Vol. V, 1954 301

Sur les formules d'int~gration approch6e d'6quations diff6rentielles

En respectueux hommage au professeur A. OSTROWSKI

Par CHARLES BLANC, Lausanne

1. Introduction Le d~veloppement consi@rable qu'ont pris r~cemment la construction et l'emp]oi

de machines automatiques de calcul a attir6 l'attention sur ]'int6r~t des recherches de caract~re g~n6ral dans le domaine des m~thodes m~mes de calcul; des progr~s ddcisifs ont 6t6 accomplis; il reste cependant des questions controvers6es, sur des points pourtant cssentiels. Par exemple, ]a lecture des travaux les plus actuels sur l'int6gration approch~e d'Squations diff~rentielles r~vS]e que l'on n'est pas encore cxactcment renseign~ sur la pr@ision relative des diverses m6thodes et sur l'effica- cit6 de certains perfectionnements proposSsl); au rcste, ]a justification m~me de ces m6thodes laisse souvent h dSsirer. En quoi une m6thode approch6e est-elle justifi~e ? En g6n6ral, on montre qu'elle @finit nne suite d'approximations, tendant vers la solution exacte; en y r6fl6chissant bien, on constate que ce seul fait, pris isol~ment, ne pr6sente aucun int~r6t pratique pour l'utilisateur; comme on ne con- struit pas effectivement ]a suite illimit6e convergente, il est inutile de savoir qu'elle converge. On va paffois plus Join, en introduisant des considerations d'ordre de: grandeur de l'erreur, scion un certain paramStre fixant la (,finesses) de la m6thode. On salt combien cola peut Otre trompeur: l'ordre de grandeur est une notion asymp- totique; prise isol6ment, elle ne nous renseigne pas sur la valeur d'un r6sultat ap- proch6 particulier.

I] est vrai qu'on possSde, pour de nombreuses m6thodes, des expressions pour les bornes d'erreurs; je pense que certains problSmes exigent l'emploi de ces expres- sions; elles constituent, dans un certain sens, une justification des m6thodes corrcspon- dantes. Cependant, i lne semble pas que l'on ne doive chercher que darts cette direction h pr6ciser notre information sur les m6thodes approch6es. -Tout d'abord, les bornes d'erreurs que nous connaissons sont le plus souvent d'un emploi real- commode, elles impliquent des hypotheses trSs restrictives sur les donn6es, hy- pothOscs n'ayant aucun rapport avee le probl~me lui-mOme, elles ne se prOtent pas ~ une comparaison effective des m6thodes; en outre, pour de nombreuses m~tho-

i) Pour preuve de cela, il suffit par exemple de se reporter ~ [3] et [5].

302 CItARLES BLANC Al',Cn. MATH.

des approch6es (par exemple pour la r6solution du probl~me de DmICnLET par des ~quations aux differences) on ne poss~de aueune expression utilisable des bornes d'erreurs, ce qui n'emp~che pas ees m~thodes d'etre tr~s fr~quemment employ6es, en fait par un aete de foi.

Quel est eet acte de foi ? L'utilisateur admet d'ordinaire a priori que ]es donn~es des probl~mes sent en g~n~ral favorables, qu'il est assez improbable d'avoir juste- merit des donn6es pour lescluelles les m6thodes sont peu exaetes. II admet impliei- tement que l'ensemble des fonetions qu'il doit consid6rer a une distribution de probabilitC que certaines fonctions, tr~s irr6guli~res, ont peu de chance de se ren- eontrer, qu'une eertaine rSgularit6 peut ~tre attendue dans la majorit6 des cas.

Cette att i tude se retrouve dans les textes~). (%t argument me semble valable: une m~thode peut 0tre recommandSe si elle a ~t~ largement @rouv~e, sur des exemples non sp6eialement ehoisis pour elle!

Si l'on d6sire prSciser eette fa~on de proe6der, il convient d'indiquer exactement la structure stochastique de ]'ensemble des donn~es du probl~me eonsid6rS. J 'ai montr6 [1] comment on peut proe~der d'une mani6re g~n6rale pour ~tudier ainsi toutes les m6thodes lin~aires de r6solution approeh6e de probl~mes lin6aircs. On eonsid6rera iei l'intOgration approch~e d'6quations diff6rcntielles. Pour ne pas allon- ger inuti]ement, on se bornera h une ~quation du premier ordre, avee une condition initiale:

dX (1) dt = / ( x ' O

avee X = X o pour t---- to.

On traitera plus particuli6rement deux m6thodes, celle de RUNGE-KUTTA et celle de Mn=r~F (ou des diff6rences eentrales).

