Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique

Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique MathématiqueAuthor(s): H. PoincaréSource: American Journal of Mathematics, Vol. 12, No. 3 (Mar., 1890), pp. 211-294Published by: The Johns Hopkins University PressStable URL: http://www.jstor.org/stable/2369620 .

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Sur les Eqtuations aux Derivees Partietles de la Physique Mathe'matique.

PAR H. POINCARE.

Quand on envisage les divers problemes de Calcul Integral qui se posent naturellement lorsqu'on veut approfondir les parties les plus difThrentes de la Physique, il est impossible de n'etre pas frappe des analogies que tous ces problemes presentent entre eux. Qu'il s'agisse de I'electricite statique ou dynamiquie, de la propagatioin de la chaleur, de l'optique, de l'elasticite, de 1'hydrodynanlique, on est toujours conduit a des egquations diff-6rentielles de mreme famille et les conditions aux limites, quoique diff6rentes, ne sont pas pourtant sans offrir quelques resemblances. Nous ne citerons ici que quelques exemples.

J'imagine d'abord que l'on se propose de trouver la temperature finale d'un corps solide conducteur, homnogene et isotrope, lorsque les divers -points de la surface de ce corps sont maintenus artificiellement a des temperatures donnees.

Ce probleme traduit dans le langage analytique s'enonce coinme il suit: Trouver une fonction V qui dans une portion de 1'espace satisfasse a l'equa-

tion de Laplace, V=d2V d2 V d2 V

dx2 + dy2 + dz2

et qui prenne des valeurs donnees aux divers points de la surface qui limite cet espace.

C'est le probPlme de Dirichlet. Supposons maintenant que l'on cherche quelle est la distribution de 1'elec-

tricite statique a la surface d'un conducteur donne; nous retrouverons le mreme probleme analytique.

I1 s'agit -de trouver une fonction V qui satisfasse a l'equation de Laplace dans tout 1'espace exterieur au conducteuir et qui se reduise a 0 a l'infini et a 1 a la surface au conducteur.

28



212 POINCARE: Sur les Equations aux Derivees

C'est un cas particulier du probl'me de Dirichlet, mais on connait un moyen (par les fonctions de Green) de ramiener le cas general a ce cas particulier.

Les deux problemes, absolument diff6rents au point de vue physique, sont identiques au point de vue analytique.

D'autres analogies, quoique moins completes, sont cependant evidentes. Nous citerons d'abord le problerme suivant; un liquide est contenu danis un

vase qu'il remplit completement; divers corps solides mobiles sont plonges dans ce liquide; on connailt les mouvements de ces corps et on suppose qu'il y a une fonction des vitesses; on demande quel est le mnouvement du liquide.

C'est la le probleme des spheres pulsantes de M. Bjerknes (imitation hydrodynamique des phenomenes electriques).

Au point de vue analytique, il s'agit de trouver une fonction V qui satisfasse a l'equation de Laplace a l'interieur, d'un certain espace et telle que sur la

surface qui limite cet espace la deriv6ee d- ait des valeurs donnees.

Je rappelle quel est le sens de cette notation dV dont il sera fait un frequent

usage dans la suite. Soit un element de surface quelconque; et a , ty les trois cosilnus directeurs de la normale 'a cet element; nous posons:

dV dV dV dV dn- d x dy +'Ydz

Ainsi dans le probleme hydrodynamique, nous retrouvons la meme equation differentielle que dans les problemes thermique et electrique; les conditions aux limites seules diff6rent. II en sera encore de melme dans le probleme de l'induction magnetique.

Supposons un ou plusieurs aimants permanents mis en presence d'un corps magnetique parfaitement doux M. I1 s'agit de trouver une fonction V (le potentiel magnetique) qui satisfait 'a l'equation de Laplace dans toute la portion de l'espace qui n'est pas occupee par des aimants permanents et qui est assujettie en outre aux conditions suivantes. Aux divers points oiu il y a du magnetisme permanent, AV n'est pas nul, mais peut etre regarde coinme donne. La fonction V est continue dans tout l'espace; ses derivees sont continues a l'iDte6rieur du corps M et a l'exterieur- de ce corps, mais elles sont discontinues 'a la surface du corps M. Dans le voisinage de cette surface,

edV aura donc deux valeurs diff6rentes selon qu'on se placera a l'interieur



Partielles de la Physique Mathe6rnatique. 213

ou a l'exterieur da corps M; mais le rapport de ces deux valeurs sera une constante donnee.

Ici encore, nous retrouvons la mneme equation differentielle, avec des conditions aux limites analogues quoique diff6rentes.

Voici mnaintenant des cas oii l'6quation diff6rentielle est legerement modifiee. Supposons que l'on cherche la loi du refroidissement d'un corps solide isole

dans l'espace. I1 s'agira de trouver une fonction V satisfaisant a l'equation

dV kA V, dt

et qui de plus est donnee pour t = . :Enfin a la surface du corps le rapport de dV Va est donnee. dn Dans les problemes d'optique, on a trois fonctions inconnues it V, w et

quatre 6quations:

d2u d2v d2w du dv dw d 2 A, dt2 -kAv dt2 --W , dx + dy + dz - .

Les conditions aux limites varient suivant les problemes; mais dans les questions de diffraction principalement elles ne sont pas sans analogie avec celles que nous avons rencontrees jusqu'ici.

Ce sont encore les m'enes equations, avec des conditions aux limites analogues, quoique differentes, que l'on rencontre dans le probleme de la viscosite des liquides, trait6 d'apres des idees de Navier. Les recents travaux de M. Couette ont rappele l'attention sur cette question, qui 6tait tombee dans un injuste oubli, malgr6 le beau chapitre que Kirchhoff y avait consacre dans sa Physique Mathematique.

La theorie de l'6lasticite nous offre des 6quations plus compliquees, mais qui ne diff6rent pas beaucoup des pr6cedentes.

On a encore trois fonctions inconnues u, v, w, auxquelles j'adjoindrai la

fonction auxiliaire 0 = du + dv+ dcw et trois equations dont la premiere s'ecrit: dx +dy + z

Au + X dO = O

Je n'ecris pas les conditions aux limites tout 'a fait analogues, mutatis mutandi-s, a celles des problnemes precedents et je passe immeudiatement a une question tres



214 POINCARE': Sur les Equations ax. Derives

importante en hydrodynamique et qui consiste a trouver les composantes de la vitesse en tous les points d'un liquide quand on connalt les composantes du tour- billon en tous les points de ce meme liquide. Ce probleme au point de vue analytique s'enonce comme il suit:

Connaissant trois fonctions Oa, , r, trouver trois fonctions inconnues u, v, w, qui satisfont a certaines conditions aux limites et de plus aux equations

dw dv du dwv dv du du dv dw

a dy dz' dz dx ddy dx dy+dz+ (1)

L'analogie avec les problemes precedents ne parait pas d'abord evidente, mais elle le devient si on observe que les trois premieres equations (1) peuvent (en vertu de la quatriReme) etre rernplacees par trois autres dont la premiere s'ecrit.

Au= df3 dy, dz dy

et dont des autres peuvent s'ecrire par sym6trie. Je pourrais montrer aussi, si je ne craignais de fatiguer l'attention par de

trop nombreux exemples, que presque toutes les questions, encore mal etudiees, relatives a l'induction electrodynamique dans des conducteurs non lineaires se ramenent a des problemes analogtues' aux precedents et surtout 'a la derniere question d'hydrodynamique que je viens de nentionner.

Cette revue rapide des diverses parties de la Physique Mathematique nous a convaincus que tous ces problemes, malgre l'extreme variete des conditions aux limites et meme des equations diff6rentielles, ont, pour- ainsi dire, un certain air de famille qu'il est impossible de meconnaitre. On doit donc s'attendre a leur trouver un tres grand-nombre de proprietes communes.

Malheureusement la premiere des proprietes communes a tous ces problemes, c'est leur extr'eme difficulte. Non seulement on ne peut le plus souvent les resoudre completement, mais ce n'est qu'au prix des plus grands efforts qu'on peut en demontrer rigoureusement la possibilite.

Cette demonstration est-elle necessaire ? La pliipart des physiciens en feraient bon marche. L'experience ne permettant pas de douter, par exemple, de la possibilit6 de l'equilibre electrique, on ne peut douter, non plus semble-t-il, de la possibilite des equations qui expriinent cet equilibre. Nous ne sauirions nous contenter de cette defaite; l'analyse doit pouvoir se suffire a elle-meme et d'ailleurs un pareil raisonnement, n'il s'applique peut-etre aux p-roblemes que



Partielles de la Phystque Mathelmatique. 215

l'on rencontre directement en Physique, ne saurait s'appliquer de meme a une foule de problemes plus simples, qui se posent d'eux memes des qu'on cherche a resoudre les premiers. En outre toute denmonstration rigoureuse de la possibilite d'un probleme en est toujours une solution; dans le cas qui nous occupe, cette solution sera generalemnent grossiere et tout a fait impropre au calcul numerique; cependant elle nous enseignera toujours quelque chose.

Maintenant si cette dnemonstration est necessaire, devons-nous pourtant nous astreindre a la Meme rigueur que dang une question d'analyse pure ? Ce serait dans beaucoup de cas un pedantisme bien inutile. Les equations diff6rentielles auxquelles obeissent les phenomn nes physiques n'ont ete souvent etablies que par des raisonnements peu rigoureux; on ne les regarde que comme des approximation; les resultats experimentaux, auxquels il s'agit de comparer les conse- quences de la theorie, sont eux-memes approximatifs. Dans ces conditions, la rigueur absolue est de peu de prix, et il semble souvent qu'il n'y a pas lieu de la rechercher si on doit la payer de trops d'efforts.

Mais alors comment reconnaitra-t-on qu'on raisonnemnent dont la rigueur n'est pas absolue, n'est pas un simple paralogisme ? Quand aura-t-on le droit de dire que telle demonstration, insuffisante pour l'Analyse, est assez rigoureuse pour la Physique? La limnite est bien difficile a tracer. J'essayerai pourtant de le faire; je m'efforcerai de marquer nettement cette frontiere et d'expliquer pourquoi en depa on est encore dains le domaine de la science, et au dela dans celui du paralogisme.

Neanmoins toutes les fois que je le pourrai, je viserai a la rigueur absolue et cela pour deux raisons; en premier lieu, il est toujours dur pour un geometre d'aborder un probleme sans le resoudre comple'tement; en second lieu, les equations que j'etudierai sont susceptibles, noin seulement d'applications physiques, mais encore d'applications analytiques. C'est sur la possibilite du probleme de Dirichlet que Riemann a fonde sa magnifique theorie des fonctions abelienne. Depuis d'autres geom&tres ont fait d'importantes applications de ce m6eme principe aux parties les plus fondamentales de l'Analyse pure. Est-il encore permis de se contenter d'une demi-rigueu-r ? Et qui nous dit que les autres problemes de la Physique Mathematique ne seront pas un jour, comme I'a dejea ete le plus simple d'entre eux appeles a jouer en Analyse un role considerable ?



216 POINCARE: Sur les Equations aux D6riv6e8

?1.-Probleme de Dirichlet.

Le Probleme de Dirichlet enonce plus haut est toujours possible; ce principe est connu sous le nom de principe de Dirichlet et la premiere demonstration est due a Riemann. Si une fonction Vest assujettie a prendre des valeurs donnees aux divers points d'une certaine surface, limitant un certain volumne o'i le fonction et ses d6rivees sont continues, l'integrale triple:

fff[(~D2+ (dV)2+ (d)2] dxdy dz

ne peut s'annuler; elle admet donc un certain minimum et il est aise de verifier que ce minimum correspond au cas oiu la fonction V satisfait a 1'equation de Laplace. Cette demonstration, qui est a peu de chose prbs elle de Riemann n'est pas rigoureuse car elle est soumise a toutes les objections relatives a la con- tinuite des fonctions definies par le calcul des variations.

Aussi un tres grand nombre de geometres se sont-ils preoccupes d'etablir plus solidement ce principe; je citerai en premiere ligne les recherches de M. Schwarz (dans le programme de l'Ecole Polytechnique de Zurich 1869 et dans les Monatsberichte de l'Academie de Berlin 1870) bien qu'elles se rapportent plus particuli'erement au cas de deux variables et ne puissent pas toujours s'etendre sans modification au cas qui nous occupe.

M. Neumann a donne de son cote une mnethode generale qui permet de resoudre completement le probleme, si la surface oiu la fonction V prend des valeurs donnees- est convexe. Il resout donc le probleme de la distribution electrique dans le cas d'un conducteur convexe.

La methode de M. Robin ne s'applique egalement qu'aux conducteurs convexes. Toutefois il y a un certain nombre de inethodes plus ou moins compliquees connues sous le nonm de metthodes alternantes et qui permettent d'etendre les resultats au cas d'un conducteur de forme quelconque ou de plusieurs conducteurs isoles.

Le probleme de Dirichlet se ramAne a la recherche des fonctions de Green. Soit a trouver une fonction V qui a l'interieur d'une surface S satisfasse a

l'6quation de Laplace et sur cette surface prenne des valeurs donnees. Supposons qu'on ait trouve une fonction U qui soit finie, qui satisfasse a

l'equation AU= 0, continue a l'interieur de S sauf au point (a, b, c) inlterieur a S oiu la fonction U sera infinie, de telle fapon que la diff6rence

U- 1

/(x - a)2 + (y - b)2 + (z )



Partielles de la Physique Jlathe6matiqwe. 217

soit finie. Pour achever de definir la fonction U nous l'assujettirons a s'annuler en tous les points de S. On voit alors que la valeur de V au point a, b, c est egale a l'integrale

47t etendue a tous les 61meirents do de S.

Donc quand on saura trouver les fonctions de Green, on saura resoudre le probleme de Dirichlet.

D'autre part la recherche des fonctions de Green se ramene, a l'aide de la transformation par rayons vecteurs r6ciproques, aiu probleme de la distribution 6lectrostatique a la surface d'un conducteur.

Ce probleme de la distribution 6lectrostatique n'est qu'un cas particulier du probleme de Dirichlet, et cependant nous voyons que le cas general s'y ramene. La methode alternante de Murphy permet d'ailleurs de ramener le probleme de la distribution a la surface de plusieurs conducteurs isoles, au cas d'un conducteur unique. Nous ne nous occuperons donc plus desormais que du cas particulier oiu l'on cherche la distribution 6lectrostatique 'a a surface d'un seul conducteur, puisque le cas gen6ral 1 y ramneh.

Que devons-nous penser des methodes propos6es jusqu'ici? Ce sont a la fois des-methodes de demonstration destinees a etablir la possibilite du probleme et des methodes de calcul destinees a le resoudre effectivement. Comme m6etlodes de demonstration, elles sont assez compliquees, mais elles se com- pletent mutuellement de fapon a s'appliquer a tous les cas et a satisfaire les juges plus severes au sujet de la rigueur.

Comme methodes de calcul, elles ne valent rien; car personne n'aura jamais l'idee de les appliquer; meme les plus simples d'entre elles, celles de Neunmanni ou de Robin, conduisent a des calculs inextricables d6s la seconde approximationi. Tout ce qu'on peut esperer en tirer, sans un labeur par trop ecrasant, ce sont des inegalites assez grossieres auxquelles sera sommise la capacite du conducteur.

Tel est l'etat actuel de la question; voyons maintenant quel est le but que je me suis propose; ce qui euit ete le plus interessant, c'euit 6te de remplacer les methodes de calcul actuel par d'autres moins defectueuses. Je n'ai pu le faire, je me suis borne a chercher une methode de demonstration plus simple que celles qui ont ete proposees jusqu'ici et directemient applicable a tous les cas.



218 POINCARE: Suar les Equations aux Derivees

Je vais commnencer par rappeler succinctement les principales propositions dont j'aurai a faire usage dans la suite.

10. La fonction de Green, U, relative a une sphere S et a un point P s'obtient de la fagon suivante. Soit R le rayon de la sphere.

Prenons sur la droite OP une longueur OQ= Rp; la fonction U sera le

potentiel de deux masses l'une egale a 1 et placee au point P, l'autre egale a

-?p et placee au point Q.

20. La valeur de dU correspondant a un element quelconque de la sphere dn-

S est en raison inverse du cube de la distance de cet elernent au point P. Elle est egale a R2- OP2 1

R MP3'

111 designant le centre de gravit6 de 1'element considere. 30. Si l'on considere une sphere S et un poinlt P interieur a cette sphere, le

potentiel d'une masse electrique egale a 1 et placee au point P sera egale a 41p

aii point M. Imaginons ensuite que cette Meme masse electrique egale a 1 se repartisse

sur la surface de la sphbre S de telle fa?on que la densite6.sur un element quelconque de cette sphere soit en raison inverse du 6ube de la distance de cet element au point P. Je dis que le potentiel de cette masse ainsi distribuee que

IIous appellerons W sera egale "a M en tout point M exterieur a la sphbre et

plus petit que MP si le point M est int6rieur a la sphere.

En effet considerons une fonction qui soit egale a la fonction de Green, U, definie plus haut a l'interieur de la sphbre et 0 a l'exterieur de la sphbre. Cette fonction satisfait partout a I'equation de Laplace; elle est continue sauf au point P et sur la surface de la sphere. Au point P la fonction devient infinie et sa

diff6rence avec Mp reste finie; sur la surface de la sphere, la fonction elle-me

reste continue, mais sa derivee d-subit un saut brusque egal 'a R M P3. dn~~~~~~R P



Partielles de la Physique lMlathekmatique. 219

Nous devons en conclure que cette fonction est 6gale aiu potentiel de diverses masses 6lectriques distribu6es comme il suit:

1?. Une masse egale a 1 au point P.

20. Une masse de densit6 - RI-M P3aux divers points de la surface de S.

Cette seconde masse n'est autre chose que la masse definie plus haut et dont le potentiel etait W, mais chang6e de signe.

On a donc:

MP -W- 0

a l'ext6rieur de S et

P - W- U>O a l'inaterieur de S. c. Q. F. D.

40. Supposons que nous nous proposions de trouver uine fonction V qui satisfasse "a l'6quation de Laplace a l'interieur de la sphere S et qui aux differents points M de la surface de cette sphere prennent des valeurs donn6es VO.

