Sur l’équation de translation multidimensionnelle

Results in Mathematics Vol. 19 (1991)

0378-6218/91/040195-16$1.50+0.2010 (c) 1991 Birkhauser Verlag , Basel

SUR L'EQUATION DE TRANSLATION MULTlDIMENSIONNELLE

Janos Aczel, Lothar Berg et Zenon Moszner

Dedie it Monsieur Ie Professeur Walter Benz a l 'occasion

de son 60em• anniversaire avec nos plus chaudes felicitations

Resume

On donne une condition necessaire et suffisante pour qu'une solution de I'equation F( F( z, t) , jJ) ==

F( z, t + s) soit de la forme

On felout auni l'equation B(F(z,t» = B(z), OU F a laforme (.). On considereencore Ie probleme

de II. superposition des solutions de II. forme (. ).

Introduction

L'equation de translation multidimensionnelle est

(1 ) F(F(z,t), ,,) = F(z,t + ,,),

ou F: r x 'R'" --+ r, r c 'R:'.

J. Aczel et M. Hosszu (1956, voir aussi J. Aczel 1966 et pour une generalisation Z.

196 Aczel, Berg and Moszner

Moszner 1989) ont donne une solution de ceUe equation SOU8 des suppositions convenables

sous III. forme

(2) F(" t) ~ F(" u, v) ~ r' I(u + vB)J, + I(')},

ou f: r -+ R.," est une bijection, p = min(m,n), t = (tt, ... ,t", .. . tm), U = (th ... tt,,),

v = (t,,+1! ... ,tm), B est nne matrice constante a. dimensions (m - p) x p. Jp = (1",0), I" est

III. matrice unite a. dimensions p x P et 0 est III. matrice zero a. dimensions p x (n - pl.

En particulier J. Aczel (1955) a donne pour m = 1111. forme

(3) F("t) ~ r' ltj + I(')},

ou f: r --t 'R,." est une bijection (continue si F est continue) et j := J1 = (1,0, ... ,0), comme

la. solution genchale de (1) sous III. supposition suivante:

(HI) it crute un z? E {Zl I 3%20"',; : (%I,2:2 ... . ,Z") E r} tel que pour chaque y E r f'equation

a une solution unique par rapport a (w, Zh •••• z .. ) E r.

L. Berg (1989) a remarque que leI fonctions de la forme (2) sont auni des solutions de

(1), remplissantes

(4) F(z,O) = z pour tous z E r,

si 1 :5 p :5 min(m,n) et B n'est plus une matrice constante, mais depende de z et

(5)

Nous commenc;:ons ceUe note avec une condition necessaire et suffisante pour qu'une

solution de (1) et (4) soit de 1a forme

(6) F("t) ~ r' l(u + vB(,))J, + f(,)},

oil f,t,u,v,z,Jp sont comme dans (2) et B (z ) est une matrice a dimensions (m ~ p) x p,

Iemplissante (5).

Aczel, Berg and Moszner 197

Ensuiie nous donnons la solution generale de (5), ou Fa la forme (6). Nous considl!rons

aussi Ie probleme si la superposition des solutions de la forme (6) doit eire de la meme forme.

Resuitats fondamentaux

Theoreme 1. La solution F de (1) est de la form e (6) si et seulement si

(a) chaque sous·groupe de stabiliU de F, c.O.d. chaque sous·groupe du groupe ("R. ... , + ) de la

form e G~ = {t E "R.m I F(z, t) = z}, form e un sous·espaa vectorid de "R.m 0. dimensions

m - p qui pour p < m n'est pas perpendiculaire au sous· espace tt = t: = ... = t, = 0;

(b) &i p < n alor& la famille de& fibres tran&itives de F, c.a d. la familfe de& ensembles

E* = {F(z,t) I t E nm}, a la pui.uance du conlinu et si p = n cdte famifle a fa

pui.uana egale Ii 1; et

(e) fa condition (4) est salisfaite.

