C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 491–496, 2001Analyse complexe/Complex Analysis(Analyse mathématique/Mathematical Analysis)

Sur l’algébricité des applications holomorphesSylvain DAMOUR

LATP, UMR CNRS 6632, Université de Provence, 39, rue Joliot-Curie, 13453 Marseille cedex 13, FranceCourriel : Sylvain.Damour@cmi.univ-mrs.fr

(Reçu le 6 novembre 2000, accepté après révision le 12 février 2001)

Résumé. SoientM ⊂ Cn une sous-variété algébrique réelle, générique et minimale,M ′ ⊂ C

n′

un sous-ensemble algébrique réel etf une application holomorphe locale envoyantMdansM ′. On donne des conditions suffisantes pour quef soit algébrique. 2001 Académiedes sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS

On the algebraicity of holomorphic mappings

Abstract. Let M ⊂ Cn be a minimal, generic, real algebraic submanifold, M ′ ⊂ C

n′be a real

algebraic subset and f be a local holomorphic mapping sending M into M ′. We givesufficient conditions for the algebraicity of f . 2001 Académie des sciences/Éditionsscientifiques et médicales Elsevier SAS

Abridged English version

Since the work of Poincaré (1907), many authors [10,7,9,1,3,11] were interested in the problem ofestablishing sufficient conditions for the algebraicity of a local holomorphic mapping sending a realalgebraic submanifoldM of Cn, n� 2, into a real algebraic subsetM ′ of Cn′

. In this Note, we introduce“characteristic” varieties associated to both the setsM andM ′ and the mappingf . This allows us to givetwo new conditions.

LetM ⊂ Cn be a generic, real algebraic submanifold defined nearp ∈M by Pk(z, z) = 0, 1 � k � d,where thePk(z, z) are real-valued polynomials satisfying∂P1 ∧ · · · ∧ ∂Pd �= 0 near(p, p). We assumethatM is minimal atp, i.e.,M contains no proper CR submanifold throughp with the same CR dimensionm := n− d. TheSegre variety Q(w) ofM associated with the pointw close top is the complex algebraicmanifold defined nearp by Pk(z,w) = 0, 1 � k � d. Let (Lj(z, z))1�j�m be a basis of the(1,0) CRoperators onM with real algebraic coefficients; theLj(z) = Lj(z, p), 1 � j � m, form a basis of theholomorphic operators tangent toQ(p). LetM ′ ⊂ Cn′

be a real algebraic subset defined by the vector-valued real polynomial equationP ′(z′, z′) = 0, whereP ′ = (P ′

1, . . . , P′d′), and letf be a local holomorphic

mapping fromCn to Cn′such thatf(M) ⊂M ′. For 1 � k � d′ andα ∈ Nm, we denote byΦα

k (z′) theantiholomorphic polynomialLαP ′

k(f(·), z′)|p, whereLα = Lα11 · · ·Lαm

m . Thefirst characteristic varietyof f at p (cf. [4]) is the complex algebraic setV1

p defined nearp′ := f(p) by the equationsΦαk (z′) = 0, for

all k andα. We say thatf is algebraic if its graph is contained in a complex algebraic subset ofCn+n′

ofdimensionn. The first main result of our Note is:

Note présentée par Pierre LELONG.

S0764-4442(01)01887-0/FLA 2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 491

S. Damour

THEOREM 1. – If V1p is of dimension 0 at p′, then f is algebraic.

As a corollary, we obtain the algebraicity results of [9], and of [10,1] in caseM ′ is essentially finite atp′

andf is a biholomorphism inducing a CR diffeomorphism fromM ontoM ′.If dimV1

p � 1, Theorem 1 no longer applies. For a generic pointp ∈M , we construct the complex

algebraic manifoldV1p of greatest dimension (denoted bya) satisfyingf(p) ∈ V1

p ⊂ V1p and depending

algebraically on the jet off at p. Let Φk(z′) = 0, 1 � k � n′ − a, be complex algebraic defining equations

of V1p and(Kj)1�j�a be a basis of the holomorphic operators tangent toV1

p. For1 � �� d′ andβ ∈ Na, we

denote byΨβ (z′) the antiholomorphic polynomialKβP ′

(·, z′)|p′ , whereKβ = Kβ1

1 · · ·Kβaa . Thesecond

characteristic variety of f at p is the complex algebraic setV2p ⊂ V1

p defined nearp′ by the equations

Φk(z′) = Ψβ

(z′) = 0, for all k, � andβ. The second main result of our Note refines Theorem 1:

THEOREM 2. – If V2p is of dimension 0 at p′, then f is algebraic.

