Zeitschr. 1. math. Logdk und Grundhgen d . Math. Bd. 16, S . 475-488 (1910)

SUR LA CLASSE DES ORDINAUX APPARTENANT A UN UNIVERS ET UNIVERS BIEN ORDONN~S

par CONSTANTINO M. DE BARROS b Rio de Janeiro (BrBsil)

Par un prochd6 quiremonte B la thBorie des chahes de DEDEKIND [5] et B la deux- ikme dhmonstration donnBe par ZERMELO [lo] pour son thBorkme du bon ordre, on Btablit deux rBsultats (thBor8mes 1 et 2) avec l’aide desquels on dbduit d’autres rbsultats. Les thBorkmes 3, 4 et le corollaire 6 donnent des caractBrisations de la classe des nombres ordinaux appartenant B un univers. La caractBrisation indiquBe dans le thBorbme 3 est analogue 8, ceUe donnee par VON NEUMANN pour l’ensemble des nombres naturels et Q celle dGe B ZERMELO (Cf. [l], p. 19) pour Ies nombres ordinaux. Dans le dernier paragraphe, sans faire usage de la thBorie des nombres cardinaux inaccessibles, on montre les rapports entre les classes consid6rBes par TARSKI [8], [9] et les univers. Les rBsultats Btablis s’appliquent en particulier B la classe universelle V de la thBorie d’ensembles de VON NEUMANN-BERNAYS-GODEL [6].

Etant donne que les rhsultats Btablis dans ce travail sont encore valables pour des theories d’ensembles qui admettent des objets appelBs classes, plus gBnBraux que des objets appelBs ensembles, toutes les variables de la thBorie d’ensembles consid6rBe dans ce travail dBsigneront des classes.

On admet pour thBorie logique sous-jacente le calcul fonctionnel du premier ordre avec BgalitB .

La terminologie, les notations et les conventions sont, eventuellement avec des adaptations Bvidentes, celles de N. BOURBAKI [2].

1. On admetera les cinq axiomes suivants:

(Al) L’axiome de l’extensionali t6

vz, y(Vz(2 E x o 2 E y) * z = y).

Cet axiome exprime que si deux classes ont les m&mes BlBments, elles sont Bgales.

(A2) L’axiome de l a classe vide

3xVy(-y E x). La classe dBfinie par cet axiome est la classe vide et sera nothe c).

(A3) L’axiome de l’union

v x 3 yv 2 (2 E y o 3 t (2 E t & t E x)) . Cet axiome exprime que si x est une classe, la rBunion des cIasses appartenant B z est une classe. On note U x cette classe.

31*

476 CONSTANTINO M. DE BARROY

(A4) L'axiome d e l a s e p a r a t i o n

Si R ( 2 ; t,, . . . , tk) est une formule, alors

Vt, , . . . ) t,Vx3yVz(z E y o 2 E x& R(2; t,, . . .) tk)) . Une classe y dkfinie par cet axiome sera notee { z I z € x& R ( z ; t,, . . . , t k ) } .

(A5) L'axiome d e s classes 616mentaires

VZ, y, E ( ( z € E & Y E E ) ~ X V W ( W E 2- (W = Z V w = 9))). On note {x, y} la classe z dBfinie par cet axiome.

VX, y, E ( ( x E E & y E E ) * ~ C V U ( U E c o (U = { x } v zc = {x, y}))). Si x , y E E , on dit que {{x}, {x, y}} est le couple forme' de x et y, et on le note (2, y). Un graphe est une classe de couples. Si G est un graphe, on Bcrit xGy au lieu de {x, y) E G . Un graphe f est dit univoque ou fonctionel si pour tout (x, y), (x, y') E f on a y = y'.

Si x , y E E , alors x v y est dhfini et x u y = U{x,y}. Pour une discussion des quatre premiers axiomes voir [4], Chap. 11.

Si G est un graphe, on note Arg (G) , resp. Val (G) , la classe lorsqu'elle est dkfinie, telle que Arg(G) = {x I3y(x, y) E G } , VaZ(G) = {y I3x(x, y) E G } .

Un graphe G est dit ddfini duns E ir. valeurs en F si pour chaque (x, y) E G on a x E E et y € F , i.e. A r g ( G ) , Va l (G) sont dhfinies e t A r g ( G ) c E et Val(G) c F .

On dit que ( E , G , F ) est une correspondance si G est un graphe dhfini dans E B valeurs en F.

Si %Jlo est une classe telle que {x, y} E 1112, si x, y E 1112,) alors (2, y) et (y, x) sont d6finis pour tout x, y E 1112, et (x, y), (y, x) E %Jl,; donc le produit cartesien 1137, x x 1112, est defini et 1137, x %!lo c 1112,.

2. On dit que ( E , 5) est un systZme ordonne' si ( E , 5 , E ) est une correspondance vhrifiant les trois conditions ci-dessous :

(0,) Si X E E , alors 2 sx; (0,) Si x 5 y et si y 5 z , alors x 5 z ;

(0,) Si x 5 y et si y 5 2, alors x = y. On dit que f est une fonction de E duns F si ( E , f , F ) est une correspondance

telle que f soit univoque et Arg(f ) = E .

Lemme 1. Soit ( E , I) un systZme 0rdonn.d. Soit f une fonction de E duns E . Si K est w e partie de E stable par f , i.e. f ( K ) c K , si a , a E K et si a 5 f ( a ) , alors les trois conditions suivantes sont e'quivalen.tes :

(Cf) 2 5 a ou / ( a ) 5 x; (kf) ~i a < x , alors f (a) 2 x; (Cf ) Si a

La preuve de ce lemme est immhdiat,e.

x 5 a ou a 5 x; - z 5 / ( a ) , aZors a = x ou x = / ( a ) ; x f ( a ) ou /(a,) 5 X.