Demonstration de "seulem ent si". La relation F(z,t) = z nous donne d'apres (6)

(7) (v + vB(,))}, ~ (0, ..... ,0) • 1.1.

Puisque, pour z = constante, B(z) est aussi constante, en ecrivant la relation (7) par Ies

coordonnees de t = (u,v) nous obtenons (a).

Soit p = n et .t,E E r. En ecrivant la relation

(8) (v + vB(,))}, ~ f(') - f(')

par les coordonnees de t = (u,tI), nous constatons qu'il existe un t pout lequella relation

(8) a lieu. En effet, il suffit de prendre t = Uti) - f(z) - vB(z),v) avec v arbitraire. n en

resulte que pour chaque z,z de r il existe un t E 'R.m tel que z = F(z,t), d'ou Ia famille des

ensembles E~ a la puissance l.

Si p < n, considerons Ies points de Ia. forme

198 Aczel, Berg and Hoszner

(z) := (O, .....• O,z.O •............• O) E X", pour z E 'Ro. ~ .. " .-~-. "'"

Prenon. ZI f- Z, et poton. dans (8) z = 1- I(C(zd),i = I - l«((z,)). Nous obtenons

(9)

n n'existe pu de t == (u,v) pour lequd (9) a lieu. puisqu'en ecrivant (9) par Ie. coor

donnees de t, la (p + 1)-ieme equation a la forme 0 = z, - Zl •

n en resulte que E«(_,J n E«( •• ) = 0, d'ou dan. Ie cas p < n la famille des ensembles E~ a

la puissance du continu o - Done (6) est sati,faite.

La condition (c) a evidemment lieu.

Dimorutration de ",in. On .ait (Z. Monner 1973) que lei fibrel transitivel d'une solution

F de l'equation de tranllation lont identiques ou diljointel. Deaignonl ces fibrel pour la

,olution F de (1) par rio (k E K; Ii p = n alon la puissance de Kelt egale a. 1) et fixonl

z ... dana r .... Le lOus·groupe de .tabilite G •• peut Cite. d'apte. (a). parametriii pat Ie.

coordonneel t#+1o •••• t .... done on doit avoir les equations parametriques sou, la forme

tl = al,lt,+1 + ... + al .... _'t ... ,

t, = a,.lt#+1 + ... + a" .... _"t ....

t ' +1 = t,,+1,

t ... = t ....

En pOlant B(.: ... ) = (a;, ... );. I .... " :.=I ........ _ ... considerons la fondion 1;;1 definie comme il

suit:

ou 1"'(':10) est arbitrairement fixe dans X ... Cette fonction est bien definie sur l'ensemble

(10) {(u + vB(,.))J, + A('.) I t ~ (u,v) E n"}.

En effet les relations luivantel lont equivaiente,:

Aczel, Berg and Hoszner

[(v - u) + (v - v)B('.)IJ, ~ 0,

t - f = (u - u, v - ti) E G£ ..

F(Zk' t -l) = Zk,

F(z.,t) = F(zr.,l).

U en reluite de plul que 1.1 est une bijection de l'enlemble (10) lur rA"

199

Remarquons encore que Ii z E rr. alors il existe un to = (uo,vo) tel que z = F(ZA,tO),

d'ol!.

F(z, t) = F(F(zr., to) , t) = F(ZA, t + to) =

1.1 [«u + uo) + (v + VO)B(ZA»Jp + I.r.(z.r.)] =

1.1 [(u + vB(z.r.))Jp + (uo + VOB(ZA»Jp + 1r.(ZA)] =

I"[(v + vB(,))J, + 1.(,)1, puisque d'apres (5): B(z) = B(F(z.,to)) = B(z.r.) et

d'o11 I.(z) = (uo + voB(zr.))Jp + I.r.(z.r.). n en resuite que (6) a lieu pour z E rr.. Si p = n, donc si la puissance de K est egale a 1, la demonstration est finie (rA = r dans

ce cas). Si p < n, la puissance de K est egale au continuo Soit ¢: K -+ 'R:' -P une bijection

et posons

1.(,,) ~ (0, .... ,O,.(k» . .. ~ Dans ce cas les domaines des Conctions 1.-1 sont disjoints et leur union est egale II. 'Rn

,

d'ou 1 = U.r.eK I. est une bijection de r sur 'R.''', remplissante (6) d'apres les considerations

plus haut.