La valeur de cette fonction V en un point P interieur a la sphere sera

l'integrale 4RI _ O P 3 dV i J 47tR MP 3

etendue a tous les 6lmements d& de la sph6re. 50. Soient w et W la plus petite et la plus grande valeur que puisse

prendre VO; ce seront aussi, comme on le sait, la plus petite et la plus grande valeur que puisse prendre V.

Si w est positif, il sera de mneme de VO et de V. D'ailleurs comme MP est toujours compris entre R - OP et R + OP; on

aura <( R+OP ) Vodx (R- OP)2 -47tR

et _R _OP _V_ V> (R + OP)2J 47tR-

60. J'arrive au th6oreme de Harnack dont je ferai un frequent usage et qui peut s'enoncer comme il suit:

Si une s6rie V2 + V2 + V, +

29



220 POINCARE1: Sur les Equations aux Derivees

est convergente en un point int6rieur a sph6re 8, que tous ses termes soient positifs a l'interieur de cette sph6re et satisfassent tous a 1'6quation de Laplace, cette s6rie sera uniform6ment convergente a l'interieur de toute sphere interieure elle-meme a S.

Soit en effet V1 la valeur de V7 en un point quelconque de la surface de S; d'apres l'hypothese VI sera essentiellement positif de sorte qu'on pourra 6crire:

R+OP pV,?d R- OP Vd (B OP)2J 47tR' (R+OP)2 47tR

Si maintenant nous appelons VI' la valeur de VJ au point 0, centre de la sph6re, on aura V Y PVido

J4AtR2 X

d'oNil: v,l R(R+OP) >v>R(RO- P) (R- OP)2 > (R?+ OP)2

ou si le point P est interieur a une sphere s, concentrique a S et de rayon r < R,

R (R-+ r)Z v > Vi > R ( - -r) Vi.

(R -r)2 >>(R +r)2

Si donc le point P est interieur a s, chacun des termes positif de la serie

V, + V2 + . . . . + Vn +

sera plus petit que le terme de la serie convergente

VI, + V21 + * .+ Vn + ..

multipli6 par le facteur constant R(R + r) (R -r)2

Si done la serie converge au point 0, elle convergera en tous les points interieurs a 8, et la convergence sera uniforme a l'interieur de s.

I1 suffit d'ailleurs que la serie converge en un point P quelconque pour qu'elle converge au point 0; on a en effet:

VI < V (R + OP)2 i R (R - OP)'

Ainsi si la serie converge en un point quelconque interieur a S, elle convergera encore en tous les autres points interieurs a 8, et la convergence sera uniforme dans toute sphere interieure a S..



Partielles de la Physiqjue Mathnmatique. 221

Ce n'est pas tout; non seulement la s6rie: Vl + V2 + *g + Vr,+- * - -

converge uniform6ement a l'interieur de s; mais il en est de m8me des s6ries

d VI + d i2 + + d Vn I dx dx * +dx **...

d2 V1 + d2 2 d2 Vn + dxdy dx+y x + dxdy

La demonstration est la m8me; et en effet la fonction VJ 6tant exprimee sous la forme d'une integrale definie, une derivee quelconque de VJ s'obtiendra sous la

meme forme par le procede de la diff6rentiation sous le signef; et on en deduira

comme plus haut deux inegalites auxquelles cette derivee devra satisfaire. On en conclut qu'a l'interieur de la sphere 8, la, somme de la serie

VI + TZ2 + * - + Vn + * ..

est une fonction finie et continue ainsi que toutes ses derivees et que cette fonction satisfait a 1'6quation de Laplace.

Le theoreme demontre pour une sphere, s'etend aisement a une region R de 1'espace.

Si dans la r6gion R les fonctions

Vl . V2 7 .. * Vn I. * 0 0

sont positives et satisfont a 1'6quation de Laplace. Si en un point de cette region la serie

Vl + V2 + * - 0 + Vn + * 0

converge, elle convergera dans toute la region et la somme sera. une fonction finie et continue qui satisfera a I'equation de Laplace.

Ces preliminaires poses, je puis aborder le probleme que j'ai en vue. I1 s'agit de demontrer la possibilite de I'equilibre 6lectrostatique a la surface d'un conducteur isole.

Je supposerai qu'en chaque point de la surface de ce conducteur il y a un plan tangent determine et deux rayons de courbure principaux determines. Ces



222 POINCARE: Sur les Equations acux D6rivees

conditions restrictives ne sont pas toutes iadispensables. Je prefere pourtant me les imposer d'abord et rechercher ensuite, par une courte discussion, quelles sont celles dont je puis me debarrasser.

On peut evidemmenf toujours trouver une sphere X telle que le conducteur soit contenu tout entier a l'interieur de cette sphAre.

On peut ensuite trouver un systeme de spheres en nombre infini

Sl, S7. , - . 7 Sn7.

jouissant des deux proprietes suivantes: 1?. Chacune de ces spheres sera tout entiere exterieure au conducteur. 20. Tout point de l'espace exterieur au conducteur appartiens aiu moins a une des spheres du syst'eme.

Cette proposition paraltra presque evidente a qui voudra se donner la peine d'y reflechir.

Nous croyons neanmoins devoir la demontrer en quelques mots. I1 s'agit de deniontrer que l'on peut trouver a l'exterieur du conducteur une

infinite de pgints Cl C2 7 * - *, C, * *

tels que pour tout point M exterieur au conducteur, il y ait un point 07i plus rapproche du point M que de la surface du conducteur. Et en effet s'il en est ainsi et que du point Ci comme centre on decrive une sphere Si ayant pour rayon la plus courte distance de C, a la surface du conducteur, la sphere Si sera tout entiere exterieure au conducteur et le point Msera interieuir a la sphere S,.

Cherchons donc a etablir l'existence des points Cd. Considerons d'abord une region finie R situee a une distance finie de la sur-

face du conducteur et soit 6 la plus courte distance de la region R a cette surface. Cela pose considerons le triple systelme de plans:

X-l y 2 Z 3

paralleles aux trois plans de coordonnees. Les trois quantites M1, M2, m3 sont des nombres entiers positifs ou negatifs. Ces plans partageront 1'espace en une infinite de cubes egaux dont la diagonale est egale a S.

Ceux de ces cubes qui appartiendront en totalite ou en partie a la region R seront en nombre fini. Soient

K1, K2,. K., 1n



Partielles de la Physi'que Mathematique. 223

ces cubes. L'interieur de chacun d'eux j'envisagerai un point appartenant a la region 1; j'obtiendrai ainsi n points

c1 c2. ,cr al a2 7I* I II -X

le point C, appartenant a la fois au cube Ki, et a la region R. Si nous consid6rons maintenant un point M quelconque de la region R, ce

point appartiendra. a l'un de nos cubes, par exemple au cube Ki. La distance du point M au point C, sera plus petite que A diagonale du cube; la distance du point C, a la surface du conducteur est elle-meme plus grande que A, puisque C, appartient a R.

Donc tout point de R est plus rapproche de l'un des n points C1, C2, .... que celui-ci ne l'est du conducteur.

Je partage maintenant l'espace exterieur au conducteur en une infinite de regions

* . - - R_ nl R-nJ17 ...I R-27 R_-17 Ro R17 ...I Rn7 ..

Chacune de ces regions est ainsi representee par la lettre R affect6e d'un indice qui peut varier depuis - 00 jusqu'a + oo. La region Ri se compose des points dont la plus courte distance a la surface du conducteur est comprise entre Qw et Q!+1. Dans chacune de ces regions je definirai les points C1, C2, .. ., Cn comme je l'ai dit plus haut. J'obtiendrai ainsi une infinit6 de points C. 11 est clair alors que tout point exterieur au conducteur sera toujours plus pres de l'un de ces points que celui-ci ne l'est lii-neme de la surface du conducteur.

C. Q. F. D. L'existence des sp eres Si est donc 6tablie. I1 est clair qu'on pourrait construire ces spheres $5 d'une infinit6 d'autres

manieres et que celle que je vienis d'exposer en detail dans le seul but de fixer les idees n'a ete choisie d'une fapon tout a fait arbitraire. La seule chose essentielle c'est que les spheres Si, quoique en nombre infini, puissent etre range6es en une serie lineaire:

S17 S27 "* - sni *

ou chacune d'elles ait un indice entier positif parfaitement determine, c'est-a-dire pour parler le langage de M. Cantor, que l'ensemble des spheres S soit de la l re puissance.

L'ordre dans lequel ces spheres seront rang6es dans la serie lineaire

Si i S2 . 7 -Sn 7*

est d'ailleurs indiff6rent.



224 POINCAR?1: S'ur les Equations aux Derivees

I1 s'agit maintenant d'etablir qu'il existe une fonction V finie et continue ainsi que toutes ses derivees a l'exterieur du conducteur et satisfaisant a l'exterieur du conducteur a l'equation de ILaplace; et de plus que cette fonction tend vers 0 quand le point (x, y, z) s'eloigne indefiniment et vers 1 quand le point (X, y, z) se rapproche indefiniment de la surface du conducteur.

Soit 0 le centre et R le rayon de la sphere E; imaginons une certaine quantite d'electricite positive distribuee uniformement a la surface de cette sphere

avec une densit6e 1 J'appelle VJ le potentiel du' a cette electricite. Nous

aurons VI-=

a l'interieur de la sphere ; et en particulier a l'interieur du conducteur et

?OM

lorsque le point Mlix(x, y, z) est exterieur ' a. On a dans tous les cas

0< VO_1

et V0 tend vers 0 quand le point M s'eloigne indefiniment. Nous allons faire maintenant une serie d'operations que je vais definir. Nous avons vu plus haut que si une masse electrique P se trouve a, l'inte-

rieur d'une sphere S, on peut la remplacer par une masse egale distribuee a la surface de la sphere de facon que la densite en cjhaque point de cette surface soit en rayon inverse du cube de la distance de ce poinit au point P. Le potentiel par rappQrt a un point exterieur^ a S n'est pas change, le potentiel par rapport a un point interieur est diminue.

On peut appeler cette couche electrique repandue a la surface de S la couche e&quivalente a la masse unique P.

Cela pose, supposons qu'on remplace toutes les masses 6lectriques qui peuvent exister a l'interieur d'une sphere Si par la couche equivalente repandue 'a la surface de cette sphere. Le potentiel en un point exterieur 'a S ne changera pas, le potentiel en un point interieur a Si diminuera. Cette operation pourra s'appeler: " balayer la sphbre Si."

Nous partons de la masse electrique repandue sur ; et dont le potentiel est V0. Chacun des points de ; appartenant a l'une des spheres Si, quelques-unes de ces spheres contiendront de l'electricite; soit S1 une de celles qui en contien-



Partielles de la Physique Mathe6matique. 225

nent; "balayons" cette sphere; balayons ensuite la sphere S2 si cette sphbre contient de 1'electricite et ainsi de suite.

II faut diriger les operations de fa9on que chaque sphere soit balayee une infinite de fois. On peut par exemple balayer les spheres dans l'ordre suivant:

31 82 81 8} 3 SI S2 S3 S4 SI812 S3 S4 S / S6 ....

I1 est aise de constater que de cette fapon chaque sphere est balayee une infinite de fois.

Soit ensuite V7 ce que devient le potentiel V0 apres la premiere operation, V2 ce que devient V1 apres la seconde op6ration; soit enfin V,, ce qui devient le potentiel apres n operations.

Supposons que la ne operation consiste a balayer le sphere S,. On aura:

V, = V,- 'a 1'exterieur de Sk,

Vn < Vn_ - a l'inaterieur de Sk.

On aura donc dans tous les cas: Vn J Vn-1.

Cette in6galit6 montre qu'en un point quelconque de 1'espace V. est toujours decroissant (ou du moins toujours non-croissant) quand on fait croitre l'indice n.

I1 importe de remarquer qu'il n'y a aucun moment et en aucun point de masse electrique n6gative. Au debut nous avons sur la sphbre 1 une couche 6lectrique uniforme et positive. Aucune des operations subse6quentes ne peut introduire de masses negatives. En effet le balayage d'une sphere quelconque consiste a remplacer les masses electriques positives situees a l'interieur de cette sphere par des couches equivalentes positives repandues a la surface de cette sphere.

On a donc Vn > 0. Ainsi en un point quelconque de 1'espace V, est toujours positif et decrois-

sant. Done quand n croft indefiniment, V, tend vers une limite finie et deter- miniee que j'appelle V. J'ai donc demontre 1'existence d'une fonction V definie en tous les points de 1'espace. 11 reste a etudier les proprietes de cette fonction.

Considerons une quelconque des spheres Si. Par hypothese cette sphere sera balayee une infinite de fois. Supposons qu'elle le soit a la ao4 operation, a la a2....'a la a.. Apres chacune de ces operations, il n'y aura plus d'electricite a l'interieur de Si de sorte qu'on aura:

ATV o (oia,, a2 ,a3.



226 POINCAREI: Sur les Equations aux Derive

Quand a, croit indefiniment, Vl; tend vers V de sorte que la serie:

Val + (V-2 Val) + (Va3 -aV) + * . * * + (.Va - Va--1) +

converge et a pour somme V. Chacun de ces termes satisfait a l'equation de Laplace; de plus chacun d'eux est negatif (sauf le premier) car on a:

Va. < V,Y_ si comme on le suppose a. >ca.1.

Donc en vertu du theoreme de Harnack la convergence est uniforme et les s6ries deduites de la pr6cedente par differentiation convergent aussi uniformement. Donc a l'int6rieur de Si la fonction V est continue aussi que toutes ses derivees et satisfait a l'equation de Laplace.

Mais par hypothese tout point de 1'espace ext6rieur au conducteur appartient au moins a l'une des spheres Si

Done en tout point exterieur au conducteur, V et ses derivees sont con1- tinues et l'on a: AV- O.

Je dis que V tend vers 0 quand le point M s'eloigne indefiniment. En effet on a:

Vo> V>>O.

Or VY tend vers 0 quand M s'eloigne indefiniment, done il en est de meme de V. I1 reste a demontrer que 1V tend vers 1 quand le point M se rapproche inde-

finiment de la surface du conducteur. Soit donc MO un point de la surface du conducteur et suppose que le point

Mse rapproche indefinimnent de Mo. Par hypothese il y a au point Mo un plan tangent determine et deux rayons de courbure principaux determin6es. On peut done construire une sphere a tangente a la surface du conducteur en Mo et dont le rayon r est assez petit pour que cette sphere soit tout entiere contenue a l'interieur du conducteur.

Soit C le centre de cette sphbre. La fonction

MoGC r

M?C MC '

regardee comme fonction des coordonnees x, y, z du point il satisfait a 1'6qua- tion de Laplace et si reduit a 1 a la surface de la sphere a.

.D'autre part la fonction V, est un potentiel dui a des masses electriques qui sont toutes positives. II en resulte que cette fonction 1,, peut avoir des maxima, mais ne peut avoir de minimum.



Partielles de la Physique Mathgmatique. 227

IDe plus J7n est egal a 1 en tous les points int6rieurs au conducteur et en particulier sur toute la surface de a. En effet cela est vrai de V0, mais, en balayant l'une des spheres Si, on ne change pas le potentiel a 1'exterieur de cette sphere, ni par consequent a l'interieur du conducteur qui est tout entier exterieur, par hypothese, a toutes les spheres Si. On a donc a l'int6rieur du conducteur

1-VO-V = V, = *.

La diff6rence u= -

est un potentiel du' aux masses electriques qui engendrent Vn, et qui toutes sont positives et exterieures a a, et a une masse - r concentree au point C et par consequent interieure a a. Toutes celles de, ces masses qui sont exterieures a Cy sont positives. Donc a l'exterieur de a, la fonction U ne peut avoir que des maxima et pas de minima. A la surface de a, U est nul, car

V4 r

1.-

A l'infini, U est encore inul, car

V- r - o

r MC

Nous avons donc la double inegalite

1 > Vn > r

qui a la limite devient:

I> V> ar + > r

11 est donc clair que quand la distance MMo tend vers 0, V tend vers 1. C. Q. F. D.

La fonctiQn V satisfait donc bien aux conditions que nous nous etions imposees et le pri,nci7pe de Dirichlet est 'tabli.

Voyons maintenant si on peut se debarrasser des conditions restrictives que nous nous sommes imposees, a savoir que le plan tangent et les rayons de courbure principaux sont determines. Nous ne nous sommes servis de ces condi-

30



228 POINCARE: Sur les Equations autx Driv&ees

tions que pour etablir l'existence de la sphere a, tangente au conducteur et toute entiare interieure a ce conducteur. Cette sph're a n'existera evidemment que si le plan tangent est determine; mais elle pourra exister encore en un point singulier oiu les rayons de courbure ne varieraient pas suivant les lois habituelles; nous n'aurions alors rien a changer a notre d6emonstration.

Nous n'avons donc qu'a examiner les points singuliers pour lesquels la sphere a n'existerait pas. S'il y a sur la surface du conducteur de pareils points sinigu- liers, nous ne pouvons pas encore affirmer que la fonction V tende vers 1 quand le point Mse rapproche de l'un de ces points singuliers; remarquons toutefois que 1'existence de ces points singuliers n'empeche pas V de tendre vers 1 quand M se rapproche d'un point non singulier de la surface.

Mais on peut aller plus loin; supposons que le principe de Dirichlet soit demontre pour un certain conducteur Ca. Supposons ensuite que le conducteur donne C presente un point singulier MO, et que l'on puisse construire un conducteur a', semblable a G', dont la surface passe par -M et _qui soitU tout- entier- interieur a C. Je dis que quand le point M se rapprochera de MO, V tendra vers 1.

En effet le principe de Dirichlet etabli pour C' 1'est aussi pour C"7; il existe done une fonction 1" satisfaisant a I'equation de Laplace a 1'exterieur de C"i et se reduisant a 0 a 1'infini et a 1 a la surface de C". Nous allons faire jouer alors au conducteur C" -le meme rBle qu'a la sphere a dans le cas precedemnment examine. On verrait comme plus haut que:

1 > Vn > VI"

et par consequent que: 1 > V > V".

Or quand M tend vers Mo: lim V" - =.

Donc limV 1. C. Q. F. D.

Parmi ces points singuliers les plus interessants sont les points coniques que nous allons etudier de plus pres.

Je suppose qu'une partie de la surface du conducteur C soit une portion de cone de revolution. Soit Mo le sommet de ce c6ne. Je dis que V tendra vers 1 quand le point M se rapprochera indefiniment de Mo.