LA CLASSE DES ORDMAUX APPARTENANT A UN UNIVERS 477

Soient ( E , 5) un systeme ordonne et f une fonction de E dans E . On dit qu’une classe K est une chalne d’origine w si K et w possbdent les trois propri6tBs suivantes:

(C 1) K c E et f ( K ) t K ; (C 2) Si X est une partie non vide de K et si la borne superieure de X est d6fi-

(C 3) K est non vide, w E K et w est le plus petit 616ment de K . Une chaine K d’origine w est dite normale si de plus (C 4) K est bien ordonn6e, i.e. chaque partie non vide de K admet un plus petit

(C 5) Si x, y € K et si x 4 y 5 f ( x ) , alors x = y ou y = f(s); (C 6) Si 6 E K et si 6 = f ( E ) , alors 6 est le plus grand 6lBment de K . Les deux conditions auivantes sont Bquivalentes : (D) Si z E E , alors x sf(%); (D) Si x E E , alors [x , + [ est une chaine d’origine x. On dira que ( E , 2 , f ) est une dilatation (stricte) si ( E , 5) est un systeme ordonne,

f est une fonction de E dans E et ( E , f ) satisfait a (D) (et de plus, pour tout x E E ,

Lemme 2 [3], [ll]. Xoit ( E , 5 , f ) une dilatation. Pour tout w E E soit K[w] la classe { z I z E E et z appartient 13 une chalne d’origine w} . Alors K [w] est une chaine normale d’origine w . De plus, si la borne supdrieure de K [ w ] est ddfinie, alois

DBmonstration. L’existence de la classe K[w] est consBquence de l’axiome de la separation et de (D). La preuve que K [w] est une chaine d’origine w vBrifiant (C 6 ) est immBdiate, puisque l’intervalle [w, 61 est une chaine d’origine w.

I1 reste montrer gue K [w] est bien ordonn6 et que chaque couple form6 d’BlB- ments x et a de K[w] possbde la propriBt6 (Cf).

Soit X une partie de K [ w ] . On pose

(I) Si B c CfX et si Xup(B) est dbfini, alors (Xup(B)) E C f X . En effet, soit a E K [ w ] , alors (i) si a est un majorant de B , alors (Sup(B)) 5 a ; (ii) si a n’est pas un majorant de B , alors il existe b appartenant A B tel que

b $ a , donc / ( a ) 5 b ; par consBquent f (a ) 5 b 5 Sup(B). Done (Sup(B) 5 a ou f ( a ) 5 S u p ( B ) . Par suite ( S u p ( B ) ) E CfX.

nie, alors ( S u p ( X ) ) E K ;

BlBment ;

x =k f ( x ) ) .

f (SUP ( K CWl)) = SUP ( K [wl) *

6

CfX = {y I y E K [ w ] et y 5 x ou f (2) 2 y si 2 E X I .

(11) Si X c CfK[w] et si a E C f X , alors / ( a ) E C f X . En effet, soit a E C f X . S i b E X , alors

(j) a 5 b ou f ( b ) j a ; (jj) b 5 a ou / ( a ) 4 b , puisque X c C f K [ w ] .

478 CONSTANTWO M. DE BARROS

Donc 6s) si a < b , alors f ( a ) 5 b .

On doit montrer que pour tout b E X on a : f (a) 5 b ou f ( b ) 2 f(a) . Si f (b ) 5 a , a , donc f (a) 5 b .

De (I) et (11) rhsulte

(111) Si y E CfK [w] , alors Cf {y} = K [w] . En effet, C f { y } est une chaine d’origine w . (IV) Si y E Cf K [w] , alors f ( y ) E Cf K [w] . En effet, soit y E CfK[w] , alors C f { y } = K [ w ] , donc x 2 y ou f ( y ) 5 x pour

tout xE K [ w ] . Hais yE CfK [w] entraine que y 5 f (x) ou f ( x ) 5 y. Par suite f (9) 5 x

alors f ( b ) 5 f (a) . Si a = 6 , alors f ( b ) 5 f (a ) . Si a < b , alors b

ou f (4 2 f ( Y ) . De (I) et (IV) on dhduit:

(V) CfK [w] = K [w] . De (V) et du lemme 1 r6sulte que tout couple <x, a ) form6 d’h16ments x et a

(VI) K[w] est bien ordonnhe.

En effet, supposons gue X soit une part,ie non vide de K [w] n’admettant pas un

appartenant B K[w] possede les propriBt6s (Cf) et (8).

plus petit BlBment. Alors X - A X = 0, oh

On a

Par consBquence f (a) E X - .

5 x pour tout x E X . Donc ( S u p ( A ) ) E X- .

De (k), (kk) et (kkk) r6sulte que X - est une chaine d’origine 20, donc X - = K [ w ] , c’est-&-dire X = 0 ; mais cela est absurde.

