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S u r u n T h & o r ~ m e de SMULmN

Par J ~ DIEV~O~, Ann Arbor (Michigan)

1. V. gMULIAr~ a donn5 [9] un intSressant critSre pour qu'un ensemble convexe ferm6 K soit/aiblement compact dans un espace norm6 E: il taut et il su/fit que route suite ddcroissante d'ensembles convexes /erCads clans K et non vides ait une intersection

non vide.

Ce critSre, comme celui d'EBERLmN [2], est particuli~rement remarquable en ce qu'il ne fait appel qu'A des propri6t6s de suites d6nombrables, alors que la topologie faible sur E (ou m~me sur une partie bernie de E) ne satisfait en g~n~ral ~ aueun axiome de d6nombrabilit6. Toutefois, les d6monstrations connues de ce erit~re ([7] et [9]) (comme la @monstration d'EBERLEIN [2]) font essentiellement appel au fait que, dans le dual d'un espace norm6 s~parable, il existe une suite faiblement dense; et on sait que cette propri6td n'est plus valable pour le dual d'un espace lo- calement convexe non m~trisable, mais dans ]equel existe un ensemble ddnombrable partout dense. Or, A. GROTHENDIECK a montr~ [3] que, pour leth6or~me d'EnEI~LEIN, toute hypoth~se de m~trisabilit~ sur l'espace E consid~r~ est superflue, et que ]e th~orSme est valable pour n'importe quel espaee quasi-complet (e'est-i~-dire oh toute partie bornSe et ferrule est un sous-espaee uniforme complet). Nous nous proposons clans cette Note de prouver, par une mSthode analogue, que le th~or~me de SMULIAr~ est aussi valable pour ees m~mes espaces.

2. Proposition 1. - - Soient K un espaee compact, H une partie convexe de

l'espace produit ,~tc (espace de toutes les fonctions num6riques @finics dans K). On suppose que : 1 ~ routes les /onctions appartenant h H sent continues dans K; 9. ~ toute

suite ddcroissante de parties de H, convexes, non rides, et /ermdes dans H (pour la topo- logie induite par eelle de 9t K) a u n e intersection non vide. Dans ces conditions, l'ad=

hdrence -H de H dans ~K est compaete, et {ormde de ]onctions continues dans K.

II est clair d'abord que H est born6 dans ~ , autrement dit que pour tout x E K, l'ensemble H(x) des u(x), oh u parcourt H, est born~ darts !R: sans quoi, on aurait par exemple role suite (u,) d'~l~ments de H telle que lira un(x ) ~- + oo, et si A nest

/ l ~ O O

l'adh~rence dans H de l'ensemble convexe engendr~ par les u m d'indice m ~ n, il est clair que l'intersection des A~ serait vide, contrairement ~ l'hypoth~se. On voit done que H est compact en vertu du th. de TYCHOI~OFF, et tout revient h prouver que H est formic de fonctions continues dans K.

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Raisonnons par l'absurde, en supposant done qu'il existe une fonction u E H qui ne soit pas continue en un point a E K ; il existe alors un hombre ($ > 0 tel que, pour tout voisinage U de a duns K, il y nit un point x ~ U tel que [ u(x) - - u(a) I >- 6. Nous allons dSduire de lh qu'il existe une suite (xn) de points de K et une suite (/m) de fonctions de H satisfaisant aux conditions suiYantes: 1 ~ l u ( x , ) - - u ( a ) I ~- ~

, 3 ~ pour tout n; 2 ~ l/m(xn)--/~(a)[ <-- ~-pourm--~ n" l u (x , ) - - /m(x , ) [ _ - s - p o u r

m >__ n + 1 et I u(a) - - /~(a) I <- -8- pour tout m. Pour cela, on proc~de par r~cur-

rence: on choisit/1 ~ H tel que l u(a) ~ /~ (a ) [ ~ ~ , puis Z~ tel que [ ]l(x~) ~ / x ( a ) I

~ ( ~ et [ u(xl) - - u(a) I -- > ~, ce qui est possible par hypoth~se; les / i e t x 1 ~tant

supposes choisis pour i _< n e t ] _< n, on prend/ ,+~ tel que l u(xi)--/~+~(xi) I~_ -~

pour i ___ n e t l u ( a ) - - / , + ~ ( a ) l ~ ~ , puisx~+~telque]/i(x,+~)--/ i(a)l _<_ ~ p o u r

i -< n -t- 1, et [ u(x,+l) - - u(a) I >- ~ ; la rdcurrence peut done se poursuivre ind~- finiment.

