Sur les bases du groupe alterné

Sur les bases du groupe altern6

Par SO~H:E PICCAI~D, Neuchgtel

Ddfinition 1. Quel que soit l 'entier n ~ 4, il existe des couples de substitutions du groupe altern6 9~, d'ordre n !]2, qui engendrent le groupe ~I n tout entier par composition fmie alors que ce groupe ne saurait 6tre engendr6 par une seule de ses substitutions. Nous appelons base du groupe 9~n tout couple de substitutions g6n6ratrices de ce groupe.

Soit n un entier ~ 4, soit ~ . le groupe sym6trique d'ordre n !, d0nt les substitutions permutent les 616ments 1, 2 . . . . . n, et soit ~ le sous- groupe altern6 de ~n.

Proposition 1. Quelle que soit la base S, T du groupe ~I, et quelle que soit la substitution non identique R du groupe ~ , R ne saurait 6tre permutable aussi bien avec S qu'avec T.

Dgmonstration. Soit S, T u n e base quelconque de ~In et soit R u n e substitution non identique quelconque de ~ .

Supposons, contrairement & ce qu'il s'agit de d6montrer, que R S R - : S et que R T R - : ---- T. Comme S, T est une base de 92,, quelle que

soit la substitution U de ~ , U s'obtient par composition finie de S e t T. Soit U----- f ( S , T ) . Mais alors R U R -1 -~ R f ( S , T ) R -1 -~ / ( S , T ) , puis- clue R e s t permutable aussi bien avec S qu'avec T. Done R e s t permutable avee routes les substitutions du groupe 9~. Or, ceci est eontra- dictoire. En effet, comme R r 1, par hypoth6se, il existe deux 616merits (au moins) a, b de la suite 1, 2 . . . . . n, tels que R transforme a en b. Soient c et d deux nombres distincts quelconques de la suite 1,2 . . . . . n, diff6rents de a et de b. Le groupe 2~ eontient la substitution V=- (abe) et, comme R e s t permutable avec routes les substitutions de ~n, on doit avoir R V R -~ ~ V. Et, comme R transforme a en b, R doit transformer b en c et c e n a. Donc R contient le cycle (abe). La substitution W : (ab)(cd) fair 6galement partie du groupe !~tn. D'apr~s ee qui pr6c6de, R doit 6tre permutable avec W. Or, R W R -~ : (bc)(adt) , d' d6signant l'616ment de la suite 1 . . . . . n que R substitue ~ d, done R W R - : r

ce qui est contradictoire. Done R ne saurait 6ire permutable aussi bien avec S qu'avec T, c. q. f. d.

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P r o p o s i t i o n 2. Soit S, T u n e base du groupe ~In. S'il existe une substitution non identique R de groupo ~ , , telle que R S R -1 = T et que R T R -1 = S , cette substitution R e s t du second ordre et elle est unique.

D d m o n s t r a t i o n . En effet, soit S, T une base du groupe ~n et soit R une substitution de ~ , telle que 1) R S R -1 = T et 2) R T R -1 = S .

De 1) on ddduit, en composant ~ gauche avec R, ~ doite avec R -1 et en tenant compte de 2), 3) R ~ S R -2 = R T R -1 = S

et de 2) on ddduit, en composant/~ gauche avec R, h droite avec R --1 et en s 'appuyant sur 1), 4) R 2 T R -2 = R S R -1 = T .

]l ressort de 3) et 4) clue R 2 est permutable aussi bien avec S qu'avec T, ce qui implique, d'apr6s la proposition 1, que R 2 = 1. E t comme S, T e s t une base de ~I, (n > 4), on a S ~: T, donc R ~ 1 et, par consequent toute substitution R du groupe ~ qui satisfait les relations 1) et 2) est bien du second ordre. Montrons maintenant que si une telle substitution R existe, elle est unique. En effet, soient R et R t deux substitutions du groupe ~ qui satisfont les relations 1), 2), 1 ~) R P S R r-1 = T

et 2 r) R ~ T R ~-1 = S . Composons les deux membres de 1) s gauche avec R~et K droite avec R t-1 . I1 vient, en tenant compte de 2~), R ~ R S R - 1 R r -1

= S e t , d 'une fagon analogue, on d6duit de 2) et de 1 ~) que R t R T R - 1 R r-1

= T . Donc la substitution R ~ R est permutable aussi bien avec S qu'avec T, ce qui implique, d'apr6s la proposition 1, que 5) R ~ R = 1.

Et comme, d'apr~s ce qu'on a ddmontr6 plus haut, les deux substitutions R et R t sont du second ordre, il r6sulte de 5) que R = R ~.

La proposition 2 est donc ddmontrde.

R e m a r q u e 1. S'il existe une base S, T du groupe 92n et une substitution du second ordre R de ~n, telle que R S R -~ -~ T , la substitution R peut faire partie du groupe ~I~, mais elle peut aussi faire partie de l'ensemble ~ - ~I~. En voici des exemples.

E x e m p l e l . n = 5 , S = ( 1 2 3 4 5 ) , T = ( 1 3 4 2 5 ) . C e s d e u x s u b - stitutions constituent une base de !~Is. La substi tution du second ordre R = (14) (35) fair partie du groupe ~I5 et on a R S R - I = T .

E x e m p l e 2 . n = 5 , S = ( 1 2 3 4 5 ) , T = ( 1 2 3 5 4 ) . C e s d e u x s u b - stitutions constituent 6galement une base de 9~ 5. La substitution du second ordre R = (45) fair partie de l 'ensemble ~ s - ~I5 et on a R S R -1 = T .

D~f in i t ions 2. Nous dirons qu'une base S, T du groupe 9~ est de p r e m i e r e

esp~ce, s'il n'existe aucune substitution du second ordre R du groupe ~ ,

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telle que R S R -1 ----- T et nous dirons que la base S, Tes t de seconde esp~ce

dans le eas contraire. Nous disons qu'une base de premi6re e~t~ee du groupe ~[~ est du genre 1 s'il n'existe aueune substitution du second ordre R de l'ensemble ~n -- ~I., telle que R S R -1 ~ T et nous dirons que la base S, T e s t du genre 2 dans le cas contraire.

Quelle que soit la base S, T du groupe ~I. et quelle que soit la substitution non identique R du groupe ~ . , les deux substitutions R S R -1 ~ S '

et R T R -1 ~ T r font partie du groupe ~n et constituent une base de ce groupe. Nous dirons que la base S r, T ~ est ht trans~ormde de la base S, T par la substitution R et nous dirons clue les deux bases S, T et S', T r sont dgpendantes si R fair partie de ~ . . Par contre, nous dirons que deux bases S, T et S ~, T r du groupe 9~. sont inddpendantes, s'il n'existe aucune substitution R du groupe !~I., telle que la base S r, T ~ soit la transformde de la base S, T par R.

Proposi t ion 3. Toute base de premibre espbce S, T du groupe ~[. possbde n !/2 transform~es distinetes au moyen des substitutions du groupe ~I..

Dgmonstrat ion. En effet, soit S, T u n e base de premibre esp~ee du groupe 9~.. I1 n'existe donc aucune substitution du second ordre R de 92., telle que R S R - I = T . Soient R', R ~ deux substitutions distinctes quel- eonques du groupe 9~ n. Posons R r S R r - I = - S ', R ~ T R ' - I - = T ' , R~ISRr'-I = S ~1, R " T R r ' - I = - T It. Montrons que les bases S ~, T ' et S", T ~' sont distinetes, erest-s qu'elles diffbrent au moins par une substitution. En effet, supposons le contraire. Deux cas sont alors possibles : a) S r = S ~r,

T I : T" et b) S ' = T 'I, T I = S fl. Supposons d'abord qu'on a le cas a). Alors R ~ S R I-1 =- R I t S R rr-1, d'ofi R r r - 1 R ' S R r-1R,I ~ S , et R ' T R ~-1 -=- R ~ T R 't-x, d'ofi R r~-I R ' T R '-1 R ~ = T . Done la substitution R '~-1 R ~ est permutable aussi bien avee S qu'avec T. Et eomme S, T e s t une base de ~I,, il s'ensuit, d'aprbs la proposition 1, que R r~-I R~= 1, done R~-=-

R ~, ee qui est eontraire s notre hypothbse sur ces deux substitutions. Le cas a) ne saurait done se prdsenter. Supposons maintenant qu'on a l e eas b). Alors R ~'-1R~SR ~-1R~'= T et R ~'-~ R ~ T R ' - I R~,-1 = S . Comme R ~ # R ~ et que R ~ et R ~ sont deux substitutions du groupe 92=, R ~'-1 R' est une substitution non identique du groupe ~I~ qui transforme S e n T et T en S. Mais alors la base S, T de 92~ est de seeonde espbce, contrairement h notre hypothbse que e'est une base de premibre espbee. Le eas b) ne saurait done dgalement p a s s e prdsenter.

I1 s'ensuit que les n !/2 transformdes de la base S, T par les diffd- rentes substitutions du groupe 9~n sont bien distinctes, e. q. f. d.

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Protmei$ion 4. Quelle que soit la base S, T de seeonde esl~ee du groupe ~I,, il existe n !]4 transformdes distinetes de eette base par les substitutions du groupe ~I,.