Lemme 3. Soient ( E , 5) un systkme ordonnd et f une fonction de E dans E . Pour tout w E E il existe au plus une chaine normule K d’origine w telle que

(C 7) Si X est une p r t i e non vide de K admetant un majorant appurtenant Lc K , alors S u p ( X ) est dkfinie;

(C 8 ) Si s E K , alors s 5 f (3) (resp. s < f ( s ) ) . Dhmonstrat ion. Soit K une chaine normale d’origine w et posshdant les pro-

pri6ths (C 7) et (C 8). Soit K’ une autre chaine d’origine w . On a K c K’. En effet, dans le cas contraire K - K’ + 0. Soit alors q le plus petit hlhment de K - K‘, lequel existe en vertu de (C 4). Soit A:(K) = {x I x E K et x < q} . On a Ag(K) c K A K‘ et A:(K) est non vide puisque w E K n K’. De plus A:(K) est majoree par q . Donc la borne suphieure de A,* ( K ) est d6finie. Soit s = S u p (A: ( X ) ) . Alors s E K en vertu de (C2). On a: ou bien s < q ou bien s = q .

X - = { a l a E K [ w ] et a 5 x p o u r t o u t x E X ) .

(k) Soit a E X- . Alors a < x pour tout x E X , donc f (a) 5 x pour tout x E X .

(kk) Soit A une sous-classe de X - telle que S u p ( A ) est dhfinie. Alors ( S u p ( A ) ) 5

(kkk) w E X - puisque w est le plus petit BlBment de K [ w ] .

LA CLASSE DES ORDINAUX APPARTENANT A UN UNIVERS 479

Cas 1. Soit s < q. Alors f ( s ) 5 q en vertu du lemme 1 puisque K est totalement ordonnbe. Si f (s) < q , alors f (9) = s A cause de la d6finition de s et de (C 8). Donc s = q en vertu de (C 6)) mais cela est absurde. Si f (s) = q , alors q E K , it cause de (C 1). Mais cela est ausai absurde puisque, par hypothkse q E K - K .

Cas 2. Soit s = q. Or A: ( K ) c K’ et K‘ est une chaine, donc q E K’. Mais cela eat absurde, puisque q E K - K‘. Par consequent ce deuxihme cas est, lui aussi, im- possible.

Comme l’hypothhse K - K‘ + 0 entraine des contraditions, on a K c K‘. De m6me K ’ c K . Des lemme 1 et 2 on d6duit le Thboreme 1. Soit ( E , 5 , f ) une dilatation teZZe que toute (partie non vide de E qui

soit bien cmhnnke et w j o r k e admette une borne sup‘rieure. Alors, pour tout dlkment w de E , il existe une unique (partie de E , notke K [w] , telle que K [w] est une c7aaBne normale d’origine w.

Lemme 4. Soient ( E , 5) un systkme ordonnk et f une fonction de E duns E . X i w E E , alors pour qu’une chutne K d’origine w vkrifiant (C 6)) (C 7) et (C 8) soit nor- male il faut et il suffit que K satisfasse aux deux conditions ci-dessous:

( 6 4 ) K est totalement ordonnke;

(6 5 ) si 5, y E K et si y < 2, alors f ( y ) 5 x. Dbmonstration. En vertu du lemme 1, il suffit de montrer que les conditions

(c I ) , (C 2), (C 3), (E4), (6 5) , (C 6), (C 7) et (C 8) entrainent que K est bien ordonn6e. Soit X une partie non vide de K. (I) Si w E X, alors w est le plus petit element de X. (11) Soit X, = {a I a E K et il existe x E X tel que a < x}. Supposons que w B X . Alors w E X# puisque w est le plus petit BIBment de K .

Mais X, est majorbe par les blements de X , donc la borne supbrieure de X#. est d6finie en vertu de (C 7) . Soit q = S u p ( X # ) .

Cas 1. Pour tout x E X on a q < x. Donc f ( q ) 5 x pour tout x E X, en vertu de (6 5). Montrons que f ( q ) E X. Supposons que f ( q ) B X . Alors f ( q ) < x pour tout x E X. D’oh f ( q ) E X,. Par consequent f ( q ) 5 q, puisque q = S u p ( X # ) . Donc f ( q ) = q B, cause de (C 8). Par suite q est le plus grand BlBment de K en vertu de (C 6). Donc X = 0, mais cela est absurde. Donc f ( q ) E X .

Cas 2. I1 existe xo E X tel gue q = xo. Tout blement x de X majore X,, donc q = xo = (Sup(X#) I_ x. Par cons6quent q est le plus petit Blbment de X .

Des lemmes 2, 3 et 4 rbsulte Theoreme 2. Soit ( E , 5 , f ) une dilatation (stricte) telle que toute partie non vide

de E qui soit totalement urdonnke et majorke admet une borne supkrieure. AEors, pour tout w E E , il existe une unique partie de E, notke K [w] , telle que K [w] est une chatne d’origine w vkrifiant en plus les conditions (C a), (C 5 ) et (C 6) (et x + f ( x ) pour tout x E E ) , ou encore vkrifiant (C 6 ) et (645) Si x , y E K [ w ] , alors x d y ou f ( y ) 5 5.

,. ,.

480 CONSTANTINO M. DE BARROY

Remarque 1. Tous les rBsultats de ce paragraphe restent valables si l’on suppose que 5, (resp. f ) est une relation d’ordre sur E (resp. relation univoque de E dans E ) c’est-&-dire 5 (resp. f ) est une formule R ( s , y) telle que

R ( x , y) x , y E E , x E E * R ( x , x ) ,

x , y , z E E , a ( x , y ) , R ( y , z ) * R ( s , 4 , (resp. R ( x , y ) * x , y E E , R ( z , y ) et R ( x , y ’ ) * y = y ’ ) .

considBrer 5 ou f comme un graphe ou une relation.

tion pour cette autre ccE est une classe munie du graphe d’ordre on Btablit des conventions semblables pour (( ( E , 5 ) f ) est une dilatation B.

satisfait la condition suivante:

x , y E E , R ( x , y ) et R ( y , x ) * x = y .