La demonstration du theoreme 1 est donc terminee.

Remarque. Si m = I, d'ou p = 1, les conditions (a), (b), (c) donnent 1a supposition

suivante:

(H2) tous lessous-groupes de slobiliU de F sont triviouz (G. = {O}); si 71. > 1 la famille 4i

des fibres transitives de F 0 la puissance du. continu et si n = 1 10 IH" , ,~once de ceUe


famille ed egale a J et (4) a lieu.

D'apres Ie theoreme 118. solution F de (1) pout m = 1 ala. forme (3) si et seulement si (H2)

est remplie.

11 resulte de J. Aczel (1955) que (H1) implique (H2). NOlll allons donner 1ft. demonstration

directe de cette implication.

Soit F«zt, ... ,z,,),t) = (ZIt .. "z,,) . On a d'apres (H1) qu'il existe une suite unique

U2, .•• ,Un,to t elle que

(11)

d'ou.

Puisque uJ, ... ,u",to est la suite unique remplissante (ll), il faut que t = 0, c.q.f.d.

Si n = 1, (H1) donne Ia transitivite de F, done la Camille cJo n'a qu'un element.

Si n > 1, les deux points (Z~,UhO •. .. ,O) et (Z~,U2'O, ... ,O), OU"l :f:. "2, appartiennent

aux fibres transitive, differentes, puisque

nous donne, d'apres

F«z~, tt2, 0, ,." 0),0) = (z~, U2, 0, ... , 0) ,

que Uj = U:. La famille <Ii a donc Ia puissance du continu o

La condition (4) est rempJie evidemment, puisque d'apres (Hl) Ie contre-domaine de F

est ega! a r. L'impJieation de (Hf) a (Hl) a lieu seulement pour 11- = 1.

Si n = 1, la supposition (Hf) nous donne la transitivite de F, done pour ehaque ZhZ2

il existe un t tel que F(Zht) = Z2. Ce t est unique puisque F(z,td = F(z,t:) donne

F(z,tl - t2) = F(z,t: - t2) = z et puisque G. = {O}, on a tl = t:.

Si n > 1, la fonction

F«z1' ... , Z.,),t) = (z" Z2 + t, ... , z" + t).

Aczel, Ber g and Mos zner 201

pour (zt"",Zn,t) E R.n+l, est une solution de (1), remplissante (Hf ), qui ne satisfait pas a (H1) , puisque I'equation

pour ZI #- z~ , n'a pas de solution par rapport a (Zl"",Zn , t).

La forme (6) de II. solution F de (1) n'est pas explicite, puisque B(: ) doit remplir (5),

qui contient F.

n se pose done Ie probleme de determiner B(:) d'apres (5), ou F a II. forme (6), c.a. d.

de donner II. solution de I'equation

(12)

ou I est une bijection donnee de r sur lln .

En po.ani I(z) = :t, B(f- I(:t» = C(:t) et en prenant t! = 0 dans (12) nous obtenons

C(uJ,. + :t) = C(:t).

Soit :t = (:tl,:th ... , :tn ) et posons ici u = (ut, ...• u,,) = ( - :tl' ... , - :t,,). Nous avons

C(z) ~ CliO, ... ,0, z ... " ... , z.) ~, A(z .. ),

ou :t •• = (:t,,+1, ...• :tn) et A: 'R.n-" --+ M"._"." (II. famille des matrices a dimensions (m - p)

xp ), d'ou

(13) B(,) ~ AU(') •• ).

