Sur le fibr~ normal ~ une sphere immerg~e

dans un espace euclidien

Par MICHEL A. KE~VAX~E, Gen~ve

Soit [ : Sa ---> Ea+ . une immersion rgguli~re de la sph6re de dimension d dans l 'espaee euclidien ~ d + n dimensions. Pa r d~finition, la matr ice fonction- nelle des coordonn~es de ](x) re la t ivement s des eoordonn~es locales sur Sa est de rang m a x i m u m d en tou t point x E S d. Si l 'on associe s t ou t x E Sa le n-plan normal ~ ](Sd) en ] (x) , on obt ient une appl icat ion cont inue v (pourvu que ] soit diff~rentiable de classe C ~ au moins, ce que nous supposerons) de S a dans la G~AssMx~z~ienne Ga+,. , des n-plans or ien t , s darts Ea+, . L 'appl ica t ion ~ : S d -~ Ga+, , , indui t un fibr~ sur Sa de groupe s t ruc tura l 3 0 (n), usuel lement appel6 [ibrd normal indui t par l ' immersion ~. Nous le d~- noterons par 9~t.

Not re bu t est de caract6riser parmi tous les fibrSs en spheres sur S a de gToupe s t ruc tura l SO(n) , ceux qui sont fibres no rmaux induits par une immersion

: Sa -~ Ea+, . La solution de ce probl~me, abord~ en [3], d~pend essentielle- merit de r~sultats r~eents de S.SM~LE [8] et [9]. Cf.~galement R.T~mM [11].

1. Enonc6 du r~sultat

Consid~rons la f ibration 3 0 ( d q - n ) / S O ( n ) = V~+.. n oh Vd+., a d~signe la vari6t6 de STTEFEL des suites de d veeteurs or thonorm~s dans Ed+ . . Soit 0 l 'opgrateur bord de la suite exaete d 'homotopie de cet te f ibrationr

�9 . . -+ ~ , ( S O ( d + n ) ) - ~ ( V , + , , 2 ~ _ , ( S O ( n ) ) ~ = ~ _ l ( S O ( d + n ) ) -+ . . .

(1.1) D'au t r e par t , nous avons la f ibrat ion Va+. , . /SO(n ) = Ga+.. . oh la pro-

jec t ion p : Va+.,. -+ Ga+n.,~ associe ~ tou t syst6me de n vecteurs or thonorm6s de Ed+ . leur enveloppe lin6aire orientSe. Nous d6signerons par a t l ' image de la classe d 'homotop ie de ~ par l 'op6rateur bord O' de la suite exacte d 'homo- topie de cet te f ibrat ion:

~t

�9 . . --+ 71~d(Vd+n,n) ~ ~ '~d(Gd+n,n) - - ~ ' ~ d _ l ( S O ( n ) ) ~ C 7 1 : d _ l ( V d + n , n ) ~ �9 �9 �9

at = a'~. (1.2)

On sait (of. [10], 18,5 et 18.6) que a t (appel6 application caractdristique de glt) caraet6rise un ivoquemen t la classe d '~quivalence du fibr6 gt 1. On a l e

122 Mmrmr A. K ~ v x n ~

Th6ori~me (1 .3 ) . L'ensemble des a ~ ~ _ l (SO(n) ) qui correspondent aux ]ibrds sur Sd de groupe structural SO(n) induits par une immersion ]:

S d ---> Ed+ . est le sous-groupe de gd_l (SO(n) ) image de ~d(Vd+~,d) par l'opd- rateur ~ de la suite exacte (1.1).

Dans la mesure oh l 'on connait (cf. [7]) les groupes ~d(Vd+,,d) ainsi que l 'homomorphisme O:gd(Vd+,,a) --> ~ d _ l ( S O ( n ) ) , on peRt expliciter le sous- groupe (Image a} clue nous d~signerons par Jd,~. Pour les pet i tes valeurs de d, on obt ient le tableau ci-dessous oh Zq ddsigne le groupe cyclique d 'ordre q, Z le groupe cyclique infini et -t- la somme directe.

