Exercice 3Corrigé

Spécialité

Sujet Mathématiques Bac 2018 • Corrigéfreemaths.fr

Antilles-Guyane • SPÉCIALITÉ

B A C C A L A U R É AT G É N É R A L

SESSION 2018

ÉPREUVE DU MARDI 19 JUIN 2018

MATHÉMATIQUES– Série S –

Enseignement Spécialité Coefficient : 9

Durée de l’épreuve : 4 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.Le candidat doit traiter tous les exercices.Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

18MASSAG1 1Antilles - Guyane 201 8Bac - Maths - 201 8 - Série Sfreemaths . fr freemaths . fr

Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 8 pagesnumérotées de 1 à 8.

18MASSAG1 Page : 5/8

Exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt :

Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions et définies sur par : ( ) = e (− cos + sin + 1) et ( ) = − e cos .

On admet que les fonctions et sont dérivables sur R.

Partie A – Étude de la fonction

1. Justifier que, pour tout ∈ : − e ≤ ( ) ≤ 3e . 2. En déduire la limite de en +∞. 3. Démontrer que, pour tout ∈ , ( ) = e (2 cos − 1) où est la fonction

dérivée de . 4. Dans cette question, on étudie la fonction sur l’intervalle −π; π .

a. Déterminer le signe de ( ) pour appartenant à l’intervalle −π; π . b. En déduire les variations de sur −π; π .

Partie B – Aire du logo

On note et les représentations graphiques des fonctions et dans un repère

orthonormé (O; , ). L’unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

1. Étudier la position relative de la courbe par rapport à la courbe sur .

2. Soit la fonction définie sur par : ( ) = − cos2 − sin2 − 1 e . On admet que H est une primitive de la fonction ⟼ (sin + 1)e sur .

On note le domaine délimité par la courbe , la courbe et les droites d’équation = − et = .

a. Hachurer le domaine sur le graphique en annexe à rendre avec la copie . b. Calculer, en unité d’aire, l’aire du domaine , puis en donner une valeur

approchée à 10 près en cm .

18MASS

SAG1

ANNNEXE À RE

ENDRE AV

Exercice 3

VEC LA CO

3

OPIE

PPage : 8/8

1

freemaths . fr Corrigé - Bac - Mathématiques - 2018

1. Justifions que, pour tout réel , - e - ≤ ( ) ≤ 3 e - :

Ici: • f ( x ) = e - x ( - cos x + sin x + 1 )

• Df = ¨ .

D’après le cours, nous savons que: • cos x ı [ -1 ; 1 ],

• sin x ı [ -1 ; 1 ] .

Dans ces conditions: • - 1 ≤ cos ≤ 1 ou: - 1 ≤ - cos ≤ 1,

• - 1 ≤ sin ≤ 1 .

Ainsi, nous avons: - 2 ≤ - cos x + sin x ≤ 2

<=> - 1 ≤ - cos x + sin x + 1 ≤ 3

<=> - e - x ≤ e - x ( - cos x + sin x + 1 ) ≤ 3 e - x, pour tout x ı ¨ .

Au total, pour tout réel x ı ¨, nous avons bien: - e - x ≤ f ( x ) ≤ 3 e - x (1 ) .

2. Déduisons-en la limite de en + :

D’après le cours, nous savons que: lim g +

e - = 0 .

EXERCICE 3

Partie A: Étude de la fonction

[ Antilles - Guyane 2018 ]

2

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Ainsi: • lim x g +∞

- e - x = 0 ( terme de gauche de (1 ) )

• lim x g +∞

3 e - x = 0 ( terme de droite de (1 ) ) .

D’où, d’après le théorème des gendarmes, nous pouvons affirmer que:

lim x g +∞

f ( x ) = 0 .

Au total: lim x g +∞

f ( x ) = 0 .

3. Calculons ’ pour tout [ - ; ]:

Ici: • f ( x ) = e - x ( - cos x + sin x + 1 ) ( u x v )

• Df = [ - ; ] .