We prove thatV2p ⊂M ′. Thus, as a corollary of Theorem 2 we obtain known algebraicity results [7,3,11],

in caseM ′ contains no complex algebraic curve nearp′.

1. Introduction

Depuis les travaux de Poincaré (1907), la détermination de conditions suffisantes assurant l’algébricitéd’une application holomorphe localef envoyant une sous-variété algébrique réelleM deCn, n� 2, dansun sous-ensemble algébrique réelM ′ deCn′

a retenu l’intérêt de nombreux auteurs [10,7,9,1,3,11]. Danscette Note, l’introduction de variétés « caractéristiques » associées à la fois aux ensemblesM etM ′ et àl’applicationf nous permet de donner deux nouvelles conditions.

L’espaceCn est identifié àR2n. La variétélisseM est définie dansR2n par l’annulation de polynômespkà coefficients réels,1 � k � d < n. On suppose queM est deCauchy–Riemann (CR), i.e. l’espace tangentcomplexeTc

zM := TzM ∩ iTzM est de dimension complexe constante, appelée dimension CR deM etnotéem. On suppose de plus queM estgénérique (i.e.m= n− d) et minimale au pointp ∈M (i.e. necontient pas de sous-variété CR stricte passant parp de dimension CRm). On réécrit les équations deMsous la forme habituellePk(z, z) = 0, 1 � k � d, où z ∈ Cn et lesPk sont des polynômes holomorphesà2n variables vérifiantPk(z, z) ∈ R. La variété de SegreQ(w) deM associée à un pointw proche dep estalors la variété algébrique complexe définie près dep par les équations polariséesPk(z,w) = 0, 1 � k � d.Par le théorème des fonctions implicites (algébriques), les équations deM s’écrivent aussi localement sousla formeyk = φk(x, z), 1 � k � d, où C

n z = (x, y) ∈ Cm × C

d et les fonctionsφk sont holomorphesalgébriques près de(xp, p), en notantp= (xp, yp). Les opérateurs CR(1,0) surM sont définis par :

Lj(z, z) =∂

∂xj+

d∑k=1

∂φk∂xj

(x, z)∂

∂yk, 1 � j �m,

et les Lj(z) = Lj(z, p), 1 � j � m, forment une base des opérateurs holomorphes tangents àQ(p).Comme pourM , on définit l’ensemble algébrique réelM ′ ⊂ Cn′ � R2n′

par l’équation polynomialeréelle vectorielleP ′(z′, z′) = 0, oùP ′ = (P ′

1, . . . , P′d′). Soit f une application holomorphe locale deCn

dansCn′telle quef(M)⊂M ′. On cherche des conditions suffisantes assurant quef estalgébrique, c’est-

à-dire que son graphe est inclus dans un sous-ensemble algébrique complexe deCn+n′de dimensionn.

L’applicationf bénéficie alors de propriétés remarquables, en particulier de prolongement. La techniqueque l’on présente remonte au principe de réflexion de Lewy–Pinchuk (1975–1977); elle repose sur ladéfinition suivante qui généralise la variété caractéristique de [4] en codimension supérieure, dans le cadre

492

Sur l’algébricité des applications holomorphes

algébrique. Pour1 � k � d′ etα ∈ Nm, on noteΦαk (z′) le polynôme anti-holomorpheLαP ′

k(f(·), z′)|p, oùLα = Lα1

1 · · ·Lαmm est l’opérateur composé.

DÉFINITION 1. – Lapremière variété caractéristique def enp est l’ensemble algébrique complexeV1p

défini au voisinage dep′ := f(p) par les équationsΦαk (z′) = 0, pour tousk etα.

