤ zn.

9

>

>

=

>

>

;

⇒ limn→∞

yn = x .

DÉMONSTRATION.

Par hypothèse, pour tout ε > 0,

∃N1 ∈ N, tel que ∀n > N1, |xn − x | < ε

∃N2 ∈ N, tel que ∀n > N2, |zn − x | < ε

On pose N = max{N1, N2}. Il vient

∀n > N, x − ε <xn ≤ yn ≤ zn< x + ε

∀n > N, |yn − x | < ε

et yn converge vers x .M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 32 / 90




1 limn→∞

xn = x

2 limn→∞

zn = x

3 ∀n ∈ N, xn ≤ yn ≤ zn.

9

>

>

=

>

>

;

⇒ limn→∞

yn = x .

EXEMPLE

Montrer que limn→∞n√

n = 1. Puisque n1/n > 1 pour n > 1, on pose xndéf= n1/n − 1 > 0.

Par la formule du binôme de Newton,

n = (1 + xn)n = 1 + n xn +

n(n − 1)

2x2

n + · · · + xnn

≥ 1 +n(n − 1)

2x2

n ⇒ n − 1 ≥ n(n − 1)

2x2

n ⇒ 1 ≥ n2

x2n .

ce qui donne ∀n > 1, 0 < xn ≤p

2/n. Comme la limite du coté droit est 0 et que lecôté gauche est la suite constante égale à zéro, par le théorème des gendarmes, onobtient lim

n→∞xn = 0 et donc lim

n→∞1 + xn = 1.





1 limn→∞

xn = x

2 limn→∞

zn = x

3 ∀n ∈ N, xn ≤ yn ≤ zn.

9

>

>

=

>

>

;

⇒ limn→∞

yn = x .

EXEMPLE

Montrer que la suite

xndéf=

1n2 + 2n + 1

+1

n2 + 2n + 2+ · · · + +

1n2 + 3n

converge vers x = 0. On procède par encadrement :

1n2 + 3n

≤ 1n2 + 2n + 1

+1

n2 + 2n + 2+ · · · + +

1n2 + 3n

≤ nn2 + 2n + 1

.

Comme le degré des polynômes aux numérateurs est strictement plus petit que celuiaux dénominateurs, les suites de chaque côté convergent vers 0. Par les gendarmes,lim

n→∞xn = 0.



THÉORÈME

Soient une suite {xn}, xn 6= 0 telle que

L déf= lim

n→∞

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

∈ R .

Alors

a) L < 1 =⇒ limn→∞

xn = 0.

b) L > 1 =⇒ limn→∞

|xn| = +∞.

DÉMONSTRATION.

a) 0 ≤ L < 1. Soit r , L < r < 1 et on choisit ε = r − L > 0. Il existe donc N ∈ N tel que

∀n > N,

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

− L ≤˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

− L

˛

˛

˛

˛

< ε = r − L

∀n > N,

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

≤ r ⇒ ∀n > N, |xn+1| < r |xn|

∀k ≥ 1, |xn+k | < r |xn+k−1| < r2|xn+k−2| < · · · < r k |xn|.

suite . . .



THÉORÈME

Soit une suite {xn}, xn 6= 0 telle que

L déf= lim

n→∞

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

∈ R .

Alors

a) L < 1 =⇒ limn→∞ xn = 0.

DÉMONSTRATION.

a) 0 ≤ L < 1. Soit r , L < r < 1 et on choisit ε = r − L > 0. Il existe donc N ∈ N tel que

∀n > N,

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

− L ≤˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

− L

˛

˛

˛

˛

< ε = r − L

∀n > N,

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

≤ r ⇒ ∀n > N, |xn+1| < r |xn|

∀k ≥ 1, |xn+k | < r |xn+k−1| < r2|xn+k−2| < · · · < r k |xn|.

Comme 0 < r < 1, limk→∞ r k = 0. Et comme −r k |xn| < |xn+k | < r k |xn|, par lesgendarmes, lim

k→∞xn+k = 0 et donc lim

n→∞xn = 0.



THÉORÈME

Soit une suite {xn}, xn 6= 0 ∀n ∈ N telle que

L déf= lim

n→∞

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

∈ R .

Alors

b) L > 1 =⇒ limn→∞

|xn| = +∞.

DÉMONSTRATION.

b) L > 1. On pose yn = 1/xn. Il vient

limn→∞

˛

˛

˛

˛

yn+1

yn

˛

˛

˛

˛

= limn→∞

˛

˛

˛

˛

xn

xn+1

˛

˛

˛

˛

=1L

< 1.

D’après la partie a), yn = 1/xn → 0. Mais, d’après la partie (vi) d’un théorème antérieur,

limn→∞

|xn| = +∞ ⇐⇒ limn→∞

1xn

= 0.



THÉORÈME

Soit une suite {xn}, xn 6= 0.

L déf= lim

n→∞

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

∈ R .

a) L < 1 =⇒ limn→∞

xn = 0.

b) L > 1 =⇒ limn→∞

|xn| = +∞.

EXEMPLE

Soient a > 1 un réel et xn = an/n. On considère le quotient˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

=xn+1

xn=

an+1/(n + 1)

an/n= a

nn + 1

⇒ limn→∞

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

= a > 1.

On a donc par b) limn→∞

xn = +∞.

Soient a un réel et xn = an/n!. On considère le quotient˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

=|a|n+1/(n + 1)!

|a|n/n!= |a| 1

(n + 1)⇒ lim

n→∞

˛

˛

˛

˛

xn+1

xn

˛

˛

˛

˛

= 0 < 1.