Ddnwnstration. Soit S, T une base de seconde esp~ce du groupe ~,,. I1 existe done une substitution du second ordre et une seule R du groupe 9J[,, telle que R S R - ~ T. Soit R ~ une substitution quelconque du groupe ~ . Posons R I S R 1-1 ~ St, �9 R t T R ~ - I : T ~. Montrons qu'il existe une substitution R ~ :/: R ~ et une seule du groupe 9~ qui transforme ~galement l abase S , T en S ~,T ~. Eneffe t , comme R ~ : 1 et R S R - I : T , donc aussi R T R - x : S , on a R ' R S R - ~ R ' - 1 : R ' T R ~ - a ~ T ' et R ' R T R - ~ R '-1 = R ' S R '-1 = S'. Posons R"---- R ' R . On a done . R " S R " - I = T' , R " T R 'r-~ = S ' et R" =/= R' , puisque R =/: 1. I1 existe done bien une substitution R" du groupe 9/~, diff4rente de R ' et qui transforme la base S, T en S', T'. Montrons que cette substitution R" est unique. A cet effet, supposons le contraire et soit/{, ' une seconde substitution de 9~,, diff~rente de R ' et de R", et qui transforme la base S, T et S', T'. Deux cas sent alors possibles:

a) Rr~SR'~-' --- S ' , R~ TR~-x = T ' .

b) n " , ~ n " - i T ' "TRI1 '-1 = S ' " ' I - - ' ' 1 = ~ ~ 1

Dans le cas a), on a R~SE~ ~-~ = R " T R "-~, d'ofi R " - a t ~ S R ~ - a R " = T, et .R[ TR'~ -1 R " S R "-1, d'ofl •,,-1 n " "p ~g,-1 ~,, _ . . . . . 1-- -a . . -- S. I1 s'ensuit, d'apr~s la proposition 2 et les hypotheses faites sur la base S, T et la substitution R, que ~7,,-1~" = R " R = . . . . l - - --R, d'oh R~ : R ' R 2 R ' , puisque R 2 ---- 1. Or, nous avons suppos6 que R~ • R ~. On est ainsi conduit ~ une contradiction. Donc le cas a) ne saurait se pr6senter.

Supposons maintenant qu'on a le eas b). Done .R ' S R f - l - - R ' rSR r'-~, d'ofi R " - ~ . R ' S R ; - ' R " = S , et R ' ~ T R ' ~ - a = R " T R "-1, d'o~ R " - ' R ' ~ T ~ - a R " = T .

Rtt_l ~t Done la substitution . . . . x est permutable aussi bien avec S qu'avec :T, ce qui implique, d'apr~s la proposition I, que p~r-lp~p -" "1 = 1, done R ~ = / ~ , eontrairement s notre hypoth~se sur ees deux substitutions. Le eas b) ne saurait done ~galement pas se presenter. R pr est done bien la seule substitution :~ R ~ du groupe ~[~ qui transforme la base S, T et S', T ' .

Cela ~tant quelle que soit la substitution R ~ de 9/,, il s'ensuit que toute base de seconde esI~ce du groupe ~ , possi~de bien n ! / 4 transform4es distinctes au moyen des substitutions du groupe ~I,, e. q. f. d.

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Proposition 5. Quelle que soit la bas S, T de premiere esl~ce et du genre 1 du groupe ~I,, le nombre total de transform~es distinctes de cette base par les substitutions du groupe 6 , est n!

Ddmonstration. En effet, soit S, T une base de premiere esl~ce et du genre 1 du groupe 91, et soient R et R r deux substitutions distinctes quelconques du groupe 6 , . Montrons que les transform6es de la base S, T par les substitutions R et R I sont distinctes. En effet supposons le contraireet posons R S R - I = S I, R T R - I = T ~, R I S R ~ - x - = s ~I, R I T R r-1 -----T ~t. Deux cas sont alors possibles.

1) S I = S ~I, T t = T lp. Mais alors R f - I R S R - X R I = S et R r - a R T R - 1 R ~ -----T. Donc, d'aprbs la proposition 1, R~-IR = 1 et R = R I, contrairement/~ notre hypoth~sc sur R et R t. Le cas 1) ne saurait done se prdsenter.

2) $ I = T ~r, T I = S ~I. Mais alors R r - I R S R - 1 R r = T et R I - 1 R T R - 1 R r--- S et la base S, T e s t transformde en elle-m6me par la substitution Rr-~R du groupe 6 , . Elle est donc soit de seconde esl~ce, soit de premiere espbce et du genre 2, ce qui est contraire ~ notre hypoth~se sur la base S, T. Le cas 2) ne saurait donc ~galement pas se pr6senter.

Les bases S ~, T ~ et S ~, TIr sont donc toujonrs distinctes. I1 s'ensuit que la base S, T poss~de bien n ! transform6es distinctes au moyen des substitutions du groupe 6 , , c. q. f. d.

Proposition 6. Toute base de premiere esl~ce et du genre 2 de m6me que route base de seconde esl~ce du groupe 9~, poss~de n !/2 trans- form6es distinctes au moyen des substitutions du groupe 6 , .

Ddmonstration. Soit d 'abord S, T une base de premibre espbce et de genre 2 du groupe 2 , . I1 existe donc une substitution du second ordre et une seule R de l'ensemble 6 , - ~I,, telle que R S R -1 = T .

Soit R r une substitution quelconque du groupe 6 , et soit R I S R ~-~ = S ~, R ~ T R ~-1--- T I. Montrons qu'il existe une substitution R ~ du groupe 6 , et une seule diff6rente de R ~, et qui transforme la base S, T en S ~, T ~. En effet, comme R2----- 1 et RSR-I -= T, on a R ~ R S R - I R ~-~ =

R T R - ~ = T ~ et R I R T R - ~ R ~ - ~ = R ~ S R ~ - I = S ~. Posons R ~ = R r R . On a R I~ # R ~, puisque R # 1, et la substitution R ~ transforme, d'apr~s ce qui pr~cikle, la base S , T en S~,T ~. Supposons maintenant qu'il existe une seconde substitution R~ r R I e t ~= R '~ du groupe 6 , qui transforme la base S, T en S ~, T ~. Deux cas sont alors possibles.

1) R~ S I t ~ - ' = S ' , R: TR~-'---- T ' ,

2) R~ S ~ - ' = T ' , R~ ' T R y - ' = S I .

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Dans le premier cas, on a R~ SRr~-~ = R" TR"- ' et R~ T R y - ' = RIrSR "-', d'ofi R r r - ' R ~ S ~ - I R " = T et Rr~-'Rr~TR~I~-'R~r=S, co

ff 1 7 .~_ ~' qui implique, d'apr~s la proposition 2, que R - R~ R. Donc /~ ----- R ~ r R = R r R 2 = R ~, puisque R2-- - 1. On voit donc que R ~ R ~, contrairement s notre hypoth~se sur /~1 ~. Donc le cas 1) ne saurait se presenter.

Et, dans le cas 2), on a R~SR~-'~-R"SR rr-', R~TRr~-'-----R"TR ~-', d'oh R"-'R~SR~I~-IRtt:S et Rr~-'R~TR~-~Rt~=T. I ls 'ensui t , d'apr~s

Rlt_l ~r ~ RIf, la proposition 1, que . . --1 ~ 1, doric R~ ce qui est contraire ~ notre hypoth~se sur R~. Le cas 2) ne saurait donc ~galement pas se presenter. I1 s'ensuit que la substitution R I~ r R t du groupe ~ qui transforme la base S, T en S r, T r e s t bien unique et, par consequent, le hombre total de transform~es distinctes de la base S, T par les substitutions du groupe ~ est bien n !/2, c . q . f . d .

Supposons maintenant que S, T est une base de seconde esl~ce du groupe ~I~. I1 existe alors une substitution du second ordre et une seule R du groupe 92~, telle que RSR -~ -~ T. Par un raisonnement tout ~ fait analogue s celui effectu~ dans le cas precedent, on d~montre que, si une substitution R ~ du groupe ~ transforme S e n S ~ et T en T ~, il existe une substitution et une seule R ~ du groupe ~ , distincte de R ~ et qui transforme aussi la base S, T en S f, T ~, d'ofl il r~sulte que le nombre total de transform~es distinctes de la base S, T par les substitutions du groupe ~ est, dans ce cas aussi, ~gal ~ n !/2, c . q . f . d .

Proposition 7. Le nombre total des bases du groupe ~I~ est un multiple de n !/2, c'est-h-dire de l'ordre du groupe ~ .

Ddmonstration. Soit S~, T~ une base quelconque du groupe 9~. Trans- formons eette base par routes les substitutions du groupe ~ . D'apr~s les propositions 5 et 6, on obtient ainsi n! ou n!/2 bases distinctes du groupe ~I~, suivant que la base S~, T1 est de premiere esp~ce e t du genre 1 ou non. Soit H 1 l'ensemble des transfom~es distinctes de la base S 1, T~ par les substitutions de ~ , . Soit h prdsent m un entier ~ 1 et supposons que nous ayons d~jh d~fini les bases Si, T~ de 9j~, pour i ~- 1 ,2 . . . . . m, bases dont aueune n'est la t ransfom~e d'une autre par une substitution du groupe ~ , et soit H~ l'ensemble des transform~es distinctes de la base S~, T l par les substitutions du groupe ~ . D'apr~s les propositions 5 et 6, l'ensemble H~ est de puissance n! ou n !/2 ! Soit S,+~, T.+~ (si elle existe) une base quelconque de ~I, qui ne fair pas partie de l'ensemble H 1 % H~ % . . . -t- H~ et soit H,+~ Fen- semble des transform~es distinctes de la base S,+~, T~+~ par les sub-

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stitutions du groupe ~ . D'apr~s les propositions 5 et 6, H~+ 1 est de puissance n ! ou n !/2. Comme le nombre total des bases du groupe 9~,

-2- aprgs un nombre fini N d'op~rations est fini il est en tout cas < 2 '

de ee genre, nous obtiendrons la suite 1) S1, T1;$2, T2 ; . . . ; S N , T N de bases du groupe 9.I~, telles que, quels qua soient les indices i at ] (1 ~ i < ] ~ N), il n'existe aueune substitution R du groupe ~ , telle que la transform6e par R de la base Si, Ti soit la base St, T~. A chaque base S i, T i (1 ~ i ~ N) de la suite 1) correspond l'ensemble H~ des transformges distinctes de cette base par les substitutions de ~n- D'apr~s les propositions 5 et 6, l'ensemble H~ est de puissance n ! ou n !/2, quel que soit i --~ 1,2 . . . . , N. Montrons que, quels que soient les indices i et ?" (1 _~ i ~)" H N), les ensembles Hi et Hj sont disjoints. En effet, supposons le contraire et admettons qu'il existe deux indices i et (1 H i < j ~ N) et deux substitutions R et R + du groupe 9~ ,tels que les bases RSi R-l, RTi R-1 et Rr SjR ~, R ~ T jR ~-1 soient confondues. Deux cas sont alors possibles.

a) R S i R - I = RISER I-1, R T i R - I = RrT jR I-l, done RI-1RSiR-1R I = S t et R ~-IRT~R-1R r -= Tj. Mais alors, eomme Rr-IR est une substitution de ~n, la base St, T~ fair partie de l'ensemble H~, ce qui est contraire s la ddfinition de ta base St, Tj. Le cas a) ne saurait donc se prdsenter.

b) Ou bien R S i R - I = R~T~R ~-1, R T i R -1 ----- R~S~R I-1. Mais alors Rr-IRT~R-1R ~ =- T~, R~-~RTiR-~R ~ = S t et, dans ce cas aussi, eomme R ~-~R est une substitution de an , la base St, T~ appartient ~ l'ensemble H~, ee qui est contradictoire. On voit donc bien que les ensembles H~ et H~ sont disjoints.

