C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, S~rie I, p. 421-425, 1997 Analyse fonctionnelle/Functional Analysis

Sur les g6n ratrices extrSmales de certains c6nes de formes quadratiques doublement positives

M o h a m e d EL K A D I R I

BP n ° 726, Sal6-Tabriquet, Sal6, Maroc.

R6sum6. On consid~re deux classes de formes quadratiques doublement positives sur l'espace S des matrices rrelles symrtriques d'ordre d > 2, et on montre que, pour d = 2, ce sont les seules formes quadratiques doublement positives extrrmales, et que ce rrsultat n'est pas vrai pour d > 3.

Abstract .

O n the extremal generatrices of some cones o f d o u b l y positive quadratic forms

We consider two classes of doubly positive quadratic forms on the space S of real symmetric matrices of order d > 2, and prove that, for d = 2, these forms are the only extremal ones. This result fails for d >__ 3.

1. Introduction

Soient S l'espace vectoriel des matrices rrelles sym6triques d'ordre d >_ 2, muni de la structure euclidienne d6finie par le produit scalaire (~, ~)t,. = t r ( f f .9 ) , et soit/3 l'espace vectoriel des formes bilin6aires symrtriques sur S (on identifiera les formes quadratiques avec les formes bilinraires symrtriques associ6es). On consid~re les crnes convexes suivants de /3 :

7~+ = {~ e/3 1 n(o, ~) > o, v~ ~ s}, o+ = {u E/3 I n(O, ~') > O,V~, ~, ~ S+},

ofi S+ = {CbE S I xT~bx >-- 0,Vx E Rd}est le c6ne positif de S ; on pose 13+ = H+ M O+. Le c6ne /3+ s'introduit naturellement lors de l'6tude du probl~me de la projection optimale d'un

nombre fini de points de R d sur une surface ellipso'fdale (voir [3]). Les c6nes H+ et O+ peuvent s'interpr6ter en termes d'op6rateurs lin6aires sur S. En effet, pour

tout n E B, il existe un op6rateur lin6aire sym6trique unique ~ de S darts lui-m~me tel que, pour tout couple (alp, 9 ) E S 2, n (~ , 9 ) -- t r ( h (~ ) .~ ) . L'application n ~ h e s t un isomorphisme de /3 dans l'espace 7-/(S) des oprrateurs lin6aires symrtriques (ou hermitiens) de S dans lui-meme. On peut

Note pr~sent~e par Gustave CHOQUF.~.

0764-4442/97/03240421 © Acadrmie des Sciences/Elsevier, Paris 421

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montrer que n • 7-/+ (resp. n C O+) si et seulement si l'op6rateur h e s t positif (resp. h(S+) C S+), ce qui permet d'identifier 7-/+ au c6ne des op6rateurs positifs de 7"/(S) et O+ ~t celui des op6rateurs qui pr6servent S+, et d'interpr6ter 7-t+(resp.O+) comme 6tant le c6ne des formes quadratiques positives au sens hermitien (resp. au sens de l'ordre d6fini par S+).

La section affine C = {n E 13 I n(I , I) = d}, ofa I e s t la matrice unit6 d'ordre d, est une base compacte de 13+. Donc, pour d6crire les 616ments de/3+, on est amen6, par le th6or~me de Choquet, ~i caract6riser l'ensemble Ext (C) des 616ments extr6maux de C ou, ce qui revient au m~me, l'ensemble A

Ext(C) = R+ • Ex t (C) des g6n6ratrices extr6males de 13+. A cet effet nous allons introduire deux

classes de formes quadratiques sur S • 6tant donn6s (9, ~b et • • S, on pose n~) (~ , ~) = tr((gff(9~)

et n(~)(ff, ~) = t r ( (9~) t r (O~) . Alors n(~ ) et n(~ ) d6finissent deux formes bilin6aires sur S et, si

(9 • $+, n(~ ) et n(~ ) appartiennent h 13+. Dans [2], Sersouri a d6montr6 le r6sultat suivant •

THeOReMS. - Pour tout (9 • S+, n(~ ) et n(~ ) appartiennent d E"~xt(13+). La question naturelle qui se pose est de savoir si la r6ciproque de ce th6or~me est vraie. Dans ce

travail nous allons montrer qu'elle est vraie pour d -- 2, et fausse pour d _> 3. En ce qui concerne les

c6nes 7-l+ et O+, la th6orie spectrale classique nous dit que Ex-'t(7-/+) = {n(~ ) I (9 • S} ; par contre, on ne sait pas encore d6terminer les g6n6ratrices extr6males de O+.