Soit alors b une valeur d'adhdrence de la suite (xn) duns l'espaee compact K; d'autre part, soit A m renveloppe convexe term~e duns H de l'ensemble des/k tels que ]r _> m; il r~sulte de l 'hypoth~se que les A m out au moins un point commun

/ E H. Des relations I fm(x~) --/re(a) I <- -~ pour tout n >_ m, on d~duit d'abord,

puisque bes t valeur d'adh~rence de la suite (%), que l'on a: 4 ~ I fro(b) - - /m(a) I <- r

pour tout m. Mais il r6sulte de l~ que si g---- ~. 2m+h/~+h, oh les 2m+a sont >_ 0 h = 0

et ;t~+~----- 1, on a aussi I ~ ( b ) - g(a)I _< ~g; d'ofi r~sulte (par d~finition de la h~0

topologie de ~K) que eette relation est encore vraie pour toute fonetion g ~ Am,

et en particulier clue l'on a: 5 ~ ]/(b) - - / (a ) [ <_ -g. Le m~me raisonnement, appli-

qu~ aux in~galit~s 3 ~ montre que l'on a 6 ~ I u(x~) - - [(x~) I <- -g- pour tout n, et d

l u(~) - - / ( a ) l -< -if" Cela ~tant, comme / est continue, il existe un entier n assez

grand pour que l'on ait: 7 ~ [/(x~) ~ / ( b ) I -< ~ ; m a i s alors, de 5 ~ 6 ~ et 7 ~ on

d~duit que

[ I -< I + + [ /(b)-- /(a) [ -~-[u(a)--/(a)l

- - 2

ce qui contredit l'in~galit~ ~[~ et d~montre done la proposition.

3. Proposons-nous maintenant de montrer que la condition de S M U L ~ est suHisan$e pour qu 'un ensemble eonvexe fermd K duns un espace quasi-complet E

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soit faiblement compact (la condition est ~videmment nScessaire). En premier lieu, cette condition implique que K est bornd ; duns ]e cas contraire, en vertu d'un th. de MACKEY [8, p. 524, th. 7], il existerait une forme lin~aire continue x' sur E et une suite (x,) de points de K telle que ( x , , x ' ) >_ n (ou (xn, x' ~ ~ - - n ) ; en d5signant par A n l'intersection de K et du demi-espace ferm~ d~fini par (x, x') _> n (resp. ( x , x ' ) <<_ ~ n), les A n seraient des ensembles convexes ferm~s duns K, non rides et d'intersection vide. I1 r~sulte alors de l'hypoth~se que K est fcrm~ dans lc com- pldtd ~ de E ; comme E et /~ ont m~me dual E', on est ramen4 s d~montrer le thSo- r~me pour l'espace $. Autrement 4it, on peut se borner h faire la d~monstration lorsque E est complet.

Mais il r4sulte alors d'un th. de GROTHENDIECK [4] que, lorsque E est consi- d~r~ comme plong~ duns l'espace produit ~ ' de toutes les fonctions num~riques sur E', les 416ments de E peuvent ~tre caract5ris~s comme les /ormes lindaires sur E' dont la restriction & tout polaire L .-~ U ~ d'un voisinagc de 0 dans E est /aiblement continue. Cela 5tant, pour montrer que K est faiblement compact, il suffit de prouver que son adherence duns ~s, est contenue duns E (cette adherence ~tant 6videmment compacte en vertu du th. de TYCHONOFF). Or, soit u un ~l~ment de cette adherence, et pour tout polaire L ~ U ~ d'un voisinage de 0 duns E (qui est compact pour la topologie faible), dSsignons par pr L la projection de ~E, sur ~L (prL(x) ~tant done la restriction "~ L de la fonction x E ~s'). I1 est clair que prL(u ) est adh~rente prL(K ) duns ~L; d'autre part, si M est un ensemble convexe ferm~ non vide dans

- - 1

prL(K), prL(M ) (~ K est un ensemble convexe ferm~ non vide duns K, d'oit rd- sulte que prL(K ) v6rifie les conditions de la proposition 1. On en eonclut que prL(u ) cst continue duns L (pour la topologie faible), ou encore que la restriction de u ~ L e s t continue ; comme u est dvidemment une forme ]inquire sur E', le th. pr~- eit~ de GROTHENDIECK s'applique, et on a bien u ~ E.