Soit N ~ le nombre de bases de la suite 1) qui sont de premiere esp~ee et du genre 1. D'apr~s ce qui prdc~de, le nombre total de bases de 9~ est

n ! n ! ~gal i~ N~n ! ~ (N -- ~ ) - ~ = [2N ~ -t= (N -- N~)] -~- . Ce nombre est

done bien un multiple de n !/2, c . q . f . d .

Proposition 8. Quel que soi~ l'entier n ~ 4, le groupe 9~ poss~de des bases de premiere esp~ce et du genre 1.

Ddmonstration. Quel que soit l 'entier pair n :> 4, les deux substitutions S - ~ ( 1 2 . . . n - - 1), T ~ - ( n - - 3 n - - 2 ) ( n - - l n ) constituent une base du groupe 9~, d'apr~s la proposition 3, p. 18, et la remarque 3,

9 Commentarii Mathematici tIelvetici 1 2 9

p. 41. de notre livre Sur les bases du groupe symdrique, II1), et cette base est de premiere esl~ce et du genre l, puisque les deux substitutions S et T n e sont pas semblables. D'autre part, quel que soit le nombre impair n ~ 5, les deux substitutions S : (1 2 . . . n ) , T ~ (1 2 3) constituent une base du groupe 9~n, d'apr~s la proposition 2, p. 12, de notre livre Sur les bases du groupe symdtrique, IS), et cette base est dgalement de premibre esl~ce et du genre 1, puisque les deux substitutions S et T ne sont pas semblables. La proposition 8 est donc ddmontrde.

Proposition 9. Quel clue soit l 'entier n ~ 4, le groupe 92~ poss~de des bases de premiere esp~ce et du genre 2.

Ddmonstration. Supposons d'abord que n e s t pair ~ 4. Soit S--~ ( 1 2 . . . n - - 2 n - - 1), T - ~ ( 1 2 . . . n - - 2 n ) . Montrons que ces deux substitutions constituent une base de premiere esl~ce et de genre 2 de ~I~. En effet, on a S T - 1 - ~ ( l n n - 1). La substitution ( l n n - - 1} engendre, avec S, le groupe 9~ n, d'apr~s la proposition 6, p. 21--22, Bases, I. Donc S, T est aussi une base de 9~. Et cette base est de premiere esl~ce et de genre 2 puisque la substitution R -~ (n -- 1 n) de ~ - - ~ est du second ordre et telle que R S R - I : T .

Supposons maintenant que n e s t impair ~ 5. Posons alors S (1 2 . . . n -- 2 n -- 1 n), T = (1 2 . . . n -- 2 n n -- 1) et montrons que les deux substitutions S e t T constituent une base de premibre espbce et de genre 2 de 92~. En effet, on a S T -1 : (1 n n -- 1) et cette derni~re substitution forme avec S une base de ~I~, d'apr~s la proposition 5, p. 20, Bases, I. Donc S, T e s t anssi une base de ~ et cette base est de premiere espbce et de genre 2, puisque la substitution R : (n -- 1 n) de ~ - - ~ est du second ordre et transforme S en T. La proposition 9 est donc ddmontrde.

Proposition 10. Quel que soit l'entier n ~ 4, le groupe 9~ n poss~le des bases de seconde esp~ce.

Ddmonstration. Soit d'abord n u n nombre pair ~ 4. Posons S ( 1 2 . . . n - - 2 n - - 1), T = ( 1 2 . . . n -- 4 n -- 2 n -- 3 n ) . M o n t r o n s q u e S, T e s t une base de seconde esp~ce du groupe 9~n. En effet, on vdrifie aisdment que S , T est une base de ~/I~, s i n -~ 4, 6ou 8. Et, s i n ~ 10, on a S T -~ ~ ( I n n -- 2n ~ 3 n -- 1) et cette substitution forme avec S une base de 9~, d'apr~s la proposition 25, p. 55, Bases, I. Donc S, T e s t

1) Librairie Vuibert , Par is 1948 (ouvrage que nous citerons sous l 'abrdviat ion Ba~es, I I .

s) Librair ie Vuibert , Paris 1946 (Ba~es, 1).

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une base de ~ et cet te base est de seconde espbce quel que soit n > 4, puisque la subst i tu t ion R = (n -- 3 n - - 2)(n -- 1 n) de 9~ est du second ordre e t t ransforme S e n T .

Supposons ma in tenan t que ,nes t impair > 5. Posons S=-(1 2 . . . n), T~- (1 2 . . . n - - 4 n - - 2 n - - 3 n n - - l ) . Montrons que S , T est une base de seconde esp~ce de ~I~. En effet, on a S-1T ----- (n--1 n n - - 2 n - - 4 n - - 3 ) et ce t te derni~re subst i tu t ion forme avec S une base de ~I~, comme on le v6rifie sans peine pour n ~ 5 et 7 et comme cela r6sulte de la proposi- t ion 23, p. 53, Bases I, pour n > 9. Donc S , T est ~galement une base de 2n et ce t te base est de seconde esl~ce puisque la subst i tu t ion du second ordre R : (n - -3 n - - 2 ) ( n - - 1 n) du groupe ~[~ t ransforme S en T. La proposi t ion 10 est donc d6montr6e.

Les bases des groupes 24, ~I5, 2e et 27

Notations. Soit B ----- (S, T) une base de 92~, form~e des deux substitu t ions S e t T, e t soit R une subst i tu t ion quelconque de 9~n. Posons S t : R S R -1, T ' = R T R -1, B r = (S I, T 1) : R B R - L C o m m e o n s a i t , B r e s t aussi une base de 9~, les deux bases B et B ~ sont ddpendantes et la base B ~ est la t ransform~e de la base B par la subst i tu t ion R de ~I~.

Ddfinition 3. Soit N un ent ier positif et soient B1, B 2 . . . . , B~ des bases du groupe i/In. Nous dirons que ces bases cons t i tuent un syst~me complet de reprdsentants inddpendants des bases de ~tn si quels que soient les indices i e t ~ (1 < i < ] < N), il n 'exis te aucune subst i tu t ion R de ~In, telle que R B t R -~ -~ B~ (ce qui veu t dire que les bases B~ et Bj sont ind6pendantes) et si, pour route base B de 2~, il existe un indice i (1 < i < 57) et une subst i tu t ion R de ~I~, tels que B-= RB~R -~.

Nous donnerons ma in t enan t des crit~res p e r m e t t a n t de reconnal t re toutes les bases des groupes ~I4, ~5, ~Ie e t ~I7 et nous indiquerons, pour chacun de ces groupes, un syst~me complet de reprdsentants ind6pendants des bases de ce groupe.

Types des substitutions du groupe ~ . Soient a~, a 2 . . . . , ak des entiers

positifs, tels que a 1 _> a 2 >_. �9 �9 _> a~ >_ 2 et que a 1 A- a2 ~-" "" �9 a~ _< n , et soit S une subst i tu t ion du groupe ~tn. Nous dirons que la subst i tu t ion S est du t ype a 1 .a 2 . . . . . a~ si elle comprend au to ta l k cycles d 'ordre > 1 et si on peu t ranger ees cycles en une suite C1, C ~ , . . . , C~, tel le que le cycle C tes t d 'ordre at , quel que soit i ----- 1, 2 , . . . , k. Nous d~signerons par 1 la subst i tu t ion ident ique du groupe 92~.

131

T y p e d ' u n couple de substitutions de ~ . Soit S, T u n couple de subst i tutions de 92.. Nous dirons que le couple S, T e s t du type (al.a~ . . . .

f [ f �9 ak, a 1 .a 2 . . . . . ak) si l 'une des subst i tut ions S , T est du type a~ .a 2 . . . . a~ et si l ' aut re est du t ype ~ ~ r �9 a 1 . a 2 . . . . . a k .

Remarque 2. Quel que soit l 'ent ier n ~ 4, toutes les bases de premiere espbce et du genre 1 de m6me que toutes les bases de seconde esp~ce se rdpart issent en couples S, T et S ~, T ~, tels qu'i l existe, pour chacun de ces couples, une subst i tu t ion R de a n - - ~ n satisfaisant les relations R S R -1 = S ~, R T R -1 = T ~. Cette remarque est vra ie aussi pour les syst~mes de reprdsentants inddpendants des bases du groupe 9~ .

Remarque 3. Quelle que soit la base S , T de premiere esp~ce et de genre 2 ou de seconde espbce du groupe ~ . et quelle que soit la relat ion de ]a forme / (S , T) = 1, off / d6signe une composit ion finie d~terminde de S e t de T, on a aussi la relat ion / ( T , S ) = 1.