Les équations deV1p proviennent des équations deM ′ polarisées et dérivées le long def(Q(p)). Pour

obtenir des équations supplémentaires et ainsi une variété caractéristique plus fine queV1p, l’idée est de

dériver les équations polarisées deM ′ le long deV1p, orthogonale àf(Q(p)) au sens de la forme de Levi

deM ′. Dans un premier temps, on rendV1p lisse : on construit (voir § 3), pour un pointp ∈M générique,

la variété algébrique complexeV1p de plus grande dimension (notéea) qui vérifief(p) ∈ V1

p ⊂ V1p et qui

dépend algébriquement du jet def en p. SoientΦk(z′) = 0, 1 � k � n′ − a, des équations définissantes

algébriques complexes deV1p et (Kj)1�j�a une base des opérateurs holomorphes tangents àV1

p. Pour

1 � �� d′ etβ ∈ Na, on noteΨβ (z′) le polynôme anti-holomorpheKβP ′

(·, z′)|p′ , oùKβ = Kβ1

1 · · ·Kβaa .

DÉFINITION 2. – La seconde variété caractéristique de f en p est l’ensemble algébrique complexeV2p ⊂V1

p défini au voisinage dep′ par les équationsΦk(z′) = Ψβ

(z′) = 0, pour tousk, � etβ.

2. Premier principe de réflexion et théorème 1

Le premier résultat principal de cette Note est :

THÉORÈME 1. –Si V1p est de dimension 0 en p′, f est algébrique.

Cette première condition suffisante synthétise des énoncés connus [10,9,1]. Dans [9], Sharipov et Sukhovsupposent que l’orthogonal def(Q(p)) au sens de la forme de Levi deM ′ est nul ; doncdimp′ V1

p = 0.Par ailleurs, siM ′ est une variété algébrique réelle génériquelisse, on noteQ′(·) ses variétés de Segre etA′

p′ := {z′ :Q′(p′) ⊂Q′(z′)}. La variétéM ′ est diteessentiellement finie enp′ si dimp′ A′p′ = 0 (voir [6,

2,5]). Lorsquef est un biholomorphisme qui induit un difféomorphisme CR deM surM ′, on montre queA′

p′ = V1p (voir § 4, lemme 2) et donc :

COROLLAIRE 1. –SiM ′ est essentiellement finie en p′, f est algébrique.

Cet énoncé est dû à Baouendi–Ebenfelt–Rothschild [1]. Le premier résultat de ce type a été établi en1977 par Webster [10], pour des hypersurfacesM etM ′ Levi-non dégénérées.

Démonstration du théorème 1. – Tous les raisonnements sont localisés enp. Par hypothèse,f(M)⊂M ′ ;autrement dit,P ′

k(f(z), f(z)) = 0, pour toutk, pourz ∈M . Par polarisation,P ′k(f(w), f(z)) = 0, pour

tout k, pour z, w tels quew ∈ Q(z). On fixe z0, w0 tels quew0 ∈ Q(z0). Les Lj(w) = Lj(w,z0),1 � j �m, sont tangents àQ(z0) (cf. § 1) ; commeP ′

k(f(·), f(z0)) = 0 surQ(z0),

LαP ′k

(f(·), f(z0)

)|w0 = 0, ∀α ∈ N

m. (1)

On réécrit l’équation (1) conjuguée sous la forme :

Fαk

(z0,w0,D|α|f(w0), f(z0)

)= 0, (2)

oùFαk est algébrique complexe au voisinage deP :=

(p, p,D|α|f(p), p′

)et oùDAf :=

( ∂fi∂zβ

)|β|�A,1�i�n′

désigne leA-jet def . Les équationsFαk

(p, p,D|α|f(p), ·

)= 0 sont des équations définissantes deV1

p et ilest clair vu (2) quep′ ∈ V1

p. Par noethérianité, on peut se ramener à un nombre fini d’équations définis-

santes :F(p, p,DAf(p), ·

)= 0, oùA ∈ N et F = (Fα

k )1�k�d, |α|�A. Soit V1(z0,w0)

l’ensemble algébrique

complexe passant parf(z0) et défini par l’équationF(z0,w0,DAf(w0), ·

)= 0.