On a donc par a) limn→∞

xn = 0.


PLAN






6 SUITES DE CAUCHY





SUITES NUMÉRIQUESSOUS-SUITES ET EXEMPLES

DÉFINITION

Soient une suite {xn} et une suite d’entiers naturels {nk}

n1 < n2 < · · · < . . . .

La suite {xnk } est appelée sous-suite de la suite {xn}.

REMARQUE

Pour tout k ≥ 1, nk ≥ k et limk→∞

nk = +∞.

EXEMPLE

Les suites {1/k2}, {1/(2k)}, {1/3k} sont des sous-suites de {1/n} avec

{1/k2}, nk = k2, {1/(2k)}, nk = 2k , {1/3k}, nk = 3k .

Elles convergent toutes vers la même limite 0.La suite {1, 1/2, 1/8, 1/4, 1/16. . . .} n’est pas une sous-suite de {1/n}.La suite {(−1)n} diverge, mais les sous-suites

{(−1)2k}, nk = 2k , et {(−1)2k+1}, nk = 2k + 1, convergent.


SUITES NUMÉRIQUESLES SOUS-SUITES D’ UNE SUITE CONVERGENTE

THÉORÈME

Soit {xn} une suite convergente de limite x = limn→∞

xn.

Alors toute sous-suite {xnk } de {xn}est convergente

et limk→∞

xnk = x.

DÉMONSTRATION.

Soit x = limn→∞

xn. Par définition, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que

∀n > N, |xn − x | < ε.

Pour tout k > N, on a nk ≥ k et donc nk > N, ce qui implique |xnk − x | < ε et lasous-suite {xnk } converge vers x .

On obtient un critère pour la divergence.

COROLLAIRE

Si une suite {xn} possède deux sous-suites qui convergent vers des limites différentes,la suite {xn} diverge.


SUITES NUMÉRIQUESBORNITUDE ET SOUS-SUITES CONVERGENTES

THÉORÈME

{xn} suite bornée =⇒ ∃ sous-suite {xnk } convergente.

La suite {(−1)n} diverge, mais elle est bornée. Ses deux sous-suites

{(−1)2k}, nk = 2k , et {(−1)2k+1}, nk = 2k + 1, convergent.

DÉMONSTRATION.

a) Si l’image de la suite contient un nombre fini d’éléments, l’un d’eux se répéte uneinfinité de fois : en effet, soit {a1, . . . , an} l’ensemble fini des valeurs prises par la suite{xn}. On veut montrer

∃i0, 1 ≤ i0 ≤ n, tel que ∀N > 0, ∃n > N tel que xn = ai0 .

Sinon pour chaque i , il existe Ni tel que, pour tous n > Ni , xn 6= ai . On prend

N déf= max{N1, N2, . . . , Nn} et

∀n > N, ∀i , 1 ≤ i ≤ n, xn 6= ai ⇒ {xn} n’est pas une suite.

Donc la sous-suite constante de ai0 converge. suite . . .



THÉORÈME


DÉMONSTRATION.

b) Si l’image de la suite contient une infinité d’éléments, le fait qu’elle soit bornée nouspermet d’invoquer le théorème de Bolzano-Weierstrass qui dit que l’ensemble despoints de la suite

E déf= {xn : ∀n ∈ N}

possède un point d’accumulation x ∈ E ′. Par le théorème du Chapitre 2.

THÉORÈME(CHAPITRE 2)

Soit E ⊂ R.x ∈ R est un point d’accumulation de E⇐⇒∀δ > 0, V (x , δ) ∩ E possède une infinité de points.



THÉORÈME


DÉMONSTRATION.

b) (suite) Donc ∀δ > 0, V (x , δ) ∩ E contient une infinité d’éléments.Pour δ = 1, il existe xn1 ∈ E tel que |xn1 − x | < 1.

◮ Comme E1déf= {xn : n > n1} est aussi borné et ne diffère de E que par un nombre fini

d’éléments, ∀δ > 0, V (x , δ) ∩ E1 contient une infinité d’éléments.Pour δ = 1/2 il existe xn2 ∈ E1, c-à-d., n2 > n1, tel que |xn2 − x | < 1/2.

◮ À l’étape k , Ekdéf= {xn : n > nk} est aussi borné et ne diffère de E que par un

nombre fini d’éléments, ∀δ > 0, V (x , δ) ∩ Ek contient une infinité d’éléments. Pourδ = 1/(k + 1) il existe xnk+1 ∈ Ek , c-à-d., nk+1 > nk , tel que |xnk+1 − x | < 1/(k + 1).◮ On a donc construit la sous-suite {xnk } de {xn} telle que pour tout k ∈ N,|xnk − x | < 1/k . Elle converge donc bien vers x : pour tout ε > 0, il existe K ∈ N tel queK ε > 1 et pour tout k > K , |xnk − x | < 1/k < 1/K < ε.


SUITES NUMÉRIQUESCOMPACITÉ ET SOUS-SUITES CONVERGENTES

THÉORÈME

E ⊂ R compact ⇐⇒ ∀{xn} ⊂ E , ∃ x ∈ E et ∃{xnk } tel que limk→∞

xnk = x.

DÉMONSTRATION.

