SUR UNE CATI~GORIE D'I~QUATIONS FONCTION•ELLES.

Par M. Cyparissos St6phanos, ~ Ath~nes.

Communication fattc ~. la sfiancc du 12 aofit 13o 4 de la section d'Arlthmfittque et Alg~bre

du l l Ie C o ~ o ~ s I~TERNAZiO~AL nES MATaE~ATXCXZNS (Heidelberg)

Adunanza del 28 agosto i9o 4.

Si l'on se pose le probl~me suivant:

Quelle est la condition ngcessaire et "sufisante pour qu'une fonction de deux variables F(x , y) soit reprgsentabh par une formule tdh que:

F (x, y) = Z ~, (x) +, (y) (i = ~, 2 . . . . m),

on arrive ~ ce r6sultat, que: la condition en question consiste dam l'dva- nouissement identique du dgterminant :

3 F F

3 x

3 F & F 3y 3 x 3y

3 " F " ' " 3 x "

3 "+' F �9 "" O x " 3 y

�9 ~ �9 �9 �9 ~ �9 ~ ~ �9 . . . . �9 ~ ~ ~

3" F 3 "+' F 3 2" F 3 y " 3 x 3 y " "'" 3 x " 3 y 'n

Voici quelques r6sultats de l'application de cette proposition g6n&ale des probl6mes particuliers.

I. Si l 'on se demande quelles sont les fonctions f ( x ) d o n n a n t lieu

/ t u n e formule d'addition telle que:

f ( x -[- y) - - )-- % (x) +, (y) ( i - - x, 2 . . . . m),

on trouve que ces s doivent ~tre telles que

& f O4f O"~f Z • f Ox, Ox4 "'" Ox" = ~

SUR UNE CAT~GORIE D't~QUATIONS FONCTIONNELLES. 361

c'est-k-dire qu'elles doivent satisfaire ~i une 6quation diff&entielle homo- g~ne ~ coefficients constants.

On voit par 1~, qu'en dehors des polyn6mes entiers et des expo- nentielles e ~ , les seules fonctions ayant la propri&~ en question (pour quelque valeur convenable de m), sont celles de la forme:

f~.e"~-~- f~.e"2~-~-- . . . + fo.e~o ~, off les f~, f~, . . . fo d&ignent des polyn6mes entiers en x.

2. D'autre part, si l'on consid6re une fonction rationnelle

f (x) = f~ (x ) : f~ (x),

qui soit le quotient de deux polyn6mes d'ordre m, on reconnalt ais6ment

que le quotient f ( x ) - - f ( y ) est toujours exprimable par une somme x - - y

de m produits ?, (x)+, (y). L'examen du probl6me inverse conduit au r~sultat suivant: En dehors des fonctions rationnelles, form&s par le quotient de

deux polyn6mes d'ordre m, il n 'y a pas d'autres fonctions f ( x ) , qui

soient telies que le quotient f ( x ) - - f ( y ) soit exprimable par une somme x - - y

de m produits ,% (x) +, (y). On se rend compte par 1~ dans quel cas peut avoir lieu une relation

de la forme:

y ~ x , J ~

3. fltant donn& une fonction rationnelle f ( x ) = s (x) :f~ (x) dont les deux termes soient des polyndmes d'ordre m, et que i'on suppose:

L ( x ) = ( x - - . . . ( x -

on peut d~montrer qu'on a la formule *):

- - ( x - - y ) ' - ' f ( X ) x _ y f ( y ) = ~- + ' ( x - a I ) ( x - a = ) . . . ( x - - a ) ( i=~, 2 . . . . m),

oCa

+, __ +, (y) = y - - a 0' [ f ( y ) (y - - a ) (y - - a2) . . . (y - - at_i) ] it Oy'

*) C'est en partant de cette formule que l 'auteur a &6 conduit aux rhsultats de

la pr4sente Communication.

t{,nd. C~r~. Matem. Palermo, t. XVIII (1904). - - Stampato Jl 3 novembre x9o 4. 46

362 CYP&RI~,SOS STI~PHANOS.

R~ciproquement, si l'on demande quelle dolt ~tre une fonction f ( x ) , pour que l'on ait:

f ( x ) - - f ( y ) = ~.. ~, (x) +, (y) (x - - y) ' - ' (i = ~, 2 . . . . m), x ~ y

on reconnalt, d'apr~s les r&sultats du n ~ 2, que la fonction f ( x ) ne

peut dtre que le quotient de deux polyn6mes d'ordre m ( m + I ) a u plus. 2

Si l 'on cherche, en particulier, dans quel cas le d6veloppement de

, f ( x ) - - f (y ) par la formule de LAGRAlqG~ conduit ~t une expression ~t x - - y

m termes :

f ( x ) - - f (y) X d~ (x - - y) ' - ' x - - - y - - " ' [ ~ - ( x - ~ ({ ' - - - 1 , 2 . . . . m),

o/1

a'-' U, (y) ~ @)'] +, = +, (Y) = -V. Oy , - , '

on trouve que cela ne peut arriver que dans le cas oil f ( x ) est le quotient d'un polyndme d'ordre m, divis6 par la puissance m '~me d'un bin6me a x -it- b.

4. Les r~sultats d u n ~ 2 peuvent ~tre g~n~ralis~s pour des fonctions F(x, y) satisfaisant fi l%quation diff~rentielle bien connue:

o _ r oF , o'F ~,~ - ~ - + (x y) O--~--y o,

e.t exprimables par une somme de m produits q~,(x)d?, (y).

Heidelberg, 12 aofit I9o4.

CYPARISSOS ST~PHANOS.