Mais pour cela il est necessaire de d6emontrer le lemme suivant: Soit S une sphere fixe, C un cercle fixe sur cette sphere, P un point fixe



Pcartielles de la Physique Math6matique. 229

en dehors de la sphelre. Soit maintenant E un ellipsoide de r6volution variable assujetti a restes tangent a la sphbre S tout le long du cercle C. Soit V une fonction satisfaisant a lequation A V= 0 a l'exterieur de E et se reduisant a 0 a l'infini et a 1 a la surface de E. Soit V0 la valeur de V au point P.

Je dis que VI tendra vers 1 quand le grand axe de E croltra ind6finiiment. Designons en effet par p et V2/ - b2 les axes de l'ellipsoide E, par p + h

et V/(p + A)2 - 2 les axes de l'ellipsoide E', homofocal 'a E et passant par P. On aura:

L p + h 2 b L(p+b)+L (1+ h )-L(p+h-b)

? L P - b - L(p+b)-L(p--b)

p + b

A la limite les ellipsoides E et E' se reduisent 'a deux paraboloides homofocaux P, et P,' faciles a construire.

Alors h tend vers une limite finie qui n'est autre que la distance des sommets des deux paraboloides; p - b tend vers une limite finie qui est le demiparametre de P1. On voit aussi que L (p - b) et L (p + h - b) tendent vers des liinites

finies, que L 1 + p 4 b), tend vers 0 et que L (p + b) croit indeflniment. Par

consequent VJ tend vers 1. C. Q. F. D. Revenons mnaintenant a notre conducteur C dont une partie de la surface

appartiendra a un cone de r6volution de sommet hlo0. Par le point Mo, et en dehors du cone faisons passer une droite MOP et supposons que le point Hl se rapproche de Mo en suivant cette droite; je dis que Vtendra vers 1.

En effet du point H je m6ne une normale au cone et par le pied de cette normale je fais passer un parallele du c6ne de revolution. Je construis ensuite un ellipsoide de revolution E qui soit tangent au cone tout le long de ce parallele. Je ferai varier cet ellipsoide de telle fapon qu'il reste constamment tout entier a l'interieur du conducteur C et son grand axe reste fini quand le point AL se rapproche ind6finiment de Ao. Cela est manifestement toujours possible.

Je construis ensuite un potentiel W qui se r6duise a 1 a la surface de E. Soit W0 la valeur de W au point A, on aura:

1 > V> WO-

Construisons maintenant une figure hoinothetique de la prec6dente en prenant pour centre d'homoth6tie le point Mo, le co6ne de revolution sera son propre



230 POINCAREI: Suir les Equations aux Derivges

homothetique; l'homothetique de l'ellipsoide E sera un ellipsoide E' tangent au cone tout le long d'un parall6le; l'homothetique du point M sera un point H' de la droite MOP. Nous choisirons le rapport d'homothetie de fapon que M' soit fixe; alors l'ellipsoide de r6volution E sera tangent au cone tout le long d'un parallele fixe.

Soit inaintenant un potentiel W' qui se reduise a 1 a la surface de E'. Soit WJo la valeur de W' au point H'/; on aura:

Wo = W0'.

Lorsque le point M se rapprochera de No, le rapport d'homothetie et par consequent le grand axe de E' croitront indefiniment. Donc d'apres le lemme W' tendra vers 1. Done WO et par cons6quent V tendront aussi vers 1 .

C. Q. F. D.

Cela pose considerons rnaintenant un conducteur C quelconque, et un point singulier MO de ce conducteur; je supposerai qu'en ce point iWO le. plan tangent est d6termine, ou que ce point Mo est un point conique ordinaire. Je pourrai alors construir-e un conducteur C" forme par exemple d'une sphere et d'un cone de r6volution circonscrit, ayant pour sommet MO; je pourrai choisir l'angle du sommet du cone et le rayon de la sphere assez petits pour que C" soit tout entier interieur a C.

Le principe de Dirichlet est demontre pour C"; C" est interieur a C; nous devons en conclure, comtie nous l'avons vu plus haut que V tend vers 1, quand M tend vers 210.

Nous pouvons r6sumer cette discussion en disant que le principe de Dirichlet est e6tabli pour tout conducteur dont la surface est telle que le plan tangent en chwaque point est determing sauf en un nombre lirnite de poin?ts coniques ordinaires.

Comme methode de demonstration, celle que je viens d'exposer ne laisse rien a desirer comme mrethode de calcul; elle ne vaut pas mieux que celles qu'on a proposees jusqu'ici et meme si le conducteur est convexe, elle est inf6rieure a celles de Neumann et de Robin. Mais menme a ce point de vue, je ne regrette pas de l'avoir publiee; en effet, ainsi que nous l'avons vu, il ne faut guere compter que sur la premiere approximation si l'on veut pousser plus loin, rneme avec le procede de Neumann, on serait conduit a des calculs trop rebutants. Chaque methode donnera donic seulement quelques inegalites, il n'est donc pas inutile de multiplier les methodes; dans chaque cas particulier, un analyste habile saura choisir celle qui convient le mieux, ou mieux encore les combiner toutes d'une maniere convenable.



Partielles de la Plhysique Mathe&matique. 231

A ce point de vue, la methode que j'expose ici offrira a cette analyste habile d'assez grandes ressources a cause de son elasticite (si j'ose m'exprimer ainsi). Le choix des spheres S1, .... S. reste arbitraire dans une tr6s large mesure; d'ailleurs on peut sans rien changer a la methode remplacer la sphere . par d'autres surfaces, ou meme prendre pour V7 une fonctibn potentielle quelconque, pourvu qu'elle se reduise a 1 l'int6rieur du conducteur et que les masses electriques qui l'engendrent soient toutes positives.

On pourra encore remplacer les spheres Si par d'autres surfaces, pourvu que l'on sache construire sur cette surface la couche equivalente a une masse electrique donnee interieure a la surface. On con9oit qu'on pourra profiter de toutes ces facilites pour adapter le mieux possible la methode a chaque cas particulier.

Parmi ces perfectionnements dont la m6thode est susceptible, il en est un qui me parait fort important. Nous avons construit les sphbres S, de fagon que tout point exterieur au conducteur soit interieur au moins a l'une de ces sphbres.

Imaginons qu'on construisa seulement assez de spheres Si tout entieres exterieures au conducteur, pour que tout point exterieur au conducteur et int6rieur 'a ; soit interieur au moins a l'une de ces spheres. Les sph4res Si dont le rayon

doit atre fini des qu'on est a une distance finie du conducteur, empeiteront d'ailleurs sur la region exterieure a

Dais ces conditions tout point de 1'espace est ou bien interieur au conducteur C, ou int6rieur a l'une des spheres S, ou ext6rieur "a .

I1 ne peut etre a la fois interieur a C et interieur a Si, ou bien inteiieur a C et ext6rieur a 5; mais il peut etre a la fois int6rieur a deux ou plusieurs des spheres Si, ou int6rieur a l'une ou plusieurs de ces spli6res et ext6rieur "a . Nous avons vu plus haut comment on pouvait remplacer une masse 6lectrique P interieure d'une sphere 2, c'est-a-dire par une couche electrique r6pandue a Ia surface de la sphbre et dont le potentiel soit 6gal a celui de la masse P a l'exterieur de Z et plus petit a l'iiiterieur.

Je dis maintenant qu'on peut egalement remplacer une masse 6lectrique Q extgrieure a la sph6re ; par une couche equivalente, c'est-a-dire par une couche 6lectrique repandue a la surface de 2, et dont le potentiel soit 6gal a celui de Ia masse Q a l'interieur de 2 et plus petit a l'ext6rieur.

En effet soit 0 le centre de 2 et R son rayon; soient P et Q deux points situes sur un niieme rayon vecteur OP et tels que:

OP . OQ-=R2.

Supposonis que P soit interieur a Z; Q sera exterieur 'a 1.




(Jonsiderons deux masses l'une egale a 1 et placee en P, l'autre 6gale a

igQp et placee -en Q. Nous avons vu que le potentiel du' a ces deux masses

etait une fonction U, nulle a la surface de 2, positive a l'int6rieur de X et negative a l'exterieur.

Soit W le potentiel de la couche eqtuivalente a la masse P repandue a la surface de X. D'apres ce que nous avons vu, nous aurons:

a l'ext6rieur de : MP-W= ? p p/O MQ

et a l'interieur de X: JP-W= 4P-i/ M > 1

La lettre M designe toujours le point de coordonnees courantes x, y, z. Ces egalites montre que l'on a:

a l'exterieur de s: W < OP

'al'int'er-ieur de X: W= /OpQ

Par consequent la couche 6quivalente a la masse interieure 1 situee en P est

aussi 6quivalente a la masse ext6rieure / 09 situee en Q.

I1 importe de remarquer une difi6rence essentielle entre les deux cas; nous savons que la nlasse totale de la couche equivalente a la masse 1 situee en P est

egale a 1 et par consequent plus petite que NiOg, c'est-a-dire que la masse

ext6rieure situee en Q. Ainsi la couche 6quivalente a une masse interieure a une masse totale egale

a cette masse; la couche 6quivalente a une masse exte6rieure a une masse totale plus petite que cette masse.

A cot6 operations dont il a 6te question plus haut et qui consistent a "balayer " l'interieur des spheres ASi, nous pourrons introduire une operation nouvelle que nous pourrons appeler le balayage de l'exterieur de X.

Cette op6ration consistera a remplacer toutes les masses ext6rieures a X par la couche equivalelite repandue a la surface de cette sphere.



Partielles de la Physique Mathelmatique. 233

Cela pos6e on fera une serie de balayages successifs en partant de la fonction VO et en ayant soin de diriger les operations de telle fapon que l'interieur de chacune des spheres Si, ainsi que l'exterieur de V, soient balayes une infinit6e de fois.

Les raisonnements que nous avons faits plus haut sont encore applicables et on obtiendra une serie de fonctions

Vo V1. Vn *

qui convergeront de la fonction cberchee V. Seulement l'approximation sera plus rapide, parce que chaque balayage de

l'exterieur de S, peut remplacer le balayage d'une infinit6 de sphlbres AS qui devraient, dans la metbode primitive, remplir l'espace infini exterieur 'a

De plus, nous devons observer que dans la methode primitive, chaque balayage laissait subsister la meme quantite totale d'electricite dans l'espace; au contraire, dans la methode nouvelle, cette quantite totale diminue apres chaque balayage de l'exterieur de X.

La methode nouvelle se prete par consequent mieux que la premiere au calcul des capacites.

Nous avons vu que le probleme general de Dirichlet se ramene au cas que nous venons de traiter. Nous pourrions done nous dispenser d'etudier directement ce cas general. Cependant je vais montrer que la methode exposee ci-dessus y est directement applicable.

Soit donc C ilne surface partageant l'espace en deux regions l'une exterieure a la surface, l'autre int6rieure. Soit U une fonction quelconque, bien d6terminee en tous les points de C.

Nous nous proposons de trouver une fonction V: 1?. Qui est finie et continue ainsi que ses derivees tant a l'exterieur de C

qu'a l'interieur, mais qui peut devenir discontinue sur la surface C elle-meme. 20. Qui satisfasse 'a 1equation de Laplace tant a l'ext6rieur de C qu'a l'inte-

rieur, mais qui peut cesser d'y satisfaire sur la surface C elle-meme. 30. Qui tende vers 0 quand le point M de coordonn6es courantes x, y, z

s'eloigne ind6finiment. 40. Qui tende vers U quand le point M se rapproche indefiniment d'un point

de C, soit par l'interieur, soit par l'exterieur. ler cas. Suipposons qu'on puisse trouver une fonction VO finie et continue

dans tout l'espace ainsi que ses derivees des deux 1ers ordres; qui soit egale a 0 a



234 POINCAREi: SUr les Equations aux Derivees

l'infini et 'a U a la surface de C et qui soit telle que A V0 soit constamment negatif.

LTne pareille fonction pourra 8tre regardee comme un potentiel duia de

l'6lectricit6 repandue dans tout l'espace et dont la densite - sera partont

positive.

Nous n'avons donc encore ici que des masses 6lectriques positives. Construirons maintenant une infinite de spheres 81, S82 . . . S Sn, de telle

fapon que chacune de ces spheres soit tout entiere exterieure a la surface C et que tout point de l'espace, ext6rieur a C, soit int6rieur au moins a l'une des spheres 8,.

Balayons ensuite, comme il a et6 dit plus haut, ces diverses sph6res Si en dirigeant les operations de telle sorte que chacune d'elles soit balayee une infinit6 de fois.

Soit VT ce que devient V0 apres la ne operation; on aura encore, puisque toutes les masses 6lectriques sont positives:

VXn + 1 < V. et Trn > 0

ce qui montre que quand n croit indefiniment V, tend vers une limite finie et determin6e que j'appelle V. Pour un point interieur a C on a V = V,.

On verrait, comme plus haut, qu'a l'int6rieur de chacune des spheres ASi, et par consequent pour tout point exterieur a C, la fonction V est finie et continue ainsi que ses derivees et satisfait a 7e'quation de Laplace.

On verrait egalement que V tend vers 0 quand le point 1 s'eloigne indefiniment. I1 me reste a montrer que V tend vers U quand le point M se rapproche de la surface C.

Nous supposerons pour fixer les idees que le point M se rapproche indefiniment d'un point Mo de la surface C en restant exterieur a cette surface.

Nous construirons une sph6re a tangente 'a a surface C en MO et de rayon assez petit pour etre tout entiere interieure a C.

Le principe de Dirichlet etant demnontr6 pour une sphere, nous pourrons construiire une fonction W qui a l'ext6rieur de la sphere satisfasse a l'6quation A W- 0, qui se reduise a 0 a l'infini, et a V0 a la surface de la sph6re.

Quand le point M tendra vers No, la fonction W tendra vers V0 et par consequent vers U.

Comparons les fonctions V1, et W.



Partielles de la Physique Math6matique. 235

A la surface de a, on a: V. = Vo = W.

A l'infini, on a: V.= 0 = W.

Maintenant V,, et W sont deux potentiels; le premier est engendr6 par des masses 6lectriques toutes positives et dont quelques unes sont exterieures 'a a; le second par des masses qui sont toutes int6rieures 'a a.

Done a l'exterieur de a la difference V, - W peut avoir des maxima, mais pas de minima; et comme elle est nulle a la surface de a elle sera toujours positive. On a donc:

VO > Y. > W et par consequent 'a a limite VI > F> TV.

Quand M tend vers Mo, VT et W tendent tous deux vers U. Donc V tend aussi vers U. C. Q. F. D.

Le principe de Dirichlet est ainsi etabli pour la region exterieure a C; on le d6montrerait absolument de la meme maniere pour la r6gion interieure.

20 cas. Supposons maintenant qu'on puisse trouver une fonction Vo qui soit finie et continue ainsi que ses derivees des deux premiers ordres, qui se reduise 'a 0 a linfini et a U a la surface de C. (Nous ne supposons done plus que A V0 est toujours negatif.) On pourra trouiver une fonction V0 satisfaisant a ces conditions toutes les fois que la fonction UIsera elle-meme finie et continue ainsi que ses derivees des deux premiers ordres.

La fonction V0 pourra etre regard6e comme un potentiel engendr6 par des

masses 6lectriques r6pandues dans tout 1'espace avec une densite - A

. Seule-

ment comme A Vo n'est pas toujours negatif, les masses ne seront pas toutes positives. Nous pourrons alors ecrire:

V0 6tant le potentiel du aux masses positives seulement, et Vot le potentiel du seulement aux masses negatives changees de signe.

Soient U' et U" les valeurs de Vo et VJ' a la surface de C, on aura:

U= U'- U".

V,, et Vo' n'etant engendres que par des masses positives, on pourra, comme nous venons de le voir, construire des fonctions V' et V" qui satisferont a l'equation

31



236 POINCARE: Swr les Equations8 aux Deriv6es

de Laplace a l'exterieur de C et qui se reduiront respectivement a U' et 'a U" a la surface de C.

La diff6rence V- V' -V

satisfera a l'equation A V= 0 et se reduira a U a la surface de C. Le principe de Dirichlet est donc encore ici etabli. 3e cas. I1 nous reste a examiner le cas oiu la fonction U n'est plus con-

tinue ainsi que ses derivees des deux premiers ordres. Bien des methodes s'offrent a nous pour generaliser les r6sultats. obtenus

dans les deux premiers cas. Je ferai d'abord observer que si la fonction U est elle-meme continue et si

ses derivees du ler ordre ne presentent de discontinuites que le long de certaines courbes analytiques tracees sur la surface C, les demonstrations dont j'ai fait usage dans les deux premiers cas peuvent se repeter sans qu'on ait rien a y changer.

Passons au cas general; nous pourrons trouver deux series indefinies de fono- tions u1, U2,.... ** , ... u .. U;,X

qui a la surface de C jouissent des proprietes suivantes: 10. Elles sont finies et continues ainsi que leurs derivees des deux premniers

ordres. 20. On a: Un + 1 > Un 2 Un4 1 1< UnL Un > Un

30. On a: lim Un lim Un= U pour n infini.

(Cela n'aura lieu que pour les points de C dans le voisinage desquels U est continue.)

Nous pourrons alors construire deux series de fonctions

V1)2 V,2; .... ) Vn i .... ; Vll V2/) .... 7 Vn/

telles que A Vn =0 AV,' = 0

al'exterieur de Cet V. Un V.'== U.

'a la surface de C. On aura alors:

Vn + 1 > Vn Vn/ + 1 < Vn' Vn/ > Vn

Nous conclurons de la que V. tend vers une limite finie et determinee V. Le theoreme de Harnack mnontre que l'on a:

A V=0o. D'ailleurs V/ > V > Vn .



Partielles de la Physique MatheJmatique. 237

I1 reste a montrer que Vtend vers U quand le point M se rapproche indefiniment d'un point Mo de la surface de C. Pour cela, il faut que dans le voisinage de .21 la fonction U soit continue, sans quoi la proposition qu'il s'agit de demontrer serait fausse et n'aurait m8me pas de sens.

Nous voulons demontrer que l'on peut prendre M assez voisin de Mo pour que

U-E< V< U+ e quelque petit que soit e.