2. Lin6arisation du probl~me

On suppose que l'fiquation (1) satisfait "~ des conditions assurant l'existenee et

l'unicit6 de la solution ehereh6e X = F(t) . On suppose m~me que ~f existe e t e s t ~x continue. Darts ces conditions, pour ), assez petit, (1) poss~de une int6grale prenant pour t = to la valeur X ~- X o -+- +~, int6grale que l'on peut 6crire

(2) X = g (t, ~)

avee g(t, O) = F( t ) ;

on eonsid~,re alors la famille de fonetions

(3) x = ~ (t, o) + ~ e~ (t, o) ~,~ ,

2) On en pourrait multiplier les ex~'mples; ainsi: " . . . an examination o[ tile dif[erenees will tell us, in all practical cases . . . . ", [3], p. 14.

Vol. V, 1954 Integration approch(,e d'~quations diff~,rentieUes 303

(4)

oh

qui est la famiIle lindaire tangente de (2) le long de X ~-- F(t); son ~quation diff~- rentielle est lin~aire:

dX : A (t) X ~- F'(t) - - A(t) F(t) dt

~f avec X ~ F(t) A (t) =

On remplace alors l'~tude de l'int~gration approch4e de (1) par celle de (4); une telle substitution ne serait pas possible si ]~on consi@rait des bornes d'erreurs; sur ]es moyennes d'erreurs, elle donne par centre une information qui est le plus souvent suffisante. Elle va en tout cas nous permettre de comparer trSs exactement des m~,tho- des d'int~gration approch~e.

3. Etude stoehastique de l 'erreur

La solution X(t) du problSme propos~ est ineonnue; on ne peut cependant 5tudier l'erreur que si l'on a quelques renseignements sur cette fonction. Ils peuvent en particulier nous ~tre dennis par la solution approch~e elle-m~me; remarquons que si l'on ne connalt pas exactement une fonction, tout en poss~dant cependant quelques renseignements sur elle, on peut consid~rer que l'on a affaire h un ensemble de fonctions: si l'on salt seulement, par exemple, qu'une fonction a une d~riv~e seconde inf~rieure ~ M en va]eur abso]ue, ce que l'on pourra tirer de cette infor- mation sera vrai pour toutes les fonctions dent la d~riv6e seconde satisfait ~ cette condition. Partant de cctte remarque que toute 6rude d'erreur porte sur un ensemble de donn~!es, mais que pratiquement darts cet enseml)le certaines donn6es peuvent ~tre consid~rSes comme fort improbables, d'autres probables, nous n'allons pas d'embl~e fixer l'ensemble des fonctions X(t) qui peuvent ~tre des solutions des ~qua- tions ~tudi~es; nous en fixerons plus tard ce qui sera n~cessaire; pour Finstant, nous supposons simplement que cet ensemble est pourvu d'une r~partition en probabilit6s, ou, pour prendre uric expression plus prScise, nous a]]ons consid~rer X(t) comme une ]onct4on al~atoire.

Comme tout le probl~me est lin6aire, l'~tude des moments d'ordrcs un et deux de l'erreur, qui est elle-m~me une grandeur al~atoire, n'exige que la connaissanee des moments des m~mes ordres pour X(t). Nous supposons

E Xq) = 0 ,

E X (t) X(t + h) = r (h) ;

la premiere hypothSse est assez naturelle; la seconde exprime que les moments d'ordre doux restent constants dans une translation.

La covariance r(h) admet une representation spectrale +co

(5) r(h) = f exp (iah) s (~) da

304 CIIARLES BLANC ARCil. MATH~

avee s(a) ---- s ( - -a ) > 0; nous supposerons que l'on peut permuter eette int6gration avee les autres op6rations lin6aires eonsid6r6es.

Si L e t M sont deux fonetionnelles lin6aires portant sur X, permutables avee E, 011 a

done

(6)

E LtX (t) Mr, X (t')

E L X ~- E M X = O ,

: L t M t, E i ( t ) X(t ' )

= L t M r r ( t - - t ' )

L, M,, f exp [i = da - - Q O

-4-Go

Lt X(t) Mr, X(t ' ) = f s(a) L, exp(iat) Mr, exp( - - ix t ' ) E dx

et en partieulier, si L est r6elle,

(7) E ( L X ) ~ -~ f s(~) t L exp(iat) da . - - o G

Pour toutes les formules usuelles d'int6gration approeh6e de l'6quation (4), l'erreur est une fonetionnelle lin6aire de X(t). Les eonsid6rations pr~e6dentes per- mettent done, pour un mfime ensemble de donn6es, de ealeuler la moyenne qua- dratique de l'erreur.