Inversement B(: ). donnee par (13). ou A: Rn-,. --+ M", _,..,. est arbitraire, satisfait a (12).

puisque

AI((u + vB(,))J, + f(')) •• J ~ AU(,) •• ),

vu que les n - p coordonnees dernieres de (u + vB(:»J" sont egaux a. zero.

Nous avons done demontre Ie

Theori~me 2. La solution generale de (If) est donnee par (13) , ou A: 'R.n-" --+ M"._"."

est une /onction arbitraire.

Remarquons que pour p = n II. matrice B( z) doit etre constanle.

202 Aczel, Berg aod Hoszner

Corollaire. SOIU Ie. JuppoJitiolU (a), (6), (e) du thioremt 1 fa .. olution generate de (IJ tIt de fa forme

F(" t) = r' [(u + vA(f(,) •• ))J, + f(')[,

Probleme de la superposition

II peut se pa.sser qu'une solution F = F((Zl,Z2),(th t 2» de (1) et (4) n'cst pas de la

forme (6) et en meme temps les (onction. F«Zl,Z,),(O,t,» et F«Zl,%,),(tt,O)), dont 1a

superposition donne F, IOnt de eette forme. En effet,loit G = {(/e,k) I Ie E Z} et soit 9 une

bijection de 'R,l sur 'R,2 /G (et pas sur 'R,l). La Conction

Cit une solution de (1) et (4) (voir Z. Moszner 1973), n'eh.nt pas de 1& forme (6), puisque

noul donne (t" t,) E G, done let lOul-groupes de stabilite de F lont egaux A G. La condition

(a) du theorcme 1 n 'est pas done remplie. En meme temps Ie. (onctions F ({ zJ,%,), (O, t, ))

et F«zit %,), (tlo 0» sont de la forme (6), puisqu'elles remplissent lei conditions (a), (6), (c)

du theoreme 1. Noul allons demontrer ~a pour F( (ZhZ,),(O, t2 ))i pour F(( ZItZ2) ,(tt.0 )) la

demonstration est analogue.

Nous avons

(14) F((" , ,,), (0, t,)) = 9-'19(('" ")) + (0, t,)),

d'ou F«zl! Z2),(0,t2» = (Zt, Z2) nous donne (O,t2) E G, donc t, = o. Tous les sous-groupes

de stabilite de la Conction (14) lont donc egaux a. {O} et la condition (a) est evidemment

remplie pour p = 1. La situation est 1a meme pour la condition (c). Pour demont rer (6), c.a.

d. que la Camille des fibres transitives de (14) a la puissance du continu, nous montrerons que


les elements 9- 1(0 + (z,z», ou z E (0, I), pour z differents, sont dans les fibres transitives

diverses. En effet

nous donne

d'ou

par consequence (Z2 ~ %It%2 - %1 ~ t 2 ) E 0, done Z2 = ZI·

Le probleme se pose, sous queUes conditions compiementaires une telle situation n'est

plus possible?

La reponse particuliere a cette question est, sous la supposition de la differentiabilite de

F et en version locale, en preparation par L. Berg (1991, voir les travaux cites). L. Berg a

donne aussi une reponse particuliere dans Ie cas m = 2, p = 1 sous Ies suppositions de 1&

differentiabilite dans une note sous presse (1990, voir 1& bibliographie).

Nous allons demontrer a ce sujet Ie theoreme 8uivant:

Theoreme 3. 51 F(z,t,w), OU z ERn, tERm, wE R, FER", est une solution de (1)

et s1 F(z,u,v,O) a la forme (6) avec la bijedion f continue et

(15) F(z,O,O,w) = g-l (wj + g(z)],

OU 9 est une bijedion continue sur 'R;" et si de plm

(H3) il existe une fibre transitive de

tel que ehaque dro1te perpendieulaire a /'hyperp/an Zn = ° a un intervalle nondiginiri

commun avec eeffe fibre,

alors F est donnie par (6) sous la forme {29}.