Posons: f = f1 x f2 , avec: f1 ( x ) = e - x et f2 ( x ) = - cos x + sin x + 1 .

f1 est dérivable sur ¨, comme fonction " exponentielle ", donc dérivable sur [ - ; ] .

f2 est dérivable sur [ - ; ] .

Par conséquent, f est dérivable sur [ - ; ] comme produit ( 1 x 2 ) de deux fonctions dérivables sur [ - ; ] .

Ainsi, nous pouvons calculer f ’ pour tout x ı [ - ; ] .

Pour tout x ı [ - ; ]:

f ’ ( x ) = ( - e - x ) x ( - cos x + sin x + 1 ) + ( e - x ) x ( sin x + cos x ) ( u ’ x v + u x v ’ )

= 2 e - x cos x - e - x

= e - x ( 2 cos x - 1 ) .

3

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Au total, pour tout x ı [ - ; ]: f ’ ( x ) = e - x ( 2 cos x - 1 ) .

4. a. Déterminons le signe de ’ sur [ - ; ]:

Nous allons distinguer 3 cas pour tout x ı [ - ; ], sachant que: e - > 0 .

• 1 er cas: f ’ ( x ) = 0.

f ’ ( x ) = 0 ssi e - x ( 2 cos x - 1 ) = 0 <=> 2 cos x - 1 = 0

<=> cos x = 12

<=> x = - 3

ou x = 3

.

• 2ème cas: f ’ ( x ) < 0.

f ’ ( x ) < 0 ssi e - x ( 2 cos x - 1 ) < 0 <=> 2 cos x - 1 < 0

<=> cos x < 12

<=> x ı [ - ; - 3

[ ] 3

; ] .

• 3ème cas: f ’ ( x ) > 0.

f ’ ( x ) > 0 ssi e - x ( 2 cos x - 1 ) > 0 <=> 2 cos x - 1 > 0

<=> cos x > 12

<=> x ı ] - 3

; 3

[ .

4

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4. b. Déduisons-en les variations de sur [ - ; ]:

D’après les 3 cas précédents, nous pouvons en déduire que:

• est décroissante sur [ - ; - 3

] et sur [ 3

; ] ,

• est croissante sur [ - 3

; 3

] .

Partie B: Aire du logo

1. Etudions la position relative de la courbe par rapport à la courbe g sur :

Pour répondre à cette question, nous allons déterminer le signe de f ( x ) - g ( x ) pour tout x ı ¨.

Pour tout x ı ¨: f ( x ) - g ( x ) = e - x ( - cos x + sin x + 1 ) + e - x cos x

= e - ( sin + 1 ) .

Or pour tout x ı ¨: • e - x > 0,

• sin x + 1 ≥ 0, car: sin [ - 1 ; 1 ] .

Ainsi, pour tout x ı ¨: e - x ( sin x + 1 ) ≥ 0 cad: ( ) - g ( ) ≥ 0 .

Au total, comme pour tout x ı ¨, f ( x ) - g ( x ) ≥ 0: la courbe �f est située au dessus de la courbe �g .

2. a. Hachurons le domaine sur le graphique fourni en annexe:

Le domaine hachuré en jaune est le suivant:

5

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1 2 3 4 5i

−1

−2

1

2

3

−1−2

jf

C

C

g

→

→

2. b. b1. Calculons l’aire du domaine :

L’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine correspond à:

( f ( x ) - g ( x ) ) dx.3 2

- 2

Or: ( f ( x ) - g ( x ) ) dx3 2

- 2

= 3 2

- 2 e - x ( sin x + 1 ) dx

= 3 2

- 2[ H ( x ) ]

= - cos x2 - sin x

2 - 1 e - x 3 2

- 2

= 12

e 2 - e - 3

2 .

6

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Au total, la valeur exacte de l’aire du domaine est: 12

e 2 - e - 3

2 u. a.

2. b. b2. Donnons une valeur approchée à 10 - 2 près en cm 2 de l’aire de :

En cm 2 et à 10 - 2 près, une valeur approchée du domaine est d’environ:

9, 6 cm 2.