On peut aborder de eette mani~re tousles problgmes d'erreur apr~s un nombre queleonque de pas. Pour simplifier, on se bornera iei au eas d'un seul pas. Les valeurs t o, t x, t 2 de la variable forment une progression arithm6tique de raison h; on pose

A ( t . ) = A . , F ( t n ) = F , , F ' ( t . ) = F ' . ;

X. est la valeur ealeul6e par la formule approeh6e, pour t ---- t.; :11. = X . - F. est l'erreur pour t = tn; on pose enfin

u n ~ - A n X n + F ~ - - A n F " �9

4. Erreur avec la formule do RUNGE-KUTTA

On pose sueeessivement

kl--_ 2 h % ~_ 2 h F ' o ,

k s = 2 h F'~ + 2 h A 1 (Fo--F~ + hF'o),

k 3 --- 2hF'~ + 2 hA~ ( F o - - f a + h F ' l ) + 2h2A~(Fo- -F1 . -~hFo) ,

k4 = 2 + 2 (Fo-- 2+2hPi)

-[- 4 h 9 A 1 A 2 (Fo---F 1-4-hF'l) + 4 h a A~ A 2 ( F o - - F 1 + h F o ) ,

Vol. V, 1954

puis

d'oh

Int(~gration approch6e d'6quations diff6renticlles

1 X2 = Xo -4- 6 (k l -~- 2 k 2 -4- 2 k 3 -4- k4) ,

X2 ~ Xo -4- h , , 3-(Fo'§247

4- 2hA! (2Fo--2Fa'§247

hA2 (Fo_F2.§ 2hFi) 4- 5

-4"- 2 h~i ~ (F O__t~ 1-4- hF;)

eh A,A, (Fo--F .4.hFI) 4- 3

4- et~.4~ A~ (Fo--F~ § 3 puis une erreur

Y2--~ X 2 - - F 2 = L X ,

fonctionnclle lin6aire de X = F(t). Soit maintenant

q(a) = L exp (io~t) ; on a alors, par (7),

305

-~oo = f [ 12

cc qui r6sout formcllement le probl~me. On a ici explieitement

i~h [1 § 4 exp(iah) § 2 cxp(2iah)] ~(a) = 1 - - exp(2iah) § ~ -

+ -2]~ -A-~- [2 - - 2 cxp(iah) § i o: h + i ~ h exp(iah)]

hA~ [ 1 - - exp(2iah) + 2iah exp(iah)] § 3

§ 2h~A~ [1 --exp(iah) -4- iah]

2h2A~A~ [1 - - exp(iah) -4- i a h exp(iah)] 4- 3

4- 2h3A~A2-3- [ 1 - - cxp(iah) -4- ir162

Pour effectuer les caleuls, il faut choisir la fonction A (t) et le spectre s(a). Comme h c s t en g~n~ral assez petit, on peut (du moins pour une premiSre 6rude compara- tive) consid4rer A(t) comme constant. D~s lors, le produit Ah joue le r61e d'un param~tre, en fonction duquel on peut ~tudier l'erreur.

306 CaAat~s n~A~c ~aCH.~ATH.

Le choix du spectre 8(a) est 6videmment assez arbitraire. 11 semble que le choix

(12

~(~)= 2~ si a l < ~ o ,

0 si ~[>o~

se justifie assez bien. Outre sa commodit6 (et le fait qu'il permet certainement la permutation de l'int6gration avec les autres opdrations lin6aires), il revient eonsid6rer comme 6galement probables les })asses fr6quences dans la variation de X(t), et eomme tr~s improbables les hautes fr6quenees. C'est bien, sous une forme pr6cise, l'hypoth~se que fait cn g~!n6ra[ plus ou moins implicitement l'utilisateur de formules approch6es. Le param6tre a 2 mesure la puissance moyenne des vari- ations de la fonction ; west une mesure de la r6gulariff ~, de X(t) (la fonction est d ' a u t a n t plus r6guli~re que w e s t plus petit). En fait, dans ]a suite, nous poserons a 2~-- 1, quitte h r6introduire ce coefficient constant dans les cas particuliers.

Ces choix 6rant faits, il n'est pas difficile de tabuler I ~(a) 12, puis par une m6thode de quadrature approch6e, de calculer EY~, pour diverses valeurs de co et de Ah. Les r6sultats de ees caleuls sont donn6s plus loin, avee ceux qui coneernent la m6thode MIL-~r. a).

