Les fibres optiques :Supplément d’électromagnétisme appliqué

Par

Pierre-André BélangerUniversité Laval, Canada

Table des matières

Anatomie d’une fibre optique 1Un matériau fort complexe.....................................................................................................3La fabrication d’une fibre optique.........................................................................................5Du multimode au monomode .................................................................................................7Le défi des lignes transocéaniques .........................................................................................8Combattre la non linéarité par la non linéarité.....................................................................8

1 Les communications optiques 101.1 Introduction ................................................................................................................101.2 Description du contenu...............................................................................................121.3 Utilisation de ce manuel..............................................................................................14

2 Rappel de la théorie de l’électromagnétisme 162.1 Équations de Maxwell.................................................................................................162.2 Équations d’onde (à second membre en εv )...............................................................192.3 Électromagnétisme. Propagation d’ondes planes électromagnétiques (TEM).........202.4 Réflexion et réfraction à l’interface ...........................................................................22

2.4.1 Onde incidente polarisée dont le vecteur Ev

est normal au plan d’incidence............242.4.2 Onde incidente polarisée dont le vecteur E

v

est parallèle au plan d’incidence .........272.4.3 Coefficients de réflexion et de transmission de la puissance....................................29

2.5 Réflexion totale interne; champ évanescent...............................................................312.6 Déplacement de Goss-Hänchen..................................................................................352.7 Dispersion....................................................................................................................38

2.7.1 Dispersion chromatique..........................................................................................392.7.2 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif ............................................432.7.3 Propagation d’une impulsion gaussienne ................................................................462.7.4 Dispersion matériau et largeur de bande .................................................................502.7.5 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif et non linéaire .....................52

3 Modes guidés d’une structure diélectrique plane 593.1 Diélectrique symétrique à trois couches :analyse globale..........................................59

3.1.1 Modèle mathématique (étape 1)..............................................................................603.1.2 Modes TE et TM (étape 2)......................................................................................623.1.3 Sélection de la forme appropriée de la solution (étape 3) ........................................633.1.4 Calcul du mode TE pair (étape 4) ...........................................................................643.1.5 Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure (étape 5)..................703.1.6 Relation de dispersion (étape 6)..............................................................................733.1.7 Modèle géométrico-ondulatoire..............................................................................813.1.8 Effet Goss-Hänchen et le modèle géométrico-ondulatoire.......................................85

4 Modes guidés d’une structure diélectrique plane 904.1 Équations de base et contraintes physiques...............................................................90

4.1.1 Modèle mathématique (étape 1)..............................................................................914.1.2 Condition physique de la symétrie de révolution (étape 2) ......................................924.1.3 Solution de l’équation radiale (étape 3) ..................................................................934.1.4 Conditions aux limites à l’interface coeur-gaine (étape 4).......................................94

iii

4.1.5 Équation caractéristiqueet solutions modales (étape 5) ...........................................964.1.6 Solution numérique de l’équation caractéristique (étape 6) ...................................100

4.2 Fibre monomode .......................................................................................................1034.3 Modes polarisés linéairement (LP)...........................................................................107

4.3.1 Nomenclature des modes LP ................................................................................112

5 La fibre à gradient d’indice 1245.1 Modes polarisés linéairement (LPl,p)........................................................................1255.2 Fibre à profil parabolique généralisée .....................................................................126

5.2.1 Solution mathématique du profil...........................................................................1275.2.2 Étude comparative de divers profils......................................................................129

5.3 Modes LP Laguerre-Gauss.......................................................................................1345.4 Modes LP et optique géométrique............................................................................1375.5 Fibre à profil d’indice parabolique ..........................................................................1445.6 Le modèle de l’optique géométrique ........................................................................1465.7 Fibre à profil optimisé ..............................................................................................1475.8 Largeur de bande et fibre optimale..........................................................................150

A. Dérivation de l’équation de propagation d’une impulsion 155A.1 Milieu dispersif linéaire ............................................................................................155A.2 Milieu dispersif non linéaire.....................................................................................156

B. Guides plans couplé :Mode TE pair 157B.1 Solution exacte pour les guides plans symétriques couplés.....................................157B.2 Solution de faible couplage.......................................................................................161

C. Fonctions mathématiques 163C.1 Fonctions de Bessel :rappel ......................................................................................163

C.1.1 Fonctions de Bessel et fonctions de Hankel ..........................................................163C.2 Comportement asymptotique...................................................................................167C.3 Relations de récurrence ............................................................................................168C.4 Fonctions de Bessel modifiées...................................................................................168

D. Approximation de l’optique géométrique 172D.1 Équation de l’iconale ................................................................................................172D.2 Le vecteur de Poynting en optique géométrique......................................................173D.3 Équation des rayons lumineux .................................................................................174D.4 Propagation dans un milieu d’indice n(r) ................................................................176

E. Profil optimal181

E.1 Le profil SELFOC (sech(αr)) ...................................................................................182E.2 Profil optimal et rayons hélicoïdaux ........................................................................186

BIBLIOGRAPHIE 187

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Anatomie d’une fibre optiqueElle est lumineuse, résistante et de moins en moins coûteuse : Que peut-on demander de plus ? La fibre

optique, ce petit bijou technologique de la taille d’un cheveu, n’a pas fini de nous étonner et de révolutionner lemonde des télécommunications.

Lorsque vous naviguez sur Internet et que vous faites l’acquisition d’une image contenant quelquescentaines de mégabits (106 bits), vous constatez avec dépit que votre résidence est encore reliée au réseau par cettebonne vieille paire de fils de cuivre de la compagnie de téléphone. L’image ne vient pas vite, vraiment pas vite. Maispatience ! Déjà, la solution à ce délai, soit la fibre optique, gagne du terrain. Au cours de l’année 1997, on prévoit eninstaller pas moins de 25 millions de kilomètres dans le monde. De l’Afrique au Canada, en passant par l’Europe, etde Montréal à Toronto ou à New York, toutes les communications passent maintenant par des lignes en fibre optiquequi se rendent de plus en plus près de chez vous. Et si, pour des raisons de coûts de l’installation (entre 1500$ et2500$ par résidence), la fibre optique « résidentielle» reste pour l’instant exclue, peut-être verrons-nous bientôt lescompagnies de téléphone et de câble s’entendre pour remplacer le fil de cuivre par un câble coaxial, ce quiaugmenterait déjà de beaucoup la qualité du service. L’autre solution serait d’envisager que les services de téléphoneet de télévision soient transmis par ondes de haute fréquence (comme avec votre téléphone sans fil) à partir d’unestation locale câblée par fibre optique.

Nos systèmes de télécommunications transmettent l’information en code binaire, c’est-à-dire sous la formede séquences synchronisées de « 0 » et de « 1 », chaque unité d’information (0 ou 1) correspondant à un bit. Pourobtenir un grand débit, il faut transmettre plusieurs bits par seconde. Par exemple, une conversation téléphonique degrande qualité requiert un taux de transmission d’environ 64 X 103 bits/s. Pour une petite pièce musicale d’unequalité comparable à celle d’un disque compact, on parle d’un taux de 600 X 103 bits/s et pour une image de couleurqualité, de 45 X 106 bits/s.

De ce fait, un fil de cuivre ne peut supporter simultanément que quelques communications, contre unecentaine pour le câble et… 300 000 pour la fibre optique. Mais la valeur d’une voie de communication ne se mesurepas uniquement par sa capacité, mais également par sa qualité de transmission de l’information. Pour évaluer cecritère, on utilise aujourd’hui un facteur de qualité (BL) qui correspond au nombre de bits/s (B) que l’on peuttransmettre, multiplié par la distance (L) à laquelle on doit régénérer le signal à cause de sa distorsion ou de sonatténuation. La figure 1 montre l’évolution de ce facteur de qualité en fonction des années. On remarque à quel pointl’arrivée des nouvelles technologies a modifié le facteur BL depuis l’invention du télégraphe.

Pour obtenir un grand débit de transmission, il faut envoyer des impulsions le plus courtes possible, chaqueimpulsion correspondant à un bit. Or, plus une impulsion est brève, plus son contenu spectral, c’est-à-dire l’ensemblede ses fréquences, est étendu, entre autres vers les hautes fréquences, ce qui n’est pas sans causer un problème.Comme le montre la figure 2, si la paire de fils de cuivre atténue peu les basses fréquences utilisées pour transmettrela voie humaine, elle abaisse dangereusement les hautes fréquences nécessaires à la transmission d’une image vidéo.C’est pourquoi les compagnies responsables de la transmission du signal de télévision ont adopté le guide d’ondecoaxial. Toutefois, même dans un câble coaxial, les hautes fréquences finissent par être atténuées, provoquant ainsiune détérioration rapide du signal. On comprend alors pourquoi les compagnies doivent réactiver leurs signaux eninstallant des amplificateurs et des régénérateurs tout le long des rues qu’elles desservent. On comprend aussi que lecâble coaxial ne puisse être utilisé dans le cas d’un service téléphonique à très grand débit pour des distancestransocéaniques. Le coût d’installation d’équipements pour « rafraîchir » le signal à des distances inférieures aukilomètre deviendrait, en effet, inacceptable. Bref, la solution qui s’impose est l’utilisation de fibres optiques.

Avec les fibres optiques, l’information n’est plus transmise sous forme électrique, mais lumineuse. Leguidage de la lumière par réflexion totale interne est connu depuis fort longtemps. Il a souvent été utilisé dans desœuvres d’art – par exemple, des fontaines où la lumière est guidée à l’intérieur des jets d’eau. L’invention du laser àsemi-conducteur, au début des années 60, a incité les scientifiques à envisager le développement d’un système decommunication optique où le signal lumineux généré par le laser voyagerait à l’intérieur d’une fibre optique. Mais laroute était encore longue avant que cette idée n’aboutisse au système que nous connaissons aujourd’hui.

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3

Un matériau fort complexeUne fibre optique est faite de verre et la première difficulté à surmonter fut le problème des pertes par

absorption du signal. En effet, même les verres de qualité optique provoquaient auparavant (1960-1966) des pertesinacceptables pour une voie de communication de plusieurs kilomètres. Il fallait beaucoup d’audace pour rechercherdes verres dont les pertes intrinsèques puissent être de plusieurs ordres de grandeur inférieures à celle d’alors. Ce futprincipalement une équipe de scientifiques de la compagnie Corning ( oui, celle-là même qui fabrique des casserolesde verre et de grands miroirs de télescope !) qui mena à bien cette recherche. En moins de 10 ans, l’équipe a réussi àfabriquer un verre de pureté suffisante pour inciter d’autres chercheurs à s’attaquer aux autres problèmesfondamentaux qui limitaient encore le système d’optique de communication (figure 3). Comme on l’explique àl’encadré 1, la solution trouvée est d’une complexité extrême : on fabrique le verre en faisant réagir chimiquementses constituants primaires, alors en phase vapeur. Cette technologie permet d’obtenir des verres dont la perteintrinsèque atteint la limite permise selon les lois physiques (diffusion de Rayleigh).

La fibre optique utilisée actuellement dans les systèmes de communication optique est fibre dit « à sautd’indice » (figure 4). Cylindrique, elle est composée d’un cœur d’indice de réfraction n1 de diamètre a, entouré d’unegaine d’indice n2, le tout enveloppé d’un revêtement de plastique. Pour que le signal, injecté dans le cœur de la fibre,soit guidé sans se perdre dans la gaine, il faut s’assurer que les rayons lumineux subissent une réflexion totale à

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l’interface cœur-gaine, condition qui sera respectée si n1 est plus grand que n2. C’est pourquoi, au cours de lafabrication, on ajoute un dopant au verre constituant la gaine pour en diminuer l’indice. Toutefois, quand le signal estinjecté dans la fibre, on ne peut empêcher qu’une partie s’en aille dans la gaine. Heureusement, l’onde ainsi crée estévanescente, c’est-à-dire que son amplitude décroît de façon exponentielle à partir de l’interface cœur-gaine. Il suffitdonc de s’assurer que la gaine soit suffisamment épaisse pour que l’effet sur le signal voyageant dans le cœur de lafibre soit négligeable ; dans la pratique, une épaisseur d’environ 50-60 P est suffisante. Finalement, il faut noterque bien qu’il n’est pas de pertes dues au guidage de la lumière, il y a toujours une faible perte intrinsèque due àl’absorption du signal par le verre – de 0,2 dB/km -, ce qui signifie que l’énergie lumineuse est réduite de 1% après100 km (tableau 1).

TABLEAU 1

DISTANCE QU’UN SIGNAL PEUT PARCOURIR AVANTQUE SON ÉNERGIE NE SOIT RÉDUITE DE 1%, EN FONCTION

DE L’IMPORTANCE DE L’ATTÉNUATION.

ATTÉNUATION(dB /km)

DISTANCE

20 000 1 m

2000 10 m

20 1 km

0,2 100 km

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La fabrication d’une fibre optique

La fabrication d’une fibre optique ayant les qualités requises pour les télécommunications anécessité la mise au point de procédés techniques très complexes. La technique générale defabrication comporte d’abord la fabrication d’une préforme, que l’on étire ensuite en fibre.

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La préforme est un barreau cylindrique qui représente fidèlement la géométrie de la fibre. Cebarreau peut être imaginé comme une grosse fibre de courte longueur. Une fois étirée, la fibrepréserve le même profil d’indice et le même rapport entre le diamètre du coeur et celui de la gaine queceux présents dans la préforme du départ. La répartition de la matière est également la même dans lafibre optique.

Pour fabriquer des préformes, on utilise la méthode du dépôt chimique en phase vapeur, pluscommunément appelée méthode CVD (Chemical Vapour Deposition). Cette technique permet defabriquer des verres de très haute qualité à partir d’une réaction chimique de produits en phasevapeur. Les chlorures utilisés (SiCl4, GeCi4, POCl3, BCl3) sont transformés en oxydes (SiO2, GeO2,P2O5, B2O3). La silice (SiO2) constitue la matière de base de la préforme. L’addition de GeO2 et deP2O5 augmente l’indice de la silice ; l’addition de B2O3 le réduit. Il existe plusieurs variantes de cettetechnique pour la fabrication de préformes. La technique par dépôt interne est appelée MCVD(Modified Chemical Vapour Deposition) ou IVPO (Inside Vapour Phase Oxydation). Il y a aussi lestechniques de dépôts externes des oxydes. Ce sont la OVPO (Outside Vapour Phase Oxydation) et laméthode VAD (Vertical Axial Deposition).

À l’Institut national d’optique (INO) nous fabriquons des fibres optiques spéciales pour desapplications de technologie de pointe. Nous utilisons la technique MCVD pour la fabrication despréformes (voir ci-dessous).

Pour déposer à l’intérieur d’un tube de silice en rotation des couches de verre de silice dopée, on faitcirculer à l’intérieur des vapeurs de chlorures et d’oxygène. Un chalumeau extérieur chauffe les gaz etles transforme en poussières fines d’oxyde (ou suie blanche) qui se déposent sur la partie froide dutube, en aval du chalumeau se déplaçant d’un bout à l’autre du tube en rotation. La suie d’oxydesdéposée sur la paroi interne du tube se transforme ainsi en une couche de silice vitreuse dopée sousle passage du chalumeau. Le nombre de déplacements de chalumeau dépend de l’épaisseur dudépôt de silice dopée que l’on désire obtenir. L’indice de réfraction de chaque couche peut êtreparfaitement contrôlé avec les concentrations relatives des chlorures utilisés qui correspondent auxconcentrations de dopant dans la silice.

Une fois les dépôts internes terminés, le tube doit être refermé. Cette étape consiste àchauffer le tube à près de 2000ºC. À cette température, la silice s’amollit et le tube se referme sur lui-même grâce aux tensions superficielles. Une pression légèrement positive est maintenue à l’intérieurdu tube durant cette étape pour qu’on obtienne une préforme parfaitement circulaire. Le fibrage, soit ladernière opération, consiste à étirer la préforme en fibre. Cette étape consiste à chauffer l’extrémité dela préforme à des températures voisinant la température de ramollissement du verre. Le verre enfusion est tiré et la fibre produite est enroulée sur un tambour ou cabestan.

Le diamètre de la fibre doit avoir des dimensions bien définies et constantes. Par exemple, lesfibres standard de télécommunications ont un diamètre de 125 ± 1 P��/¶RUGLQDWHXU�FRQWUôle toutes lesconditions et tous les paramètres du fibrage. La température du four est ajustée pour maintenir une

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tension suffisante sur la fibre pendant l’étirement. La vitesse de descente de la préforme dans le fourdépend de la dimension de la fibre et de la vitesse d’étirement. Un instrument optique à la sortie dufour mesure en continu le diamètre de la fibre et un asservissement contrôle la vitesse d’enroulementpour maintenir le diamètre de la fibre constant. On appose une couche protectrice d’acrylique, après lamesure du diamètre, pour améliorer les propriétés mécaniques de la fibre et faciliter sa manipulation.Pour ce faire, la fibre circule dans un réservoir contenant l’acrylique liquide, et l’application doit êtrerigoureusement concentrique. Cette couche liquide est ensuite cuite et solidifiée sous une lumièreultraviolette. Toute cette procédure permet d’obtenir des fibres de très bonne qualité optique quirésistent à des tensions minimales de 700 Mpa (1 m de fibre de 125 P�GH�GLDPètre doit supporterprès de 1 kg pendant une seconde). En fait, la fibre optique est aussi mince qu’un cheveu humainmais, toutes proportions gardées, elle est plus forte que l’acier. En théorie, une fibre de 29 mm dediamètre suspendue dans l’air pourrait supporter 216 éléphants de six tonnes dans un élévateurstationnaire.

L’Institut national d’optique a adapté quelque peu la procédure décrite plus haut pour fabriquerdes fibres optiques spéciales en vue d’applications de technologie de pointe dans lestélécommunications, la télévision par câble, les capteurs ou la recherche fondamentale. On peut ainsifabriquer des fibres amplificatrices dont le coeur est dopé aux terres rares, des fibres avec une forteatténuation, des fibres avec une grande ouverture numérique ou des fibres avec des géométries nonconventionnelles. L’Institut est le seul fabriquant de fibre optique au Canada et est reconnu comme unchef de file mondial dans la fabrication sur mesure de fibres optiques spéciales.

François Chenardresponsable, Fibre optique spéciale,

Institut national d’optique

Du multimode au monomodeLa fibre optique que nous venons de décrire est essentiellement multimode, c’est-à-dire que plusieurs

groupes de rayons, appelés « modes propres du guide », se propagent sans perte avec des angles et des vitessesvariables. Lorsque l’impulsion lumineuse est injectée dans la fibre, plusieurs modes propres sont alors excités ; maispuisque les vitesses de propagation de chacun diffèrent, l’impulsion s’allonge au fur et à mesure qu’elle se propage(comme un train dont le wagon de queue traînerait derrière le wagon de tête). Le résultat ? Au-delà d’une certainedistance, une impulsion en vient à chevaucher l’impulsion précédente, provoquant ainsi une perte d’information. Unetelle fibre ne peut donc être utilisée que pour des communications sur de courtes distances, ou encore, pour des lignesmunies de nombreux régénérateurs ou amplificateurs de signal.

Pour régler ce problème, on fabrique une fibre monomode, où un seul mode de propagation est excité parl’impulsion lumineuse. Toutefois, pour obtenir la condition de propagation monomode, il faut limiter au maximum lerayon a du cœur de la fibre et le saut d’indice n1 –n2. De plus, la fibre doit être suffisamment large pour permettrel’épissure des différents tronçons (connexion des fibres entre elles), et le saut d’indice suffisamment élevé pourpréserver des conditions de réflexion totale en cas de légère courbure. Le compromis habituel est l’utilisation d’unefibre optique dont le cœur fait environ 9-10 P�GH�GLDPètre, de façon qu’on puisse la courber sur un rayon d’environ10 cm sans perturber les conditions de guidage.

Malheureusement, cette fibre monomode ne se révèle pas encore la voie idéale pour les communicationsoptiques. En effet, le verre est un matériau dispersif, c’est-à-dire que les différentes fréquences composantl’impulsion lumineuse et se propageant dans le mode de la fibre, ont des vitesses de propagation différentes. C’est lemême phénomène qui décompose dans un prisme la lumière en ses diverses couleurs. Toutefois, les différences devitesse sont de loin inférieures à celles mesurées entre les divers modes des fibres multimodes. La fibre monomodereste donc, en général, appropriée pour les systèmes de communication.

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Le défi des lignes transocéaniquesPour les communications transocéaniques, on souhaite pouvoir transmettre une impulsion sur plusieurs

kilomètres sans devoir la régénérer. Or des études ont montré que la dispersion dans une fibre monomode est quasiQXOOH� SRXU� XQ� VLJQDO� GRQW� OD� ORQJXHXU� G¶RQGH� HVW� GH� ���� P�� (W� FRPPH� OD� WHFKQRORJLH� PRGHUQH� QRXV� SHUPHWmaintenant de fabriquer des sources laser à semi-conducteur pour cette longueur d’onde, les fibres monomodespeuvent être utilisées comme voie de communication à très grand débit sur de très grandes distances.

De ce fait, les limitations actuelles ne viennent pas de la fibre optique comme telle, mais de l’ensemble dessystèmes électroniques chargés de générer, moduler, coder ou adresser le signal. Par exemple, le laser semi-conducteur, qui génère l’impulsion lumineuse avec une longueur d’onde de 1,3 P�� HVW� PRGXOé par une sourceélectronique dont le débit n’excède pas 5 X 109 bits/s.

Finalement, il ne faut pas oublier que – toute parfaite qu’elle soit – la fibre optique subit une perteintrinsèque de 0,2 dB/km. On ne peut donc éviter de régénérer le signal en utilisant un autre laser semi-conducteurcomme régénérateur (régénérateur électro-optique). Pour un lien transatlantique, par exemple, il faut installer environ50 régénérateurs. Fait à noter pour les lignes optiques de très haute qualité qui ne font qu’atténuer l’impulsion sans yproduire de distorsions, on peut se contenter d’installer des amplificateurs de signal fonctionnant par pompageoptique, soit des équipements beaucoup moins complexes que les régénérateurs électro-optiques.

Malheureusement encore, les amplificateurs à fibres optiques mis au point à ce jour fonctionnentgénéralement à une longueur d’onde de 1,55 P��DORUV�TXH�OHV�ILEUHV�RSWLTXHV�PRQRPRGHV�à dispersion nulle le fontDYHF�GHV�RQGHV�GH����� P��4X¶à cela ne tienne! Les chercheurs ont conçu des fibres optiques à double saut d’indicecapables d’offrir une dispersion nulle à une longueur d’onde de 1,55 P�� OD� ILEUH�© idéale » en quelque sorte. Deplus, les recherches actuelles permettent d’envisager différentes solutions pour compenser la grande dispersion desfibres optiques déjà installées lorsqu’on les utilise avec une porteuse à 1,55 P�

Par ailleurs, on a mentionné qu’une des limitations au débit de la voie de communication était la vitesse dessystèmes électroniques que l’on doit nécessairement utiliser. Afin de dépasser cette limitation ( 5 X 10 9 bits/s), onvient de mettre au point un système de multiplexage en longueurs d’ondes. Il suffit d’utiliser différentes sources laserayant des longueurs d’ondes légèrement différentes pour transmettre des données différentes sur une seule fibre. Lessystèmes actuels supportent environ 8 longueurs d’ondes différentes (donc 8 X 5 = 40 X 10 9 bits/s ) sans effetd’interférence sur environ 3 000 km.

On peut donc transmettre sur une voie de communication à fibre optique active, c’est-à-dire transparentegrâce aux amplificateurs optiques, un débit de 40 milliards d’impulsions courtes par seconde sans que celles-ci neperdent l’information qu’elles transportent et ce, jusqu’à une distance d’environ 3 000 km. Pour des distancessupérieures, le taux d’erreur augmente rapidement à la suite de l’arrivée désordonnée (jittering) des impulsions. Cettelimitation est due aux bruits d’émission spontanée des amplificateurs et à certains effets non linéaires du verre de lafibre optique.

Combattre la non linéarité par la non linéaritéMême si le verre optique est un matériau très peu non linéaire, c’est-à-dire que son indice de réfraction

dépend très peu de l’intensité de l’impulsion lumineuse qui s’y propage, le fait d’utiliser des impulsions très courtes,d’une intensité très forte devant se propager sur de très grandes distances, entraîne que ces effets non linéairess’additionnent. Résultat : pour une distance d’environ 3 000 km, l’effet global devient significatif. Heureusement, ilest maintenant possible de surmonter ce problème en utilisant justement… la non-linéarité. Pour cela, on utilise desfibres dont la dispersion est non nulle, dans des conditions où l’effet de dispersion, qui élargit l’impulsion, estcompensé par l’effet de la non-linéarité, qui comprime l’impulsion. C’est ainsi que l’on a pu propager, en laboratoire,une impulsion lumineuse correspondant à ces conditions très spéciales ( appelée soliton) dans une fibre optiquecomprenant des amplificateurs optiques et ce, sur des distances de 20 000 km sans constater de détériorationlimitative. Il s’agit d’un domaine de recherche en plein développement.

Les voies de communication que nous venons de décrire permettent de transmettre une telle quantitéd’information, donc de desservir simultanément un si grand nombre de clients, que même l’installation de lignestransocéaniques est rentabilisée en moins d’un an. Pour les compagnies de téléphone, le coût réel des

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communications interurbaines se limite presque maintenant aux coûts locaux d’émission et de réception du signal. Latechnologie de la fibre optique est aujourd’hui si développée et si performante qu’elle ne coûte presque rien. Bientôt,c’est toute la planète qui sera câblée! Il ne serait d’ailleurs pas surprenant de voir sous peu une conversation entre,par exemple, le Canada et le France, passer par le Japon en cas de bris de la ligne transatlantique. En fait, le potentielde la fibre optique est si considérable que les investisseurs lui accordent une valeur aussi intéressante que celle desminéraux ou du pétrole dans leurs transactions boursières…

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1 Les communications optiques

1.1 IntroductionNos sociétés modernes ont de plus en plus besoin de systèmes de télécommunication à grands débits afin de

pouvoir transmettre non seulement la voix humaine mais aussi les images. Les communications par satellite nous ontdéjà habitués à la transmission d’image vidéo à travers toute notre planète. Cependant, les coûts énormes de mise enorbite et d’entretien des satellites limitent cette technologie aux services publics. Depuis l’invention des lasers à mi-conducteurs, des recherches ont permis de réaliser des fibres optiques capables de transmettre un faisceau de lumièrede ces lasers sur de très grandes distances. Cette technologie de communication par fibres optiques est maintenantutilisée par les compagnies de téléphone pour relier non seulement les villes mais aussi les continents. Le coûtd’installation d’une fibre optique est aujourd’hui (1992) comparable à l’installation d’une paire de fils de cuivreconventionnels. L’étape suivante sera l’introduction de ces fibres dans nos maisons, ce qui nous donnera accès à denouveaux services1.

L’objectif de ce manuel est l’étude des guides d’ondes diélectriques. Cette analyse permettra aux lecteurs decomprendre les paramètres importants de la fibre optique pour les systèmes de communication. Afin d’apprécierimmédiatement ces divers paramètres, il est nécessaire de décrire à un niveau très simplifié ce qu’est une voie decommunication.

Les systèmes de communication téléphoniques utilisent un système de codage binaire. Le voie decommunication doit transmettre un train d’impulsions de mêmes longueurs et de mêmes largeurs (voir figure 1). Laperformance de telle voie de communication est définie en termes de sa capacité de transmission et de la distanceparcourue sans l’aide d’un répéteur. La capacité de transmission (N) est simplement le nombre d’impulsions (bits)qui peuvent être transmises par unité de temps (seconde) :

N = (Bits) (sec)

FIGURE 1.1 : Voie de communication : La largeur de bande est le nombre d’impulsions qui peuvent être transmisespar seconde sans qu’elles se confondent après avoir parcouru une distance d’un kilomètre.

1. Le volume « The Rewiring of America : The Fiber Optics Revolution » [1] décrit les diverses étapes dudéveloppement de cette technologie.

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Si on veut que la valeur de N soit élevée, il faut générer des impulsions très brèves afin d’obtenir unmaximum d’impulsions par seconde. Le nombre de bits sera alors de l’ordre de l’inverse de la largeur des impulsions∆ t.

Cependant, toutes les voies de communication non seulement atténuent le signal qui se propage maisélargissent aussi les impulsions individuelles. Afin de caractériser cette propriété des voies de communication, onspécifie le nombre d’impulsions par seconde du train après la distance de 1 kilomètre en introduisant alors la largeurde bande B que l’on définit :

B =

∆t

1 (MHz-km)

Ce paramètre est donné habituellement en MHz et on spécifie toujours que cette caractéristique est évaluée après unkilomètre de propagation.

Aux longueurs d’ondes typiques des communications optiques (1,3 - 1,6 mµ ) la qualité des fibres actuelles

est telle que la perte dans la fibre atteint la limite théorique permise par la diffusion de Rayleigh qui est de 0,2dB/km. La figure 1.2 indique que sur une période d’environ cinquante ans (1965-1980), on a réussi à fabriquer unverre de qualité suffisante pour permettre que les communications optiques deviennent compétitives. Ces résultatssont dus à d’intenses recherches multidisciplinaires.

FIGURE 1.2 : Évolution de la perte du verre au cours des siècles. On note l’impact de la recherche scientifiquedurant la période couvrant les années 1965 à 1980. Cette recherche avait pour objectif de réaliser des fibres optiques

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de qualité suffisante pour les communications optiques (ce graphique est basé sur celui présenté par MadameSuzanne Nagel).

La figure 1.3 montre l’atténuation de la paire de cuivre typique des communications téléphoniques, celled’un câble coaxial typique des services de télévision et l’atténuation d’une fibre optique standard en fonction de lafréquence. Une bonne qualité de conversation téléphonique requiert un taux de transmission de 65 kbits/s. Lesimpulsions à cette fréquence subissent une atténuation d’environ 3,5 dB/km dans la paire de cuivre typique desservices téléphoniques. D’autre part, si on voulait transmettre, sur cette même voie, de la musique avec la mêmequalité d’audition que celle d’un disque compact, il faudrait un taux de transmission d’environ 620 kbits/s. Desimpulsions de 640 kHz subiraient alors une atténuation de plus de 15 dB/km dans cette paire de cuivre. Pourtransmettre un signal vidéo couleur, on doit compter sur un taux de transmission de 44 Mbits/s pour ce mêmesystème binaire. L’atténuation de la paire de cuivre devient tout à fait inacceptable dans ce cas et même l’atténuationd’un câble coaxial est déjà très grande. On comprend alors pourquoi les services de télévision par câble doiventrégénérer leurs signaux après de très courtes distances. Cependant, l’atténuation d’un signal par une fibre optique estune faible valeur qui demeure constante (dans ce cas, 2 dB/km selon la figure 1.3), quelle que soit la fréquence desimpulsions (donc quel que soit le débit de transmission) et ce jusqu’à des fréquences de plus de 20 GHz. Cettepropriété surprenante de la fibre optique a été comprise par l’industrie dès les années soixante-dix, ce qui a conduit àcette révolution des communications par fibres optiques et ses applications.

FIGURE 1.3 : Atténuation en fonction de la fréquence pour trois voies de communication. La surface de résistancedu cuivre augmente rapidement avec la fréquence. Il s’ensuit que les hautes fréquences sont fortement atténuées dansune paire de fils de cuivre. L’utilisation d’un câble coaxial avec sa région annulaire diélectrique permet de diminuerl’atténuation des hautes fréquences. La fibre optique avec son coeur et sa gaine entièrement constitués de matériauxdiélectriques permet de réduire l’atténuation pour des fréquences dépassant le gigahertz.

1.2 Description du contenuCe volume décrit la théorie électromagnétique pour des modes de propagation des guides d’ondes

diélectriques avec comme objectif de comprendre les applications de ces guides pour les systèmes de

13

télécommunication. Tous les volumes d’électromagnétisme classique présentent les guides d’ondes métalliquescomme un exemple d’application de solution des équations de Maxwell avec des conditions limites. Quelquesvolumes décrivent sommairement les guides diélectriques. Cependant, à la suite de l’application de ces guides sousla forme de fibre optique, il est devenu essentiel qu’un cours d’électromagnétisme appliqué contienne cette théorie etinsiste sur les caractéristiques de minimisation de la dispersion qui permet d’avoir une largeur de bande extrême.

Afin de clairement situer le contenu de chaque chapitre, la figure 1.4 présente schématiquement les troistypes de fibres optiques qui trouvent aujourd’hui des applications importantes.

FIGURE 1.4 a) : Profil d’indice des fibres multimodes à saut d’indice, des fibres monomodes et des fibres à gradientd’indice.

FIGURE 1.4 b) : Tracé des rayons optiques pour la fibre multimode à saut d’indice, la fibre monomode et la fibre àgradient d’indice. La largeur de bande typique de ces trois fibres est indiquée.

D’abord, la fibre multimode à saut d’indice. Nos notions déjà acquises de l’électromagnétisme et del’optique nous laisse déjà anticiper qu’afin de guider l’énergie dans cette structure, il devra y avoir une réflexiontotale interne des rayons à l’interface n1/n2. Il est donc essentiel de bien comprendre le phénomène de réflexion totale

14

interne pour caractériser ce type de guide d’ondes. Le chapitre 2 contient un bref rappel des équations de Maxwell etdes conditions aux limites de l’électromagnétisme tout en amenant les lecteurs à utiliser la notation de l’optiquemoderne (e.g. la longueur d’onde du vide λ remplace presque partout la fréquence de l’onde ω ). L’étude de laréflexion totale interne inclut le phénomène de glissement latéral (Goss-Hänchen) de l’onde qui servira à compléterle modèle géométrique du guide planaire. La seconde partie de ce chapitre présente la dérivation de l’équation depropagation pour une impulsion dans un milieu dispersif. L’effet non linéaire Kerr optique est inclu dans ce modèleet conduit à l’équation non linéaire de Schrödinger. La solution solitonique de cette équation est discutéesommairement afin d’informer les lecteurs de cette nouvelle forme d’application qui assurera bientôt lescommunications transocéaniques.

La solution électromagnétique du guide plan est discutée au chapitre 3. Cette solution utilise des fonctionsmathématiques élémentaires qui facilitent la compréhension du guidage par une structure diélectrique. De plus, cettestructure nous amène au modèle au modèle gémétrico-ondulatoire des ondes planes. Ce modèle permet decomprendre le fonctionnement de plusieurs systèmes optiques complexes. Le guide d’ondes planaire est aussi lastructure de base pour la réalisation de composantes de l’optique intégrée, tels que les coupleurs passifs qui sont déjàutilisés dans des systèmes de communication. Afin d’initier le lecteur à ce type de couplage la solutionélectromagnétique de deux guides d’ondes couplés est présentée dans l’annexe du chapitre 3.

Le chapitre 4 dérive la solution exacte de la fibre optique à saut d’indice. La notion de réflexion totaleinterne ne suffit plus à expliquer l’opération de ce guide d’ondes. En particulier, les caractéristiques physiques de lafibre monomode sont démontrées et discutées.

L’annexe du chapitre 4 fait un rappel utile des divers types de fonctions de Bessel nécessaires à ladescription des modes EH et HE de la fibre. L’étude de la minimisation de la dispersion du guide d’ondes nousamène au moyen d’abaques à la condition de faible guidage. Cette condition essentielle pour une fibre à grandelargeur de bande nous conduit aussi à l’introduction des modes LP qui permettent de simplifier par la suite l’analysedu régime multimode. Cette étude paramétrique au moyen d’abaques permet de justifier à chaque étape ledéveloppement mathématique très lourd, qui évite d’imposer des postulats « ad hoc » comme doivent le faire lesautres ouvrages spécialisés.

Le dernier chapitre amorce l’étude électromagnétique de la dernière classe de fibre optique soit la fibre àgradient d’indice. L’analyse numérique des modes LP du profil parabolique convergent et divergent permet aulecteur de comprendre pourquoi cette fibre augmente la largeur de bande d’une structure multimode. Commel’indique le schéma de la figure 1.4 le profil d’indice guide la lumière par focalisation interne. Le modèle del’optique géométrique sert généralement pour faciliter l’analyse de ce type de fibre. La deuxième partie de ce dernierchapitre introduit ce modèle géométrique au moyen de la solution de l’iconale.

L’annexe du chapitre 5 (D) permet aux lecteurs de rapidement s’initier à la théorie de l’optiquegéométrique, soit de l’équation de l’iconale et de l’équation des rayons à partir des équations de Maxwell à l’aide del’approximation des petites longueurs d’onde. La deuxième partie de l’annexe du chapitre 5 (E) dérive le profil idéalde l’indice diélectrique qui permet d’égaliser la vitesse des modes méridionaux. Cet annexe est aussi uneintroduction utile à la fibre SELFOC qui est devenue une composante optique essentielle pour le couplage détecteur(source) – fibre monomode.

1.3 Utilisation de ce manuelIl est aujourd’hui essentiel qu’un physicien et qu’un ingénieur (génie électrique, communication)

comprenne dès ses études de premier cycle le fonctionnement d’un guide d’ondes diélectrique et de la fibre optiqueen particulier. Ce volume peut servir de complément à tous manuels d’électromagnétisme pour compléter l’étude desguides d’onde métalliques. La deuxième partie du chapitre 2 sur la propagation des impulsions en milieu dispersifcombinée avec les chapitres 3 et 4 portant respectivement sur le guide plan et la fibre à saut d’indice serait unexcellent complément à ce cours fondamental.

D’autre part, plusieurs universités ont déjà introduit des cours spécialisés de communications optiques. Cemanuel comporte la théorie élémentaire essentielle de la fibre optique et devra alors être compléter par l’utilisation

15

d’un manuel beaucoup plus technique décrivant les diverses composantes optiques ainsi que les sources etdétecteurs.

Enfin, ce manuel comprend la théorie minimale qui devrait être comprise par l’étudiant du 2ième cycle dansce domaine. L’étudiant du 3ième cycle devra compléter cette étude par l’analyse de structure à saut d’indice pluscomplexe tel que la fibre à dispersion déplacée et une étude approfondie des effets non linéaires. L’étude descapteurs à fibres optiques compléterait avantageusement la formation des étudiants de ces deux cycles.

16

2 Rappel de la théorie de l’électromagnétismeL’étude des guides d’ondes diélectriques (tel que les fibres à saut d’indice et à gradient d’indice, les guides

d’ondes plans, etc) requiert une bonne connaissance de la théorie des ondes électromagnétiques. Alors, le but de cechapitre est de rappeler les concepts fondamentaux de cette théorie.

Nous considérerons d’une part, les aspects importants de la propagation des ondes dans un milieudiélectrique infini et d’autre part, l’analyse des phénomènes de la réflexion et de la réfraction à l’interface de deuxmilieux diélectriques différents nous préparera à l’étude ultérieure des guides d’ondes. Une attention particulière seraaussi portée au phénomène de réflexion totale interne.

Pour commencer notre discussion, nous passerons en revue les équations de Maxwell. Celles-ci nouspermettront d’obtenir l’équation de la propagation des ondes pour un milieu diélectrique infini. L’onde progressiveplane, qui est une solution de cette équation, sera ensuite examinée en détail. Après avoir défini les principauxparamètres relatifs aux ondes, nous examinerons les conséquences d’une discontinuité dans le milieu depropagation : ceci nous permettra d’obtenir les différentes lois qui gouvernent les phénomènes de la réflexion et de laréfraction à l’interface de deux milieux diélectriques. Les concepts de la réflexion totale interne et de champévanescent seront analysés, vu leur importance dans la compréhension du guide d’ondes. De plus, pour compléterl’étude de la réflexion totale interne, nous discuterons du déplacement latéral de l’onde réfléchie (Goss-Hänchen).Dans la dernière section de ce chapitre, nous étudierons la propagation d’une impulsion lumineuse dans un milieu dedispersion, et, plus tard, dans un milieu de dispersion non linéaire.