n = 3 4 5 6 7 8 9

d - - 3 0 0 0 0 0 0 0

4 0 Z 0 0 0 0 0

5 Z2 Z2 + Z, Z, 0 0 0 0

6 Z~ Z~ § Z2 Z~ Z 0 0 0

7 Z12 Z12 ~ Z12 0 0 0 0 0

8 Z2 Z2 -}- Z2 0 0 0 Z 0

9 Z 2 Z 2 ~- Z 2 0 Z12 Z 2 Z 2 -4- Z 2 Z 2

Dans la diagonale, d = n (cf. [3]), les groupes Jd,d SORt donn6s par Ja, d = Z pour d pair, Jd. d = Z2 pour d impair et Sd non paralldlisable (c'est-

dire d ~ 1, 3, 7 d'apr~s [4]) e t Jd,d = 0 pour S a parall61isable, c'est-i~- dire d = 1 , 3 , 7 . Pour d < n , J d , ~ = 0 "

2. Addition des immersions

Soient ~ e t f l l es applicat ions caraetdrist iques des fibres no rmaux ~R I e t ~g sur S d induits par des immersions / e t g de Sa dans Ee+~. Le thdor~me (1.3) affirme t ou t d ' abord que la classe a + fl est ggalement caract6ris t ique d 'un fibr6 normal sur Sa indui t par une immers ion h : S a --> E d+ ~ .

Une telle immersion h p e r t 6tre obtenue comme suit : Soit S a = Ea+ 1 avec les coordonnges (x0, x 1 . . . . . Xd) caract~ris6e par

2:i(xi) 2 --= 1 et soient a, a' les points (1, 0 . . . . . 0) et ( - - 1 , 0 . . . . . 0) res- pec t ivement . E n ](a) et g(a') choisissons des (d -t- n)-rep~res Ul . . . . , Ud+~ et Vl . . . . . Vd+, induisant l 'o r ien ta t ion posi t ive de Ed+ ~ et tels que ul . . . . . ua ( respect ivement v I . . . . . Vd) soient t angents ~ ] ( S d ) ( r e s p e e t i v e m e n t

g (Sa)) en ] (a) ( respect ivement g (a')) et fournissent l ' o r ien ta t ion posi t ive de ](Sd) ( respec t ivement l 'or ienta t ion ndgative de g(Sa) ) . On peRt supposer,

Sur le fibr6 normal k une sphbre immergfie dans un espace euclidien 123

aprgs d 6 p l a c e m e n t 6 v e n t u e l de l ' image g(Sa) dans Ea+ , , que ul = v~ . . . . . ua ~ va (en r a n t que vec teu r s l ibres de Ea+~), et que g(a') -= ](a) -4- ua+~. Cf. la c o n s t r u c t i o n ddcr i te dans [6], w I I . I1 est c o m m o d e de d6former , si n~- cessaire, les app l i ca t ions [ e t g dans des vois inages

U = { 1 - - e g x 0 g l } et U ' : { - - 1 ~ x 0 g - - l - t - e }

de a e t a ' r e s p e c t i v e m e n t pour leur d o n n e r la fo rme

[ (Xo, x l . . . . . xa) -= [ (a) -t- X i x i u i

g(xo, xx . . . . . xe) = g(a') + Z~x~v~

p o u r 1 - - e g x 0 < 1 ,

p o u r - - 1 g x o < - - 1 + s . (2 .1)

oh la s o m m e sur i s ' d t end de 1 h d . (C 'es t ce que S. SM~,L~ appel le la (< n o r m a - l isat ion ~> de l ' app l i ca t ion / d a n s le vo is inage de [ (a)) . Ces express ions son t en acco rd avec les o r i en ta t ions des sys t~mes u~, . . . , u~, v~, . . . , v~ p o u r v u que l ' on or ien te S d c o m m e b o r d de la boule 2: i (xi) 2 g 1, celle-ci a y a n t l ' o r i en ta - t i on indu i te pa r Ea+~.

L ' i m m e r s i o n h e s t o b t e n u e en (( joignant /(Sa) et g(Sa) pa r u n t u b e de

[(a) ~ g(a') d ' a x e [(a) -t- tUa+n~. E n formules :

h(xo, X 1 . . . . . Xd) ---- /(3X0 + 2, ;tX, . . . . . 2X~) p o u r - - 1 < x0 < - - ( 1 A - e ) / 3

avec ;~2(x 0 - - 1) ~ 3 ( 3 x o ~- 1). D e fa~on ana logue ,

h(xo, xx . . . . . xd) = g(3xo - - 2, 2 ' x 1 . . . . . 2 'xa) p o u r (1 -4- e)/3 ~ xo < 1,

avec ~'2(x 0 ~- 1) ---- 3(3xo - - 1). D a n s la r~gion in te rmddia i re , on pose

d X h ( x o, x 1 . . . . . x~) = / ( a ) -4- tu~+n + r( t )2: t= 1 iu , ,

p o u r - - ( 1 - t - s ) / 3 < x o • ( 1 + e)/3

avee t = s i n 2 ~ - x o + 1 , r ( t ) = c ( 1 - - t ( 1 - - t ) ) et c = 3 V e / ( 4 + e ) .