2. l~nonc6s des r6sultats

THI~ORI~ME 2.1. -- Soit d = 2 ; alors, pour tout n • 13+, il existe deux matrices (9, E • S+, et un rdel o < <_ 1, tels que n = + (1 - + + (1 -

Remarque. - S i d -- 2, on peut voir facilement que le th6or~me de Sersouri r6sulte aussi du th6or~rne pr6c6dent.

COROLLAIRE. - - Si d = 2, on a Ex-'~(13+) = {n(~ ) I (9 • S+} U {n(o 2) I (9 E S+}. Ce corollaire est une cons6quence imm6diate du th6or~me pr6cddent et du rdsultat de Sersouri

mentionn6 plus haut.

THI~ORI~ME 2.2. -- Si d > 3, l'inclusion {n~ ) I (9 • S+} U {n~ ) [ (9 • S+} C E'xt(13+) est stricte.

3. D6monstration des r6sultats

LEMME 2.1. -- Soient (9 et E deux dldments de S ; alors n~ ) + n~ ) E O+ si et seulement si xTOx.yT(~y + x T ~ x . y T ~ y > 0 pour tout couple (x, y) E R d,

Ddmonstration. - Le lemme 2.1 r6sulte de la th6orie spectrale classique et du fait que (2) T xT(gx .yTOy + xT~x.yT~,,y = (n(~) -k- n~ ) (xx , yyT) pour tout couple (x, y) E R d.

COROLLAIRE. -- (voir [2]). Pour tout (9 E S, n ~ ) E O+ si et seulement si (9 E S+ U ( - S + ). Les trois lemmes qui suivent sont les lemmes clef de ce travail.

LEMME 2.2. -- Soient (91 et (92 deux dldments de S tels que n (2) Jr- n (2) C O + " alors, ou bien ~gx e~ ' (91 • S+ U ( - S + ) , ou bien (gz • S+ U ( - S + ) .

Ddmonstration. - Supposons que O1 ¢ S+ U (- ,9+). Cela 6quivaut ~ dire que -Tr = inf{A ; A valeur propre de (91} < 0 et cy = sup{A ; A valeur propre de O1} > 0. Soient e et f des vecteurs non nuls de R d tels que (91e -- -Tre et O l f = ~ f ; posons a = eT(92e et/3 = fT(92f . On a -Try, + a/3 _> 0, donc a/3 > 7ra > 0, et par suite a et/3 sont de m~me signe et non nuls. Quitte/l remplacer (92 par -(92, on peut supposer a,/3 > 0. Soit x • R d ; alors, d'apr~s le lemme 2.1, on a --Tc(xT(91x) +a(xTO2x) > 0 et --a(xT01 x) + /3(xT@2x) > O, ce qui 6quivaut ~ XT(92X > ~ xT(91X et xTO2x >_ --~XT(91X, d'ofi xT(92X >_ IxT(91Xl . inf(~, ~), et par suite (92 • S+.

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Sur les g~n~ratrices extr~males de certains c6nes de formes quadratiques doublement positives

LEMME 2.3. - Soient 01 et 19 2 deux dldments de 8 tels que n (2)O1 q- n(2)O2 E O+ ; alors il existe

E1 E S+ et ~2 E 8+ tels que n ( ~ + n (2) = 97,(27 + n (2) 0 2 E2 "

Ddmonstration. - Si 191 = 0 ou O2 = 0, le l emme 2.3 r6sulte aussit6t du corollaire du l emme 2.1. On suppose que 191 # 0 et 192 # 0 ; soient E = { x E R d I xT191 x ~ 0} et F = {xT192x /xT191x I X E E} . D'aprbs le l emme 2.2, on peut supposer que 19 E 8+. Alors deux

cas peuvent se prdsenter :

Premier cas. - L'ensemble F est non born6. D'aprbs le l emme 2.1, la condition du lemme implique

l 'in6galitd

(x 192x) (y 192y) > a ( , ) 1 -~- (xT191X). (yT191y) _

pour tous x, y E E . En prenant une suite (xn) de points de F telle que

XTn192Xn

xT191Xn

tend vers + o c , on volt que xT192 x garde un signe constant sur E , done partout puisque E est dense dans R d.