(⇒). Soit {xn} ⊂ E . Comme E est compact, il est borné par le théorème précedent, Ilexiste donc une sous-suite {xnk } convergente vers un point x ∈ R qui est un pointd’adhérence de E . Mais comme E est fermé, x ∈ E .(⇐). Par contradiction. Si E n’est pas compact, il est soit non borné ou soit non-fermé.Si E n’est pas borné, il existe une suite {xn} ⊂ E telle que pour tout n ∈ N, |xn| > n.Par hypothèse, il existe une sous-suite et x ∈ E tel que xnk → x ∈ E . Mais

|xnk − x | ≥ |xnk | − |x | ≥ nk − |x | ≥ k − |x |→ ∞ lorsque k → ∞

contredit la convergence de la sous-suite.Si E n’est pas fermé, il existe une suite {xn} ⊂ E qui converge vers un élémentx ∈ E ′\E . Comme toute sous-suite converge vers le même x /∈ E , il n’existe pas desous-suite qui converge vers un élément de E , d’où la contradiction.

L’intervalle (0, 1) n’est pas compact car la suite {1/2n} ⊂ (0, 1), et a fortiori toute sessous-suites, converge vers 0 /∈ (0, 1).


SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES

On désignera par suites monotones les suites qui vérifient l’une des conditions de ladéfinition suivante.

DÉFINITION

(i) {xn} est croissante si ∀n ∈ N, xn ≤ xn+1. On utilisera la notation xn ր.

(ii) {xn} est strictement croissante si ∀n ∈ N, xn < xn+1.

(iii) {xn} est décroissante si ∀n ∈ N, xn ≥ xn+1. On utilisera la notation xn ց.

(iv) {xn} est strictement décroissante si ∀n ∈ N, xn > xn+1.

Pour déterminer ces propriétés, on comparera

xn+1 − xn à 0 ou xn+1/xn à 1

THÉORÈME

{xn} suite monotone bornée =⇒ {xn} converge.

Ce théorème s’applique aussi lorsque la suite devient monotone à partir d’un certainindice N.


SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES

THÉORÈME

{xn} suite monotone bornée =⇒ {xn} converge.

En fait, on a mieux◮ {xn} suite croissante et bornée supérieurement =⇒ {xn} converge.◮ {xn} suite décroissante et bornée inférieurement =⇒ {xn} converge.

DÉMONSTRATION.

On considère le cas de la suite croissante et bornée supérieurement. Le casdécroissant et et bornée inférieurementest analogue. Si {xn} est bornéesupérieurement, par la propriété (P7)

x déf= sup{xn : ∀n ∈ N} ∈ R ⇒ ∀n ∈ N, xn ≤ x .

Il reste à démontrer que limn→∞

xn = x . Pour tout ε > 0, il existe N tel que

x − ε < xN ≤ x .

Comme la suite est croissante et que x est le sup E , pour tout n > N,

x − ε < xN ≤ xn ≤ x < x + ε ⇒ |xn − x | < ε ⇒ xn → x .


SUITES NUMÉRIQUESSUITES MONOTONES : EXEMPLE 1

EXEMPLE

Soit a ∈ R, 0 < a < 1. Alors limn→∞ an = 0.Déjà démontré à l’aide du binôme de Newton. On le refait à l’aide de la monotonicité.

an+1 − an = an|{z}

>0

(a − 1)| {z }

<0

< 0 ⇒ {an} décroissante

0 < a < 1 ⇒ ∀n ∈ N, 0 < an < 1 ⇒ {an} bornée.

Par le théorème, la suite an converge donc vers un point x .La sous-suite {an+1} converge vers x en prenant nk = k + 1. Elle est le produit d’uneconstante a et de la suite {an} :

an+1 = a an

⇒ x = limn→∞

an+1 = limn→∞

a limn→∞

an = a x

⇒ (1 − a) x = 0

⇒ x = 0 car 1 − a > 0.



EXEMPLE (SUITE RÉCURRENTE OU RÉCURSIVE)

Soit la suite {xn}

xndéf=

(

√3 n = 1

p

3xn−1 n ≥ 2.

On utilise l’induction mathématique pour montrer que {xn} est bornée et monotonecroissante. Pour n = 1, 1 ≤ x1 =

√3 ≤ 3. Pour n = 2

x2 − x1 =

q

3√

3 −√

3 =√

3(

q√3 − 1) > 0 ⇒ x2 ≥ x1

⇒ x2 ≥ x1 ≥ 1 et x2 =p

3 x1 ≤√

3 · 3 ≤ 3 ⇒ 1 ≤ x2 ≤ 3 .

Supposons le résultat vrai pour n ≥ 3 :

xn − xn−1 ≥ 0 et 1 ≤ xn ≤ 3

⇒ xn+1 − xn =p

3xn −p

3xn−1 =√

3(√

xn −√

xn−1) =√

3xn − xn−1√xn +

√xn−1

≥√

3xn − xn−1

2√

3=

12

(xn − xn−1) ≥ 0 ⇒ xn+1 ≥ xn

⇒ xn+1 ≥ xn ≥ 1, xn+1 =p

3xn ≤√

3 · 3 = 3 ⇒ 1 ≤ xn+1 ≤ 3



EXEMPLE (SUITE ET FIN)

Soit la suite {xn}

xndéf=

(

√3 n = 1

p

3xn−1 n ≥ 2.

On a montré que {xn} est bornée et croissante : pour tout n,

xn+1 − xn ≥ 0 et 1 ≤ xn ≤ 3.

Par le théorème, il existe x ∈ R tel que

x = limn→∞

xn et aussi pour la sous-suite limn→∞

xn+1 = x et 1 ≤ x ≤ 3.