Remarque 4. Dans les t ab leaux des reprdsentants ind6pendants des b ~ c s des groupes 9~ (i = 4, 5, 6 et 7), nous indiquons pour chaque base S, T de premiere esp~ce et du genre 2 ainsi que pour chaque base de seconde esp~cd, la subst i tu t ion R de a n , tel le que R~-~ 1 et que R S R -1 = T .

G r o u p e 924

Le groupe 9~ a se compose de 8 subst i tut ions du type 3, de 3 subst i tu- t ions du t y p e 2.2 et de la subst i tu t ion identique. I1 poss~de des bases de deux t y p e s : (3,3) et (3,2.2). Les deux critbres suivants pe rme t t en t de discerner tou tes les bases du groupe 9~ 4.

1. La condit ion ndcessaire et suffisante pour que deux subst i tut ions S, T du t y p e 3 const i tuent une base de 9~ 4, c 'est qu'elles soient con- hexes 3).

2. Tou t couple de subst i tut ions du t ype (3,2.2) const i tue une base de 9~ 4 .

Le groupe 9~ 4 poss~de an t ou t 48 bases. 36 de ces bases sont de premiere espbce (il y e n a 24 du genre 1 et 12 du genre 2) e t 12 sont de seconde esp~ce. I1 existe 5 reprdsentants inddpendants de ces bases, dont 3 sont de premiere esp~ce (2 du genre 1 et 1 du genre 2) et 2 sont de seconde esp~ce.

a) V o i r d 6 f i n i t i o n 1, p . 133, Bases, I .

132

Syst~me de repr~sentants ind~pendants des bases du groupe ~14

Bases de premiere espi~ee et du genre 1

Bases du type (3, 2.2)

S T S' T"

(1 2 3) (1 2) (3 4) l) (1 3 2) (1 2) (3 4) 2)

Bases de premiere esp~ce et du genre 2

Bases du type (3, 3)

S T R

(~ 2 3) (~ 2 4) (3 4) 3)

Bases de seconde esp~ee

Bases du type (3, 3)

S T R S' t T' ] R' ]

23) (142) (12 ) (34) 4) ( 1 3 2 ) ] ( 1 2 4 ) 1 ( 1 2 ) ( 3 4 ) ] 5) (1

La base 2) est la transformde de la base 1) par la substitution (1 2) et, de m~me, la base 5) est la transform~e de la base 4) par (1 2).

Nombre de bases du groupe ~4

Type de base

Nombre total de bases d'un

type donn~

Nombre de bases d'un type donn~

qui sont de Nombre total de

repr~sentants ind~pendants

des bases d'un type donn~ premiere esp~ce 2 me

genre 1 ] genre 2 esp~ce

- - 12 12 24

24 12 12

(3 ,3) 24 3 ( 3 , 2 . 2) 24 2

T o t a u x 4 8 5

Nombre de repr~sentants ind~pendants des bases

d'un type donn~ qui sont de

premiere esp~ee 2 me genre 1 I genre 2 esp~ce

-- 1 2 2 - - - -

2 1 2

Remarque 5. Deux substitutions du type 3 de 2[4 ne sont pas toujours connexes, mais, si elles sont connexes, elles constitutent toujours une base de 24. Tout couple de substitutions du type (3,2.2) de ~I4 est con- nexe et il constitue toujours une base de 9~ 4. La condition n~cessaire et, suffisante pour que deux substitutions S, T de 9~ 4 constituent une base de ce groupe, c'est qu'elles soient connexes.

133

Groupe ~I6

Le groupe 9~ 5 se compose de 24 substitutions du type 5, 20 substitutions du type 3, 15 substitutions du type 2.2 et de la substitution 1 ; il possi~de des bases des einq types suivants : (5,5), (5,3), (5,2.2), (3,3) et (3,2.2). Les critbres suivants permettent de diseerner toutes les bases du groupe ~ts.

1. La condition n6cessaire et suffisante pour que deux substitutions S, T du type 5 de 925 constituent une base de ee groupe, c'est que T S ~, i = 1 , 2 , 3 , 4 .

2. Toute substitution S du type 5 de 9~ 5 forme avec toute substitution T du type 3 de 9~5 une base du groupe 925.

3. Quelle que soit la substitution ~l~--(ala2aaa4as) du type 5 de 9ff s, la condition ndeessaire et suffisante pour que S forme avee une substitution T du type 2.2 de ~s une base de 9~5, c'est que T#St(ala~)(a3as)S - t , i - - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .

4. La condition ndcessaire et suffisante pour qu'un couple S, T de substitutions de ~5 de l'un des deux types (5,3) ou (3,2.2) constitue une base du groupe 9~5, c'est que les substitutions S et T soient connexes.

Le groupe ~5 possbde au total 1140 bases, dont 960 sont de premibre esl~ee (840 du genre I e t 120 du genre 2) et 180 sont de seconde espbce. I1 existe 22 repr6sentants ind6pendants de ces bases, dont 16 sont de premi6re espbce (14 du genre 1 et 2 du genre 2) et 6 sont de seconde esp~ee.

Syst~me de r ep r6sen tan t s i ndbpendan t s des bases du groupe ~5

Bases de premiere esp~ee et du genre 1

" Bases du type (5,3)

S T

(1 2 3 4 5) (i 2 3 4 5) (1 2 3 4 5) (1 2 3 4 5)

(1 2 3) (I 3 2) (i 2 4) (i 4 2)

l) 2) 3) 4)

S ' T ~

(1 3 4 5 2) (i 3 4 5 2) (i 3 4 5 2) (i 3 4 5 2)

(1 2 3) (I 3 2) (i 2 4) (I 4 2)

5) 6) 7) s)

134

s

(1 23 4 5) (1 23 45)

Bases du type (5,2.2)

T S '

(12)(34) 9) ( 1 3 4 5 2 ) (13) (24) 10) ( 1 3 4 5 2 )

T"

(12) (34) (14) (23)

ll) 12)


S T S T

(123) (14) (25) 13) (123) (15) (24) 14)

Les bases 5), 6), 7), 8), ll), 12) sont respectivement les transformdes des bases 1), 2), 3), 4), 9), 10) par la substitution (12) et la base 14) est la transform4e de la base 13) par la substitution (45).

Bases de premii~re espbee et du genre 2 Bases du type (5,5)

S T R

( 1 2 3 4 5 ) ( 1 2 3 5 4 ) (45) 15) ( 1 2 3 4 5 ) ( 1 4 5 3 2 ) (13) 16)

Bases de seeonde espi~ee Bases du type (5,5)

S

( 1 2 3 4 5 ) (1 23 45)

T

( 1 3 4 2 5 ) (1 5 2 4 3)

R

(14) (35) (15) (34)

17) 18)

S'

(1 3 4 5 2) ( 1 3 4 5 2 )

T '

( 1 5 2 3 4 ) (1 ~ 3 2 5 )

R '

(2 4) (3 5) (2 5) (3 4)

19) 20)

Bases du type (3,3)

(12 3) (14 ~) (2 4) (3 ~) 21) 2 3) (~ 5 ~) (2 5) (3 4) 22)

Les bases 19) et 20) sont respeetivement les transform6es des bases 17) et 18) par la substitution (1 2) et la base 22) est la transform~e de la base 21) par la substitution (4 5).

135

Nombre de bases du groupe ~5.

Type de base

(5,5) (5,3) (5,2.2) (3,3) (3 ,2 .2 )

~Tombre total de bases d'un

type donn~

240 480 240

60 120

Nombre de bases d 'un type donn~

qui sont de

premiere esp~ce genre 11 genre 2

21he esp~ce

Nombre de reprdsentants inddpendants des bases

d'un type donn~ qui sont de

480 240

120

120

6O

Nombretotal de repr~sentants

tnd~pendants

premiere esp~ce 2 me genre 1 I genre 2 esp~ce

2 120

des bases d'un type donn6

8 4

2

4

2

Totaux I 140 840 120 180 22 14 2 6

Remarque 6. Tout couple S, T de substitutions du type (5,3) de ~s sont connexes et constituent une base de ~5. Si le couple S , T est de l 'un des types (5,5) ou (5,2.2), les substitutions S e t T sont tou]ours connexes, mais elles ne constituent pas toujours une base de ~I~. Enfin, si le couple S, T est de l 'un des types (3,3) ou (3,2.2) S e t T n e sont pas toujours connexes, mais, si elles sont eonnexes, elles constituent toujours une base de 9~ 5 .

Groupe ~[e

Le groupe 92e comprend 144 substitutions du type 5, 90 substitutions du type 4.2, 40 substitutions du type 3.3, 45 substitutions du type 2.2, 40 substitutions du type 3 et la substitution identique.

Le groupe 9~ e poss~de des bases des dix types suivants : (5,5), (5,4.2), (5,3.3), (5,3), (5,2.2), (4.2,4.2), (4.2,3.3), (4.2,3), (4.2,2.2) et (3.3,2.2).

Les crit~res suivants permettent de diseerner toutes les bases de We.

1. La condition n~cessaire et suffisante pour clue deux substitutions S, T du type 5 de 9~ constituent une base de ce groupe, c'est qu'elles soient connexes et que, ala2a3a4asa e d6signant une permutation des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, telle que S = (alaza3a4as), on ait T r St(ala~a6aaa4)JS - i , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ] ~ 1 , 2 , 3 , 4 .

2. Toute substitution S du type 5 de 9~ forme avec toute substitution du type 4.2 de 9~6 une base du groupe 9~ e.

3. La condition n~cessaire et suffisante pour qu'une substitution S = (a~a~a3)(a4asae) du type 3.3 de ~ forme avec une substitution T du type 5 de ~Ie une base du groupe 9~, e'est que T ~- R U R -1, oh U

136

est l'une des quatre substitutions (al a2 a 3 a4 a5) , (al a2 aa a3 as) , (alaaa2asaa), (ala3a5a~a4) et R e s t l'une des 18 substitutions du groupe ~e qui transforment la substitution S en elle-m~me.