Comme au point MO, U est continu, U;. et Ut tendent vers une limite com- mune Uquand n crolt indefiniment. Nous pourrons done prendre n assez grand pour que:

MX 2

d'oiu a fortiori

TJn < 2 a

U < 2

Nous regardons n comme d6sormais determin6, nous pourrons prendre Mt assez voisin de Mo pour que:

V n 2 Vn <Un, +2-

2~~~ On aalors: V>U e U-

et v< V.,.< U./ + 2-< U+ iE. C. Q. F. D.

?2.-Probleme de Fourier.

Le probleme de Fourier a pour objet l'etude du refroidissement d'un corps solide rayonnant. J'ai donne de ce probl'eme, dans une note inseree aux Comptes Rendus, une solution plus rigoureuse et plus coinplete que celles qui ont ete proposees jusqu'ici. Bien qu'elle ne soit pas encore entierement satisfaisante, je crois qu'il ne sera pas inutile de la rappeler et de la developper ici; car elle va nous servir de point de depart naturel pour ce qui va suivre.

Considerons un corps solide homogene et isotrope, isole dans un milieu indefini h travers lequel la chaleur se propage par rayonnement. Soit V la temperature d'un point du corps; ce sera une fonction de x, y, z et t ; soit 0 la temp6rature ext6rieure. On aura, a l'interieur du corps:

dV = a2AV (1)



238 POINCARE: Sur les Equations aux Deriv&s

et a la surface du corps dV + hV= o. (2)

a2 est un coefficient constant qui depend de la conductibilite du corps et de sa chaleur specifique. Quant a h c'est un coefficient positif et constant qui depend du pouvoir nemissif du corps.

Le premier point est d'etablir l'existence d'une infinite de fonctions auxili- aires U1, U2, . a ) Un, , , , o

ne dependant que de x, y, z et satisfaisant aux equations suivantes: On aura a l'interieur du corps:

A Un + 71n Un = 0

et a la surface: dUn + hU

Les quantites k1, k2 . 9 * . kn * * * *

sont des coefficients constants que je supposerai rang6s par ordre de grandeur croisante et que je determinerai plus completement dans la suite.

Enfin pour achever de definir la fonction. U, nous ajouterons que l'integrale

fu~di

etendue a tonis les elements de volume dr du corps solide doit etre egale a 1. Nous allons pour dermontrer l'existerice des fonctions Un employer une demonstration analogue a celle par laquelle Riemann etablit le principe de Dirichlet.

Soit F une fonction quelconque et posons:

A= F2dt,

B = hf E2d +f[( )2+ d2 (dF)2] Jr.

L'integrale A ainsi que la seconde des integrales de 1'expression B sont etendues

a tous les elements dr du volume du solide et l'integraleFp2d& a tous les elements

dw de sa surface. Supposons que la fonction F soit assujettie a la condition

A=i1.



Partielles de la Physique Mat hmatique. 239

Les deux integrales de 1'expression B ont tous leurs elements positifs. B ne peut done devenir n6gatif. B ne peut non plus devenir nul; en effet il ne pourrait s'annuler que si tous les 6lements des deux int6grales etaient nuls a la fois, c'est-a-dire si l'on avait: p= o a la suirface du corps et

dF dF dF dx - dy dz-?

a l'interieur du corps. I1 faudrait done que F fuit encore nul a l'interieur du corps, ce qui est impossible a cause de la condition:

A =fF2dc7r 1.

B admettra donc un minimum absolu. Soit U1 la valeur de F qui correspond a ce minimum. Le calcul des variations nous donne:

2 Uj1 Uldc = 0,1

1 r rz~fdUi d3U dU1 d3U1 dU7ld31%\d_ 0. 2 .-=hj IJ8UioUid+J dx + dy dy + dz dz 2 Or le th6oreme de Green nous donne:

f(dUi d U dUj d Ui+dUi dU U) dr fdUi rUdc-C A U Udr J- + ady dz dz dn 1 J

de sorte qu'il vient:

1 AB~~ ( Ul +d l AUldo -A UjlUldrn o.

SB doit s'annuler toutes les fois que MA s'annule. On doit donc d'apres I'une des regles du calcul des variations, pouvoir trouver une constante k1 telle que

M - k1Mi

soit nulle quel que soit SU1. On doit donc avoir identiquement:

(dnU1 + h U1) Uld-f (A ? U1 + k1 U1) > Uld= 0

ce qui exige que tous les elements des deux integrales soient nuls ou que l'on ait a la surface du corps

dU U

din + U=



240 POINOARE: Sur les Equations aux Deriv6es

et a l'interieur: A U1 + k 1U U=

On a d'ailleurs par bypothese:

A=fU129d= 1.

L'existence de la fonction U1 est done d6montr6e. On trouve:

B = hf ld +f x[( j)2+ (dyU)2+ (dzUl)21 dr

ou en vertu du theoreme de Green:

B f U1( dL + hU 1)d - f U1A Uld

ou en vertu des 6quations qui d6fininent U1:

B = kf Uj2dr = kl.

Ainsi k1 n'est autre chose que la valeur du rapport B pour F= U1. Comme

ce rapport atteint son minimum pour F= U1, nous devons conclure que k1 est

le minimum du rapport .

Prenons pour F une valeur quelconque, nous obtiendrons une certaine

valeur de A qui sera plus grande que c1. C'est donc un moyen de trouver une

limite superieure de k1. Faisons par exemple F= 1.

I1 vient: A = fd = volume du corps solide,

B = hfdc = h x surface du corps solide.

Le rapport kA est donc toujours plus petit que le rapport de la surface du solide

a son volume. Cherchons encore une autre inegalite. Appelons W le volume du corps solide et S sa surface. Prenons pour origine des coordonnees le centre de gravite du volume du

corps,



Partielles de la Physique MIathgmatique. 241

Appelons I l'integrale fx2dz

c'est-a-dire le mnoment d'inertie du volume par rapport au plan des yz Appelons H l'integrale frc

c'est-a-dire le moment d'inertie de la surface par rapport au plan des yz. Soit xo la distance du centre de gravit6 de la surface au plan des yz. Posons:

M1 xo0S= zfxd .

Faisons maintenant: F= ax+ 1,

a etant une indeterminee; il viendra:

A f (aXc+ 1)2%r=a2I+W,

B = hf(ax + 1)2dc +fca2dr = a2 (hH+ W) + 2aMh + Sh

d'oi%i: a' (hH + W) + 2aMh + Sh kl<

a~2I+V

I1 faut maintenant choisir a de telle sorte que le second membre de cette in6galit6 soit minimum. Ce second membre admet un maximum et un minimum qui sont les racines de l'equation en ?:

M2h2= (hH+ W- 2I)(Sh - %W) ou A2~IV-X (ISh + W2 + Wllh) + SHh2 M2h2 + WSh= 0.

On a donc:.

ISh + W2 + WHh _ (ISh+W h+ W2)2Sh2+ M2h2 _ WSh k, < .* _, h+W h+ 22-S

I 21W 21W

cette linite est inf6rieure a la precedente. Occupons nous inaintenant de d6montrer 1'existence de la fonction U2; soit

une fonction quelconque F assujettie aux deux conditions suivantes:

A= 1, C=FUd- O=.

On pourra choisir cette fonction de fagon que B soit minimum; soit U2 la fonction qu'il faut choisir pour F afin de rendre B minimum. On devra avoir:

l B (U+ dU2) SUTdT - Au2Su2dr=o




toutes les fois que:

+A U Uzdr = o C= fus U2d =o .

On pourra done trouver deux constantes %I et k2 telles que: SB- k2SA - 2X1S C = 0

quelque soit S U2. On a donc identiquement:

f(h u2 + dj2) - 2d f (A1L+ k2U2+X1U1> U2dr= ?

de sorte qu'on aura a la surface du corps

h U2 + dU2 _0o dn et 'a l'interieur:

A U2 + kU2 + 2 U1 = 0.

Calculons X, et k2. Nous trouvons d'abord:

U1A U2d + k2iUfU1U2dr + IU?2dr 0.

Or f U,2d =1 C =fU1U2d=o0,

on aura done: 1 + U1A U2d = O.

Or le theoreme de Green donne:

U1AU2d- -fU2AU1dr U1 d fa U2 d Udca

Mais dUn h U2, dU = h U1 dn ~~~dn

I1 reste done simplement:

U1A U2d,r = UA Uld.

Mai, A U, k, Ul. Done X f UI U2d = - . =0

Done ,% est nul. II vient donc A U2 + k2 U2=O

d'ou~t: JUAU2 dz + 7lf Ud2dr= 0.



Partielles de la Physique Mathkmatique. 243

Or A=f U:2der 1.

Done:

k2 = 2TA U2d =-f U2 2 d6 +f[( 2)+ ( + dU)2d+er

ou:

k2 = hf U2d6 +fJ ( J)rdt - B.

Ainsi k2 n'est autre chose que la valeur de B qui correspond a F= U2 1 kc e6tait la valeur de B qui correspond a F= U, et au minimum de B.

Par consequent on a: k1 < k2

et d'ailleurs: d U2- dn + h U2 = 0 a la surface du corps,

A\ U2 + k2 112= 0 a l'interieur,

f Udr = 1 fU1 2dv o=.

L'existence de la fonction U2 est done d6emontr6ee. Soit maintenant U3 une fonction telle que

A= fU=2d=1, C U=fu3udv = ?, D =U3 U2d =o

et choisie d'ailleurs de telle sorte que B soit aussi petit que possible. On devra avoir: B = O

toutes les fois que SA=o, SC=o, SD=O.

On pourra done trouver trois constantes ?l, ?L2 et k3 telles que l'on ait identiqueo ment : B - k3SA - 21S - 2%2SD = 0.

Un raisonnement analogue a celui qui precede montrerait que l'on doit

avoir a la surface du corps d__ + h -

et a l'interieur A U3 + k3U3 +a1 Ul + X2U2= '0

On demontrerait ensuite comme on l'a fait plus haut que t, et a2 sont nuls et que k3 est la valeur de B qui correspond a F= 13.

32



244 POINCAR1E: ,Sur les Equations aux DMrivges

D'apres la definition de U3, k3 est donc la plus petite valeur que puisse prendre l'expression B quand la fonction F est assujettie aux conditions:

fF2d= 1; fFUidro; fFUFdro0.

D'autre part 7I2 etait la plus petite valeur que pouvait prendre B quand F etait assujettie aux deux premieres de ces conditions seulement. Done:

7C3 > I2.

La fonction U3 est ainsi definie par les conditions:

d Us + h3 C= ?, U3 + 7c3U3=o

fU.dr= 1; fI U3 U,*=fU3U2d = O-

La loi est manifeste; iU est inutile de pousser plus loin ce raisonnement. On voit que l'on a demontre l'existence d'une infinite de fonctions:

iu.u . U2), * - P ,

telles que l'on a a la surface du corps

dUPh= dn +hp

et a l'interieur: v U, + 71p Up = 0.

Les coefficients kp sont des colnstantes positives et telles que:

7+> 1 > kp. Enfin ona f Uii d i pourp>q

et u.

Ce raisonnement est sujet aux mnemes objections que celui par lequel Riemann etablit le principe de Dirichlet. Nous nous en contenterons toutefois pour le moment, nous chercherons dans la suite a le rendre plus rigoureux.

Ces fonctions U. ont ete eritiarement construites par Lame dans certains cas particuliers, par exemple dans celui de la sphere et celui du parall6lipipede.

Dans celui du parallelipipede rectangle dont les trois dimensions paralleles aux trois axes sont 2a, 2b et 2c, l'expression des fonctions Up, et des coefficients kc1 est particulierement simple.



Partielles de la Physique Math6mnatique. 245

Nous devons avoir en effet a l'interieur du corps:

AU+kU=O et en outre:

dU dU pour x=a d +hU=O, pourx=-a d--h JU= O,

dU dU poury=b -+hU=0, poury=-b - -hU=O dy

dU dU pour z=c d hU=O, pourz=-c --hU=O. dz ~~~~~~~~dz Posons:

U= sin (X1x + Lu) sin (X2x + 2) sin (X3 x + l3).

Les constantes a, et It nous seront donnees par les deux equations:

X, cos (%la + tt) + h sin (?la +[It) = 0, Al cos (ala-LI,) +- h sin (ala-jl,) = 0,

d'oiu: tg (Xla + tit) = tg (;Lla - t,L),

x 6tant un entier; il suffira de prendre z = 0 d'oui:

sin (a,x + pl) = sin alx et z - 1 d'oiu: sin (X,x + yq) = cos a1x. On aura alors pour

[i ou 2 Xi + ,h tg (.la + t,)=o.

De meme 2, u3s, 2 et 23 seront donnees par les equations:

2=0 ou 2 2 + h tg (a2b + 82) '.

s3= 0 ou 2 3X + h tg(X3C + 13)=O.

Enfin on a: k = X2 + X +XI

Considerons en particulier le cas de h = 0; ce qui correspond au cas oiu la surface du corps est impermeable a la chaleur; il vient

tg (Xla + It,) =

d'o'u: 7 ,a + _ t + .



246 POINCARE': Sur les Equations aux D6rivees

ou a cause de ti, = 0 ou 2

=- ml 6tant entier.

On a alors: k= ( M+ 2 m+ 7)

ou Ml, im2, m. sont des entiers. On aura done:

k1- O, 22-4a2~

si 2a est la plus grande des trois dimensions du parallelipipede, c'est-a-dire si

a > b > c.

On trouve ainsi k, = 0, U1 = const. et k2 = .7e2, U2 = const. sin a1x.

Supposons maintenant h = o, ce qui correspond au cas oiu la surface du corps est maintenue artificiellement a la temperature 0; on a alors:

tg (ala + i) = 0

d'o "u *la + ji Z7= , x etant entier,

ou puisque t = 0 ou

mla ml 2- iMl etant entier.

Nous trouvons donc encore: M2

k-(a + b2+ 7e) a 2t C2 4'

M1, In2 et m3 6tant entiers. Mais toutes les solutions ne sont pas acceptables. On doit avoir en effet

U= 0

'a la surface du corps; d'oui:

sin (ala + It) = sin (X2b + U2) = sin (3C + [t3) = 0,

ce qui exige que inl, M2 et m3 soient au moins egaux a 1; il viendra donc:

kLaisson + mn a+ de 4 e

Laissons maintenant de co'te le cas du parallelipipe"de rectangle et revenons au



Pa6rtielles de la Physique MathMmatique. 247

cas general; il est clair que, pour un meme corps, kl, k2, k. sont des fone- tions du pouvoir emissif h. Je dis que ces fonctions sont toujours croissantes. Soient en effet h' et h" deux valeurs du pouvoir emissif; soient pour un corps donne, k' et k'' les valeurs correspondantes de k-, et UZ' et UITI les fonctions U, correspondantes. On aura:

a la surface du corps

dU' dUll dn +h = dnn + h"l Unt =3

et a l'interieur du corps:

Unl + kn/Un A Un/+k' Un// =O. (4)

Le theoreme de Green nous donne:

d Ual d UlUldU~ J d b n t dn IJn d-a (Unth n nUt t

Dans cette identite rempla9ons A Un, A Uin, dn ' dn par leurs valeurs tirees des equations (2) et (4), il viendra:

(h' - UM) U. U.d- (nk - 7k U)fU Unld I .

Supposons que h' et h" differe tr6s peu de telle sorte que

h" - h' =dh, kn' - kn. dkn,

U = Un a des infiniments petits pres, il vient:

dhf Un2d = dk Un2dr. (5)

Dans I'equation (5), les deux integrales sont essentiellement positives; il reste done: dkn

dAh > '

ce qui signifie que kn est une fonction croissante de h. C. Q. F. D.

Pour h - 0; on a 6videmment:

1 k, = 0, U1 = const. = A/W (W etant le volume du corps),

En effet, ces quantites satisfont aux equations

A U =ZA U + 7cU U1 = ? dn = ?.



248 POINCARE': Sur les Equations aux D6riv6es

L'equation (5) devient alors

dk1 _ S dh -W '

S d6signant la surface du corps et W son volume. Done si h est trAs petit, k- est sensibleiment egal a S

w. Nous venons de trouver:

dh U2 -fUa Z2dt

Nous avons d'autre part:

= hf UJdu2 +,/f[(dM)2+ (dU8)2+ (dUn)2] d d'ou: lDn >~~~~U 2z d2x U, 2d dU kn

1< kn dh h dkn

et dkn dh

Cette inegalit'e montre que le rapport -kh va toujours en decroissant. h II importe de remarquer, avant d'aller plus loin que quand h est positif, kon

est essentiellement positif. Sans doute, cela resulte de la fapon dont les fone- tions U. ont ete definies plus haut; mais on pourrait imaginer qu'il existe des fonctions U autres que celles que nous venons de definir et pour lesquelles on aurait: dU du +hU=O, 'AU+kU=O, fU2dr= 1, kJ<O.

Je dis que cela est impossible et il me suffit pour l'&tablir de montrer que l'on a:

k = hj U2dw + J dUj-2+ (dy 2+ )-I d

ce qui se demontrerait par le meme calcul que plus haut. Si au contraire h etait negatif, kn pourrait aussi devenir n6gatif. I1 peut arriver quand on fait varier h, que deux des nombres kJ, et k

viennent a se confondre. Qu'arrivera-t-il alors en g6n6ral ? Soient Jo et Jo" deux valeurs de Je, U' et U" les fonctions U correspondantes.

Imaginons que k', kJ", U' et U" soient des fonctions continues de h. Quand h < 14, on aura par exemple k' < k"; pour h = AO, on aura k' = J7; pour h > 7to,



Partielles de la Physique MIath6matique. 249

on aura k' > k"/. D'apres ce que nous venons de demontrer, k' et k"' sont deux fonctions croissantes de h.

Maintenant, supposons qu'il y ait n - 1 nombres k inf6rieurs a la fois "a k et "a 7i. Nous devrons, d'apres nos conventions, appeler kn la plus petite et kn+ la plus grande des deux quantites k' et kAl. Nous aurons done:

k' = kn k"/=kn ?1 pour h < ho et F = k"= k = kn +1 pour h > ho.

Les fonctions k' et kl' 6tant continues et croissantes, les fonctions kn et kn + definies comme nous venons de le faire seront aussi continues et croissantes.