Ceci entraîne pour tout n ≥ 1 :

xn+1 =p

3xn ⇒

˛

˛

˛

˛

˛

˛

˛

x = limn→∞

xn+1 =q

limn→∞

3 xn =q

3 limn→∞

xn =√

3x

x =√

3x et 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ x2 = 3xx>0

⇒ x = 3.

détail technique . . .suite



EXEMPLE (DÉTAIL TECHNIQUE)

On a utilisé le fait que

xn → x et xn ≥ 1 (et donc x ≥ 1) ⇒√

xn →√

x .

En effet

˛

˛

√xn −

√x˛

˛ =1√

xn +√

x|xn − x | ≤ 1

2|xn − x | .

Donc pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que

∀n > N, |xn − x | < 2ε

⇒ ∀n > N,˛

˛

√xn −

√x˛

˛ ≤ 12|xn − x | < ε.




Soit la suite {xn}

xndéf=

„

1 +1n

«n

On a déjà montré que {xn} est bornée :

∀n ≥ 1, 2 ≤ xn ≤ 3.

On va maintenant montrer qu’elle est croissante :

∀n ≥ 1,xn+1

xn≥ 1.

On calcule le quotient

xn+1

xn=

`

1 + 1n+1

´n+1

`

1 + 1n

´n =

„

1 +1

n + 1

«

1 + 1n+1

1 + 1n

!n

=

„

n + 2n + 1

«„

(n + 2)n(n + 1)2

«n

=

„

n + 2n + 1

«„

1 +(n + 2)n − (n + 1)2

(n + 1)2

«n

=

„

n + 2n + 1

«„

1 − 1(n + 1)2

«n

.



EXEMPLE (SUITE)

Soit la suite {xn}

xndéf=

„

1 +1n

«n

On a montré que {xn} est bornée :

∀n ≥ 1, 2 ≤ xn ≤ 3.

Par l’inégalité de Bernoulli,

xn+1

xn=

„

n + 2n + 1

«„

1 − 1(n + 1)2

«n

≥„

n + 2n + 1

«„

1 − n(n + 1)2

«

≥„

n + 2n + 1

«„

n2 + n + 1n2 + 2n + 1

«

=n3 + 3n2 + 3n + 2n3 + 3n2 + 3n + 1

> 1.

Comme {xn} est bornée et croissante, elle possède une limite

e déf= lim

n→∞

„

1 +1n

«n

que l’on pourra estimer e ≅ 2, 718 28 . . .




Soient a > 0 un réel et la suite {xn}

xndéf=

8

>

<

>

:

x1 > 0, si n = 1

12

„

xn−1 +a

xn−1

«

, si n ≥ 2

où x1 > 0 est un réel arbitraire. On veut montrer que

limn→∞

xn =√

a.

On a donc un algorithme pour calculer√

a. Par définition, pour tout n ≥ 1, xn > 0. Enplus, pour n ≥ 2, xn ≥

√a :

xn =12

„

xn−1 +a

xn−1

«

=12

x2n−1 + axn−1

=12

(xn−1 −√

a)2 + 2√

a xn−1

xn−1

=√

a +12

(xn−1 −√

a)2

xn−1≥

√a

La suite {xn} est bornée inférieurement par min{x1,√

a}.



EXEMPLE (SUITE)


xndéf=

8

>

<

>

:

x1 > 0, si n = 1

12

„

xn−1 +a

xn−1

«

, si n ≥ 2


limn→∞

xn =√

a.

◮ On a montré que pour n ≥ 2, xn ≥√

a, On montre maintenant que la suite estdécroissante à partir de n ≥ 3.

xn − xn−1 =12

„

xn−1 +a

xn−1

«

− xn−1

=12

„

axn−1

− xn−1

«

=12

a − x2n−1

xn−1≤ 1

2a − axn−1

= 0

Par le théorème, elle est convergente.



EXEMPLE (SUITE)


xndéf=

8

>

<

>

:

x1 > 0, si n = 1

12

„

xn−1 +a

xn−1

«

, si n ≥ 2


limn→∞

xn =√

a.

On a montré que pour n ≥ 2, xn ≥√

a et que la suite est décroissante à partir den ≥ 3, xn − xn−1 ≤ 0. Par le théorème, elle est convergente :

x = limn→∞

xn et x ≥√

a > 0 ⇒ limn→∞

1xn

=1x

.

Enfin, pour n ≥ 3,

xn =12

„

xn−1 +a

xn−1

«

⇒ x =12

“

x +ax

”

⇒ x2 = a ⇒ x =√

a.



EXEMPLE (SUITE)


xndéf=

8

>

<

>

:

x1 > 0, si n = 1

12

„

xn−1 +a

xn−1

«

, si n ≥ 2

où x1 > 0 est arbitraire. Cette suite possède la propriété remarquable de convergerquadratiquement vers

√a à partir d’un point initial arbitraire x1 > 0 : pour n ≥ 2,

xn+1 −√

a =12

„

xn +axn

«

−√

a =12

(xn −√

a)2

xn≤ (xn −

√a)2

2√

a

⇒˛

˛xn+1 −√

a˛

˛ ≤ 12√

a

˛

˛xn −√

a˛

˛

2.

Lorsque que l’on s’approche de la limite√

a, l’erreur diminue de façon quadratique. Eneffet, pour a = 3,

x1 = 2, x2 =12

„

2 +32

«

= 1.75, x3 =12

„

1.75 +3

1.75

«

= 1, 732 . . .