4. La condition ndcessaire et suffisante pour qu'une substitution S = (ala2aaaaaa) du type 5 de 9~ e forme avec une substitution T du type 2.2 de ~Ie une base du groupe We, c'est que S e t T soient connexes et que, a e ddsignant le hombre de la suite 1, 2, 3, 4, 5, 6 qui n'est pas permutd par S, on ait T :/: S iUS -i, off U est l'une des deux substitutions (ala3) (a2ae ) , (ala2)(adae) et i ---- 1, 2, 3, 4, 5.

5. Si S, T e s t un couple de substitutions de 9~ e, de l 'un des types (4.2, 4.2), (4.2, 3.3), (4.2,3) ou (4.2, 2.2), la condition ndcessaire et suffisante pour que les deux substitutions S e t T constituent une base du groupe We, c'est qu'elles soient connexes et primitives.

6. Si S, T est un couple de substitutions de 9~ de l 'un des types (5,3) ou (3.3,3), la condition ndcessaire et suffisante pour que S, T soit une base de 9~ e, c'est que les substitutions S et T soient connexes.

Le groupe 9J~ poss~de au total 38 160 bases, dont 36 000 sont de premiere esp~ce (35 280 du genre I et 720 du genre 2) et 2160 sont de seconde espbce. I1 existe 112 repr6sentants ind4pendants de ces bases, dont 100 sont de premibre esp~ce (98 du genre 1 et 2 du genre 2) et 12 sont de seconde espbce.

Syst~me de repr6sentants ind6pendants des bases du groupe ~e

Bases de premii~re espi~ce et du genre 1

Bases du type (5,5)

s T S' T' R

( 1 2 3 ( 1 2 3 ( 1 2 3 ( 1 2 3

( 1 2 3 (123 (123

45) (12 45) (13 4 5) (1 3 4 5) (13

45) (12 45) (12 45) (13

46 3) 264) 4 2 6 ) 6 4 2 )

3 6 4 ) 6 4 3 ) 6 2 4 )

(1 2 3 4 5) ( 1 2 3 4 5 ) ( 1 2 3 4 5 ) ( 1 2 3 4 5 )

( 1 3 4 5 2 ) ( 1 3 4 5 2 ) ( 1 3 4 5 2 )

( 1 2 5 3 6 ) (1 3 2 5 6) (14236) (1 5 2 4 6 )

( 1 3 6 4 2 ) ( 1 6 4 3 2 ) (1 4 2 3 6)

(3 5 6 4) (2 3) (4 5 6) (2 4 3) (5 6) (2 5 6 3)

(12) (1 2) (12)

Dans ce tableau les bases sont r6parties par couples S, T et S', T '. Dans une m~me ligne, la base S r, T ' est la transform6e de la base S, T par la substitution R.

137


S = (12345), T ---- l'une des 18 substitutions (1 a b c) (d e), oh l'ensemble {a, b, c}

= {2,3 ,4} et (de)-----(56) oub ien {a,b,c}-----{2,3,6} et (de) = ( 4 5 ) ou encore {a,b,c}----{2,4,6} et (de)---- (35),

S' -~ ( 1 2 3 4 6 ) , T ' ---- l'une des 18 substitutions (1 a b c)(d e), oh {a, b, c} -- {2, 3, 4}

et ( d e ) = ( 5 6 ) ou bien { a , b , c } = { 2 , 3 , 5 } et ( d e ) = ( 4 6 ) ou encore {a, b, c} = {2, 4, 5} et ( d e ) = ( 3 6 ) .

Les 18 bases S I, T r sont les transform~es des bases S, T par la substitution (5 6).


5 T 5' T' R

(123) (456) (123) (456) (123) (456) (123) (456)

( 1 2 3 4 5 ) (I 2 4 3 5 ) ( 1 3 2 5 4 ) (I 3 5 2 4 )

(I 23)(456) (I 23)(456) (~ 23) (~ 56) (I 23)(456)

( 1 2 4 5 6 ) (14)(25) (36) (16245) (14)(25) (36) ( 1 4 6 5 2 ) (14) (25) (36) (I 4625) (I 4)(25) (36)

Bases du type (5,3) 5 T 5' T' R

(12345) (I 2 3 4 5) (I 2 3 4 5 ) ( 1 2 3 4 5 )

(126) (162) (I 36) (I 63)

( 1 3 2 4 5 3 (I 3245) (I 3 2 4 5 ) (13245)

(I 36) (I 63) (I 26) (I 62)

(23) (23) (23) (23)


5 T 5" T' R

( 1 2 3 4 5 ) ( 1 2 3 4 5 ) ( 1 2 3 4 5 ) ( 12345 )

(I 2)(36) (I 2)(56) (I 3)(46) (13) (56)

( 1 3 4 5 2 ) (13 4 5 2) ( 1 3 4 5 2 ) (13452)

(12) (36) (12) (56) (23) (46) (23) (56)

(12) (I 2) (12) (I 2)

Bases du type (4.2, 4.2)

s T S' T'

(I 234)(56) (I 253)(46) (1234)(56) (I 263)(45) (56) (1234)(56) (I 526)(34) (I 234)(56) (i 625)(34) (56)

138


S T S' T" R

(I 234)(56) (123)(456) (1234)(56) (I 23)(465) (56) (1234)(56) (132)(456) (1234)(56) (132)(465) (56) (1234)(56) (I 52)(346) (I 234)(56) (I 25)(364) (13)(24)(56)

Bases du type (4.2,3)

S T S' T' R

(I 234)(56) (I 25) (I 234)(56) (I 26) (56) (I 234)(56) ( 1 5 2 ) (1234)(56) (I 62) (56) (1234)(56) (156) (I 234)(56) (I 65) (56)


S T S" T' R

(1234) (56) (12) (35) (1234) (56) (12) (36) (56) (1234) (56) (12) (45) (1234) (56) (12) (46) (56)


S T S" T" R

(I 23)(456) ( 1 2 4 ) (123) (456) (145) (14)(25)(36) (I 23)(456) (I 42) (123)(456) (154) (14)(25)(36)

Bases de premibre espbee et du genre 2 Bases du type (5.5)

s } T

(12345) [ ( 1 2 3 4 6 ) (56) (12345) (16432) (14) (23) (56)

Bases de seeonde esp~ee Bases du type (5,5)

S T R S' T' R'

(12345) (12345) (12345) (I 2 345)

(12436) (13 462) (I 4 326) (I 4632)

(34) (5 6) (12) (5 6) (24) (5 6) (13) (5 6)

(13452) (1 3 4 5 2) (13452) (13452)

(14362) (1234:6) (16243) (12463)

(3 4)(5 6) (1 2)(5 6) (1 4)(5 6) (2 3)(5 6)

139

Dans chaque ligne de ce dernier tableau, la base S ~, T ~ est la trans- form6e de S , T par la substitution (1 2).


S T R

( 1 2 3 4 ) ( 5 6 ) ( 1 3 5 2 ) ( 4 6 ) (12)(45) ( 1 2 3 4 ) ( 5 6 ) ( 1 3 2 5 ) ( 4 6 ) (23)(45)

S ' T p

(1234) (56) (1362) (45) (1234) (56 ) (1326) (45)

R '

(1 2) (4 6) (2 2) (4 6)

Dans les deux lignes de ce tableau, la base S', T I est la transformde de S, T par la substitution (5 6).

Nombre de bases de 9.Ie.

Type de base

(5,5) (5,4.2) (5,3.3) (5,3) (5,2.2) ( 4 . 2 , 4 . 2 ) ( 4 . 2 , 3 . 3 ) (4.2, 3) (4.2,2.2)i (3.3,3)

Nombre total

de bases d 'un type

donn~

•ombre de bases d 'un type donn~

qui sont de

premiere esp~ee 2 me esp~ce

Nombre total de repr~sentants ind~pendants des bases d 'un

type donn~

Nombre de repr~sentants ind~pendants des bases

d 'un tYpe donn~ qui sont de

genre 1 [ genre 2

1440

prelnt~re esp~ce I genre 2

720

720

24 36

8 8 8

genre 1

2

:1

7 200 5 040 12 960 12 960

2 880 2 880 2 880 2 880 2 880 2 880 2 160 1 440 2 160 2 160 2 160 2 160 1 440 1 440 1 440 1 440

8 6 6 4 4

14 36

8 8 8 4

2 m e esp~ce

8

4

Totaux 38160 ]35280 720 2160! 112 98 2 12

Remarque 7. Si le couple S, T de substitutions de ~Ie est du type (5,4.2), les substitutions S et T sont toujours connexes et elles constituent toujours une base de ~Ie. Si le couple S, T e s t de l'un des types (5,3) ou (3.3,3), S e t T ne sont pas toujours eonnexes, mais, si elles sont eonnexes, elles constituent toujours une base de ~Ie. Si le couple S, T est de l 'un des types (5,5), (5,3.3), (5,2.2), (4.2, 4.2), (4.2, 3.3), (4.2, 2.2) ou (4.2,3), S e t T ne sont pas toujours connexes et, m~me si elles sont cormexes, elles" ne constituent pas toujours une base de ~[e.

140

Les bases du groupe ~17

Le groupe 27 se compose de 720 substitutions du type 7, de 210 substitutions du type 3 .2 .2 , de 504 substitutions du type 5, de 630 substitutions du type 4.2, de 280 substitutions du type 3.3, de 70 substitutions du type 3, de 105 substitutions du type 2.2 et de la substitution identique 1.