L ' a p p l i e a t i o n h e s t une i m m e r s i o n r~guli~re. (0 < e < 1/9.)

L e m m e 2 . 2 . On a ~h ----- 31 -t- Tg - - vs, oh s : S~ ~ E~+, ddsigne le plonge- ment s tandard et ~ : S ~ -~ G d+~, ~ l 'application indui te l ) .

1) On compaxera ce lemme avec le lemme (2), w I I de [6] dont il est la g6n6ralisation. Par plongement standard Sd ---> Ed+n nous entendons le p longement doxm6 par

(x~ . . . . xd) -+ (xl . . . . . x~, 0 . . . . . 0),

ou tou t autro p longement qui d6rive de celui-l~, par ddformation r6gulibre.

1 2 4 MICHEL A. KERWLIRE

Comme a' v~ ~ 0, on obt ien t le

Corollaire 2 . 3 . ~h ---- ~I ~- %-

Pou r d~montrer le lemme 2.2, consid~rons le p longement S:Sd- -~ E~+,, C

donn6 par s(xo, xl . . . . . xd) ---- ](a) Jr �89 o -~ 1)Ud+~ ~- -~ XiXiUi. On remar-

quera que les restr ict ions s l '~quateur {x 0 ~ 0) des applicat ions h et s d 'une par t , v h e t v. d ' au t r e par t coincident. Les applicat ions ~ ~- v, et v] -~ T. peuven t se factoriser par fl : X -~ G~+~,~ oh X c E~+ 2 est la rdunion de

S d ~ ( x : (go , x 1 . . . . . Xd-t-1) ~ E d + 2 I Xd+l = O, X 2 = l )

et S~ ----- {x ~ E~+2 I Xo ~- 0, x 2 ~-- 1) , l 'appl icat ion fl ~tant ddfinie par

fl I S~ : v~ et fl(0, x~ . . . . . Xd+~) = V,(X~ . . . . . Xd+~).

Pour x - ~ ( 0 , x~ . . . . . x~ ,0) eS~ ~ S ~ , o u a va(x)--~ v,(x) . Les applicat ions a~, a2 : S ~ - , X , tellcs que v~ ~- ~,---- f loax et

~f -~ v~ ~ fl oa~ peuven t ~tre d~crites comme suit : a~, a~ sont injectives sur (x 0 =/= 0} e t e n v o i e n t {xo : 0) s u r u n p o i n t P d e Sd,~ S~; a, envoie ( x o > 0 ) sur S ~ - - P et {x 0 < 0 ) sur S ~ - - P ; pour d~finir a~ ddsignons par H+, H_ les hdmisph~res (Xo~ 0) et (Xo ~ 0) de S~ et H + , H ~_ les hdmisph~res (Xd+ ~ ~ 0 ) e t {xd+~ ~ 0 ) de S~. a2envo ie {x 0 > 0 ) sur ( H + ~ H ~ _ ) - - P et ( X o < 0 ) sur ( H ~ H ~ ) - - P .

Comme X est connexe, s implement connexe et acyclique en dimensions < d , on a g d ( X ) _ _ ~ H d ( X ) . Les cycles a~(S~), a~(S~) ~tant homologues, les appl icat ions a~, a2 sont homotopes . P a r suite, ~a Jr v, --~- v~ ~- ~ .