2.1 Équations de MaxwellLes équations de Maxwell2 ( tableau 2.1) contiennent des dérivées partielles couplées par rapport aux

variables de l’espace et du temps des champs vectoriels εr et Hv

de la densité de charge ρ et de la densité de

courant Jr

. Ce sont les quatre équations fondamentales de la théorie de l’électromagnétisme. Elles s’appliquentpartout où la distribution de courant de charge est continue. La théorie des guides d’ondes repose sur elles.

(I)t

B

∂

∂∇ −=

r

r rε X (2

(II)t

DJ

∂

∂+=∇

r

rrr

X H (2

0 =⋅∇ Brr

(2

ρ=⋅∇ Drr

(2

εr : champ électrique (V / m)

Br

: densité du flux magnétique (Tesla)

Dr

: densité du déplacement électrique (C / m2)

Hr

: champ magnétique (A / m)

Jr

: densité du courant (A / m2)ρ : densité de charge électrique (C / m3)

TABLEAU 2.1 : Les équations de Maxwell

2. Plusieurs excellents livres peuvent être consultés pour une discussion détaillée des ondes électromagnétiques et deséquations de Maxwell.

17

Les relations de constitution caractérisant un milieu nous permettent d’exprimer la densité de champ et la

densité de courant Dr

, Br

et Jr

en fonction des champs εr et Hr

:

)( εrrr

DD =

)( Hrrr

BB = (2.5)

),( Hrrr r

εJJ =

La forme spécifique de ces relations dépend de la nature du milieu. Ainsi, pour un milieu homogène (unmilieu dont les propriétés ne changent pas d’un point à un autre), isotrope (dont les propriétés sont les mêmes danstoutes les directions données) et un milieu linéaire (un milieu où les relations de constitution sont linéaires avec le

respect de εr et Hr

), les relations (2.5) peuvent alors se réécrire comme

a) εεrr

=D (2.6)

b) Hrr

µ=B

De plus, si le milieu obéit à la loi d’Ohm, nous avons :

c) εσrr

=J (2.6)

où et , σµε sont des constantes indépendantes de εr et Hr

(la notation X indique qu’il s’agit d’un tenseur). Les

milieux diélectriques isotropes et sans perte, que nous considérerons lorsque nous étudierons les guides d’ondes, ontles caractéristiques suivantes où rε est la permittivité relative et rµ la perméabilité relative :

σ = 0 (milieu non-conducteur)

0/ µµµ =r (pour les milieux non-magnétiques )0µµ =2

0 n/ == εεε r(n : indice de réfraction du milieu)

Plus généralement, les relations de constitution sont des équations tensorielles où

=

333231

232221

131211

εεεεεεεεε

ε

et

zyxx

zyxy

zyxx

D

D

D

εεεεεεεεε

εεεεεεεεε

333231

232221

131211

++=

++=

++=

C’est ce type de relation qui prévaut pour des milieux cristallins, tel que le quartz, qui sont généralementanisotropiques. De plus, si le milieu est inhomogène, la permittivité ou l’indice de réfraction sera une fonction descoordonnées de l’espace (ε (x, y, z)). Un exemple important d’un tel milieu est la fibre optique à gradient d’indice.Si l’intensité du champ magnétique et de celle du champ électrique sont grandes des effets non linéaires peuvent semanifester. On doit alors modéliser ces effets en incluant des termes non linéaires dans les relations de constitution.Par exemple, aux fréquences optiques, le verre possède une non linéarité cubique (effet Kerr optique), qui peut êtreécrite comme

εεε εεrrrr 2

2 +=D (2.7)

18

Bien que la constante 2ε soit très petite, l’utilisation d’impulsions très courtes et le confinement du champdans une très faible surface (e.g. fibre optique monomode) fait que ce terme non linéaire devient suffisammentimportant en optique guidée. Nous verrons plus loin une manifestation spectaculaire de cet effet (SOLITON).

Dans ce qui suit, nous considérerons uniquement les milieux diélectriques isotropes sans charge, sans perteet non magnétique. Les équations de Maxwell et les relations de constitution applicables pour de tels milieux sontrésumées au tableau 2.2.

(I)t

B

∂

∂∇ −=

r

r rε X (2.8)

(II)t

D

∂

∂=∇

r

rr

H X (2.9)

0=⋅∇ Drr

(2.10)

0 =⋅∇ Brr

(2.11)

Hrr

0µ=B (2.12)

εε εεrrr

n 20==D (2.13)

TABLEAU 2.2 : Milieux diélectriques isotropes sans charge et sans perte :équations de Maxwell et relations de constitution

Les équations de Maxwell sont les équations différentielles dans lesquelles les champs Hrr

et ε , doiventobéir lors de la propagation dans un milieu. Les solutions particulières de ces équations, pour un problème physiquedonné, sont trouvées à partir des conditions aux limites. Les conditions limites générales pour différentes quantitésélectromagnétiques sont données dans le tableau 2.3.

Continuité de la composante normale du courant de déplacement électrique :

( ) ( ) 0s 12 =−⋅ DDrr

r

(2.14)

Continuité de la composante tangentielle du champ électrique :

( ) ( ) 0 s 12 =−× εε rrr

(2.15)

Continuité de la composante normale de la densité de flux magnétique :

( ) ( ) 0s 12 =−⋅ BBrr

r

(2.16)

Continuité de la composante tangentielle du champ magnétique :

( ) ( ) 012 =−× HHrr

r

s (2.17)

TABLEAU 2.3 : Continuité des composantes des champs électromagnétiques à l’interface de deux milieux d’indicen1 et n2. Le vecteur unitaire s

r

est la normale à l’interface.

19

2.2 Équations d’onde (à second membre en εv )Les équations de Maxwell que nous venons de voir ne sont pas faciles à résoudre puisqu’elles forment un

système d’équations couplées. Cependant, à partir de ces dernières, nous pouvons développer un nouveau systèmed’équations (appelé équations d’onde) qui est plus aisé à analyser. Le principal intérêt réside dans le fait que les

équations d’onde sont découplées, c’est-à-dire que chacune d’elles ne fait intervenir qu’un champ ( Hrr

et ε ). Ellessont donc très utiles pour résoudre des problèmes de conditions aux limites.

Afin d’obtenir ces équations, nous prenons en premier lieu le rotationnel de l’équation (2.8), dans laquellenous avons substitué l’équation (2.12) :

t∂×∇∂−=×∇×∇ H

rr

rr r

0µε (2.l8)

En utilisant les relations (2.9) et (2.13) et le fait que

)(2 AAA ⋅∇∇+−∇=×∇×∇rrrr

nous avons :

)(

n 2

22

002 εεε εµ

r

r

r rr

⋅∇∇=∂∂−∇

t(2.19)

En développant l’équation (2.10), nous trouvons :

0n n 20

20 =∇⋅+⋅∇=⋅∇

rrrr rr εε εεD (2.20)

En substituant l’équation (2.20) dans l’équation (2.19), nous obtenons l’équation générale de l’ondesuivante :

)n

n(

n

2

2

2

22

002

∇∇−=

∂∂−∇ ⋅

r

r r

r

r

εεε εµt

(2.21)

D’une façon similaire, il est possible de déduire que

02

22

002 =

∂∂−∇

t n

HH

r

r

εµ (2.22)

Pour les milieux inhomogènes (milieux où l’indice de réfraction est une fonction des coordonnées de

l’espace (n (x, y, z)), le gradient de l’indice de réfraction est non-nul (0)n ≠∇r

. Par contre, pour un milieu

homogène, 0n =∇r

et la relation (2.21) devient alors l’équation d’onde homogène :

0

n 2

22

002 =

∂∂−∇

t

εε εµr

r

(2.23)

Les équations (2.21), (2.22) et (2.23) représentent six équations scalaires découplées (en composantescartésiennes) où

2

2

2

2

2

22

z y x ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

20

Le calcul du champ électromagnétique d’un guide revient donc à résoudre l’équation d’onde sous certainesconditions limites. Ainsi, pour une fibre à saut d’indice, on résout l’équation homogène (2.23) à la fois dans le cœuret dans la gaine pour obtenir les expressions des champs. Pour une fibre à gradient d’indice, on doit en principeutiliser l’équation d’onde générale (2.21). Marcuse3 [2] a cependant démontré que, sous certaines conditions, on peutemployer l’équation d’onde homogène (2.23) et ce même si l’indice n est fonction des coordonnées de l’espace.Cette approximation est seulement valide cependant si la variation de l’indice n est négligeable sur une distanced’une longueur d’onde.

Dans la section suivante, nous étudierons une solution particulière de l’équation d’onde homogène : l’ondeprogressive.

2.3 Électromagnétisme. Propagation d’ondes planes électromagnétiques(TEM)

Dans les prochaines sections, nous utiliserons principalement les champs Hrr

et ε qui sont des fonctionssinusoïdales du temps de la forme suivante,

( ) t je Re ωAArr

=

où Ar

est le vecteur complexe (phaseur) qui ne dépend que des coordonnées de l’espace. Dans ce cas particulier, nouspouvons remplacer les dérivées par rapport au temps par le facteur jω . Dans le tableau 2.4, nous retrouvons leséquations de Maxwell écrites particulièrement pour des champs à variation temporelle sinusoïdale.

(I) HHErrr

r

000

k -j j X ηµω =∇ −= (2.2

(II) EEHrrrr

00

22

0 kn

jn j X ==∇ εω (2.2

Tableau 2.4 : Équations de Maxwell pour un milieu diélectrique d’indice de réfraction n.

Notez que Hr

0η possède les mêmes unités que Er

.

En utilisant la même technique que nous avons utilisé à la section précédente. Nous obtenons les équations

d’onde pour les phaseurs HErr

et en prenant les rotationnels des équations (2.24) et (2.25) :

0k 22 =+∇ EErr

(2.26)

0k 22 =+∇ HHrr

où nous avons introduit le nombre d’onde « k » défini comme

k=n =c

ωnk0 (2.27)

où c=00

1

µε est la vitesse de la lumière dans le vide.

3. Notez que la variation de n (x, y, z) doit être incluse dans les équations homogènes (2.22) et (2.23).

21

Notez4 aussi que k0 = λλπ

où 2

est la longueur d’onde dans le vide.

Les équations (2.26), obtenues pour les phaseurs HErr

et portent le nom d’équations de Helmoltz. Unesolution élémentaire de ces équations est l’onde plane uniforme :

r k -j1 e

r

r

rr ⋅= EE (2.28)

r k -j1 e

r

r

rr

⋅= HH (2.29)

HErr

et sont deux vecteurs contenus dans un plan normal à la direction de propagation ket rr

l est le vecteur d’onde

orienté dans la direction de propagation ).k k( llrrr

= L’application directe des équations de Maxwell sur cette ondenous conduit à la relation d’impédance qui relie le champ électrique au champ magnétique

11 1

ElHrrr

×

=

η(2.30)

c’est-à-dire

εµη ==

1

1

H

E(2.31)

11 et HErr

sont deux vecteurs constants , c. i. qui ne dépendent pas des variables x, y, z. Notez que ( ) 00 où n/ ηηη =est l’impédance du vide (377 ��HW�Q�HVW�O¶LQGLFH�GH�Uéfraction du milieu diélectrique.

De plus, les équations de Maxwell nous montrent que les vecteurs HErr

et sont perpendiculaires entre eux

et que la direction de propagation est donnée par la direction du vecteur résultant du produit vectoriel HErr

× (voirfigure 2.1). On a donc une onde TEM puisque les champs électriques et magnétiques sont ⊥ à la direction depropagation.

4. L’optique moderne utilise fréquemment k0 ou ωλ delieu au pour spécifier la fréquence de la source. Il y a aussiun usage répandu qui utilise l’indice de réfraction n au lieu de la permittivité ε et de l’impédance 0η au lieu de la

perméabilité 0µ .

22

FIGURE 2.1 : Variation par rapport à l’axe z (à un instant donné) des vecteurs HErr

et d’une onde planeélectromagnétique se propageant selon l’axe des z positif. Les deux vecteurs sont en phase mais perpendiculaires

entre eux. Le vecteur HErr

× donne la direction de propagation de l’onde.

En utilisant la notation de phaseur, on montre que le vecteur Poynting moyen

)( Re 2

1S *HE

rrr

×= (2.32)

représente la densité moyenne (temporelle) de la puissance transportée par l’onde (W/m2). Pour une onde uniformeplane, le vecteur Poynting moyen est proportionnel au carré du champ électrique (ou magnétique) :

2

1 2

1S E

rr

η= (2.33)

2.4 Réflexion et réfraction à l’interfaceL’onde plane uniforme est une solution très simple des équations de Maxwell. Cependant, cette solution est

fort importante parce qu’elle est la solution élémentaire qui permet au moyen de la théorie du spectre angulaire desondes planes d’analyser la propagation d’un faisceau quelconque. C’est pourquoi, en optique, la premièreapproximation pour une solution est obtenue en posant comme hypothèse que l’onde est plane, uniforme et incidente.Par exemple ici, nous examinerons les conséquences de la discontinuité dans le milieu de propagation d’une ondeplane uniforme. De telles discontinuités existent, par exemple, à la frontière cœur-gaine d’une fibre à saut d’indice.

Imaginons une interface, telle que celle illustrée à la figure 2.2, infinie et plane entre deux milieuxdiélectriques linéaires homogènes et isotropes. On suppose une onde plane uniforme incidente de direction de

propagation i lr

. Dans le milieu 2, on sait que l’onde plane uniforme est une solution aussi des équations de Maxwell.On suppose aussi qu’une telle onde sera excitée par l’onde incidente, et que sa direction de propagation sera définie

par tlr

.

23

FIGURE 2.2 : Onde électromagnétique incidente à une interface entre deux milieux. Les vecteurs unitaires

tri et , lllrrr

pointent dans la direction de propagation. Les angles tri et , θθθ sont respectivement l’angle

d’incidence, de réflexion et de transmission. Le vecteur sv

est la normale à l’interface.

L’application des conditions aux limites devrait nous permettre de trouver les paramètres de cette ondetransmise dans le milieu 2 si cette hypothèse est valide. On peut vérifier que ceci n’est pas possible.

Il faut supposer que l’onde incidente produit aussi une onde réfléchie dans la direction r lr

. Alors, lesconditions aux limites de continuité des champs électriques et magnétiques permettent de déterminer uniquement lesparamètres de ces deux ondes planes uniformes excitées. Le problème consiste maintenant à trouver les relations

reliant les trois vecteurs 0i Er

, 0r Er

et 0t Er

.

De façon générale, toute onde incidente est décomposable en deux polarisations : une dont le vecteur Er

estnormal au plan incidence et l’autre dont le vecteur E

r

est parallèle à ce dernier. Nous donnons au tableau 2.5 lesdifférentes façons utilisées pour nommer chacune de ces conditions. Nous traiterons en détail du premier cas, soit

celui où l’onde incidente polarisée a son vecteur Er

normal au plan d’incidence (voir figure 2.3). Bien que nousn’effectuerons pas le processus mathématique complet, nous énoncerons aussi les résultats propres au deuxième cas

( Er

parallèle au plan d’incidence).

Onde polarisée dont Er

estnormal au plan d’incidence

Onde polarisée dont Er

estparallèle au plan d’incidence

⊥ (N)

horizontal

TE

s

�(P)

vertical

TM

P

TABLEAU 2.5 : Façons équivalentes de qualifier chacune des deux conditions de polarisation.En optique, les conventions réfèrent habituellement au champ électrique.

24

2.4.1 Onde incidente polarisée dont le vecteur Ev

est normal au pland’incidence

Les vecteurs HErr

et de l’onde incidente ont les orientations indiquées à la figure 2.3. Le champ électriquede l’onde incidente (supposé connu) s’écrit de la façon suivante

r k -ji 0

i 0 e r

r

rr ⋅= EEI (2.34)où

yi 0i 0 a r

r

EE = (2.35)

Notre objectif est d’écrire les expressions pour le champ transmis et le champ réfléchi en fonction

des paramètres ii 0 ,θEr

, n1 et n2 qui sont supposés être connus. Si les milieux sont isotropes, hypothèse que nous

avons faite au début de la section, les vecteurs Er

des ondes réfléchies et transmises sont aussi perpendiculaires auplan d’incidence, tel qu’illustré à la figure 2.3.

FIGURE 2.3 : Plans de l’onde incidente, réfléchie et transmise pour une onde incidente polarisée d’une telle façon

que le vecteur Er

est normal au plan d’incidence.

On notera le champ réfléchi et le champ transmis :

r k -jr 0

r 0 e r

r

rr ⋅= EE R (2.36)

r k -j t0

t0 e r

r

rr ⋅= EET (2.37)

où nous avons pour l’onde incidente,

i 1i 0 k k lrr

=

25

zi xi i a cosa sinrr

r

θθ −=l (2.38)k1 = n1 k0

pour l’onde réfléchie

r 1r 0 k k lrr

= (2.39)

zrxrr a cosa sinrr

r

θθ +=l

et pour l’onde transmise

t2 t0 k k lrr

=

ztxt t a cosa sinrr

r

θθ −=l (2.40)

k2=n2k0

La méthode utilisée pour obtenir tEE θθ et , , r0t r 0

rr

en fonction de ii 0 ,θEr

, n1 et n2 est la suivante. Pourcommencer, nous développons les expressions (2.34), (2.36) et (2.37) compte tenu des relations (2.38), (2.39) et(2.40). On obtient alors :

) cos z sin (x k j -i 0

ii1 e θθ −= EEI

rr

(2.41)

) cos z sin (x k j -r 0

rr1 e θθ += EER

rr

(2.42)

) cos z sin (x k j - t0

tt2 e θθ −= EET

rr

(2.43)

Les propriétés des ondes TEM (section 2.3) entraînent que

II ElHrrr

×= i1 )/1( η (2.44)

RR ElHrrr

×= r1 )/1( η (2.45)

TT ElHrrr

×= t2 )/1( η (2.46)où

(A) 01 ηη = /n1 (2.47)

(B) 02 ηη = /n2

Puisque ,IEr

REr

et TEr

sont parallèles à yar

, on s’intéresse aux produits vectoriels suivants :

)a sina (cosa zi xi yi

rrr

r

θθ +=×l

)a sina cos(a zr xr yr rrr

r

θθ +−=×l

)a sina (cosa z tx ty trrr

r

θθ +=×l

26

En introduisant ces résultats dans les équations (2.44) à (2.46), on obtient les expressions suivantes pour leschamps magnétiques :

) cos z sin (x k j -zi

0

1i 0xi

0

1i 0 ii1 e a sin n

a cos n θθθ

ηθ

η−

+=

rr

r EEH I (2.48)

) cos z sin (x k j -xr

0

1r 0zr

0

1r 0 rr1 e a cosn

a sinn θθθ

ηθ

η+

−=

rr

r EEH R (2.49)

) cos z sin (x k j -z t

0

2 t0xt

0

2 t0 t t2e a sin n

a cos n θθθ

ηθ

η−

+=

rr

r EEHT (2.50)

Finalement, pour évaluer les inconnues t T R EE θθ et , , r

rr

, on applique les conditions de continuité

(Tableau 2.3) pour les composantes tangentielles de HErr

et à l’interface située à z = 0, c’est-à-dire :

TRI EEEr

r

rr

r

×=+× s )(s (2.51)

TRI HHHr

r

rr

r

×=+× s )(s (2.52)où

zasrr

=

En substituant les équations (2.41) à (2.43) dans l’équation (2.51), pour z = 0, on obtient :

( ) ( )t2r1i1 sin x k j -t0

sin x k j -r0

sin x k -ji0 e e e θθθ EEE =+ (2.53)

De même, en substituant les équations (2.48) à (2.50) dans l’équation de continuité (2.52), pour z = 0, noustrouvons :

( ) ( )t2r1i1 sin x k j -t2t0

sin x k j -r1r0

sin x k -ji1i0 e cos n e cos n e cos n θθθ θθθ EEE =− (2.54)

Afin de satisfaire les équations de continuité pour tous x, nous devons tout d’abord imposer que la phase desphaseurs soient identiques de chaque côté des équations (2.53) et (2.54). Cela signifie que

sin ri sinθθ =et

(B) n1sin t2i sinn θθ =

Puisque

k1=n1k0

etk2=n2k0

l’équation (2.53) peut se réduire à

E0i+E0r=E0t (2.55)

et l’équation (2.54) à

E0in1cos iθ -E0rn1cos iθ =E0tn2cos tθ (2.56)

27

La condition (A) conduit au fait bien connu que l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence, tandisque la condition (B) est la loi de Snell-Descartes qui détermine l’angle de réfraction par rapport à l’angled’incidence. Finalement, on peut résoudre les équations (2.55) et (2.56) pour les deux inconnues E0r et E0t en termesdu champ incident E0i pour trouver :

t2i1

t2i1

0i

0r

cosncosn

cosncosn

θθθθ

+−

=≡ΓE

EN (2.57)

t2i1

i1

0i

0t

cosncosn

cosn 2

θθθτ

+=≡

E

EN (2.58)

où N indique que 0iEr

est la normale au plan d’incidence.

Ce sont les deux équations de Fresnel dans le cas où la polarisation du champ E est perpendiculaire au pland’incidence. Elles nous donnent le rapport de l’amplitude des ondes transmises et réfléchies par rapport à celle del’onde incidente. Il est à remarquer que la valeur de l’équation (2.58) est toujours positive. Cela signifie qu’àl’interface, l’onde transmise est toujours en phase avec l’onde incidente. Le rapport (E0r / E0i)N (équation (2.57)),quant à lui, peut être positif ou négatif selon la valeur du rapport n1/n2.

2.4.2 Onde incidente polarisée dont le vecteur Ev

est parallèle au pland’incidence

Dans ce cas, les vecteurs Er

des trois ondes à considérer (incidente, réfléchie et transmise) doivent être dansle plan d’incidence, comme illustré à la figure 2.4. On obtient alors les résultats suivants :

t1i2

t1i2

0i

0r

cosncosn

cosncos-n

θθθθ

++

=≡ΓE

EP (2.59)

t1i2

i1

0i

0t

cosncosn

cosn 2

θθθτ

+=≡

E

EP (2.60)

Le premier rapport (équation (2.59)) peut être positif ou négatif. Cela entraîne que 0rEr

peut avoir ladirection indiquée à la figure 2.4 (avec le même sens ou avec le sens opposé).

Le second rapport (équation (2.60)) est toujours positif, cela veut dire que les champs électriques incidentset transmis sont toujours en phase à l’interface.

28

FIGURE 2.4 : Plans de l’onde incidente, réfléchie et transmise pour une onde incidente polarisée d’une telle façon

que le vecteur Er

est parallèle au plan d’incidence.

La figure 2.5 résume les différences de phase pour les composantes parallèles et perpendiculaires du champélectrique. En conclusion, les équations (2.57) à (2.60) constituent l’ensemble des équations de Fresnel. Ceséquations et la loi de Snell-Descartes nous permettent de déterminer les relations existant entre l’onde incidente et lesondes réfléchies et transmises, à l’interface entre deux diélectriques pour tous types de polarisation du champélectrique.

Polarisation perpendiculairea) b)

29

Polarisation parallèlec) d)

FIGURE 2.5 : Sauts de phase à réflexion pour les polarisations perpendiculaire NΦ et parallèle PΦ du

champ électrique Er

(voir équations (2.74) et (2.75)). Les cas de réflexion externe ( a et b) et de réflexion totale ( c etd) sont illustrés.

2.4.3 Coefficients de réflexion et de transmission de la puissanceLes équations de Fresnel sont principalement utilisées pour calculer la puissance réfléchie et celle transmise

à une interface. Pour ce type de problème, nous utilisons généralement le coefficient de réflexion R et detransmission T (en puissance).

Le flux moyen d’énergie par unité de surface de l’onde incidente dans la direction de l’axe des z est donnépar la valeur moyenne du vecteur Poynting (section 2.3) :

i 2

0i0

1ki

20i

0

1i cos

2

-na

2

nS θ

ηηElE

z=⋅=

r

rr

r 2

0r0

1kr

20r

0

1r cos

2

na

2

nS θ

ηηElE

z=⋅=

r

rr

t2

0t0

2kt

20t

0

2t cos

2

-na

2

nS θ

ηηElE

z=⋅=

r

rr

On définit alors R et T comme étant la norme des rapports des valeurs moyennes des vecteurs Poyntingprojetés à l’interface. Ainsi,

2

2oi

2or

zi

zr

S

SΓ===

E

ER (2.61)

2

i 1

t2

i 2

oi 1

t2

or 2

zi

zt

cosn

cosn

cosn

cosn

S

S

τθθ

θ

θ

=

==E

ET

(2.62)

30

Il est important de noter que le coefficient de transmission en intensité T est différent du carré du coefficient

de transmission en amplitude 2

τ . Cette différence est due au fait que nous avons projeté les vecteurs de Poynting

ti Set S dans deux milieux avec des indices de réfraction différents (n1 ≠ n2, d’où ti θθ ≠ ).

On peut écrire, à partir des équations de Fresnel et de la loi de Snell-Descartes, les coefficients R et T pourles polarisations normales et parallèles. Nous obtenons :

2

i 22

122i 1

2

i 22

122i 1

sinnncosn

sinnncosn

−+

−−

=θθ

θθNR (2.63)

( )

( )2

i 22

12221i 2

2

i 22

12221i 2

sinnn n/ncosn

sinnn n/ncosn-

−+

−+

=θθ

θθPR (2.64)

2

i 22

122i 1

i 22

122i 1

sinnncosn

sinnncosn 4

−+

−=

θθ

θθNT (2.65)

( )2

i 22

12221i 2

i 22

122i 1

sinnn n / ncosn

sinnncosn 4

−+

−=

θθ

θθPT (2.66)

Dans les deux cas, R + T = 1 comme on devrait s’y attendre, puisque l’énergie doit être conservée. Lesfigures 2.6 et 2.7 représentent les coefficients de réflexion R et de transmission T en fonction de l’angle d’incidencepour n1 = 1 et n2 = 1,5. Il est à noter que dans le cas parallèle (figure 2.7), il existe un angle d’incidence pour lequel R= 0. À cet angle, nommé angle de Brewster, toute la puissance de l’onde incidence est transmise au milieu 2. L’anglede Brewster est régi par l’équation suivante :

1

2B n

n tan =θ (2.67)

qui est obtenu en posant RP = 0. Pour une interface air-verre, Bθ = 56,3º.

31

FIGURE 2.6 : Coefficient de réflexion R et de transmission T pour la polarisation perpendiculaire

FIGURE 2.7 : Coefficient de réflexion R et de transmission T pour la polarisation parallèle

2.5 Réflexion totale interne; champ évanescentNous allons maintenant considérer le phénomène de réflexion totale interne qui est primordial à la

compréhension des guides d’ondes diélectriques.

Si n1 > n2 et si iθ est assez grand, la loi de Snell-Descartes, qui s’écrit

i 2

1 t sin

n

nsin θθ = (2.68)

32

conduit à un résultat assez étrange, soit sin tθ > 1. En fait, cela définit pour sin tθ = 1 et tθ = 90º, un angle critique

1

2c n

nsin =θ (2.69)

Lorsque c que grand plusest θθ , l’angle tθ prend des valeurs imaginaires puisque le sinus de cet angledevient plus grand que 1. Alors, on doit se rappeler qu’on utilise la notation de phaseur et par conséquent unequantité imaginaire peut correspondre à un phénomène physique.

FIGURE 2.8 : Pour des angles d’incidence i θ égaux ou supérieurs à l’angle critique cθ , l’onde est réfléchietotalement à l’intérieur du premier milieu (verre).

Examinons donc le champ transmis au fur et à mesure que i θ tend vers ) ( c i c θθθ → selon la relation(2.43), qui est

) cos z sin (x k j - t0

tt2 e θθ −= EET

rr

(2.70)

où 0tEr

dépend de l’état de polarisation. En utilisant l’identité suivante

( )[ ] 2/1

i 22

21 t sinn/n1 cos θθ −=

nous pouvons réécrire l’équation (2.43) comme une fonction de i θ , soit

( ) ( )

−

= i 22

21i 212 sinn/n-1 zsin x n/n k j -

t0 e θθ

EET

rr

(2.71)

33

Lorsque i θ varie de 0 à c θ , le champ transmis a une composante qui se propage dans la direction des z

négative et une autre dans la direction des x positif. Lorsque c i θθ = , ( ) termeleet n/nsin 221c

2 =θ

( )[ ] 2/1

c 22

21 sinn/n1 θ− est nul :

0n

n

n

n1

2

1

22

2

1 =

−

alors l’équation (2.71) devient :

xk j - t0

2 e EET

rr

=

Le champ se propage parallèlement à l’interface (x positifs).

Regardons maintenant le vecteur de Poynting pour l’onde transmise

= t

20t

0

2t 2

n ReS lE

rr

ηoù

z tx t t a cosa sinrr

r

θθ −=l

et tθ cos =0 et t sin θ =1. On obtient :

= x

20t

0

2t a

2

n ReS

r

r

Eη

(2.72)

L’équation (2.72) nous confirme que le flux d’énergie est nul dans le milieu 2 et qu’il se propage seulementdans la direction des x positifs (parallèlement à l’interface).

Lorsque i θ devient supérieur à c θ , on observe que ( ) et n/n sin 221i

2 >θ que ( )[ ] 2/1

i 22

21 sinn/n1 θ−devient une quantité imaginaire. On peut alors écrire que

( ) ( ) 1sinn/n jsinn/n1 i 22

21i 22

21 −−=− θθ

Le choix du signe négatif provient de la condition limite sur l’énergie lorsque z tend vers moins l’infini. Enremplaçant cette dernière équation dans l’équation (2.71), on obtient l’expression suivante pour le champ transmisdans le milieu 2, pour le cas où c i θθ >

x -jz t0 e e βα+= EET (2.73)

où

( ) c 2

i 2

01i 22

212 sinsin k n1sinn/n k θθθα −=−=

i 2

01i 2

12 sin k nsinn

n k θθβ ==

34

L’onde transmise (équation (2.73)) a un comportement particulier. Elle se déplace dans une directionparallèle à l’interface5 avec une constante de propagation β et elle s’atténue exponentiellement avec une constante

d’atténuation α dans la direction perpendiculaire6. Le flux d’énergie total traversant la surface est nul.

Pour mettre en évidence ce fait, nous allons le calculer explicitement :

=

⋅=⋅ t

20t

0

2 tz

20t

0

2tz cos

2

n- a

2

n Sa θ

ηηERelERe

r

rr

Pour c i θθ > , t cosθ est imaginaire (équation (2.68)) ce qui implique que la puissance moyenne transmiseest nulle. Il n’y a donc pas de transport d’énergie dans le milieu 2, même s’il existe une onde évanescente.

Cette situation nous conduit à s’interroger sur le principe de la conservation de l’énergie, puisquelocalement nous avons une onde incidente d’amplitude unitaire, une onde transmise qui est aussi d’amplitudeunitaire, et enfin une onde réfléchie d’amplitude unitaire. Mais en fait, l’onde plane uniforme (TEM) possède déjàune énergie infinie. Si on veut analyser le principe de la conservation de l’énergie, on doit d’abord considérer lasituation d’un faisceau limité qui contient une énergie finie. C’est ce que nous analyserons dans les sectionssuivantes.

Cependant, le calcul de la phase de l’onde pour une réflexion totale nous éclaire davantage sur cettesituation. Examinons maintenant la phase de l’onde réfléchie pour les deux types de polarisation (perpendiculaire et

parallèle). Lorsque n1 > n2 et i θ > c θ (sin c θ = n2 / n1), les coefficients de réflexion perpendiculaire (équation

(2.57)) et parallèle (équation (2.59)) deviennent :

22i

221i 1

22i

221i 1

nsinn jcosn

nsinn jcosn

−−

−+=≡Γ

θθ

θθ

I

RN

E

E

22i

22121i 2

22i

22121i 2

nsinn)n/(n jcosn

nsinn)n/(n jcosn -

−−

−−=≡Γ

θθ

θθ

I

RP

E

E

On a alors deux nombres complexes de forme

B j -A

B jA +±=Γ

qui peuvent être écrit sous la forme

(B/A)arctan j-22

(B/A)arctan j22

e BA

e BA

+

+=Γ

soit

Φ==Γ j(B/A)arctan j 2 e 1 e

5. C’est pourquoi que l’on nomme aussi cette onde, une onde de surface.

6. C’est pourquoi que l’on nomme aussi cette onde, une onde évanescente puisqu’elle décroît rapidement si ons’éloigne de la surface.

35

On a donc

−=Φ

i 1

22i

221

cosn

nsinnarctan 2

θθ

N (2.74)

et

−=Φ

i 22

22i

2211

cosn

nsinnnarctan 2

θθ

P (2.75)

Finalement, on obtient

N

NI

RN E

E Φ=

=Γ je

et

P

PI

RP E

E Φ=

=Γ je

NP ΦΦ et représentent donc des sauts de phase du champ électrique réfléchi par rapport au champélectrique incident. Ces sauts de phase sont liés à un glissement latéral du faisceau lors de la réflexion totale. Ceglissement est appelé effet Goss-Hänchen.

On interprète ce saut de phase en considérant le fait que le faisceau doit traverser une distancesupplémentaire dans un milieu moins dense avant de réapparaître dans le milieu le plus dense.

La figure 2.9 permet de visualiser cette interprétation. Cependant, la visualisation des rayons géométriquesest limitée. On doit considérer un faisceau de lumière avec une certaine dimension pour éclaircir cette situation.

FIGURE 2.9 : Le glissement latéral zs illustré à gauche est équivalent du point de vue de l’optique géométrique à uncoeur d’épaisseur effective deff illustré à droite pour une fibre à saut d’indice.

2.6 Déplacement de Goss-HänchenPour un faisceau incident avec un angle supérieur à l’angle critique cΘ , on observe un glissement ∆ du

faisceau réfléchi.

Ce glissement correspond aussi à un glissement latéral D du faisceau réfléchi par rapport à sa positionanticipée selon l’optique géométrique.

36

FIGURE 2.10 : Réflexion totale interne d’un faisceau de dimension finie entre deux milieux dont les indices deréfraction sont n1 et n2 et où n1 > n2.

Ce phénomène fut mesuré par les chercheurs Goss et Hänchen [3, 4, 5]. Les expériences démontrent que ledéplacement est de l’ordre de longueur d’onde et qu’il dépend de la polarisation de l’onde incidente. Comme nousl’avons signalé auparavant, notre analyse de la réflexion totale au moyen de l’onde plane uniforme ne peut permettrede prédire ce phénomène puisqu’une onde plane uniforme ne peut être absolument localisée et par conséquent undéplacement à la réflexion ne peut l’être non plus.

FIGURE 2.11 : Réflexion totale d’un faisceau incident

Afin de localiser un point type de l’onde incidente, on considère, tel qu’illustré à la figure 2.11, un faisceauoptique formé de l’interférence de deux ondes incidentes planes à un angle 21 et ΘΘ respectivement. Ces ondess’écrivent selon la notation phaseur

) cos zsin (x k j -0

)1( 111 e Θ+Θ= EEi (2.76)

) cos zsin (x k j -0

)2( 221 e Θ+Θ= EEi

37

Le champ total incident est formé de l’interférence de ces ondes de même amplitude mais déphasées l’unede l’autre d’un facteur π :

)2()1(iii EEE −=

Après quelques transformations trigonométriques, on montre que

−=

ΘΘΘ ++−

2sin z -

2cosx

2sink 2 j-

)1(1

e1ii EE (2.77)

où on a introduit

12 Θ+Θ=Θ+

12 Θ−Θ=Θ−

L’équation (2.77) permet de localiser un des zéros du patron d’interférence au moyen de l’équation de ladroite suivante

x=ztan2

+Θ(2.78)

Notre démarche consiste maintenant à calculer le patron d’interférence des deux ondes réfléchies enassumant que les angles 21 et ΘΘ sont plus grands que l’angle critique soit

21 j)2( j)1( e e ΦΦ −= iir EEE (2.79)

où 21 et ΦΦ sont les sauts de phase à réflexion totale pour un angle 21 et ΘΘ respectivement.

On montre après quelques transformations que le faisceau réfléchi peut s’écrire

( )

−=

Φ−Φ+

ΘΘΘ ++−

121 j 2

sin z - 2

cosx 2

sink 2 j-)1( e1rr EE (2.80)

L’équation de la droite du zéro central devient alors :

x=ztan2

+Θ+

( )

221

12

cossink 2 +Θ−Θ

Φ−Φ(2.81)

Le déplacement latéral ∆ (selon x) du zéro est donné par

( )

221

12

cossink 2 +Θ−Θ

Φ−Φ=∆ (2.82)

L’utilisation de l’interférence de deux ondes planes nous a permis de localiser un point de l’onde incidente.Si nous désirons calculer le déplacement pour une onde incidente à un angle Θ , nous devons chercher la limite du

38

déplacement ∆ (équation (2.82)) lorsque et 2

22

1∆Θ∆Θ +Θ→Θ−Θ→Θ . Nous trouvons alors que

∆Θ→ΘΘ→Θ+ -et 2 . Ainsi, l’équation (2.82) peut être exprimée comme suit

Θ

∆Θ∆Φ=∆

cosk

1

1

puisque alors ∆Φ→Φ−Φ 12 .

Finalement, à la limite, on trouve que le déplacement Goss-Hänchen est donné pour une onde planeincidente à un angle Θ par

Θ∂Φ∂

Θ=∆

cosk

1

1

(2.83)

où Φ est le saut de phase à réflexion totale (équation (2.74) et (2.75)).

Lorsque iΘ est près de cΘ , le déplacement prédit est très grand. Cependant, il faut réaliser qu’alors notrehypothèse de départ, soit que les deux ondes planes soient à réflexion totale, ne s’applique plus. Généralement, ledéplacement est de l’ordre de la longueur d’onde λ , donc très faible en optique (voir exercice 2.1). Cependant, laprésence de ce déplacement a été confirmée expérimentalement. Nous verrons lors de l’étude du guide d’ondeplanaire que ce déplacement est nécessaire pour compléter le modèle géométrique.

Exercice 2.1

Déplacement de Goss-Hänchen

Calculez le déplacement de Goss-Hänchen D = Θ∆ cos (voir figure (2.10)) pour une onde plane incidentede polarisation normale ( )NΦ et perpendiculaire ( )PΦ .

Tracez le décalage pour un milieu d’indice n1 = 1,5 et n2 = 1, en fonction de l’angle d’incidence.Normalisez le décalage selon la longueur d’onde du vide λ .

2.7 DispersionNous avons introduit, au chapitre 1, les principaux problèmes que causait la transmission de la lumière dans

un milieu autre que le vide : nous avons vu qu’il faut que l’atténuation de la fibre soit relativement faible pour quel’information (transmise sous forme de lumière) soit détectée à la fin du guide d’ondes (avec un nombre raisonnablede répéteurs). Mais en plus d’avoir une faible atténuation, le signal reçu par le détecteur doit être facilementreconnaissable. En effet, si on se réfère, par exemple, à la figure 1.1, la largeur temporelle des impulsions doitdemeurer relativement intacte, si on veut reconstruire le signal à l’aide d’une séquence très rapprochée de 0 et de 1après une longue distance.

Lorsqu’un signal lumineux se propage dans un milieu, il subit un élargissement dans le temps que l’onappelle la dispersion temporelle. Cet élargissement limite le débit dans un système de communication optique, car ilforce à augmenter le délai entre deux impulsions. Il existe plusieurs causes d’élargissement temporel d’uneimpulsion qui se propage dans un milieu dispersif. Une première cause vient du fait que pour une longueur d’ondedonnée (lorsque nous considérons la propagation dans une fibre multimode), les vitesses de groupe des différentsmodes ne sont pas égales les unes aux autres ; nous analyserons cet effet, nommé dispersion modale, dans leschapitres 3 et 4. Une seconde cause de la dispersion temporelle (qu’on étudiera dans cette section) vient du fait que

39

l’indice de réfraction d’un milieu dépend de la longueur d’onde et que les sources utilisées pour transmettre le signalne sont pas purement monochromatiques (on parle alors de dispersion chromatique ou de dispersion matériau). Lesdifférentes composantes spectrales d’une source ont donc des temps de propagation différents, ce qui provoquel’élargissement d’une impulsion (peu importe le fait qu’elle soit guidée ou non).