En resume, dans tous les cas possibles, kn est une fonction croissante de h; kn, atteint donc sa plus petite valeur pour h = 0.

Nous allons donc etudier la valeur de kn pour h = 0. Decomposons le volume de notre corps solide, d'une maniere quelconque,

en p volumes partiels. Consid6rons chacun de ces volumes partiels comme un corps solide de meme conductibilite que le solide donne et dont la surface est impermneable a la chaleur. Soient:

Ul, 1 , L. a , Uln *

U21 , U22 7 ... 7 U2n.

Upl Up2, 7 - Upn)-*-

les fonctions U relatives a ces p solides.

Soient: kll , k12 . . * k2l 7 k22 7 k2n X @@

kp1 , k2 kpn

les nombres k correspondants. Comme pour chacun des p solides partiels on a h = 0, on aura:

kll- k2l =. . .. =kpl =O

et les p fonctions Ull, U21, . ... U., seront des constantes. Je conserverai la notation Un et k7 pour les fonctions relatives au solide

total. Posons maintenant:

V= a,LU +a2U2 + *.+ a.U.,

les a etant des coefficients indetermines.



250 POINCARE: S'ur les Equations aux Derivees

Nous avoons a la surface du corps, puisque h est suppos6 nul:

dV dn 0

et par consequent en vertu du theoreme de Green:

dV d+ =-V r VAvdi.

Le second membre peut s'ecrire (en vertu de I'equation A Ui + ki Ui = 0):

f(a,U1 + a2 U2 + .. .. + a. U.)(alk1U1 + a2k2 U?2 + . . .. + a.k lU.) do7

ou encore (en vertu des relationsf U;dUr = 1, f U, UKder = 0):

kja2 + 4za2 +-.***+ kanX D'autre part on a:

f V2d_ J(a, U.+ a2U2 + ....+ anUn)2d= a2c + +, + a2

d'o Nu dV2 ( dV)2 (dV 2

Jr _

______2____+a_ f dx k'a, kiLL+ k2a + ..+ k < ()

Nous pouvons disposer de nos n coefficients arbitraires al, a2,. , ande fagon a satisfaire a n - 1 conditions. Voici comment nous choisirons ces conditions.

Nous annlulerons d'abord les 2i integrales

f VU11dT, fVU12dt.. , f VU1A&Z

6tendues au premier solide partiel. Nous annulerons ensuite les X2 integrales

f VU21d, ..**, f VU2A2dr

6tendues au second solide partiel.

Nous annulerons enfin les X, integrales

6tendues au dernier solide partiel.




Nous devrons avoir d'ailleurs:

a1 + 2+...* + X.= n-1. (7) Rappelons quelle est la definition de kl.,,+1. Ce coefficient est le minimum dii rapport des deux integrales:

B df[QV)+ (dJ)2+ (d J)]d, Af V2d r;

quand la fonction arbitraire V est assujettie aux X, conditions:

f vuid, =f VUi12G.r = . .= vzl. dn = c.

Toutes les int6grales sont supposees etendues au premier solide partiel. Donc le rapport des deux int6grales B et A 6tendues 'a ce premier solide est plus grand que ki.A,+?.

On verrait de meme que le rapport de ces deux integrales 6tendues au second solide est plus grand que k2.,A2+l, etc.; que le rapport de ces deux integrales 6tendues aupe solide partiel est plus grand que k..,, +,.

Donc le rapport des deux int6grales B et A 6tendues au solide total, sera plus grand que la plus petite des p quantit6s:

k1.\1+1, k2.X2+ 1*....k + 1 (8)

Mais l'in6galit6 (6) exprime que ce mreme rapport est plus petit que k,. Donc kn est plus grand que la plus petite des quantites (8) pourvu que la

relation (7) soit satisfaite. Ce r6sultat peut s'6noncer comme il suit: Rangeons les quantites

7D1kl2 I k1 - kln 7 k2l y .. . -.. k2n 7

kpl ,.. . . . .I k.pn

par ordre de grandeur croissante. (Il va sans dire que dans la s6rie ainsi obtenue, plusieurs termes pourront etre 6gaux; c'est ainsi que les p premiers termes qui sont kll, k217 ...., k., sont tous egaux a 0.)

Chacun des termes de la serie ainsi obtenue sera plus petit que le terme correspondant de la serie:

k1, k2, . , I kn. 33



252 POINCARE: Sur les Equations aux D6riv6es

Cela pose, supposons que notre solide soit un polyedre limite par des faces qui soient toutes paralleles a l'un des trois plans de coordonnees.

Nous pourrons decomposer notre polyedre en n - 1 parallelipipedes rect- angles. Soient k k22 . ' n--1.2 (9)

les valeurs de k2 correspondant a ces n - 1 parallelipipedes; d'apres ce que nous venons de voir, la valeur de kn correspondant au poly6dre total, sera plus grande que la plus petite des quantites (9).

Si les trois dimensions d'un parallelipipede sont 2a, 2b, 2c de telle sorte que a > b > c; nous avons vu qu'on a, pour ce parall6lipipede:

k2 - 4a2

Si donc aucune des trois dimensions d'aucun de nos n - 1 parallelipipedes partiels n'excede a, on aura pour le polyedre total

kn > 7 4a22

Quand n crolt ind6finimnent, on peut faire tendre a vers 0; donc k1 crolt indefiniment.

Cela est vrai pour un poly6dre forme comme je viens de le dire; et cornme on peut construire de pareils poly6dres qui different aussi peu qu'on le veut d'un solide quelconque, on pourrait dire que cela doit 8tre vrai aussi d'un solide quelconque. Mais un semblable raisonnement ne saurait nous contenter.

Pour demontrer le theoreme pour un solide quelconque, je dois d'abord chercher une linite inf6rieure de k2 pour un solide convexe quelconque. Par solide convexe, j'entends un corps tel que le segment de droite MM', qui joint deux points M et M' intferieurs au corps, soit toujours tout entier int6rieur au corps; ou ce qui revient au m5eme tel qu'aucune droite ne rencontre la surface du corps en plus de deux points.

Rappelons d'abord la definition de ko2; 7J2 est le minimum du rapport

f[QdJ)d + 2 dV 2 dV)2] d JV2dt

quand la fonction V et assujettie a la condition:

fVd-=0. (10)



Partielles de la Physique Mathrmatique. 253

On peut transformer la definition de fa9on a faire disparaitre cette derni're condition.

Envisageons l'integrale

(V- V')2drtc.

Dans cette integrale, dr et dct sont deux elements de volume quelconques du solide donne; x, y, , et x', y', zI sont les coordonnees du centre de gravite de chacun de ces deux elements; V et V' sont les valeurs de la fonction V aux points x, y, z et x', y', z'; enfin l'integrale est etendue a toutes les combinaisons de deux elements de volume dr et dr'. (Chaque combinaison sera r6petee deux fois de la fagon suivante; une premiere fois le premier 6l6ment jouera le role de d'r et le second celui de d'r et la seconde fois ce sera le contraire.)

On trouve ais6ment en se servant de la relation (10) et en appelant W le volume total du corps

f( - V1)2 ddr' = 2 W V2der

-de sorte que k2 sera le minimum de l'expression

2W [ dV 2 dV 2 dY V2] d1

J(V- V)2 d dr'.

Mais alors la condition (10) devient inutile; si en effet on ajoute a V une constante quelconque, la condition (10) cesse d'etre satisfaite et 1'expression (11) ne change pas.

Nous pouvons donc dire finalement que k2 est le minimum de l'expression (11), la fonction V 6tant tout a fait quelconque et n'etant assujettie a aucuine condition.

C'est de la transformation de cette expression (11) que nous allons maintenant nous occuper.

Posons a cet effet: x= +pcosqpsinG, x'=. +p'cosq sinG, y =v + p sin q sin 0, y' = n + p' sin q sin 0, (12) z =p cos, , z= Pcos0.

La th6orie de la transformation des int6grales multiples nous donne:

(V- V')2drdet'l V- V1)2 dxdydz dxr'dy'dzl

( V- V')2(p - p/)2 sin 0 cos Od~dndpdpld0dcp.



254 POINCARE1: Sur les Equationrt aux D6riv6es

Il va sans dire que, bien que je n'emploie qu'un seul signe f, il s'agit ici d'integrales sextuples.

Parlons maintenant des limites d'int6gration; supposons que (, nq 0 et qp soient consid6res un instant comme des constantes; quand on fera varier p, le point x, y, z decrira une droite; comme le corps est convexe, cette droite rencon- trera la surface du corps en deux points. Soient po et pi les valeurs de p qui correspondent a ces deux points d'intersection.

Pour obtenir alors tous les points (x, y, z), (x', y', z') interieurs au corps il

faudra faire varier p et p' de p. a pl, 0 de 0 'a 2 l de 0 a 2,n, et donner ' a et

a n toutes les valeurs telles que po et p, soient r6els. Cela pos6, cherchons a transformer le num6erateur de l'expression (11). Nous avons d'abord, en vertu des 6quations (12):

dV dV dV dV dp =cos + sin 0 ?+ sin P sin 0d+ cos 0 dp dxr d dz

d'oui: ff( )2sin OdOdcp

d V d V dVp )

cos p sino d + sinp sin 0 dy + cosO / sin OdOdp.

Calculons cette int6grale double en int6grant entre les limites 0 et 2t pour cp et

entre les limites 0 et 2 pour 0. Le coefficient de (d 2 sera:

entre -~- pour dx/sea

ffjcos2cp sin3OdOdqP = 2- t

Il est aise de voir que le coefficient de -d 2 a la m8me valeur.

Le coefficient de d) sera

Le coefficient de 2 d- sera:

ffjcos p sin sin3 0 dodp 0.



Partielles de la Physique MatMmatique. 255

Ceux de dV dV dV dV

2 d d et de 2 seront: dx dz dy dz

ffCos cp sin2 0 cos 0 di dcp =ffsin qp sin2 0 cos 0 dO dcp = 0.

I1 reste donc simplement:

ff Jn( d ) sin 0 d) O d,d = 27t [(dV)2 ( dV2 ( dV)2]

Soit M une fonction quelconque de x, y et_z; la th6orie de la transformation des integrales multiples donne:

fCMdt f Mdxdydz Mcos 0 dg dn dp.

I1 vient donc:

f (dpV) sin 0 cos 0 dA dr dp dO dcp = 2f[(1v)+ (dv)2+ ( d)2] .

Posons maintenant pour abreger:

B fo dp dp, A= Pi po dp ( V V')(p- p)2,

l'expression (11) deviendra:

3W fB sin O cos Od drn dO dcp

t faS sin O cos d dr1 df ddp

Les quantites sous les deux signesfsont essentiellement positives puisque 0

varie entre 0 et t Pour trouver une limite inf6rieure de l'expression (11), 2~~~~~~

il nous suffira de connaitre une limite inf6rieure du rapport . C'est de quoi

nous allons maintenant nous occuper. Si la fonction V est choisie de telle fagon que A = 1, il est clair que l'inte-

grale B ne pourra pas s'annuler; elle admettra donc un certain minimum. Cher- chons a determiner ce minimum par le calcul des variations.



256 POINCAREI: Sur les Equations aux Dgriv&q

Nous trouvons: 1 SB =fP dfV d8V

1 AA ff(= V- V`)(QV-`_VI)(p pf)2dpdp'=O.

Transformons ces deux expressions, nous trouvons, par Ilintegration par parties,

= dV ,Pif'Pd2 V 2 LB [dV SVJPI -J dp2 Vdp= 0.

D'autre part, si dans l'integrale double

J ff ( V_ V') V(p - p')2 dpdp'

on permute p et p', l'integrale ne doit pas changer il vient ainsi:

J=ff ( V' - V) > VI (pl p)2 dpdp', d'oiu 1S 2J

2J et J=f Vf( -V)(p - pl)2 8 Vdpdp' = 0.

Cela peut s'ecrire: Pi J' fPi

Vdp = 0

en posant: H== VJ7 (p - p')2 dp' fPI VJ (p - p/)2 dpf.

Posons donc pour abreger: fPi fPi 2 _ 2 PI~ p3 3

Po dp' = PiIPO p'dpf = el PO. Po jP2dp= -p i0o 2 ' io~3

Pi _ Pi p

OVdp = Vdp = a;J V'p'dpf jX I Vpdp fi; ,pp2-dp=

II viendra: H V [p2 (pl _.po) - p (p2-p2) + pi -P] a p2 + 2gp3- ,

Pour que B soit minimum, il faut d'apres les regles du calcul des variations que CiB s'annule toutes les fois que J est nul et pour cela il faut que l'on ait:

d2V+ KH== 0, dp2

K etant une constante qu'il reste a determiner.



Partielles de la Phys?ique Mathe6matique. 257

Voyons comment le probleme pourra Stre traite. Posons d'abord

p=P1+P,2 pl A+a0, Po-- ao6

nos equations deviendront:

d + KH= o,

H= V[2a2ao + 2a4] - al02 + 21'a -y

ou: a/'dor ThI Vada , y = Va2da,

les int6grales etant prises entre les limites - c0 et, + ao. Posons maintenant a _aot

all~ Vdt 7 " Vtd I mee y J t dt (13) L'equation devient:

KT dt2 + 2LVt2 + -af't2 + 2{3"t-"t' = 0. KI Kao

L'equation (14) contient encore quatre indetermin6es, al", d", y" et K'. Si nOUS

l'integrons nous trouverons:

V- a" VI + 9" V2 + y" V3 + Y// V4 + e V5,

V1, 72, V73, V74 et V1 etant des fonctions entierement connues de t et de K' pen- dant que Y' et e" sont deux constantes d'integration.

Pour achever de connailtre V il nous restera a determiner les six constantes a/, ", /y, Si'i, e"I et K'. Pour cela nous avons six equations; a savoir, les trois equations (13), e'6quation A = 1 et les deux relations

dV dV d pour P = P0? 0 pour p i- p

d,o dp pur= .

Ces six equations ne suffisent pas toutefois pour determiner completement ces six constantes et en particulier K'. On trouve pour K' une infinit6 de valeurs positives. Nous prendrons la plus petite de ces valeurs que j'appellerai K0.

Je n'ai pas besoin pour mon objet de calculer effectivement Ko; il me suffit de faire observer que c'est une constante nume6rique.

I1 vient alors: Ko - 4o 50 (P _

Po)5



258 POINCARE: Sur les Equations aux Dwrivees

I1 nous reste a chercher le minimum de B correspondant a cette valeur de K. A

Nous trouvons: 1dV Pi f VPi d2VTT74T TA

Ldp J0 Sdp Po dp2 VdpIKYIVp

ou B = Kfdp V[ Vf(p - p')2 dp' - V/ (p - p')2 dpi]

=K V(V 1- V)(p - p/)2 dpdp'.

Or l'integrale du second membre ne doit pas changer quand on permute p et p'; on a donc aussi

B =-- IJ V' (V-'17)(p - p')2 dpdp',

d'oi'i K K d'ol'l ~B V K,9( _ vt)2(p _ p/)2 dpdpf = A. 2 J\k PP 2

Ainsi le minim-um de B est egal a A

K 2Ko 2 (pi- po)5

Pour une fonction V quelconque on aura donc:' B > 2KO (15)

Soit X la plus grande distance de deux points de la surface du corps solide envisage on aura B 2Ko

A > X5 ,

II est a remarquer que si je n'avais pas voulu indiquer sommairement la maniere de calculer la constante num6rique K,, j'aurais pu arriver 'a la formule (15) en quelques lignes par de simples considerations d'homogeneite.

I1 suit de la que l'expression (11) est toujoours plus grande que

6KOW 7W%

Par consequent pour un solide convexe quelconque on a:

k 6KoW

KO d6signant une constante num6rique, W le volume du corps, et 2 la plus grande distance de deux points de la surface du corps.




Cela pose passons a un solide quelconque; on peut le d6composer en n - 1 solides partiels convexes. On calculera pour chacun de ces solides le rapport

-W5 ; imaginons que pour tous ces solides soit plus grand que a; on aura pour

le solide total K Ko

Or nous pouvons prendre n assez grand et choisir nos n - 1 solides partiels de telle sorte que la quantit6 que nous venons d'appeler a soit aussi grande que l'on veut.

Donc kn sera 6galement aussi grand que l7on voudra. Donc _pour un solide quelconque kn croit ind4jiniment avec n. Nous avons demontre ce theoreme dans le cas. oiu h = 0; ceta doit suffire;

car kn est croissant avec h; le theoreme peut donc etre regarde comme demontre pour toutes les -valeurs positives de h.

Je ne veux pas quitter ce sujet sans avoir indique un moyen de calculer une limite sup6rieure de kn.

Posons F a1F1 + a2F2 + * a*. +

F1, F2 . , F 6tant des fonctions donn6es et al, a2. a. des coefficients ind6termines.

Les deux integrales:

B = hf F2d +f[( )2+ (dF)y ( )z] d, A 2d

seront des formes quadratiques dependant des n parametres a,, 2.. an.

Formons la forme quadratique:

B-aA

ou X est un nouveau coefficient ind6termin6. Ecrivons que le discriminant de la forme B - ?A est nul; nous obtiendrons

une equation algebrique d'ordre n en X; il est aise d'6tablir que cette equation a toutes ces racines r6elles (parce que les deux formes B et A sont d6finies positives; il suffirait d'ailleurs que l'une d'elles le futt. Mais de ce que les deux formes sont toutes deux definies positives, il resulte que les racines soit non- seulemnent reelles, mais positives).

Soient A1, 2 I Xn 34



260 POINCARE: Sur les Equatiorw aux Derivges

ces n racines rangees par ordre de grandeur croissante; je dis qu'on aura:

1 >k1 2 >k2 3 I k>k3 ... , n >kn- En effet la plus petite valeur que puisse prendre le rapport - quand on fait

varier les a doit etre plus grande que k1. Or cette plus petite valeur est Xj; on a donc a1> kl.