Le troupe 27 poss~de des bases des 24 types suivantes : (7,7), (7,3.2.2), (7,5), (7,4.2), (7,3.3), (7,3), (7,2.2), (3.2.2, 3.2.2), (3.2.2,5), (3.2.2,4.2), (3.2.2,3.3), (3.2.2,3), (3.2.2,2.2), (5,5), (5, 4.2), (5,3.3), (;5,3), (5,2.2), (4.2,4.2), (4.2,3.3), (4.2,3), (4.2,2.2), (3.3,3.3), (3.3,3).

Les crit~res suivants permettent de discerner toutes les bases du ~ o u p e 27.

1. Tout couple S, T de substitutions de 27 de Fun des types (7,3.2.2), (7,5) ou (7,3) constitue une base du groupe 27.

2. La condition ndcessaire et suffisante pour qu'un couple S, T de substitutions de 27 de l'un des types (3.2.2,3.2.2) , (3.2.2,5), (3.2.2,4.2), (3.2.2,3.3), (3.2.2,3), (3.2.2,2.2), (5.5), (5,4.2), (5.3.3), (5,3), (5,2.2), (4.2,3) ou (3.3,3) constitue une base du groupe 27, c'est que les substitutions S et T soient connexes.

3. La condition ndcessaire et suffisante pour qua deux substitutions S e t T du type 7 de 27 constituent, une base de ce groupe, c'est que, ala2a3a4asa6a v d6signant la permutation des nombres 1 ,2 . . . . . 7, telle que S = (aia2a3a4asa6a7), on air T ~ S i ( i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) et T ~ SiUJS -i, 011 U est l'une des deux substitutions (ala2a3a6avasa4), (ala2aaava6a4a~) , j = 1 ,2 , 3, 4, 5 , 6 et i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

4. La condition n6cessaire et suffisante pour qu'une substitution S = (ala2a3aiasa6aT) du type 7 de 27 forme avec une substitution T du type 4.2 de 27 une base du groupe 27, c'est qua T ~= SiUJS -i, off U est l'une des six substitutions (ala2aaas)(a6aT), (ala~asa3)(aaa6), (alaaa2as)(a4aT), . (ala2a3a6)(a4as), (ala2a6aa)(a4a7), (ala3s2a6)(asa7), ] = • et i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 .

5. La condition n6cessaire et suffisante pour qu'une substitution S = (ala2a3)(a4asa6) du type 3.3 de 27 forme avec une substitution T du type 7 de 27 une base du groupe 27, c'est que T = [RUR-1] i, 0~1 U est l 'une des six substitutions (alazaaaaasa6aT), (axa~a3aaaeasaT),

(ala2aaa4a6a7aa), (ala2aaa4aTa~aa), (alaza3ava4aaas), (a,a~ava4asaaa6), R e s t l 'une des 18 substitutions du groupe ~7 qui transforme S en elle- m~me et i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

141

6. La condition n4cessaire et suffisante pour qu'une substitution ~ (a~a~aaa~a~a~a~) du type 7 de ~[~ forme avec une substitution T du

type 2.2 de 9~ une base du groupe ~I~, c'est que T ~ S i U S -~, off U est l 'une des rmuf substitutions (a~a~) (a~aa), (a~a~) (a~a~), (a~a~) (a~a~), (a~a~) (a4a6), (alaa) (a4a~), (a~aa) (a~a~), (a~aa) (aza4), (a~a4) (a~aa), (a~a4)(aza~) et i ---~ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

7. La condition ndcessaire et suffisante pour qu'une substitution S : (a~a~aaaa) (a~a~) (a~) du type 4.2 de ~ forme avec une seconde substitution T du type 4.2 de ~t~ une base de ~I~, c'est que T ~ R U i R -~, off U est l 'une des quatre substitutions (a~aaa~a~) (a~a~), (ala~a~a~) (aaa4), (ala~a~a~)(aaa~) , (a~a~a~a~)(a~a,), i ~- • 1 et R e s t l 'une des huit substitutions du groupe ~ qui transforment S en elle-m~me.

8. La condition n~cessaire et suffisante pour clu'une substitution S ~- (ala2a~)(a4asa6)(a~) du type 3.3 de ~I~ forme avec une substitution T du type 4.2 de ~I~ une base du groupe ~I~, c'est que T ~ R U t R -~, off U est l 'une des neuf substitutions (ala2a~a4)(a~aT), (ala2aaa~)(aea~),

(a'ia2a~a~)(aaa~), (a~a~aaa~)(a~a~), (a~a~a~a~)(a~a~), (a~a~a~a4)(aaaa), (a~a~a~a~)(aaa~), (a~a~aaa~)(aaa,), (a~a~a~aa)(aaa6), i~--=L 1 et R e s t l 'une des 18 substitutions du groupe ~ qui transforment la substitution S e n elle-m~me.

9. La condition n~cessaire et suffisante pour qu'une substitution S ~ (ala~aaa4) (a~ae) (aT) du type 4.2 de ~I~ r o m e avec une substitution T du type 2.2 une base du groupe ~I~, c'est que T -~ R U R -1, off U est l 'une des deux substitutions (alas)(aaa~), (alas)(a6a~) et R e s t l 'une des huit substitutions du groupe ~ qui transforment la substitution S e n elle-m~me.

10. La condition n~cessaire et suffisante pour qu'une substitution S ----- (aladh) (a4asae) (a~) du type 3.3 de ?27 forme avec une seconde substitution T du type 3 .3 de ~I~ une base de !~I~, c'est que T-~ [(a~a~+laj)(a~+la~+2a~] • i d~signant un nombre quelconque de l'un des deux ensembles {1,2, 3} ou {4, 5, 6 } et ] d~signant un nombre quelconque du second de ces deux ensembles.

Le groupe ~t~ poss~le au total 2 308320 bases, dont 2270520 sont de premiere esl~ce (2177 280 du genre 1 et 93 240 du genre 2) et 37 800 sont de seconde esl~ce et il existe 931 repr~sentants ind~pendants de ces bases, dont 901 sont de premiere esp~ce (869 du genre 1 et 37 du genre 2) et 30 sont de seconde esp~ce.

142

Syst~me de repr~sentants ind~pendants des bases du groupe ~7

Bases de premiere esp~ee et du genre 1

Bases du type (7,7) S = ( 1 2 3 4 5 6 7 ) T : l ' u n e ~s lSsub~i tu t ions

(1234675) , (1235764) , (1236574) , (1245736) , (1246375) , ( 1246753) , (1247563) , (1247635) , (1254763) , (1257436) , (1257643) , (1265743) , (1325746) , (1352476) , (1352764) , (1362574) , (1372654) , (1437625) .

S' : ( 1 3 4 5 6 7 2 ) . T ~ = l ' ~ e des 18 sub~itutions (1346752) , (1357642) ,

(1365742) , (1457362) , (1463752) , (1467532) , (1475632) , (1476352) , (1547632) , (1574362) , (1576432) , (1657432) , (1574623) , (1476235) ,

S

T----

(1764235) , (1574236) , (1654237) , (1524376) . Les 18 bases S r, T r sont les transformdes des 18 bases pr~e~dentes S, T par la substitution (12).

( 1234567) . l'une des 14 substitutions (1235746) , (1243675) , (1245376) , (1246735) , (1247365) , ( 1247536) , (1247653) , (1254736) , (1257463) , (1264753) , (1265473) , (1326574) , (1352746) , (1376254) .

S' : (1234567) . T / ~ l ' u n e des 14 substitutions (1236475) , (1243756) ,

(1253476) , (1263745) , (1253764) , (1263574) , (1273654) , (1264375) , (1275364) , (1274635) , (1275436) , (1327546) , (1426375) , ( 1527643) .

Les 14 derni~res bases S I, T ~ sont respectivement les transform~es des 14 bases S, T prdcddentes par les substitutions (4675), (34) (576), (354)(67), (364)(57), (3574), (3674), (374)(56), (3675), (3745), (3756), (376)(45), (23)(476), (246753) , (256473) .

Bases du type (7,3.2.2) S = ( 1 2 3 4 5 6 7 ) .

143

T

0 !

bases

S

T =

S f ___

S =

T =

l'une des 30 substitutions (123)(45)(67), (123)(46)(57), (123)(47)(56), (132)(45)(67), (132)(46)(57), (132)(47)(56), (124)(35)(67), (124)(36)(57), (124)(37)(56), (142)(35)(67), (142)(36)(57), (142)(37)(56), (125)(34)(67), (125)(36)(47), (125)(37)(46), (152)(34)(67), (152)(36)(47), (152)(37)(46), (126)(34)(57), (126)(35)(47), (126)(37)(45), (162)(34)(57), (162)(35)(47), (162)(37)(45), (135)(24)(67), (135)(26)(47), (135)(27)(46), (153)(24)(67), (153)(26)(47), (153)(27)(46), R S R -1, T t = R T R -~ oh R-=--(12) et S , T est l'une des 30 pr6cddentes.

Bases du type (7,5) (1234567) . l'une des 72 substitutions (1 a b e d), oll a b c d est une permutation quelconque de l'un des trois groupes de hombres 2, 3, 4, 5 ; 2, 3, 4, 6 ou 2, 3, 5, 6.

R S R -1, T I -= R T R -1 oh bases prdcddentes.

(1234567) . l'une des 78 substitutions (1324)(56), (1 2 3 4) (5 7), (1423) (57), (1 3 2 4) (6 7), (1235)(46), (1 2 3 5) (4 7), (1253) (67), (1 2 3 6) (4 7), (1 2 3 6) (5 7), (1 2 6 3) (4 5), (1245)(36), (1524)(36), (1425)(37), (1245)(67), (1524)(67), (1426) (35), (1246) (37), (1624) (37), (1426) (57),

R~- (12) et S , T est l'une des 72

(1234)(56), (1243)(56), (1342)(56), (1423)(56), (1432)(56), (1243)(57), (1324)(57), (1342)(57). (1432)(57), (1234)(67), (1243)(67), (1342)(67), (1423)(67), (1432)(67), (1325)(46), (1523)(46), (1532)(46), (1253)(47), (1352)(47), (1532)(47), (1325)(67), (1352)(67), (1523) (67), (1326)(47), (1623)(47), (1632)(47), (1263)(57), (1362)(57), (1632)(57), (1326)(45), (1362)(45), (1623)(45), (1254)(36), (1425)(36), (1452)(36), (1542)(36), (1245)(37), (1254)(37), (1452) (37), (1524) (37), (1542)(37), (1254)(67), (1425)(67), (1452)(67), (1542)(67), (1246)(35), (1264)(35), (1462)(35), (1624)(35), (1642)(35), (1264)(37), (1426)(37), (1462)(37), (1642)(37), (1246)(57), (1264)(57), (1462)(57), {1624)(57), (1642)(57).