Pour commencer, nous ferons quelques considérations générales sur la dispersion qui nous amènerons àdéfinir le délai entre différentes longueurs d’onde. Nous verrons alors de plus près les conditions qui permettent deminimiser la dispersion matériau. Pour terminer, nous analyserons la propagation d’une impulsion gaussienne dansun milieu dispersif après avoir dérivé l’équation de propagation de l’enveloppe d’un signal optique.

2.7.1 Dispersion chromatiqueUne onde plane électromagnétique se propage à une vitesse de phase donnée par

kvp

ω=

qui ne correspond pas à la vitesse de transmission du signal. En effet, un signal superposé à une onde se propage àune vitesse de groupe qui est définie par

ωddk /

1vg = (2.84)

Dans un milieu non-dispersif, où l’indice de réfraction ne dépend pas de la fréquence (le vide, par exemple),nous avons

c

n k

ω=

La vitesse de groupe est ensuite égale à la vitesse de phase :

n

c

ddk /

1vg ==

ω

Cependant, pour un milieu dispersif, où l’indice de réfraction est fonction de la fréquence, la vitesse degroupe n’est pas égale à la vitesse de phase ( c / n) mais devient

ωωω

d

dng

n

c

ddk /

1v

+== (2.85)

La vitesse à laquelle se propage l’information (vitesse de groupe) est donc différente pour chaque longueurd’onde, ce qui entraîne une déformation temporelle de l’impulsion. En optique7, la vitesse de groupe est

généralement exprimée en fonction de la longueur d’onde : en utilisant la relation (2.27) avec λ

πω c 2= et

ωλ

λω d

d

d

dn

d

dn =

on trouve l’expression finale pour la vitesse de groupe

7. En optique, on utilise la longueur d’onde du vide λ plutôt que la fréquence .ω

40

gN

c

d

dn-n

cvg =

=

λλ

(2.86)

où

λλ

d

dn-n=gN (2.87)

est l’indice de groupe caractérisant la propagation dans un milieu dispersif (notons que pour un milieu non-dispersif,Ng = n).

Un signal lumineux parcourt donc, dans un milieu une distance L en un temps t qui est donné par

c

L

c

L

d

dn-n

v

Lt

g

gN=

==

λλ (2.88)

Les sources utilisées ne sont pas monochromatiques, rappelons-le : elles ont une largeur spectrale λ∆ (quiest définie comme la largeur à mi-hauteur) par rapport à la longueur d’onde centrale 0λ qui fait qu’une impulsion

s’élargit lorsqu’elle se propage dans un milieu dispersif. Le délai ∆ t entre deux longueurs d’onde séparées par λ∆est

2

t 2

t t 00

∆−−

∆+=∆ λλλλ (2.89)

En termes de l’indice de groupe Ng, cet élargissement s’exprime comme

2

2

c

Lt 00

∆−−

∆+=∆ λλλλ gg NN

Pour des petites valeurs de ∆ t, ce résultat devient

0d

d

c

Lt

λλλ

λ=

∆=∆ gN

(2.90)

On peut montrer que

2

2

d

nd

d

d

λλ

λ−=gN

et que l’élargissement sera de l’ordre de

0

2

22

d

nd

c

Lt

λλλλ

λλ

=

∆=∆ (2.91)

On définit la largeur spectrale relative de la source :

0λλλλγ

=

∆=s (2.92)

41

On définit ensuite le coefficient de dispersion chromatique du matériau :

0

2

22

d

nd

λλλλγ

=

=m (2.93)

et nous obtenons ce résultat utile qui nous donne l’élargissement de l’impulsion de largeur spectrale λ∆ qui sepropage sur une distance L dans un milieu dispersif :

ms γγc

Lt =∆ (2.94)

Dans la figure 2.12 a, nous retrouvons le graphique du coefficient de dispersion matériel mγ en fonction de

la longueur d’onde ( pour le profil d’indice de la silice fondue, illustré à la figure 2.12 b). Nous remarquons que

mγ change de signe à la longueur d’onde m27,10 µλλ == , qui correspond au point d’inflexion de la courbe n (λ )

en fonction de λ ; ce point est souvent qualifié de « longueur d’onde de dispersion zéro ». Il faut comprendre quepour cette longueur d’onde, l’élargissement est nul, selon le calcul au premier ordre. D’une part, une source réelleémet une certaine largeur spectrale car elle possède toujours un spectre de fréquences. D’autre part, la dispersionmonochromatique sera minimisée si la source utilisée émet à une longueur d’onde près de 0λ , qui est différente pourchaque milieu de propagation.

FIGURE 2.12 a) : Le coefficient de dispersion 2

22

md

nd

λλγ = en fonction de la longueur d’onde

42

FIGURE 2.12 b) : Indice de réfraction de la silice en fonction de la longueur d’onde

Si on veut calculer l’effet de la dispersion chromatique dans une fibre optique, on peut utiliser le résultatprécédent

ms γγc

Lt =∆

où sγ est la largeur spectrale relative de l’impulsion générée par la source, qui peut différer de la largeur spectrale

de la source. Pour une impulsion gaussienne, l’élargissement d’impulsion t∆ prévu sera donné, selon l’exercice 2.2,par

02 T

)44,0(c

Lt mγλ

=∆

Cette dernière relation peut être transformée comme suit

( )ns)(T

m)(5km-pst

0

µλγ m=∆

où les unités de ∆ t : picosecondes,les unités de λ : microns

les unités de T0 : nanosecondes

et où la distance L a été fixée à 1 kilomètre.

Exercice 2.2

Largeur spectrale d’une impulsion

On suppose une impulsion gaussienne décrite par l’équation suivante

43

S(t)=S0

20 te α−

où

20

0)T(

2ln2=α

et T0 est la largeur totale à mi-hauteur en intensité.

Calculez le spectre de fréquences E (ω ) au moyen de la transformée de Fourier

( ) ∫+∞

∞−= dt e )(

2

1 t j - ω

πω tEE

Pour une impulsion optique S(t), le champ électrique s’écrit

( )z k - t j 00e S(t))t( ω=E

c’est-à-dire une impulsion S(t) à la fréquence de la porteuse 0ω . On suppose que le champ électromagnétique est

une onde TEM se propageant selon la direction z (avec un vecteur d’onde k0).

Cet exercice vous permettra de démontrer le lien suivant entre la largeur T0 et de la largeur spectrale

sγ de l’impulsion :

sγλ

c

44,0T0 =

Cette propriété fondamentale nous indique qu’une impulsion brève (T0 petit) a une largeur spectrale trèslarge ( λ∆ très grand ) . Une impulsion brève sera donc grandement affectée par la dispersion matériau.

2.7.2 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersifL’analyse précédente nous a montré l’importance de la dispersion sur l’élargissement d’une impulsion qui

se propage dans un milieu dispersif. Dans cette section, nous dériverons une équation intégrale qui permet depropager une impulsion quelconque dans un milieu dispersif du second ordre.

On sait qu’une onde plane uniforme qui se propage dans un milieu dispersif est caractérisée par un vecteurd’onde ( )ωβ qui s’écrit :

z -je 0) ,(z) ,( βωω EE = (2.95)

où E est la composante transverse du champ électrique à la fréquence ω . Pour un milieu diélectrique chromatique,

on sait que ( ) ( )ωωβ ωn k

c== où n varie avec la fréquence. Pour un milieu guidé, on note généralement que le

vecteur d’onde β et sa dépendance en fréquence sont obtenus après le calcul des modes.

Par exemple, on sait que pour des guides métalliques que la fonction de dispersion est de la forme

( )2/1

2

2c1

c

−=

ωωωωβ

44

où cω est la fréquence de coupure du mode.

Afin d’évaluer la propagation d’une impulsion qui contient tout un spectre de fréquences, il faut appliquer laloi de propagation (2.95) à chaque fréquence et par la suite reconstruire l’impulsion à partir du spectre desfréquences. L’outil nécessaire pour la conversion temps versus fréquence est naturellement la transformée deFourier.

La figure 2.13 illustre schématiquement le processus suivi. D’abord, l’impulsion d’entrée (z = 0) subit unepremière transformée de Fourier qui nous donne son spectre initial E(ω , 0). Chacune des fréquences du spectre estpropagée comme une onde plane dans le milieu dispersif ( )ωβ .

FIGURE 2.13 : Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif. La transformée de Fourier permet d’obtenir lapropagation E ( t, z) à partir de E (t, 0) au moyen du schéma de cette figure.

Enfin, le nouveau spectre obtenu E(ω , z) est converti en une impulsion modifiée E (t, z) au moyen de latransformée de Fourier inverse.

Ces diverses transformations s’écrivent successivement comme suit :

( ) ∫+∞

∞−= dt e )0 t,(

2

10 , t j - ω

πω EE (2.96)

( ) z )( -je 0) ,(z , ωβωω EE = (2.97)

( ) ∫+∞

∞−= ωω

πω d e )z ,(

2

1z t, t j EE (2.98)

On caractérise une impulsion optique au moyen de son enveloppe S(t) selon :

( ) [ ]z - t j 00e z) (t,Sz t, βω=E (2.99)

45

où 0ω est la fréquence de la porteuse et 0β le vecteur d’onde à cette fréquence.Après avoir introduit les équations (2.96) et(2.97) dans l’équation (2.98), on obtient la solution formelle

pour S(t, z) :

( ) ( )( )∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

−−−= 0 z j- )t(t j

0 dt d e e )0 ,(t S2

1z) (t,S 000 ω

πβωβωω (2.100)

où S(t0, 0) est la forme de l’enveloppe de l’impulsion initiale.

Nous pourrons donc déterminer l’évolution d’une impulsion dans un milieu dispersif lorsque la relation dedispersion ( )ωβ sera connue. Ce calcul, pour les guides d’ondes, sera l’objet des prochains chapitres. Nous pouvonscependant poursuivre le développement mathématique de façon générale (c’est-à-dire sans spécifier de milieuspécifique) en utilisant l’expansion de ( )ωβ en série de Taylor :

( ) ( ) ( ) ...2

220100 +−+−+=

βωωβωωβωβ (2.101)

Cette approximation revient à supposer que la largeur de bande spectrale de l’impulsion considérée estpetite, ce qui est habituellement le cas ; nous négligeons donc les termes d’ordre supérieur à deux.

L’intégrale de propagation de l’enveloppe – équation (2.100)- devient alors :

( ) ( )[ ] ( )

∫ ∫∞+

∞−

∞+

∞−

−−

−+−= 02

z j

z )t(t j-0 dt d e e )0 ,(t S

2

1z) (t,S

20

2

010 ωπ

ωωβ

ωωβ (2.102)

En utilisant la relation

2

2q

22 p 4 xqxp- e p

dxeπ=∫

∞+

∞−

+ (2.103)

où il n’y a pas de restriction sur p et q , l’équation (2.102) devient :

( )

0z 2

t- z -t j

02

dt e )0 ,(t Sz j 2

1z) (t, S 2

201

∫∞+

∞−

= ββ

βπ(2.104)

Cette équation intégrale contient toute l’information sur la déformation d’une impulsion qui se propage dansun milieu dispersif de second ordre (voir équation (2.101)). On note que le centre de l’impulsion se propage à lavitesse de groupe :

1g

1v

β= (2.105)

On définit alors une variable temporelle locale

gv

z-t=τ (2.106)

et l’équation de propagation devient

46

( )

0z 2

j

02

d e )0 ,(t Sz j 2

1z) (t, S 2

20

τβπ

βττ

∫∞+

∞−

−

= (2.107)

Cette dernière équation nous donne le changement de la forme de l’impulsion autour de son centre (τ = 0),lorsqu’elle se propage dans un milieu dispersif. En particulier, on note que le changement de la forme de l’impulsionest proportionnel à la distance de propagation z multipliée par la dérivée seconde de dispersion 2β . On note de plusque ceci est en accord avec le modèle très simplifié de la section précédente.

On note de même que le changement de signe de 2β (normale, anormale) change l’équation de propagation– équation (2.107) – en un complexe conjugué. L’effet de ce changement de signe n’affectera pas le profil d’intensitéde l’impulsion. Afin de bien visualiser la déformation d’une impulsion dans un milieu dispersif, nous considéreronsl’exemple d’une impulsion gaussienne dans la section suivante.

2.7.3 Propagation d’une impulsion gaussienneÀ titre d’exemple, nous allons considérer de plus près la propagation d’une impulsion gaussienne dans un

milieu dispersif ; pour ce faire, nous spécifierons l’enveloppe initiale S(t, 0) afin d’obtenir l’équation gouvernant lapropagation de l’enveloppe S(t, z). Soit une impulsion gaussienne donnée à z = 0 :

t j 0e 0) (t, S 0) t,( ω=E (2.108)où S(t,0) est égal à

20 t -

0 e S0) (t, S α= (2.109)

Le paramètre 0α est relié à la largeur totale à mi-hauteur de l’impulsion T0 (en intensité) par la relationsuivante :

0

20

2ln 2T

α=

En portant la valeur de S(t, 0) donnée ci-dessus dans l’équation (2.107) et en utilisant l’intégrale précédente(2.103), nous obtenons :

( )z j 21

eSz , S

20

z j 21

-

0

20

20

βατ

βατα

+=

+

(2.110)

Afin de pouvoir interpréter ce résultat, il faut tout d’abord l’exprimer en termes de ses parties imaginaires etréelles, soit :

( ) [ ]( )

+×

++=

z2arctan2

j-exp

z) 2(1

z 2 jexp

z) 2(1

-exp

z) 2(1

Sz , S

20220

22

20

220

20

4/1 220

0

βαβα

τβα

βατα

βατ

Il est important de noter que cette enveloppe S(τ , z) appartient à une onde plane de fréquence de porteuse

0ω et de vecteur d’onde 0β soit

47

( ) ( ) z -j t j 00 e e z ,Sz , βωττ =E

L’interprétation électromagnétique du résultat est donc la suivante :

1. L’amplitude de l’impulsion s’élargit toujours quelque soit le signe de 2β tout en demeurant gaussienne. Onpeut donc alors calculer la largeur totale à mi-hauteur qui est donnée par :

1/2

40

22

0T

z) 8,2(1TT(z)

+=

β(2.111)

Cet élargissement de l’impulsion est accompagné d’une diminution de l’amplitude centrale. Cependant, il y aconservation de la puissance.

2. L’effet du terme de phase parabolique (en 2τ ) doit être associé au terme de fréquence (0ω t) de l’onde. On

réalise ainsi que la fréquence change lorsqu’une impulsion se propage dans un milieu dispersif.

Si on définit une fréquence instantanée ]tt)([ ’00 ωωω += , on nomme alors le terme :

( ) ]z 2[1

z 22

20

220’

0βα

βαω+

= (2.112)

le glissement (« chirp »). Ce terme de glissement peut être positif ou négatif selon le signe de 2β (voir lesfigures 2.14 a et 2.14 b). 8

3. L’autre terme de phase est associé à une anomalie de phase qui fait que le vecteur d’onde véritable n’est pasdonné uniquement par 0β .

En conclusion, on rappelle qu’une impulsion gaussienne s’élargit en se propageant dans un milieu dispersif(normal ou anormal). Seul le signe du glissement (« chirp ») subit par l’onde peut nous indiquer que le milieu est àdispersion normale ou anormale. Il est d’usage de définir une distance z0, longueur parcourue dans un milieudispersif pour laquelle l’impulsion double sa largeur temporelle. Cette relation entre la largeur temporelle et ladistance z0 peut être obtenue directement de l’équation (2.111) :

2

20

0T

62,0zβ

≅ (2.113)

D’après cette dernière définition, on remarque que plus une impulsion est courte, plus vite (en termes delongueur de parcours) elle doublera sa longueur. On note aussi l’importance de la dérivée seconde de )( 20 ββ .

Ce résultat a été obtenu pour une impulsion gaussienne uniquement. Cependant, l’analyse numérique nousmontre qu’essentiellement les mêmes observations peuvent être faites pour une impulsion générale dont la forme estdu même type. Les figures 2.15 a et 2.15 b montrent l’évolution des impulsions gaussiennes lors de sa propagationdans un milieu dispersif.

8. Il est à noter que ces deux figures présentent les paramètres normalisés ’

000 et , ωωα qui ne correspondent pas àdes situations physiques réalistes.

48

FIGURE 2.14 a) : Impulsion avec glissement de fréquence positif (milieu à dispersion normale : les hautes

fréquences se déplaçant plus vite se trouvent au devant de l’impulsion) ( ))tt4( cose 2-t2

+

FIGURE 2.14 b) : Impulsion avec glissement de fréquence négatif (milieu à dispersion anormale : les basses

fréquences se déplaçant plus vite se trouvent au devant de l’impulsion) ( ))tt4( cose 2-t2

−

49

FIGURE 2.15 a) : Propagation d’une impulsion gaussienne en milieu dispersif pour diverses valeurs de z /z0

FIGURE 2.15 b) : Propagation d’une impulsion gaussienne en milieu dispersif, vue tridimensionnelle

50

2.7.4 Dispersion matériau et largeur de bandeEn communication optique, on spécifie la capacité du lien optique par une largeur de bande en MHz-km.

Comme nous l’avons déjà mentionné, l’information dans un tel système de communication est limitée par la largeurde bande minimale des impulsions qui sont transmises les unes à côtés des autres tout en pouvant être encoredistinguées les unes des autres. Si on ignore pour l’instant les problèmes techniques, on peut supposer que la sourceémet des impulsions très brèves ; donc, à priori, la capacité du lien optique est extrêmement grande. Cependant,comme nous venons de le voir (équation (2.94)), le phénomène de dispersion matériau (chromatique) fait que cetteimpulsion aura une largeur typique de

mγγτ c

Ls= (2.114)

après avoir parcouru une distance L dans un milieu de coefficient de dispersion mγ , et ce pour une impulsion

générée par une source de largeur spectrale sγ .

La largeur de bande du lien optique est donnée par l’inverse de cette largeur :

m

Bγγ s L

c= (2.115)

Lorsque L est égal à un kilomètre, nous avons :

km-MHz 0,3

s m

Bγγ

=

Pour une source LED, la largeur spectrale est typiquement de =∆λ 30 nm à λ = 850 nm ( ≈sγ 0,035) et le

coefficient de dispersion matériau est d’environ mγ = 0,021, ce qui donne une largeur de bande de B = 400 MHz-km.

Il est cependant plus juste de calculer la largeur de bande du lien optique au moyen de la largeur desimpulsions (T0) utilisées à l’entrée. En effet, une source de largeur spectrale λ∆ permet de générer une impulsionlumineuse d’une largeur T0. Conséquemment, si nous utilisons des impulsions de largeur To, la largeur de bande serade 1 / T0. Cependant, comme nous l’avons vu à l’exercice 2.4, une impulsion gaussienne de largeur T0 s’élargit dansun milieu dispersif, selon

1/2 4

0

m0

T

T1TT(z)

+= (2.116)

La largeur de bande du lien optique sera donc donnée par l’inverse de cette largeur des impulsions lorsquela distance z sera d’un kilomètre :

km) (1 T

1=B

Exercice 2.3

Le paramètre de dispersion

L’équation (2.110) nous donne la loi de propagation pour une impulsion gaussienne dans un milieu de

51

dispersif caractérisé par la dérivée seconde

22

2

d

d βω

β =

à la fréquence de la porteuse 0ω . Il est utile ici d’introduire un diamètre sans dimension ( ) 20 c βωγ = pour

caractériser la dispersion du système.

Pour un milieu chromatique n( )λ , on caractérise la dispersion par le paramètre suivant :

0

2

22

d

nd

λλλλγ

=

=m

où 0λ est la longueur d’onde de la porteuse. Montrez que dans ce cas mγγ = . Ensuite, calculez la distance type

z0 (2.113) pour laquelle l’impulsion double sa largeur en fonction du paramètre de la dispersion matériau mγ .

Pour une diode LED émettant à 0,85 mµ , donnez quelques exemples de cette longueur z0 pour des impulsions

allant de 10 ps à 100 ns.

Exercice 2.4

La loi de propagation pour la largeur d’une impulsion

Montrez que l’on peut écrire la loi de propagation T(z) d’une impulsion gaussienne pour une largeurinitiale T0 (voir équation (2.111)) de la manière suivante :

1/2 4

0

m0

T

T1TT(z)

+=

où1/2

2mc

z 44,0T

= λγ

Si on trace T en fonction de T0, on obtient une courbe avec un minimum à T0 = Tm. Vérifiez cetteaffirmation.

52

Loi de propagation pour une impulsion gaussienne

On note que cette impulsion de largeur T0 = Tm est celle qui s’élargira le moins rapidement pour unedistance donnée. Calculer la largeur d’une telle impulsion pour une DEL opérant à m 8,0 µλ = et ce pour une

distance de 1 km, 10 km , 100 km.

2.7.5 Propagation d’une impulsion dans un milieu dispersif et nonlinéaire

Nous venons de montrer qu’une impulsion optique qui se propage dans un milieu dispersif subit toujours unélargissement. Un autre effet optique important, l’effet Kerr optique, modifie aussi la forme de l’impulsionlumineuse. Cet effet non linéaire se caractérise par la relation de constitution suivante

εεε εεrrrr 2

2 +=D (2.117)

En optique, on préfère écrire cette relation sous la forme d’un indice de réfraction non linéaire. Cependant,

l’indice de réfraction ne peut suivre les hautes fréquences contenues dans le terme 2ε

r

. On remplace donc ce

terme par sa valeur moyenne calculée sur la partie la plus facile, laquelle est proportionnelle au carré de la valeur de

l’impulsion de l’enveloppe 2

S .

Pour une impulsion optique à la fréquence de la porteuse 0ω et une enveloppe S(t), la relation devient :

( ) 22NL S(t) nn n += ω (2.118)

On a donc pour un milieu non linéaire dispersif, un indice qui s’écrit comme une somme d’une partie

linéaire dispersive n( )ω et d’un terme non linéaire qui dépend de l’intensité du champ électrique . S(t) 2

L’indice

non linéaire n2 caractérise le milieu d’indice n0 à la fréquence de la porteuse. Aux longueurs d’ondes optiques,l’indice non linéaire du verre est d’environ n2 = 2,3 X 10-22 (m2 / v2). Bien que cette valeur soit très petite, elle peut

conduire à des modifications importantes de la forme de l’impulsion lorsque le champ local 2

S(t) est très intense.

53

Par exemple, une fibre optique monomode, qui a un diamètre d’environ 10 mµ , requiert seulement

quelques milliwatts pour que le terme non linéaire devienne important. Afin d’étudier le comportement d’uneimpulsion optique dans un tel milieu non linéaire, il nous faut dériver une équation de propagation dans ce milieu. Laprésence du terme non linéaire rend impossible l’obtention d’un propagateur intégral tel qu’obtenu pour le milieudispersif linéaire (2.107). Cependant, il est possible de dériver une équation différentielle pour cette situation.

En particulier, pour le cas d’un milieu dispersif linéaire, on montre par différentiation directe (à faire enexercice), que le propagateur intégral (2.107) correspond à l’équation différentielle suivante pour l’enveloppe

( )z , S τ :

0z

Sj

S

2 2

22 =

∂∂+

∂∂τ

β(2.119)

On peut montrer (voir annexe 2) que pour un n2 petit que cette équation différentielle devient pour un milieudispersif et non linéaire :

0S S nz

Sj

S

2

2

022

22 =−

∂∂+

∂∂ βτ

β(2.120)

En optique, cette équation non linéaire est connue sous le nom d’équation de Schrödinger non linéaire. Eneffet, cette équation pour le cas linéaire (n2 = 0) est la même que l’équation de Schrödinger. Cependant, soninterprétation est ici tout à fait différente.

La propagation d’une impulsion optique dans un milieu dispersif non linéaire est donc régi par cetteéquation différentielle que l’on résout habituellement par des méthodes numériques.

En particulier, l’étude numérique montre que pour un milieu focalisant (n2 > 0) tel que le verre, uneimpulsion optique s’élargit toujours lorsque la dispersion est normale (2β > 0). Cependant, lorsque la dispersion est

anormale ( 2β < 0 , e.g. verre pour λ > 1,28 mµ ) et que l’intensité de l’impulsion est supérieure à une certainelimite, on observe une compression de l’impulsion.

Ces observations nous amènent à réaliser que la non linéarité peut éventuellement compenser la dispersion.Ceci nous amène à chercher une forme temporelle pour l’enveloppe du type onde solitaire.

( ) ( )ττ Fez , S z jΓ= (2.121)

L’équation différentielle pour F devient alors

0F F nF d

Sd

22

022

22 =−Γ− β

τβ

(2.122)

Cette équation peut avoir comme solution une sécante hyperbolique

( ) ( )τατ sech SF 1= (2.123)à la condition que

2

22 αβ

=Γ (2.124)

et que

20

222

1 n S

βαβ

−= (2.125)

54

On note que ceci n’est possible que si 2β et n2 sont de signe opposé.Par exemple, pour le verre n2 est positif et conséquemment, cette solution ne sera possible que dans la

région anormale ( 2β < 0) soit pour des longueurs d’ondes supérieures à 1,28 mµ . Pour obtenir cette solution, il faut

que l’intensité pointe 2

1S soit précisément égale à la valeur donnée par l’équation (2.125). Cette intensité pointe

est d’autant plus grande que la largeur de l’impulsion est petite (voir exercice 2.6). Cette onde solitaire est en fait unsoliton optique (suite à certaines propriétés mathématiques) et est générée maintenant dans les fibres optiques. Lesoliton optique possède donc la merveilleuse propriété de se propager dans un milieu dispersif sans changer saforme. On anticipe alors l’importance de cette forme d’impulsion pour les communications optiques sur de longuesdistances.

Il est d’usage d’introduire dans l’étude des effets non linéaires dans une fibre optique, une notationnormalisée afin de faciliter l’analyse. On définit un temps normalisé

T t

ττα == (2.126)

c’est-à-dire que cette variable temporelle sans dimension est égale au temps local τ divisé par la largeur type del’impulsion T. On définit aussi une distance de propagation normalisée

22T

zx β= (2.127)

Enfin, on normalise l’enveloppe de l’impulsion S avec l’amplitude S1 de la solution soliton.

( )1S

z ,S x)(t,V

τ= (2.128)

où S1 est donné à l’équation (2.125).Dans cette nouvelle notation l’équation de l’enveloppe normalisée devient

0V V x

V j

t

V

2

1 2

2

2

=+∂∂+

∂∂

(2.129)

La solution fondamentale (N=1) s’écrit alors,

(t)sech e )1( x)(t,V x /2j= (2.130)

qui est une enveloppe d’amplitude unitaire et de largeur type unitaire. Ici, on a mentionné le soliton fondamental(N=1) parce qu’il existe d’autres formes plus complexes de solitons lorsque l’amplitude initiale est un entier : 2, 3,4,…

Ces solutions, pour une dispersion anormale, sont illustrées sur les figures suivantes où la forme del’impulsion initiale est donnée par V(t, 0) = N sech ( t). Il est à noter que ces solutions sont périodiques selon l’axedes x et de période π /2 pour des valeurs entières de N (N= 2, 3,…), comme l’illustrent les figures suivantes.

55

FIGURE 2.16 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 0,5 , selon la Méthode de Propagation de Faisceau(MPF). Notez que l’impulsion se disperse pour x �∞ .

FIGURE 2.17 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 1,0. L’impulsion ne subit aucune dispersion lors de sapropagation. C’est le SOLITON FONDAMENTAL.

56

FIGURE 2.18 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 1,5. L’impulsion se comprime et se disperse après unedistance x > π /2.

FIGURE 2.19 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 2,0. L’impulsion se comprime jusqu’à un maximum àπ /4, se disperse par la suite et revient à sa forme originale à π /2 : on a alors un SOLITON PÉRIODIQUE.

57

FIGURE 2.20 : Propagation d’impulsion de coefficient N = 3,0. L’impulsion se comprime deux fois sur un cycle deπ /2 : on a alors un SOLITON PÉRIODIQUE.

Exercice 2.5

Le coefficient de dispersion D de la vitesse de groupe

L’effet de dispersion est contenu dans le terme de la dérivée seconde de la relation de dispersion (2β ). La

valeur de 2β n’est habituellement pas donnée dans les tables. C’est pour cette raison que nous avons introduit le

paramètre de dispersion 20 c βωγ = (voir exercice 2.3).

Pour une fibre optique, on utilise aussi un autre coefficient de dispersion D de la vitesse de groupe qui estdéfini par

=

gv

1

d

dD

λ

Les unités de D sont généralement ps / nm-km.

Établissez la relation entre les coefficients D et γ . Complétez la table suivante pour les différentes

valeurs de D. Considérez que la longueur d’onde est de m 3,1 µλ = .

58

D (ps / nm-km) γ

14-2-3

Exercice 2.6

Calcul de SOLITON

Complétez le tableau suivant pour un soliton se propageant dans une fibre optique (diamètre* = 9 mµ ) à

une longueur d’onde de m 3,1 µλ = en posant un coefficient de dispersion de groupe de D = 15 ps / nm-km.

Largeur del’impulsion

Puissance du soliton(Watts)

Période du soliton(m ou km)

0,5 ps5 ps50 ps500 ps

* Supposez que c’est un diamètre effectif sur lequel la distribution transverse est uniforme.

59

3 Modes guidés d’une structure diélectrique planeL’analyse des guides diélectriques symétriques à trois couches (« slab waveguide ») a l’avantage de

présenter des solutions mathématiques simples et faciles à comprendre. Ces guides (voir figure 3.1) sont nonseulement des outils pédagogiques importants mais sont aussi des structures essentielles pour la technologie del’optique intégrée.

L’étude d’un diélectrique est un problème aux conditions limites. En effet, pour obtenir les expressionscomplètes des modes de propagation, on résout l’équation d’onde sujette à des conditions frontières. L’une de cesconditions fixe l’amplitude relative des champs à l’intérieur et à l’extérieur du guide; l’autre résulte en une équationaux valeurs propres permettant le calcul de la constante de propagation du mode guidé.

Pour simplifier notre analyse, nous allons séparer les modes guidés en mode TE et TM pairs et impairs.Après avoir trouvé les expressions des constantes de propagation des modes, nous ferons un parallèle entre modes etondes planes. Nous verrons que la coupure d’un mode correspond à la perte de réflexion totale interne des ondesplanes se propageant dans le guide. Ceci nous amènera à introduire un modèle géométrico-ondulatoire de lapropagation des modes. Nous discuterons ensuite de la relation de dispersion des modes ainsi que des propriétésspatiales de ces modes. Pour terminer ce chapitre, nous considérerons deux guides plans identiques séparés par unedistance finie. Cet exercice nous permettra d’introduire clairement les équations fort importantes pour lesapplications des modes couplés.

3.1 Diélectrique symétrique à trois couches :analyse globaleUn guide à trois couches est un guide bidimensionnel (selon les directions x et z) et infiniment étendu dans

la direction des y (voir figure 3.1). Afin de simplifier notre première analyse, nous supposerons que la couche dusubstrat possède le même indice diélectrique n2 que la couche de la gaine. Le problème consiste donc à trouver lesmodes de propagation possibles dans un guide donné où les valeurs de n1, n2, k0 et a sont connues. Cela revient à direqu’il faut trouver chacune des composantes des champs électriques et magnétiques et évaluer leurs constantes depropagation dans cette structure. Les étapes que nous suivrons afin de résoudre ce problème de conditions auxlimites du guide plan sont résumées au tableau 3.1.

FIGURE 3.1 : Géométrie d’un guide diélectrique à trois couches

60

1. Modèle mathématique du guide plan à saut d’indice utilisant l’équation d’onde et de Maxwell encoordonnées cartésiennes.

2. Identification des deux familles de mode TE et TM.

3. Sélection de la forme appropriée de la solution de l’équation d’onde dans les régions d’indice n1 et n2 àpartir des considérations physiques de guidage.

4. Applications des conditions aux limites à l’interface n1 / n2 et obtention de l’équation caractéristique etdes solutions modales correspondantes.

Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure.

TABLEAU 3.1 : Analyse du guide diélectrique plan – étapes suivies

3.1.1 Modèle mathématique (étape 1)La solution d’un guide d’ondes consiste à chercher des solutions des équations de Maxwell qui satisfont les

conditions aux limites et qui propagent l’énergie selon une direction définie. Nous savons déjà que les équations deMaxwell consistent en fait en 6 équations différentielles scalaires couplées (équation (2.26)). On anticipe que lasolution de ce problème peut être très lourde. Cependant, une analyse mathématique des équations de Maxwell quitient compte de la géométrie du problème physique permet de simplifier passablement l’analyse et la compréhensiondu guidage des modes. Les guides intéressants pour les applications possèdent toujours une symétrie élémentairereliée d’abord au processus de fabrication (e.g. plan, cylindrique…). Ici nous considérerons un guide plan infiniselon la direction y et qui contient l’énergie dans le plan x tout en la propageant selon la direction +z.

Afin de bien identifier ces conditions, nous écrivons le champ électrique et magnétique de la façon suivante.

{ } t jz -j0 ex)e(E Re ωβrv

= (3.1)

{ } t jz -j0 ex)e(H Re ωβrv

=H (3.2)

C’est-à-dire que nous cherchons une solution monochromatique de fréquence ω qui propage l’énergieselon la direction +z avec une constante de propagation β 9. De plus, cette onde aura une distribution d’amplitude

selon l’axe x, nous cherchons avant tout les solutions dont l’amplitude est importante dans la région –a < x < a.Enfin, nous supposerons que cette distribution d’amplitude sera uniforme selon l’axe y, c’est-à-dire que les champs

0 0 et HErr

ne sont pas fonction de la position y.

En substituant cette forme pour les champs électriques et magnétiques, les équations de Maxwell –

équations (2.24) et (2.25)- s’écrivent, pour chacune des composantes scalaires 0 0 et HErr

:

ox

2

0

00y n

k EH

ηβ = (3.3a)

0y

2

0

00z0

x nk

j dx

d j- E

HH

ηβ =− (3.3b)

9. Ceci est vrai si β est un nombre réel.

61

0z

2

0

00y

nk

j dx

dE

H

η= (3.3c)

0x00

0y k - HE ηβ = (3.4a)

0y00

0z0

x k jdx

d j H

EE ηβ =+ (3.4b)

0z00

0y

k jdx

d H

Eη−= (3.4c)

Notez que nous avons encore utilisé k0 au lieu de la fréquence ω de la source ; nous avons aussi employé 0η pour

désigner l’impédance du vide au lieu d’utiliser 0et µε o en vue de se conformer aux usages de l’optique.

Il est possible d’écrire toutes les composantes transverses des champs (Ex, Ey, Hx, Hy) en fonction descomposantes longitudinales Ez et Hz.

Par exemple, nous obtenons l’expression de Ex en fonction de Ez et Hz en substituant (3.4b) dans (3.3a).Ainsi, on montre que :

dx

d j- )k(n

0z0

x22

02 E

E ββ =− (3.5)

Il est utile de définir une nouvelle constante γ de la façon suivante

220

22 - kn βγ ≡ (3.6)

afin d’alléger la notation puisque cette constante, qui est en fait la différence entre le carré de la constante depropagation d’une onde plane dans le milieu d’indice n (k = nk0) et le carré de la constante de l’onde guidée β ,

interviendra tout au long des calculs des modes de structures planaires ou cylindriques. On nommera cette constante,la constante de propagation transverse.

Pour ces combinaisons linéaires entre les diverses composantes, on obtient les relations suivantes :

dx

dj-

0z

20x

EE β

γ= (3.7a)

0x

o20y0

kn EH

βη = (3.7b)

c’est-à-dire que les composantes Ex et Hy ne dépendent que du champ Ez. De même on montre que

dx

d

k j

0z

2000

yH

Eγ

η+= (3.8a)

0y

0

0x0 k

- EHβη = (3.8b)

62

où on note maintenant que les composantes Ey et Hx ne sont fonction que du champ Hz.

D’autre part, on sait (équations (2.26)) que chacune des composantes des champs obéit à l’équation d’ondescalaire. Ici, on choisira naturellement d’écrire l’équation d’onde seulement pour les composantes longitudinales deschamps soit :

0dx

d 0z

22

oz

2

=+ EE γ (3.9a)

0dx

d 0z

22

oz

2

=+ HH

γ (3.9b)

La solution des modes du guide est maintenant ramenée à la solution de ces équations d’onde (3.9) quipermettront, par la suite, le calcul des composantes transverses (3.7) et (3.8) dans les deux régions d’indice n1 et n2.

3.1.2 Modes TE et TM (étape 2)La solution de l’équation d’onde (3.9a) amènera pour le champ Ez deux constantes arbitraires d’intégration

l’une reliée à l’amplitude dans la région 1 et l’autre à l’amplitude du champ dans la région 2. De même, la solutiondu champ Hz donnera deux autres constantes. L’application des conditions aux limites sur les champs tangentiels àl’interface n1/n2 reliera les 4 contantes (Ey, Hy et Ez, Hz) sous la forme de 4 équations. Ce système de 4 équations, 4inconnus pourrait être solutionné globalement. Cependant, l’analyse des équations que nous venons de dériver (3.7)et (3.8) nous indique que l’application des conditions aux limites sur Hy et Ez reliera les constantes d’intégration duchamp Ez des régions 1 et 2 alors qu’indépendamment l’application des conditions aux limites sur Ey et Hz reliera lesdeux constantes du champ Hz. Il s’ensuit que le système de 4 équations, 4 inconnus sera formé de deux groupes de 2équations, 2 inconnus complètement indépendants. Il est d’usage d’étudier indépendamment ces deux groupes ensupposant d’abord que les constantes du champ Ez sont nulles, i.e. que le champ Ez ≡ 0.

On obtient alors l’ensemble des champs indiqués au tableau 3.2.

TE

dx

dk j

0

0

0z

2o00

y

0x

0z

HE

E

E

γη

=

=

≡

0

dx

dj

3.9b desolution :

0y

0z

20x

oz

=

−=

H

HH

H

γβ

où 220

22 kn −=γ

N.B. : n = n1 dans le coeur et n = n2 dans la gaine

TABLEAU3.2 :ComposantesdeschampspourlemodeTE

Ce groupe correspond à la famille des modes que l’on qualifie TE puisque la seule composante du champélectrique non nulle se situe dans le plan transverse (Ey). L’autre groupe s’obtient en supposant que le champ axialHz ≡ 0. On a alors la famille des modes TM, puisque le champ magnétique a seulement une composante transverse.Le tableau 3.3 nous indique les diverses composantes des modes TM.

63

TM

0

dx

dj

3.9a desolution :

0y

0z

20x

oz

=

−=

E

EE

E

γβ

dx

dkn j

0

0

0z

20

o2

0y

0x

0z

EH

H

H

γη−=

=

≡

où 220

22 kn −=γ

N.B. : n = n1 dans le coeur et n = n2 dans la gaine

TABLEAU 3.3 : Composantes des champs pour le mode TM

Il suffit maintenant de trouver la solution de l’équation d’onde (3.9), pour le champ longitudinal dans lesdeux milieux pour ensuite au moyen des deux tableaux 3.2 et 3.3, calculer explicitement les diverses composantesdes modes TE et TM. Cependant, nous savons déjà que l’équation d’onde possède plusieurs types de solutions (e.g.onde progressive, stationnaire, évanescence…). Il est important de bien choisir le type de solution pour rapidementidentifier les solutions guidées.