Si le produit cartBsien E x E est dBfini, alors, dans ce cas il est indifferant de

Remarque 2. L’expression a ( E , 5) est un systkme ordonn6)) est une abrbvia- )). De mAme,

3. Une classe no est dite hkrMitaire si

(H) Si U E %Ti!, et si X c U , alors XE a,. Si Do est une classe hBr6ditaire non vide, alors 0 E Ym,, et, de plus, si E c no,

alors E admet une borne suphrieure dans Do munie de la relation d’inclusion si, et seulement si U E appartient B no; done si E c no et s’il existe U € Ym, tel que X c U pour chaque X E 3) alors U 3 appartient B Ym,.

On dit qu’une classe no est dPcente si X B X pour tout X E Ym,, i. e. X + X u

w { X } pour tout X E Ym,. X i no est dBcente alors YXo B m,. Une classe no est dite inductive si elle est dBcente et vbrifie les deux hypotheses

ci-dessous :

(I 1) Si X E m,, alors X w {X} est dBfinie et appartient h Do; (12) 0 € m,. ThBoreme 3. Soit Ym, une classe hkrhdditaire et inductive. Alors il existe une unique

(0 1) Xi w E Q,, alors w w { w } E Q,;

(0 2) Si X c Q, et si U E apprtient 2G %Q,, alors u E appartient aussi 2c Q,;

sous-classe de %lo, notke Q, , satisfaisant aux quatre conditions suivantes:

(0 3) 0 E 52,; (04) Si l ,wEQ, , alors

De plus la relation d’inclusion induit dans 52, une relation de bon ordre telle que:

(0 5 ) X i 5 , w E Q, et si cc) + E , alors 5 E w ;

(0 6) I1 n’existe aucun klkment de Q, contenant tous Zes autres klhments de a,. DBmonstrat ion. m, etant h6rBditaire) la condition (0 2) est Bquivalente it

(0 i) X i E c Q, et s i la borne supdrieure de 3 est ddfinie duns Q, munie de Ea reka-

c w ou w c E .

tion inclusion, alors (U E ) E Do.

LA CLASSE DES ORDWAUX APPARTENANT A UN UNIVERS 481

Soit X la relation fonctionelle de 1157, dans 1157, d6finie par X H X LJ { X } . Soit Q, la chaine normale d’origine 0 par rapport b YXo munie de la relation d’inclusion et de S. L’existence et l’unicit6 de Q, satisfaisant les propri6t6s (0 1 ) ) . . ., (0 4) est assurke par le theoreme 2 (voir remarque 1). I1 suffit de montrer (0 5). Soient E , w f Q , tels que w Q E . En faisant usage de (04) on a 5 c w et $= w . Mais 6 u {t} c w ou w c 6 w { E } en vertu de (0 1) et (0 4). Si w c 5 LJ {t}, alors w = E L J { ~ } puisque 6 + w . Par suite E E w .

Une classe 5 est appellee complbte si elle v6rifie la condition suivante:

(C) Si XE 5 , alors X c 5 . Lemme 5. X i ‘$Io est une classe hkr&itaire et inductive, alors Q, est complkte.

D6monstrat ion. Soit Y = {[ I 5 E Q, et

(1) Si E E Y , alors 6 u {t} E Y. En effet, si w E 6 u {t}, alors w E 5 ou w = t . Donc w E Q, puisque 6 c Q, et 5 E 9,.

(2) Soit X une sous-classe de !P telle que (U 2) E 1157,. Si o appartient A U X , alors il existe E E X tel que OJ E 6 et 6 E Y. Donc w E Q, puisque 5 c Q,. Par suite (U 2) c a,, c’est-&-dire (U 2) E !P.

c Q,}.

(3) 0 E Y. De (l), (2) et (3) resulte que !P = Go. Corollaire 1. Xi w E Q, et s i 5 E w , alors 5 c w et E $. w .

DBmonstration. En effet, si w E Q, et si 6 € w , alors E E 52,. Donc 6 c w ou en vertu de (0 4). Mais w c 6 est impossible, puisque en cas contrahe 5 E 6,

Corollaire 2 . Pour tout o €9, on a t E w si, et seulement si 6 C Q,, 5 c w et

Corollaire 3 . Xi Z c Q, et si (U X) E %,, alors (U X) E Q,. Lemme 6. Soit 1157, une classe hkrkditaire et inductive. Xi X est m e sow-classe

DBmonstration. En effet, on a : ou bien (1) I1 existe w E Q, tel que 5‘ c w pour tout 5 E X. Dans ce cas El c w , donc

ou bien (2) Pour tout w E Q, il existe 6 E X tel que E $ w , i. e. w c 6 et o =+ [ en vertu

de (0 4). Donc o c t1 pour tout w E 0,. Par suite a, c El. Mais El c 9, en vertu du corollaire 1.

On dit (cf. [l], [4], [ S ] ) qu’une classe Q est un ordinal si Q satisfait aux deux axiomes suivants :

(Ord 1) La relation d’inclusion induit dans Q une relation de bon ordre;

(Ord2) Pour tout ~ € 5 2 , on a w = {f 1 E E Q , 5‘ c w et ~ - + O J } .

w c mais cela est absurd.

5 + w .

de Q, et s i t1 = U H, alors 5; E 52, ou ti = 12,.