Remarquons que Fest Ia superposition des fonctions (6) et (15);

(16) F(F(z,u,v,O),O,O,w) = F(z,u ,v,w) = F(F(z,O,O,w),u,v,O).


Di morutration. On a d'apres (6), (15) et (16)

(17) F("u,v,w) ~ r'[(u+vB(i))J, + !(g-'[wj+g(')1)[

~ g- ' [wj + g(r'[(u + vB(,))J,+ !(,)[)[,

ou Z = g- l(wj + 9(z)).

En pOlant

(18)

et p = g(z), nous avons d'.pres (17)

(19) h(wj + h-'[(u + vB(,))J,+ h(p)l) ~ (u + vB('»J, + h(wj + pl.

Si nous posons ici v = 0, nous obtenoRl'

(20) h(wj + h- l [uJp + h(p»)) = uJ" + h(wj + pl.

En prena.nt en (20) U + 1IB(z) au lieu de u et en complIl'ant l'egalite obtenue avec (19)

nous avona

d'on d'apres (19)

(21)

Si

d'apres (20) on a

(22)

(u + vB(!»J" + hew; + p) = (u + vB(z»Jp + h(wj + p),

F("t) ~ r' [(u + uB(,))J, + h(w; + g(,» [.

h(w; + ,) - h(w; + p) ~ vJ, ~ h(,) - h(p) .

Pour z = (%1> .. ,,2: .. ) soit z.:= (X2, ... ,:I: .. ), d'ou z = (zt..:I:.).

NOllS avons d'aptes (22)

(23)

d'ot.. pour p = pO et T, = r~ constants et avec H(w):= h(wj + pO) _ h(pO) on a

(24)


Soit pO tel que 1,b(pO,u) remplit (H3). 11 en resulte que rl remplit un intervalle I

nondegem!!re pour r~ arbitraire. Puisque west arbitraire dans R, (24) est l'equation de Pex

ider. La solution generale de cette equation est de 180 forme (J. Aczel 1966, F. Rad6- J.A.

Baker 1987)

ou a, b E Rn. Dans ce moment ces formules sont valables pour w E Ret rl E I , mais en

representant chaque u dans R dans la forme u = rl + w (rl E I,w E R), nous avons d'apres

(24)

h«(7,r~) = hh + w,r~) = hh,r~) + H(w) = a + rIb + wb = 0.+ ub

pour chaque u E R.

Si on remplace r~ par II. variable r., a = a(r.) et b = b(r.) seront des fonctions de r.,

d'ou

(25) hlp) ~ h(p"p.) ~ a(p.) + p,b(p.).

En substituant eela en (23) nous obtenons w[b(r.) - b(P.)] = 0, d'ou

(26)

Si nous posons (25) et (26) dans 180 deuxieme partie de (22), nous avons

a(r.) - a(p.) + (rl - Pt)b(P.) = uJp ,

done en partieulier, en notant par :t •• les n - p dernieres coordonnees de:t, on a

a(r.) .. - a(p,) .. = - (rl - pdb(p.) ••.

Puisque Ie membre gauche de eette relation ne depend pas de rl et de PI, aussi Ie membre

droit ne depend pas de ces variables, donc

(27) b(p.) .. ~ 0, a(,.) .. ~ ' (P.) ...

Nous avons d'apres (25)

h(wj + p) ~ a(p.) + (w + p,)b(p.) ~ wb(p.) + hlp).


Si p = 9(%), DOUS aVODS d'apres (18)

h(wj + g(')j ~ wb(g.(,)j + !(,).

done d'apres (21)

(28) F(,.t) ~ r'[(u + vB(,))J, + wb(g.(,)) + !(,)[.

Puisque d'apres (26) b(p.) .. = 0, en designant par :to' les p premieres coordonnees de:t,

on peut ecrire (28) sous II. forme

(29)

qui est deja. de II. forme (6). La demonstration du theoreme 3 est done terminee.