3.1.3 Sélection de la forme appropriée de la solution (étape 3)Nous cherchons maintenant une forme mathématique qui est solution de l’équation d’onde modifiée

(équation 3.9) qui sera caractéristique d’une onde qui se propage dans le centre d’indice n1 de la structure du guide etqui y est contenue de préférence. Notre connaissance des équations différentielles ainsi que les notions élémentairesde l’électromagnétisme nous amènent à choisir pour le milieu d’indice n2 des solutions mathématiques de forme e-w

| x |, c’est-à-dire des champs qui décroissent exponentiellement en s’éloignant du centre (x � �� �� ��� 6RXV� FHV

conditions particulières, on aura une composante E 0z

pour les modes TM ou une composante H 0z pour les modes TE

de la forme :

0z

x w-

0z

cteA eA

H

E

== (3.10)

Pour que cette forme soit solution des équations d’onde modifiées (équations 3.9), il faut que

22 - w γ≡ (n=n2)

dans le milieu d’indice n2, ce qui revient à dire que

20

22

22 kn w −≡ β (3.11)

Dans le coeur de la structure (indice n1), les solutions de l’équation d’onde peuvent être des exponentiellescomplexes (ondes progressives). Cependant, nous anticipons que ces ondes progressives seront réfléchies àl’interface n1/n2 et changeront de ce fait de direction (complexe conjugué), pour être par la suite réfléchie uneseconde fois à l’autre interface du guide. La symétrie de structure laisse entrevoir que, selon la direction de l’axe x,ces ondes formeront un patron d’ondes stationnaires ; nous avons donc tout intérêt à choisir pour solution, dans lemilieu n1, des fonctions trigonométriques (sin ux ou cos ux) afin de simplifier au maximum notre analyse. Nous

écrivons donc, pour le milieu n1, les composantes E 0z et H 0

z de la façon suivante :

64

0z

0z

(ux)sin C cos(ux) B

H

E

+= (3.12)

Pour que cette forme mathématique soit solution des équations d’onde modifiées (3.9), il faut que

22 u γ≡ (n=n1)

c’est-à-dire que

220

21

2 knu β−= (3.13)

En résumé, nous avons choisi une forme mathématique d’onde évanescente dans le milieu n2 et une formed’onde stationnaire selon la direction de l’axe x dans le milieu n1 afin de pouvoir discuter simplement des modesguidés dans le coeur de cette structure planaire. La suite de notre étude nous indiquera si ce choix est judicieux ; s’ilnous conduit à trouver des solutions réelles pour la constante de propagation guidée β , nous avons vu juste! Nous

avons introduit deux nouveaux paramètres w (3.11) et u (3.13) afin d’éviter une confusion de notation avec leparamètre γ du milieu 1 et 2. Cependant il faut bien réaliser ici que seule la constante de propagation β est

l’inconnu à déterminer et que u et w sont des paramètres intermédiaires qui cachent cette constante de propagation.

3.1.4 Calcul du mode TE pair (étape 4)Dans cette section, la constante de propagation β sera déterminée en appliquant les conditions aux limites

imposées par la structure guidante aux diverses composantes des champs électriques et magnétiques (voir tableaux3.2 et 3.3). Il nous faut maintenant calculer la constante de propagation β en respectant les conditions aux limites à

l’interface n1/n2. Nous savons que ces conditions exigent la continuité des composantes tangentielles (dans notre cas,ce sont les composantes en z et en y) des champs électriques et magnétiques.

On étudiera de façon indépendante les modes TE et TM car les constantes de propagation sont différentespour chacun de ces modes. De plus, le choix du champ axial en cos(ux) ou sin(ux) conduit à des solutions différentespour β ; les modes pairs et impairs seront donc considérés séparément lors de l’étude des modes TE ou TM. Notez

bien qu’il est possible de faire cette analyse sans poser à priori cette décomposition : cependant, elle sera alors pluslongue à compléter et elle nous conduira de toute façon à identifier ces quatre familles de modes ayant des constantesde propagation différentes.

Pour le mode TE pair, on choisit H 0z = C sin ux et les composantes du mode se calculent en utilisant les

composantes données au tableau 3.2. Dans le coeur où n = n1, on obtient :

Coeur

TE : pair

(ux) cos u

Ck j

0

0

o00y

0x

0z

η=

=

≡

E

E

E

0

(ux) cos u

C j

sin(ux) C

0y

0x

oz

=

−=

=

H

H

H

β

où 220

21

2 knu −=

65

TABLEAU 3.4 : Composantes des champs pour le mode TE pair dans le coeurNotez que ce mode TE est qualifié de pair car la seule composante non-nulle de champ électrique (Ey) est unefonction paire (cos(ux)).

Dans la gaine de la structure où n = n2, on obtient au moyen du tableau (3.2) :

Gaine

TE : pair

xw-o00y

0x

0z

eA w

k j

0

0

η=

=

≡

E

E

E

0

eA w

j

eA

0y

xw-0x

x-woz

=

−=

=

H

H

H

β

où 20

22

22 kn-w =

TABLEAU 3.5 : Composante des champs pour le mode TE pair dans la gaine

On peut maintenant appliquer les conditions aux limites sur les composantes tangentielles des champs(étape 4) aux interfaces x = ± a ; les composantes zH et ε y doivent alors être continues à l’interface. On a donc :

{ }z) - tj(wa-z) - t ( j eAe e (ua)sin C Re βωβω = (3.14a)

{ }z) - tj(wa-00z) - t ( j00 e eA w

kj e (ua) cos C

u

kj Re βωβω ηη

= (3.14b)

Ces équations de continuité doivent être respectées en tout temps et en tous points de l’axe des z. Nousconstatons aussi que la fréquence ω dans les deux milieux doit être la même, comme nous l’avions supposé dès ledépart. De même, la constante de propagation β doit être identique dans les deux milieux, comme nous l’avions

anticipé. Les deux équations de continuité se réduisent donc à :

0eA - (ua)sin C -wa = (3.15a)

0eA )w

u( - (ua) cos C wa- = (3.15b)

Nous avons donc un système à deux équations homogènes possédant deux inconnues, les constantes A et C.Pour trouver une solution non-triviale à ce système, nous devons tout d’abord exiger que son déterminant soit nul.Cette condition nous amène à l’équation transcendante (étape 4) :

E.C.tan (ua) = (

u

w)

(3.16)

Ceci est l’équation caractéristique du mode TE pair. Cette équation permet de calculer la constante ( en fait,les constantes) de propagation β en termes des paramètres de la structure guidante (n1, n2 et a) et de la fréquence de

la source (k0). Notez aussi que la continuité à x = -a conduit à la même équation caractéristique.

Afin de compléter la solution du système à deux équations, on exprime ensuite la constante A en fonctionde l’autre constante, C. Cette dernière constante fixe l’amplitude maximale de la composante Ey au centre de la

66

structure (c’est-à-dire à x = 0). Cependant, il est plus souvent utile de déterminer la constante C en spécifiant lapuissance totale transportée par la structure.

La puissance transportée est donnée par l’intégrale du vecteur Poynting sur la surface du guide. Le vecteurde Poynting moyen est

}{ * X Re 2

1 S HE

rr

= (3.17)

Il sera donné pour le mode TE par :

}{ }{ *xyz

*zyx Re a

2

1 - Re a

2

1 S H E HE

rr

=

On considère ici que le mode se propage (au-dessous de certaines fréquences de coupure qu’on étudiera à la

section suivante) c’est-à-dire que la constante de propagation β est réelle. On montre alors que le terme Ey H *z est

un imaginaire pur, la partie réelle de ce terme étant nulle, on conclut que le vecteur de Poynting moyen estuniquement selon la direction z. Il est donné par :

2y

00z

k

2

1S E

ηβ= (3.18)

La puissance transportée P sera égale à

dxdy k

2

1P

2y

00∫ ∫= E

ηβ

Puisque la distribution du champ Ey ne dépend que de la variable x, l’intégrale sur la direction y seraévaluée de –b à +b (2b est la largeur du guide), d’où nous trouvons :

dx k

b P

2y

00∫= E

ηβ

(3.19)

La puissance est donc transportée par le guide selon la direction +z tel que nous l’avions exigé au départ denotre analyse. Le fait que la puissance moyenne selon x soit nulle indique la présence d’une onde stationnaire quientraîne que la puissance se dirige selon +x sur la moitié du cycle et selon –x sur l’autre moitié.

Le calcul de la puissance transportée dans le coeur (n = n1) du guide planaire nous donne :

+= (2ua)sin

2

1 ua

u

C bkP

3

2

01 0ηβ (3.20)

et celui de la puissance transportée dans le milieu 2 ( dans les régions x >a et x <-a) :

2wa-3

2

002 ew

A b k P ηβ=

En utilisant la relation de continuité (équation (3.15a)) qui relie les constantes A et C, on écrit cette dernièreéquation sous la forme :

67

223

002 C )(sin

w

b k P ua

ηβ= (3.21)

On peut aussi calculer la puissance totale PT = P1 + P2 transportée dans la structure et obtenir, en utilisantl’équation caractéristique (3.16) que

][ (ua) cotg (ua) u

C b k P

3

200

T +=ηβ

(3.22)

On note que l’amplitude maximale du champ EM est donnée ( voir tableau (3.4)) par la relation

C u

k 0o

Mη

=E

ce qui nous permet d’écrire que :

+=

(ua)

(ua) cotg1

k

(ab) P 2

M00

T Eηβ

(3.23)

Il est aussi très utile de calculer le rapport de la puissance contenue dans le coeur à la puissance totaletransportée :

Γ =21

1

PP

P

+

Pour le mode TE pair, ce rapport devient :

+

+=Γcotg(ua) (ua)

(ua) cos (ua)sin ua)((3.24)

Pour terminer cette section, nous allons écrire les équations des modes TE pair en termes de l’amplitudemaximale du champ électrique en définissant

u

k C j 0o

Mη

=E (3.25)

Les diverses composantes des champs s’écrivent alors pour le coeur du guide comme :

Coeur

TE : pair

0

0

x

z

=

≡

εε

z)- t( cos (ux) cos M βωε Ey =

)2

-z- t ( cos (ux)sin k

uM

00

πβωη

EH z =

)-z- t ( cos (ux) cos k

M

00

πβωη

βEH x =

0y =H

où 220

21

2 knu −=

68

TABLEAU 3.6 : Diverses composantes des champs dans le coeur du guide pour le mode TE pairPour la gaine, nous avons :

Gaine

TE : pair

0

0

x

z

=

≡

εε

z)- t( cos e (ua) cos a)x-w(My βωε −= E

)2

-z- t ( cos e (ua)sin k

u )ax( w-M

00z

πβωη

−= EH

-z- t ( cos e (ua) cos k

)ax( w-M

00x πβω

ηβ −= EH

0y =H

où 20

22

22 kn-w =

TABLEAU 3.7 : Diverses composantes des champs dans la gaine du guide pour le mode TE pair

Cette forme de la solution modale indique clairement la continuité des champs ε y et zH ainsi que lesdifférences de phases des champs. Les figures 3.2 et 3.3 nous montrent la distribution transverse du champ électriquepour les deux premiers modes TE0 et TE1. Notez la continuité de ces solutions à l’interface ainsi que la continuité desdérivés de ces fonctions.

FIGURE 3.2 : Champ Ey du mode TE0 dans un guide à trois couches

69

FIGURE 3.3 : Champ Ey du mode TE1 dans un guide à trois couches

Finalement, rappelons que la constante de propagation β des divers modes est calculée en trouvant toutes

les solutions possibles de l’équation caractéristique (3.16) ; on peut réécrire cette dernière équation en fonction deβ , des paramètres du milieu et de la source de la façon suivante :

E.C.2

1

220

21

20

22

222

021

kn

kn kn atan

−

−=

−

ββ

β

On note alors que la seule inconnu dans cette relation est bien la constante de propagation β . L’analyse de

cette équation transcendante sera faite à la prochaine section.

Le calcul des modes TE impairs ainsi que celui des modes TM pairs et impairs s’effectue de façon identiqueet conduit aux équations caractéristiques suivantes :

tan (ua) = u

w TE : PAIR

tan (ua) = - w

u TE : IMPAIR

tan (ua) = u

w

n

n2

2

1

TM : PAIR

E.C.

tan (ua) = -w

u

n

n2

1

2

TM : IMPAIR

TABLEAU 3.8 : Équations caractéristiques pour les modes TE et TM (pairs et impairs)

70

Le calcul des diverses composantes de ces structures modales est laissé en exercice ; il en va de même pourle calcul du rapport de la puissance transportée dans le coeur par rapport à la puissance transportée selon l’axe +z.Notez que le mode TM pair ou impair correspond à la parité de l’unique champ magnétique non-nul (Hy).

3.1.5 Analyse des modes obtenus et de leurs conditions de coupure(étape 5)

Nous avons vu qu’il existe des formes mathématiques pour les solutions des équations de Maxwell qui satisfont lesconditions aux limites du guide planaire et qui peuvent transporter la puissance selon un axe privilégié (axe +z). Cessolutions ont une structure d’onde TE ou TM paire et impaire. La possibilité que ces solutions puissent être excitéesdans un tel guide dépend si on peut trouver une constante de propagation β réelle, en considérant les paramètresimposés par le guide et par la fréquence de la source excitatrice. Il nous faut donc maintenant résoudre les équationscaractéristiques du tableau 3.8 ; ce type d’équations transcendantes se résout par une méthode graphique (méthodeque l’on applique efficacement en utilisant un ordinateur…).

On définit tout d’abord, en considérant un graphique dont les axes sont X et Y, les variables suivantes :

X=(ua) (3.26)Y=(wa)

Les deux équations caractéristiques des modes TE deviennent alors :

Y=XtanX TE :PAIR (3.27)Y=-XcotX TE :IMPAIR

Les équations (3.27) sont tracées à la figure 3.4.

FIGURE 3.4 : Graphique des équations caractéristiques pour le mode TE d’un guide diélectrique symétrique à troiscouches.

71

On remarque ensuite que les variables X et Y sont reliées aux paramètres n1, n2 et a du guide et à lafréquence de la source via k0 par la relation :

X2+Y2=(n 21 -n 2

022 k) a2

On définit alors une fréquence normalisée V

22

21 nn −= akV o (3.28)

et l’on écrit que

X2+Y2=V2 (3.29)

Les variables X et Y sont donc reliées sous forme d’un cercle de rayon V tel que tracé à la figure 3.4. Lessolutions des équations caractéristiques se trouvent donc aux intersections de ce cercle et des courbes X tan X et –X cotan X.

Ces intersections nous donnent une valeur pour (ua) qui nous permet d’évaluer la constante β au moyen de

220

21

2 ukn −=β (3.30)

Pour des valeurs réelles de X et Y, il existe toujours au moins une intersection entre le cercle de rayon V etles courbes tangentes. On conclut donc de ce fait qu’il y a toujours au moins un mode guidé (c’est-à-dire que pour cemode, la fréquence de coupure est nulle). Avec l’augmentation du rayon V apparaît de nouvelles intersections, doncde nouveaux modes, que l’on ordonne selon leur apparition. De plus, les intersections alternent entre les modes pairs(m = 0, 2, 4,…) et les modes impairs (m = 1, 3, 5,…).

Comme nous venons de le mentionner, le nombre de modes se propageant dans un guide est proportionnel àla fréquence normalisée V. Pour

V=k0a22

21 nn − <

2

π

il n’y a qu’un seul mode de propagation, soit le mode TE0, puisque le cercle de rayon V n’intercepte que la premièrebranche de la courbe X tan X (voir figure 3.4). Ceci nous permet d’énoncer un résultat très important soit l’absencede fréquence du coupure pour le mode TE0 (c’est-à-dire peu importe les caractéristiques du guide et de la source, lemode TE0 est toujours présent).

On retrouve au tableau 3.9 les influences qu’ont les paramètres physiques du guide et de la source sur lenombre de modes pouvant s’y propager.

PARAMÈTRES PHYSIQUES( � �DXJPHQWDWLRQ�

NOMBRE DE MODES DE PROPAGATION

�LQGLFH�GX�FRHXU�Q1

�LQGLFH�GH�OD�JDLQH�Q2

�ODUJHXU�GX�JXLGH��D

�ORQJXHXU�G¶RQGH� 0 �� �N0

72

TABLEAU 3.9 : Influence des paramètres physiques (du guide et de la source) sur le nombre de modes pouvant sepropager

Un guide aura plusieurs modes guidés si

V=k0a22

21 nn − !!� (3.31)

Une structure multimode devra avoir une dimension telle que

a>>NAnn 2

221

λλ =−

(3.32)

où

NA= 22

21 nn − (3.33)

est l’ouverture numérique du guide.

Pour les modes TM, on procède de la même manière. Cependant, on doit porter en graphique les relations

Y=2

1

2

n

n

XtanX TM :PAIR

Y=-2

1

2

n

n

XcotX TM :IMPAIR

On note alors que la valeur de la constante de propagation β ne pourra plus être obtenue en spécifiant uniquement la

fréquence normalisée V mais qu’on devra aussi fixer un rapport (n2/n1). Ce rapport étant plus petit que 1, il s’ensuitque la courbe des modes TM sera toujours sous la courbe des modes TE. Il est possible pourtant, en principe, d’avoirune structure monomode en choisissant d’abord une fréquence normalisée V plus petite que ���HW�HQ�IL[DQW�HQVXLWHla polarisation de la source afin d’exciter uniquement soit le mode TE ou le mode TM.

La fréquence de coupure des modes est définie comme la fréquence pour laquelle le mode cesse d’êtreguidé ; le mode cesse, dans ces conditions, d’être évanescent dans la gaine (c’est-à-dire la fréquence où le paramètrew = 0). Lorsque w = 0, la constante de propagation du mode devient

β c=n2k0 (3.34)

À cette fréquence Vc, la constante de propagation β c devient égale à la constante de propagation d’une

onde plane dans la gaine d’indice n2. L’onde n’est alors plus guidée et devient un mode radiatif puisque la puissancecontenue dans le coeur se trouve rapidement dans la gaine sous forme d’une onde plane progressive selon unedirection dans le plan xz.

La fréquence de coupure normalisée des modes est simplement donnée par

Vc=m2

π(m=0,1,2,3…) (3.35)

à la fois pour les modes TE et TM. L’ensemble fini des modes TE et TM que l’on vient d’obtenir constitue unensemble des modes guidés d’un diélectrique symétrique à trois couches. L’ensemble complet de modescomprendrait, en plus du nombre fini de modes guidés, une infinité de modes radiatifs.

73

3.1.6 Relation de dispersion (étape 6)La relation de dispersion d’un guide d’onde est simplement la dépendance de la constante de propagation

β en fonction de la fréquence ω . Cette relation nous donne, en particulier la vitesse de propagation des divers

modes (vg = ωβ /dd

1) alors que la dérivée seconde d2 2d/ ωβ nous permettra de calculer l’élargissement d’une

impulsion (voir chapitre 2) qui se propage dans le guide. À la section précédente, on a vu que la constante depropagation s’évaluait au moyen de l’équation caractéristique du mode. On a aussi montré que cette équation pouvaits’analyser au moyen d’un paramètre sans dimension V (équation (3.28)) relié à la fréquence ω .

Il est donc d’usage de mettre en graphique l’indice effectif du mode défini par

nef=0k

β(3.36)

en fonction de la fréquence normalisée V. La figure 3.5 nous présente cette relation de dispersion pour un guided’indice qui varie de n1 = 2,2 à n2 = 1,3. On remarque que l’indice effectif varie de n2 à la fréquence de coupurejusqu’à n1 à haute fréquence.

Pour une fréquence normalisée plus petite que ����OH�JXLGH�QH�SHXW�SURSDJHU�TXH�OH�PRGH�7(0 et TM0. On aalors une structure monomode puisque ces deux modes peuvent être excités indépendamment en choisissant lapolarisation de la source. La figure 3.6 montre le rapport normalisé de la vitesse de groupe c/vg. Ce rapport estobtenu en dérivant numériquement la courbe de la figure 3.5 obtenue précédemment. On remarque que ce rapport vaaussi de n2 à la coupure jusqu’à n1 à haute fréquence. La courbe de dispersion est obtenu numériquement ensolutionnant l’équation transcendante (équation caractéristique) par des méthodes numériques connues (voir exercice3.1).

FIGURE 3.5 : Constante de propagation normalisée (indice effectif) en fonction de la fréquence normalisée V.

74

FIGURE 3.6 : Vitesse de groupe normalisée en fonction de la fréquence normalisée V.

En optique intégrée le guide d’ondes planaire est souvent fabriqué de diélectriques dont les indices n1 et n2

sont très proches. Les figures 3.7 et 3.8 présentées à la page suivante montrent la relation de dispersion pour un guided’indice n1 = 1,5 et n2 = 1,48. On observe alors que les modes TE et TM ne peuvent plus être distingués.

FIGURE 3.7 : Constante de propagation normalisée (indice légèrement différent) en fonction de la fréquencenormalisée V.

75

FIGURE 3.8 : Vitesse de groupe normalisée (pour des indices légèrement différents) en fonction de la fréquencenormalisée V.

Exercice 3.1

Calcul numérique de la relation de dispersion

Vous noterez que les équations caractéristiques du guide plan (tableau 3.8) peuvent se résumerainsi :

PAIR : ( )

=

u

wtan mua

IMPAIR :

=

−

u

w

2tan mua

π

où m = 1 pour les modes TE

et m= (2

1

n

n)2 pour les modes TM

Tracer le graphique la constante de propagation transverse normalisée (ua) en fonction de lafréquence normalisée V pour les deux premiers modes TE et TM d’un guide plan formé de diélectriqued’indice n1 =1,5 et n2 =1.

Tracer ensuite le graphique du rapport (Γ ) de la puissance transportée dans le coeur sur la puissancetotale.

76

Lors de l’étude détaillée du mode TE pair (section 3.1.4), on a montré que la puissance totale transportéepar le guide était une fonction de l’indice effectif et aussi du paramètre (ua) (équation (3.23)). De même, on a montréque le rapport de la puissance transportée dans le coeur par rapport à la puissance totale (équation (3.24)) était unefonction du paramètre (ua).

Il est donc essentiel de visualiser la variation de (ua) en fonction de la fréquence normalisée V. En fait, ceci s’obtienten solutionnant l’équation caractéristique des modes.

Par exemple, pour le mode TE pair on écrit l’équation caractéristique sous la forme :

( )ua

)ua)(V(tan

2/122 −=ua (3.37)

La solution numérique de cette équation permet de générer la relation ua vs V (voir par exemple l’exercice 3.1).

La figure 3.9 nous montre cette relation pour les premiers modes TE et TM. Ces courbes nous permettentensuite de calculer la constante de propagation β pour une fréquence normalisée au moyen de la relation (3.13) soit

220

21

2 ukn −=β .

FIGURE 3.9 : Constante transverse de phase normalisée ua en fonction de la fréquence normalisée V.

De même on peut, par la suite, calculer le rapport Γ de la puissance transportée dans le coeur par rapport àla puissance totale transportée. La figure 3.10 nous présente ce rapport pour les premiers modes TE et TM. On noteque pour des fréquences proches de la fréquence de coupure que le rapport Γ est petit ; la puissance est alorstransportée presque entièrement dans la gaine. Le rapport Γ augmente, par la suite rapidement, cependant il n’estque d’environ 80% lorsque le mode suivant apparaît. Par exemple, pour une structure monomode i.e. V < ���� LOrestera toujours au moins 20% de la puissance transportée dans la gaine. On comprend ici que la gaine fait partieintégrante du guide d’onde et qu’elle n’est pas simplement une couche protectrice.

77

FIGURE 3.10 : Rapport de puissance transportée Γ = Pcoeur / Ptot en fonction de la fréquence normalisée V.

La figure 3.11 nous montre la puissance moyenne qui se propage dans la direction du guide par unité desurface. À basse fréquence V, la distribution de cette densité de puissance s’étale largement dans le coeur et la gaine.Cependant, comme indiqué par le rapport Γ (figure 3.10), à haute fréquence la distribution de puissance estconcentrée presque exclusivement dans le coeur du guide.

FIGURE 3.11 : Distribution de la densité de puissance en fonction de la fréquence normalisée V.

78

Exercice 3.2

Design d’un guide monomode

Cet exercice consiste à spécifier les valeurs des différents paramètres décrivant un guide d’onde diélectriquemonomode TE. La source utilisée est une source DEL à � ����� P�TXL�SRVVède une largeur spectrale de ¨ � � ����Le coeur est fabriqué d’un verre d’indice n1 = 1,6.

Pour des raisons techniques évidentes, on exige que l’épaisseur du coeur soit maximum.

La gaine pourra être une couche de verre d’indice n2 = 1,5 ou bien être fabriquée avec le même verre que lecoeur mais légèrement dopée de sorte que n2 = 1,598.

Spécifiez n2 et l’épaisseur du milieu n2 afin que l’intensité du champ externe soit environ 10-3 fois plus petiteque le champ maximum dans le milieu n1.

Exercice 3.3

Guide d’ondes et électrodes métalliques

Pour fabriquer des composantes électro-optiques, on utilise souvent une couche diélectrique mincesur un conducteur qui sert d’électrode.

1. Calculer les modes de ce guide.

N.B. La condition limite sur un métal parfait est : Etan ≡ 0.

N.B. Vous n’avez pas nécessairement à tout refaire les calculs si vous avez de l’intuition!

79

2. Application :

On construit ce guide avec n1 = 1,46 , n2� ���������D� ����� P�SRXU�XQH�VRXUFH�à � ����� P�

a. Calculer le rapport de la puissance transportée dans le guide (n1 , 0 < x < a) sur la puissance totaletransportée pour le mode TM.

Γ = %

b. Ce guide sera-t-il un monomode TM?

Exercice 3.4

Guide plan 3 couches

En optique intégrée, le guide plan est généralement fabriqué sur un substrat d’indice n2 (n2 < n1) etrecouvert d’une gaine d’indice n3 (n3 < n1).

1. Calculez les modes TE de cette structure.

2. Vérifiez que votre solution dégénère bien vers la solution connue du guide plan symétrique (n3 = n2).

Afin de tenir compte de l’asymétrie du guide, il faut écrire dans le coeur une solution trigonométrique de laforme cos (ux + φ 0). Il faut par la suite déterminer φ 0 et écrire l’équation caractéristique en fonction de cet

angle φ 0.

Exercice 3.5

Guide d’ondes et modulateurs

En optique intégrée, le guide plan est souvent constitué de plusieurs couches diélectriques et mêmede couches métalliques qui servent d’électrodes pour des modulateurs. Afin d’étudier l’effet de cescouches, calculez la structure modale des modes TE pairs du guide suivant :

80

Ce guide est terminé en x par un métal parfait ( x = ± a0).

1. Obtenez la forme analytique des modes TE pairs dans les deux régions n1 et n2.

2. Calculez le rapport de la puissance transportée dans la région n1 sur la puissance totale transportée.

3. Analysez l’équation caractéristique des modes (i.e. fréquences de coupure).

4. Considérez la situation a0 � ��� D0 = a +ε (ε <<a) et le cas a0 = 2a pour donner des exemplesnumériques.

5. Discutez sans présenter les calculs de la situation où n2 > n1.

Exercice 3.6

Vitesse de groupe

On associe généralement la vitesse de groupe vg = ωβ /dd

1 à la vitesse de transmission de

l’information. Dans le cas d’un guide d’ondes, on peut montrer que cette vitesse correspond bien à lavitesse de propagation de la puissance transportée selon l’axe du guide.

La densité d’énergie électromagnétique est donnée par

U= +

22 E

4 H

4

εµ(J/m3)

Si on fait le rapport suivant

v0=

∫∫

dydx U

dydx Sz

i.e. v0 est le rapport de la puissance moyenne transportée selon z à travers la surface (xy) sur l’énergiemoyenne encerclée par cette même surface.

Pour un guide diélectrique plan, on peut calculer ces intégrales pour le mode TE ou TM. Notez qu’il

81

faut effectuer ces intégrales dans les diverses régions 02

220202

1101 n ,et n , εεµµεεµµ ==== , avec

les formes appropriées des champs E et H. On montre alors que :

v0 ≡ vg

Faites cette démonstration pour les modes TE pairs.

3.1.7 Modèle géométrico-ondulatoireLe modèle géométrico-ondulatoire (zigzag) utilise des arguments géométriques et l’interférence de deux

ondes planes à l’intérieur du guide pour expliquer la propagation des modes. Afin de bien illustrer son application,nous allons dans cette section l’utiliser pour dériver les équations caractéristiques des modes TE d’un guidesymétrique à trois couches.

Ce modèle est donc basé sur le fait que l’onde stationnaire selon l’axe x peut s’interpréter, à l’intérieur duguide, comme l’interférence de deux ondes planes progressives se propageant à un angle θ par rapport à l’interfacen1/n2. Par exemple, rappelons que nous avons obtenu pour le mode TE pair du champ électrique l’expressionsuivante ( voir tableau 3.6) en notation phaseur

Ey=EMcos(ux)e z) - t( j βω (3.38)

ce qui peut s’écrire comme

Ey= [ ]z) (ux j-z) -(ux j t jM eee

2

1 ββω ++E (3.39)

On observe donc que ce mode correspond à la superposition de deux ondes planes uniformes faisant unangle θ± par rapport à l’interface, donné par

tan

±=

u

βθ (3.40)

et tel qu’illustré à la figure 3.12 :

FIGURE 3.12 : Deux ondes planes uniformes faisant un angle θ± par rapport à l’interface du guide

Étant donné l’importance pratique de cette visualisation et pour bien montrer l’exactitude de ce modèle,nous faisons maintenant abstraction des résultats précédents ; nous allons dans ce qui suit retrouver ces mêmesrésultats pour les modes TE et TM en cherchant simplement sous quelles conditions un guide plan peut supportersans perte cet ensemble de deux ondes planes qui sont réfléchies en haut et en bas du guide, aux interfaces n1/n2.

82

FIGURE 3.13 a) : Trajectoire des rayons dans un guide d’ondes

FIGURE 3.13 b) : Tous les rayons qui se propagent dans la même direction appartiennent au même plan d’onde,portent le même front d’onde (---- ligne pointillée). N.B. Le front de phase de l’onde réfléchie a été délibérément

omis.

Considérons la figure 3.13 a et examinons le parcours en zigzag d’un rayon lumineux associé à une ondeplane (θ ). Cette figure représente la trajectoire d’un rayon optique confiné à l’intérieur d’un guide qui possède uneréflexion totale interne lorsque θ < cθ . Dans ce modèle, un rayon optique est utilisé pour représenter une onde planeavec un front d’onde perpendiculaire au rayon.

Dans la figure 3.13 b, les lignes pointillées représentent le front de phase de l’onde plane qui se propagevers la droite. Dans la même figure, un deuxième rayon optique (AB) appartenant à la même onde plane est aussiillustré. On suppose que ce rayon incident (AB) n’a pas subi aucune réflexion à l’interface n1/n2. Par contre, le rayon(CD) appartenant à l’onde réfléchie a subi par rapport au rayon (AB) deux réflexions totales internes aux interfacesn1/n2. Les points du même front d’onde possèdent la même phase, par exemple C avec A et aussi B avec D. Cetteonde plane θ sera associée à un mode guidé si elle retourne à son état initial après deux réflexions (une en haut del’interface et une en bas de l’interface). Cela signifie que le front de phase CA et le front de phase BD doivent êtreidentiques pour un multiple entier de 2π . De ce fait, il s’ensuit que la géométrie de la structure doit être telle que ladifférence de phase entre le rayon (CD), qui subit deux changements de phase Goss-Hänchen aux interfaces, parrapport au rayon (AB) doit être un multiple entier de 2π . Ce qui peut s’écrire comme :

-(k0n1)(CD-AB)+2 2N2 π−=Φ (3.41)

où Φ est la phase du coefficient de réflexion à une interface et N, un nombre entier (N = 0, 1, 2, 3,…). Il estimportant de se rappeler que Φ dépend de θ et de la polarisation du champ électrique (équations (2.74) et (2.75)).

Considérant la géométrie des figures 3.13, l’équation (3.41) peut être réécrite comme :

83

E.C. (2 a) (n1 k0 ) cos θ - Φ =Nπ (3.42)

L’équation (3.42) n’est rien d’autre que la condition de résonance transverse ; elle dit que l’énergie seraconfinée à l’intérieur du guide si la réflexion est totale et si la somme des déphasages subis par un rayon dans unaller-retour (d’une frontière à l’autre du guide) donne lieu à une interférence constructive. Cette condition derésonance transverse assure l’existence, à l’intérieur du guide, d’un mode de propagation suivant l’axe z et d’uneonde stationnaire suivant l’axe x (on retrouve les ondes évanescentes à l’extérieur du guide).

On peut retrouver les équations caractéristiques des modes TE en exprimant la relation (3.42) en fonctiondes paramètres physiques du guide (n1, n2 et a) et en fonction de θ . Pour des angles tels que θ >θ c , la réflexion est

totale ( R =1). Le coefficient de réflexion est alors complexe ( R = eΦ j ) et un changement de phase a lieu lors de

la réflexion.

Pour des modes TE (polarisation perpendiculaire de E, c’est-à-dire E = Ey, voir équation (2.75)), on obtientcomme déphasage :

−=

θθ

φ cos n

nsinnarctan 2

1

22

221

TE (3.43)

Sachant alors que les constantes de propagation axiales et transverses s’écrivent :

β =n1k0sinθ

u=n1k0cosθ

on peut écrire l’équation (3.43) en fonction de β et u :

−=

u

knarctan 2

20

22

2

TE

βφ (3.44)

Le terme 20

22

2 k n=β n’est rien d’autre que le paramètre w tel que défini lors des sections précédentes. On a donc :

)u

warctan( 2TE =φ (3.45)

De plus, l’équation de résonance (3.42) peut être écrite comme

πφ N-(ua) 2TE = (3.46)

On a donc, pour un champ polarisé selon une forme TE, que

tan

=

u

w

2

N-ua

πN=0,1,2,… (3.47)

Cette équation nous permet de calculer les valeurs de β pour lesquelles il y aura en premier lieu réflexion

totale et ensuite interférence constructive. En fait, cette dernière équation n’est rien d’autre que l’équationcaractéristique obtenue précédemment pour les modes TE. En effet, lorsque N est pair (N = 2m ; m = 0, 1, 2,…), onmontre que l’équation (3.47) devient

84

tan(ua)=

u

w

soit l’équation caractéristique (3.16).

On montre aussi que si N est impair (N = (2m+1); m = 0, 1, 2, …), l’équation (3.47) s’écrit alors sous laforme

tan(ua)=

−

w

u

qui est l’équation caractéristique du mode TE impair (voir tableau 3.8).

Nous avons vu précédemment que la condition de coupure de ces modes correspondait à w = 0, c’est-à-direβ = n2 k0 ; l’angleθ par rapport à l’interface n1/n2 que fait ce mode à la coupure est donné par

tan22

21

2

nn

n

−=cθ

À l’aide de la trigonométrie, cette relation peut s’exprimer sous la forme

sin1

2

n

n=cθ (3.48)

qui est simplement la condition où il commence à avoir réflexion totale interne (voir chapitre 2).

Les modes guidés (au-dessus de la fréquence de coupure) correspondent donc bien à des réflexions totalesinternes ; par contre, les modes radiatifs ne satisfont pas cette condition de réflexion totale interne. Cependant, il peutarriver qu’un mode satisfasse la condition d’interférence constructive mais que son angle de propagation soitinférieur à celui de réflexion totale. On a alors un mode guidé mais puisqu’il y a une perte de puissance importante àchaque réflexion, ce mode est appelé un mode de fuite. Dans notre modèle électromagnétique, nous avons pasanalysé ce type de mode puisque nous avons restreint notre étude dès le départ à une forme évanescente dans la gaine( :β réel).

Sur les figures de dispersion 3.5 et 3.7 de la section précédente, on a mis en ordonnée du côté droit lesvaleurs de l’angle modal Θ , pour chaque mode, débutant à Θ c jusqu’à 90º à haute fréquence. Pour une fréquencenormalisée V fixée, cette relation de dispersion graphique nous donne l’angle de résonance des divers modes.Expérimentalement, ces angles de résonance sont observés directement en laboratoire au moyen d’un faisceauparallèle de lumière (e.g. laser visible) que l’on balaye selon un schéma simple comme celui par exemple de la figure3.14.

On réalise ainsi que ce modèle géométrico-ondulatoire est exact en ce sens qu’il conduit aux mêmesrésultats que le modèle électromagnétique. Ce modèle géométrique est non seulement d’intérêt pédagogique maiss’avère aussi un outil de design puissant pour l’ingénieur.

Par exemple (voir figure 3.15), des considérations géométriques simples nous indiquent qu’une sourceponctuelle placée à l’entrée du guide excitera des modes guidés seulement pour la radiation émise sous un anglemaximum α :

22

21 nnsin −=α

85

Cet angle est généralement petit puisque n1 §�Q2. On nomme habituellement cet angle l’ouverture numériquede système (NA) :

22

21 nn −=NA

D’autre part, connaissant l’angle modal θ 0 du mode fondamental, on peut exciter favorablement ce modeen plaçant une source de lumière parallèle (hors axe – voir figure 3.14) polarisée convenablement. Lorsque nousétudierons aux prochains chapitres la fibre optique circulaire, nous ne pourrons plus décomposer la solutionélectromagnétique sous la forme d’onde géométrique simple. Cependant, la décomposition exacte présentée icipermettra quand même d’analyser certains résultats.

3.1.8 Effet Goss-Hänchen et le modèle géométrico-ondulatoireOn vient de montrer que le modèle géométrico-ondulatoire du guide plan conduit à la solution exacte des

modes TE et TM telle que l’on a obtenu selon le formalisme électromagnétique. Selon ce modèle géométrique onprédit que la vitesse de propagation axiale de l’énergie devrait être (voir figure 3.16)

vgo= Θsinn

c

1

(3.49)

L’équation (3.49) s’écrit en termes de la constante de propagation du mode

021

g0 kn

cv

β= (3.50)

FIGURE 3.14 : Schéma d’excitation du mode fondamental d’un guide par une source ponctuelle placée hors axe.

FIGURE 3.15 : Schéma d’excitation d’un guide par une source ponctuelle

86

FIGURE 3.16 : Modèle du « zig zag »

Exercice 3.7

Vitesse de groupe et relation de dispersion

La vitesse de groupe se calcule au moyen de la relation

0

g

dk

dc

v β=

Si on accepte la relation 3.50 pour la vitesse du groupe des modes guidés, montrez alors que la solution del’équation différentielle dβ /dk0 conduit à une forme de la relation de dispersion β (k0) qui n’est pas celle obtenue

en appliquant les conditions aux limites ( voir équation (3.47)).

On doit alors conclure que l’expression (3.50) pour la vitesse de groupe est fausse.

Si on compare ce résultat avec celui qu’on a obtenu avec la vitesse de groupe par la différentiation del’équation caractéristique (voir exercice 3.7), on réalise que le modèle géométrique–ondulatoire ne prédit pas lemême résultat. Cependant, on a vu que le modèle géométrique conduit à la relation de dispersion exacte. On doitdont ici conclure que notre interprétation géométrique de l’énergie de propagation est fausse. En effet, on a vu auchapitre précédent (section 2.6) que pour une réflexion totale, l’onde subit un déplacement axial (Goss-Hänchen).Notre interprétation géométrique de l’énergie de propagation qui nous conduit à la relation (3.49) ne tenait pas enconsidération du parcours supplémentaire dans la gaine. On va maintenant démontrer que l’inclusion de ce parcourspeut conduire à la même relation pour la vitesse de groupe.

On sait que la vitesse de propagation de l’énergie dans un guide est réellement égale à la vitesse de groupe(voir exercice 3.6). On va d’abord redériver l’expression pour la vitesse de groupe au moyen de l’équationcaractéristique (3.42) obtenue selon le modèle géométrique qui peut être réécrite sous la forme suivante :

2a Φ+=− πβ Nkn 220

21 (3.51)

afin de faire apparaître les constantes de propagation Θ= sin kn 01β . Le saut de phase Φ a été obtenu au chapitre 2(équations (2.74) et (2.75)) pour une polarisation perpendiculaire (onde TE) et pour une polarisation parallèle (ondeTM).