3. L' invariant de SMALE

Soit /: S ~ - * Ea+ n une immers ion r6gulibre. S. SMALE [8, 9] associc ~ la classe d 'homotopie rdgulibre de [ un 616ment c t de ~d(V~+n,~) de la manibre su ivante : Soit F~ un champ de d-rep~res tangents sur S a d6fini (continu) l 'ext6r ieur du voisinage U' de a ' . D~formons, si n6cessaire, l ' immersion f pour qu'elle coincide sur U' avec l ' immersion s t anda rd s. Soit r: H+ -~ S d -- U' un diffdomorphisme de degr6 ~- 1 de l 'h~misph~re {x o ~ 0} de S a sur S a - - U' (par exemple r ( x 0, xx, . . . , x~) : ((2 - - e)Xo -- 1 -~ e, p x 1 . . . . . #Xd), # ~tant choisi pour que [(2 -- e)x o - - 1 ~ e] 2 ~ #2X(xt) 2 : 1). On d~finira d ' abord l 'appl icat ion cI: Sa ~ Va+~, n par les formules

c1(z) = ds (Fd(rx*) ) pour x r H+ (3.1) pour x c H _

Sur le fibril normal k une sphere immerg~e dans un ospace ouclidien 125

oh H_ est l 'h~raisph~re {x 0 ~ 0} de S~ et x - > x * est l 'appl icat ion (Xo, x~ . . . . . x~) --> ( - -x0 , x~ . . . . . x~). Soit alors dgalement c~ la classe d 'ho- motopie de l 'appl icat ion cont inue cf ainsi d~finie. S. SMXLE ddmontre que cet te classe ne d~pend pas des divers choix faits dans la d~finition et reste invar iante par une ddformat ion rSguli~re de l ' immersion 1.

On a en outre le

Th~ori~me (3 .2) . (S. SM~LE): L ' invar ian t c I /ourni t une correspondance bi-

univoque entre les classes d 'homotopie rdguli~re d ' immers ions de Sd clans Ed+ ~

et les dldments du groupe g d ( V d+,,d).

NOUS allons voir que si l 'on in t rodui t une s t ruc tu re de groupe dans l 'en- semble des classes d ' immersions en uti l isant l ' addi t ion du w 2, la correspon- dance / --> c I de S. SMALE induit un isomorphisme de ce groupe sur le groupe nd (V~+n, ~). Soient I e t g deux immersions que nous supposons satisfaire (2.1) et soit s': S d ---> Ed+ . une immersion s tandard satisfaisant

S'[ U' = g [ U ' o f l U ' = {--1 g X o g - - l - [ - s }.

Pour d~montrer c a : c I + cg introduisons l 'espace Y form6 de la r~union d e l a s p h ~ r e Sd c Ed+ 1 et d e l a b o u l e B ~ d o n n 6 e d a n s E~+ 1 p a r x 0 : 2/3, Z~(x~) 2 ~ 5/9 (1 ~ i g d). On peu t factoriser les applicat ions ca, cl, cg une homotopie prbs par V : Y --> V~+~,~ off ~ est d6finie comme suit :

~ ' l S d = ch. (3.3)

~'1 Bd est donn(!e par ~,(x 1 . . . . . Xd) ~ ds ~ (F~(Ox))

Oh ~ : B d ---> S a -- U r est un diff6omorphisme de degr6 -{- 1. Pour x E B g ~ S ~ i . e . x o : 2/3,

)) Ch(X ) = d h ( F a ( r x ) ) = dh F a , i~xl . . . . . # x a

= d g ( F ~ ( - - 1 + e, tt 'x~ . . . . . t t 'xd)) = d s ' ( F d ( q x ) ) .

D~signons par i : Sd --> Y l ' inclusion de Sd dans Y, par i~: Sd ~ Y Fin- ject ion q u i e n v o i e {x o > 0 } de S d s u r {x 0 > 2 / 3 } de Y e t {x 0 ~ 0 } d e S ~ sur Bg et par i2: S d - ~ Y l ' inject ion qui envoie {x 0 ~ 0 } de S d sur B~ et { x o < 0 } d e S d s u r {Xo< 2/3} de Y. O n a ~oi ~ c a , ~,oi~___c~ et ~ o i ~ . c ~ . Comme zg(Y) ---~ H,~(Y) et que i(S,~) est homologue h i~(S~) ~ Q(S,~) on eonclut que i e s t homotope ~ la somme il ~- i2. P a r suite,

ca : ~'oi ~ ~,o(il + i2) ~ ~ o i l § ~oi~ ~ cg § c 1.