Remarquons que II. condition (H3) est, pour t/J continue, equivalente a p = n. Car nous

avons montle plus haut que h(p) = a(po) + Plb(P.). OU b(P.) •• = 0 et a(r.) •• = a(p.} •• , d'ou

h(p) •• = const. et puisque h : 'R,." -+ R," est bijective, on a p = n. L'implication p = n =>

(H3) est evidente car tP est transitive dans Ie cas p = n.

Exemples

Voila quatres exemples de .olutions de (1) de II. forme (6):

rappelons que z •• designe les n - p coordonnees dernieres de Zj les Ai,,!, sont des fondions

arbitral res de 'Rn-r> a 'R;

2) F(z, u, v) = (u + vb(z,) + Zt, Z2, Z3) = [u + vb(z,)](I,O, 0) + (Zl, Z2, Z3), (p = 1);

3) F(z, u, v, w) = (u + Vb(z2) + Z10 W + Z2, Z3} =

= [(u,w) +v(b(z,),O)] (~ ~ ~) + (Z1o Z"Z3),

4) F(z, u, v, w) = (u + vb(z,) + WC(Z3) + Zl! Z2, Z3) =

Aczel. Berg and Moszner 207

= [u+ (v,w) ( ~;:~ )](1,0,0) + (;~l>Z2,Z3), (p = 1),

au h, c : R. --> R. sont a.rbitraires.

n resulte de (29) que I et p sont ici les memes que dans F(z,u,v, O). II peut se passer

que F est de la forme (6) mais avec I au p dift'erents que dans la forme (6) pour P(z, u, v, 0).

L'exemple 3 montre cela pour p, car pour F on a p = 2 et pour P(z,u,v,O) nous avons

p = 1, puisque F(z, u, v,O) est la meme que dans l'exempie 2.

Nous allons donner encore un exemple au sujet du probieme de la superposition, plus

riehe que plus haut. La fonction

au zl,z:,u,v E R. (done r = 'R,2), est une solution de i'equation (I), qui n 'est pas de la forme

(6) ni pour p = 1 ni pour p = 2. C'est une consequence du theoreme 1, puisque Ie sous

groupe de stabilite de F pour I'etement (l'1oO) est la droite v = u et Ie meme sous-groupe

pour (ZI,l'2), ou z, '# 0, est egal a {(O,O)}. La fonction F est continue et les fonctions

F«l'l,l',),O,v) et F«ztol',),u,O) sont de la forme (6) (cvidemment avec p = 1), puisque

elles remplissent l'hypothese (HJ) avec z? arbitraire.

Remarquons entin que F(z, u, v), au l' E 'R,", u E 'R,I', V E R.m-/>, est de la forme (6) si et

seulement si F(z,u,O) a la forme (6) avec Ie rneme p et s'il existe B(l'): 'R," --> Mm_/>./> tel

qu,

F(z,O,v) = F(z,vB(z ), O).

En effet

F(z,u,v) = rl[(u + vB(z))J/> + I(z)]

nous donne

F(., 0, v) ~ r'[vB(.)J, + /(z)1 ~ f(" vB(.), 0)

,t

(30) F(.,u,O) ~ r'[uJ,+ f(.) I·


Invcrsement, si (30) a lieu, alon

F(%,u,v) = F(F(z,O, v),u,O) = F(F(z,vB(z),O),u,O) = F(z,u + vB(z),O) =

r' ( u + .B(,))J, + 1(,)).

Remarque finale.

L. Berg (1991) a remarque (dans sa note en prepan.tion) que F, continue et remplissant

(1), est de 1& forme (6) sous l'hypothese suiV1Ul.te:

(H4) il erifte un ZO E 'R' ttl que l'iquation

F«z:O,y), (u,v» = z

a pour chaque z E 'R:' et v E 'R"'- ' une solution unique par rapport ci u = U(z,v) et

y = Y(z), OU y ne dlpend pM de v.