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S. Damour

Remarque 1. – Puisque dans (1) on peut remplacerw0 par un pointω ∈Q(z0) quelconque,V1(z0,w0)

est

en fait indépendant du pointw0, et peut être défini par l’équationF(z0, ω,DAf(ω), ·) = 0. Pourα = 0,cette équation prouve queV1

(z0,w0)⊂Q′(f(ω)).

Soit K le nombre de composantes deDAf . DansC2n+K+n′muni des coordonnées(z, ζ,∆, z′), on

considère l’ensemble algébrique complexeV1 défini au voisinage du pointP par F(z, ζ,∆, z′) = 0.Par hypothèse, la fibreV1

p de V1 au-dessus du point(p, p,DAf(p)) est de dimension zéro. D’après lethéorème de description locale des ensembles algébriques complexes,V1 est contenu dans un ensemblealgébriqueQ défini au voisinage deP par l’annulation de polynômes de Weiertrass enz′j ,Qj(z, ζ,∆)(z′j),

1 � j � n′, à coefficients algébriques en(z, ζ,∆). On a doncQj(z,w,DAf(w))(fj(z)) = 0, 1 �j � n′, pour z, w tels quew ∈ Q(z). Quitte à remplacerQj par ∂Qj/∂z

′j, on peut supposer que

∂Qj/∂z′j (z,w,DAf(w))(fj(z)) �≡ 0 pourz, w vérifiantw ∈Q(z). On peut donc choisir un pointq ∈M

arbitrairement proche dep tel que le théorème des fonctions implicites (algébriques) s’applique et tel queMsoit encore minimale enq. Alors, pourz, w proches deq tels quew ∈Q(z), on a

f(z) = A(z,w,DAf(w)

), (3)

où A est une application algébrique complexe. L’équation (3) permet de conclure quef est algébrique auvoisinage deq (cf. [1]), donc partout. ✷

Remarque 2. – L’équation (3) prouve directement quef est algébrique sur les variétés de Segre deM(en fixantw). Pour conclure, on peut alors utiliser le théorème d’algébricité séparée de [9] siM est Segre-transversale, ou de [8] siM est simplement supposée minimale.

3. Second principe de réflexion et théorème 2

Si dimV1p � 1, le théorème 1 ne s’applique plus (cf. exemples 1 à 3). Le second résultat principal de cette

Note affine le théorème 1 :

THÉORÈME 2. –Si V2p est de dimension 0 en p′, f est algébrique.

On montre queV2p ⊂M ′ (voir § 4, lemme 3). Ainsi :

COROLLAIRE 2. –SiM ′ ne contient pas de courbe algébrique complexe, f est algébrique.

Ce résultat a récemment été démontré par Zaitsev [11] et, dans la situation oùM est Segre-transversale,Coupet–Meylan–Sukhov [3] ont donné une estimation du degré de transcendance def par des méthodespurement algébriques. L’énoncé de Huang [7] pour des hypersurfaces strictement pseudo-convexes dedimensions différentes découle également du corollaire 2.

La condition suffisante du théorème 2 est nouvelle. Bien que proche de celle de [11], Theorem 1.1, elleen diffère : on peut comme dans [11] ne pas réduireV1

p enV1p et on note alorsW2

p l’analogue de la secondevariété caractéristique obtenue dans ce cas.

Remarque 3. – Les conditionsdimV2p = 0 etdimW2

p = 0 sont indépendantes (cf. exemples 1 et 2).

Les deux exemples suivants sont dus à J. Merker :

Exemple 1. – SoientM : 2 Imz1 = |z2|2 ⊂ C2, M ′ : 2 Im z′1 = |z′2|2 + 2 Re(z′22z′3z

′4) ⊂ C4 et

f(z1, z2) = (z1, z2,0,0). Pour toutq ∈M , dimV2q = 0 maisdimW2

q = 1.