1 2 6 MICHEL A. KERVAIRE

En outre, il est imm~diat que p ,c I = v I -- vs, oh p , est eomme dans (1.2). I1 r~sulte alors de la eommutativit6 du diagramme

9"~d(rd+n,d) lO* l~ ~d(ad+n,d)

\ ' 2 //'a' ~,,_~ (SO(n)) que l'on a 2) le

L e m m e (3.4). Oc t = ~i, or 0 est l'opdrateur bord de la suite (1.1).

Ceci fournit le th~or~me (1.3) eomme consequence immediate du th6or6me de SM~E.

4. Le cas des groupes Ja. d"

L e m m e (4.1). (Cf. [3]): Le groupe Jd,d est in/ini cyclique pour d pair, cyclique d'ordre 2 pour d impair quand S d n'est pas parallelisable et 0 pour S a parallelisable.

Il suffit &observer que l'inclusion S . ---> Vd+., d (donnant un gdn~rateur

~* rca(Va+,,.d ) d a n s le cas oh de ~.(Va+n,d)) induit un ~pimorphisme ~a(S.) --> d = n (en effet, i . est plong~ dans la suite exacte

i ,

�9 - " -+ ~ d ( s . ) -+ ~d(Vd+n,d) --~ ~d(Vd+n,d_l) - ~ " ' "

de la fibration Va+,, a/S, = Va+,, a-l). Le diagramme commutatif 0

xd(Va+,,,,3 --* ~,~_~ (SO(n)) i , ~ / A

montre alors que, pour d = n, l'image par 0 de xa ( V2a, a), i .e . dd, a, coincide avee l'image par A de xa(Sd), d'oh le lemme (4.1).

Cependant, on peut d~montrer le lemme (4.1) sans faire appel au r~sultats de S. SMALE, eomme suit: Soit f: Sa "->E2a une immersion eompl6tement r~guli~re et I t son coefficient de self-intersection (H. WmTNEY, [12]). / I est un entier pour d pair et un reste modulo 2 pour d impair. Si l 'on regarde E2d eomme sous-espaee de E,a+l, on peut munir f(Sa) d'un champ Fa+l de (d + 1)-rep~res normaux dans E,a+I. Par une d~formation r~guli~re de ] on obtient un plongement r~gulier ]' de Sa dans E2a+l muni d'un champ F~+x de (d + 1)-rep~res normaux. Par un proe~d~ elassique [5] dfi k L. PONTRYAmZL

,) On r e t r o u v e 6 g a l e m e n t 7;h=T/-i-Tg--Ts pa r Th--Ta=p.ch=p.cl-bp.cg~T/--~s-k-vg--Ts.

Sur le fibr~ normal b, une sphere immerg4e dans un espace euclidien 12 7

B. ECKM~.NN et 1%. THEM, on associe ~ /' eL F'a+l une classe d 'homotopie a( / ' , F') dans =~+1(S~+1). Soit alors h([ ' , F') l ' invariant de HOeF de cet 414ment.

D4signons en outre, comme dans [5], par v le degr4 de l 'application N: S d -+S~ d4finie par N ( x ) ---- ( n . u l ( x ) . . . . . n .ud+,(X)) , oh n e s t la normale

E ~ dans E2a+l et ui(x) . . . . . u~+l(x) sent les vecteurs du champ /=~+1 au point ](x).

Lemme (4.2) . 11 • v = 4- h( / ' , F ) (modulo 2 pour d impair).

Cette formule g4n4ralise le lemme (6.1) de [5], oh seul le cas d 'un plonge- ment (I r = 0) 4tait consid4r4.

D4monstrat ion : Soit/7~ ---- ]' (Sd) et/7~ = / " (S~), oh 1" (x) = f' (x) + ~ u'l (x), e 4tant le rayon d 'un voisinage tubulaire de 1' (S~) dans E,~+I. On a

h(f ' , F ' ) = L ( Z ' , Z")

par d4finition (L d4signant le coefficient d 'enlacement dans E2~+, ). Posons = ,~d+l encore Xa = g(Sa), avec g(x) / ' (x) + e i = l ( n . u , ( x ) ) u ~ ( x ) . Le lemme

(4.2) d4coule de la formule auxiliaire

I, = L(Za , 2:~), (4.3)

au signe pros pour d pair, modulo 2 pour d impair. En eitet, soit ~ : S a • S~ --> E,d+~ le plongement donn4 par

d§ / ~ ( x , y) ---- / ' (x) -5 eXi=ly~u~(x ) .