L'hypothi:se (H4) entraine d'aptes Ie theoreme lIes suppositions (a) , (b), fe) de ce

theorbne. Nous donneroDs ci· dessoul une demon.tntion directe de cctte implication. Cepeno

dant l'implication invene n 'a pu lieu, pui.que deja (H2) => (HI) n'est pas vraie.

Soit z fixe et soit F(z,(ii,ii)) = Z. NOlll aVOOI, d'apres (H.I), que

F«.', Y(,)), (U(', .),.)) = "

d'ou

F«.' , Y(,)), (U(,,') + u,' +0)) = ,

et d 'apres nos notations

F«zO, Y(z)), (U(z, v + ti) , v + ti)) = z.

n en resulte d ' apres (H4J que

(31) U( z, v + ti) = U(z,v ) + ii.

Aczel. Berg and Moszner 209

L. Berg (1991) a montre pendant II. preuve de son theoreme que

U(z,v) ~ vB(z) + C(z),

ou B : 'R" _ M .... _,,p et C : 'R" _ 'R.~. d'ou , d'apres (31), iiB(z) = ii. Etant que nos

arguments peuvent etre inverses, nous avons etabli (a).

Si p = n, la lolution Fest, d'apres (R.n, transitive. Si p < n, Ies point. (ZD, UI, .•. , 0) et

(ZD, Uh 0, ... , 0) avec 1'10 U2 E 'R. et 1'1 -# U3, .. ppartiennent a des fibre. transitive. differentes

de F, puisque

F«ZD,UhO •..• 'O),(U,V» = (ZO,U2,0, ..• , 0)

nous donne, d' .. pres (H.4),

(32)

Puisque

nous avonl aussi, d 'apres (H-/), que

(33) (U300, .•. ,0) = Y«ZO, U2, 0, ... , 0».

Les relations (32) et (33) nou. donnent 1'1 = U2. La condition (b) est done remplie.

Nous avons aussi Ia condition (c) puisque Ie contre·domaine de Fest d'apres (H4) egal

a'R." tout entier.

Tl'avaux cites

Aczel, J. 1955: LOsung der Vektor.Funktionalgleichung der homogenen und inhomogenen

n·d.imensionalen "Translation" der erzeugenden Funktionen von KeHenreaktionen und

des stationiren und nicht·stationiren Bewegungsintegrals. Acta Math. Acad. Sci.

Hung. 6,131-14l.

1966: Lectures on functional equations and their applications. (Math. in Sci. and

Engrg .• Vol. 19), Academic Press, New York-London.

Aczel, J. et Rosszu, M. 1956: On transformations with several parameters and operations

in multidimensional spaces. Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 7,327-338.

210 Aczel. Berg and Moszner

Berg, L. 1989: Ubcr die Translationsgleichung. Wiss. Beitr. Univ. Halle Nt. 54/ M58,

19-28.

1990: Fun! mehtdimensionale Funktionalglcichungcn (SOUl presse dans Mitt. Math.

Gell. Hamburg).

1991: The local structure of solution. of the multidimensional tr&nslatioD equation

(en preparation pour Acquationcs Math.).

MOlzner, Z. 1973: Structure de l'&utomate plein, reduit ct invertible. Aequationes Math.

9, 46-59.

1989: Unc generalisation d'un re-u1tat de J. Aczel ct M. HOllzu sur l'equation de

translation. Aequationes Math. 31, 267-278.

Rad6, F. ct Baker, J.A. 1981: Pex:ider's equation and aggregation of allocations. Aequa

tiones Math. 3£,227-239.

Jinos Aczel Dep. of Pure Mathematics University of Waterloo Waterloo, Onto N2L 3G 1 Canada

Lothar Berg Scktion Mathematik Univeuitit Roltock D·O·2S00 Rostock, Allemagne

Zenon Monner Inlt. Matemat. Wyzna Szkola PedlLf50giczna Plr30·084 Krakow, Pologne

Eingegangen am 5 . Dezembe r 1990

Documents

Sur l’équation de translation multidimensionnelle