PLAN






6 SUITES DE CAUCHY





SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY

La notion de convergence d’une suite a été introduite en identifiant a priori la limitede la suite. Il est donc naturel de se demander si l’on ne pourrait pas trrouver unecaractérisation d’une suite convergente sans connaître sa limite.

DÉFINITION

{xn} est une suite de Cauchy si

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀m > N, |xm − xn| < ε.

Il est facile de voir que cette définition est équivalente à la condition suivante :

∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.

Une première propriété et le théorème principal.

THÉORÈME

{xn} Cauchy =⇒ {xn} bornée.

THÉORÈME(CRITÈRE DECAUCHY)

{xn} Cauchy ⇐⇒ {xn} convergente.


SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : PORTRAIT DEAUGUSTIN LOUIS CAUCHY

FIGURE: Augustin Louis Cauchy (1789–1857)

Augustin Louis, baron Cauchy, est un mathématicien français, membre de l’Académiedes sciences et professeur à l’École polytechnique.

Il fut l’un des mathématiciens les plus prolifiques, derrière Leonhard Euler, avec prèsde 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domainesmathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction desfonctions holomorphes et des critères de convergence des séries et des sériesentières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie desgroupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondesélectromagnétiques.

Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIXesiècle.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 60 / 90

SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 1

DÉFINITION


(1) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀m > N, |xm − xn| < ε.

(2) ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n > N et ∀k > 0, |xn+k − xn| < ε.

EXEMPLE

{1/n} est Cauchy. On fixe un N ∈ N et on prend m > N et n > N. On établit d’abordl’estimé suivant

˛

˛

˛

˛

1m

− 1n

˛

˛

˛

˛

≤ 1m

+1n

<2N

.

Maintenant pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que N ε > 2, d’où

∀n > N et ∀m > N,

˛

˛

˛

˛

1m

− 1n

˛

˛

˛

˛

≤ 1m

+1n

<2N

< ε.




EXEMPLE

On considère la suite

xndéf= 1 +

11!

+12!

+ · · · + 1n!

=nX

i=0

1i!

.

Pour k > 0, on a l’estimé

|xn+k − xn| =

˛

˛

˛

˛

˛

n+kX

i=0

1i!−

nX

i=0

1i!

˛

˛

˛

˛

˛

=n+kX

i=n+1

1i!

=kX

i=1

1(n + i)!

=1

(n + 1)!

kX

i=1

(n + 1)!

(n + i)!.

Mais pour i = 1, (n + 1)!/(n + 1)! = 1 = 1/20 et pour i ≥ 2,

(n + 1)!

(n + i)!=

1(n + i) . . . (n + 2)

≤ 12i−1

⇒ |xn+k − xn| ≤1

(n + 1)!

kX

i=1

12i−1

.

suite . . .M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 62 / 90



EXEMPLE (SUITE)


xndéf= 1 +

11!

+12!

+ · · · + 1n!

=

nX

i=0

1i!

.

◮ Pour k > 0, on a l’estimé

|xn+k − xn| ≤ 1(n + 1)!

"

kX

i=1

„

12

«i−1#

=1

(n + 1)!

»

1 − (1/2)k

1 − 1/2

–

=1

(n + 1)!

»

2 − 12k−1

–

≤ 2(n + 1)!

⇒ |xn+k − xn| ≤ 2n + 1

≤ 2n

.

Il existe N ∈ N tel que N ε > 2 et pour n > N, etc.




EXEMPLE

On considère la suitexn

déf=

√n.

Il est important de bien comprendre que l’on doit obtenir un estimé indépendant dek > 0.

|xn+k − xn| =√

n + k −√

n =k√

n + k +√

n<

k√n

Si on fait le raisonnement habituel : pour ε > 0, il existe N ∈ N tel que N · ε2 > k2. Onobtient donc un N qui dépend de ε et de k . Dans la définition d’une suite de Cauchy, ceN doit être indépendant de tout k > 0.


SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY : EXEMPLE 3.34


EXEMPLE


xndéf= 1 +

12

+13

+ · · · + 1n

=

nX

i=1

1i

Ce n’est pas une suite de Cauchy. En fait,

limn→∞

xn = +∞.

Pour le montrer on établit l’estimé pour n et m = 2n

|x2n − xn| =

2nX

i=1

1i−

nX

i=1

1i

=

2nX

i=n+1

1i

=

nX

i=1

1n + i

≥nX

i=1

12n

=12

.

On peut prendre n aussi grand que l’on veut et la différence |x2n − xn| sera toujoursd’au moins 1/2.


SUITES NUMÉRIQUESSUITES DE CAUCHY ET SUITES CONVERGENTES

Après cette série d’exemples, on revient aux démonstrations des deux théorèmes.

DÉFINITION




THÉORÈME







THÉORÈME


DÉMONSTRATION.

Par définition,


On prend ε = 1 et n = N + 1 :

∃N ∈ N tel que ∀k > 0, |xN+1+k − xN+1| < 1

∃N ∈ N tel que ∀k > 0, ⇒ |xN+1+k | < 1 + |xN+1|⇒ ∀n ≥ N + 2, |xn| ≤ 1 + |xN+1|

⇒ ∀n ≥ 1, |xn| ≤ max{|x1|, |x2|, . . . , |xN+1|, 1 + |xN+1|}.

La suite est donc bornée.