5. Erreur avee la formule de Mu~n~

Iei, en supposant que l'on connait exactement F o = Xo et F~, on pose

h X~ = Xo § 3 (u2+4u~§

h ~ = ~o + 3 ( F ' - + 4 F ; + e o ) + ha~.~ (X~--F~)

Coil

(1 - = Fo - Fo + h + + F ; )

on a ensuite ]a variance de ]'erreur "4- ~

~vt'~ = f s(o:)iv(a)I zd~

~VCC

done

1-- h. 2 ~ E r ~ = 8 ( ~ ) [ - 2 s i n ~ h + :r - - c o

3) On polirrait effectuer exaetement les quadratures, en s'aidant de, tables de Si(x); il est pr~- ff'rable de ealeuler d'une manii~re apl)roch6e, ce qui revient strictement "~ remplacer le spectre de ban&, ehoisi par un spectre de raies sensiblement 6quivalent.

Vol. V, 1954 Integration approch~e d'dquations diff6rentielles 807

On fait ici les calculs pour diverses valeurs de hA2, consid6r6 comme param6tre, et pour la m~me fonction 8(r162 que plus haut. On obtient ainsi Ies valeurs port~es sur le Tableau I.

cob

0,1 2 3 4 5

. T "

Ah : = 0 03

T a b l e a u I

Valeurs de ~EY.',. 10 ~

l~IJN G E-KI!TTA

0,3 - 0,1 - 0,2

0,047 1,382 11,91 1,367 11,85 1,135 4,098 44,23 3,863 43,45 8,329 7,593 8.%72 4,772 85,53

34,25 32,05 137,2 2423 131,4 103,8 108,4 187,6 88.5 131,3

MILNE

0 0,2 0,2

0,047 0,050 0,(}44 ] ,135 1,216 1,064 8,229 8,817 7,715

34,25 36,70 33,1t 103,8 111,3 97,3

6. Comparaison des deux m(~thodes

En gros, un pas, avecla m6thode de RtJNG~;-KtITTA donne (exprim4 en "HOP, NEn") deux fois plus de travail qu'avec ]a mSthode de MILNE. Comme, avcc les notations choisics, un pas pour la premiere m6thode correspond ~ un ~ccroissement de t ~gal h 2 h, la comparaison des deux m6thodes, h travail 6gal, peut sc faire pour les m~mes valeurs de h, .4 et co; en fait, le rSsultat ne d6pend toujours que des produits Ah et {oh, done de deux p~ram~tres.

Les deux m6thodes sont identiques si A ~- 0. Pour la m6thode de RUNGE-KuTTA, ]a moyenne quadratique m de I'erreur augmente rapidement avec Ah, du moins pour les petites valeurs de oh; ensuite, m d6pend peu de A; par contre, avec la m6thodc de MIL%E, m d6pend assez peu de A (pour les valeurs usuelles); c'est une fonction eroissante de A.

Lorsqu'on examine l'ordre de grandeur de m e n fonction de oJ, on constate que, avec ]a m4tllode de RUNG~-Ku'rI'A, m est d'ordre deux en oJ, mais avec un coefficient qui s'annule avec A; si A est nul, m est d%rdre cinq, comme pour la m6thode de MILNE. On peut en conclure que ]a m6thode de RUNGE-KUTTA cesse d'etre avanta- geuse si Ah est grand, du moins pour de faibles valeurs de wh. A ce propos, il est int6ressant de remarquer que l'exemple donn6 par W. E. MILNE [4], p. 75, r6alise ]ustement cette condition (Ah y est environ dgal b, 0,2).

7. D6termination du speetre darts un eas partieulier

Comment, ayant d4termin6 une solution approchSc dans un probl~me d~termin6, peut-on utiliser les consid6rations pr6cSdentes pour 6tudier l 'erreur? II rant, pour

parvenir, choisir correctement la fonction de cowri~nee, do~c son spectre; it s'agit en somme d'un prob]~me d'estimation, au sens de la statistique. Si la fonction

308 CHARLES BLANC ARCH. MATH,

ne prdsente pas de singularitds, il est plausible de choisir un spectre dc la forme con- siddr~ie ici; il reste donc seulement ~ estimer a 2 et co. Pour le faire, on p e u t alors

calculer les moyennes des earrds des diffdrences tabulaires de eertains ordres de la fonction trouvde puis les dgaler aux variances de ees m~mes diffdrences pour la fonction al4atoire: il s 'agit done lh d'une estimation par la m~thode des moments , et c'est ce que l 'on peut faire de mieux si on ne prdcise pas la distribution de la fonc- tion al~atoire (on n 'a choisi ici que les moments d'ordres u n et deux); on sait par contre a) que cette estimation est la plus favorable si la fonction est distribude nor- malement; l 'hypoth6se d'une telle distribution, inutile pour l 'ensemble des calculs, servirait done simplement h justifier la technique adoptde pour l 'estimation.

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Ecole Polyteehnique de l'Universitd de Lausanne lnstitut de mathC~matiques appliqudes

Eingegangen am 14. 11. 1953

~) Voir, par exemple, [2], chap. 32 et 33.