Deuxikme cas. - L'ensemble F est b o m C Soient alors g = i n f F et h = s u p F . Si g _> 0, on a xT192 x ~ 0 pour tOut x E E , done pour tout x C R d car E est dense dans R d, d'ofi 192 E S+. Si 9 < 0, on a, d 'aprbs l 'indgalitd ( . ) , 1 + g h > 0, done h < - -1 . I1 en rSsulte

_ _ g

que g.xT191x < xT192 x < --1-.xT191X pour tout x E R d, et par suite, que 9192 + 19~ E S+ _ - - g

et 19z - g191 E S+. Pour terminer, il n ' y a plus qu 'h prendre E1 = (1 + 92)-½(9192 + 191) et z 2 = (1 + g2) -½(192 - g191).

( ? 1 ) Si J e s t la matrice antisym6trique d 'ordre 2 1 0 , on note n j la forme bilin6aire d6finie sur

8 par n j(62, ~ ) = - t r ( J62JkO) . Alors n j E O+, et un calcul dl6mentaire donne le lemme suivant •

LEMME 2.4. - Soit d = 2 ; alors, pour tout 19 E 8, on a n(~ ) = n(~ ) - det(19) • n j .

LEMME 2.5. - Soient d = 2, et 19, ~ E 8 ; alors il existe deux vecteurs non nuls et lindairement

inddpendants x0, Yo E R 2 tels que xT19yo = 0 et x T E y o = O.

Ddmonstration. - (a) Si (9 (resp. E) est non inversible, il existe yo E R 2, non nul, tel que 19yo = 0 (resp. Eyo = 0). I1 suffit alors de choisir xo orthogonal h Eyo (resp. 19yo), Xo non colin6aire h yo. (b) Si 19 et E sont inversibles, il est facile de voir que la matrice 19-1E admet une valeur propre (rdelle))~ ; si yo est un vecteur propre non nul associ6 h )~, alors les vecteurs 19yo et Eyo sont lin6airement d6pendants et il n ' y a qu 'h choisir Xo non nul et orthogonal h Eyo.

LEMME 2.6. -- On suppose d = 2, et soit n E I3+ ; alors il existe 19 E 8+ , E E 8+ et un rdel k,

0 <_ k <_ det(19) + de t (E) , tels que n = n(o 2) + n ~ ) - k . n j .

Ddmonstration. - On consid6re deux cas.

Premier cas. - I1 existe 62o E 8 - {0} tel que n(620, 62o) = 0. Alors n e s t la somme des carr6s de deux formes lindaires sur 8 . C o m m e chacune de ces formes lin6aires est de la forme tr(19.), 19 E S, on en ddduit le r6sultat, compte tenu du lemme 2.3, avec k = 0.

Deuxikme cas. - Pour tout 62 E 8 - {0}, n(62, 62) > 0. Par un argument de continuit6 on peut trouver un r6el h > 0 tel que n(62, 62)+h.nj(62, 62) >_ 0 pour tout 62 E 8 . Soit k le plus grand de ces h ; alors la forme blilin6aire ~ = n + k . n j appartient h 13+ et, par la d6finition de k, il existe 620 E 8 - {0} tel que

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h((bo, ~o) = 0. D'apr~s le premier cas, il existe O E S+, E E S+ tels que h = n(~)+n(z 2). D'autre part,

on peut trouver deux matrices ~, ~ E S+ telles que n(1)tOo ~ , ~ j - - n(1)( ( I ) , r . ~ ) = 0 et nj((I), ~) > 0, ce

qui r6sulte du lemme pr6c6dent en remarquant que n~)(xx T, yyT) = (xTOy)2 et que x T j y ¢ 0 d6s

que x et y sont non colin6aires. O'apr~s le lemme 2.4, on a : n = n(~)+n~)+(det(O)+det(E)-k).ng, d'ofi 0 _< n((I), ~ ) = (de t (O) + de t (E ) - k).nj(rb, ~) et l'in6galit6 concernant k cherch6e.