Les images T ( S d • b) et T ( a • Sd) engendrent l 'homologie de T ( S ~ x Sd) en dimension d. On a T[ S~ • b ----/" (pourvu que l 'on prenne b = (1,0 . . . . . 0)). Posons Z~ ---- T ( a • Sd). On a L(Z~, Z~) = 1 (au signe pros).

Comme g(S~) c T ( S ~ x S~), on a X ~ p Z ~ - S q Z d sur ~(S~ • Sd), avec des entiers p, q. La d4finition de g fournit p ---- 1, q = ~. Done

X d ~ / : ~ + ~Z~ sur iN(S d • Sd) ,

done a fo r t io r i darts E~d+~ -- ,V,~. En particulier,

I~ = L ( Z , Z ' ) = L ( Z " , X') -5 v L ( Z , Z ' ) = h( / ' , F ' ) -5 ~.

I1 reste done b, d4montrer (4.3). Pour cela on consid~re tou t d 'abord une d4- form4e ]' de / particuli~re: Soient al , b~ . . . . . aq, bq les paires de points sur S~ telles que f(a~) ----/(b,) (1 est suppos4e compl~tement r4guli~re, c'est-s dire [ (x) ---- / (y) entraine x = y ou {x ,y} = {a,,b~} pour un certain i , de plus les a, , b, sent tous distincts). Soient U,, i ---- 1 . . . . . q des voisinages sph4riques de rayon @ des a~, chacun des U, ne contenant qu 'un seul des

128 MICHEL A. KERVAIRE

points de l 'ensemble a 1, b 1 . . . . . aq, bq. Posons a~(x) = a.cos2(�89 pour x e U i oh r i ( x ) est la distance sph~rique de x s a~ et a~(x)----0 pour x ES a - - U~. Le p longement [ ' : Sa -->E2a+l est alors d~fini par f t ( x ) = ](x) -~ Z~la~(x)n. Si l 'on prend le r appor t a/O assez pet i t , on peut pour le calcul de L (2 : , 2 : t) remplacer g par g* : S ~ - ~ E 2 a + l d~finie par g* (x) = [' (x) -~ en , oh ~ satisfaisant 0 < e < a est le r ayon d ' u n voisinage tubula i re de f ( S d ) dans Ez~+l. Posons 2 : * = g * ( S a ) . On a L ( 2 7 , 2 : ' ) = L(27*, 2:1). Pour caleuler L(2:*, 27) on consid~re un p longement F ' du e6ne sur Sa dans E2a+l tel que

F ' (x, t) = / ' (z) -- t . n

pour les pet i tes valeurs de t le c6ne ~tant paramdtris6 par (x, t) avec x E S d, 0 ~ t ~ 1 avec (x, 1 ) = (x 1 ,1) pour tou t couple x, x tES~. Ca lcu lons le coefficient d ' in tersect ion S ( X * , F ' C S a ) . S i y ~ Z* ~ Ft C S ~ , on a

y = g * ( x ) = / t ( x ) + en et y = r ( x ' ) - - t - n .

Done [ ( x ) + (Xqlai(x) -~ e ) n = [ ( x ' ) + (Xqlai(x ') - - t ) . n . Ceci implique x = a~, x t = b i ou x = b~, x' = ai pour un certain i c [1, q]. On ne peut avoir x = a i, x I = b~ car alors Xqai (x ' ) = 0 et on a u r a i t - - t = z q a i ( x ) + ~ :> 0.

Les seuls points d ' in tersect ion sont done de la forme

g* (b~) = F ' ( a i , t i ) �9

Les points g* (bl) . . . . . g* (bq) sont effect ivement points d ' in tersect ion de 2:* avec F ' CSd.

E n effet g*(b~) = ]'(b,) + ~n = [(b~) -~ en

= / ( a , ) + ~ n

= l t (a,) - (a -- e )n = _F t (a,, a - e) ,

oh a - - e > O .

On v~rifie que si le point ] ( a ~ ) = / ( b ~ ) est point de self-intersection de f(Sg) avee le coefficient c~ (c~ = :k 1), le coefficient d ' in tersect ion de g*(Ub~)

avee F ' C S a est ( - -1 )ac t . On a done

I , = Z',c, = L ( S ~ , 27~) = L(X~, 2:~).