87

Ce saut de phase peut s’écrire en fonction de β

( )2/1

220

21

20

22

21

k n

k nmtan2

−−

=Φ −

ββ

(3.52)

où le paramètre m =1 onde TEet m = (n1 / n2 )

2 onde TM (3.53)

Le calcul de la vitesse de groupe s’obtient au moyen de la dérivée de β par rapport à k0 :

0g k d / d

cv

β= (3.54)

En dérivant l’équation caractéristique (3.51) par rapport à k0, on doit calculer 0k d/ d Φ ce qui s’écrit

000 k k k d

d

∂∂

∂

Φ∂+∂

Φ∂=Φ ββ

(3.55)

puisque Φ dépend à la fois de β et de k0. En dérivant l’équation caractéristique (3.51), on montre que

∂Φ∂−

−

∂Φ∂+

−=

0220

21

021

220

21g

k kn

k n a 2

kn

a 2

c

v

β

ββ

β

(3.56)

Si l’angle d’incidence Θ est plus petit que l’angle critique cΘ , on sait alors que le saut de phase est

constant ce qui implique que β d/ d Φ = 0k d/ d Φ = 0. On obtient dans ce cas

==0

21

gkn

c v

βΘsin

n

c

1

(3.57)

Ce résultat correspond alors à la vitesse vg0 du modèle géométrique simple (3.49). Cependant, lorsque nousavons une onde guidée, l’angle d’incidence est plus grand que l’angle critique et le saut de phase Φ dépend de β et

de k0. On conclut donc que le terme supplémentaire ( β d/ d Φ ) dans l’équation (3.56) correspond à la distance

supplémentaire (∆ L) que l’onde doit parcourir, suite au déplacement de Goss-Hänchen et que le terme

∂

Φ∂−okc

1

doit être égal au temps de propagation de l’onde (∆ T) qui parcourt ce parcours supplémentaire (∆ L) puisque lavitesse est donnée par le rapport de la distance sur le temps.

88

FIGURE 3.17 : Modèle modifié

L’interprétation géométrique de la vitesse de groupe peut se faire en tenant compte de cet effet. À la figure3.17, on montre schématiquement les parcours supplémentaires. On peut donc écrire que la vitesse de propagation del’énergie comme le rapport de la distance d = [ A’B + BB’ + B’C + CC’] sur le temps. Cette distance d s’écritcomme selon notre géométrie comme

)(BB’ 2 tan a 4 d +Θ=

Pour les parcours A’B et B’C, on sait que la vitesse doit être vg0 = c / n1 sin Θ ce qui correspond à un temps

de parcours de

Θ cos c

a n 4 1 .

On obtient finalement la vitesse de groupe

∆+Θ

+Θ=T

cos c

n a 2BB’ tan a 2

v1

g (3.58)

En comparant les expressions (3.56) et (3.58), après les avoir écrites dans la même notation( Θ= sin kn 01β ), on obtient que le déplacement de Goss-Hänchen est donné par

BB’=βd

d Φ(3.59)

Ce résultat pour le déplacement de Goss-Hänchen est en parfait accord avec celui obtenu au chapitre 2.

En effet, dans la section 2.6 du chapitre 2, on a montré qu’un faisceau souffre d’un déplacement à laréflexion totale donné par la dérivée du saut de phase par rapport au vecteur d’onde ( Θ= sin kn 01β ) et que (voirl’équation (2.83))

BB’=ΘΦ

Θ d

d

cos k n

1

01

ce qui est exactement le même résultat qu’on a obtenu (équation (3.59)). On conclut donc que le modèlegéométrique–ondulatoire est complètement exact si on inclut le déplacement Goss-Hänchen dans l’interprétation de

89

la vitesse de phase. De même, cette interprétation est une démonstration spectaculaire de l’existence physique dudéplacement Goss-Hänchen. Bien que ce déplacement est relativement petit, il a été observé expérimentalement dansun guide plan en observant une séparation spatiale de deux ondes TE et TM qui subissent un déplacement Goss-Hänchen différent (facteur m) selon l’expression (3.52).

90

4 Modes guidés d’une structure diélectrique planeLe guide diélectrique que nous venons d’étudier, ne peut être fabriqué sur de très grandes distances. C’est

pourquoi son utilisation en communication optique est limitée pour l’instant à la fabrication de circuits optiques.Techniquement, il est cependant possible de fabriquer des guides diélectriques circulaires sur de très grandesdistances. C’est pourquoi ce type de guide sous forme de fibre est devenu la voie principale des systèmes decommunication optique. Dans ce chapitre, la fibre optique à saut d’indice (step-index) sera traitée comme unproblème de conditions aux limites en vue d’obtenir les expressions des différents modes se propageant dans ce typede guide. Les conditions de coupure de ces modes seront ensuite analysées et une équation de conception (servant àdéterminer les paramètres caractéristiques nécessaires à la fabrication de la fibre) sera développée.

Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous analyserons de plus près la fibre monomode à saut d’indice.Ensuite, l’élargissement des impulsions dans les fibres monomode et multimode sera abordé et nous considéreronsalors les mécanismes qui limitent la largeur de bande de ces types de fibres. Pour terminer ce chapitre, nousintroduirons les modes polarisés linéairement (LP).

4.1 Équations de base et contraintes physiquesAu chapitre 3, nous avons développé les expressions complètes des modes de propagation dans un guide

diélectrique symétrique à trois couches en utilisant la théorie d’électromagnétique pour résoudre le problème deconditions aux limites posé par ce genre de guide. Rappelons que l’équation d’onde a été solutionnée pour l’intérieuret l’extérieur du guide et que les solutions obtenues, sujettes à des conditions frontières, et que ces solutions nous ontpermis de trouver une équation aux valeurs propres. À partir de cette équation caractéristique, nous avons obtenu lesconstantes associées aux différents modes présents dans le guide.

Afin d’analyser le guide d’ondes circulaire qu’est la fibre à saut d’indice (avec cœur homogène), nous utiliserons lamême approche qu’au chapitre 3. En premier lieu, nous supposerons que b, le rayon de la gaine de la fibre, estsuffisamment grand pour que le champ à l’intérieur de cette gaine décroisse exponentiellement et tende vers zéro àl’interface gaine-air. Cela nous permettra, tel qu’illustré à la figure 4.1, d’analyser la fibre à saut d’indice comme unproblème de conditions aux limites entre deux milieux. Cette supposition correspond bien aux conditions existantdans une telle fibre lorsqu’elle est adéquatement conçue. Les étapes que nous suivrons afin de résoudre le problèmedes conditions aux limites de la fibre à saut d’indice sont résumées au tableau 4.1.

1. Modèle mathématique de la fibre à saut d’indice utilisant l’équation d’onde et de Maxwell en coordonnéescylindriques.2. Utilisation de la technique de séparation des variables et considération sur la symétrie de révolution.

3. Définition des conditions physiques requises qui influencent le choix des solutions radiales des champs dans le

cœur et dans la gaine.

4. Applications des conditions aux limites à l’interface cœur-gaine.

5. Étude de l’équation caractéristique et nomenclature des solutions modales correspondantes.

TABLEAU 4.1 : Analyse de la fibre à saut d’indice- étapes suivies

91

FIGURE 4.1 a) : Géométrie de la fibre à saut d’indice

FIGURE 4.1 b) : Modèle utilisé lors de son analyse

4.1.1 Modèle mathématique (étape 1)La solution de ce guide consiste encore à chercher des solutions aux équations de Maxwell qui satisfont les

conditions aux limites et qui propagent l’énergie selon la direction +z. On doit tenir compte de la géométrie duproblème en choisissant naturellement d’écrire les équations de Maxwell en coordonnées cylindriques. On écrit doncle champ électrique et magnétique de la façon suivante.

z) - tj(z

0z

0r

0r

e aaa Re βωφφ

ε +

+= rrrv

EEE (4.1)

z) - tj(z

0z

0r

0r

e aaa Re βωφφ

+ += rrr

r

HHHH (4.2)

On pourra par la suite appliquer simplement les conditions aux limites à l’interface r = a aux composantestangentielles en φ et en z des champs.

Les équations de Maxwell (2.24 et 2.25) permettent d’établir un lien entre les diverses composantes deschamps. Encore ici, on peut combiner linéairement ces diverses relations et écrire les composantes transverses des

champs (r,φ ) en termes des composantes axiales du champ E 0z et H 0

z (à faire en exercice). On obtient alors pour lescomposantes transverses du champ E

∂∂

+∂

∂=

φηβ

γ

0z

00

0z

20r r

1k

r

j-

HEE (4.3a)

∂∂

−∂

∂=

rk

r

1j-

0z

00

0z

20 HE

E ηφ

βγφ (4.3b)

et pour les champs H

∂∂

∂∂

=φ

ηβγ

η0z

02

0z

020r0 r

1kn-

r

j-

EHH (4.4a)

92

∂∂

+∂

∂=

rkn

r

1

j-

0z

02

0z

020

0EH

Hφ

ηβγ

η φ (4.4b)

où22

022 kn βγ −= (4.5)

D’autre part, on sait que la composante axiale obéit à l’équation d’onde. En particulier, les équationsd’ondes modifiées deviendront :

0r

1

rr

1

r0z

22

0z

2

2

0z

2

0z

2

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂E

EEE γφ

(4.6)

0r

1

rr

1

r0z

22

0z

2

2

0z

2

0z

2

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂H

HHH γφ

(4.7)

Cette analyse mathématique, nous amène à la solution des équations d’ondes (4.6) et (4.7) pour les champs

axiaux E 0z et H 0

z et par la suite, aux composantes des champs transverses E 00r

00r et , , φφ HHE grâce aux relations

différentielles (4.3) et (4.4).

4.1.2 Condition physique de la symétrie de révolution (étape 2)On sait maintenant que les modes d’un guide d’ondes optique consistent en une famille de solutions

possibles possédant une certaine constante de propagation β . Ici, suite à la géométrie cylindrique de la fibre, il est

naturel de chercher des solutions ayant une symétrie circulaire. Par conséquent, pour solutionner l’équation d’onde(4.6 et 4.7) , nous posons la séparation de variables suivantes :

)r,(

)Q( (r) R

)r,(

0z

0z

φ

φφ

H

E

= (4.8)

nous obtenons alors les deux équations différentielles totales pour Q(φ ) et R(r) :

Qm- d

Qd 22

2

=φ

(4.9)

0R r

m

dr

dR

r

1

dr

Rd2

22

2

2

=

−++ γ (4.10)

où m2 est la constante de séparation.

À cette étape, nous décidons de choisir des solutions qui ont une symétrie de révolution; nous décomposons alors lechamp Ez (ou Hz) en solutions de symétrie azimutale de la forme

Q(φ )=Accos(mφ )+Assin(mφ )

93

et ce dans le coeur et dans la gaine. Naturellement, la constante de séparation m devra être un nombre entier afin queQ (φ +2π ) = Q (φ )10. Ac et As sont deux constantes; notez que Ac réfère à la dépendance en cos (mφ ) et As à celle

en sin (mφ ).

On écrit donc les champs Ez et Hz sous la forme suivante

E [ ])m( sinA)m( cosA R(r) sc0z φφ += (4.11)

H [ ])m( sinB)m( cosB R(r) sc0z φφ += (4.12)

où Bc et Bs sont aussi des constantes à déterminer.

Il est important de réaliser qu’en fait nous avons ici deux familles de solutions : une en cos (mφ ) et une

autre en sin (mφ ). Ces deux familles conduisent à des solutions identiques mais l’une de ces familles a subi une

rotation de 90 degrés par rapport à l’autre (sin φ = cos ( ))2

πφ + . Afin de simplifier le reste du développement (4

équations, 4 inconnues au lieu de 8 équations, 8 inconnues), il convient de ne considérer qu’un seul type de solutionà la fois.

Nous choisissons d’écrire :

E ) cos(m R(r)A 00z φφ += (4.13)

Par la suite, les deux familles de solution seront obtenues en posant φ 0 = 0 pour la première et φ 0 =2

π pour

la deuxième.

Cependant, ce choix pour le champ électrique (équation 4.13) nous oblige à choisir le champ magnétique laforme suivante :

H ) (msin R(r) B 00z φφ += (4.14)

Pour comprendre ce choix, il nous faut anticiper sur les conditions aux limites qui seront appliquées sur les

composantes tangentielles en E 0φ et H 0

φ . Selon les équations (4.3) et (4.4), ces composantes tangentielles font

intervenir la somme d’une dérivée par rapport à φ avec un terme dérivé par rapport à r. La dérivée par rapport à φchangera les cosinus (sinus) en sinus (cosinus). Si l’on veut que la condition limite s’applique en tous points φ , on

doit combiner la dépendance azimutale du champ électrique et magnétique telle que définies en (4.13) et (4.14).

4.1.3 Solution de l’équation radiale (étape 3)Il nous reste maintenant à solutionner l’équation radiale (4.10) à la fois dans le coeur (indice n1) et dans la

gaine (indice n2). Cette équation est connue sous le nom d’équation de Bessel. À l’annexe (A4), on rappelle lessolutions élémentaires de cette équation différentielle.

Il existe quatre types de fonctions de Bessel ayant des comportements asymptotiques différents. Notre calculsera d’autant simplifié si notre choix mathématique correspond à la réalité physique d’un mode guidé. Comme il aété souligné au chapitre 3, pour une géométrie plane dans la région guidée, l’onde est de type onde stationnairepuisqu’il y a une réflexion totale à l’interface (en haut et en bas du guide).

1. Notons que Q(φ ) représente ici une quantité physique (Ez ou Hz) et que cette quantité ne peut avoir qu’une seule

valeur au même point dans l’espace.

94

La géométrie circulaire est par contre plus difficile à visualiser. Cependant, nous savons que les fonctions deBessel Jm et Nm sont de type onde stationnaire. Il est donc naturel de les choisir pour la région du coeur ; mais il fautbien se rappeler que les fonctions de Neuman Nm sont infinies à l’origine. Nous devons donc à priori ne pas lesinclure puisque nous voulons représenter une quantité physique : les composantes de Ez et Hz doivent être finiespartout.

Dans le coeur, nous choisissons donc

E )(m cos ur)(JA 0m0z φφ += (4.15)

et

H )(msin ur)(J B 0m0z φφ += (4.16)

où22

021

2 knu β−= (4.17)

Nous avons encore ici redéfini γ 1 en utilisant le paramètre u pour se conformer à la notation la plus usuelle.

Notons aussi qu’il faudra que le paramètre u soit réel (2β < 20

21 kn ) si nous voulons que la fonction de Bessel Jm (ur)

soit du type onde stationnaire c’est-à-dire une onde guidée.

Afin que l’onde soit contenue dans la région du coeur, on doit exiger que, dans la gaine, l’onde soit de typeévanescent lorsque r � ��� 1RXV� DYRQV� YX� à l’appendice (A4) qu’une seule fonction de Bessel satisfait cettecondition : c’est la fonction de Hankel modifiée d’ordre deux soit Km (wr).

On écrit donc la solution dans la gaine :

E )(m cos wr)(K C 0m0z φφ += (4.18)

et

H )(msin wr)(K D 0m0z φφ += (4.19)

où20

22

222

2 knw −=−= βγ (4.20)

Pour que l’onde soit évanescente lorsque r � ��� LO� IDXW� TXH� Z� VRLW� XQ� QRPEUH� UpHO�� F¶HVW�à-dire que2β > 2

022kn .

Notons aussi que nous aurions pu choisir (et plusieurs auteurs le font), la fonction H r) j( 2(2)m γ pour

s’assurer que l’onde décroisse lorsque r tend vers l’infini. Cependant, notre choix de la fonction de Hankel modifiéeKm nous amène à travailler avec des paramètres u et v purement réels lorsque l’onde est guidée, alors que leparamètre γ 2 serait imaginaire. Les constantes A, B , C et D restent à déterminer tout comme la constante de

propagation β .

4.1.4 Conditions aux limites à l’interface coeur-gaine (étape 4)Il nous faut maintenant appliquer les conditions aux limites à l’interface entre le cœur et la gaine afin de

pouvoir déterminer la constante de propagation β et les diverses constantes d’amplitude A, B, C et D. Puisque les

conditions aux limites s’appliquent sur les composantes tangentielles des champs E et H (Ez, Hz et E φ , H φ ), il nous

faut d’abord calculer les composantes E φ et H φ au moyen des équations (4.3b) et (4.4b) et des composantes

longitudinales Ez et Hz que nous venons d’expliciter. Le calcul de E φ dans le cœur nous conduit à :

95

(E )(msin r

ur)(Jk Bur)(J

r Am

u

j) 0

m00m2coeur

0 φφηβφ +

∂∂

+= (4.21)

et dans la gaine à :

(E )(msin r

wr)(Kk Dwr)(K

r Cm

w

j) 0

m00m2gaine

0 φφηβφ +

∂∂

+−= (4.22)

L’application de la continuité du champ tangentiel E kz) - t ( j0 e ωφφ E= à l’interface r = a implique que la

constante de propagation β est la même dans les deux médias (comme on l’avait anticipé) et que pour ces valeurs

de t, z et φ , on doit avoir :

(E =coeur0 )φ (E gaine

0 )φ à r=a (4.23)

c’est-à-dire

A

−

−=

+

(wa)Ka w

k D(ua)K

aw

m C(ua)J

au

k B(ua)J

au

m ’m

00m22

’m

00m22

ηβηβ

où J’m et K ’

m indiquent les dérivées avec le respect de l’argument.

Notons que le terme en sin (mφ ) se simplifie de chaque côté. Si nous n’avions pas anticipé les deuxfamilles angulaires de solutions et si nous avions travaillé à la fois avec les champs Ez et Hz en sin (mφ ) et cos(mφ ), il aurait été nécessaire à cette étape de distinguer ces deux familles.

De même, l’application de la continuité du champ tangentiel Hφ à l’interface r =a nous permet d’écrire :

(H =coeur0 )φ (H gaine

0 )φ à r=a (4.24)

qui nous conduit à une deuxième équation reliant les diverses constantes :

−

−=

+

(ua)K

aw

mD(wa)K

aw

nkC(ua)J

au

mB(ua)J

au

nkA m22

0’m

220

m220’

m

210 βηβη

De plus, il faut s’assurer de la continuité du champ tangentiel Ez à l’interface r = a

(E =coeur0z ) (E gaine

0z ) à r=a (4.25)

ce qui conduit à la troisième équation :

A(Jm(ua))=C(Km(wa))

Enfin, la continuité du champ magnétique tangentiel Hz donne

(H =coeur0z ) (H gaine

0z ) à r=a (4.26)

et nous obtenons ainsi la quatrième équation :

B(Jm(ua))=D(Km(wa))

96

Ces équations de continuité permettent de déterminer entièrement les constantes d’amplitude et la constantede propagation.

(ua)Jau

mA m22

β

+ (ua)J

au

k B ’

m00η

+ (ua)K

aw

m C m22

β

+ (wa)Ka w

k D ’

m00η = 0 (I)

(ua)J

au

nkA ’

m

210

+ (ua)Jau

m B m22

0 βη

+ (wa)K

a w

nk C ’

m

220

+ (ua)K

aw

m D m22

0 βη = 0 (II)

A (Jm (ua)) + B (0) - C (Km (wa)) +D (0) = 0 (II)

A (0) + B (Jm (ua)) - C (0) -D (Km (wa)) = 0 (IV)

TABLEAU 4.2 : Équations obtenues pour la fibre à saut d’indice lors de l’application des conditions aux limites àl’interface cœur-gaine

4.1.5 Équation caractéristiqueet solutions modales (étape 5)L’ensemble des équations (I), (II), (III) et (IV) forme un système d’équations homogènes que l’on a réécrit

sous la forme du tableau 4.2. Des solutions non-triviales existent si et seulement si le déterminant du système est nul.Le calcul de ce déterminant 4 X 4 est laborieux et nous ne donnerons ici que le résultat soit l’équation caractéristiquesuivante :

Det=0

E.C.

+

+

+=

+

)wa(K)(wa

wa)(K

)ua(J)ua(

)ua(J

n

n X

)(wa

1

)ua(

1

n

n

)wa(

1

)ua(

1 m

)wa(K)(wa

wa)(K

)ua(J)ua(

)ua(J

m

’m

m

’m

22

21

2222

21

222

m

’m

m

’m

(4.27)

Cette équation caractéristique détermine les valeurs possibles de la constante de propagation pour unevaleur d’indice du cœur n1 et de la gaine n2 donnée lorsque la dimension du cœur (a) est fixée et que la longueurd’onde λ de la source est spécifiée. Cette équation caractéristique est écrite ici en termes des paramètres normalisésde la constante de propagation (ua) et (wa). On peut ici introduire la fréquence de la fibre en notant d’abord que l’ona encore

(ua)2+(wa)2=V2 (4.28)

Cette dernière relation nous amène à la définition de la fréquence normalisée

V=(k0a) 22

21 nn − (4.29)

Il est donc possible ici de déterminer la constante de propagation après avoir spécifié uniquement lafréquence normalisée V, le rapport d’indice (n1/n2) et l’indice azimutal du mode (m).

Après avoir trouvé une solution pour la valeur de la constante de propagation β au moyen de l’équation

caractéristique (4.27), on peut en principe calculer les coefficients B, C et D en fonction du coefficient A (qui lui estévalué seulement lorsqu’on précise le contenu en puissance du mode) et ainsi déterminer complètement le contenumodal. On voit que la solution de l’équation caractéristique ne peut qu’être numérique et que les classements desdivers modes semblent à priori difficiles. Par contre, on note un cas particulier qui semble simplifier quelque peul’équation caractéristique.

97

Modes TE-TM

En effet, lorsque m = 0, c’est-à-dire lorsqu’il y a symétrie de révolution pour la solution modale, l’équationcaractéristique se réduit au produit de deux quantités qui demeure nul. On a alors la possibilité d’avoir ces deuxquantités nulles indépendamment l’une de l’autre. Afin de bien identifier ce cas (m=0), on réécrit ci-dessous leséquations de continuité pour m = 0 :

B 0 )wa(

)wa(K D

)ua(

)ua(J ’0

’0 =

+

(I)

A 0 )wa(

)wa(K n C

)ua(

)ua(J n ’0

22

’0

21 =

+

(II)

A(J0(ua))-C(K0(wa))=0 (III)

B(J0(ua))-D(K0(wa))=0 (IV)

On note que les équations (I) et (IV) forment un groupe qui permet le calcul de B et D indépendamment deA et C. De même, les équations (II) et (III) permettent de déterminer les coefficients A et C indépendamment de B etD.

Il est alors justifié de distinguer deux sous-familles. Premièrement, on pose A = C = 0 et on obtient, en vude déterminer B et D, l’équation caractéristique suivante :

0 wa)(K )wa(

)wa(K

)ua(J )ua(

)ua(J

0

’0

0

’0 =

+ (4.30)

Cependant, l’égalité A= C= 0 implique (voir les équations (4.15) et (4.18)) que Ez = 0 ; on a alors un modeTE et les constantes de propagation de ces modes sont déterminées par l’équation caractéristique (4.30). De même, sion pose B =D = 0, on impose que Hz = 0 (équations (4.16) et (4.19)) et le mode devient un mode TM. L’équationcaractéristique de ces modes correspond au déterminant des équations (II) et (III) , pour m=0, c’est-à-dire :

0 wa)(K )wa(

)wa(K

)ua(J )ua(

)ua(J

n

n

0

’0

0

’0

22

21 =

+ (4.31)

Notez que ces résultats (4.30) et (4.31) peuvent être obtenus directement de l’équation (4.27) pour m=0, enposant indépendamment les deux expressions entre crochets égales à zéro.

Fréquences de coupure

Afin de poursuivre la classification des autres modes (m ≠ 0), on simplifie l’équation caractéristique (4.27)en supposant que l’on est proche d’une fréquence de coupure. La coupure se manifeste encore ici lorsque le mode sedétache de la structure guidante c’est-à-dire du cœur. Le paramètre w tend alors vers zéro ce qui implique quel’amplitude des champs ne décroît plus lorsque r tend vers l’infini.

Lorsque w →0 , β → n2 k0 ce qui veut dire que la constante de propagation β est la même qu’une onde

TEM dans un milieu d’indice n2. Dans ce cas, le paramètre (ua) → V. Lorsque leur argument tend vers zéro, lesfonctions de Hankel modifiées Km(x) deviennent infinies. Il nous faut donc, pour déterminer la coupure, prendre avecsoin la limite (wa) → 0.

En utilisant les identités suivantes :

98

2m

1m2

m

1-m

m

’m

x

m

)x(Jx

)x(J

x

m

)x(Jx

)x(J

)x(Jx

)x(J+−=−= + (4.32)

et

2m

1m2

m

1-m

m

’m

x

m

)x(Kx

)x(K

x

m

)x(Kx

)x(K

)x(Kx

)x(K+−=−−= + (4.33)

nous écrivons l’équation caractéristique (4.27) sous la forme suivante (notez que le développement algébrique esttrès long) :

E.C.

+−

=

−

+

+

+

wa)(K )wa(

wa)(K )1(n

ua)(J )ua(

ua)(J n 2

ua)(J )ua(

ua)(J-

wa)(K )wa(

wa)(K 2

ua)(J )ua(

ua)(J )1(n

(wa) K (wa)

(wa) K

m

1-m2

m

1-m2

m

1m

m

1-m

m

1-m2

m

1m

(4.34)

où

=2

1

n

n>1

Par la suite, on analyse le comportement de cette équation lorsque (wa) → 0 et (ua) → V0 (V0 = Vcoupure).Tout d’abord , il faut noter que pour m=0, nous avons

ln xx

1

)x(K

x)(Klim

)x(K

x)(K

)x(K

x)(K

0

10x

0

1

0

1-

−=

=

→

De même, on montre (voir annexe A4) que

x

m2

)x(K

)x(Klim

m

1m0x =+

→ (m>1)

En se servant de ces valeurs asymptotiques, on montre que l’équation caractéristique sous la forme del’équation (4.34) devient pour un (wa) petit et m > 1 de la forme

[ ]][ 0)(VJ V 1)(n)(VJ 1)(mn 4 )(V Jwa)(

)(VJ V)(VJ )1m( )1(n )(VJ V m 4

0m02

01m2

01m2

0m001-m2

0m0

→+−−−

→−−+

−+

(4.35)

On conclut qu’il existe dans ce cas deux solutions possibles lorsque (wa) → 0.

m(V0)=0

n2+1)(m-1)Jm-1(V0)=V0Jm(V0)

Nous notons aussi que la deuxième solution peut aussi s’écrire

99

m-2(V0)= )(VJ )n1(

)n1(0m2

2

+−

On verra plus loin que le rapport d’indice est généralement très proche de 1 pour les fibres decommunication optique ; il s’ensuit que les fréquences de coupure seront alors proches des zéros de Jm-2. Pour desvaleurs de l’indice azimutal m plus grand que 1, il existe deux fréquences de coupure distinctes. On anticipe doncqu’il doit y avoir deux sous-familles distinctes de modes ayant des constantes de propagation β différentes.

Ces modes, ayant toutes leurs composantes vectorielles de leur champ E et H non-nulles, sontqualifiés de mode hybride. On nomme la sous-famille ayant comme fréquence de coupure les zéros de Jm(V0)(relation 1) les modes EHm,p , m étant l’indice azimutal et p désignant le pième zéro (p=1, 2,...). L’indice p désigneaussi le nombre de zéros du mode contenus dans le coeur (l’indice est alors appelé indice radial). On nomme par lasuite l’autre sous famille ayant comme fréquence de coupure la relation 2 les modes HEm,p.

Il faut noter ici que la fréquence de coupure V0 = 0 n’est pas une solution de la relation (4.35) (à vérifier enexercice).

Pour l’indice azimutal m=1, l’équation caractéristique devient pour (wa)→ 0

V0J1(V0) 0(wa)ln

)(VJ V 2)(VJ 1)n( 010

002 →

++ 4.36)

La coupure sera alors donnée par le zéro de J1(V0) ou par la solution possible V0 = 0. Le mode d’indice m=1ayant comme fréquence de coupure les zéros de J1 (V0) correspondra naturellement aux modes EH1, p. Les modesHEm, p peuvent aussi exister, cependant, on doit ici conclure que leur fréquence de coupure est la même que ceux desmodes EH1, p ; ils sont donc dégénérés à la coupure. Il reste encore un mode dont la fréquence de coupure est nul;c’est-à-dire un mode qui peut se propager quelque soit la fréquence de la source. On convient de nommer ce modeimportant le mode HE1,1. Enfin pour m= 0, on montre que l’équation caractéristique se réduit pour (wa)��à lacondition

J0(V0)=0 (4.37)

On sait déjà que ceci correspond aux modes TE et TM. Ces modes sont aussi dégénérés à la coupure.

MODE CONDITION FRÉQUENCE DE COUPURE V0

HE11 V0 = 0

TE0, pTM0, p J0 (V0 ) = 0 V0 = 2,40, 5,52, 8,65, 11,79,…

EHm, p Jm (V0 ) = 0 V0 (m=1) = 3,83, 7,01, 10,17, 13,32, …

V0 (m=2) = 5,13, 8,41, 11,62, 14,80, …

V0 (m=3) = 6,38, 9,76, 13,01, 16,22, …

…

HE1, p+1 J1 (V0 ) = 0 V0 = 3,83, 7,01, 10,17, 13,32, …

HEm, p Jm-2(V0) = n’Jm(V0) V0 (m=2) = 2,40, 5,52, 8,65, 11,79,…

V0 (m=3) = 3,83, 7,01, 10,17,13,32, …

V0 (m=4) = 5,14, 8,42, 11,62, 14,80, …

… (zéros de Jm-2 quand n1 ≈ n2)

100

où n’ = 2

2

n1

n1

+−

TABLEAU 4.3 : Nomenclature des modes

Le tableau 4.3 résume ainsi les conditions de coupure ainsi que la désignation des modes.L’analyse des fréquences de coupure peut sembler superflue puisque nous savons déjà que l’équation

caractéristique sera résout numériquement plus tard. Au contraire, cette analyse est loin d’être inutile puisqu’elle estessentielle à l’orientation de la solution numérique de l’équation caractéristique.

4.1.6 Solution numérique de l’équation caractéristique (étape 6)La figure 4.2 présente la solution numérique de l’équation caractéristique pour le rapport β /k0 (indice

effectif de la fibre) en fonction de la fréquence normalisée V, pour un indice du coeur n1 = 1,5 et un indice de lagaine n2 = 1.

Ces courbes sont générées par des techniques numériques de solution d’équations transcendantes. Onprocède par un suivi adiabatique de chacun des modes à partir d’une haute fréquence V, jusqu’à leur fréquence decoupure. On comprend maintenant qu’il était essentiel de connaître ces fréquences de coupure afin de s’assurer ducalcul de l’ensemble complet des modes guidés. Comme on s’y attendait, la valeur de l’indice effectif va de n2 à lafréquence de coupure jusqu’à la valeur n1 à haute fréquence pour chacun des modes.

Lorsque la fréquence normalisée est plus grande que le premier zéro de la fonction de Bessel d’ordre zéro(V = 2,4), la fibre devient multimode. L’élargissement d’une impulsion lumineuse sera alors une conséquence desvitesses de propagation différentes des modes supérieurs. La figure 4.3 nous montre le rapport normalisé de la vitessede groupe pour les mêmes valeurs d’indices que la figure précédente. Ce rapport est obtenu en supposant que n1 et n2

ne dépendent pas de la fréquence, on a alors que

0

0

0g kdV

) /k( dV

dk

d

v

c βββ+== (4.38)

Ce rapport est obtenu par différentiation numérique du rapport (β /k0). La vitesse des modes varie de c/n2 à

la coupure jusqu’à c/n1 à haute fréquence. Chacun des modes atteint une vitesse minimale à une certaine fréquenceV. En pratique, on spécifie l’élargissement de l’impulsion à partir de ces deux valeurs extrêmes sans s’occuper desvitesses minimales. On a alors que l’élargissement est donné par

c

Lt =∆ (n1–n2)

La largueur de bande due à la dispersion intermodale sera donc de l’ordre de

B=)n(n

0,3

21 −MHz–km(4.39)

Pour augmenter cette largeur de bande, il y a avantage à choisir l’indice de la gaine n2 proche de l’indice du coeur n1.

101

102

103

4.2 Fibre monomodeL’étude précédente sur les fréquences de coupure des divers modes nous a appris que la fibre à saut d’indice

était monomode lorsque la fréquence normalisée V était plus petite que le premier zéro de la fonction de Besseld’ordre zéro soit :

V= 22

21 nn a

2 −λπ

<2,4 (4.40)

Le design d’une fibre monomode se réduit ici à cette équation fort simple qui relie les divers paramètres dela fibre (n1), (n2), (a) et la longueur d’onde de la source λ . La structure électromagnétique du mode fondamentalcorrespond donc à celle du mode HE11 qui est constitué des trois champs électriques Er, E φ , Ez et des trois champs

magnétiques Hr, H φ , Hz non nuls pour l’indice azimutal m=1. De plus, comme nous l’avons signalé dès le départ, il

existe pour m=1 deux distributions angulaires possibles soit celle en sin (φ ) et celle en cos (φ ). Il y a donc deux

modes HE11. Cependant, ces deux modes sont dégénérés puisqu’ils ont la même constante de propagation β . Pour

les communications optiques, il est nécessaire de quantifier la largeur de bande du guide même lorsqu’il estmonomode. On a vu au chapitre 2 que l’élargissement d’une impulsion qui se propage dans un milieu dispersif

ωβ ( ) est défini par la dérivée seconde de la dispersion. On définit ici un coefficient de dispersion du guide d’ondes :

2

2

d

d c

ωβωγ = (4.41)

En assumant que l’indice n1 )(n1 ω≠ et n2 )(n 2 ω≠ , c’est-à-dire qu’il n’y a pas de dispersion chromatiquedans le milieu, le coefficient de dispersion γ est alors seulement caractérisé par la dispersion du guide, c’est-à-dire

gγγ = . Nous démontrerons que le coefficient de dispersion du guide d’ondes est alors donné par

gg v

c

dV

dV=γ (4.42)

FIGURE 4.4 : Coefficient de dispersion du guide d’ondes en fonction de V

104

Ce coefficient est, par la suite, évalué grâce à une dérivation du rapport de vitesse. Dans l’exempleprécédent, la figure 4.4 nous montre ce coefficient pour le mode fondamental HE11 en fonction de la fréquencenormalisée V. Ce coefficient est utile d’ailleurs seulement pour le mode HE11 et ce dans la région monomode. Onnote que la dispersion du guide d’ondes est toujours positive dans la région monomode et que sa valeur est trèsgrande même près de V=2,4 si elle est comparée avec la dispersion de matériau du verre (voir figure 4.5). Pour deslongueurs d’onde plus courtes que 1,3 µ m, la dispersion totale est certainement plus importante. On devra sûrement

passer par des longueurs d’onde très grandes pour espérer compenser une si forte dispersion du guide d’ondes aumoyen d’une constante de matériau négative. Ces observations s’appliquent aux cas particuliers où n1 = 1,5 et n2 = 1.Il est maintenant essentiel d’analyser le comportement de la fibre monomode pour d’autres combinaisons de n1 et n2

avant de définir définitivement la fibre monomode.

D’abord, il faut à partir de la condition monomode V < 2,4 , calculer le rayon (a) de la fibre aux longueursd’onde des sources disponibles et surtout aux longueurs d’onde de perte minimale du verre. La figure 4.6 montre la

variation de l’écart ( 22

21 nn − ) en fonction du rayon (a) aux trois longueurs d’onde couramment utilisées pour un

paramètre V près du maximum permis (V = 2,25) afin d’obtenir le plus grand rayon (a) possible.

Ainsi, de cette courbe, on conclut qu’il faut que la différence d’indice (n1 – n2) soit très faible pour que lafibre ait un diamètre (2a) suffisamment grand pour être techniquement réalisable. D’autre part, l’écart d’indice (n1 –n2) doit être suffisamment grand pour assurer un guidage du mode même en présence de courbure. Présentement, lafibre monomode à saut d’indice (pour les communications optiques) a un diamètre entre 9 et 10 µ m généralement.

On a donc alors, un écart d’indice ( 22

21 nn − ) de l’ordre de 0,01 ; c’est-à-dire que si n1=1,5 on trouve n2 = 1,497.

FIGURE 4.5 : Coefficient de dispersion matériau en fonction de

105

FIGURE 4.6 : Saut d’indice en fonction du rayon du coeur (a)

FIGURE 4.7 : Évolution de la relation de dispersion en fonction de V

Il faut donc étudier le comportement monomode d’une fibre optique qui possède un indice n2 près de n1. Parexemple, la figure 4.7 montre l’évolution d’un coefficient de dispersion d’un guide d’ondes pour des variationsd’indice n2 entre 1 et 1,49. On observe que lorsque n2 tend vers n1, que la dispersion du guide d’ondes diminuerapidement. Dans la figure suivante (figure 4.8), on a tracé le coefficient de dispersion d’un guide d’ondes pour lafréquence d’opération V = 2,25. Quand l’indice n2 est très près de n1, comme elle doit l’être pour un diamètre defibre assez grand, la dispersion du guide d’ondes devient assez petite. Ainsi, on peut donc espérer compenser cettedispersion, laquelle est toujours positive dans la région monomode, par une constante de dispersion matériaunégative quand la fréquence de la source est plus grande que 1,3µ m. Afin de mieux quantifier la dispersion du

guide d’ondes lorsque n2 est près de n1, on définit un paramètre de dispersion monomode D(V) :

106

D(V)=21

g

nn −

γ(4.43)

FIGURE 4.8 : Coefficient de dispersion du guide d’ondes en fonction de l’indice de la gaine

La figure 4.9 montre l’évolution de ce paramètre avec la variation de n2. On note que le paramètre dedispersion monomode D(V) varie très peu lorsque n2 �Q1.

FIGURE 4.9 : Évolution de la fonction universelle de dispersion (HE11)

Sur la figure 4.10, on isole maintenant ce paramètre universel de dispersion monomode D(V) lorsque n2 n1. Cette courbe permet de calculer le coefficient de dispersion du guide d’ondes gγ au moyen de la relation (4.43)

et ainsi d’estimer la largeur de la bande de la fibre monomode (voir exercice 1).

107

FIGURE 4.10 : Fonction de dispersion universelle D(V) à la limite n1 §�Q2

Cette condition de faible guidage n1 ≅ n2 pour le design d’une fibre monomode amène une grandesimplification de la structure multimode que nous introduirons à la section suivante.

4.3 Modes polarisés linéairement (LP)La condition n1 ≅ n2 est nommée condition de faible guidage [6, 7] . Si on étudie la relation de dispersion

pour un indice n2 se rapprochant de n1, par exemple n1 = 1,5 et n2 =1,4 (figure 4.11), on observe que les modes HE21,TE01 et TM01 ont une constante de propagation presque identique pour toutes les valeurs de V. De même, les modesEH11 et HE31 semblent s’identifier à la même constante de propagation. Pour un indice n2 encore plus près de n1, leregroupement des modes devient plus évident (voir figure 4.12 et 4.13). Il est communément pratique d’identifier lesmodes qui ont la même relation de dispersion selon une nouvelle nomenclature, soit les modes LP01, LP11, LP21,etc.…

FIGURE 4.11 : Constante de propagation normalisée (∆ = 0,064)

108

FIGURE 4.12 : Constante de propagation normalisée (∆ = 0,033)

FIGURE 4.13 : Constante de propagation normalisée (∆ = 0,013)

Lorsque n1 §�Q2 , le paramètre n (n = n1/n2) est environ égal à 1 et l’équation caractéristique (sous la formedonnée par l’équation (4.34)) se sépare en deux équations caractéristiques :

109

(É.C.)EH(wa)K (wa)

(wa)-K

(ua)J (ua)

(ua)J

m

1m

m

1m ++ =⇒ (4.44)

et

(É.C.)HE(wa)K (wa)

(wa)K

(ua)J (ua)

(ua)J

m

1m

m

1m −− =⇒ (4.45)

Nous identifions l’équation (4.44) aux modes EH et l’équation (4.45) aux modes HE afin d’être consistantavec notre nomenclature précédente pour les fréquences de coupure, lorsque m > 1. Pour m=0, les deux équationscaractéristiques sont identiques puisque J-1(x) = -J1 (x) et K-1(x) = K1(x) :

(É.C.)TE,TM(wa)K (wa)

(wa)-K

(ua)J (ua)

(ua)J

0

1

0

1 =⇒ (4.46)

Cette équation devient l’équation caractéristique pour les modes TE et TM. Selon l’approximation n1 ≈ n2,les modes TE et TM sont dégénérés puisqu’ils ont la même constante de propagation : la solution de l’équation(4.46).