Ddmonstration du thdorOme 2.1. - Soit n u n 616ment de /3+, alors d'apr~s les lemmes 2.4 et 2.6, il existe deux matrices O E S+, E E S+ et un r6el k, 0 < k < d e t ( O ) + d e t ( E ) , tels

que n = n ( ~ ) + T~(1)q -- ( d e g ( O ) - - [ - d e t ( E ) - k ) . n j . I1 existe aussi un r6el , E [0, 1] tel que

k = c~(det(O) + de t (E) , d' oh, d' apr~s le lemme 2.4, n = ,n (~ ) + (1 - c~)n(o 2) + c~n(~ ) + (1 - c~)n(r 2) .

Ddmonstration du thdorkme 2.2. - On se limitera au d = 3, I 'extension aux dimensions sup6rieures

6tant imm6diate. Pour toute matrice O = (aij) d 'ordre 3, on pose 7r(O) = \ a21( a11 a22412 ) . Consid6rons

la forme bilin6aire n d6finie sur S par :

n((I), ~ ) = t r O . trkO + tr(AO)tr(AkO) + t r(JTr((b) .JTr(~)) ,

o h A = 0 0

Alors n E 13+ et l 'on a

n ( ~ , ~,) = (,~ + '7 + 7-)~ + 7-2 + 2(9~ _ ,,'7),

pour toute matrice • = ~

Soit F le compact {O E S+ [p(O) q(O) s(O) '~

o = [q(O) ~(o) t (o) ) \ 8 ( 0 ) t (o ) ~ ( o )

'7 (r E S . O" 7"

[ n(~ ) E C} U {O E S+ [ n(~ ) E C} ; on note tout 616ment O de r par

, off p, q, r, s, t et u sont des fonctions continues de O. Si on suppose

Ex~-~(/3+) = {n(~ ) I o E s+} u {n(~ ) I o ~ s+}, alors, d'apr~s le th6or~me de Choquet et l 'expression

de n(~ ) en fonction de n(~ ), il existe deux mesures positives # et u sur F telles que •

(~ + "7 + 7-)~ + 7-2 + 2(~2 _ ~'7) = f ( p . + 2q9 + ,.'7 + 286 + 2t~ + ~7-)2g(~ + 1)) d

+ 2 ( i ( r u - t ' ) ) ( o - 2 -'77-) + A

pour tous (~> J , '7, 5, #, 7- E R , oh A est une combinaison lin6aire de ( ~ a - J6) , (~a-'75) et (~7--'75). II est facile de voir que la quantit6 A est nulle, et, comme les coefficients de 52, a 2 et ~'7 dans

l 'expression de n ( O , O ) sont nuls, que l 'on a :

s = t = O ( # + u ) - p . p . ( l ) pr = 0 # -p .p . (2) q = 0 u - p . p . (3) pu -- ru = 0 u - p.p. (4)

Comme q2 < pr, on d6duit des relations (2) et (3) que q = 0 (# + u) - p.p.

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Sur les g~n~ratrices extr~males de certains cfnes de formes quadratiques doublement positives

D'autre part, en consid6rant les coefficients de c~ 2, 9,2 et c~3' dans l'identit6 (**), on obtient :

/P2d(l '+U)= / r2d(#+u)= / p r d ( # + y ) =

d'ofa p = r (Iz + u) - p.p. et donc, grace h (2), p = r = 0 / z - p.p.. D ' o h :

(a+'~+ ~-)2 + ~-2= f (pa+r~/+uT)2du+ ( /u2d#)~ -2,

ce qui est absurde puisque le coefficient de C~T dans le second membre de l'6galit6 pr6c6dente, 6gal h 2 f(pu)du, est nul. Le th6or~me 2.2 est donc d6montr6.

Remarque. - I1 semble que la forme bilindaire n consid6r6e dans l 'exemple pr6c6dent soit un 616ment extr6mal de B+.

Remereiements. L'auteur tient ~t remercier l'arbitre pour ses remarques qui ont permis d'aboutir h cette version, ainsi que A. Sersouri pour les discussions tr~s utiles qu'il a eues avec lui.

Note remise le 12 f6vrier 1996, acceptde apr~s rdvision le 16 d6cembre 1996.

R~f~rences bibliographiques

[1] Choquet G., 1968. Lectures on Analysis, Vol. H, Math. Lectures Notes Ser., W.A. Benjamin, Inc. [2] Sersouri A. On a class of doubly positive quadratic forms, Preprint, CNR, Rabat. [3] Sersouri A. The quadratic regression, Preprint, CNR., Rabat.

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