En vertu de la theorie des formes quadratiques, la forme A peut etre decomposee en n carr6s et s'ecrire:

A-1 +/2 + n 1

(1' ,2) .... I 3n 6etant des fonctions lineaires de a,, a2.. an. De plus cette d6ecomposition peut etre faite de telle sorte que

B- lgl + x2g2 + * % n92

Introduisons maintenant les conditions:

fFuldr fFu2dr_.. . .=fFU,d=O. (1 6)

Le minimum de A B

en tenant compte des conditions (16), devra etre plus grand

que k?+1- Cherchons ce minimum. Les conditions (16) sont lineaires par rapport aux

i de sorte qu'on peut les ecrire:

itnll1 + t12692 + * + ttlnIn = 0,

tt219f1 + 14222 + * * * * + tt2nlBn -? t (16 bis)

y,191l + Yp2l92 + * - - - + t4lgn ? _ O-

Soit X le minimum cherch6 du rapport A . On voit par des calculs qu'il est

inutile de reproduire ici que ce minimum qui nous est donne par l'equation suivante, dont je vais expliquer la signification:

>;fH2tI ( -;;i) = . (17)

11 (a - X) sera le produit de n -p binomes tels que a - -,. Supprimons dans les equations (16 bis) tous les g, qui ont meme indice que les a, qui entrent dans le produit rl (a - Xi); nous appellerons H le determinant des equations lin6aires ainsi obtenues. Enfin la sommation indiquee par le signe S est 6tendue a toutes les combinaisons des n quantit6s a, prises n - p a n - p.



Partielles de la Physique Mathematique. 261

On voit qu'en substituant dans l'equation (17) successivement

- 0 XI )1 A X2 * - . * I xn I + 0?

on obtient au moins p changements de signe. Par cons6quent la plus petite racine de l'equation (17) sera au plus egale h Xp+,. On a donc:

%p + l > k +i l * C. Q. F. D.

Je termine ce paragraphe en donnant une nouvelle maniere de calculer une limite superieure de k2 pour h = 0.

Soient f, g, h trois fonctions quelconques assujetties a la condition suivante: A la surface du corps on aura:

af+/3g+yh 0, (18)

OG, , y designant les trois cosinus directeurs de la normale a cette surface. De plus nous assujettirons nos trois fonctions a la condition

A= (f2+g2+h)dr=1. (19)

L'integrale B df )2+ (dg )2 ()dh] 2

aura 6videmment un minimum. Cherchons ce minimnum. Posons: o_ df + dg + dh

dx dy dz

Nous trouverons, par le calcul des variations:

Sf + %g + ySh 0 (a la surface du corps) (18 bis) et 2 (fWf+gAg+ Mh)dt- ,

1 B r d8g dJh d d=0. 2 T-Jk .dx dy+ dz /

L'int6gration par parties donne: ?1BfoQ4f+ + dO dO ) - SB = J0 (JSf + /gSg + 7Mh) do -9 -: Sf+ g + d M dr,

ou en vertu (18 bis)

2 SB - dc Sf + d Sg + d M d?_ o.



262 POINcARfi: Sur les Equations a ux Derivees

Pour que 3B soit nul toutes les fois que 3A est nul, il faut donc que l'on ait:

kf + d- = 0 kg + d 0 = kh + d = 0 (20) dx ~~dy dz '(0

k 6tant une constante qu'il reste a d6terminer. Des 6quations (20) on tire par diff6rentiation et addition:

AO + kO= 0

et l'6quation (18) devient: dOf 0. dn

Cela montre que 0 est l'une des fonctions U que nous avons d6finies plus haut; ce ne peut etre que U2; on a k k2, et pour 0 U2 Uon trouve:

B foJw02dk k~f2 UdZr -(f2 + g2 + h2) dr f[Q2J)+ <U)2 + (U)2

Pour des fonctions f, g, h quelconques on aura donc

B -i >k2,

d'oiu la r6gle suivante. On prend trois fonctions quelconques f, g, h assujetties a la condition (18).

(La condition (19) devient inutile des qu'on considcere le rapport A). Le

rapport df dg_ dh d rpo J(d;G dy dz /

f(2 + g2 + h2) dr

est plus grand que k2.

?3.-Lois du Refroidissement.

Soit V la teinp6rature d'un point du corps solide; V sera une fonction de X, y, z et de t. Cette temnperature devra satisfaire aux deux equations suivantes:

A l'int6rieur du corps: (1) dt= a2A V.

A la surface du corps: (2) dV + hV 0.



Partielles de la Physique Mathe'matique. 263

La temperature est doinnee arbitrairement a I'epoque initiale t = 0. I1 peut done se faire qu'a cette epoque t = 0, l'equation (2) ne soit pas satisfaite; mais elle devra l'etre pour toute epoque posterieure t> 0. C'est laune premiere anomalie qui vaut la peine d'etre remarquee.

En voici une seconde: V ne peut pas en general etre developpee suivant les puissances croissantes de t. Supposons en effet que cela soit possible; qu'arrivera-t-il ? Soit V0 la valeur de V pour t = 0. On aura pour t 0:

dV 2AV,

d' Va2A

d a4LAAV0 dt -a A O dt2 -a

0 t- AV dit dl

ou d2V V 4A2 V dt2 aAT7

en convenant de poser: An V= A (An -IV).

On aura ainsi en general: d V 2n dtn

= a2"A'a vo

de sorte que si le d6veloppement etait possible, il viendrait:

V= VO + a2tA VO + I 22 _12_3 A *

I1 resulterait de la qie la temp6rature en un point donne et .a un instant donne ne dependrait plus que de la valeur de V0 et de ses derivees en ce point. La forme du corps solide n'interviendrait en aucune fa9on. Cela est absurde.

Pour mieux faire comprendre ces anomalies, nous allons envisager un cas particulier. Imaginons que le solide devienne un mur indcefini compris entre les deux plans X 4 7t.

Supposons que les deux plans x = =I 7 qui limitent le mur soient imperm6- ables a la chaleur ce qui revient a supposer h = 0.

Supposons de plus qu'a l'epoque t 0; la temperature initiale V0 ne depende que de x et ne change pas quand on change x en - x.

Ces proprietes subsisteront evidemment a une epoque quelconque. Vsera fonction de x et de t seulement et ne changera pas quand on changera x en - x.

Dans ces conditions on peut poser:

V= c4P (t) cos mx.



264 POINCARE: Sur les Equations aux D6riv&es

Nous aurons alors d2V 2 A V ; d Em2cpm (t)cos mx, dV dt = ' (t) cos mx.

Si dans l'equation dV . a2A V dt

nous faisons a2 = 1pour simplifier il vient:

q)' (t) + m2cpm (t) = 0

d'ou c)m (t) = AmeFamt

et enfin V= Aemn"2t coS mx.

Donnons-nous la temperature V. a l'instant initial t= 0. V, pourra toujours etre developpee par la s6rie de Fourier sous la forme:

VO = EA. cos mx.

La serie du 2d miembre ;A. cos mx est toujours convergenlte, mais la convergence peut n'etre pas absolue.

En vertu d'un theoreme d'Abel, si l'on prend

V= EjlAe-'n" cos mx (3)

on aura quand t tendra vers 0 liin V= VO.

L'equation (3) nous fournit donc la solution du probl6me. I1 semble que la condition h = 0 n'ait joue aucun role dans ce calcul; ce

n'est la qu'une apparence a la quelle il ne faut pas se tromper. Nous pouvons, il est vrai, dans tous les cas possibles, d6velopper V par la

serie de Fourier, et ecrire: V$ 1m(t) Cos mx.

Mais pour que nous ayons le droit d'en conclure

d2V = _ Xfim2q (t) cos mx

il faut que la serie (et d'ailleurs il suffit)

Xm2qm (t) cos mx soit convergente.




Pouir cela il suffit que l'on puisse trouver un nombre K tel que

mI Alom() < KX K

ou |qkm(t)P < M4* (4)

D'apres un theoreme que j'ai demontr6 dans le Tome III du Bulletin Astro- nomnique (Sur un moyen d'augmenter la convergence des series trigonomn6triques) la condition (4) equivaut a la suivante; la fonction representee par la serie

1(x) = ZfqM cos mx

devra etre continue ainsi que ses trois premieres derivees. Or cette fonction est 6gale a Ventre les limites - n et + t; si on est en dehors de ces limuites on a:

f(x) = V(x + 2z),

p etant un entier positif ou negatif choisi de telle sorte que x + 2pt soit compris entre - n et + n.

Comme V est continue ainsi que toutes ses derivees, il ne peut y avoir de discontinuit6 qu'aux deux limites x = + 7z. Si donc nous designons pour un instant par VI, V"I, etc. les deriv6es successives de V par rapport a x, on devra avoir: V (n)=V (-t), (5)

V' (7)= V' (7t), (6) VJ (n) V" (- Az). (7) V"'f (A) --V"'/ (- -7t) . (8 )

La fonction V etant paire les conditions (5) et (7) sont remplies d'elles-m8mes. D'autre part V' et V"' sont des fonctions imnpaires de sorte qu'on doit avoir:

V' (i)=- V' (-7C), V"' (7) -V"' (-')

et que les conditions (6) et (8) peuvent s'ecrire:

V' (A) =V"' (7C) =O,

c'est-a-dire que pour x =7n on devra avoir: dV d8 V dx (9)jxs

Si h 0, on doit avoir pour x =7t:

d V dV _V dn dx



266 POINCARE: SUr les Eqauations aux Dertvees

Cette condition ayant lieu, quel que soit t on aura: d2V d3V dtdx - dx3

Les conditions (9) sont donc remplies, et notre calcul est l6gitime, mais seulement dcans le cas de h = 0.

Cela pose consid6rons la serie

V0 = SAm cos mx.

En g6n6ral la serie: Zm2A2M Cos mx

ne sera pas convergente de sorte qu'on ne pourra pas ecrire:

zVI dX2 - - Em2Am cos mx.

Il en resulte qu'on n'aura pas en general:

lim AV= AV0 quand t tend vers 0 et qu'on n'aura pas non plus:

dV lim dt = VO quand t tend vers 0.

C'est ce qui explique pourquoi le developpement suivant les puissances de t est g6n6ralement impossible.

Revenons maintenant au cas general:

On a pour t>0 dV+hV= o

ou en differentiant par rapport a t:

d2V dV dtdn+h dt

ou: dAV+hAV=O.

En difIerentiant p fois on trouverait de meme

dA + hAp V- o dn

Pour que le d6veloppement suivant les puissances de t soit possible, il faut evidemment que l'on ait:

dV 4+ hVo = o, 2 , + hzVI 0. ( , 2, . ad inf.)



Partielles de la Physique Mathematique. 267

Ces conditions, en nombre infini, sont necessaires; j'ignore si elles sont suffisantes quoique cela puisse sembler probable. Je n'insiste d'ailleurs sur tous ces points que pour mieux montrer avec quelles precautions il faut toucher aux 6quations aux d6riv6es partielles.

Passons maintenant a l'expos6 des lois g6n6rales du refroidissement. Considerons d'abord l'integrale suivante:

A f VYdr.

Je dis que cette integrale ira toujours en diminuant; nous trouvons en effet:

dA _=2 rv dV d-, =2a2fVA Tdr. dA dt d

11 vient ensuite:

fvA' = V dn -f[( )( V + 2 dV 2 dz)] 2

ou en vertu de l'equation (2)

VA Vd, r h V2da - B <0dV 2 (dx)

et par consequent: dA - - 2a2B < 0. 0. Q. F. D.

Je dis maintenant que si h n'est pas nuil,fVY2d tend vers 0 quand t croit

ind6finiment. On a en effet B > ~A > k1 dA

d'o'u dA < 2a2k1,

ou en appelant A, la valeur de A pour t- t=

A < A0e72 k1t

Si h n'est pas nul, k71 n'est pas nul non plus, et l'on a:

lim A= O pour t= ' C. Q. F. D.

Je dis maintenant que le rapport A va constamment en diininuant:

Il vient en effet: d(B> _ AdB-BdA dtk..A J A2dt

35



268 POINCARE: Sur les Equations aux Deriv6ees

de sorte qu'il s'agit de demontrer l'inegalite suivante:

A dB B dA < 0

Nous devons donc d'abord calculer dtB, il viendra:

dB - d _(dV Vdv(dA Vd . dt dt J dtd

L'equation (1) nous permet done d'ecrire:

ldB - (A v)2ld f VA2 Vd.

Or si V et U sont deux fonctions satisfaisant a la surface du corps a l'equation (2) le theoreme de Green nous apprend que

(F VU- UTzV) d -= 0.

Mais V et AV satisfont a l'equation (2). On a done

fV2 Vdz =f(A V)2dt

et par consequent: dB 2a2f(A V)2dr

ce qui montre deja que B est decroissant. Nous pouvons ecrire (en appelant dr' un element de volume du corps autre

que d' et designant par VI la valeur de V au centre de l'element dre)

,dA 2 dB 2 =t 2a2j V'A V'dr'; dt - 2a2J(A V')2dzn

et par consequent:

A dt -B dt - 2a2 7V2d (j( VT r)2dn-' VA VdJ VIA VIderI'

ou Adt B dA = 2a2 VA V/V)2 _VVIAVA VI] d drj. A dB B dA ~ fr'TAT\ dt dt J

Comme rien ne distingue dr de der', nous pouvons ecrire egalement:

A dB

B dA

2a2ff[( VIV)2-vvAvArV']jdkrn , Adt-Bdt=-YAT\ TTfA1AT1 2




d'ou ajoutant les deux valeurs de AdB --B dA et divisant par 2,

dB dA 2

r A -B -a2 ii[V'A V-VA V'I]2dr dt ct..

d'oiu Ad1--B dA <O dt dt C.Q.F.D.

Nous avons vu plus haut que l'on a:

A < AOe72a2k,t

cette inegalite peut dans certains cas 8tre remplacee par une autre. Supposons que l'on ait: fVUd f VUd . VlJ> 1dt 0

nous aurons d'apres definition metme des quantites kn et Ut:

A > Zen I A il viendra donc: dA - 2a2B < 2a2knA

cit et A < AOe-2a2knt

Etudions maintenant les variations de l'integrale:

J. = VUndrt.

I1vient: dJ=a2f u 4Vdr.

Le theoreme de Green donne:

Un d-V ) dw=(UnA V -VA Un) dr. 'dn d

En vertu des egalites

dn + hV + hUn

le premier membre est nul; on a done:

fUnA Vu V VA Ud.d= fknf Vhndr -knJ.

d'o Nu dJn a2knJ, dt

et ~~~~~~Jn J?e7a2kn et -

Jno representant la valeur de l'int'egrale J,. pour t = 0.



270 POINCARL: Sur les Equations aux Derivees

Etudions encore les variations de l'integrale

H-J uV,2dr

ol'i V1 represente la temperature a l'instant t et V. la temperature a l'instant h-t. I1 vient:

dHi adH '2( V2A V, - VIA V2) dr

or en vertu du theor6me de Green et des equations

d V + hVI = d2 + hV2= 0

le second membre est nul. Donc Hest une constante qui ne d6pend que de h. Si nous faisons h

il vient: V,V2

et H=j V2d > O.

Si donc V, et V2 representent les temperatures a deux instants quelconques, l'integrale fV V2d

sera toujours positive. Nous avons vu plus haut que l'integrale

f V2dr

consideree comme fonction du temps va toujours en decroissant. h

Donc H qui si l'on fait t = 2 se reduit a

sera une fonction decroissante de At.

Or nous trouvons: dh = a2fV, V2d < 0.

Nous trouvons de m'eme f A Vldr = V1A V2d < 0.



Partielles de la Phystgue MJathematique. 271

Si donc V1 et V2 representent les temperatures a deux 'instants quelconques,

l'integrale V, A1 V2dr

sera toujours negative. Arrivons maintenant au probleme principal; etant donnee la teinperature

au temps t = 0, trouver la temperature a un instant quelconque. Soit V0 la temperature a l'instant t = 0. La solution classique consisterait en ceci: Developper V17 en une serie de la forme suivante:

Vo =A1 U + A2 U2 + *+ AnUn+ * *'*

les A etant des constantes. On aura ensuite a un instant quelconque:

V= A-a2kt U1 + A e7a2ke t U2 +. . + Ane V;a2t U + .

Cette solution est subordonnee a la possibilite du developpement, et c'est cette possibilitO que nous ne sommes pas encore en mesure de demontrer d'une maniere g6nerale.

Voici toutefois ce que nous pouvons dire. Soient A1, A2,. , A. des coefficients quelconques; poson2s:

Vo = A U, + A2U2 + .. .. + A jn + Ro

et proposons-nous de determiner les coefficients A de telle fapon que l'erreur moyenne commise soit minimum.

Nous prendrons, a 1'exemple de M. Tchebicheff, pour mesure de l'erreur moyenne commise l'integrale suivante:

ASo = Rld

Cherchons donc le minimum de l'integrale

f(vo -A1 U1-AU- .U * *-AnA U)2d.

Cette integrale sera minimum quand on aura:



272 POINCAIE: Sur les Equations aux Derivees

ou (puisque nous avons par d6finition

fW Uld= 1, f VoUd== J?)

quand on aura: A, =Jp.

Nous sommes done conduits a ecrire:

VO = J U1l + J2 U2 + *+ Jn Un + Ro

I1 resulte de la que 1'erreur moyenne commise So va en diminuant quand n

augmente, mais non que cette erreur moyenne tende vers 0 quand n croit au dela de toute limite. D'ailleurs SO pourrait tendre vers 0 sans que Ro tendit vers 0.

Rempla?ons toutefois VO par sa valeur approch6e

p _

P=1

Nous en d6duirons Jp=n

V_ 6 O-a2kvt up = gJ p p =1

nous rappelons que nous avons pose

f d VUpd,r = Joe-a2kt.

Posons donc: V- Jlul +J2U2 + + JnUn + RI

et prenons pour mesure de I'erreur moyenne commise:

S =R2d,

je me propose de d6enontrer que l'on peut prendre n assez grand pouir que 1'erreur moyenne S commise sur la temperature a un instant donne soit aussi petite qu'on le veut.

En effet R satisfait aux 6quations

dB dBi aAR dn + hR= O.

Si donc la temperature initiale etait R1, la temperature a un instant ulterieur serait representee par R.



Partielles de la Physique Malth6matique. 273

De plus on a, comme il est aise de le verifier:

fR Ulr= fRu2 R .. ..=fR,d' = O.

Done d'apres un lemme que nous avons den'ontr6 plus haut, on aura:

S < Soea2kn it

Or quand n crolt au dela de toute limite, S0 decroit (sans que nous sachions s'il tend vers 0), k,n+- crolt au dela de toute limite et l'exponentielle 6-a2 1at tend vers 0. Donc S tend vers 0. C. Q. F. D.