L’équation caractéristique du mode HE11 est incluse dans l’équation (4.45); pour m =1, nous avons :

(É.C.)11HE (wa)K (wa)

(wa)K

(ua)J (ua)

(ua)J

1

0

1

0 =⇒ (4.47)

Il faut noter ici que si nous utilisons la forme de l’équation caractéristique donnée à l’équation (4.34), lechoix du signe (± ) avant le terme de droite mène, après l’utilisation des identités de Bessel, aux mêmes équationsque nous venons de définir. De plus, l’analyse de ces équations caractéristiques pour les modes EH et HE nousmontre que (C.E.)

2mHE += (C.E.)

mEH ce qui signifie que le mode HEm+2 a la même constante de propagation que le

mode EHm. Ils sont par conséquent dégénérés (m2m EHHE ββ =

+, pour m >1). Par conséquent, de l’équation (4.45)

nous tirons

(É.C.)2mHE + (wa)K (wa)

(wa)K

(ua)J (ua)

(ua)J

2m

1m

2m

1m

+

+

+

+ =⇒

Les identités suivantes des fonctions de Bessel

(x)J (x)J x

1)(m 2 (x)J m1m2m −+= ++

et

(x)K (x)K x

1)(m 2 (x)K m1m2m ++= ++

permettent de transformer cette relation en la relation suivante

(É.C.)2mHE + (wa)K (wa)

(wa)-K

(ua)J (ua)

(ua)J

m

1m

m

1m ++ =⇒

c’est-à-dire que l’on retrouve l’équation caractéristique pour les modes EHm :

(É.C)2mHE + mEH(É.C) ≡

110

Puisque ces modes sont dégénérés, on peut les combiner pour former un nouvel ensemble de modes. Avantde procéder, il nous faut écrire explicitement la forme des composantes transverses des champs dans le coeur et lagaine selon cette approximation de faible guidage. Ce calcul est très laborieux, nous ferons seulement ici le calcul duchamp électrique dans le coeur et nous donnerons le résultat final pour les autres cas. D’abord, il faut résoudrel’ensemble des équations (I), (II), (III) et (IV) du tableau 4.2 pour relier les diverses constantes B, C, D à la constanteA. Par exemple, on montre que :

B=

+

+

)(wamK wa)(

)wa(’mK

)(uamJ ua)(

)ua(’mJ

00

2(wa)

1

2(ua)

1

)k(

)(mA -

η

β(4.48)

L’équation caractéristique de la forme de l’équation (4.27), lorsque n1 ≈ n2 devient :

+±=

+

22

m

’m

m

’m

(wa)

1

(ua)

1 m

)wa(K )wa(

)wa(K

)ua(J )ua(

)ua(J(4.49)

Le signe (+) correspond au mode EH et le signe (-) correspond au mode HE.

L’équation caractéristique (4.49) simplifie la relation (4.48) qui peut maintenant être écrite comme

B=00k

A

ηβ±

(4.50)

On peut maintenant trouver les composantes E 0r (4.3a) et E 0

φ (4.3b) à partir des composantes axiales E 0z

(4.15) et H 0z (4.16).

Pour les modes HE (signe (+) dans l’équation (4.50)), on peut montrer que

E )(m cos (ur)J u

Aj 01-m

0r φφβ +

−=

+(4.51)

et

E )(msin (ur)J u

Aj 01m

0 φφβφ +

= −

+(4.52)

Pour les modes EH (signe (-) dans l’équation (4.50)), on peut montrer que

E )(m cos (ur)J u

Aj 01m

0r φφβ +

= +

−(4.53)

et

E )(msin (ur)J u

Aj 01m

0 φφβφ +

= +

−(4.54)

Puisque les modes HE 1)(m+ (signe positif) sont dégénérés par rapport aux modes EH(m-1) (signe négatif), on

peut les combiner car ils ont la même constante de propagation β : par exemple, on peut écrire

111

Er = z j-0r

0r e 1)-m()1m( β

++

−+EE (4.55)

E φ =z j-00 e 1)-m()1m( β

φφ

++

−+EE (4.56)

En utilisant les identités trigonométriques, nous transformons ces équations en

Er= φφφβ β sin e )(msin (ur)J u

A2j z j-

0m +

(4.57)

et

E φ = φφφβ β cos e )(msin (ur)J u

A2j z j-

0m +

(4.58)

Cette forme obtenue pour la composante radiale et angulaire de E suggère de les combiner pour former unensemble de mode polarisé linéairement selon x ou y.

Unmodepolarisélinéairementestobtenuencalculant

Ex=Ercos φφ φ sin E−et

Ey=Ersin φφ φ cos E+

On obtient alors pour la présente combinaison que

Ex=0 (4.59)et que

Ey=z j-

0m e )(msin (ur)J u

A2j βφφβ +

(4.60)

On peut aussi selon les mêmes combinaisons, calculer le champ magnétique dans le coeur et montrer quepour ce choix on trouve :

Hy=0 (4.61)et

Hx=z j-

0m0

1 e )(msin (ur)J u

A2j βφφβ

ηη

+

(4.62)

Dans le plan (xy), cette combinaison des modes EH et HE, nous mène à un champ polarisé linéairement Ey ,Hx. Une autre combinaison qui consiste à soustraire les modes HEm+1 et EHm-1 aux équations (4.55) et (4.56) nousconduirait à un mode polarisé selon Ex , Hy.

Cependant, il ne faut pas oublier qu’il existe à la fois une composante Ez et Hz données ici par

Ez=A [ ] z -j01-m01m e )1)((m cos ur)(J )1)((m cos (ur)J βφφφφ +−++++ (4.63)

et

Hz= [ ] z j-01-m01m

00

e )1)((m cos ur)(J - )1)((m cos (ur)Jk

A βφφφφη

β +−+++ (4.64)

Calculons maintenant le rapport typique de

112

ββ

β 2

kn

2

u22

021

y

z −=≈

E

E(4.65)

Selon la condition de faible guidage, on sait que β < n1 k0 et que β > n2 k0 d’où on a alors :

21

22

21

2

maxy

z

n

nn −≈

E

E(4.66)

Pour des valeurs (n1 – n2) petites, Ez est très négligeable en comparaison avec la composante transverse Ey.

La même conclusion s’applique pour le rapport yz /HH .

De plus, il faut noter le rapport d’impédance qui existe entre Ey et Hx

Hx=1

1

ηEy

où 1η est l’impédance du milieu n1 ( 0η /n1). On conclut donc que cette structure de modes polarisée linéairement estpresque une structure TEM. Pour compléter le calcul de ces modes polarisés linéairement, il faut maintenant calculerla distribution de ces modes dans la gaine.

On peut ici simplifier le calcul en utilisant la continuité des champs E φ et H φ à l’interface n1/n2. Ainsi, on

peut anticiper que la même combinaison des champs dégénérés EH et HE nous donnera un résultat semblable à celuiobtenu dans le coeur pour la composante E φ dans la gaine. On s’inspire de l’équation (4.58) pour écrire que ce

champ sera

E φ = φφφ β cos e )(msin (wr)K C z -j0m0 + (4.67)

Dans cette équation, la fonction de Bessel a été remplacée par la fonction de Hankel qui est la solution del’équation radiale dans la gaine. La constante C0 peut être trouvée à l’aide de l’équation de continuité pour E φ ce qui

donne

C0=(wa)K

(ua)J

u

A j2

m

mβ(4.68)

Le champ radial dans la gaine Er sera aussi de la même forme (voir équations (4.57) et (4.58)). Parconséquent, un mode polarisé avec le respect de x et y peut être généré. De même, on montre que les composantes duchamp E sont reliées avec les composantes du champ H par une relation d’impédance et que les composantes axialesde E et H sont négligeables dans la gaine selon l’approximation du faible guidage.

4.3.1 Nomenclature des modes LPEn résumé, lorsque l’indice n2 de la gaine est proche de celui du coeur n1, on observe que les constantes de

propagation des modes HEm+1 et EHm-1 s’identifient l’une à l’autre. Cette dégénérescence nous amène à combiner lesdiverses composantes transverses pour former un mode polarisé linéairement. Cette structure modale est alors uneonde quasi-TEM puisque les composantes axiales des champs Ez et Hz sont beaucoup plus faibles que lescomposantes transverses.

113

4.3.1.1.1 CoeurEx = 0

Ey = A0 J1(ur) sin (l z -j0 e ) βφφ +

Ez ≈ 0

Hx = 1

y

ηE

Hy = 0Hz ≈ 0

Où 220

21

2 knu −=et 101 /nηη =

4.3.1.1.2 GaineEx = 0

Ey = A0 (wa)K

(ua)J

l

l K1(wr) sin (l z -j0 e ) βφφ +

Ez ≈

Hx = 2

y

ηE

Hy = 0Hz ≈ 0

Où 20

22

22 kn-w =et 202 /nηη =

TABLEAU 4.4 : Mode LP polarisé en (y/x)

Notez que pour l’indice m = 0, on a une combinaison de modes HE11, c’est-à-dire de modes fondamentaux.Afin d’éviter la confusion avec la notation précédente où m =0 correspondait au mode TE ou TM on introduitl’indice l = 0, 1, 2 pour désigner la dépendance azimutale des modes LP du tableau 4.4. Le mode fondamental estdonc le mode LP01.

FIGURE 4.14 : Quatre distributions de champ possibles pour le mode LP11

Ici, le mode a été décrit pour des composantes Ex =0, mais il va de soi qu’il peut exister aussi la mêmedistribution pour l’autre polarisation, c’est-à-dire Ey = 0. Notez aussi que chacune de ces deux polarisations peutavoir une distribution en cos (φ ) ou sin (φ ). Comme l’illustre la figure 4.14, pour chaque indice m, il existegénéralement quatre distributions possibles.

114

La constante de propagation de ce mode polarisé linéairement est trouvée en utilisant les trois équationscaractéristiques (4.44), (4.45) et (4.46) obtenues précédemment. Ces trois équations peuvent être écrites en seule dela façon suivante

(wa)K

(wa)K (wa)

(ua)J

(ua)J (ua) 11

l

l

l

l −− −= (4.69)

où l’indice l est donné par

l=

+

HE mode 1-m

EH mode 1m

TMTE, mode 1

Exercice 4.1

Équation caractéristique pour les modes LPl,p

Vérifier que cette équation caractéristique comprend bien les trois précédentes en vous servant desidentités des fonctions de Bessel et de Hankel.

L’équation (4.69) est donc l’équation pour les modes polarisés que l’on désigne LPl, p où l est l’indice azimutal relié àl’indice azimutal m des modes hybrides et p = 1, 2, 3,… est l’indice radial. La figure 4.15 nous montre la solution decette équation caractéristique pour l’indice effectif (β / k0) alors que la figure 4.16 nous montre les vitesses de

groupe des modes LP. Notez que l’équation caractéristique (4.69) ne dépend plus des indices n1 et n2; on peut alorsrésoudre cette équation une fois pour toutes en écrivant la solution du paramètre (ua) en fonction de la fréquencenormalisée V (figure 4.17).

115

FIGURE 4.15 : Constante de propagation normalisée en fonction de V

FIGURE 4.16 : Vitesse de groupe normalisée

116

117

Le tableau 4.5 nous donne le lien entre cette désignation en modes LP et la désignation traditionnelle enmodes hybrides.

Désignation en mode LP Désignation traditionnelle et nombrede modes

Nombre de modes dégénérés

LP01 HE11 X 2 2

LP11 TE01 ,TM01, HE21 X 2 4

LP21 EH11 X 2, HE31 X 2 4

LP02 HE12 X 2 2

LP31 EH21 X 2, HE41 X 2 4

LP12 TE02, TM02, HE22 X 2 4

LP41 EH31 X 2, HE51 X 2 4

LP22 EH12 X 2, HE32 X 2 4

LP03 HE13 X 2 2

LP51 EH41 X 2, HE61 X 2 4

TABLEAU 4.5 : Relations entre les désignations traditionnelles et LP pour les dix premiers modes

La distribution radiale des composantes transverses des champs de divers modes LP est montrée à la figure4.18. On note sur cette figure la continuité des fonctions de Bessel et Hankel à l’interface. De même, on peut voirque la dérivée est continue, ce qui est en fait une conséquence de l’équation caractéristique (voir exercice 4.2).

118

FIGURE 4.18 : Distribution radiale de champ des six premiers modes de la fibre à saut d’indice dans l’ordre de leurapparition à la fréquence de coupure du mode supérieur

Exercice 4.2

Continuité à l’interface

Montrez que l’équation caractéristique des modes LP implique que la fonction radiale d’amplitude deschamps transverse est continue de même que sa dérivée.

Les modes LP étant des ondes quasi-TEM, on peut calculer simplement la puissance transportée au moyende la relation

Sz=2

x 2

1E

η(4.70)

La figure 4.19 nous montre cette distribution de puissance normalisée pour quelques modes LP. Il estpossible aussi d’intégrer cette distribution de puissance dans le coeur et dans la gaine au moyen des intégrales deBesssel et de Hankel (voir A4).

119

FIGURE 4.19 : Distribution d’intensité totz P/S des six premiers modes de la fibre à saut d’indice dans

l’ordre de leur apparition à la fréquence de coupure du mode supérieur

On montre que le rapport de la puissance transportée dans le coeur Pc0 sur la puissance transportée dans lagaine Pc1 s’écrit

(wa)K (wa)K(wa)K

(ua)J (ua)J(ua)J

P

P

112

112

1c

c0

+−

+−

−−

=lll

lll (4.71)

L’équation caractéristique permet d’éliminer les fonctions de Hankel et d’écrire

120

(ua)J (ua)J(ua)J

(ua)J (ua)J(ua)J

P

P

11

2

wa

ua2

112

c1

c0

+−

+−

+

−=

lll

lll (4.72)

Le paramètre (ua) doit être obtenu de l’équation caractéristique pour une valeur fixée de V. La figure 4.20montre le rapport de la puissance transportée dans le coeur par rapport à la puissance totale transportée pour lespremiers modes LP. Près de la fréquence de coupure, la puissance est presque entièrement dans la gaine.

FIGURE 4.20 : Rapport de puissance normalisée Γ en fonction de V

À hautes fréquences, la puissance se retrouve dans le coeur. Par exemple, à la première fréquence decoupure multimode V = 2,4, 82,7% de la puissance du mode fondamental se trouve confiné dans le coeur. Oncomprend ici encore que la gaine fait partie de la structure guidante puisqu’elle contribue en grande partie àla propagation de la puissance.

La figure 4.21 nous indique la distribution d’intensité du mode fondamental LP01 dans une fibre pourdiverses valeurs de la fréquence normalisée. Encore ici, on peut comprendre qu’à basse fréquence, le mode se situeen grande partie dans la gaine et qu’à haute fréquence le mode devient presque entièrement contenu dans le coeur.

121

FIGURE 4.21 : Distribution de puissance normalisée pour différentes fréquences du mode LP01

Exercice 4.3

Largeur de bande de la fibre monomode

En l’absence de dispersion chromatique (matériau), la dispersion du guide d’ondes limite la largeur debande de la fibre monomode. Dérivez une expression analytique pour la largeur de bande de la fibre à sautd’indice monomode en vous servant du résultat de l’exercice 2.4. Vous devez ainsi supposer que les impulsions àl’entrée ont une largeur Tm optimisée pour la distance de 1 kilomètre et que λ = 1,3 µ m.

B=f( gγ ) [ ]km-GHz

Calculez cette valeur pour les fibres (n1 = 1,5 , n2 = 1,0) et (n1 = 1,5 , n2 = 1,48) au maximum dedispersion du guide d’ondes.

122

Exercice 4.4

D. Gloge [6] a montré qu’une solution approchée de l’équation caractéristique du mode HE11 était dans lecas de faible guidage :

(ua)4/14 )V(41

V 4,2

++≅

1. Vérifiez numériquement cette relation en la comparant à l’équation caractéristique de faible guidage pour cemode.

2. Montrez que cette relation, toujours dans le cas de faible guidage (n1 ≈ n2), conduit à la constante depropagation :

24/1421

20

01))V(4(1

)nn()4,2(k k n

++−

−≅β

3. Calculez la valeur du paramètre de dispersion du guide d’ondes (en supposant que la dispersion matériau estnulle).

2

2

gd

d c) (

ωβωγ =

et trouvez la relation de dispersion D(V) définie comme suit

D(V) )nn( 21g −=γ

Tracez la courbe de la relation D(V)

4. En supposant que la dispersion matériau est non nulle (cependant d

dn

d

dn 21 = ). Dans ce cas, montrez que la

dispersion totale 2

2

d

dc) (

ω

βωγ = peut être écrite comme

gm γγγ +=

où mγ est le coefficient de la dispersion matériau

21

22

md

nd

λλγ =

et gγ est donné par les calculs précédents. Dans le but d’obtenir ce résultat, l’approximation réaliste suivante

doit être considérée :

λλ

d

dn<<

5. Finalement, discutez de la possibilité de réaliser une fibre monomode sans dispersion.

123

Exercice 4.5

Dispersion nulle

Le coefficient de dispersion matériau mγ peut s’écrire près de λ = 1,28 µ m

λγ - (1,28 0,038 m =

A. Calculez le diamètre (2a) maximum pour qu’une fibre à saut d’indice n1 = 1,46 et n2 = 1,457 possède unedispersion totale nulle à m3,1 µλ = .

B. Expliquez pourquoi le diamètre est maximum selon vos calculs.

C. Est-il possible de réaliser une fibre optique de dispersion totale nulle à λ =1,55µ m pour ce choix d’indice?

Exercice 4.6

Approximation Gaussienne du mode

Marcuse [8] a donné une expression simple qui fournit une bonne approximation gaussienne du modeLP01

E=E0e

2

0w

r

−

Avec

63/20

V

2,879

V

1,61965,0

a

w++=

Vérifiez cette approximation dans le coeur et la gaine d’une fibre optique de fréquence normalisée V=1,2, 2.4 en la comparant avec la solution en termes des fonctions de Bessel et Hankel.

Exercice 4.7

Maintenir un état de polarisation dans une fibre

On a vu, dans l’approximation de faible guidage, que l’on pouvait construire une fibre monomode quisupportait un mode polarisé linéairement. Croyez-vous, selon cette théorie, que la polarisation du mode semaintiendrait sur de très longues distances de propagation ?

Discutez de la possibilité de construire une fibre monomode qui maintiendra son état de polarisation.

124

5 La fibre à gradient d’indiceNous avons vu au chapitre précédent que la fibre monomode à saut d’indice a une dimension très petite.

Lorsque cette fibre est plus grosse et qu’elle est multimode, on a montré que les modes ont des vitesses de groupetrès différentes et qu’il en résulte alors une faible largeur de bande. Il est vrai qu’aujourd’hui les problèmestechniques associés à la fibre monomode sont principalement résolus. Cependant, pour certaines applications à venirtel l’ordinateur optique, on croit devoir utiliser des fibres optiques de dimensions beaucoup plus grandes que lesdimensions actuelles des fibres monomodes tout en conservant une grande largeur de bande.

La fibre à gradient d’indice convergent permet d’uniformiser la vitesse de groupe des divers modes et ainsi,augmenter de beaucoup la largeur de bande d’un tel lien optique dans un système de communication. Signalons aussique de tels milieux optiques à gradient d’indice (voir figure 5.1) sont devenus aujourd’hui des éléments optiquesimportants (par exemple, GRIN) aussi bien en communication qu’en imagerie optique.

FIGURE 5.1 : Exemples de différents profils d’indice de réfraction pour une fibre avec un cœur non-uniforme

Dans ce chapitre, nous aborderons l’analyse de la fibre à gradient d’indice en rappelant d’abord ladécomposition de ses modes en modes polarisés linéairement –LP (section 5.1)- sous les conditions de faible guidageet de faible gradient d’indice. Pour compléter ce modèle électromagnétique, nous résoudrons l’équation radiale desmodes LP pour le cas de la fibre à gradient d’indice parabolique (section 5.2). Nous ferons par la suitel’approximation du milieu non-limité pour obtenir une solution plus élégante, en termes des fonctions de Laguerre-Gauss (section 5.3).

Par la suite, nous introduirons à la section 5.4 les principes de l’optique géométrique pour l’étude des modesd’un milieu à profil d’indice général. Nous compléterons cette analyse par l’étude de la fibre parabolique pour biendégager le lien entre les concepts de l’optique géométrique et de la théorie électromagnétique (section 5.5). À lasection 5.7, nous déterminerons, au moyen de la méthode géométrique, le profil d’indice optimal qui permetd’uniformiser les vitesses de groupe. Enfin, le calcul de la largeur de la bande de la fibre à profil optimisé seraeffectué à la section 5.7. À l’annexe 5A, on trouvera l’essentiel du modèle de l’optique géométrique pour lapropagation des rayons dans un milieu d’indice variable. L’annexe 5B présente l’analyse exacte de la fibre SELFOC.

125

5.1 Modes polarisés linéairement (LPl,p)Pour la fibre à saut d’indice, nous avons montré au chapitre précédent que les modes TEm, TMm ainsi que

les modes HEm+1 et EHm-1 avaient pratiquement la même constante de propagation β lorsque la fibre était

faiblement guidée (n1 ≅ n2). Cette dégénérescence a permis de grouper diverses composantes cylindriques des champE et H et d’obtenir des modes polarisés linéairement LP, c’est-à-dire des modes dont les composantes sontimportantes seulement dans la direction transverse à la direction de propagation.

Le tableau 4.4 montre la structure du mode LP polarisé en y/x. On note que la composante transverse duchamp magnétique est reliée à la composante transverse du champ électrique par une relation d’impédance et que ladirection de propagation z est donnée par le produit vectoriel des composantes transverses.

On a donc une onde TEM comme solution. Cette solution se décompose pour les champs transverses en unepartie angulaire sin (l )0φφ + et une partie radiale Jl (ur) dans le coeur et Kl (wr) dans la gaine. L’équationcaractéristique qui permet de déterminer la constante de propagation β des modes LPl p est obtenue en s’assurant de

la continuité de la solution radiale à l’interface coeur/gaine ainsi que la continuité de la dérivée de la fonction radiale.On note aussi que la composante transverse des champs obéit en fait à l’équation d’onde

Ψ+Ψ∇ 20

22 kn =0 (5.1)

dans le cœur n1 et dans la gaine n2. Ceci n’est pas surprenant puisqu’on sait déjà qu’en coordonnées cartésienneschacune des composantes des champs doit obéir à l’équation d’onde. Il serait donc possible pour la fibre à sautd’indice d’obtenir immédiatement le tableau 4.4.

Cependant, il n’est pas possible avec une seule composante transverse des champs d’assurer la continuitédes composantes tangentielles à l’interface cœur /gaine. L’analyse exacte des modes nous a donc appris que souscertaines condition de faible guidage que les conditions aux limites pouvaient se réduire à celles des modes LP.

En présence d’un profil d’indice, un guide d’onde optique possède encore des solutions modales TE, TM ,EH et HE. Cependant, la présence du terme ∇n dans les équations de Maxwell introduit un couplage de ces diversmodes qui rend l’analyse très complexe [9]. Cependant lorsque le gradient d’indice est faible, on a mentionné auchapitre 2 que dans ce cas l’équation d’onde (5.1) rend très bien compte des solutions électromagnétiques. De plus, ila été démontré [10] qu’en présence d’un faible guidage (n1 ≅ n2) que la décomposition en mode LP était encorejustifiée et que les conditions de continuité à l’interface se réduisaient à la continuité de la solution radiale et de sadérivée.

On écrit alors la solution de l’équation d’onde (5.1) sous la forme

z -j0 e )( cos (r) R βφφ +=Ψ l (5.2)

où 0φ = 0 ou 2/π

La fonction radiale R (r) est une solution de l’équation suivante :

0R r

(r)n kdr

dR

r

1

dr

Rd2

2222

02

2

=

−−++ l

(5.3)

On a ici supposé que l’indice n était une fonction uniquement de la coordonnée radiale ce qui esthabituellement le cas des fibres optiques.

La constante de propagation sera obtenue de la continuité de la solution radiale R à l’interface

(R(a))cœur=(R(a))gaine (5.4)

126

et de sa dérivée

gainea r

coeura r dr

dR

dr

dR==

=

(5.5)

La composante Ex (ou Ey) du champ électrique sera donnée par la solution de �GDQV� OH�Fœur et la gainealors que la composante Hy (ou Hx) du champ magnétique sera donnée par la relation d’impédance +y = Ex où estl’impédance du milieu. Notez que les composantes axiales des champs Ez et Hz sont très petites en comparaison avecles composantes transverses.

On a encore une onde quasi-TEM polarisée selon x/y ou selon y/x, de plus pour chacune de cespolarisations il existe généralement (sauf l =0) deux distributions angulaires possibles correspondant au choix de

0φ ( 0φ = 0 ou 0φ = 2/π ).

5.2 Fibre à profil parabolique généraliséeL’extension que nous venons de faire du concept des modes polarisés linéairement (LP) pour les fibres à

profil d’indice simplifie grandement l’analyse de ce type de fibre. Généralement, le profil d’indice du cœur ne peuts’écrire sous une forme mathématique simple menant à une solution connue de l’équation radiale. On doit alorsrésoudre numériquement l’équation radiale avant d’obtenir la constante de propagation au moyen des équations decontinuité (5.4) et (5.5). Il est cependant utile d’obtenir des solutions exactes pour divers profils afin de pouvoirdiscuter simplement de l’effet du profil d’indice. Le profil parabolique d’indice amène une solution connue del’équation radiale. Nous étudierons ici le profil généralisé [11] suivant

>

≤≤

−

=

a r n

ar02N(1 n(r)n

22

)

2

a

r212 (5.6)

Ce profil est déterminé au moyen de deux paramètres soit le saut d’indice

1

2121

22

21

n

nn

2n

nn −≅−=∆

et le paramètre de forme

N=21

a1

nn

nn

−−

La figure 5.2 nous montre la variation du profil d’indice pour diverses valeurs du paramètre de forme N.Lorsque N est positif (5.2 : b, c, d) le profil est parabolique convergent. Pour des valeurs négatives de N le profildevient parabolique divergent (5.2 : e). Enfin le profil standard à saut d’indice se retrouve lorsque N devient nul(5.2 : a). L’étude de ce profil nous permettra de comparer l’effet d’un profil convergent par rapport à celui divergenttout en gardant selon un même modèle le profil à saut d’indice comme outil de référence. Notez qu’il faudra toujoursselon l’approximation des modes LP s’assurer que les paramètres ∆ et N soient choisis de sorte que l’approximationde faible guidage (n1 ≅ n2) et de faible gradient (n2 ≅ na) soient respectées.

127

FIGURE 5.2 : Variation du profil d’indice selon N

5.2.1 Solution mathématique du profilPour commencer, il nous faut résoudre l’équation pour la fonction radiale R(r) dans le cœur et dans la gaine

de la fibre. On utilise ici la même notation que pour la fibre à saut d’indice c’est-à-dire :

u2= 220

21 kn β−

w2= 20

22

2 kn−βet

V2= )n(n a k 22

21

220 −

128

Dans la gaine, n(r) = n2 et l’équation radiale (5.3) devient pour cette région :

0(r) R r

wdr

dR

r

1

dr

Rd2

22

2

2

=

+−+ l

Afin que les champs décroissent exponentiellement lorsque r ∞→ , on choisit comme les fonctions deHankel modifiées

(R(r))gaine=BKl(wr) (5.8)

où B est une constante à déterminer.

Dans le cœur, à cause du profil d’indice parabolique, l’équation radiale (5.3) devient :

0R ra

rNVu

dr

dR

r

1

dr

Rd2

2

4

222

2

2

=

−−++ l

(5.9)

Il est utile de définir que la variable normalisée ρ = r /a. Alors l’expression (5.9) est exprimée comme suit :

0R NV(ua)d

dR1

d

Rd2

2222

2

2

=

−−++

ρρ

ρρρl

(5.10)

Il existe deux solutions linéairement indépendantes pour cette équation. On rejette celle qui est infinie àl’origine et on conserve celle finie à l’origine. Nous avons alors

+

−=

+−

2

N4V

2(ua)

2

1

11NV

cœur NV

1

e A ))( (R2 ρρρ ρ

l

Fl

l

(5.11)

où A est une constante et 1F1 une fonction hypergéométrique confluante [12] définie par la série de puissancesuivante :

1F1 ∑∞

= ++

=

0

n

0

0

0

0

0

0

n!

x

n)�E

n)�D

)�D

)�E x

b

a

n

(5.12)

L’application de la condition de continuité de R et de sa dérivée première, à r = a, nous conduit à uneéquation caractéristique qui nous permettra de trouver la relation entre (ua) et V, c’est-à-dire de déterminer ainsi laconstante de propagation β en fonction du paramètre V de la fibre à profil parabolique. On comprend qu’il faudra

encore recourir aux calculs numériques et aux abaques pour poursuivre l’analyse.

Lorsque le profil est divergent (N < 0), le terme N devient imaginaire ce qui amène, dans la série depuissance de la 1F1, à des fonctions gamma avec des arguments complexes. Il s’ensuit que ce développement en sériede puissance n’est pas très pratique. On préfère plutôt utiliser un développement en série de fonctions de Bessel [12]pour cette fonction 1F1 et on montre alors que :

(R( ρ ))cœur=A ∑∞

=0m

C m ρ mJl+m(ua ρ ) (5.13)

129

où A est une constante (différente de la précédente) et où les coefficients Cm sont calculés au moyen de la relation derécurrence suivante :

(m+3)Cm+3=

−++ + m1m2

2

C 2

(ua)C 2)m(

(ua)

NVl (5.14)

avec C2=2

)1(

(ua)

NV2

2 +l

C1=0

C0=1

Les fonctions de Bessel sont disponibles sur presque tous les ordinateurs d’aujourd’hui, il s’ensuit quel’évaluation de la fonction radiale est facile.

L’application des équations de continuité (5.4) et (5.5) nous amène à résoudre les équations suivantes pourdéterminer les constantes A et B :

A ∑∞

=0m

C mJl+m(ua)=BKl(wa) (5.15)

A ∑∞

=0m

C m[mJl+m(ua)+(ua)J’m+l

(ua)]=B(wa)K’l (wa) (5.16)

Ce système d’équation a une solution non-triviale si son déterminant est nul ; ceci mène à l’équationcaractéristique suivante :

E.C. (ua) Kl (wa) ∑∑∞

=+

∞

=−−+ −=

0mmm

0m11mm (ua)J CK (wa)(ua)J C lll (5.17)

Pour la fibre à saut d’indice, le paramètre N est nul ; l’équation de récurrence (5.14) nous donne alors quetous les coefficients Cm sont nuls sauf le premier. On retrouve alors bien l’équation caractéristique des modes LP(4.69) à partir de l’équation caractéristique (5.17).

5.2.2 Étude comparative de divers profilsL’intérêt premier d’une fibre optique à profil d’indice est d’essayer de déterminer un profil d’indice qui

permettra de diminuer la dispersion modale de la fibre à saut d’indice afin de pouvoir utiliser des fibres de granddiamètres. Pour diminuer la dispersion intermodale, nous savons maintenant qu’il faut égaliser les vitesses de groupedes divers modes. La figure 5.3 nous montre trois tableaux de vitesses de groupe pour une fibre optique à sautd’indice (5.3a), une fibre à profil divergent N = -1 (5.3b) et enfin une fibre à profil convergent N =1 (5.3c).

130

FIGURE 5.3 : Variations des vitesses de groupe pour un saut d’indice (a), pour un profil divergent (b) et pour unprofil convergent (c) en fonction de V.

131

Il est évident que le profil convergent tend à égaliser les vitesses de groupe à haute fréquence (V >> 1). Ceprofil est donc important pour la réalisation de fibres à large bande et ayant un diamètre (2a) grand (V >> 1). Lors del’analyse géométrique de la fibre (section 5.4) nous reviendrons plus en détail sur les propriétés de cette fibre.

Pour une opération monomode la fibre à profil divergent présente un certain intérêt. Par exemple, commeon peut l’observer sur la figure 5.4, la distribution du mode fondamental d’une fibre divergente (N< 0) est plusuniforme dans la région du cœur que celle d’une fibre à saut d’indice (N = 0) et que celle d’une fibre à profilconvergent (N>0). La figure 5.5 montre l’évolution de cette distribution du mode fondamental pour diversesfréquences normalisées V. On réalise que la distribution va en élargissant lorsque V croît pour atteindre un plateau àun certain V0 et par la suite, le centre de la distribution se creuse vers les hautes fréquences (voir exercice 5.1). Ladispersion du guide d’ondes des fibres à profil convergent et divergent peut être estimée au moyen du graphique duparamètre de dispersion universelle D(V) ((4.42) et (4.43)) de la figure 5.6. Près la fréquence de coupure Vc , ladispersion du guide d’ondes des fibres est sensiblement la même. La fréquence de coupure du mode LP11 peut êtreobtenue du graphique de la figure 5.7.

FIGURE 5.4 : Distribution du mode fondamental selon N pour V= Vc (LP11)

132

FIGURE 5.5 : Évolution du mode fondamental en fonction de V

FIGURE 5.6 : Paramètre de dispersion universel D(V)

133

FIGURE 5.7 : Fréquence de coupure en fonction de N

Enfin signalons que la figure 5.4 nous indique que pour N=1, que le mode fondamental est presqueentièrement contenu dans le cœur de la fibre. Ceci est d’ailleurs bien mis en évidence sur le graphique de la figure5.8 où on estime à 95% le rapport de la puissance dans le cœur sur la puissance totale à la fréquence de coupure. Oncomprend ici que la gaine sert peu au guidage dans une fibre à profil convergent lorsque la fréquence V estsuffisamment grande. Comme nous le verrons dans le cadre du modèle géométrique, le mode est presque entièrementguidé par le profil d’indice. Ces considérations nous amènent à la solution simplifiée de la section suivante pour lesmodes à profil convergent.

134

FIGURE 5.8 : Rapport de puissance pour différentes courbures

Exercice 5.1

Sur la figure 5.5, on note que la distribution atteint un plateau à une certaine valeur V0. Ceci veutdire que pour cette fréquence du mode LP01 (l = 0) que la dérivée première et seconde sont nulles.

À partir de l’équation d’onde radiale (5.10), déterminez pour quel paramètre (ua) ceci est-il possible.

Pour le paramètre (ua) trouvé en 1, vous pouvez montrer que la solution de l’équation d’onde (5.10)se réduit à :

R(p)=J0(Up2)

où U = ?

Ce qui correspond à une distribution toujours plus large que la distribution d’une fibre à saut d’indice.

5.3 Modes LP Laguerre-GaussDe l’étude de la section précédente, on comprend que le mode est guidé essentiellement par l’effet de la lentille

du profil et non par réflexion totale à l’interface lorsque le profil d’indice est convergent. Et ceci d’autant plus que leprofil s’étend sur une large dimension transverse. Lorsque le diamètre du cœur de la fibre (2a) est grand, on faitl’approximation que (2a) tend vers l’infini afin d’obtenir la simplification suivante : le domaine de la fonction radialeR( ρ ) de l’équation (5.11) s’étend alors jusqu’à l’infini et on doit ainsi exiger que cette fonction possède une

puissance finie entre 0 et ���&HSHQGDQW��RQ�PRQWUH�© facilement » (voir [12]) que cette fonction R(ρ ) – équation

(5.11)- n’est pas intégrable de 0 à l’infini. Pour palier à ceci, il faut limiter la somme que définit la fonction

135

hypergéométrique confluante 1F1 soit un polynôme, il suffit que son paramètre a0 soit un entier négatif. On exigealors que :

1)(p 4V

(ua)

2

1 2

−−=−+l,p=1,2,3,… (5.18)

Cette condition fixe le paramètre u et nous permet ainsi de calculer la constante de propagation β du mode

guidé :

)1(2p a

2Vk n

220

21

2 l+−−=β (5.19)

où l=0,1,2,…p=0,1,2,…

Par convention, on utilise la notation p , lβ ce qui veut dire que la constante de propagation β prend

plusieurs valeurs dépendantes de deux entiers ; le premier, l, est l’indice angulaire et p est l’indice radial. Notez quenous avons choisi N =1, puisque le facteur N∆ du profil (équation (5.6)) devient équivalent à un saut d’indice ∆ .

D’autre part, lorsque la condition stipulée à l’équation (5.18) est appliquée aux fonctions 1F1 –équation(5.11) - , ces dernières deviennent simplement des polynômes de Laguerre (voir [12]) et la fonction radiale R(p)s’écrit alors :

R(p)= )V( L e )V()!1(p

1)!(p (2V) 21-p

/2)(V-2/122/1

2

ρρ ρ l

l

+−−

(5.20)

où L l1p− (x) est la fonction généralisée des polynômes de Laguerre [12]. Le facteur de cette équation est tel que :

∫∞

=

0 1 d )( R )( R ρρρρ (5.21)

De plus, ces fonctions sont orthogonales c’est-à-dire que :

∫∞

=

0 pp’pp d )( R )( R δρρρρ ll (5.22)

Ces fonctions peuvent donc servir de base de développement d’une distribution quelconque de champ etpermettent une analyse modale d’un problème pratique, par exemple, le couplage de fibres.

La figure 5.9 permet de visualiser la distribution angulaire et radiale du vecteur densité de puissance ; nousavons tracé R(ρ �� �� �FRV��l� ��5� ρ ). Notez la dégénérescence (2p + l –1) de ces distributions ; pour chaque entier

M = (2p + l –1), il y a M distributions possibles qui ont la même constante de propagation.

136

FIGURE 5.9 : Patron modal pour quelques modes Laguerre-Gauss

Nous avons obtenu dans cette section, une solution modale simple et élégante pour la fibre à gradientd’indice parabolique convergent, en supposant que le cœur est très large (a � ��� FH� TXL� VLJQLILH� TXH� OH� SURILOparabolique illustré à la figure 5.2 s’extensionne très rapidement. Il faut bien noter que dans ce cas, notreapproximation n1 ≈ n2 devient de moins en moins bonne : cette fonction sera réaliste pour les modes qui ont unepuissance presque entièrement contenue dans le cœur, c’est-à-dire pour les modes d’indices l et p petits. En effet,lorsque l et p augmentent, on réalise (voir figures 5.9 et 5.10) que les modes possèdent une amplitude non-négligeable de plus en plus loin vers l’extérieur. En conclusion, ces solutions Laguerre-Gauss sont utiles etraisonnables pour des l et p qui ne sont pas trop grands.

137

FIGURE 5.10 : Polynômes Laguerre-Gauss ; a) l = 0, b) l =1, c ) l =2

Exercice 5.2

Mode fondamental gaussien

On vient de montrer que le mode fondamental pour un profil parabolique convergent de grand

diamètre (2a) peut s’écrire comme une gaussienne exp [-2

0w

r

] . La largeur type w0 est donnée par :

w0=aV

2

Pour la fibre optique à saut d’indice (voir exercice 4.6), on a discuté d’une approximationgaussienne du mode fondamental.

Comparez ces deux résultats et dites si un guidage par réflexion totale interne peut être plusefficace qu’un guidage par un profil convergent.