4. La d6monstration qui precede ne suppose pus le th~orSme de S~ULIAN d6jk d~montr~ pour les espaces de B~ACH. Si on suppose connu ]e th6orSme duns ce dernier cas, on peut aussi l'6tendre au cas d'un espace eomplet quelconque E en suivant une m~thode g~n6rale indiqu6e par A. GROTHENDIECK [5]: supposant E plong~ duns un produit d'espaces de BX~ACH Fi, il suffit de prouver que chacune des projections pri(K ) de K sur Fi est faiblement eompaete: mais on volt aussitSt que pri(K) v6rifie la condition du th~or~me de "3MUL~, d'oh la proposition.

5. L'une ou l 'autre des m6thodes pr~c6dcntes montre aussi que, si on ne suppose pus K ferm6, l'hypothSse du th. de gMULIXl~ entralne que K est relativement/aible- merit compact, ou encore que l'adh6rence K (forte ou faible) de K duns E est un en- semble faiblement compact. Lorsque route partie convcxe born6e de E est m6- trisable (on simplement telle que tout point d'une tcllc pattie possSde une suite de voisinages convexes ferm6s doat l'intersection se r6duit h ce point), on voit aussitSt

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que l'hypoth~se du th. de ~MULIAN entra{ne que K est fermi. Mais il n'en est pas ainsi en gdndral, comme le prouve l'exemple suivant. Soit A un ensemble non d6- nombrable, et, dans le produit E = ~A, soit C le ,,cube" d6fini par los relations 0 _< x~ _ 1 pour tout ~ E A. Soit K la partie de C formde des x---- (x~) n 'ayant au plus qu'une infinit6 d6nombrable de coordonn6es 4 = 0 ; il est clair que K ---- C et que K n'est pas ferm6. Montrons cependant que K satisfait h l'hypothSse du th. de SMULIAI~. En offer, soit (A,) une suite d6croissante d'ensembles convexes ferm6s dans K et non rides, et soit x, un point de A, . L'ensemble B des indices :r E A tels que x,,~ 4= 0 pour un n au moins est d~nombrable, et l'intersection de chacun des A , avee le sous-espace form6 2' ---- ~B n'est pas vide; mais, par d6finition, K (~ F est un ensemble compact et A , ('~ K ~ F = A , (-~ F est done aussi compact d'oit r6su]te que les A, (-~ F ( e t a fortiori los A,) ont une intersection non vide.

Le m6me exemple montre que, dans l'6none~ du th. de ~MULIA~ g6n6ralis~, on no pout supprimer l'hypoth6se que E est quasi-complet: en effet, clans l'espace vec- toriel G engendr6 par K (qui n'est pas quasi-complet), l'ensemble K est form6 et v6rifie la condition du th. de SMULIAN, comme nous venons de le voir, mais il n'est pas faiblement compact. Au contraire, pour un espace norm5 non complet, lc th. do SMULIAN est encore valable, puisqu'en l 'appliquant dans son compl6t6 il en r6sulte que l'ensemb]e K est form6 dans ce compl6td, done faiblement compact.

6. Le th. de ~MULIX~ donne bien entendu aussit6t un crit6re pour qu'un espace localement convexe s6par6 quasi-complet E soit semi-rdllexi[ c'est-~-dire identique (on rant qu'espace vectoriel non topologique) au dual E" de son dual fort E [1]: il faut et il suffit pour cola qne route suite dderoissante d' ensembles convexes, bornds et

]ermds nor~ vides air une intersection non vide. On pout tirer de ca erit~re des conse- quences analogues h cellos que d6veloppe V. KLEE [6] pour los espaces norm6s: par exemple, si E est quasi-eomplet et non semi-r6flexif, pour tout hyperplan form6 H dans E, il y a un ensemble convexe born5 et form6 A qui n 'admet aucun hyperplan d'appui parall~le h H, et un second ensemble convexe born~ et ferm6 B tel qua l'enveloppe convexe dc A et de B ne soit pas ferm6e. Nous laissons au lecteur le soin de voir comment la d6monstration de KLEE s'6tend s cecas plus g6n6ral.

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Eingegangen am 7. 12. 1952