On v~rifie ais~ment que pour deux choix ~ , [~ de p longements qui sont ~quivalents au sens des immersions (pour lesquels il existe une famille d ' im- mersions / ' (t) d~pendant diff~rentiablement de t avec [' (0) = [~. [' (1) = f~) les coefficients d ' en lacement L(go(S,~), [~(Sa)) ct L(gI(S ,~) , ~(S~)) sour Sgaux pour d pair et congruent modulo 2 pour d impair. La formule

Sur lo fibr~ normal k une sphere immergde dans un espace euclidien 129

I~ -~ L (27~, X~) est donc valable quel que soit le choix du p l o n g e m e n t / ' rd- guli~rement homotope s f. Le lemme (4.2) est ainsi ddmontrd.

Pour obtenir (4.1), il suffit main tenant de remarquer que l 'on peut rdaliser routes les valeurs de I f par des immersions (H. Wrrx~EY [12]). De plus A~--~ a~. Comme les dldments a ( f , F')~r~2d+~(Sd+I) sont dans l ' image de J :z~d(SO(d + 1)) -+~a+i(Sa+x) (voir lemme 8.1 de [5]), il s 'ensuit Ah(]' , F ' ) t a = 0. On a donc a t = I t A t a. D'oh Ja.a-~ A~d(Sd)" Q.E.D.

5. Les plongements

Comme le remarque S. SMALE ([8], w 1), il serait intdressant de savoir quels dldments de ud(V~+,.d) sont invariants de SMALE de classes d'dquivalence reprdsentables par un plongement (sans self-intersection) S d --> Ea+ ~.

On peut obtenir quelques renseignements h ce sujet en combinant un thdo- rbme de [5] (Thdorbme 8.2) et la connaissance des groupes d 'homotopie stables z~ (SO(N) ) fournie par [2]. D'apr~s [5], si [ : Sd --> Ed+. est un plongement et si d < 2n -- 1, le fibrd normal induit est trivial, i .e . al ~-- 0. On volt d 'au t re par t immddia tement (en uti l isant la construction du w 2) que les dldments de nd(V~+., d) qui peuvent 8tre reprdsentds par un plongement forment un sous-groupe ~J(V~+.,~). Par suite, on a l e

Th6ori~me 5 .1 . Pour d < 2 n - 1 l'ensemble ~ (Vd+. .d ) des classes de nd( Va+.,~) reprdsentables par un plongement est un sous-groupe du noyau de ~'* ~ d ( V d + n , d ) ~ Tgd_l ( S O (n)) (0 comme dans (1.1)).

Comme Ker O ~-- I M P . , oh ~ . :~d(SO(d ~- n)) -+ga(Vd+~,~) et que ga(SO(d ~- n)) (qui est stable pour n ~ 2) est nul pour d congruent 2, 4, 5, 6 modulo 8 (d'apr~s [2]), on obtient le

Corollaire 5.2. Si d est congruent 2, 4, 5, 6, modulo 8, il n'existe pas d'im- mersion non-triviale de S a dans Ed+ ~ avec d < 2n -- 1 qui soit dquivalente d un plongement.

Note: J ' ignore s'il existe dans ce cas des plongements qui ne sont pas (~dqui- va len t s , au sens des plongements au plongement s tandard.

E n gdndral, I m P , ~__ ~ ( S O ( d --~ n ) ) / i ,~a (SO(n) ) , oh i , : ~d(SO(n)) --> ~ ( S O ( d + n))

! est indui t par l ' inclusion i : SO(n) ~ SO(d § n), et nd(Vd+,.~) est isomorphe

un sous-groupe de I M P , . Pour d ~- 4s -- 1, d ~ 2n -- 1, rid(SO(n)) contient une composante libre

et I m ~ * est de la forme Z/mZ. On ne sait rien sur l 'entier m sauf que c'est une puissance de 2 (cf. A. BOWEL et F. KI~ZEB~UCH [1] w 26.2).

9 Commentaril Mathematici Helvettc]

130 Mmm~L A. Y~vAm~.

Pour d congruent h 0 ou I modulo 8, ga(SO(d + n)) = Z2. Il existe donc au plus une classe d'immersions non-triviale representable par un plongement.