A

t1 E 1157, puisque ,1157, est h6r6ditaire. Par consequent E Q, ti cause de (0 2 ) ;

482 CONSTAhrTINO M. DE BARROS

On peut remplacer (Ord 2) par (Ord 2) 9 est complkte, decente, si E , w E 9 et si 6 c w , 6 $. w , alors 6 E w. Pour qu'une classe 9 soit un ordinal il faut et il suffit que 9 satisfasse aux deux

(Ord i) Si X c 9 et si X est non vide, alors il existe un 6, E X tel que si w E X , alors ou bien to = w , ou bien 6, E w ;

(Ord i) 9 est complbte et decente.

Soit 9 un ordinal. On a (cf. [l], [4], [S]):

(1) Si w E 9, alors w est un ordinal.

(2) Si X c 9 et si X est complAte, alors X est ordinal.

(3) Si 9' est aussi un ordinal, alors 9 c SZ' ou 9' c 9. (4) X i 9 appartient

Lemme 7. Si D et LY sont des ordinaux et s'il existe une fonction q~ de $2 duns 9'

(1) Si 6, w E 9 et si 6 c o,.aZors y(E) c pl(w);

(2) Pour tout w E 9, si E' E 9' et si E' c pl(o), alors il existe un unique E E 9

Alors Q c 9'. Demonst ra t ion . En effet, soit X = {t I 5 E 9 et ~(6) = l } . Alors X est non vide puisque 0 E X . Supposons X + 9, i. e. Q - X =+ 0 . Soit UJ

le plus petit Bl6ment de 9 - X . Donc pl (5 ) = 6 pour tout 6 E w . Soit 6 E o. Alors pl(6) c y ( w ) et 5 + o. Mais pl(6) = E . Par suite 6 E y ( w ) . D'oh o c pl(o).

Reciproquement, soit E' E q~ (0). Alors 6' E 9', donc il existe 5 E co tel que pl (6) = 6'. Or pl (6) = 6, donc 5 = 6'. Par suite t' E w , i. e. ~ ( w ) c w . D'oi w = pl ( w ) , mais par hypothkse w + pl (w) .

Corollaire 4. Si 9 et 9' sont des ordinaux et si pl est une fonction bijective de 9 SUP Q' telle que pour tout t , o E 9, s i E c w on ait v(E) c q ~ ( w ) , alors SZ = sz'.

Theoritme 4. Si %TIo est une classe hkrkditaire et inductive, alors 9, est l'unique ordinal tel que 9, c %TIo et 9, E m,. Donc 9, est caractdris6e par la condition suivante: 9, est un ordinal tel que 9, c 'ill?, et si D est un autre ordinal tel que 9 c %TI,, alors

DBmonstration. Du thBorbme 3 et du lemme 5 resulte que 52, est un ordinal.

On a (UQ,) = 9,. En effet, si o E UQ,, alors il existe 5 E 9, tel que o E l . Donc w E Q, puisque Q, est complbte. A cause de . (O 6), si o E Q,, alors il existe l E Q , t e l q u e u , c E , o + E , d o n c m € E .

Supposons 9, E %Vo. Alors B cause de (0 2 ) an a 9, E Go, mais cela est absurde, puisque %TIo est dkcente. Donc Q, B. m,.

conditions suivantes :

une classe, alors 9 v {Q} est un ordinal.

telle que

tel que E c w et q(5) = E'.

a c 9,.

LA CLASSE DES ORDINAUX APPALRTENANT A UN UNIVERS 483

Soit 52 un autre ordinal tel que Q c m0 et 52 6 m,. Si Q $2 Q,, alors Q c Qo ou Q, c 9. Si Q c a,, alors f 2 E Q o , donc Q E 1137,. Si f2, c f2, alors SZ,EQ, donc Qo E !Illo.

Si E appartient B une classe h6rBditaire mo, on note p ( E ) la classe

{XIXEYX,et X c E } . On a % ( E ) c m0 et si 5 est une autre classe hBr6ditaire telle que E E S, alors

On dira que E est une $-classe si E appartient it une classe her6ditaire. Si E est

On dit qu’une classe ‘3no eat $-stable si llJlo verifit la condition suivante:

(P) Si E E %Roy elors E est une ‘$-classe et p ( E ) E no. On dit qu’une classe %Jl0 est un univers ai Ixn, est non vide, MrBditaire, $%stable

(S) (Axiome de subst i tut ion) Si R est un graphe univoque tel que Arg(R),

(A) (Axiome d’amalgetion) Si X E %Yo et si X c m0, alors (U2) E m0. Lemme 8. Soit 9X,, une classe telle que le produit cartesien Yllo x mo soit dkfini

(1) X i A,BE‘$X,, si A + B et si {A,B}E2Jlo, alors {X,Y}E17n0 POUT tout

DBmonstration. Le graphe R = { ( A , X ) , ( B , Y ) } c m0 est univoque et { A , B} = Arg(R), { X , Y } = Val(R). Mais Arg(R) E ‘Do et VuZ(R) c YJlo, donc

Proposit ion 1. Soit m, une dasse non vide, hkrkditaire, $-stable et satisfaisant

(n) Le produit cartesien ‘Do x tm, est dkjini.

$ ( E ) c 5 .

une ‘$-classe, alors $(E) est hBrBditaire et non vide.

et satisfait en plus les deux axiomes suivants :

Val ( R ) sont dBfinis, si Arg(R) E 93, et si VaZ(R) c %,, alors VaZ(R) E 8,.

et satisfasse en plus u l’axiome (S). On a

x, Y E n o .

