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SUJETS SPÉCIAUX EN INFORMATIQUE I
PIF-6003
Approximation de fonctions (cas non-linéaire
Approximation linéaire multivariée– Méthode du moindre carré
Approximation non-linéaire Exemple pratique
Approximation linéaire multivariée
Cherchons une droite d’approximation de la forme
y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + .... + bp xp
Posons Yi valeurs expérimentales faisant référence aux valeurs des variables xij, i1,N, j0,p, ou N est le nombre de points et p le nombre de variables
Et yi une valeur calculée (approximation) par:
où xij représente les valeurs des variables
p
jijji xbby
10
Approximation linéaire multivariée
Cherchons le polynôme d’approximation qui appro-xime le mieux les données expérimentales– Définissons un terme d’erreur de la forme:
ei = Yi - yi
– Le critère de moindre carré exige que:
2
1 10
2
11
2
223
22
21
N
i
p
jijji
N
iii
N
ii
N
xbbYyYeS
eeeeS
soit minimum (N est le nombre points de contrôle)
Approximation linéaire multivariée
Cherchons les valeurs de bj qui minimise S
)(20
)(20
)(20
)1(20
1110
21
1102
11
1101
1110
0
ip
N
iippii
p
i
N
iippii
i
N
iippii
N
iippii
xxbxbbYb
S
xxbxbbYb
S
xxbxbbYb
S
xbxbbYb
S
Approximation linéaire multivariée
En divisant par -2 et en distribuant la nous obtenons
iipippipiipiip
iiipipiiii
iiipipiiii
iippii
Yxxbxxbxxbxb
Yxxxbxbxxbxb
Yxxxbxxbxbxb
YxbxbxbNb
222110
2222221120
1121221110
22110
Approximation non-linéaire
Nous pouvons effectuer l’approximation de N points de contrôle (mesures) à l’aide de polynômes de de-gré n– SI N = n + 1 => polynôme d’interpolation
– SI N > n + 1 => polynôme d ’approximation Les polynômes d’approximation prennent alors la
forme:
y = b0 + b1 x + b2 x2 + .... + bn xn
Approximation non-linéaire
Cherchons le polynôme d’approximation qui appro-xime le mieux les données expérimentales– Définissons un terme d’erreur de la forme:
ei = Yi - yi
– Le critère de moindre carré exige que:
2
1 10
2
11
2
223
22
21
N
i
n
j
jiji
N
iii
N
ii
N
xbbYyYeS
eeeeS
soit minimum (N est le nombre points de contrôle)
Approximation non-linéaire
Cherchons les valeurs de bj qui minimise S
)(20
)(20
)(20
)1(20
110
2
110
2
110
1
110
0
ni
N
i
ninii
n
i
N
i
ninii
i
N
i
ninii
N
i
ninii
xxbxbbYb
S
xxbxbbYb
S
xxbxbbYb
S
xbxbbYb
S
Approximation non-linéaire
Après simplifications
ini
nin
ni
ni
ni
iininiii
iininiii
ininii
Yxxbxbxbxb
Yxxbxbxbxb
Yxxbxbxbxb
YxbxbxbNb
222
110
2242
31
20
132
210
2210
Approximation non-linéaire
Sous forme matricielle nous avons:
ini
ii
ii
ii
i
nni
ni
ni
ni
ni
niiiii
niiiii
niiiii
niiii
Yx
Yx
Yx
Yx
Y
b
b
b
b
b
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxN
3
2
3
2
1
0
2321
36543
25432
1432
32
Approximation non-linéaire
Exemple avec N = 11 et n = 2, nous cherchons le polynôme d’approximation de la fonction bruitée
y = 1 - x + 0.2 x2
Approximation non-linéaire
Approximation non-linéaire
Nous avons sous forme matricielle
3357.1
1839.2
905.5
9161.3115.46545.4
115.46545.401.6
6545.401.611
2
1
0
22
1
0
432
32
2
b
b
b
Yx
Yx
Y
b
b
b
xxx
xxx
xxN
ii
ii
i
iii
iii
ii
Approximation non-linéaire
Après avoir résolu ce système d’équations nous obtenons comme solution:
b0 = 0.998 b1 = -1.018 b2 = 0.225
Ce qui permet de déduire le polynôme d’approxima-tion:
y = 0.998 - 1.018 x + 0.225 X2
Approximation non-linéaire
Le degré du meilleur polynôme d’approximation est déterminé en évaluant le critère suivant:
12
2
nN
S
eS i
• Nous cherchons alors le polynôme de degré n pour lequel 2 est minimal
Approximation non-linéaire
Dans le cas de notre exemple
Exemple pratique
Approximation d’un ensemble de données portant sur les cotes boursières (XXM)
Exemple pratique (cas linéaire)
Résultats attendus
Exemple pratique (cas non-linéaire)
Résultats attendus