Nous avons done demontr6 que l'erreur inoyenne S tend vers 0, mais non que R tend vers 0. Cela peut toutefois nous suffire pour le moment. En effet comment pourrait-il arriver que S tendit vers 0 sans qu'il en fuit de meme de R? 11 faudrait pour cela que la valeur de R subit des oscillations d'autant plus rapides que n serait plus grand, de telle fa,on que pour n tres grand, R prendrait en des points tres rapproches des valeurs tres diff6rentes. Aucun physicien ne doutera que si un pareil 6tat de choses existait a l'instant initial, il ne saurait subsister. C'est ce qui m'engage a me contenter pour le moment des considerations qui precedent.

Je terminerai ce paragraphe par la remarque suivante: Si VO est partout positif, V sera aussi positif pour toutes les valeurs de t et

pour tous les points du corps. Or quand t croit indefiniment, le rapport:

V J, U,

tend vers l'unit6. Donne U1 doit etre une fonction qui est positive en tous les points du corps.

LJegalite fUU,dr= 0 (n> 1)

montre que la fonction U1 est la seule des fonctions Un qui jouisse de cette pro- prikt&.

?4.-Proprietes des Fonctions UT.

Reprenons la fonction Un definie par les equations:

AzUn + knUn = 0 dn + hVU = fu, dr= 1.



274 POINCARE : Sur les Equations aux Derivees

Ou en supprimant les indices qui nous sont inutiles pour le moment:

AU+kU= ?0 dU + hU= f U2d_ =1.

Soit T une fonction satisfaisant comme U a l'equation: AT+ kT= 0.

Si T est finie et continue ainsi que ses derivees a l'interieur du corps, on aura

d TJ- T dcU = O dn dn/

ou dT + hTda=0 ou ,f T7(dn /h d

=0,

les int6grales 6tant etendues a la surface du corps. Supposons maintenant que la fonction T ne soit plus finie a l'interieur du

corps qu'elle devienne infinie au point (x0, yo, z0) situe a l'interieur du corps;

mais de telle fafon que la diffirence T- -(oI r dsigne la distance des deux

points x, y, z et x0, yo' z0) reste finie ainsi que ses derivees.

On aura alors: J( dT -T dU dca -4AUO, S dn ~~dn~

UO designant la valeur de U au point x0, yo, z0. C'est ce que j'ai deja expose a propos de la Diffraction dans ma Theorie Mlathe6aatique de la Lumiere.

In vient donc: u( dT + hT) d - 474nU?.

Soit maintenant: a = V/k

et T= ar

r designant encore la distance du point mobile x, y, z au point fixe x0, yo, z0.

On aura alors: (dT + hT) d = 0 ou -4tUO

selon que le point x0, yo, zo est exterieur ou interieur au corps. On a d'ailleurs dans ce cas:

dT ear 1 dn r or



Partielles de la Physique Mathlmatiquqe. 275

' 6tant l'angle de la normale a la surface du corps au point x, y, z avec la droite qui joint ce point au point fixe x0, yo, z0.

Nous poserons pour abreger

H= dT +hT

et nous regarderons H soit comme fonction de r et de

r cos = _

soit comme fonction de x, y, z et de x0, yo, Z0.

On aura alors: rcosr4'?(xo -x) +t(yo -y)+V (zo-)

X, jx, v designant les trois cosinus directeurs de la normale a la surface du corps. On en deduit: dH _ dH o-$ dH

dx0 dr r +dr

On a ensuite si le point x0, yo, zo est interieur au corps:

uO= 7a7 E'fudH , d ? =4,f" Udo.

Cela va nous permettre de trouver une limite superieure de U0 et de ses deriv'ees. Soit en effet A la plus grande valeur que puisse prendre I Ul a la surface

du corps, on aura evidemment:

A d U0 AP dH I trO I < 4,g I HI d X| a U < A OIdH a.

Uj<47JIt dxo 47i: dxo Les deux integrales qui entrent dans ces deux inegalites

f HI do -et f| do

se calculent aisement quand on connait la forme de la surface du corps et le nombre positif k. Elles ne dependent que de x0, Yo' Zo.

Quant au coefficient A, nous n'avons jusqu'a present aucun moyen de le determinrer.

Commen?ons par etudier les variations de la premiere integralef I HI dc.

Cette integrale est evidemment finie tant que le point x0, yo, z0 reste interieur au corps. On a en effet:

36 IHI< a

+ 1

++




de sorte qu'il viendra:

SlHjdc<S( '

p--2 + p)I

S designant la surface totale du corps et p la plus courte distance du point xo, yo, zo a cette surface. Je dis maintenant que notre integrale tendra encore vers une limite finie quand le point xo, yo, zo se rapprochera indefiniment de cette surface.

Posons en effet: H= h r2- + H1. r r

H1 sera une fonction qui ne deviendra pas infinie meme quand r s'annulera. Nous trouvons en effet:

H- cos04 -iamrer -eiar + ] + h (eiar 1), r ~~~~~~~r

r 1 2 2 < iareiar e_%ar+1 1< 4a

et enfin: 1H I< ha+4ca2, d'ou: IfIHI do< haS + 4a2S+hf r +fo dcos 4j.

I1 est aise de voir que quand le point xo, yo, zo se rapproche indefiniment de la

surface du corps, les integralesfdoi I cos et l'integralejdo tendent vers des

limites finies. Si d'abord le corps est convexe, de telle fapon qu'une droite ne puisse couper

sa surface en plus de deux points; cos 4 est positif et 1'on a:

flcos/I do cos4J do -47i.

Si le corps n'est pas convexe, et qu'une droite puisse rencontrer sa surface en n points on aura: fIcos4~J do<4(n- 1)7

J r2 (<( )

car l'integrale s'obtient en decrivant du point x0, yo, zo comme centre une sphere de rayon 1 et en faisant la perspective de la surface du corps sur la surface de cette sphere, le centre de la dite sphere etant pris comme centre de la perspective. Un point de la sphere sera alors au plus la perspective de n - 1 points de la



Partielle8 de la Physique Mathekmatique. 277

surface du corps; de sorte que la somme arithlm6tique des aires des perspectivles des divers elements de cette surface sera au plus 6gale a n - 1 fois la surface de

la sphbre. Or cette somme arithmetique est precis6ment l'integrale, Cos dw.

La somme algebrique serait lIintegralefcs 2 do.

Ainsif IM | eos' dw tend vers une limite finie; ii reste a d6montrer qu'il en

est de meme de fdo r

Or cette integrale represente le potentiel d'une couche, uniforme de matiere repandue a la surface du corps, et l'on sait que ce potentiel est fini.

Si nous passons maintenant a l'inegalite:

] < dl d dxo dx0

elle nous permuet de d6montrer qu'a l'int6rieur du corps les derivees l)remieres (et on le d6montreralt de la m8eme fapon pour les d6rivees d'ordre sup6rieure) de la fonction U0 restent finies; mais elle ne nous permnet pas de voir si ces 'derivees tendent vers une limite finie quand le point xo, yo, z0 se rapproche indefiniment de la surface du corps.

Nous allons inaintenant chercher a obtenir une limite sup6rieure du coefficient A.

Pour cela il nous faut demontrer que U est une fonction continue. Cela est evident pour les points situ6s a l'interieur du corps puisque nous

venons de voir qu'en ces poinits on peut trouver une limite sup6rieure des deriv6es de U.

I1 reste a demontrer que U est encore une fonction continue sur la surface du corps, et pour cela il nous faut une expression de U0 quand le point x4, yo, z0 est sur cette surface.

Nous avons trouve plus haut

fUHd O0ou - 4otU

selon que le point xo, yo, zo est exterieur ou int6rieur du corps.



278 POINCARE': Sur les Equations aux Derivees

En vertu des memes principes, on aura

f UHdc =- 22 CU

si le point x0, yo', z est sur la surface meme du corps. Si x', y', z, est un autre point situe egalement sur la surface du corps et si

H' et Ul sont deux fonctions formees avec le point x', y', z0 comme H et U0 le sont avec le point x0, y0o z0; il viendra:

JBU(HE HI) do) = 2,n (o UO U0)

d'oiu: I Zo UO<A I H-EH I d(a.

I1 nous reste a etablir que: fj H- H' I d

tend vers 0 quand le point x1, y0, z' se rapproche indefiniment du point x0, yo z0.

Remarquons d'abord que nous pouvons poser:

H h Cos4' H r r2

H'-=---- /2; + 11,

H1 a rneme signification que plus haut; HI est forme avec le point xl, yl, z/ comnme H1 avec le poinlt x0, yo, z0; r' designe la distance du point xl, yl, z/ au point x, y, z et l'angle 41 est defini avec le point xo, yo, zo comme l'angle + avec le point xo, Yo, Zo

On a done:

fIH-H'IId<hf r - C+Id6+f1co:sf cosl d+ fIHI-HIIda.

I1 suffit donc de demontrer que les trois integrales

fjdc cos COS4| do , HIs- 7'1do

tendent vers 0 quand les deux points se rapprochent indefiniment. Cela est evident pour la troisi'me; car H1 est une fonction continue et finie de x0, Yo et Z0.

Demontrons-le maintenant pour la premiere. Decomnposons la surface S du corps en deux regions a et a'; et supposons

que les deux points x0, yO' z0 et xol, yo, zI appartiennlent a la region a.



Partielles de la Physique Math6?natique. 279

Je dis que je pourrai prendre ces deux points assez rapproches pour que

1 I _ __ do = I

_ dca + 1-- I do < Ec. sIr rf I Ir rl _7 r rf

Tout d'abord nous savons que les deux integrales

rd rd

sont finies et determinees. I1 en resulte que nous pourrons prendre la region a' assez petite pour que:

<d E rdw E r < 3 'Jr, 3

quelle que soit la position du point x', y0, z' dans cette region a d'ou: 1 l l

|dca <

La region a doit desormais etre regardee comme entierement determinee, mais nous pouvons encore faire varier dans cette region le point x0, y', z'.

Si maintenant r' designe la distance du point x', y', z' a.un point x, y, z

quelconque de la r6gion a'; -i- sera une fonction finie et continue de xz ', 4z0 et

cette fonction tendra uniformgment vers l quand x/, yt, z tendront vers x0, yo, zo.

Cela sera vrai tant que le point x, y, z restera sur la region a', puisque les points x0, yoI z0 et xo, yo, Iz n'appartiennent pas a cette region.

On pourra doiuc prendre le point xl, y', z' assez voisin du point x0, yo, z0 pour que r' <

et par consequent: rd<s. C. Q. F. D. JS|r ri d E .Q .D

On etablirait de la meme maniere que

lin | cos _ cos4" d < o

On a donc: lim fIH-HnIdc=0 limI U0- U01=O

ce qui signifie que la fonction U est continue a la surface du corps.



28G POINCARi: Sur le8 Equation aux D6riv&s

Cette demonstration ne montre toutefois qu'une chose, c'est que Uol tend vers U0, quand le point xo, yo, z0 appartient a la surface du corps et que le point xo, y', zo s'en rapproche en restant lui-meme sur la surface du corps. Elle ne nous apprend rien sur ce qui arrive quand le point xo, y', z, est interieur au corps et se rapproche de x0, yo, z, soit normalement, soit obliquement a la surface du corps. On pourrait observer toutefois que

dU h J dn

etant fini, UJ doit tendre vers U0 quand la droite qui joint les deux points est normale 'a la surface et il serait aise d'en conclure, par un petit raisonnement tres simple, qu'il en est encore de meme quand cette droite est oblique.

Mais cela ne saurait nous suffire, parce que nous avons besoin pour notre objet d'assigner une limite superieure de I U' - U0 1.

Si comme nous le supposons le point x0, yo, z4 est sur la surface du corps et le point xo, y', zo a l'interieur, on aura:

f HUd,- 27t U0 = 47i d 0,

fH'Ud - 47toU

f(H -H') Ud- 27Uo -4t ( Uo - U->

Nous avons donc:

-4nU0- U0J)=kf?') d 47t ( uo-T)h r 'r, Ud)

+ (HI -H) UH d v +f(cos41 - cos4) Udca - 2 Uo.

I1 nous faut demontrer que les trois integrales du 2d membre tendent respectivement vers 0, 0 et 27tUo quand le point x1, yo, z4 se rapproche ind6finiment du point xo, yO, Z0.

Or on a: I (HE1-iH') ud| < A f H1-HI I d

et on verrait comme plus haut que

lim I HI - Hl' dIA =0.



Pargtielles de la Physique fathematique. 281

I1 n'y aurait rien a changer a la demonstration que nous avons donn6e dans le cas qui precede.

De mneine on a:

fJ(+1 _ 1+ ) Udo < LA da

et lim 1d= O.

Ici encore il n'y a rien a changer a la demonstration que nous avons donnee dans le cas precedent.

I1 reste a 6tablir que:

lim( cos 4" cos 4') =d 2A UO.

D6composons la surface S du corps en deux regions ac et af et supposons encore que le point xo, yo, zo soit situe dans la region cr; il viendra:

((cos'" coscos'VUC) of(COS4" cos U) r'2 r2 /J'r'2 r

+Jj'(Cos Cos- co-4')( -Uo)dca +f(cosy cos')Ud (2)

Je dis que je puis prendre, le point x', y', z' assez voisin de x0, Yo' z0 pour que la diff6rence de 27tTUo et du premier membre de l'identite (2) soit plus petite en valeur absolue que e.

En premier lieu, la fonction U etant continue a la surface du corps, nous pourrons prendre la r6gion cr assez petite pour que sur cette region on ait:

I u- Uol < ',

<etant une quantite aussi petite que l'on veut. I1 vient alors:

Cos_ - Cos4) U0)dos~ 1<o | 2 - F2 )(U- UO) dx | < /2 - |2o t o do

Or nous venons de trouver f cos4' do< 4(n- 1) n,

n etant le nombre maximum des intersections d'une droite avec la surface du corps.



282 POINCARE: Sur les Equations aux D6rv&es

II vient donc:

cos'( rt -Co rti(U- U) d6| < 8 (q - 1) 7t, <e

Car, ; 6tant aussi petit que je veux, je puis toujours prendre

24(n- 1) A

La region a doit etre regardee maintenant comme entiarement determinee, mais je puis encore faire varier le point xl, y', zon.

Nous voyons d'abord que le point xo, yo, zo ne faisant pas partie de la region

at, on a: limfj CosY-Cos4 | do= o,

de sorte qu'on peut prendre le point xl, yo, z' assez voisin du point x0, yo, zo pour

que: f j c o s/ C |d < E

et par consequent pour que:

J(cos'Vos)d <- r r2-.3 )-d d*|

D'autre part l'integrale fcos 4'

represente l'angle solide sous lequel on voit le contour de la region a du point

't Y67 zt, et l'int'egrale fcos d

r2

represente l'angle solide sous lequel on voit le meme contour du point x0, yo, zo. I1 en resulte que:

lim /2s; dd fcos4; dx + 2A.

On peut done prendre le point xl, y , z- assez voisin de x0, yo, zo pour que

f(cos4' _ cos ) da -2r | <



Partielles de la Physique Mathehmatique. 283

ou: I (c -Cos Cos) Uod6-22nUo |<je

E vient alors f(Cos 4 os Ud)-U27tUo < E C. Q. F. D.

Voici le resum6 de cette longue discussion. Soient xo, yo, 70; Xl, i, ZO deux points situes soit a l'interieur du corps, soit

a sa surface. Soient UO et UJo les valeurs de U en ces deux points; on aura:

I UO- UJ I < AO,

A 6tant la plus grande valeur de I Ul 'a la surface du corps; quant a 0 ce sera une fonction de x0, Yo' zo, xo, y/, z/ que l'on pourra determiner completement a l'aide des considerations qui precedent quand on connaitra la forme du corps. Ces considerations nous fournissent en effet une linlite superieure de - UO Uo I puisqu'elles nous montrent comment on doit choisir les deux points x0, YO' Z0,

x/, yI, z/ pour que I UO- UolI soit plus petit que E. Je n'attirerai l'attention que sur deux des proprietes de la fonction 0. Elle

est essentiellement positive et elle tend uniform6ment vers 0 quand le point I0, yI, ZO se rapproche indefiniment du point xo, yv, ZO.

Regardons d'abord le point x0, yi, zo comme fixe et situe sur la surface du corps et faisons varier le point xl, y', z/. Nous pourrons diviser le volume du corps en deux regions que nous appellerons R et RI et que nous definirons comme il suit:

Quand le point x', yl, z6 sera dans la region R on aura:

0< 1.

Quand ce point sera dans la region R' on aura:

0>1.

La region R existe certainemnent et son volume ne peut etre nul, puisque 0 est tres voisin de 0 quand le point xl, y/, z/ est tres voisin de x0, yo' zo.

Si nous supposons en particulier que le point x0 , Yo zo soit celui des points de la surface du corps oiui I Ul atteint sa valeur inaximum A; on aura:

I UoI>A(1-O)

tant que le point xl, y, z%o restera a l'interieur de la region R. 37




Soit dTr' l'element de volume du corps dont le centre de gravite est xl, y', zo.

On aura: f U'2drv' - .1,

l'int6grale 6tant 6tendue au corps tout entier; et par consequent

as U'dr' < 1,

l'integrale etant etendue seulement a la region R. On en deduit:

A2l( - 0)2dtr < 1.

Cette inegalite est vraie pourvu que l'on ait choisi pour le point x0, y0, z0 celui des points de la surface du corps pour lequel

I Ul =A.

Malheureusement nous ne savons pas quel est celui des points de la surface pour lequel cela a lieu. Mais nous pouvons tourner la difficulte de la fagon suivante. L'integrale

(1 - )2dcr

peut etre calculee des que l'on connalt la forme du corps et le point x0, yo, z0. C'est donc une fonction de x0, yo, zo. Cette fonction ne peut jamais s'annuler. Elle aura donc un minimum M que l'on pourra determiner des qu'on connaltra la forme du corps. I1 vient ainsi

A2M< 1

d'ou A < 1 V M

Ainsi nous pouvons determiner une limite superieure du coefficient A et par consequent une limite superieure des derivees d'ordre quelconque de U en un point quelconque de l'interieur du corps.

?5.- etour x l'HEypothese mol6culaire.