5.4 Modes LP et optique géométriqueDans un milieu à gradient d’indice la théorie de l’optique géométrique est utile pour déterminer la

trajectoire des rayons et ainsi visualiser l’écoulement de la puissance transportée. L’annexe (5A) rappelle comment

138

est déduite l’équation des rayons à partir des équations de Maxwell et de l’approximation de l’optique géométrique( λ << dimensions). Nous cherchons maintenant comment utiliser le modèle de l’optique géométrique pour visualiserla propagation des modes LP dans une fibre à profil d’indice n(r). Afin d’établir le lien entre les rayons de l’optiquegéométrique et les paramètres d’un mode LP rappelons d’abord que la distribution des champs transverses du modes’écrit au moyen d’une fonction scalaire Ψ , solution de l’équation d’onde (5.1). Les modes correspondent à dessolutions ayant un facteur de propagation de la forme e-j β z. Il faudra donc tenir compte de ce fait lors du calcul de latrajectoire des rayons modaux. Ceci peut se faire en tenant compte de ce facteur à travers la fonction de phase del’iconale

ϑ k -j0

0e Ψ=Ψ (5.23)

De plus, il faut se rappeler que les modes LPl , p ont été décomposés en solution radiale et azimutale cos(l )0φφ + où l = 0, 1, 2. On devra alors tenir compte de cette décomposition en imposant une forme e ±j l φ pourl’iconale. En résumé un mode LPl , p devra avoir un iconal de la forme

zk

k

(r) z) , ,(r 00

0βφϑφϑ +±= l

(5.24)

On cherche maintenant la trajectoire des rayons des modes LPl , p au moyen de l’équation (D.14) qui reliel’iconal et l’équation des rayons

ds

rdn

r

r

=∇ϑ (5.25)

On a donc que

zrzr a ds

dzna

ds

dnra

ds

drnaa

r

1a

r

rrrrrr

++=∂∂+

∂∂+

∂∂

φφφϑ

φϑϑ

z

Pour l’expression propre au mode LP de l’iconale (5.24), on déduit de (5.25) les trois relations suivantes

ds

drn

dr

d 0 =ϑ

(5.26)

ds

dnr

rk 0

φ=± l(5.27)

ds

dzn

k0

=β(5.28)

D’autre part, on a montré à l’annexe D (équations D.24 et D.25) qu’il y avait deux constantes C1 et C2 pour latrajectoire des rayons dans un milieu d’indice n(r) :

nr2

ds

dφ=C1 (5.29)

nds

dz=C2 (5.30)

Des équations (5.29) et (5.27), on détermine la constante C1 de la trajectoire des rayons pour le mode LPsoit;

139

C1=0k

1± (5.31)

et des équations (5.28) et (5.30), on trouve la constante C2 soit :

C2=0k

β(5.32)

La constante C1 est donc essentiellement reliée à l’indice azimutal l alors que la constante C2 est égale àl’indice effectif du mode. Le rapport dz/ds est égal au cosinus de l’angle entre la trajectoire et l’axe des z (cos γ ).

On peut donc aussi écrire :

γβ cosn k0= (5.33)

Cette dernière équation est complètement analogue à la définition de la constante de propagation pour unguide planaire selon le modèle géométrique. Cependant ici n varie selon la trajectoire, donc si on connaît γ pour un r

et un z donné, on peut évaluer β et par la suite suivre la trajectoire correspondante à ce mode de constante β . On

obtient alors les équations de la trajectoire des rayons du mode LP à partir des équations (D.31) et (D.32) et desconstantes C1 et C2 (5.31) et (5.32) :

z=z0+ drr

k n

1/2r

r 2

222

02

0

−

∫

−− lβ (5.34)

drr

k n r

1/2r

r 2

222

022-

00

−

∫

−−±= l

lφφ (5.35)

Les modes à symétrie de révolution (l = 0), dont en particulier le mode fondamental LP01, correspond à desrayons méridionaux puisque 0φφ = . Le signe ± devant l’intégrale de la trajectoire correspond à deux états depolarisation (x/y) et (y/x) qui deviennent ici une rotation vers la droite et vers la gauche des rayons hélicoïdaux.

De plus, la relation (5.26) qui permet de calculer la partie radiale de l’iconale 0ϑ (r) peut être écrite entermes de r et z en utilisant l’expression de la constante C2 (5.30), le résultat est :

=

dz

drC

dr

d2

0ϑ(5.36)

L’équation de la trajectoire des rayons est donnée en (D.29). En remplaçant les constantes C1 et C2 pour lemode LP on trouve :

drr

k n k

1r)(

1/2r

r 2

222

02

00

0∫

−−= lϑ (5.37)

Finalement, on peut conclure que selon le modèle géométrique, la solution radiale d’un mode LP guidé doitêtre de la forme

(R(r))géo.=edr

rk n j-

1/2r0r 2

222

02∫

−− l

(5.38)

140

Sans encore spécifier la distribution d’indice n(r), on peut extraire plusieurs informations utiles sur lesmodes de cette solution approchée. En effet, notre connaissance des modes guidés de la structure plane ou de la fibrecirculaire à saut d’indice nous dit qu’un mode guidé doit avoir dans la région de guidage une forme d’ondestationnaire. La fonction radiale devra alors être une exponentielle imaginaire pure pour être de type cosinusoïdale.Ce sera le cas si la racine carrée de l’intégrale de l’équation (5.38) est réelle ou bien si

−−

2

222

02

rk n

l >0(5.39)

Dans le cas contraire, on a une exponentielle décroissante selon la direction radiale r. On associe ce type decomportement à une onde évanescente. Cette condition établit donc un lien simple entre le profil d’indice, laconstante de propagation et la région guidée.

FIGURE 5.11 a) : Profil d’indice parabolique dans le cœur

141

FIGURE 5.11 b) : Diagramme du mode LP0, p correspondant

FIGURE 5.12 a) : Diagramme des modes LPl, p

142

FIGURE 5.12 b) : Diagramme des modes LPl, p dans la région guidée (β = n0 k1)

Les diagramme de 0k

β en fonction de r permettent de visualiser le comportement d’une fibre avec un profil

quelconque n(r) (voir les figures 5.11 et 5.12). Nous distinguons deux types de modes : les modes LP0, p , quicomprennent naturellement le mode fondamental LP01 et les modes LPl, p. Pour le premier cas (c’est-à-dire l = 0), onsuppose que n(r) a une distribution de type parabolique à l’intérieur du cœur et une valeur constante pour r > a (voirfigure 5.11a). Nous aurons des modes guidés pour les valeurs de β qui satisfont n2k0 < < n1k0. On constate, par

exemple, que pour β = n0k0 où (n2 <n0 <n1), on a des modes guidés (comportement d’onde stationnaire) dans la

région du cœur comprise entre r = 0 et r = r0 et des modes évanescents pour r > r0 (voir figure 5.11b).

Lorsque l �����YRLU�ILJXUH�����D���OH�FRPSRUWHPHQW�FKDQJH�FRPSOètement puisque dans ce cas, le terme 2

r

1

de la relation (5.39) a pour conséquence que près de l’origine, les modes ne peuvent plus être guidés et deviennent

donc évanescents. Pour une fibre parabolique, la courbe atteint un maximum plus petit que n1 près du point V

al

.

Pour une valeur de β = n0k1, le mode est guidé uniquement dans la région du cœur situé entre r1 et r2 (voir figure

5.12b). Les modes sont par contre évanescents dans la région près du centre, de r = 0 jusqu’à r1 et pour r > r2 (voirfigure 5.12b).

Si nous choisissons une valeur de la constante de propagation (=3β n3k0) tel que n3 < n2 mais n3 > n4

(comme illustré à la figure 5.13), nous observons alors que le mode est évanescent de r2 à r3 et que par la suite, ildevient un mode radiatif puisque sa constante de propagation axiale 3β est plus petite que n2k0. Ce type de mode estqualifié d’onde de fuite parce que sa partie évanescente (région r2 à r3) draine sa puissance de la région guidée (r1 àr2) vers la région de radiation r > r3. On comprend alors que ce type de mode aura une certaine perte par radiation etqu’après une certaine distance de propagation, il ne fera plus partie de la structure guidée.

143

FIGURE 5.13 : Diagramme des modes LPl, p lorsqu’on considère les modes de perte et les modes radiatifs (β 3 = n3

k-0)

Enfin, pour toutes valeurs de la constante de propagation β plus petite que ( =4β n4k0), on ne peutretrouver n’importe quel mode guidé. Ces types de mode sont nommés : modes radiatifs ; cela signifie que ces ondesne subissent pas la réflexion totale à l’interface r = a ou bien qu’ils ont un angle à l’entrée trop grand et que le profild’indice n’est pas suffisant pour les guider. Ces modes radiatifs perdent rapidement leur puissance et au-delà d’unecertaine distance de transition, ils ne font plus partie de la structure guidée.

Les figures 5.14a et 5.14b permettent de visualiser ces trois régimes de pertes. Si, par exemple, on injecte àl’entrée (z =0) une certaine distribution de puissance autour d’une certaine longueur d’onde 0λ , on observe d’abordque sur une distance zR, la puissance perdue par la fibre est très grande et ce, sur une courte distance : c’est la régionoù les modes radiatifs, c’est-à-dire ceux qui n’ont pas un angle de réflexion totale, sortent de la structure guidante.

FIGURE 5.14 a) : Perte dans une fibre optique en fonction de la distance

144

FIGURE 5.14 b) : Perte dans une fibre optique en fonction de la distance

Par la suite, la puissance continue de décroître rapidement sur une distance zF : c’est la région où les modesde fuites perdent leur puissance par radiation dans la gaine. Cette région peut être de quelques mètres à plusieursdizaines de mètres, dépendant des conditions de couplage de la source à la fibre.

Finalement, après la distance zF , la perte devient très faible et est alors un effet de l’absorption du matériauet non plus un effet modal, à moins que certaines perturbations (épissures, courbure,...) ne viennent changer ladistribution modale. Dans ce cas, une autre région radiative et, par la suite, une région de fuite, peut s’établir.

Ce modèle simple permet de tirer certaines conclusions pour des fibres avec un profil n(r) quelconque. Afinde bien situer ces limites, nous allons l’appliquer à la fibre à gradient d’indice parabolique que nous connaissons déjàsuite à la solution de l’équation différentielle que nous avons traitée à la section 5.2 et par l’approximation deLaguerre-Gauss que nous avons vue à la section 5.3.

5.5 Fibre à profil d’indice paraboliquePour la fibre à gradient d’indice parabolique, la fonction radiale R(r) (donnée par l’équation (5.38))

devient :

(R(r))=edr

rr

a

Vu j-

1/2r0r 2

22

4

22∫

−− l

(5.40)

où u et V sont les paramètres usuels de la fibre.

Nous avons vu à la section précédente que cette fonction de phase est réelle pour des valeurs de r comprisesentre r2 et r1. On évalue les distances r2 et r1 en cherchant les racines de l’intégrant ; on vérifie alors que

2

224222

2V

V 4(ua)(ua)

a

r l−+=

(5.41a)

et

2

224221

2V

V 4(ua)(ua)

a

r l−−=

(5.41b)

145

Les distances r2 et r1 marquent les limites pour un mode guidé, principalement où l’onde est du typestationnaire. Si nous revenons au modèle géométrique pour les modes guidés dans une structure plane (voir chapitre3, section 3.1.7), nous avons vu que le changement de phase pour une onde plane, après une période, doit être unentier multiple de 2π (voir par exemple l’équation (3.42)). Dans le cas du guide plan diélectrique, il a fallut tenircompte du saut de phase à la réflexion totale (effet Goss-Hänchen), cependant, il n’y a pas ici de tel saut puisqu’iln’y pas d’interfaces diélectriques réelles sur les frontières r1 et r2. Par contre, nous pouvons montrer [9] qu’aux pointstournants (i.e. sur la caustique) il y a un saut de phase de π /2.

Ce rapprochement avec la solution géométrique du guide nous amène à conclure que si nous effectuonsl’intégrale de la phase (équation (5.40)) sur un parcours complet, nous aurons un mode guidé si le changement dephase est un certain multiple entier de 2π . Si nous effectuons le calcul de la phase entre les points r1 et r2, soit unedemie période, la différence de phase sera égale à un multiple entier de π plus un saut de phase de π /2 sur lacaustique. La condition de phase des modes de la fibre parabolique devient donc :

∫ −−+=2

1

r

r 2

22

4

22 dr

rr

a

Vu

2p

lππ oùp=1,2,3,… (5.42)

Cette condition est simplement :

=

π

2

1-p ∫ −−

2

1

r

r 2

22

4

22 dr

rr

a

Vu

l(5.43)

Cette dernière intégrale peut être résolue au moyen de tables : on montre que l’équation (5.43) peut êtreréduite à :

)0( arcsin 2

)1( arcsin 2V

(ua)

2

1-p

2 l−=

π

On choisit sin-1 (1) = π /2 et sin-1 (0) = π pour obtenir que

(ua)2=2V[2p+l-1]

La constante de propagation est alors donnée par :

1)(2p a

2Vk n

220

21

2 −+−= lβ (5.44)

Cette condition d’accord de phase nous a permis d’obtenir une valeur de la constante de propagation p ,lβselon le modèle géométrique. On note que l’indice angulaire l et l’entier p sont associés à l’indice radial du modeLPl, p.

On remarque que la constante de propagation qu’on vient d’obtenir (équation (5.44)) est exactement lamême que celle obtenue pour la même fibre selon le modèle de Laguerre-Gauss de la section 5.5. On met doncici en évidence le lien existant entre l’optique géométrique (Iconale) et l’équation d’onde lorsque le paramètre (k0a)

�� : en effet, on se rappelle que les modes LP du type Laguerre-Gauss étaient obtenus sous la condition (k0a) �11 .

Ce résultat nous indique que bien que nous ne pouvons pas toujours intégrer l’équation radiale (5.38) pourun profil d’indice quelconque, nous pouvons, grâce à la méthode géométrico-ondulatoire, calculer la constante depropagation.

11. Notez que le saut de phase de la caustique de π /2 peut intervenir, puisqu’on doit obtenir le même β que nous

avions obtenu avec le modèle de l’équation d’onde.

146

5.6 Le modèle de l’optique géométriqueLa section 5.4 nous a permis d’établir clairement le lien entre les modes polarisés linéairement de la théorie

électromagnétique et la théorie de l’optique géométrique. L’application de ces résultats à une fibre à profil d’indiceparabolique nous a permis de comprendre que selon le modèle de l’optique géométrique la constante de propagationpeut être obtenue en appliquant la condition d’addition cohérente des rayons après une trajectoire complète. Laréflexion dure selon ce modèle se fait sur la caustique soit la transition entre la région guidée et la région évanescentecalculée au moyen de l’iconale. Cette condition nous amène à l’équation caractéristique suivante :

E.C.

=

π

2

1-p dr

rk (r)n

2

1

r

r 2

222

02∫ −− l

où l = 0, 1, 2, 3,…p=1,2,3,…

r1, r2 = les zéros de l’intégrant

(5.45)

Cette équation est bien l’équation caractéristique pour ce modèle puisqu’elle permet de déterminer laconstante de propagation p ,lβ .

Selon le modèle géométrique cette constante de propagation β correspond à un rayon lumineux ayant un

angle γ à l’entrée :

cos( ))(rn k 00

βγ =

et un angle d’entrée « hors méridien » tel que :

)n(r r kds

d

0200

l=φ

En dérivant l’équation caractéristique par rapport à k0, on peut calculer la vitesse de groupe vg des modesLP selon le modèle géométrique, on obtient :

drr

k (r)n r)(n

drr

k (r)n

kc

v

2

1

2

1

r

r

2/1

2

222

022

r

r

2/1

2

222

02

0

g

∫

∫−

−

−−

−−

=l

l

β(5.46)

En utilisant les relations (A5.29) et (A5.25), ce résultat peut s’écrire sous la forme :

∫∫

=

2

1

2

1

r

r

r

r

g dz

ds n(r)

v

c(5.47)

Ce rapport c/ vg définie un indice de groupe qui peut s’interpréter géométriquement. En effet, l’indice degroupe est égal au rapport de la longueur optique parcourue par le rayon modal sur la distance parcourue. Parexemple, on sait (voir annexe 5B) que pour une distribution d’indice n(r)= n0 sech (α r) que tous les rayonsméridionaux (l = 0) parcourent la même distance optique. Il s’ensuit que tous les modes LP0, p auront la même vitesse

147

de groupe pour cette distribution d’indice. On comprend alors l’intérêt du modèle géométrique pour la recherched’un profil optimum pouvant réduire la dispersion inter-modale.

5.7 Fibre à profil optimiséOn a vu à l’annexe (5B) qu’il n’existe pas de profil d’indice pouvant égaliser à la fois les longueurs optiques

des rayons hélicoïdaux et méridionaux. Cependant, il est évident que tous profils convergents permettent de réduirel’indice de groupe (5.47) en comparaison avec l’indice de groupe d’un fibre optique à saut d’indice.

Pour le type de fibre employée en communication optique, il est utile de chercher un profil qui permet, dumoins au premier ordre, d’égaliser la vitesse de groupe. L’étude du profil α défini par (voir figure 5.15)

n

−= 2

12

a

r 21 nr)( (5.48)

conduit à des résultats satisfaisants.

FIGURE 5.15 : Profil α permettant d’égaliser la vitesse de groupePour simplifier l’analyse mathématique de ce profil, nous calculerons les constantes de propagation au

moyen de l’équation caractéristique (5.46) des rayons méridionaux (l = 0).

On obtient le résultat suivant, en fonction du paramètre V de la fibre :

(ua)2= αα

α

α 2

4 2

2

V )( C

1/2)(p ++

−(5.49)

où C)1/ ����

)1/�� �����dxx1)(

1

0 ααα α

++=−= ∫

148

On sait que le paramètre de la fibre V est lié au paramètre 2∆ par :

222

021

2

a k n

V=∆

On montre alors que β est donné par :

∆

−−=+

++

α

α

αα

α

απβ

2

2

2

2

2

)a k n(

)2(

)C(

)2/1p(1k n

220

21

20

21

2 (5.50)

On vérifie facilement que pour le profil parabolique α = 2, on obtient le même résultat que celui obtenu àl’équation (5.44).

Selon l’approximation de l’optique géométrique (n1k1a ∞→ ) et selon l’approximation de faible guidage,∆ est aussi petit, tel qu’on peut écrire l’équation (5.50) sous la forme :

∆

−≈+

−

++

α

α

αα

α

απβ

2

2

2

2

2

2

)a k n( a)2(

)2(

)C(

)2/1p(k n

01

01 (5.51)

Cette expression pour la constante de propagation p ,0β nous permet d’analyser l’effet du profil α . Lorsque

nous étudions les systèmes de communication optique, nous cherchons tout d’abord une façon d’égaliser lesdifférentes vitesses de groupe, ce qui requiert

0dk

dβ = cte(indépendante de p).

On remarque que si α =2, le second terme de l’équation (5.51) devient indépendant de k0, on a alors

0dk

dβ= n1

Selon le calcul de l’optique géométrique, le profil optimal est le profil parabolique (en fait on sait selon les

résultats de l’annexe 5B, que le profil en sech (∆2a

r) est exactement le profil optimal ; on sait aussi que ce profil

Selfoc est très près d’un profil parabolique.

Cependant, si le matériau utilisé est dispersif ( 0et 0d

d

d

dn ≠≠ ∆

λ), il faudra tenir compte de cette dispersion

dans le calcul et la fibre parabolique n’est plus optimale. On peut cependant trouver un profil optimal même dans cecas ; il suffit alors de chercher α tel que la dérivée par rapport à k0 (du deuxième terme de l’équation (5.51))s’annule :

∆

+

−

+

α

α

α

λ 2

2

1

2

2

)(

)(

d

d

n

=0 (5.52)

149

Cette condition nous mène à :

∆

∆+=

−1

d

n d

n

1opt

1

1

1

d

d22

λα (5.53)

Puisque pour la majorité des diélectriques, le terme

d

n d

n

1 1

1

est beaucoup plus petit que le terme λ

1, on peut écrire :

∆

∆−=

λλα

d

d22opt

Enfin, on sait que le paramètre

21

22

21

n 2

nn −=∆

et si on suppose que d

dn

d

dn 12 ≈ , on montre alors que le profil optimal est donné par :

λλα

d

dn

n

22 1

1opt += (5.54)

La figure 5.16 (prise des travaux de I.P. Kaminow et H.M. Presby [13]) nous montre ce profil pour diversdopants dans le verre (SiO2). Dépendant de la région d’opération, le profil est plus grand que 2 ou plus petit que 2.Notez aussi que le profil change avec la longueur d’onde d’opération. Un profil optimal à � ������ m n’est plusoptimal à � ������ m. Cependant, on a réussi dans un composé triple (P2O5-GeO2-SiO2) à faire en sorte que le profilsoit à peu près le même pour une grande gamme de longueurs d’onde (voir figure5.17 prise des travaux de I.P.Kaminow et H.M. Presby [14]).

150

FIGURE 5.16 : Profil d’indice ( )λα pour divers dopants dans le verre

FIGURE 5.17 : Profil d’indice d’un composé qui offre une valeur optimale pour un large domaine de longueurd’onde

Le profil optimal est très proche du profil parabolique ; en pratique, nous présumons que ce profil estessentiellement le même aussi pour les modes l ����

5.8 Largeur de bande et fibre optimaleDans une voie de communication optique, nous voulons transmettre des impulsions optiques très courtes et

ce à de très hautes cadences. La cadence est pratiquement limitée par l’élargissement des impulsions lors de leurpropagation. Si nous utilisons une fibre multimode, nous devons comprendre que l’impulsion optique à l’entréestimulera plusieurs modes dans la fibre. L’impulsion optique à la sortie sera donc énormément élargie si les diversmodes de la fibre ont des vitesses de groupe très différentes. Cependant, comme nous l’avons vu à la sectionprécédente, il est possible d’optimiser le profil �DILQ�TX¶DX�SUHPLHU�RUGUH��OD�YLWHVVH�GH�JURXSH�VRLW� OD�Pême pourtous les modes. Il en résulte, toujours au premier ordre, que l’élargissement des impulsions est nulle et que la largeurde bande est ainsi infinie.

Évidemment, dans cette situation, il nous faut plutôt calculer le terme du second ordre pour évaluer l’ordrede grandeur de la largeur de bande. Pour avoir une estimation de cette largeur de bande, il suffit ici de la calculerdans le cas où la dispersion est négligée ; le profil optimal est alors le profil parabolique et la constante depropagation est donnée selon les approximations de l’optique géométrique (équation (5.44)).

L’élargissement de l’impulsion optique (¨ ) est donné par la différence entre les rapports de la distanceparcourue L sur la vitesse du mode le plus lent et sur la vitesse du mode le plus rapide :

(max)v

L

(min)v

L

gg

−=∆τ (5.55)

On sait que :

151

0g dk / d

c

/dd

1v

βωβ==

On réécrit alors l’équation (5.55) comme suit :

−

=∆

max0min0 dk

d

dk

d

c

L ββτ (5.56)

Le calcul de

0dk

dβ s’obtient directement de l’équation (5.44) :

2/1

22

21

akn

2

22

21

akn

1

10

nn )1(2p 1

nn )1(2p 1

ndk

d

021

0

2

1

−+−−

−+−−

=

l

lβ

(5.57)

Selon les approximations de l’optique géométrique, on sait que k0a ����'H�SOXV��Gû à l’hypothèse de faibleguidage que nous avons supposée depuis le début, nous savons que n1 ≈ n2.

On conclut alors que le deuxième terme de l’équation (5.57) est très petit. On montre qu’au deuxième termede l’équation (5.57) est très petit. On montre qu’au deuxième ordre que

+≈

81n

dk

d 2

10

εβ(5.58)

où

a k n

nn 1)(2p 2

021

22

21 −−+

=l

ε

Le mode le plus bas correspond à l = 0 et p =1 ; on a alors

a k n

nn 2

021

22

21

1

−+=ε

D’autre part, le mode le plus élevé est obtenu lorsque � �Q2k0, c’est-à-dire lorsque les modes deviennentradiatifs. L’équation (5.44) nous donne alors

21

22

21

021

22

21

n 2

nn

a k n

nn 1)(2p −=

−−+ l

c’est-à-dire que l’on a

∆= 22ε

où ∆ est le paramètre usuel du saut d’indice.

152

Pour le second ordre, nous trouvons :

−=∆

201

21

a)k(n2c

Lnτ

Lorsque n1 k0 a ���� OH� VHFRQG� WHUPH� HVW�QpJOLJHDEOH� SDU� UDSSRUW� DX� SUHPLHU� � ≈∆ 0,01; n1 k0 a ≈ 103).L’élargissement τ∆ est alors donné par :

( )

∆=∆2c

Ln 21

optτ (5.59)

et la largeur de bande est

=

∆=

21

opt L n

c 21B)(

τ(5.60)

soit une largeur de bande d’environ

(B)opt ≈ 4GHz-km (n1=1,5,∆ =0,01)

Il nous faut maintenant comparer ce résultat à celui obtenu pour la fibre optique à saut d’indice. Dans cecas, le paramètre du profil α tend vers l’infini et la constante de propagation β est donnée par l’équation (5.51). Un

calcul tout à fait similaire nous donne un élargissement de

( )∆

=∆

c

Ln)( 1

indicesautd’τ (5.61)

pour une largeur de bande d’environ

(B)sautd’indice≈ 20MHz-km

en utilisant les mêmes valeurs de n1 et ∆ .

Nous avons déjà montré que les différences entre les différentes vitesses de groupe peuvent être négligéesen optimisant le profil de la fibre (optα = 2 lorsqu’il n’y a pas de dispersion dans le matériel) et que la largeur de

bande de telle fibre peut être augmenter d’un rapport de ∆

2.

Plusieurs autres résultats utiles peuvent aussi être simplement trouvés à partir du modèle géométrique d’unefibre à gradient d’indice.

Exercice 5.3

Nombre total de modes

L’équation caractéristique de l’optique géométrique

=

π

2

1-p dr

rk (r)n

2

1

r

r 2

222

02∫ −− l

153

nous donne le nombre de modes p qui ont une constante de propagation β guidée. Si nous sommons ce résultat

sur toutes les valeurs de l et pour toutes les valeurs de β guidées, nous aurons le nombre total de modes. La plus

basse valeur de β guidée est n2k0. Donc, si nous posons β = n2k0 dans cette équation et que nous sommons sur l,nous aurons le nombre total de modes M. Cependant, la sommation sur l est difficile à faire. Si nous remplaçonscette somme par une intégrale continue sur l, l’erreur sera minime lorsque le nombre sera grand d’où :

drd r

knk (r)n4

Ma

0

l

0 2

220

22

20

2maxl

l∫ ∫ −−=π

L’intégrale sur r est effectuée de 0 à a pour couvrir toute la région guidée. Le facteur 4 a été ajouté afin detenir compte des deux types de modes polarisés selon l’axe x et l’axe y et des deux types de distribution en sin(lφ ) et cos (l φ ).

1. Montrez que le nombre total de modes se réduit au calcul de

M= [ ] drr n(r)n ka

0

22

220 ∫ −

2. Calculez le nombre total de modes pour la fibre à profil d’indice α

n2(r)=n

−

α

a

r 21 2

1

3. Discutez du résultat pour les cas limites de la fibre à saut d’indice (α ����HW�GH� OD� ILEUH�à profil optimal(α =2).

Exercice 5.4

Calcul de la largeur de bande pour un profil

À l’équation (5.51), nous avons trouvé une valeur approchée de la constante de propagation β pour un

profil d’indice α .

1. Démontrez la relation suivante pour ce profil α

)k

(n )2(

)2(

dk

d

011

0

βααβ −

+−−= n

2. Obtenez une relation algébrique pour la largeur de bande de cette fibre :

B=

−

max0dk

d

min0dk

d

1

L

c

ββ

3. Tracez la variation de B pour les valeurs suivantes n1 =1,5 et ∆ = 0,01 autour du point ).2(opt =αα Notez

que la valeur de Bopt doit être obtenue par un calcul du second ordre.

154

Exercice 5.5

Profil SELFOC

À l’annexe (B-5), nous avons montré que le profil Selfoc n (r) = n1 sech (α r) permettait de représenterles rayons méridionaux d’un point source en un point image parfait. Selon le modèle géométrique des modes LPl,

p , nous anticipons alors que les modes LP0, p auront la même vitesse de groupe puisque tous les rayonsparcourent la même longueur optique (∫ dsn ) quelque soit l’angle d’entrée ()0γ des rayons. Vérifiez ce fait en

calculant la constante de propagation p ,0β de ces modes et calculez ensuite leurs vitesses de groupe.

155

A. Dérivation de l’équation de propagation d’une impulsion

A.1 Milieu dispersif linéaireDans un milieu linéaire ( )ωβ , on sait que chacune des fréquences des champs se transforme selon :

( ) z )( -je 0) ,(z , ωβωω EE = (A1)

Cette relation obéit à l’équation différentielle suivante :

( ) ( ) ( )ωωβωE

E

zj =

∂∂

(A2)

Si on caractérise le milieu de dispersion par :

( ) ( ) ( )2

220100

βωωβωωβωβ −+−+= (A3)

on obtient l’équation différentielle suivante

( ) ( ) EE

−+−+=

∂∂

2zj 22

0100βωωβωωβ (A$)

On cherche maintenant une équation différentielle pour la forme temporelle de l’impulsion. On prend doncla transformée de Fourier inverse de l’équation (A4), c’est-à-dire

( ) ( )∫ ∫+∞

∞

+∞

∞−

−+−+=

∂∂

-

t j20

2010

t j d e )(2

)(2

1d e

z2

j ωωωωβωωββπ

ωωπ

ωω EE (A5)

On se rappelle que :

( ) ∫+∞

∞−= ωω

πω d e )z ,(

2

1t t j EE

∫+∞

∞−=

∂∂ ωωω

πω d e )(

2

j

t

)( t j EtE

∫+∞

∞−−=

∂∂ ωωω

πω d e )(

2

1

t

)( t j 22

2

EtE

on trouve alors que l’équation (D) peut être écrite comme :

[ ]2

2

210220

2010

t2

1

t j

2zj

∂∂−

∂∂−+

+−=

∂∂ EE

EE ββωβωβωββ (A6)

Comme, on a vu que l’enveloppe de l’impulsion est reliée à E par l’équation (2.99) :

156

( ) [ ]z - t j 00e z) (t,Sz t, βω=E

En utilisant cette relation et l’équation (A6), on trouve l’expression suivante pour l’enveloppe de l’équationdifférentielle :

0t

S

z

S j

t

S

2 12

22 =

∂∂+

∂∂+

∂∂ ββ

(A7)

Si on considère un système de référence qui se déplace à la même vitesse que l’impulsion, on sait que

1g

1v

β=

et0 gv

z - t =τ

et en utilisant ces relations dans l’équation (A7), on trouve encore que l’équation (2.119) comme elle a été dérivée dupropagateur intégral.

A.2 Milieu dispersif non linéaireLa démarche précédente se généralise directement pour un milieu non linéaire caractérisé par

l’approximation de la dispersion à une fréquence 0ω et pour une petite intensité d’environ β2 S :

( ) ( ) ( ) 2

0 S 2

20

2010

2 S

S 2 S ,

20

==

∂

∂+−+−+= ωωβωωβωωββωβ (A8)

Il est à noter que la dérivée mixte selon 2

S et ω serait un terme du troisième ordre qui sera négligé ici.

Par conséquent, pour un milieu non linéaire dont l’indice est donné par l’équation (2.118), on obtient la relation dedispersion suivante :

( )[ ]22 S(t) nn

c+= ωωβ (A9)

Il nous suffit donc d’ajouter le terme suivant au modèle linéaire précédent :

2020

0 S 2

n nc S 2

0βωβ

ωω ==

∂

∂

==

on a donc la relation de dispersion suivante

( ) ( ) 220

20

2010 S n

2βωωβωωβββ +−+−+= (A10)

En procédant, comme à la section précédante, on démontre facilement que l’équation différentiellecorrespondant au milieu non linéaire est

0 S n t

S

z

S j

t

S

22

2012

22 =−

∂∂+

∂∂+

∂∂ βββ

(A11)

157

Pour un système référentiel qui se déplace à la même vitesse que l’impulsion, on retrouve l’équation de Schrödingernon linéaire mentionnée à l’équation (2.120).

B. Guides plans couplé :Mode TE pairPour plusieurs applications de l’optique guidée, il faut pouvoir transférer la puissance transportée par un

guide dans un autre guide d’ondes. Cette technique permet de créer plusieurs composantes essentielles de l’optiqueintégrée. Ce couplage d’énergie entre deux guides diélectriques se fait dans la partie évanescente des deux modeslorsque les guides sont près l’un de l’autre. Afin de bien comprendre ce mécanisme de couplage, nous présenteronsici la solution exacte de deux guides plans symétriques couplés.

FIGURE B.1 : Guides plans A et B couplés par un diélectrique d’indice n2. Notez que la gaine est aussi undiélectrique d’indice n2.

B.1 Solution exacte pour les guides plans symétriques couplésLa figure B.1 montre deux guides plans d’indice n1 et n2 séparés par une distance (2x0). La solution

électromagnétique des modes de ce guide s’effectue selon la même procédure que celle du guide plan. On cherchepour chacune des régions des solutions des équations de Maxwell qui contiendront l’énergie dans les régions guidéesA et B. La géométrie de la structure nous indique que les modes pourront encore se décomposer en deux familles soitles modes TE et TM. Ces modes ont tous la même constante de propagation β dans les cinq régions de la structure,

on écrit donc

z-j0 e βEErr

= (B1)z-j0 e βHH

rr

=

Les composantes d’un mode TE sont données au tableau 3.2. On écrira ici explicitement seulement les

composantes tangentielles des champs soit (0)yE et (0)

zH sur lesquelles s’appliquent les conditions aux limites afin de

simplifier l’écriture de l’ensemble des modes. Dans la région en haut du guide A i.e. x > (a0+a) on exigera dessolutions de la forme e-wx afin de contenir la puissance dans la structure. De même, dans la région en bas du guide B

i.e. x < -(a0+a) on exigera aussi des champs de la forme ex-w . Par la suite, on demandera la continuité des champsEy et Hz aux interfaces x ≤ ± (a0+a). On peut ici sauter ce détail de l’analyse et écrire les champs des guides A et B

158

sous une forme qui assure cette continuité en s’inspirant des tableaux 3.6 et 3.7. Les tableaux B.1 et B.2 donnent laforme des modes des guides A et B pour x > x0.

GUIDE A

z-j)a2x- x ( -wA

(A)y ee (ua) cos 0 β−= EE

zj-)a2x- x ( w-A

00

(A)y ee (ua)sin

k

ju0 β

η−−= EH

x>(x0+2a)

TE : PAIR

z-j0A

(A)y e ))a-(x(u cos βEE =

zj-0A

00

(A)y e )a-(x(u sin

k

ju β

ηEH −=

u2 = n 220

21 k β−

x0 < x < x0 +2a

TABLEAU B.1 : Composantes Ey et Hz dans la région x > x0

GUIDE B

z-j)a2x x ( wB

(B)y ee (ua) cos 0 β++= EE

zj-)a2x x ( wB

00

(B)y ee (ua)sin

k

ju0 β

η++−= EH

x<-(x0+2a)

TE : PAIR

z-j0B

(B)y e ))a(x(u cos β+= EE

zj-0B

00

(B)y e )a(x(u sin

k

ju β

η+−= EH

u2 = n 220

21 k β−

-x0 < x < -(x0 +2a)

TABLEAU B.2 : Composantes Ey et Hz dans la région x <- x0

Il nous faut maintenant écrire la solution dans la région de couplage C et s’assurer par la suite desconditions aux limites AC et BC. Les champs dans la région de couplage devra être de type évanescent e-wx afin des’assurer de guider l’énergie dans le guide A. D’autre part, le guide B exigera dans la région C une onde de type ewx

afin de pouvoir contenir sa puissance. Afin de satisfaire les deux guides, il faut une solution de la forme (E1 e-wx + E2

ewx ). Il est plus facile pour ce type de problème d’utiliser une forme (E1 sinh wx + E2 cosh wx ) puisqu’on peut alorsséparer le couplage en couplage ANTISYMÉTRIQUE (E2 = 0) et en couplage SYMÉTRIQUE (E1 = 0). Les tableauxB.3 et B.4 donnent la forme précise de ces deux solutions.

159

MODE TE : PAIRANTISYMÉTRIQUE

z-j1

(C)y e (wx)sinh βEE =

zj-1

00

(C)z e (wx)cosh

k

jw β

ηEH =

w2= 20

22

2 kn−β

-x0<x<x0

TABLEAU B.3 : Composante Ey et Hz dans la région de couplage -x0 < x < x0

MODE TE : PAIRSYMÉTRIQUE

z-j2

(C)y e (wx)cosh βEE =

zj-2

00

(C)z e (wx)sinh

k

jw β

ηEH =

w2= 20

22

2 kn−β

-x0<x<x0

TABLEAU B.4 : Composante Ey et Hz dans la région de couplage -x0 < x < x0

Il nous reste enfin à exiger la continuité des champs Ey et Hz à l’interface AC et BC. Pour le couplageantisymétrique on trouve à x = x0 :

E1sinh(wx0)=EAcos(ua) (B.2)E1wcosh(wx0)=EAusin(ua)

et à x = -x0 :

E1sinh(wx0)=-EBcos(ua) (B.3)E1wcosh(wx0)=-EBusin(ua)

Par inspection on conclut qu’il faut avoir :

EA=-EB (B.4)Pour rendre compatible les équations (B.3) avec celle de (B.2). Enfin le déterminant de l’ensemble des deux

équations nous donne l’équation caractéristique du mode antisymétrique soit :

ANTISYMÉTRIQUE

E.C. )coth(wx u

w=tan(ua) 0 (B.5)

160

L’équation (B.4) nous indique que le couplage antisymétrique fait en sorte que le champ du guide B est horsde phase avec le champ du guide A. Notons aussi que lorsque la distance entre les deux guides x0 devient infinie,l’équation caractéristique devient bien la même que celle du mode d’un guide simple TE-Pair (voir tableau 3.8)puisque coth (�� ��

De même pour le couplage symétrique les équations de continuité nous donne à x=x0 :

E2cosh(wx0)=EAcos(ua) (B.6)E2wsinh(wx0)=EAusin(ua)

et à x = -x0 :

E2cosh(wx0)=EBcos(ua) (B.7)E2wsinh(wx0)=EBusin(ua)

Par inspection on conclut qu’il faut avoir :

EA=EB (B.8)

SYMÉTRIQUE

E.C. ) tanh(wxu

w=tan(ua) 0 (B.9)

Encore ici, on note que lorsque x0 �����WDQK���� ��HW�RQ�UHWURXYH�O¶pTXDWLRQ�FDUDFWpULVWLTXH�GX�PRGH�7(�SDLU�

L’équation caractéristique des modes anisymétriques est différente de celle des modes symétriques lorsqueles deux guides sont séparés par une distance finie x0. La solution de ces équations caractéristiques pour un systèmedonné, nous amènera deux constantes de propagation β différentes soit β 1 pour le couplage antisymétrique etβ 2

pour le couplage symétrique. À ces constantes β 1 et β 2 correspondra respectivement les constantes transverses u1

et u2. Puisqu’il n’y a pas de fréquence de coupure pour ce mode couplé, il s’ensuit que ces deux modes β 1 et β 2 se

propageront dans chacun des guides en même temps. On trouve alors que le champ Ey dans chacun des guidess’écrira :

zjA

zjA

Ay eaxuEeaxuEE 21 ))(cos())(cos( 022011

)( ββ −− −+−= (B.10)

zjA

zjA

By eaxuEeaxuEE 21 ))(cos())(cos( 022011

)( ββ −− +++−= (B.11)

Pour le mode antisymétrique (1β ) on a posé que EB1= -EA1 (B.4) et pour le mode symétrique on a posé queEB2= EA2 (B.8). Ceci complète la solution exacte des deux guides plans séparés par la distance de couplage x0.