Exemple 2. – SoientM : 2 Im z1 = |z2|2 ⊂ C2, M ′ : 2 Im z′1 = |z′2|2 + 2 Re(z′22z′3z

′4 + z′3

2z′52 +

z′33z′4

3)⊂ C5 et f(z1, z2) = (z1, z2,0,0,0). Pour toutq ∈M , dimV2q = 1 etdimW2

q = 0.

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Sur l’algébricité des applications holomorphes

Remarque 4. –dimW2q n’est pas nécessairement semi-continue supérieurement (cf. exemple 3). Ainsi,

pour l’analogue du théorème 2 il faut supposer quedimW2q = 0, pour tout q ∈M (voir [11]).

Exemple 3. – SoientM : 2 Imz1 = |z2|2 ⊂ C2,M ′ : 2 Im z′1 = |z′2|2 + 2 Re(z′4(z

′3 − z′1z′23)(z′4 − z′3 +

z′22(z′4 − z′3))) ⊂ C4 et f(z1, z2) = (z1, z2, z1z

32 ,0). Ici, dimW2

0 = 0 mais pour toutq ∈ M � {0},dimW2

q = 1. Par ailleurs, pour toutq ∈M , dimV2q = 0.

Dans les exemples 1 et 3, le théorème 2 prouve l’algébricité def , alors que [11] ne s’applique pas.

Démonstration du théorème 2. – Le lemme suivant permet de résoudre localement (et partiellement) deséquations algébriques complexes :

LEMME 1. –SoitA un sous-ensemble algébrique complexe de CµZ ×Cν

W et soitX ⊂A une sous-variétéconnexe analytique réelle. Alors, il existe un point P ∈ X (générique) et une sous-variété algébriquecomplexe A passant par P , tels que X ⊂ A ⊂ A près de P et tels que A est définie près de P parles équations V = ψ(U,Z) et θ(Z) = 0, avec Cν W = (U,V ) ∈ Cα × Cβ et ψ, θ deux applicationsalgébriques complexes (θ étant une submersion).

Démonstration. – On obtientA de façon constructive par un algorithme qui se compose de trois étapes.La première étape consiste à choisir la composante irréductible deA qui contientX . Dans la deuxièmeétape, quitte à remplacerA par son lieu singulierSingA, on peut supposer queX �⊂ SingA. On choisitalors un point deX régulier pourA. La troisième étape est analogue à la deuxième et concerne le lieu debranchement de la projection canoniqueπ deA sur C

µZ . On choisit alors le pointP ∈ X tel queπ soit

de rang constant au voisinage deP . On noteA la variété algébrique complexe ainsi réduite. D’après lethéorème du rang,π(A) est une sous-variété algébrique complexe deC

µZ . On noteθ(Z) = 0 des équations

définissantes pourπ(A). Enfin, dansπ(A)×CνW , on écritA sous la forme d’un grapheV = ψ(U,Z), avec

W = (U,V ) ∈ Cα ×Cβ . ✷On applique le lemme 1 à l’ensemble algébrique complexeV1 ⊂ C2n+K ×Cn′

et à la variété analytiqueréelleX =

{(z, z,DAf(z), f(z)), z ∈M

}⊂ V1. Il existe donc un pointp ∈M (générique) et une variété

algébrique complexeV1 définie au voisinage deP := (p, p,DAf(p), f(p)) par les équations algébriquescomplexesv′ = ψ(u′, z, ζ,∆) et θ(z, ζ,∆) = 0, le système de coordonnées locales deCn′

étant notéw′ = (u′, v′) ∈ Ca × Cb. De plus, la variétéV1 vérifieX ⊂ V1 ⊂ V1 au voisinage deP . SoitX la variétéholomorphe définie comme l’ensemble des points(z,w,DAf(w), f(z)), pourz, w proches dep tels quew ∈Q(z). CommeX est générique dansX, on aX ⊂ V1. La variété algébrique complexeV1

p introduite

au § 1 est définie par les équationsv′ = ψ(u′, p, p,DAf(p)). On fixe z0, w0, t0 proches dep tels quew0 ∈Q(z0) et t0 ∈Q(w0). Soit V1