Dans les raisonnements qui remplissent les trois paragraphes precedents, il y a un point faible que j'ai deja signale plus haut.

Apres avoir montre qu'une certaine integrale ne pouvait pas s'annuiler, nous



Partielles de la Physique Mathe6nzatique. 285

en avons conclu que cette integrale devait avoir un minimum, et nous avons determine la fonction U qui correspond a ce minimum par le calcul des variations. Or cette application n'eu2t ete legitime que si nous avions demontre d'avance la conatinuite de cette fonction U. C'est d'ailleurs la meme objection qui empeche de regarder comme rigoureuse la denionstration du principe de Dirichlet par Riemann.

11 est vrai que dans le ? precedent, nous avons troiive une limite superieure de la derivee de cette fonction U; mais, si l'on voulait s'en servir pour justifier l'emploi du calcul des variations, on commettrait une petition de principe; tout au plus ce resultat peut-il mettre sur la voie dans la recherche d'une dezmonstra- tion satisfaisante.

I1 faudrait donc, pour obtenir une the"orie analytiquement rigoureuse, employer des procedes analogues a cetix qui permettent d'etablir le principe de Dirichlet et peut etre des procedes plus compliques encore.

Je ne l'ai pas fait; mais j'ai pense qu'il etait possible d'obtenir une dermon- stration rigoureuse au point de vue physique de la fagon suivante. Au lieu de considerer l'equation diff6rentielle de Fourier en elle-meme, rappelons-nous quelle est sa signification physique et comment on l'a obtenue.

On consid6re un corps solide forme d'un tr6s grand nombre de molecules. Soient M1, Mi2 . ,

ces molecules, n est un tr6s grand nombre. Soient

V 2 **v v vn

les temperatures de ces molecules. La molecule Mi enverra a la molecule Mk une quantite de chaleur egale "a

Gsk ( Vi -Vk) i

Cik etant un coefficient independant des temperatures, ne dependant que de la distance des deux molecules; ce coefficient est tr6s petit des que cette distance devient sensible.

En outre, cette molecule Mi rayonnera au dehors une quantite de chaleur egale a:

ai V,

C, etant un coefficient qui n'est sensible que pour les molecules superficielles.



286 POINCARE: Sur les Equations aux Derive6es

Si nous choisissons l'unite de chaleur de fa9on que chacune de nos molecules, que nous supposons toutes pareilles entre elles ait pour chaleur specifique l'unit6, nous pourrons ecrire:

k='

dt + ik ( VY - Vk) + Ci Vi () k=1

et nous aurons n equations pareilles en faisant i = 1, 2,. , n.

C'est en transformant le systeme (1) que Fourier est arrive aux equations qui nous ont occupes dans les ?? precedents. Pour cela il passe a la limite, de fagon a passer des equations aux differences finies aux equations differentielles et en tenant compte de l'isotropie du corps. Mais si l'etude de ces equations diff6ren- tielles nous conduit a une de ces difficult6es qui tiennent a la consideration de l'infini, nous ne devons pas oublier que cette difficulte est factice, puisque au point de vue purement physique, ces equatioiis diff6rentielles ne sont la que pour remplacer des e6quations aux diff6rences finies qui en different tre,s peu et pour lesquelles cette difficult6 n'existe pas. I1 y a donc int6eret 'a etudier le systeme (1) en lui-me8me.

Cette 'etude ne presente aucune difficulte, puisqu'il s'agit d'un systeme d'equations lineaires a coefficients constants.

Posons donc: VT = Ue- at

les Ui et a etant des constantes; les equations (1) deviendront:

aLl Ui = 2Kk Cik ( Ui- Uk) + Ci Ui * (2)

En eliminant les n constantes Ui entre ces n equations (2), on arrive a une equation de degre n en a que j'ecrirai:

F(a)= 0. (3)

Soient a,, a2. an les n racines de l'equation (3); considerons une de ces racines que j'appelle ao,. Quand dans les equations (2) on fera a = a., ces

equations deviendront compatibles' et on en tirera:

U1=- 1, U - U .n= U UM.



Partielles de la Physique Mathetmatique. 287

L'int6grale generale des equations (1) sera alors:

V1 = Aealt U1+ A2ea2tU21+ ... . + Ane ajt tU7l

V2 = A 6a1t U12-+ A2ea2t A22+ . .. .+ A,e- ant Un2,

V. = Alet U,n + A2ea2t 2n+. . . . + A ne-ant rU7

A1 2 . .. . ,An 6tant n constantes arbitraires d'integration. On voit deja par l'a que la veritable solution est bien de la forme a laquelle

nous avions ete conduits dans les ??2 et 3. Mais la forme symetrique des 6qum- tions (2) va nous en apprendre d'avantage. La quantite de chaleur envoyee par M 'a M1 doit etre egale a celle qiie repoit M?4 de Mi, on a donc:

Cik = + Cki .

Envisageons done la forme quadratique positive:

P (U1, U2. .... 7 Un) ,k ( Vi-Vk

les equations (2) pour-ront s'?crire: aZ u 1 dkD (2 bis)

Si nous regardons U1, U2, ...., U.n comme les -coordonnees d'un point dans l'espace a n dimensions, l'equation

cP=1

repr6sente un ellipsoide puisque la forme 41 est positive. Comment devrait-on proceder pour trouver les axes de cet ellipsoide. I1

faudrait precisement resoudre les equations (2 bis), eliminer les U; entre ces equations, ce qui donnerait l'6quation (3).

I1 r6sulte de la que l'equation (3) a toutes ses racines reelles et positives. Ce resultat est connue de tous sous cette forme pour les ellipsoides dans l'espace ordinaire a 3 dimensions. I1 est vrai encore dans le cas qui nous occupe, comme nous l'apprend la theorie des formes quadratiques.

En effet la forme PD peut etre decompos6e en une somme de n carres et nous 6crirons cette decomposition sous la forme suivante:

P al(p2 + a2(p2 +*. + a,4p?

OUtc (tn d c Uo + ns2 U2 + t+ spn Un

U'VI I2 U e 6tarlt des constan tes.



288 POINCARE: SUr les Equations aux Derivees

Soit maintenant: @- U2 + 2 +... + U2.

La theorie des formes quadratiques nous apprend que l'on peut choisir la decomposition de 1i de telle sorte que:

E = p2 + pl +*. .+ (p2

ce qui entraine les conditions:

gp1+ U%2 +............+p2 .. 1 (4)

Upi Uql + Up2 Uq2 + + Un Un (p q) (5)

Si donc on ecrit les n equations simultanees:

(PP 1, (Pa.= (p <q ) (6)

ces equations admettront pour solution:

U1 = Up1. U2 =U2 . U.= Upn (7)

Or ces equations (6) entrainent les- suivantes:

1 dU _ dclpU dpp 1 dE) dpp dcpp

d'ou: 1 dp a 2 d U -

Nous retrouvons les equations (2 bis). Les valeurs (7) des. U et la valeur ap de a nous representent donc une solution de ces equations (2 bis).

Quelle est maintenant la signification de ces nombres a,, a2. , a,. Sup- posons que ces nombres qui sont tous reels et positifs soient rang6s par ordre de grandeur croissante.

I1 est clair que a, sera le minimum du rapport:

c alip2i + a2cp2 +.... + an

(3- ?9 + (P22 + ...+ (P)n

Si maintenant on suppose que les n variables U ne soient plus arbitraires, mais soient liees par la relation

4p =? 0 (8)




on verra que a2 sera le minimum du rapport:

4?_ p2<2 + * 0 + aX?) c3 _ )2 + . . + (p2

Si les U sont liees par les deux relations

P-1 = ?2 0 (8 bis)

a3 sera le minimum du rapport:

? _ a3(P23 + * - + n(P2n? (3 ?3 + ..+<n

et ainsi de suite. L'analogie avec l'analyse du ?2 est evidente; il suffit pour retrouver cette

analyse de passer a la limite comme l'a. fait Fourier. Les equations (1) sont analogues aux equations de Fourier:

-a2A V, d +hV= 0. (in

Les 6quations (2) et (2 bis) sont analogues aux equations qui definissent les fonctions U et qui s'ecrivent:

AU+ kU=-? d J+ hU= O.

Les nombres a sont analogues aux nombres k. La forme cD est analogue a l'integrale que nous avons appel6e B dans le ?2

et la forme E ) l'int6grale que nous avons appelee A. L'equation (4) est analogue a l'equation:

f U2d-= 1

et l'equation (5) (qui exprime que les axes de notre ellipsoide sont rectangulaires)

a lequation: U t7; U7dr = ?* (n <>p

II est inutile de pousser plus loin cette comparaison, on comprend suffisamment la parfaite identit6 des raisonnements, bien que ceux-ci soient parfaitement rigoureux dans le cas du present paragraphe, oiu l'infini n'intervient pas, et qu'ils soient au contraire sujets a de graves objections dans le cas du ?2.



290 POINCARE': Sur les Equations aux Dgrivees

Ce n'est pas seulement dans l'etude du probleme de Fourier qu'on est conduit a ces considerations; on obtiendrait des resultats tout a fait analogues en envisageant au m8me point de vue les autres probl6rnes de Physique Mathe- matique.

Dans tous ces problemes on a a integrer des 6quations lineaires aux d6rivees partielles. Ces equations ont partout la m8me origine. Les lois du phenomn6ne v6ritable sont exprim6es par des equations lineaires aux diff6rentielles ordinaires, oil la seule variable ind6pendante est le temps et ou les inconnues sont en tres grand-nombre; chacune de ces inconnues en effet, representela valeur d'une certaine quantit6 relative a l'une des molecules du corps. Le nombre de ces inconnues est donc kn, n etant le nombre des mol6cules du corps, et k le nombre des quantites relatives, a chaque mol6cule. C'est par un veritable passage de la limite qu'on passe ensuite de l'hypothese moleculaire a celle de la matiere continue et des 6quations diff6rentielles ordinaires aux equations aux derivees partielles.

Si done on revient momentan6ment a l'hypothese moleculaire, on n'a plus affaire qu'a des 6quations lin6aires ordinaires a coefficients constants, et la seule difficult6 provient du tres grand nombre de ces equations. Mais il y a plus; ces equations pr6senteront presque toujours la sym6trie que nous avonis observee dans les 6quations (1) et on sera encore conduit a envisager une forme quadratique et tout sera ramene a la decomposition de cette forme en carres.

Je n'en donnerai qu'un exemple; j'envisagerai les 6quations de l'61asticit&. Soient x, y, z les coordonnees d'une molecule quelconque, dans l'etat d'equilibre lorsque les forces exterieures appliquees au corps sont nulles; soient x + Ut,

y + v, z + w les coordonnees de cette meme molecule lorsque le corps elastique est deforme sous I'action de forces exterieures; soit 4) la fonction des forces relative aux forces elastiques; soient X, Y, Z les trois composantes de la force exterieure appliquee a la molecule consid6ree. Les equations d'equilibre s'ecri- ront alors: d ' d_ _ dwP.

du 7 dv . dw ~~~~~~~~~(9)

Comme u, v, w sont tres-petits, nous pouvons developper cD suivant les puissances de ces quantites et negliger les puissances d'ordre superieure a 2. Les termes du ler degre doivent etre nuls, puisque l'equilibre normal est atteint pour:

u = V = w = 0.

Je puis supposer que le terme tout connu est egalemient nil; puisque D n'est determine qu'a une constante pres.




En resumne F sera une forme quadratique par -rapport aux u, v, w, et cette forme sera positive parce que l'equilibre normal doit etre stable.

Les equations (9) seront done lineaires en u, v, w. Le nombre de ces 6qua- tions est le m5eme que celui des inconnues u, v, w; il est egal a n, si le nombre

des molecules est n

. Afin de reprendre les memes notations que tout a l'heure, 3 nous appellerons les n variables, U1, U2, .... , U; alors si les trois coordonnees d'une molecule que nous appelions tout a l'heure u, v, w, s'appellent maintenant U., U +1 U, +2, nous appellerons de meme X, Xp et X, 2 les composantes de la force exterieure appliqu6e a cette molecule, composantes que nous appelions tout a l'heure X, Y, Z et les 'equations (9) deviendront:

d,DU = Xv (_p = 1, 2, * n) (9 bis)

Nous decomposerons la forme 4F en carr6s comme nous l'avons fait tout a l'heure et nous retrouverons les formules:

CD = aloq +a 2cP2 + ...+ anP

op =

Upil U, + Up2 U2 +.... + UnUn,

e=q +P ( +. +p e=ufdp2 +u+ +... +u?n

=89 Uj2 + ZT22 + ..+ UT.

Les equations (9 bis) deviennent alors: k=n

a k(PU7p = p (p= 1, 2, ...... ,n) (9 ter)

k=1

Multiplions la premiere de ces 6quations par U,,, la seconde par UTi2 ....,. la ne par iUin et ajoutons. En tenant compte des equations (4) et (5) il viendra:

aiqpi = UilXl + Ui2X2 + * * 11 * + UinXn 7 (i = 17 2 .... , n) (10)

Multiplions maintenant la premiere des 6quations (10) par ?, , la seconde par

U2... la ne par ; en vertu des equations d'orthogonalite (4) et (5) ou a2 aln

plutot des equations

U2p + U2P + ... + Up =1

UIV Ulq + U21) 2q + * *+ Unp U,q 0

38



292 POINCARE: :Sur les Equations aux De6rive'es

qui comme on le sait leur sont equivalentes; il viendra:

U- U2 U2+' Ul -aK O+ 0 + + on a, a2

oii l'on a pose pour abreger:

Oi= Ui1X + Ui2X2 + * + UinXn

Les tequations (9) sont donc aiinsi resolues. 11 est clair qu'une pareille solution ne petit etre que theorique, comme

l'etait deja la solution du probleme de Fourier par l'integration des equations (1). Le nombre immense des equationis (1) comme celui des equations (9) s'opposerait absolument aux calculs. Mais cette solution purement theorique peut mettre

sur la voie de la solution veritable. Passons a la linite et abandonnons l'hypothese moleculaire pour celle de

la matiere continue. Nos equations (1) ou (9) deviendroint des equations aux derivees partielles; nos formes quadratiques 1D et 0 deviendront des integrales analogues a celles que nous avons appelees A et B dans le ?2.

Notre procede pourra s'appliquer sans autre changement; au lieu de decomposer les formes 4 et E) en carres, nous aurons a chercher les minima successifs de leur rapport ou plutot ceux du rapport des integrales A et B qui les rempla- cent. On passera ainsi d'une analyse analogue a celle de ce paragraphe a une anialyse tout a fait semblable a celle du ?2.

?6.-Existence des Fonctions Un.

L'existence des fonctions UTJ peut 8tre maintenant regardee comme demon- tree au moins au point de vue physique. La fonction U1 sera une fonction qui devra prendre les valeurs

U11, U12 . ,ln

aux diff6rents points occupes par les molecules

Ml1.. Mn

La fonction U2 devra prendre en ces memes points les valeurs

U21, U22 . * U2n

et aiiisi de suite.



Partielles de la Physique Mathelmatique. 293

Nous savons de plus que les valeurs de la fonction U1 par exemple devront satisfaire aux equations (2 bis) du ? precedent que j'ecrirai

2 d l.Ts i*

La fonction U1 n'est definie ainsi, il est vrai que pour n points de I'espace, a savoir les n points occupes par nos n molecules; mais comme ces molecules sont tres nombreuses et tres rapprochees les unes des autres, on pourra calculer par interpolation la fonction U1 pour tous les autres points interieurs au corps.

On pourra a la verite trouver ainsi deux valeurs differentes pour la fonction U1 si l'on adopte deux regles d'interpolation diff6rentes; nmais les diff6rences seront du meme ordre de grandeur que la distance qui separe deux molecules et par consequent negligeables au point de vue physique.

La fonction U1 ainsi definie satisfera approximativement aux equations de Fourier: dU1 U=o,dUl+hU= (2)

AU,El+ k, U, = 0? 2dn +hU=O(2

que l'on obtient en partant des equations (2 bis) et en passant a la limite. L'erreur commise en rempla?ant les 6quatious (1) par les equations (2) sera du meme ordre de grandeur que la distance qui separe deux molecules.

I1 y a a cela toutefois une condition, c'est que les derivees de la fonction U1 soient finies; on n'aurait plus le droit de passer des equations (1) aux equations (2) etaient du m6eme ordre de grandeur que l'inverse de la distance qui separe deux molecules.

II nous resterait donc a etablir que ces derivees sont bien finies; c'est-a-dire: 1?. Que la difference U, - Ul est du mernie ordre de grandeur que la

distance des molecules Mi et Al. 20. Plus generalement, soit Ma une molecule quelconque de coordonnees

x, y, z, soient M., M,, . . . -, M, un certain nombre de molecules tres voisines de M,. et dont les coordonnees soient respectivement,

X+Ap7 Y+fl I Z?+ ; x + .y + ny x + + k I Z + .

Soit P(4, w, 4)un polyno6me quelconque de degre inf6rieur a m en i, vi', Soient enfin a, 7, ,.. , ?X un certain nombre de coefficients relatifs aux

diverses molecules Mal Jf> ..... , M,; et supposons que ces coefficients satisfassent 'a la condition suivante:



294 POINCARE: Sur les Equations aux Derivees, etc.

et cela quel que soit le polynome P pourvu que son degre soit inf6rieur a m (j'ecris par symetrie P(fa, ?, , ) au lieu de P(O,O,O)).

Si ces conditions sont remplies, nous aurionsa 'etablir que:

au,.la+ PUi + . . * + 2UIX

est du meme ordre de grandeur que les puissances mes des quantites 4, w, Cela ne serait sans doute pas impossible; je n'aurais en effet pour etablir ces

divers points qu'a traduire dans le langage de l'hypothese moleculaire l'analyse du ?4.

C'est ce que je me reserve de faire dans uin memoire ulterieur qui pourra etre regarde comme la suite de celui-ci.

Je pourrai dire alors que les conclusions des ??2, 3 et 4 sont demontrees d'une fa?on rigoureuse au point de vue physique. Peut 8tre meme est-il permis d'esperer que, par une sorte de passage a la limite, on pourra fonder sur ces principes une d6emonstration rigoureuse Meme aui point de vue analytique.

PARIS, le 19 Mars, 1889.



Documents

Sur les Equations aux Dérivées Partielles de la Physique Mathématique