{ X , Y l E n o .

Z’axime (S). Les deux conditions ci-dessous sont kquivatentes:

(1;) Bi x, Y E m,, azors { X , Y}E w,. D a n s c e c a s ~ o x ~ o ~ ~ o e t E x F e s t ~ k f ~ n i s i E , F c ~ o .

DBmonstration. (n) entraine (5). En effet, no &ant non vide et h6r6ditaire, alors 0 E illlo. Mais YJ?, est $-stable, donc { 0 } , ( 0 , { 0 } } appartient it !E,: puisque {Q} = Q ( 0 ) et ( 0 , { 0 } } = ‘$({0}) . En outre 0 =/= {0}, par consequent { X , Y } E YXo si X , Y f 910 en vertu du lemme 8.

(5) entraine (n). En effet, si X , Y E Do, alors ( X , Y ) est d6fini et ( X , Y ) E YJ?, cause de (5). Donc %lo x %Ro est dBfini et Do x %’, c m,. Corollaire 5 . Soit YJ?, un univers tel que YJ?, x no est dkfini. Alms

(1) 0 E !E0 et { X } , { X , Y } , < X , Y ) E YJ?, si X , Y E YJ?,; (2) Si X , Y E m,, alms X w Y et X LJ { Y } sont dkfinies et appartient b no;

484 CONSTANTINO M. DE BARROS

(3) Si X, Y E %I,, alors X X Y a t ddfini, X x Y E XUo et X x Y est une sous-

(4) Si no est dkcente, alors m0 est inductive.

DBmonstration. L’unicitB est const5quence du corollaire 4. Soit E un 61Bment de m0 et soit ( E , 5) un systeme ordonn6. Alors { E , s ) appartient b m0. Soit G ( E , 5) la classe des segments 8 de ( E , 5) isomorphes b un BlBment ws de 52,. Soit

O ( E , 2 ) = {US I S E Q ( E , S)}. Alors O ( E , 5) c $2,. En outre, comme %TIo est ‘$-stable, de (4) du corollaire 5 et de la proposition 2 rBsulte que G ( E , 5 ) est un BlBment de W0. Par consbquent, en vertu de l’axiome (S), O ( E , 5) appartient b m,. Donc ( l J O ( E , 6)) E %, en vertu de (A). Soit w = U O ( E , 5) . Alors ( E , 5) est isomorphe b un segment de w u { w } . En effet, dans le cas contraire, on aurait w w { w } isomorphe B un segment de S de ( E , 5) , donc S E G ( E , 5) puisque w w { w } E $2,. De plus w w { w } = ws, donc w c us, w $- ws. Mais cela est absurde, parce que S E G ( E , 5 ) entraine ws c w . Par suite ( E , 5) est isomorphe b un segment de w w { w } .

ctasse de $ $ ( X w Y ) . Donc ( X , R ) E %,, si R c X x X ;

Du theoreme 5 et du corollaire 4 on dBduit

Corollaire 6. Soit m0 un univet-s ddcent. Soit

Ord = ( 5 I 5 E $2, et 5 est un ordinal}. Alors Ord = 52,.

condition suivante: ThBorBme 6. Soit ‘%Ro une classe hdrdditaire et non vide. Alors m, satisfait la

(C) Si A E !No, alors il n’existe aucune fonction surjective de A sur m,. DBmonstration. Soit q~ une fonction de A dans m,. Soit

B = {Y I Y E A et Y B q J ( Y ) } .

On a B E m,. Supposons qu’il existe b E A tel que B = 9 ( 6 ) . On a : ou bien b E B , ou bien b B B . Si b E B , alors b B ~ ( 6 ) ) mais cela est absurde, puisque, par hypo- these ~ ( b ) = B . Si b B B , alors b 6 q ~ ( b ) , donc b € B puisque b € A . Mais cela est aussi absurde.

Corollaire 7 (CANTOR). Xi E est une 9-classe, alors il n’existe aucune fonction

4. On dit que ‘$lo est une T-classe si no satisfait l’axiome suivant:

(T) Si 3 c %TIo et s’il n’existe aucune fonction surjective de Z sur no, alors

Lemme 9. Soit m, une T-classe non vide satisfaisant a l’axiome (C). Alors mo vdrifie l’axiome ( S ) .

DBmonstration. Soient A E m,, X c no et R un graphe univoque tel que A = Arg(R) et X = Val (R) . Si X 6 m,, en faisant usage de l’axiome (T) on peut

bijective de E dans !J3 ( E ) .

X E 9x0.

LA CLASSE DES ORDINAUX APPARTENANT A UN UNNERS 485

supposer l’existence d’un graphe univoque S tel que X = Arg ( S ) et VaZ (8) = W,. Soit T = S o R ; alors T est graphe univoque tel que Arg ( T ) = A et Val (T) = %!lo. Mais cela est impossible en vertu du theoreme 6.

Du thBorkme 6 et du lemme 9 on dBduit

Corollaire 7 . X i YJI, est une T-classe non vide et hkiditaire, alors %lo satisfait

Dorenavant on supposera que la classe W, satisfait la condition (n), i. e. %!lo x W,

Propos i t ion 2. Soit ’$X, une T-classe hdrkditaire et inductive. Alors (B) I1 existe un graphe 5 tel que (W,, 5) est un systkme bien wdonnt! et pour

E n plus Card(YJIo) = 0,. DBmonstration. On a 0, c YJI, et sZob W,. Donc il existe une fonction sur-

jective p0 de Go SUP YJI,. Mais (Go, c) est un systkme bien ordonnbe, donc il existe une fonction injective de no dans 0,. Par suite il existe une sous-classe 5 de W, x Wo telle que S soit un graphe du bon ordre dans Wo satisfaisant l’axiome (B) . La dernikre partie du thBorkme resulte du th6orbme de SCHR~DER-BERNSTEIN (cf. [7], Sec. 4.5, p. 102, oh on trouve une demonstration adapt6e aux axiomes du 0 1 et aux hypothbes admises pour no).

a l’axiome ( S ) .

est dBfini.

tout X E W , on ait ] + , X ] E W o .