(w0,t0)la variété algébrique complexe passant parf(w0) et définie par

les équationsv′ = ψ(u′,w0, t0,DAf(t0)), 1 � �� b. Les opérateurs

Kj =∂

∂u′j+

b∑=1

∂ψ

∂u′j

(u′,w0, t0,DAf(t0)

) ∂∂v′, 1 � j � a,

forment une base des opérateurs holomorphes tangents àV1(w0,t0)

. Vu la remarque 1 (pourω = z0) et vu

queV1 ⊂ V1, les polynômesP ′(·, f(z0)) s’annulent surV1

(w0,t0). DoncKβP ′

(·, f(z0))|f(w0) = 0 pour toutβ ∈ Na. On réécrit ces équations (après conjugaison) sous la forme :

Gβ

(w0, t0, f(w0),D

Af(t0), f(z0))

= 0,

où les Gβ sont algébriques complexes. Comme au § 2, on peut se ramener par noethérianité à un

nombre fini d’équations, notéesG(w0, t0, f(w0),D

Af(t0), f(z0))

= 0. Dans C3n+2K+n′muni des

coordonnées(z, ζ, t,∆,D,w′), on considère l’ensemble algébrique complexeV2 défini au voisinage du

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S. Damour

point(p, p, p,DAf(p),DAf(p), p′

)par les équationsv′ = ψ(u′, z, ζ,∆) et G(ζ, t,∆,D,w′) = 0. Par

hypothèse, la fibreV2p deV2 au-dessus du point

(p, p, p,DAf(p),DAf(p)

)est de dimension zéro. Comme

pour le théorème 1, on prouve que

f(z) = B(z,w, t,DAf(w),DAf(t)

), (4)

oùB est une application algébrique complexe et oùw ∈Q(z) et t ∈Q(w). Par une légère modification dela technique de [1], l’équation (4) permet alors de déduire quef est algébrique. ✷4. Réflexion d’une variété holomorphe

On donne ici une vision plus géométrique des variétés caractéristiquesV1p et V2

p. Soientz0, w0 prochesde p tels quew0 ∈ Q(z0). Soit V ⊂ Cn une variété holomorphe passant parz0 et de dimensiona. Soit(Xj)1�j�a une base des opérateurs holomorphes tangents àV . On appelleréflexion de Segre de V parrapport àM l’ensemble algébrique complexeS(V ) passant parw0 et défini par les équations polynomialesanti-holomorphes enw : XαPk(·,w)|z0 = 0, pour1 � k � d etα ∈ Na. Dans la situation oùV est réduit ausingleton{z0}, S(z0) coïncide avecQ(z0).

Remarque 5. –S(V ) est l’ensemble des pointsw ∈ Q(z0) proches dew0 tels queV ⊂ Q(w) dansun voisinage dez0. En effet, cette inclusion signifie quePk(·,w)|V ≡ 0, pour toutk. Ceci équivaut àXαPk(·,w)|z0 = 0, pour tousk etα.

LEMME 2. –Si f est un biholomorphisme tel que f(M) =M ′, A′p′ = V1

p.

Démonstration. – La remarque 5 montre que siV = Q′(p′), on aS′(Q′(p′)) = A′p′ , où S′ dénote la

réflexion de Segre par rapport àM ′. En outre, d’après la propriété d’invariance des variétés de Segre,f(Q(p)) = Q′(p′). De plus, dériver les fonctionsP ′

k(f(·), z′) par les opérateursLj revient à dériver lesP ′k(·, z′) par leurs « poussés en avant »f∗Lj . Ainsi, V1

p = S′(Q′(p′)). ✷LEMME 3. –La seconde variété caractéristique V2

p est contenue dans la variétéM ′.

Démonstration. – Si V passe par le pointz0 = p ∈M , la remarque 5 montre queV ∩ S(V ) ⊂M . Pourconclure, il suffit donc de prendreV = V1

p et de remarquer queV2p = V1

p ∩ S′(V1p).

Remerciements.L’auteur tient à exprimer sa gratitude à B. Coupet et J. Merker pour de fructueuses conversationset pour leurs relectures attentives de cette Note.

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