DÉMONSTRATION.

(⇐) Il existe x ∈ R tel que pour tout ε > 0 il existe N ∈ N tel que

∀n > N, |xn − x | < ε/2.

De là, pour tout n > N et tout k > 0, n + k > N et |xn+k − x | < ε/2. Par l’inégalité dutriangle

∀n > N, k > 0, |xn+k − xn| ≤ |xn+k − x | + |xn − x | < ε/2 + ε/2 = ε.

suite . . .





DÉMONSTRATION.

(⇒) Par définition d’une suite de Cauchy {xn} : pour tout ε > 0,

∃N1 ∈ N tel que ∀n > N1 et ∀m > N1, |xm − xn| < ε/2.

Pour montrer que la suite de Cauchy converge, il faut trouver le candidat x à sa limite.◮ Comme une suite de Cauchy est bornée, elle possède une sous-suite {xnk }convergente vers un point x ∈ R : pour tout ε > 0,

∃K ∈ N tel que ∀k > K , |xnk − x | < ε/2.

◮ Comme toute sous-suite d’une suite convergente converge vers la même limite quela suite, x est donc le bon candidat. On utilise l’estimé suivant :

∀m > N déf= max{N1, K}, |xm − x | ≤ |xm − xnm | + |xnm − x |

en utilisant

(

a) m > N ≥ N1 ⇒ nm ≥ m > N ≥ N1 ⇒ |xm − xnm | < ε/2

b) m > N ≥ K ⇒ |xnm − x | < ε/2.

⇒ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m > N, |xm − x | ≤ |xm − xnm | + |xnm − x | , < ε/2 + ε/2 = ε.M. Delfour (Université de Montréal) Chapitre 3. Suites numériques 17 janvier 2012 69 / 90


EXEMPLE

Soit la suite

xndéf=

8

>

>

<

>

>

:

1, si n = 1

3/2, si n = 2xn−1 + xn−2

2si n ≥ 3

On voit que pour n ≥ 2 on a la propriété suivante

xn+1 − xn =xn + xn−1

2− xn =

„

−12

«

(xn − xn−1)

Comme x2 − x1 = 1/2, il vient pour n ≥ 2 (et aussi n = 1)

xn+1 − xn =

„

−12

«n−1

(x2 − x1) =

„

−12

«n−1 12

=(−1)n−1

2n.

À partir de cette identité, on peut montrer que la suite est de Cauchy :

∀k > 0, xn+k − xn =

kX

j=1

xn+j − xn+j−1 =

kX

j=1

(−1)n+j−2

2n+j−1=

(−1)n−1

2n

kX

j=1

„

−12

«j−1



EXEMPLE (SUITE)

Soit la suite

xndéf=

8

>

>

<

>

>

:

1, si n = 1

3/2, si n = 2xn−1 + xn−2

2si n ≥ 3

À partir de cette identité, on peut montrer que la suite est de Cauchy : pour tout k > 0

xn+k − xn =(−1)n−1

2n

kX

j=1

„

−12

«j−1

=(−1)n−1

2n

1 − (−1/2)k

1 − (−1/2)

⇒ ∀k > 0, |xn+k − xn| ≤12n

1 + 1/21 + 1/2

=12n

<1n

.

Pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que N · ε > 1, etc. . . .



EXEMPLE (SUITE)

La suite

xndéf=

8

>

>

<

>

>

:

1, si n = 1

3/2, si n = 2xn−1 + xn−2

2si n ≥ 3

est donc bien de Cauchy et convergente. Pour n ≥ 1 et k > 0,

xn+k − xn =(−1)n−1

2n

1 − (−1/2)k

1 − (−1/2).

◮ En particulier, pour n = 1 et tout k > 0

x1+k − 1 = x1+k − x1 =12

1 − (−1/2)k

1 − (−1/2)→ 1

223

=13

⇒ limk→∞

xk+1 =43

.

Comme {xn} est convergente, toute sous-suite converge vers la même limite.

limn→∞

xn =43

.


PLAN






6 SUITES DE CAUCHY





SUITES NUMÉRIQUESL IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE: VALEURS D’ ADHÉRENCE

DÉFINITION

(i) Le point x ∈ R est une valeur d’adhérence de la suite {xn} s’il existe unesous-suite {xnk } de {xn} qui converge vers x .

(ii) On introduit la notation

A déf= {x ∈ R : ∃{xnk } de {xn} tel que xnk → x}

pour l’ensemble de toutes les valeurs d’adhérence de la suite {xn}.

Il ne faut pas confondre valeurs d’adhérence de la suite {xn} et points d’adhérencede l’ensemble E = {xn : n ∈ N} associé à la suite {xn}.

Les valeurs d’adhérence de la suite {xn} sont des points d’adhérence de l’ensembleE , mais l’inverse n’est pas vrai.

REMARQUE

◮ Une suite convergente ne possède qu’une seule valeur d’adhérence.◮ Les points −1 et 1 sont des valeurs d’adhérence de la suite {xn} = {(−1)n}correspondant aux sous-suites (constantes) convergentes {x2k} = {1} et{x2k+1} = {−1}.◮ La suite {xn} = {n} n’a pas de valeur d’adhérence.


SUITES NUMÉRIQUESL IMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE

A déf= {x ∈ R : ∃{xnk } de {xn} tel que xnk → x}

THÉORÈME

{xn} une suite bornée =⇒ A est non-vide, borné et fermé

En particulier, A est compact, inf A ∈ A et sup A ∈ A.