De la proposition 2, de (4) du corollaire 5 et du corollaire 7 resulte

Corollaire 8. Xi W, est un univers et si %lo est une T-classe dicente, alors %lo satisfait l ’axime (B).

R e m a r q u e 3. En f aisant usage des axiomes admis dans le 6 1 on peut dBmontrer le thkorkme fondamental des systkmes bien ordonn6s (cf. [4] p. 58 et [7] p. 165): si ( E , 5) et si (E’, 5) sont des systkmes bien ordonnBs et si E x E’ est dBfini, alors on a seulement une des possibilitBs suivantes:

(a) il exist,e un unique isomorphisme de ( E , 5) sur (PI 5); (b) il existe un unique x’ E E‘ et un unique isomorphisme de ( E , 5) sup (1 t , x’] , 5) ; (c) il existe un unique x E E et un unique isomorphisme de (E’, 5) sur (1 c , X I , 5) . Theoreme 7 . Soit YJI, une classe non vide, hkriditaire et inductive. Les trois con-

(1) L a classe YJI, satisfait l’axiome (T). (2) L a classe %lo satisfait les axiomes ( S ) et (B). (3) Le classe Wo satisfait l ’axime suiwant: (+) (Axiome de Tarsk i ) Si X c %lo et si E 6 W,, dors il eziste une fonction

Demonst ra t ion . (1) entraine (2) en vertu du corollaire 7 et de la proposition 2

ditions suivantes sont Lquivalentes :

bijective de E sur W,.

puisque no est h6rBditaire.

486 CONSTANTMO M. DE BARROS

Montrons que (2) entraine (3). Soit X c YJl, telle que Z 6 no. A cause du remar-

(a) (2, 5) est isomorphe B (Do, c), (b) (X, 5) est isomorphe h (a, c), oh a E Q,, (c) (X, 5) est isomorphe B (Q,, c ) , oii X E X .

que 3 on a une des trois possibilites suivantes:

L’alternative (b) est impossible, en effet, dans le cas contraire on aurait X E mo en vertu de (S). L’alternative (c) est, elle aussi, impossible, parce que si (c) est valable, alors Qo E YJl,. Mais cela est impossible en vertu du thBorBme 4.

(3) entraine (1) trivialement.

Du theoreme 7 et du corollaire 5 on dBduit :

Th6orhme 8. Soit YJl, une classe non vide, dkcente, ‘$-stable, hdraitaire et satis- jaisant l’axiome (A). Alors, les trois conditions (l), ( 2 ) et ( 3 ) du the‘orkme 7 sont Lqui- valentes.

Corollaire 9. Pour qu’une classe YJl, soit U ~ L univers satisfaisant a l’axiorne (B) il faut et il @fit que YJl, soit une T-classe dkcente, hkrkditaire, ‘$-stable et satisjasse a l’axiome (A).

Lemme 10. Si 8, est une classe cornplc2e vkrijiant l’axiorne ( S ) et telle que 0 E %,, alors a, eet hkrkditaire.

DBmonstration. En effet, soit E E %Ro, donc E c %,. Si X c E , alors X c no. Supposons X $. 0 et soit a E X . Soit z la fonction de E sur X dBfinie par

x si x E X , a si X E E - X t ( x ) =

Du thBorQme 6, des lemmes 9, 10 et tenant compte de ce que la condition (CT) entraine 0 E ’$lo, on dBduit

Corollaire 10. poit YJl, une classe non vide. Pour que YJl, soit une T-classe corn- plkte et hdrdditaire i.! faut et il suffit que YJl, satisfasse a l’axiome suivant:

(CT) X E %, si, et seulement s’il n’existe aucune fonction surjective de X sur YJl, et c %Go.

Si YJl, est une classe complete et $-stable, alors YJl, est h6rBditaire. En effet, si E E YJl, et si X c E , alors X E $ ( E ) et $ ( E ) appartient B YJl,, donc X E YJl,.

Lemme 11. Xi YJl, est non vide, complbte, $-stable, ddcente et vkrifie l’axiome (S), alms ‘93, est inductive.

DBmonstration. Soit X E YJlo. Alors $ ( X ) E %Po, donc 8 E YJl,, oh * = { { X I I { X I E $ ( X ) et x E X I c ?XIo,

puisque x t+ {x} dbfinit une fonction bijective de X sur 8. Or 8 et { X } sont des sous-classes de $ ( X ) , donc * v { X } E YJl, et 8 v { X } est une sous-classe de YXo puisque 8 c YJlo et no est hBrBditaire. En autre { X } B 2, i. e . { X } n 8 = 0 , puisque YJl, est dBcente.

