Surfaces implicites Les différents modèles analytiques

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Surfaces implicites

Les différents modèles

analytiques


PlanPlan• Les transformations de l'espace• Calcul de la normale• Les surfaces implicites non-bornées

– Les primitives

– Les modèles de composition

• Les surfaces implicites bornées– Les primitives

– Les modèles de composition

• Surfaces implicites bornées / non bornées


Les transformations de l'espaceLes transformations de l'espace

• Rappel :

– translation

– rotation autour de (Ox)

1000

100

010

001

tz

ty

tx

1000

0cossin0

0sincos0

0001


Les transformations de l'espaceLes transformations de l'espace

– changement d'échelle

1000

01

00

001

0

0001

sz

sy

sx


Appliquée à une surface impliciteAppliquée à une surface implicite• Pour appliquer une transformation à une surface implicite,

on transforme le repère local dans lequel elle est définie :

f(x,y,z)

rot trans

scaleobjet finalffinal(x,y,z)


Evaluation de la fonctionEvaluation de la fonction• Quand j'évalue la fonction ffinale en un point P de l'espace,

je vais chercher la valeur de la fonction f d'origine au point p correspondant dans le repère de définition de la surface implicite :

1

z

y

x

P PMP scale1

1 1

12 PMP trans

21PMP rotfinal

ffffinal zyxfzyxf ,,,,


Illustration sur du CSGIllustration sur du CSG


Calcul de la normaleCalcul de la normale• La normale en un point P d'une surface implicite est défini

par le gradient de la fonction potentiel f en ce point P.

Pz

f

Py

f

Px

f

PfPN )( si f(P) 0 définit le volume

PfPN )( si f(P) 0 définit le volume


Les surfaces implicites non bornéesLes surfaces implicites non bornées• La fonction varie de façon continue dans tout

l'espace.

• L'isovaleur C0 est fixée à C0=0

• La convention intérieur / extérieur est à préciser en fonction des différents modèles

• Exemples de primitives : – Les quadriques présentées au cours précédent

– Le plan

dczbyaxzyxf ,,


Les primitives à squeletteLes primitives à squelette• Un squelette S est défini à partir d'une primitive

géométrique simple

• La fonction potentielle f est définie à partir de la distance d(S,P) entre un point P de R3 et le squelette S

22 , rPSdPf rPSdPf , ou


Surfaces à squelettesSurfaces à squelettes

r

r

rr


Les opérateurs de compositionLes opérateurs de composition• Le mélange : Il s'agit d'une transition lisse et arrondie liant

les objets composés avec des opérateurs de composition booléenne

Union Intersection Différence


Les fonctions réellesLes fonctions réelles• Modèle introduit par V.L. Rvachev en 1982 et approfondi par A.

Pasko en 1994 :

– Convention : f(P) 0 définit le volume

• Union

• Intersection

• différence

• Transition franche sur la surface mais le champ de potentiel est de continuité C1 partout ailleurs (fondamental pour le CSG).

22

2121,, ffffzyxf

22

2121,, ffffzyxf

22

2121\ ,, ffffzyxf


Opérateurs avec transitions doucesOpérateurs avec transitions doucesConvention : f(P) 0 définit le volume

• Opérateurs avec mélange :

• Transition douce sur la surface et le champ de potentiel est de continuité C1 en tous points.

2

2

2

2

1

1

0

1

,,,,~

af

af

azyxfzyxf OpOp


Vérifiez votre compréhensionVérifiez votre compréhension

• Avec un schémas du type de celui utilisé pour comprendre les opérateurs de composition à base des fonctions min et max, vérifiez le respect des conventions int/ext de ces opérateurs.


Les surfaces implicites bornéesLes surfaces implicites bornées

• La fonction varie de façon constante au delà d'un certain rayon d'influence. Dans notre cas, la constante est nulle.

• L'isovaleur C0 est fixée à C0=0.5 en général

• La convention intérieur / extérieur est :

– f(P) > C0 : le point P est à l'intérieur du volume

– f(P) < C0 : le point P est à l'extérieur du volume

– f(P) C0 : définit le volume


Le "Blobby model"Le "Blobby model"• Primitives locales par approximation : Au delà d’un certain rayon

d’influence, la fonction est presque nulle.

• Les primitives de base sont limitées à des sphères.

• Le modèle : – Un blob isolé

où di(x,y,z) est la distance entre le centre du blob et le point P(x,y,z).

zyxdabzyxf iiii ,,exp,, 2

0.5

0di

fibi

ai

bi


Le mélangeLe mélange• Primitive complexe :

n

ii zyxfzyxf

1

,,,,


Les fonctions potentielles bornéesLes fonctions potentielles bornées• La gaussienne est approximée par une fonction

polynomiale avec un rayon d’influence R. – Le calcul de l’exponentielle est évité et ainsi la fonction est moins

coûteuse à évaluer.

– Au delà d’un certain rayon d’influence R, la fonction vaut zéro.

0.5

0di

fi

1

RR


Exemple de fonctions bornéesExemple de fonctions bornées

• B. Wyvill (1986) :

• N. Stolte (1996)

1322

2

3

3

R

d

R

ddf

0df

si Rd

sinon

4228

1Rd

Rdf

0df

si Rd

sinon


Les primitives à squeletteLes primitives à squelette• Cette représentation se prête tout particulièrement à

l’utilisation de primitives à squelette car elle sont définies par une fonction de distance.

• On remplace la fonction de distance d qui est définie entre un point P0 qui est le centre de la sphère et un point P(x,y,z) de l’espace par la distance entre le squelette S et un point P(x,y,z) de l’espace.

• Le fonction fi reste la même. Seul le calcul de la distance change!


Les primitives négativesLes primitives négatives• Permet de retirer de la matière au lieu d’en ajouter sans

augmenter la complexité du modèle.

m

jj

n

ii zyxfzyxfzyxf

11

,,,,,,


Graphe de mélangeGraphe de mélange• Pour éviter le mélange indésirable


Graphe de mélangeGraphe de mélange

• Les primitives sont regroupées par groupe. Les primitives d’un même groupe se mélangent entre elles et seuls sont mélangés les groupes reliés par un lien.

• Exemple de la main :

paume

doigt 1

doigt 5

doigt 4

doigt 3doigt 2


L’écrasementL’écrasement


Le CSGLe CSG• Il existe des opérateurs CSG pour les primitives bornées,

mais des recherches restent encore à faire pour les rendre plus adaptés

– Les variations des champs de potentiels deviennent de plus en plus irrégulière et la forme du mélange de plus en plus difficile a contrôler

– Néanmoins, avec beaucoup de temps et d’efforts, on arrive à des résultats


Quelques résultatsQuelques résultats


Quelques résultatsQuelques résultats


Modèles bornés / non bornésModèles bornés / non bornés• Modèles bornés :

– Une évaluation moins coûteuse de la fonction potentielle

– Plus difficile de développer des modèles de composition évolués

– Adapté au mélange et l’animation d’une grande quantité de primitives

• Modèles non bornés :– Evaluation chère de la fonction potentielle

– Modèle général permettant d’intégrer n’importe quelle type de surface implicite

– Une grande variété d’opérateurs de déformation et composition

– Adaptés à la composition d’un petit nombre de primitives complexes utilisant des opérateurs plus évolués

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