DÉFINITION

(i) On appelle inf A la limite inférieure de {xn} et on la notera

lim infn→∞

xn ou limn→∞

xn

(ii) On appelle sup A la limite supérieure de {xn} et on la notera

lim supn→∞

xn ou limn→∞

xn

Par définition, limn→∞

xn = inf A ≤ sup A = limn→∞

xn.



THÉORÈME


COROLLAIRE

Comme A est fermé, on en conclut que◮ il existe une sous-suite {xnk } de {xn} telle que

limk→∞

xnk = inf A = limn→∞

xn

◮ et une sous-suite {xnk } de {xn} telle que

limk→∞

xnk = sup A = limn→∞

xn.



THÉORÈME


DÉMONSTRATION.

Comme {xn} est une suite bornée, on sait par un théorème précédent qu’il existe unesous-suite {xnk } qui converge vers un point x ∈ R. Donc A 6= ∅. De plus, il existeK ∈ N tel que

∀k > K , |xnk − x | < 1 ⇒ |x | ≤ |xnk − x | + |xnk | ≤ 1 + supn∈N

|xn|.

Toutes les valeurs d’adhérence sont bornées par 1 + supn∈N|xn|.

◮ Enfin, on veut démontrer que x0 ∈ A′ ⇒ x0 ∈ A. Il faut donc construire unesous-suite de {xn} qui converge vers x0. On sait que pour tout k ∈ N,

V (x0, 1/k) ∩ A contient une infinité de points

⇒ ∃ak ∈ A tel que |ak − x0| < 1/k .

Comme à chaque ak correspond une sous-suite convergente, on va pouvoir, à partir dechacune d’elles, construire une sous-suite qui converge vers x0.



THÉORÈME


DÉMONSTRATION.

On sait que

∀k ∈ N ∃ak ∈ A tel que |ak − x0| < 1/k .

Comme à chaque ak correspond une sous-suite convergente, on va pouvoir à partir dechacune d’elles une sous-suite qui converge vers x0 :

a1 ∈ A

˛

˛

˛

˛

˛

⇒ ∃xn1 tel que |xn1 − a1| < 1

⇒ |xn1 − x0| ≤ |xn1 − a1| + |a1 − x0|< 2

a2 ∈ A

˛

˛

˛

˛

˛

⇒ ∃xn2 , n2 > n1, tel que |xn2 − a2| < 1/2

⇒ |xn2 − x0| ≤ |xn2 − a2| + |a2 − x0|< 1

. . .

ak ∈ A

˛

˛

˛

˛

˛

⇒ ∃xnk , nk > nk−1, tel que |xnk − ak | < 1/k

⇒ |xnk − x0| ≤ |xnk − ak | + |ak − x0|< 2/k



THÉORÈME


DÉMONSTRATION.

(suite) On a donc construit une sous-suite {xnk } de {xn} tel que

∀k ∈ N, |xnk − x0| ≤ 2/k .

On termine en montrant que cette sous-suite est convergeante. Pour tout ε > 0, ilexiste K ∈ N tel que K ε > 2 et

∀k > K , |xnk − x0| < 2/k < 2/K< ε

et xnk converge vers x0. Donc x0 ∈ A et A est fermé.


PLAN






6 SUITES DE CAUCHY





SUITES NUMÉRIQUESD’ AUTRES EXEMPLES

EXEMPLE

Soit a > 0 un nombre réel et la suite

xndéf= n

√a, n ∈ N .

Cas a ≥ 1. Il existe N ∈ N tel que a ≤ N. Donc

∀n > N, 1 ≤ a ≤ N < n ⇒ 1 =n√

1 ≤ n√

a < n√

n.

Mais la suite { n√

n} converge vers 1. Par le théorème des deux gendarmes

limn→∞

n√

a = 1.

Cas 0 < a < 1. Comme 1/a > 1, on applique le résultat précédent

1n√

a=

n

r

1a

⇒ limn→∞

1n√

a= lim

n→∞

n

r

1a

= 1

n√

a =11n√a

⇒ limn→∞

n√

a =lim

n→∞1

limn→∞

1n√a

=11

= 1

car la limite de la suite au démominateur est 1 6= 0.



EXEMPLE

Le produit de deux suites convergentes converge vers le produit des limites. Parinduction mathématique, on suppose le résultat vrai pour le produit de m suitesconvergentes {x i

n}, x in → x i , 1 ≤ i ≤ m, c’est-à-dire

limn→∞

x1n . . . xm

n = limn→∞

x1n . . . lim

n→∞xm

n = x1 . . . xm.

Pour m + 1 suites convergentes

x1n . . . xm+1

n =“

x1n . . . xm

n

”

· xm+1n

et on se ramène au produit de deux suites convergentes

limn→∞

x1n . . . xm+1

n = limn→∞

“

x1n . . . xm

n

”

· limn→∞

xm+1n =

“

x1 . . . xm”

· xm+1.

Soit m ∈ N et un réel a > 0. On applique le résultat à la suite xndéf= n

√a nm. On a

immédiatement

n√

a nm = n√

a`

n√

n´m ⇒ lim

n→∞

n√

a nm = limn→∞

n√

a“

limn→∞

n√

n”m

= 1 · 1m = 1.



EXEMPLE

On a vu que plusieurs opérations algébriques, comme l’addition et la multiplication dedeux suites convergentes, commutent avec l’opération lim

n→∞. On a vu dans l’exemple

précédent que le produit d’un nombre fini de suites convergentes commute aussi.◮ En particulier pour m ∈ N

limn→∞

(xn)m =

“

limn→∞

xn

”m.