144

S ~ - R S R -1, T ' - ~ R T R -1 oh R - - ( 1 2 ) et S , T est l'une des 78 bases pr6c6dentes.

Bases du type (7,3.3) s = ( 1 2 3 ) ( 4 5 6 ) . T : l ' u n e des 26 substitutions ( 1 2 3 4 5 6 7 ) t, ( 1 2 3 4 6 7 5 ) t,

( 1 2 3 4 7 6 5 ) i, ( 1 2 3 4 6 5 7 ) t , ( 1 2 3 7 4 6 5 ) t , ( 1 2 6 3 4 5 7 ) k, i - - - - -1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ; j - - 1 , 2 , 3 ; k : l , 6 .

S t = R S R - ' , T t : R T R -1, oh R - - ( 1 4 ) ( 2 5 ) ( 3 6 ) et S , T est l 'une des 26 bases pr6c6dentes.

Bases du type (7,3) S -~ ( 1 2 a 4 5 6 7 ) . T ~- l 'unedes 10substitutions (123), {132), (124), (142), (125),

(152), (126), (162), (135), (153). S 1--- R S R -1, T t - ~ R T R -1, off R ~ - ( 1 2 ) et S , T est l'une des dix

bases prdc~dentes.

Bases du type (7,2.2) S = ( 1 2 3 4 5 6 7 ) . T : l'une des neuf substitutions (12) (34), (12) (37), (12) (45),

(12) (46), (13) (46), (13) (47), (13) (24), (14)(25), (14) (26). S t - ~ R S R -1, T ~-~ R T R -1, off R = ( 1 2 ) et S , T e s t l ' unedesneu f

bases pr6c~dentes.

Bases du type (3.2.2,3.2.2)

S : (123) (45) (67) , T----- (146)(23){57) . S' : S , T t : (156) (23) (47) .

La base S t, T f e s t la transform~e de S, T par la substitution (45).

S

T - ~

S t _~_

Bases du type (3.2.2,5) (123) (45) (67). l'une des 19 substitutions (1 2 3 4 6), (1 2 4 3 6), ( 14326) , (16432) , ( 1 2 4 5 6 ) , (12465) , (12645) , ( 1 4 2 5 6 ) , ( 14265) , (14526) , (14562) , (14625) , ( 14652) , ( 16245) , ( 16425) , (16452) , (14567) , (14657) , ( 14675) . R S R -1, Tt : R T R -1, off R-----(45) et S , T bases pr~e~dentes.

est l'une des 19

l 0 Commentarii Mathematici Helvetici 1 4 5

S

T----

Bases du type (3.2.2, 4.2) (123) (45) (67). l'une des 23 substitutions (1246) ~35), (1426) (35), (1462) (35) , (1450)(23), (1465)(23), (1645)(23), (1246) (37) , (1426) (37) , (1462) (37) , (1456) (27) , (1465) (27) , (1645) (27) , (1246) (57) , (1426) (57) , (1462) (57) , (1456) (37) , (1465) (37) , (1645) (37) , (1234) (56) , (1324) (56) , (1245) (36) , (1425) (36) , (1452) (36).

S T

R S R -1, T'--~ R T R -1, oh R---- (4 5) et S , T est l'une des 23 bases pr&~dentes.

Bases du type (3.2.2,3.3)

(12 4) (356), (124) (367), (145) (267),

: (123) (45) (67) .

= l'une des onze substitutions (124) (365) , (142) (365) , (124)(567), (142)(567), (16 4) (257).

(142)(3 56), (142) (367), (146) (25 7),

S ' = R S R -1, T ' = R T R -1, off R----(45) et S , T es t l ' unedesonze bases pr~c~dentes.

Bases du type (3.2.2, 3)

S = (123) (45) (67) , T-~-- (146). S' ---- (123) (45) (67) , T'---- (156).

La base S ~, T ~ est la transform~e de S, T pax la substitution (45).

Bases du type (3.2.2, 2.2).

-~- (123) (45) (67) , T-~-- (14) (26) ou (14)(56). S r = R S R -1, T I ~ R T R -1, oh R = ( 4 5 ) et S , T es t l ' unedesdeux

bases prdc~dentes.

Bases du type (5,5) S = ( 1 2 3 4 5 ) .

T = l'une des huit substitutions (1 2 6 3 7), (1 2 6 7 3), (13627) , ( 1 6 2 3 7 ) , (16273) , (16327) , ( 1 6 3 7 2 ) , (16247) .

S t = R S R - i , T I = R T R -1, off R ---- (6 7) et S , T est l'une des huit bases pr&$dentes.

146

Bases du type (5,4.2) S ---~ (I 234) (56) . T - - l 'une des 42 substitutions ( l a b c d ) , (12567) , (12576) ,

(12756) , ( 15267) , (15276) , (15627) , ( 1 5 6 7 2 ) , ( 15726) , (15762) , (17256) , (17526) , (17562) , ( 13567) , (13576) , (15376) , (15637) , (15736) , (17563) , oh abcd est une permutation queleonque des hombres 2, 3, 5, 7.

S' ~- R S R -1, T ' ~ R T R -1, off R = (56) et S, T e s t l'une des 42 bases pr~c6dentes.

Bases du type {5,3.3) s = (123) (456). T ~- l 'une des 20 substitutions (12347) , (12374) ,

( 1 2 4 3 7 ) , (12734) , (13247) , ( 1 3 2 7 4 ) , (13427) , (13724) , ( 12457) , ( 12475) , (12547) , ( 12574) , ( 12754) , (14725) , ( 14752) , ( 15247) , (15274) , (15427) , (15472) , (15724) .

S'------RSR -~, T ' = R T R - ' , off R----(14)(25)(36) et S , T estl 'une des 20 bases pr~c~dentes.

Bases du type (5,3)

S - - ( 1 2 3 4 5 ) , T - ~ ( 1 6 7 ) . S ' : S, T ' = ( 1 7 6 ) .

La base S ' T' est la transform~e de la base S, T par la substitution (67).


S ---- ( 12345) , T = (16)(27) ou (16)(37). S' -----RSR -1, T ' = R T R -1, off R-----(67) et S , T est l 'une des deux

bases pr~c~dentes.

Bases du type (4.2, 4.2) S ----- (1234) (56 ) . T ---~ l'une, des 22 substitutions

(1253) (67) , (153 2) (67), (1257) (34), (1275) (36), (1725)(46) ,

(1325) (67) , (1526) (37) , ( 1275 ) (34), (15 27) (36), (1576) (23),

(1523) (47), (1352) (67) , (1526) (47) , (1572) (34), (1725) (36), (1756) (23) ,

(1235) (67), (1523)(67) , (1536) (27), (1752) (34), (1527) (46), (1756) (24).

147

S ' = R S R -1, T I = R T R -1, bases pr6c6dentes.


T-----

oh R = (56) et S , T est l'une des 22

(I 23)(456). l'une des 18 substitutions (I 234)(67), (1432)(67), (I 2 7 4 ) ( 3 5 ) , (1472)(35), ( 1 2 4 7 ) ( 3 6 ) , ( 1 7 4 2 ) ( 3 6 ) , ( 1 2 4 7 ) ( 5 6 ) , ( 1 7 4 2 ) ( 5 6 ) ,

S ' = R S R -1, T I = des 18 bases

( 1 2 3 4 ) ( 5 7 ) , ( 1 4 3 2 ) ( 5 7 ) , ( 1 2 4 5 ) ( 3 7 ) , ( 1 5 4 2 ) ( 3 7 ) , ( 1 4 2 7 ) ( 3 5 ) , ( 1 7 2 4 ) ( 3 5 ) , (1724)(36), (1427)(36), ( 1 2 7 4 ) (56), ( 1 4 7 2 ) ( 5 6).

R T R -1, off R = ( 1 4 ) ( 2 5 ) ( 3 6 ) et S , T es t l 'une pr6c6dentes.


S = ( 1 2 3 4 ) (56), T -- (157) ~1. S ' = S , T I - - ( 1 6 7 ) • .

Les deux bases S', T ' sont les transform6es des deux bases pr6c6dentes S, T par la substitution (56).

Bases du type (4.2,2.2)

S -- ( 1 2 3 4 ) ( 5 6 ) , T---~ (15)(37) ou (15)(67). S ' ----S, T ' ~- (16)(37) ou (16)(57).

Les deux bases W, T r sont les transform6es des deux bases S, T par (5 6).


S -- (12 3) (4 5 6), T - - ( 1 4 7 ) .

S ' - - S , T ' - ~ (174).

La base S', T ' est la transform6e de S, T par la substitution (I 4) (25) (36).

Bases de premibre espi~ce et du genre 2

Bases du type (7,7) S = ( 1 2 3 4 5 6 7 ) . T ~ l'une ~ s 17 subst~utions

( 1 2 3 5 6 7 4 ) , ( 1 2 3 7 5 6 4 ) , ( 1 2 6 7 5 4 3 ) , ( 1 2 7 5 6 4 3 ) , ( 1 3 2 7 6 5 4 ) , ( 1 3 6 2 4 7 5 ) , ( 1 3 7 6 4 2 5 ) , ( 1 3 7 6 5 4 2 ) ,

( 1 2 3 4 5 7 6 ) , (1257634), ( 1 3 2 5 4 7 6 ) , ( 1 3 6 2 7 5 4 ) , ( 1 4 3 7 6 5 2 ) .