Une conséquence directe de cette solution est un échange de puissance entre le guide A et B. En effet, si oncalcule la puissance transportée dans le guide A et B on trouve :

[ ])cos(120 φ∆−+= ]

PPA (B.12)

[ ])cos(120 φ∆−−= ]

PPB (B.13)

où 12 βββ −=∆ et φ∆ est la différence entre la phase de l’amplitude du champ symétrique EA2 et celle du champantisymétrique EA1. P0 est la puissance totale dans le guide A et B. On peut donc définir une longueur de couplage ztel que

161

πφβ =∆−∆ 0z (B.14)

Exercice B.1

Équation différentielle de deux guides couplés

Les équations (B.10) et (B.11) nous donne la solution exacte du champ électrique d’un mode TEpour deux guides séparés par une distance x0 (voir fig. B.1). On peut écrire ces équations pour unecoordonnée x centrée sur chacun des guides A et B soit :

zjA

zjA

Ay exuEexuEE 21 )cos()cos( 2211

)( ββ −− +=

zjA

zjA

By exuEexuEE 21 )cos()cos( 2211

)( ββ −− +−=

Montrez que cette solution obéit aux équations différentielles couplées suivantes :

BAA EE

z

Ej βββ ∆++=

∂∂

)(2 21

ABB EE

z

Ej βββ ∆++=

∂∂

)(2 21

où 12 βββ −=∆

N.B. β∆ est la constante de couplage

B.2 Solution de faible couplageLorsque la distance x0 qui sépare les deux guides augmente le couplage devient alors faible et une solution

analytique des équations caractéristiques devient possible. Cette solution étant très importante en pratique nous enprésenterons le développement ici.

Si (wx0) est très grand on peut écrire alors que :

coth(w1x0) ≅ 1+2e 0 1 xw2− (B.15)et

tanh(w2x0) ≅ 1-2e 0 2 xw2− (B.16)

On suppose maintenant que

∆+=∆+=

∆+=11

1111 www

u u u

2

1 βββ (B.17)

et

∆+=∆+=

∆+=22

2222 www

uuu

2

1 βββ(B.18)

162

C’est-à-dire que l’on suppose que la constante de propagation du mode antisymétrique β 1 et du mode

symétrique β 2 sont très près de la constante du guide isolé β . Afin de trouver une solution approximative pour les

équations caractéristiques (B.5) et (B.9), on montre d’abord qu’au premier ordre :

wa)1(wu

)wu(

2-1 a)(utan

w

u22

221

111

1 ++∆≅

ββ (B.19)

De même on trouve

wa)1(wu

)wu(

2-1 a)(utan

w

u22

221

222

2 ++∆≅

ββ (B.20)

Par inspection de ce résultat et du développement de coth et tanh (B.15) et (B.16) on conclut que

wa)1)(w(u

ewu422

x w-222 0

++=∆

ββ (B.21)

et que 12 βββ ∆−=∆=∆

Il s’ensuit que la constante de couplage où 12 βββ −=∆ est donnée par la relation (B.21) et que β , u, wsont des solutions de l’équation caractéristique de guide isolé soit :

tan(ua)=u

w(B.22)

Puisque u1 ≅ u2 = u, les champs électriques du guide A et B, (B.10) (B.11) s’écrivent alors :

eee))ax((u cos z

2j

A2

z2

j

A1z j-

0(A)y

+

−=

∆∆ βββ EEE (B.23)

ee-e))ax((u cos z

2j-

A2

z2

j

A1z j-

0(B)y

+

+=

∆∆ βββ EEE (B.24)

Encore ici on note qu’il y a un échange de puissance entre les deux guides. La situation habituelle est qu’àz=0, la puissance est nulle par exemple dans le guide B, on a alors que EA1 = EA2. On simplifie alors ces équations enécrivant :

ez)( cos ))ax((u cos2 z -j20A

(A)y

ββ∆−= EE (B.25)

ez)(sin ))ax((u cos 2 j z -j20A

(B)y

ββ∆+−= EE (B.26)

On retrouve alors que la longueur de couplage en puissance z0 est donnée encore par :

z0= βπ

∆(B.27)

Exercice B.2

163

On choisit de coupler deux guides plans identiques (figure 3A.1) ayant une fréquence normalisée V= 1,11 (ua = π /4).

Montrez que la longueur de couplage selon l’approximation de faible couplage devient :

a)/x(2

22

21

22

21

00

e)nn(

)nn( 244,0 πλ−

+=z

C. Fonctions mathématiques

C.1 Fonctions de Bessel :rappelLa résolution des problèmes à symétrie circulaire nécessite généralement une bonne connaissance des

fonctions de Bessel et des fonctions de Hankel (expansion en série, formules de différentiation et de récurrence,etc.…). Pour des raisons de commodité, nous avons rassemblé sous une même section, les plus importantescaractéristiques et propriétés de ces fonctions. Le lecteur désirant plus de renseignements pourra consulter l’ouvragede Abramovitz et Stegun [12].

C.1.1 Fonctions de Bessel et fonctions de HankelLes fonctions de Bessel sont des solutions de l’équation suivante

0 Wr

m1

dr

dW

r

1

dr

Wd2

2

2

2

=

−++ (C.1)

qui porte le nom d’équation différentielle de Bessel d’ordre m (m étant une constante). Pour des valeurs de m non-entières, une solution possible de l’équation de Bessel est de la forme

W(r)=AJm(r)+BJ-m(r)où

( ) ∑∞

=+

+

++−=

0s2sm

2sms

2 1)s�P s!

r1)(rJ m (C.2)

( ) ∑∞

=+

+

−+

−=0s

2sm-

2s-ms

2 1)m-�V s!

r1)(rJ m (C.3)

Jm(z) est une fonction de Bessel de première espèce et d’ordre m et Γ (m+1+s) est la fonction gammadéfinie comme suit :

∫∞

−−=Γ0

x1p dx e xp)(

Pour m = n (entier), les deux solutions données aux équations (C.3) et (C.4) ne sont plus indépendantesl’une de l’autre. Elles obéissent alors à la relation suivante

J-n(r)=(-1)nJn(r)(C.4)où

164

( ) ∑∞

=+

+

+−=

0s2sn

2sns

2 s)!(n s!

r1)(rJ n (C.5)

Une autre solution possible pour l’équation (C.1) (équation du second ordre), qui est également validelorsque m est un entier est

W(r)=AJm(r)+BNm(r) (C.6)

Nm(r) est appelé la fonction de Neumann d’ordre m (ou aussi la fonction de Bessel de deuxième espèce).Notez que plusieurs auteurs utilisent la désignation Ym (r) au lieu de Nm (r). Cette fonction est définie comme

[ ]

∑ ∑

∑∑∞

= =

+

==

++

+−

−

−−−−+=

1s

s

1t

2sms

1-m

0s

m

1smm

2

r

tm

1

t

1

s! m)!(s

1)(1

2

r

s!

1)!s(m1(r)J

s

172)(0,572

2

rlog 2

1)r(N

(C.7)

Les graphiques de quelques-unes de ces fonctions sont présentés aux figures C.1 et C.2. La fonction Nm

diverge pour r = 0. Pour cette raison, elle n’est utilisée que dans les problèmes physiques où l’origine (r = 0) estexclue. La fonction Jm(r) , quant à elle, présente un caractère oscillatoire et elle est continue.

165

166

Toutes les autres combinaisons de Jm (r) et Nm(r) sont aussi des solutions de l’équation C.1. Parmi les plusutiles, nous trouvons les fonctions de Hankel du premier et du second ordre qui sont

(r)N j(r)J(r)H mm(1)m += (C.8)

(r)N j(r)J(r)H mm(2)m −= (C.9)

Ces fonctions sont utilisées très souvent car, comme nous le verrons plus tard, elles possèdent uncomportement asymptotique de forme exponentielle. Ces deux fonctions ont aussi une singularité à l’origine quiprovient des fonctions de Nm(r).

167

C.2 Comportement asymptotiqueNous pouvons approximer les fonctions Jm (r) et Nm(r), pour r<<1 et pour m ≠0, par les expressions

suivantes

Jm(r)m!2

rm

m

≈ , ( )m

m

r

1)!(m 2rN m

−−≈ (C.10)

Lorsque m =0 , nous avons

J0(r) 1≈ , ( )

2)ln -cr (ln 20 rN

+≈ (C.11)

Nous pouvons facilement trouver le comportement asymptotique de ces fonctions pour de grandsarguments. Par exemple, pour m = 0, l’équation de Bessel devient

0 Wdr

dW

r

1

dr

Wd2

2

=++ (C.12)

En posant w = r-1/2 F(r), l’équation (A4.12) nous donne

04r

11 F

dr

Fd22

2

=

++ (C.13)

qui a pour solution lorsque r tend vers l’infini

C0cos(r+ )1ψ

C0 et 1ψ sont des constantes, Nous devons poser 1ψ = -π /4 pour que le comportement asymptotique (r →∞) épouse parfaitement la courbe de J0 (r).

( )

=

4-r cos

r

22/1

0π

πrJ

et nous devons poser 4/31 πψ = pour N0(r)

( )

=

4-rsin

r

22/1

0π

πrN

Pour un m quelconque, on a

( )

−

≈

2

m

4-r cos

r

22/1 ππ

πrJ m

( )

−

≈

2

m

4-rsin

r

22/1 ππ

πrN m

168

er

2r)(

)2

m

4 -r ( j2/1

(1)m

ππ

π−

≈H

er

2r)(

)2

m

4 -r ( j-2/1

(2)m

ππ

π−

≈H

Les fonctions de Bessel, de première et de seconde espèce, se comportent comme des fonctionssinusoïdales, pour de grandes valeurs de leur argument. Elles représentent des ondes stationnaires cylindriques. À

l’opposé, les fonctions de Hankel représentent une onde progressive se propageant selon les r négatifs pour H(1)m et

selon les r positifs pour H(2)m . La fonction qui a de l’intérêt en fibre optique est H(2)

m , représentant une onde quis’éloigne de l’axe de la fibre.

C.3 Relations de récurrenceLes fonctions de Bessel Jm, Nm, H (1)

m et H (2)m ainsi que toutes leurs combinaisons linéaires sont des

fonctions cylindriques qui sont généralement identifiées comme Zm. Elles obéissent à plusieurs relations derécurrence et de différentiation et d’intégration dont les plus utiles pour l’étude des guides d’ondes ont été résuméesau tableau C.1.

2 m Zm (r) = r ][ r)(Z(r)Z 1m1-m ++

J- n(r) = (-1)n Jn (r) n = 0, 1, 2,….

][∫ +−

−

+

−=

−=

+−=

r)(J (r)J(r)J 2

rdrr (r)J

(r) Z(r)Z

)(r Z(r)Z(r)Z

1m1m2m

22m

m r

m1m

m r

m1m

’m

TABLEAU C.1 : Relations de récurrence et intégrale pour les fonctions cylindriques

C.4 Fonctions de Bessel modifiéesEn remplaçant r par jr, nous obtenons l’équation de Bessel modifiée que voici :

][ 0 Wmrdr

dWr

dr

Wdr 22

2

22 =+−+ (C.14)

Pour des valeurs non-entières de m, une solution possible de l’équation suivante (A4.14) est la suivante

W(r)=AIm(r)+BI-m(r) (C.15)où

( ) ∑∞

=+

+

++Γ=

0s2sm

2sm

2 1)s(m s!

rrI m (C.16)

Pour des valeurs entières (m = n), Im et I- m ne sont plus indépendantes ; elles sont reliées par

In(r) = I- n (r)

169

Une solution possible, dans ce cas est

W(r) = A In(r) + B Kn(r) (C.17)où

{ }k)!(n k!

1)k�Q1)�N r2

1

2

1(-1)

(r)I r2

1ln 1)(r

4

1

k!

1)!k(n r

2

1

2

1(r)K

k2

r4

1

0k

nn

1n

0kn

1nk

2n

n

+

++++

+

−+

−−−

=

∑

∑

∞

=

−

=

+−

(C.18)

avec

∑=

≥+−=Ψ−=Ψ1-n

1k

1- 2)(n k)n( )1( γγ (C.19)

etγ = 0,5772156…

Les figures C.3 et C.4 illustrent quelques-unes de ces fonctions. Leurs comportements asymptotiques sontde forme

Im(r)=r2

e r

π(C.20)

Km(r)= r-e r2

π(C.21)

FIGURE C.3 : Fonction de Bessel modifiée Im (r)

170

FIGURE C.4 : Fonction de Bessel modifiée Km (r)

Les équations de Bessel modifiées se comportent pour de grandes valeurs de leur argument, comme desondes évanescentes. Les fonctions Im(r) et Km(r) sont reliées aux fonctions de Bessel par les équations suivantes :

Im(jr)=e 2 / m j π Jm(r) (C.22)

( ) ( )(r)N j(r)Je2 mm

2 / 1)(m j- −= + ππJrK m (C.23)

ou

( ) )r(H e2

(2)m

2 / 1)(m j- ππ +=jrK m

Il est intéressant de noter que les Km(jr) sont proportionnels aux H )r((2)m (les fonctions de Hankel de

seconde espèce) ou bien encore que les Km(r) sont proportionnels aux H )jr((2)m . Les relations de récurrence pour les

fonctions de Bessel modifiées sont données au tableau A4.2.

( ) ][ r)(I(r)I2 1m1-m +−= rrmI m

(r) I (r)I

(r)I (r)I

)(rI (r)I(r)I

mm -

m r

m1m

m r

m1m

’m

=

−=

+=

−

+

( ) ][ r)(K(r)K2 1m1-m +−−= rrmK m

171

(r) K (r)K

(r)K (r)K

)(rK (r)K(r)K

mm -

m r

m1m

m r

m1m

’m

=

−−=

+−=

−

+

][∫ +−−= r)(K (r)K(r)K 2

rdrr (r)K 1m1m

2m

22m

TABLEAU C.2 : Relations de récurrence et intégrale pour les fonctions de Bessel modifiées

Exercice C.1

Dans la fibre optique à saut unique d’indice, comme celle étudiée dans le texte, on utilise seulement lafonction de Bessel Jm pour décrire le champ dans le cœur puisqu’à r = 0 la fonction de Neumann Nm devient infinie.Dans la gaine, le champ est décrit par la fonction de Km afin d’avoir une décroissance exponentielle du champ versl’extérieur de la fibre. Cependant, pour l’étude des fibres optiques à plusieurs sauts d’indice on doit utiliser tous lestypes de fonctions de Bessel. Par exemple pour la fibre illustrée à la figure A4.5, donnez, pour chacune des régions,le type de fonction de Bessel à employer

Région Bessel

0 < r< a1 :

a1 < r < a2 :

a2 < r < a3 :

r > a3 :

FIGURE C.5 : Fibre avec plusieurs sauts d’indice

172

D. Approximation de l’optique géométrique

D.1 Équation de l’iconaleLe but de cette annexe est d’introduire l’approximation de l’optique géométrique pour la solution des

équations de Maxwell. On montre que la solution des équations de Maxwell et par le fait même la solution del’équation d’onde se simplifie grandement lorsque la longueur d’onde de la source λ (i.e. k0 très grand) estbeaucoup plus petite que les dimensions des frontières. Ce modèle simple débouche souvent sur des solutions facilesmême pour un milieu inhomogène (n(x, y, z)).

On rappelle d’abord les équations de Maxwell I et II :

HErrr

k -j 00η=×∇

EHrrr

nk

j 2

0

0

η=×∇

Notez que les équations de divergence de (n2 Er

) et (Hr

) sont contenues dans I et II puisque la divergence

d’un rotationnel est nulle. On cherche des solutions pour Er

et Hr

de la forme suivante :

ϑ k -j0

0e EErr

= (D.1)

ϑ k -j0

0e HHrr

= (D.2)

où , , 00 ϑHErr

et n sont les fonctions de x, y, z.

Notez bien que la phase fait intervenir le vecteur d’onde k0 du vide et non celui du milieu (k = n k0) oùse propage l’onde. Utilisant des identités vectorielles bien connues (se référer à un bon livre d’électromagnétisme)on montre que les équations de Maxwell se réduisent alors à :

00

000 k j

1 EHE

rrrrr

×∇=−×∇ ηϑ

00

00

2

0 k j

1nHEHrrrrr

×∇=+×∇η

ϑ

Lorsque la longueur d’onde λ est très petite (k0 ���� SDU� UDSSRUW� DX[� GLPHQVLRQV� GHV� IURQWLères, nouspouvons négliger le rotationnel du côté droit des équations de Maxwell I et II, qui deviennent

0 000 =−×∇ HErrr

ηϑ (D.3)

0n

00

2

0 =+×∇ EHrrr

ηϑ (D.4)

Ces deux équations vectorielles couplées sont en fait six équations scalaires. On sait qu’on peut trouver dessolutions non nulles seulement si le déterminant est nul. Pour trouver le déterminant, on découple les équations en

remplaçant la valeur de 0Hr

obtenue en (D.3) dans l’équation (D.4) pour obtenir :

( ) 0n 02

0 =+×∇×∇ EErrrr

ϑ (D.5)

173

Au moyen de l’équation (D.4), on montre que

0 0 =⋅∇ Err

ϑ (D.6)

Ce résultat permet de simplifier l’équation (D.5) et d’écrire que

[ ] 0 n 02 =−∇⋅∇ E

rrr

ϑϑ (D.7)

Puisqu’on s’intéresse à des solutions non-triviales (≠0Er

0), on doit conclure que la fonction ϑ (x, y, z)obéit à l’équation différentielle suivante :

22n=∇ϑ

r

(D.8)

Cette équation est connue sous le nom d’équation de l’iconale (du grec eikon qui signifie petite image).Cette équation s’écrit explicitement en coordonnées cartésiennes :

z) y, x,(nzyx

2222

=

∂∂+

∂∂+

∂∂ ϑϑϑ

Pour un milieu optique d’indice n (x, y, z), il faut d’abord résoudre l’équation de l’iconale avant de chercher

au moyen des équations (D.3) et (D.4) les champs 0Er

et 0Hr

. Cependant, l’optique géométrique consiste à

s’intéresser uniquement à cette phase de l’iconale et à négliger le calcul de 0Er

et 0Hr

qui serait une solution dupremier ordre pour les champs exacts.

D.2 Le vecteur de Poynting en optique géométriqueSelon les lois de l’électromagnétisme, la densité de puissance lumineuse se propage selon le théorème de

Poynting

{ }* X Re 2

1S HE

rrr

= (D.9)

Selon l’approximation de l’optique géométrique, le vecteur Poynting moyen s’écrit :

{ }*00 X Re

2

1S HE

rrr

= (D.10)

En remplaçant 0Hr

dans cette dernière équation à l’aide de l’équation (D.3), on peut réécrire l’équation(D.10) :

( )[ ]*E EEE 00*00

0

Re 2

1S

rrrrrrr

ϑϑη

∇⋅−∇⋅=

En se servant du résultat (D.6), on obtient finalement :

ϑη

∇=rrr 2

00

2

1S E (D.11)

174

D’autre part, on sait que la densité moyenne d’énergie magnétique est égale à la densité moyenne d’énergieélectrique. La densité totale d’énergie W peut donc s’écrire :

2

0022

0 n 2

1

2

1EEWrr

εε == (D.12)

En termes de cette quantité, le vecteur Poynting devient :

ϑ∇=rr

n

c W S

2

où c est la vitesse de la lumière dans le vide. D’autre part, on sait que la vitesse de la lumière dans un milieu d’indicen est v = c/n et en utilisant l’équation de l’iconale (D.8) on montre que

ϑϑ

∇∇=r

r

r

W vS (D.13)

Ce résultat nous dit que selon l’approximation de l’optique géométrique la puissance transportée suit une

trajectoire perpendiculaire ( )ϑ∇r

à la fonction de l’iconale. Ceci nous amène à s’intéresser alors à ces trajectoires quenous nommerons les rayons géométriques.

D.3 Équation des rayons lumineuxPour trouver la description mathématique représentant la trajectoire des rayons lumineux, nous allons

définir un vecteur unitaire ds

rdsa

r

r

= , où rdr

désigne l’accroissement du module du vecteur rr

, reliant l’origine des

coordonnées à un point du rayon lumineux ; ds représente l’accroissement de l’arc du rayon (voir figure D.1).

FIGURE D.1 : Géométrie utilisée pour l’équation des rayons

175

Ce vecteur est tangent aux rayons et donc, par définition, perpendiculaire aux fronts de phase :

na s

ϑϑϑ ∇=

∇

∇=≡r

r

r

v

v

ds

rd

ds

rdn

r

r

=∇ϑ (D.14)

L’équation des rayons s’obtient en prenant le gradient de l’équation (D.8) :

( ) nn 22 ∇=∇∇⋅∇rrr

ϑϑ (D.15)

Des équations (D.14) et (D.15), nous trouvons :

nds

rdn

ds

dr ∇=

∇⋅

r

r

r

(D.16)

On se rappelle que la dérivée par rapport à la variable locale s’écrit

∇⋅=r

r

ds

rd

ds

d(D.17)

Ce qui permet d’écrire l’équation (D.16) sous la forme :

nds

rdn

ds

d ∇=

r

r

(D.18)

Cette équation est l’équation de la trajectoire des rayons rr

pour la coordonnée locale (s).

L’équation de l’iconale (D.8) et l’équation des rayons (D.18) sont deux descriptions alternatives etcomplémentaires de l’optique géométrique.

Exercice D.1

Équation de l’iconale et l’équation d’onde

On peut aussi obtenir l’équation de l’iconale en cherchant une solution de l’équation d’onde

0 k n 20

22 =Ψ+Ψ∇et en posant que

ϑ0k -j0 e Ψ=Ψ

En vous servant d’identités vectorielles et différentielles, montrez que l’équation d’onde devient :

( ) ( ) ( ) 0n 2k j

1

k

1e 0

20

20

00

220

k j- 0 =

Ψ−∇⋅∇−∇⋅Ψ∇+∇Ψ+Ψ∇ ϑϑϑϑϑ rrrr

176

Lorsque k0 ���GHV�VROXWLRQV�QRQ�WULYLDOHV�GH�FHWWH�pTXDWLRQ�VRQW�REWHQXHV�VHXOHPHQW�VL

22n=∇ϑ

r

Exercice D.2

Trajectoires des rayons dans un milieu homogène

Pour un milieu homogène (n ≠ n (x, y, z)), montrez que la trajectoire des rayons sont des droites.

D.4 Propagation dans un milieu d’indice n(r)Les fibres optiques possèdent souvent un profil d’indice à symétrie cylindrique n(r) (e.g. SELFOC). De

plus, il existe maintenant plusieurs composantes optiques (GRIN) ayant un profil d’indice n(r) et un diamètrebeaucoup plus large que la longueur d’onde. Dans cette section, nous présenterons une solution formelle pour ce typede gradient d’indice.

Écrivons le vecteur rr

en coordonnées cylindriques :

zr a zar rrrr

+= (D.19)

Nous avons alors :

zr a ds

dza

ds

dr a

ds

dr

ds

rd rrr

r

++= φφ

(D.20)

Puisque

φφ

a ds

d

ds

ad r r

r

= (D.21)

ra ds

d

ds

adr

r

φφ −= (D.22)

l’équation des rayons (D.18) devient alors :

dr

dna

a ds

dzn

ds

da

ds

dr n

ds

d

ds

d

ds

drn

a ds

dnr

ds

drn

ds

dn

r

z

r

2

r

rr

r

r

=

+

+

+

−

=∇

φφφ

φ

(D.23)

Le profil d’indice est radial ce qui veut dire que l’indice n est uniquement une fonction de r. La composante

φar

est donc nulle ce qui conduit à une première constante de la trajectoire :

177

( ) 12 C

ds

d =φrrn (D.24)

De même, la composante associée à zar

est nulle et nous obtenons la deuxième constante pour latrajectoire :

( ) 2Cds

dz =rn (D.25)

FIGURE D.2 : Représentation en coordonnées cylindriques

L’équation pour la composante rar

est de la forme

dr

dn

ds

dr n

ds

drn

ds

d2

=

−

φ

(D.26)

Cette équation se modifie en utilisant la première constante C1 pour devenir :

178

0dr

dnn

r

C

ds

drn

ds

dn

3

21 =−−

(D.27)

De même, la constante C2 transforme cette équation

=dz

dC

ds

dn 2 en

0dr

dn

2

1

r

C

dz

rdC

2

3

21

2

222 =

−− (D.28)

Cette équation peut se réduire à une équation différentielle du premier ordre :

2/1

232

212

2

Cr

Cn

C

1

dz

dr

−−= (D.29)

On peut montrer (voir exercice D.3) que la dernière constante d’intégration C3 est identique à la constante C2.

Les rapports des deux constantes de la trajectoire (équations (D.24) et (D.25)) nous donne l’équation del’angle φ par rapport à z :

22

1

r

1

C

C

dz

d =φ(D.30)

La trajectoire de ce rayon est donc décrite au moyen de la composante radiale r et de la constante angulaireφ en fonction de la distance z soit :

∫−

−−+=

r

r

2/1

222

212

200

drCr

CnCzz (D.31)

et

∫−

−−+=

r

r

2/1

222

2122-

100

drCr

Cn rCφφ (D.32)

La trajectoire sera pour un indice convergent ( n (0) > n (r)), une hélice qui pourra varier de diamètre selonla distance z. Les constantes C1 et C2 sont déterminées par les angles d’entrée du rayon ainsi que sa hauteur r0. Latrajectoire extrême des rayons est comprise pour un profil de type parabolique entre les deux valeurs rmin et rmax pour

lesquelles 0dz

dr= , c’est-à-dire que

0Cr

Cr)(n 2

22

212 ≡−−

Pour le profil d’indice suivant,

( )

∆−=2

221

2

a

r21nrn (D.33)

Nous pouvons intégrer les équations (D.31) et (D.32) et montrer, après une longue démarche, que latrajectoire r (z) est donnée par

179

( ) ( )

−

−+

=F

z 2 cos

2

rr

2

rr 2min

2max

2min

2max2 π

r (D.34)

où

∆=

2 n

a C

1

2πF

C2 est donné par la relation (D.25) et peut être aussi obtenu en prenant le cosinus de l’angle d’entrée

( )

=

0 cos

1

dz

ds, à savoir

∆=

2 n

)( cos )(rn a

1

0min γπF (D.35)

Nous avons posé, comme condition initiale, que r est minimum à z = 0.

On montre que l’angle φ (z) est donné par

( )

+

−=

F

z 22max

2min

F

z 22max

2min

tanrr

tanrr2cos

π

π

φ (D.36)

pour rmin ≠ rmax .

On observe que la trajectoire est une sinusoïdale selon r et une hélice selon φ . En anglais, on appelle ce

type général de rayons « Skey rays » et en français, rayons obliques. Il est possible d’ajuster les conditions d’entréepour avoir un type de trajectoire où r = rmin = rmax : ces rayons particuliers s’appellent les rayons hélicoïdaux, ou« Helicoidal rays » en anglais. Il faut faire attention à la confusion possible lorsque certains auteurs emploient lanotation rayons hélicoïdaux pour nommer les rayons obliques.

Les rayons méridionaux correspondent aux conditions d’entrée 0ds

d=

φ ; on montre alors que dans ce cas

rmin = 0 , que la trajectoire devient purement sinusoïdale autour de l’axe z et qu’elle demeure toujours selon un mêmeméridien.

Notez aussi qu’à la distance z = F (voir figure D.3), le rayon revient à la même hauteur qu’à z = 0 ( r = rmin)et que l’angle φ a tourné de π seulement. Une trajectoire complète sera donc obtenue après un parcours z = 2 F.

Cette période F (analogue à une distance focale) de la fibre à gradient d’indice parabolique n’a pas une valeur uniquequels que soient les angles d’entrée ( cos 0γ ) (voir équation (D.35)). Ce système optique possède donc del’astigmatisme. Il faut cependant comprendre (du moins pour ce cas parabolique) qu’à cette distance 2F les rayonsont fait un parcours complet à la fois selon r et selon φ . Un point source sera représenté comme un petit cercle et

non comme une ellipse.

Vu en section, un rayon oblique se propage suivant une ellipse en spiralant autour de la direction depropagation z (voir figure D.3c). Le grand axe de l’ellipse est égal à rmax et son petit axe à rmin. Lorsque plusieursrayons sont lancés de positions initiales différentes, chacun de ceux-ci décriront une ellipse différente, si nousregardons une section arbitraire selon l’axe des z. La somme de tous ces trajets donnera la propagation spatiale d’unmode et celui-ci sera confiné à l’intérieur de deux caustiques cylindriques de rayons rmin et rmax ( voir figures D.3d etD.3e).

180

FIGURE D.3 : Trajectoires des rayons

181

FIGURE D.3 : Trajectoires des rayons (suite)

Exercice D.3

La constante d’intégration C3

Montrez que la constante d’intégration C3 introduite à l’équation (D.29) est bien identique à la constanteC2.

On rappelle que l’élément de longueur (ds) en coordonnées cylindriques s’écrit :

( ) ( ) ( ) ( )2222 dzdr drds ++= φ

E. Profil optimalÀ l’annexe (D), on a obtenu la trajectoire des rayons pour le profil d’indice parabolique. On a alors constaté

qu’un rayon qui partait à une certaine hauteur rmin et avec une pente 0γ revenait à sa hauteur initiale rmin après une

distance F donnée par la relation (D.35). Malheureusement, cette distance F est une fonction de l’angle de départ 0γde chacun des rayons. Une conséquence de ce résultat est qu’une fibre à profil parabolique ne permettrait pas dereprésenter un point de source parfaitement, puisque chaque rayon se focalise à une distance F différentedépendamment de leur pente 0γ . Une autre conséquence pour les communications optiques est que la vitesse de

groupe (5.47) est différente pour chacun des modes caractérisés par des angles d’entrées 0γ (5.45). La vitesse de

182

groupe (5.47) n’est pas la même pour les modes parce que la longueur optique ∫ dsn est une fonction de l’angled’entrée 0γ .

Maintenant, nous cherchons s’il existe un profil optimal qui permet d’égaliser la vitesse de groupe de tousles modes. Nous démontrerons qu’il existe un profil particulier permettent d’égaliser la longueur optique de tous lesrayons méridionaux. Cependant, nous montrerons que pour un ensemble particulier de rayons hélicoïdaux que leprofil optimal n’est pas le même.

E.1 Le profil SELFOC (sech(αr))Nous considérons d’abord uniquement les rayons méridionaux. En particulier cette situation est

représentative de l’imagerie d’un point de source par la fibre à gradient d’indice (voir figure E.1).

FIGURE E.1 : Image d’un point source dans une fibre SELFOC

Nous cherchons donc un profil qui permettrait que la longueur optique

∫= dsn OPL (E.1)

ne soit pas une fonction de la pente 0γ du rayon à l’entrée.

Pour les rayons méridionaux, on sait que C1 = 0 (D.24) et que la constante C2 = n1 cos ( 0γ ). On a donc del’équation (D.25) que

dz )( cos n

(r)n ds

01 γ= (E.2)

et

∫= dz n)( cos n

1 2

01 γOPL (E.3)

Au moyen de l’équation des rayons (D.29), on peut exprimer la longueur optique (E.3) uniquement parrapport à la trajectoire r(z) :

183

dz dz

dr1 cos

F

0

2

01 ∫

+= γnLOP (E.4)

Le profil optimum sera celui qui permettra que cette expression pour la longueur ne soit pas une fonction del’angle 0γ des rayons. Notez que nous avons ici éliminer le profil n(r) du chemin optique LOP en supposant que latrajectoire des rayons r(z) est connue. On cherchera d’abord quelle trajectoire r(z) permet d’égaliser le cheminoptique et on pourra par la suite calculer le profil correspondant.

On doit s’attendre à ce que la trajectoire soit périodique, on écrit alors :

= )

F(sin )(tan

F(z)r 0 zG

πγπ

(E.5)

On suppose aussi que G ( z = 0) et G(z = mF) = 0 (m = 1, 2, 3).

De plus, nous assumons que dG/dz (z = 0) =1, ce qui nous assure que la condition initiale sera :

00 z

tandz

dr γ=

=(E.6)

Il nous suffit maintenant de trouver la forme de la fonction G qui sera telle que la dérivée par rapport à lapente 0γ sera nulle pour tous les rayons.

0

L

0

OP =∂

∂γ

(E.7)

L’équation (B5.7) nous amène à la relation suivante :

∫ ∫

∂∂

∂=

+

F

0

F

0 0

2

0

2

0 dz z

r

dz

dr cos 2dz

dz

dr1 sin

γγγ (E.8)

Les dérivées par rapport à la trajectoire r s’écrivent :

( ) G’ F

z cos tan

dz

dr0

= πγ (E.9)

et

( )G’ sec F

zsin

F

z

r 0

2

0

γππγ

=

∂∂

(E.10)

Ces deux dernières relations nous permettent d’écrire formellement la dérivée par rapport à 0γ en termes decelle par rapport à z :

=∂∂

dz

dr

cos sin

tan

r

00

F

zF

0 γγγ

ππ

(E.11)

Cette relation transforme la condition (E.8) en

∫ ∫

=

+

F

0

F

0

2

02 dz

F

z tan

dz

dr

dz

d

dz

dr

F 2dz

dz

dr1 sin π

πγ (E.12)

184

Si on intègre par partie deux fois le membre de gauche de la relation (E.12), on trouve que celui-ci s’écritfinalement

∫ =

−

F

0 0

2

F

z22

0dz sin

1sec

dz

dr

γ

π

(E.13)

De cette dernière relation, on conclut que l’intégrant doit être une fonction périodique du type

F

z cos

πA

Cependant, pour satisfaire la condition initiale 00dz

drtanγ=

, nous devons choisir A = 0.

De plus, le choix de la solution en sin (π z / F) ( ou ses multiples de π ) peut nous mené à la trajectoire r(z)qui ne peut pas être une fonction périodique simple, comme nous l’avions tout d’abord supposé (E.5). Nous devonsdonc conclure que l’équation de la trajectoire est donnée par

−

=

1sin

sec

1

dz

dr

02

F

z2

2

γ

π(E.14)

Cette équation peut aussi s’écrire comme

2/1

F

z0

2

F

z0

2

sin tan1

dz cos tan

dr

+

=

πγ

πγ(E.15)

Une intégration rigoureuse de cette dernière équation mène à

= −

F

z0

1 sin tansinhF

(z)r πγπ

(E.16)

La trajectoire des rayons méridionaux pour une fibre optique stigmatique est donc donnée par l’équation(B5.16). On doit maintenant calculer le profil d’indice correspondant. Ce calcul est obtenu simplement en utilisant larelation (A5.29) qui relie l’indice à la dérivée de la trajectoire. Ce résultat peut être exprimé sous la forme suivante :

=

F

r sech n n(r) 1

π(E.17)

Ce profil d’indice, appelé SELFOC, permet donc d’égaliser les chemins optiques de tous les rayonsméridionaux (voir exercice E.1). Le développement en série de puissance permet d’écrire :

185

−+≅ ...r

24

5

2

r-1 n n(r) 44

22

1 αα(E.18)

oùF

πα =

Il est intéressant de mentionner ici que la technologie d’aujourd’hui rend possible la distinction entre unefibre de profil parabolique et une fibre de profil SELFOC. Les figures E.2 a) et E.2 b) montrent la trajectoire desrayons méridionaux pour un milieu SELFOC et un milieu parabolique.

FIGURE E.2 a) : Rayons méridionaux d’une fibre SELFOC

FIGURE E.2 b) : Rayons méridionaux d’une fibre parabolique

Exercice E.1

Longueur optique pour un profil SELFOC

Montrez que la longueur optique pour tous les rayons méridionaux d’un profil SELFOC (E.17) est bien

Lop=n1F

quelque soit l’angle 0γ à l’entrée, en intégrant directement le chemin optique Lop et sans vous servir de

l’équation explicite des rayons.

On vous suggère d’écrire tout d’abord la longueur optique comme une intégrale sur la variable r et parla suite de calculer le chemin optique jusqu’à z = F /2 en notant que pour cette distance la pente des rayons estnulle.

186

E.2 Profil optimal et rayons hélicoïdauxIl ne semble pas possible de trouver un indice de profil qui permet d’égaliser à la fois les rayons

méridionaux et les rayons hélicoïdaux. Afin de démontrer ce point, nous présenterons ici le calcul de ce profiloptimum pour les rayons hélicoïdaux purs, soit ceux qui tournent autour du guide sans varier de hauteur. La longueuroptique de ces rayons est donnée par

( )∫=F

0 ds rnLop (E.19)

puisque l’indice vu n (r) par ces rayons est toujours le même le long du parcours. De plus, puisque r ne varie pas ( dr= 0), l’élément de longueur ds est

( ) dzdz

dr1ds

2/122

+= φ

(E.20)

Lors du parcours sur la distance F, ces rayons tournent d’un angle égal à π . On a donc que

Fdz

d πφ = (E.21)

Finalement, on trouve que

FF

r1 (r)n L

2/122

op

+= π

(E.22)

Pour que la longueur optique soit constante quelque soit la valeur de r, on doit choisir une distributiond’indice de la forme :

2/122

1

Fr1

n(r)n

+

=π

(E.23)

Ce profil n’est pas identique à celui du profil SELFOC. On doit donc conclure qu’il n’est pas possible detrouver un profil optimum pour tous les rayons. Près de l’axe, le profil s’écrit

−+≅ ...r

8

3

2

r-1 n(r) 44

22

αα(E.24)

Au premier ordre, ces deux profils sont identiques. Cependant, le terme suivant du développement en sériede puissance des profils se différencient appréciablement.

Les éléments optiques SELFOC trouvent aujourd’hui d’importantes applications dans les systèmes optiquessuite à leur propriété de focalisation stigmatique.

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BIBLIOGRAPHIE

[1] C.D. Chaffee. The Rewiring of America : The fiber optics revolution. Academic Press Inc., N. Y., 1988.

[2] D. Marcuse. Light Transmission Optics. Van Nostrand Reinhold Compagny, 450 West 33rd Street, NewYork, N.Y. 1001, 1972.

[3] F. Goss et H. Hänchen. Über das Eindringen des Totalreflektierten Lichtes in das dünnere Medium. Ann.Phys., 5(43) : 383, 1943.

[4] F. Goss et H. Hänchen. Ein neuer und fundamentaler Versuch zue Totalreflexion. Ann. Phys., 6(1) : 333,1947.

[5] F. Goss et H. Hänchen. Neumessung des Strahlversetzungseffektes bei Totalreflexion. Ann. Phys., 6(5) :251, 1949.

[6] D. Gloge. Weakly guiding fibers. Appl. Opt., 10 (10) : 2252, octobre 1971.

[7] D Gloge. Dispersion in weakly guiding fibers. Appl. Opt., 10 (11) : 2442, novembre 1971.

[8] D. Marcuse. Loss Analysis of Single-Mode Fiber Splice. Bell Syst. Tech. J., 56 (5) : 703, 1977.

[9] T Okoshi. Optical Fibers. Academic Press, N.Y., 1982.

[10] C.N. Kurtz et W Streifer. Guide Waves in Inhomogeneous Focusing Media, Part I : Formulation, Solution forQuadratic Inhomogeneity. IEEE Transaction on Microwave and Techniques, MTT-17 (1), 1969.

[11] R.L. Lachance et P.A. Bélanger. Modes in Divergent Parabolic Graded-Index Optical Fibers. J. ofLightwave Technology, 9(11), 1991.

[12] M Abramowitz et I.A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications Inc., N.Y., 1970.

[13] H.M. Presby et I.P. Kaminow. Binary Silica Optical Fibers : Refractive index and Profil DispersionMeasurements. Appl. Opt., 15(12) : 3029, décembre 1976.

[14] I.P. Kaminow et H.M. Presby. Profile Synthesis in Multicomponent Glass Optical Fibers. Appl. Opt.,16(1) : 108, janvier 1977.