On voit ais~ment que i, : gS~+l(SO(8s -- 4)) -* gss+1(SO) est surjectif (car

�9 . . --> vrs,+x(SO(8s - - 4)) -> :rs,+x(SO(8s + 4)) -> vrs,+~(Vs,+~,s) = 0, d 'aprbs [7]). Donc,

Corollaire 5 .3 . Toute immersion / : Ss.+I ---> E,+s,+~ o4 n >= 8s -- 4 dqui- valente d u n plongement eat dquivalente au plongement standard.

De manibre analogue, i . : z~s,(SO(Ss -- 5)) -~ ~rs,(SO) est surject i f a) pour s >= 2. On obtient ,

Corollaire 5 .4 . Toute immersion f : Sss -+ En+Ts o~ n ~ 88 - - 5, 8 l> 2,

dquivalente d u n plongement est dquivalente au plongement standard.

6. Compression d'une immersion

Nous 6tudions la quest ion de savoir sous quelles conditions une im- mersion f : S a - + Ea+n est ~quivalente ~ une immersion f' satisfaisant / ' (Sd) c Ea+,,,(m g n) . Si une telle immersion f' existe, on dira que f peut &re compressde dans Ea+ ~.

Th~or~me 6.1. 4) L' immers ion / : S a -* Ea+ ~ peut ~tre compress& dana

Ea+,~(m ~_ 1) si et seulement s i i l existe un champ de (n - - m)-rep~res normaux

d f(Sd) dana Ed+ ~.

Ddmonstration: Soit j . : ~ra(Va+m,d) -+ ~rd(Va+,, d) l ' injection naturelle (m < n).

On a l e d iagramme commuta t i f

7rd (SO(d -~ m) -+ x a ( S O ( d + n))

~ m 4 ~ n i .

~a(V~+,~,~) ~ =~(V~+.,~)

in-m

7/'d_ 1 (S O (m)) --> Ys 1 (S O (n))

~a_l (SO(d + m)) -+ g a - i ( S O ( d + n)) .

Soit c I ~ ga (Va+,,a) l ' invariant de S~ALE de l ' immersion f : S~ -+ Ea+, donn~e. L 'exis tence d 'un champ de (n -- m)-rep~res normaux est ~quivalente au fait que a, c t e s t dans l ' image de i ,_~. S i f peut &re compress~e dans

a) CL Some non-stable homotopy grou/ps of LzE groups, ~ paraltre. a) M. HmSCH a ~galement obtenu des th~or~mes dans eette direction.

Sur le fibr5 normal b. une sphSre immerg6e dan~ un espace euclidion 131

Ed+,~, C I e s t dans l ' image de ~, ct par suite a ,c t e s t dans l ' image de i~_~. Inversement , supposons qu'il existe un a E Ue- l (SO(m)) tel que i,_,~a ---- a~cf. On aura i , ,~ = 0 (car i ,a~c t : 0 et . ~ _ : ( S O ( d ~- m)) -)-~d_~(SO(d ~- n)) est un isomorl)hismc pour m :> 1). Par suite, il existe un c e~d(V~+,~,~) t e l q u e a ~ c -~ a. O n a d o n e B , ( j , c - - c l ) ~ 0. I l s ' e n s u i t ~ , c ~ - cf-F ~IJ,# '. Comme ~ ( S O ( d ~- m)) --~ z d ( S O ( d ~- n)) est sur jcet i f pour m ~ 1, il existe un / ~ ( g d ( S O ( d ~ - m ) ) t e l q u e c I : ~ , ( c - ~,~/l). So i t a lo r s / " : S d-+E~+m une immersion fournie par le thdor~mc de SMXLE, telle que cl. -- c - - T , n # "

Si l 'on c o m p o s e / " avec l ' injcct ion E ~ -~ E~+~, on obt ient une immersion f : S d -~ E~+~ telle quc f (S~) ~ E~+m et dont l ' invar iant de S ~ E est ~,c~, -- c~. Les immersions [ et ]' sont done 5quivalentcs. Q .E .D .

Corollaire 6 .2 . Pour que l'immersion ] : S~ --~ Ed+ , puisse ~tre compressde dans E~+I, il /aut el il su[/it que le /ibrd normal induit par / soit trivial.

Corollaire 6 .3 . Tout plongement / : S d --> Ed+ . avec d ~ 2n -- 1 peut ~tre compressd en une immersion dans Ed+ ~ .

Battelle Memorial Institute.

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(Re~u le 7 aoSt 1958)