( 1 2 3 4 7 6 5 ) , (1265734), ( 1 3 2 5 7 6 4 ) , ( 1 3 6 5 7 4 2 ) ,

148

Les substitutions R correspondant s ces 17 bases et telles que R 2 = 1 et R S R - ' = T sont respectivement (67), (57), (15) (26) (37), (47), (13) (24) (67), (13) (24) (56), (16) (27) (35), (I 5) (26) (34), (23) (45) (67), (15) (36) (27), (23) (47) (56), (14) (35) (27), (16) (37) (45), (16) (37) (25), (14) (35) (67), (12) (47) (56), (12) (34) (57).

Bases du type (3.2.2,3.2.2)

S ---- ( 1 2 3 ) ( 4 5 ) ( 6 7 ) .

T -- l'une des trois substitutions (146) (27) (35), (142) (36) (57), (456) (I 2) (37).

Les substitutions R correspondant s ces tros bases et telles que R 2 = 1 et RSR-'---- T sont respectivement (24) (36) (57), (12) (34) (56) et (14) (25) (36).

S = ( 1 2 3 4 5 ) .

T ---- l'une des (I 4627),

Bases du type (5,5)

six substitutions ( 1 3 2 6 7 ) , ( 1 3 6 7 2 ) , ( 1 6 7 3 2 ) , ( 1 6 4 2 7 ) , ( 1 6 4 7 2 ) .

Les substitutions correspondantes R du second ordre qui transforment chacune de ces six bases en elle-m6me sont respectivement (23) (46) (57), (12)(46) (57), (13)(46)(57) , (24) (36) (57), (14 ) (56) (37) et (12) (36) (57).

Bases du type (4.2, 4.2) S ----- ( 1 2 3 4 ) ( 5 6 ) .

T ----l'une des 9 substitutions (13 25)(47) , ( 1 3 5 2 ) ( 4 7 ) , ( 1 5 3 2 ) ( 4 7 ) , ( 1 5 7 2 ) ( 3 6 ) , ( 1 7 5 2 ) ( 4 6 ) , ( 1 5 3 7 ) (46), ( 1 5 6 7 ) ( 2 3 ) , ( 1 5 7 6 ) ( 2 4 ) , ( 1 7 5 6 ) ( 3 4 ) .

Les substitutions R correspondant s ces 9 bases et telles que R 2 ~- 1 et R S R -~-- T sont respectivement (23) (45) (67), (12) (45) (67), (13) (45)(67) , (12) (35) (47) , (12) (37) (45) , (13) (27) (45) , (25) (36) (47), (25) (46) (37), (27) (35) (46).

Bases du type (3.3, 3.3) S --~-- (I 23) (456).

T ---- l 'une des deux substitutions (124) (567), (142) (576).

Les substitutions correspondantes R, telles que R~-- - 1, R S R - I ~ - T sont respectivement (15) (26) (37) et (16) (25) (37).

149

Bases de seeonde esp~ee

Bases du type (7,7) S = ( 1 2 3 4 5 6 7 ) .

T = l ' t m e des 9 substitutions ( 1 2 3 5 4 7 6 ) . ( 1 2 3 6 7 4 5 ) , ( 1 2 3 7 6 5 4 ) , ( 1 2 4 3 5 7 6 ) , ( 1 2 6 7 4 5 3 ) , ( 1 2 7 6 5 4 3 ) , ( 1 3 2 4 7 6 5 ) , ( 1 3 7 5 2 6 4 ) , ( 1 4 3 2 7 6 5 ) .

S' =RxSR-{I', T '---RxTR~, 1, off R,----- (12) et S , T est l ' tmedes9 bases prdeddentes.

Les substitutions R correspondant aux neuf bases S, T, telles que R ~ = 1 et RSR -~-~ T sont respectivement (45) (67), (46) (57), (47) (56), (34) (67), (14)(25), (37) (46), (23) (57), (15) (36), (24) (57).

Bases du type (3.2.2, 3.2.2)

S ---~ (123)(45) (67) .

T = l'une des deux substitutions (146) (25) (37), (124) (36) (57).

S 1~- RISR~I 1, T ' = RxTR-I"~', oh R , = (45) et S , T est l'une des deux bases prdcddentes.

Les substitutions R correspondant aux deux bases S, T et telles que R 2 = 1 et RSR-~-----T sont respectivement (24) (36) et (34) (56)"

Bases du type (5,5) S = ( 1 2 3 4 5 ) .

T - - l 'une des deux substitutions ( 1 2 3 6 7 ) ou (12647) .

S ~ = R 1 S R [ 1, T'-~R1TR-i-11, off R 1 = ( 6 7 ) et S , T est l 'unedes deux bases pr~c~dentes.

Les substitutions R correspondant aux deux bases S, T et telles que R 2 ~- 1 et RSR -~--- T sont respectivement (46) (57) et (36) (57).

Bases du type (4.2, 4.2) S = (1234 ) (56 ) .

T ---- l'une des deux substitutions (1235) (47), (1537) (26).

S' ----R1SR~ 1, T'-----RITR~ ~, off R 1 = ( 5 6 ) et S , T est l 'unedes deux bases pr6c6dentes.

Les substitutions R eorrespondant aux deux bases S, T et relies que R2-- - 1 et RSR-I~- T sont respectivement (45) (67) et (46) (57).

150

N o m b r e d e b a s e s d u g r o u p e ~I~

Type de base

(7,7) (7 ,3 .2 .2) (7,5) ( 7 , 4 . 2 )

(7,3.3) (7,3) (7,2.2) (3.2.2,3.2.2) (3.2.2,5) (3.2.2,4.2) (3.2.2,3.3) (3.2.2,3) (3.2.2,2.2) (5,5) (5,4.2) (5,3.3) (5,3) (5,2.2) (4.2,4.2) (4.2,3.3) (4.2,3) (4.2,2.2) (3.3,3.3) (3.3,3)

Nombre total

de bases d'un type

donn6

226800 151200 362880 393120 131040

50400 45360 17640 95760

115920 55440

5040 10080 60480

211680 100800

504O 10080

138600 90720 10080 10080

5040 5040

Nombre de bases d'un type donn~

qui sont de

premiere esp~ce 2 me genre 1 I genre 2 esp~ee

Nombre total de repr6sentants

ind~pendants

Nombre de repr4sentants ind~pendants des bases

d' tm type donn6 qul sont de

des bases d'un type donn~ premiere esp~ce

genre 1 I genre 2

64 17

60 - -

144 - -

156 - -

52 - -

20 - -

18 - -

2 3

38 - -

46 - -

22 - -

2 - -

4 - -

16 6

84 - -

4 0 . - -

2 - -

4

44

36

4

4

2

864

226801 99

- - 60

- - 144

156

52

20

18

50401 9

- - 38

- - 4 6

- - 2 2

- - 2

- - 4

5040 26

- - 84

- - 4 0

- - 2

- - 4

5040 57 - - 36 - - 4

- - 4

- - 2

2

161280 42840 151200 -- I 362 880 i - - 393 120 - -

1 3 1 0 4 0 - -

50400 - -

45 360 - -

5 040 7 560 99 760

115920 55 440

5 040 -- 10080 - -

4 0 3 2 0 1 5 1 2 0

2 1 1 6 8 0 - -

100800 - -

5040 - -

10080 -- 110880 22680

90 720 -- 10080 -- 10080 -- - - 5 040 5040 - -

9

. _ ,

2 m e

espbes

18

4

4

4

Totaux 2308320 2177280 93240] 37800 931 37 30

Remarque 8. Si le couple S, T de subst i tu t ions de 2 , est de l 'un des types (7,3.2.2) , (7,5), (7,3), les subst i tut ions S et T sont toujours connexes et elles cons t i tuen t toujours une base de ~ , .

Si le couple S,T est de l 'un des types (3 .2 .2 ,3 .2 .2 ) , (3 .2 .2 ,5) , (3 .2 .2 ,4 .2 ) , (3 .2 .2 ,3 .3 ) , (3.2.2,3) , (3 .2 .2 ,2 .2 ) , (5,5), (5,4.2), (5,3.3), (5,3), (5,2.2), (4.2,3) ou (3.3,3), les subst i tut ions S e t T n e sont pas toujours connexes, mais, si elles sont connexes, elles const i tuent toujours une base de ~[7.

151

Si le couple S, T e s t de l 'un des types (7,7), (7,4.2), (7,3.3), (7,2.2), les substitutions S e t T, bien que toujours connexes, ne constituent pas toujours une base de 92~.

Enfin, si le couple S , T est de l 'un des types (4.2,4.2), (4.2,3.3), (4.2,2.2), (3.3,3.3), S e t T n e sont pas toujours connexes et, m~me si elles sont connexes, elles ne constituent pas toujours une base de ~ .

[}roupe

T a b l e a u r6ea ~itulatif des n o m b r e s de b a s e s des g r o u p e s ~I4, 9~5, ~I e e t ~I v

Nombre total de bases

Nombre de bases de

premiere esp~ce genre 1 I genre 2

seconde esp~ce

Nombre Nombre de repr~sentants de reprO- ind~pendants de sentants ind~pen- premiere esp~ce I seeonde

dants des bases genre 1 I genre 2 1 esp~ee

~I4 48 24 12 12 5 2 1 2

~I 5 1 140 840 120 180 22 14 2 6

~I~ 3 8 1 6 0 35280 720 2160 112 98 2 12

~Iv 2 3 0 8 3 2 0 2 1 7 7 2 8 0 93240 37 800 931 864 37 30

(Re~u le 30 juin 1948.)

152

Documents

Sur les bases du groupe alterné