LA CLASSE DES ORDIWAUX APPARTENAWT A UN UNNERS 487

Soit y la fonction bijective de 8 v {X} sur X u {X} dhfinie par

x si w = { X I et W E 8, { X si w = X . 9 4 4 =

Alors X LJ { X } E ", en vertu de (S). De la proposition 2, du corollaire 7 et du lemme 11 resulte

P ropos i t i on 3. Xi 91, est une T-classe complite, @-stable et de'cente, alors 9Xo

Du theorbme 7, des lemmes 10, 11 et de la proposition 3 on dBduit

Theorhme 9. Soit 9Jlo une classe non vide, de'cente, $-stable et compl2te. Les con-

Du corollaire 9 et du theoreme 9 resulte

ThBorbme 10. Soit m, une 'classe de'cente. Les trois conditions suivantes sont

(1) %TI, est un univers ve'rifiant Zes axiomes ( B ) et

(2) E, est une classe $-stdle satisfaisant les ax ioms (CT) et (A). (3) Eo est conzpl&e, $-stable et satisfait 2es axionzes (A) et (T) (resp. (T)). Comme une application immediate du theorbme 1 on a

Theoreme (ZERMELO [lo]). Soit E une !$-classe telle que @ ( E ) x $ ( E ) est ddfinie. Xi (T est une fonction de $ ( E ) - {0} dans E telle que o ( X ) E X pour tout X E 8 ( E ) - - {0} , ators il existe un unique graphe, note' S U B , tel que ( E , s o B ) soit un systime bien ordonne' tel que, pour tout x E E , on ait a ( E - I t , x [ ) = x .

satisfait l'axiome (B) .

ditions ( l ) , ( 2 ) et (3) du t h h r h e 7 sont Lquivalentes.

e'quivalentes :

(G) Xi x appartient b une classe et si {x} E 9Jlo, alors x E 9Xo.

h

DBmonstrat ion. Soit S la fonction de $ ( E ) dans @ ( E ) telle que

E s i X = E , i X u {a(E - X ) } si X $: E . 6 ( X ) =

Alors ( $ ( E ) , 6, c) est une dilatation. Soit K,[0] la cha3ne normale d'origine 0 . Soit K,* [0] = K , [0] - { E } . Si x E E et si l'on note S,* la reunion de la classe con- stituBe par tous les Bl6ments Y appartenant B K$[0] et tels que x B Y, alors on a

(1) x H S,* definit une fonction injective de E dans K,*[0]; (2) Si Y E K$[0] et si x E E , alors x 6 Y si, e t seulement si Y c S,*; (3) S,* est l'unique dement de KZ[0] tel que x B S,* et (E - S,*) = x . Par suite il existe un unique graphe, not4 se, tel que ( E , sn) eat un systhme

bien ordonne et K: [0] = (14- , z[ I x E E } . Theorbme 11. Soit m, une classe non vide, complbte, $-stable et satisfaisant en

plus les axiomes (A) et (R) (Axiome d e r6gularitB) Xi X c no, alors il existe u E X telque u n X = 0.

Pour que %Ro vkrifie l'axiome (T), il taut et il suffit que 9Jlo satisfasse aux axiomes ( S ) et

488 CONSTANTINO M. DE BARROS

(ZG) (Axiome d u choix global) I'd existe une fonction y de no - (0) dam m0 telle que si X E %lo et si X $; 0, alors y(X) E X .

DBmonstration. La necessite est condquence du theoreme 9. En vertu aussi du theoreme 9 il suffit, pour achBver la preuve, de montrer que '332, satisfait a l'axiome (B). On montre que '332, verifie l'axiome (B) de faqon analogue au theoreme 10.1.9 de [7], p. 250. Pour tout E E m0 soit y E la fonction de $ ( E ) - (0) dam E telle que pour tout element X de $ ( E ) - (0 ) on ait Y E ( X ) = y (X) . Du theoreme de ZERMELO r6sulte que E .c) ( E , syE) d6finit une fonction Z de mo dans la sous- classe 2 (a,) de %to constituee par tous les couples ( E , s> tels que E E a, et 5 soit un graphe du bon ordre dans E. Soit e la fonction (crank )) de '332, sur Do (cf. [7], Sec. 8.6, p. 211). Si E E '332, et si l'on pose (E) , = {Y I Y E '332, et e ( Y ) = p ( E ) ) , alors (E) , E '332, (cf. [7], Theorem 8.6.21). Si l'on pose z,, = { ( E , F ) I E , F E %I,, ( e ( E ) c p ( F ) et e ( E ) =i= e ( Q 0~ ( e ( E ) = e ( F ) et E I -"f(E)e F ) ) , alors (no, S,,) est un systeme bien ordonne tel gue pour chaque X E '332, on ait I t , XI E '332,.

Des tht5or&mes 10 et 11 resulte

Corollaire 11. Soit '332, une clmse vkrifiant l'axiome (R). Pour que '332, soit un univers comp1i.t satisfaisant l'axiome (ZG) il faut et il suffit que '332, soit p-stable et satisfasse aux axiomes (CT), (A).

Soit '332, une clmse vdrifiant l'axiome (ZG). Pour que '332, satisfasse a l'axiome (S), it faut et il suffit que '332, satisfasse a l'axiome:

(8) Si R est un graphe biunivoque tel que Arg (R) , Val (R) sont dLfinis, si Arg (R) E E m0 et si Val@) c YX,, abrs VaZ(R) E '332,.

Remarque 4. On peut enlever l'hypothese: '$lox '332, eat d6fini et l'hypothese E x E', resp. $ ( E ) x $ ( E ) , est definie dans le remarque 3, resp. dans le theordme de ZERMELO si, dans tous les Bnonces et dkmonstrations on considere au lieu de graphes des relations.

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(Eingegangen am 25. April 1969)