◮ La même chose est vraie pour la somme d’un nombre fini de suites convergentes

limn→∞

mX

i=1

x in =

mX

i=1

limn→∞

x in.

◮ Est-ce que la racine carrée commute ? Soit {xn}, xn ≥ 0, une suite convergente versx . Est-ce que la suite

√xn converge vers

√x ? Sinon

∃ε > 0 tel que ∀N, ∃nN > N tel que |p

xnN −√

x | ≥ ε

xn + x − 2√

xp

xnN = |p

xnN −√

x |2 ≥ ε2 ⇒ 0 ≤ 2√

xp

xnN ≤ xnN + x − ε2

⇒ 4 x xnN ≤“

xnN + x − ε2”2

⇒ 2 x ≤ 2x − ε2 une contradiction.


PLAN






6 SUITES DE CAUCHY





SUITES NUMÉRIQUESUN DERNIER THÉORÈME ET SES CONSÉQUENCES

THÉORÈME

Soit {xn} une suite. Alors

{xn}convergente

⇐⇒(

a) {xn} est bornée

b)∃x ∈ R tel que ∀{xnk } convergente, on a limk→∞

xnk = x .

REMARQUE

La condition a) que {xn} est bornée est nécessaire. En effet la suite

xndéf=

8

<

:

n, si n est pair1n

, si n est impair

est non bornée et satisfait à la condition b) pour x = 0, mais elle n’est pas convergente.


SUITES NUMÉRIQUESUN DERNIER THÉORÈME ET SES CONSÉQUENCES

THÉORÈME


{xn}convergente

⇐⇒(

a) {xn} est bornée


xnk = x .

DÉMONSTRATION.

(⇒) Toute suite convergente est bornée avec une seule valeur d’adhérence x et toutesses sous-suites convergent vers x .(⇐) Supposons que {xn} ne converge pas vers le x de b). Alors

∃ε > 0 tel que ∀N ∈ N,∃n > N tel que |xn − x | ≥ ε.

On construit la sous-suite suivante :

N = 1, ∃n1 > 1 tel que |xn1 − x | ≥ ε

N = n1, ∃n2 > n1 tel que |xn2 − x | ≥ ε

. . .

N = nk , ∃nk+1 > nk tel que˛

˛xnk+1 − x˛

˛ ≥ ε.


SUITES NUMÉRIQUESUN THÉORÈME

THÉORÈME


{xn}convergente

⇐⇒(

a) {xn} est bornée


xnk = x .

DÉMONSTRATION.

(suite) Comme la sous-suite {xnk } est bornée, il existe une sous-suite convergente{xnk

ℓ}.



Mais la sous-suite convergente {xnkℓ} est aussi une sous-suite de {xn} qui converge

vers x par l’hypothèse b). Mais ceci est impossible, car par construction,

∃ε > 0 tel que ∀k ∈ N, |xnk − x | ≥ ε > 0 ⇒ ∀ℓ ∈ N,˛

˛

˛

xnkℓ− x˛

˛

˛

≥ ε > 0.


SUITES NUMÉRIQUESAPPLICATION DU THÉORÈME

EXEMPLE

On a montré que pour {xn}, xn ≥ 0, une suite convergente vers x

limn→∞

xn = x ⇒ limn→∞

√xn =

√x .

On veut montrer que pour tout m ∈ N

limn→∞

xn = x ⇒ limn→∞

m√

xn = m√

x .

Comme {xn} est convergente, elle est bornée et { m√

xn} est bornée. Il existe donc unesous-suite { m

√xnk } convergeant vers une limite y . Il vient

xnk =`

mp

xnk

´m ⇒ x = limk→∞

xnk =

„

limk→∞

mp

xnk

«m

= ym ⇒ y = m√

x .

Comme toutes les sous-suites convergentes {xnk } convergent vers la même limite,toute la suite { m

√xn} converge vers m

√x .


SUITES NUMÉRIQUESUN COROLLAIRE

L’ensemble de toutes les valeurs d’adhérence de la suite {xn} a été défini comme

A déf= {x ∈ R : ∃{xnk } de {xn} telle que xnk → x} .

Lorsque la suite est bornée on a montré que A était borné et fermé. Ceci entraînelim

n→∞xn = inf A ∈ A et lim

n→∞xn = sup A ∈ A et il existe des sous-suites convergentes

vers inf A et sup A.


Soit ∅ 6= E ⊂ R un fermé.

(i) E borné supérieurement =⇒ sup E ∈ E.

(ii) E borné inférieurement =⇒ inf E ∈ E.

COROLLAIRE


limn→∞

xn existe ⇐⇒ {xn} est bornée et limn→∞

xn = limn→∞

xn.


RÉFÉRENCES

[1], J. Labelle et A. Mercier, Introduction à l’analyse réelle, Modulo Éditeur,Mont-Royal, Canada, 1993.

[2], Notes sur Cauchy : http : //fr .wikipedia.org/wiki/AugustinLouisCauchy ,http : //www .gap − system.org/ history/Biographies/Cauchy .html


Documents

Suites numériques - Chapitre 3delfour/mat1000-chap-3-s4.pdf · SUITES NUMÉRIQUES LIMITE D’UNE SUITE: EXEMPLES DE SUITES EXEMPLE Soit la suite {xn} = {(−1)n/n}.On devine que