Systèmes et asservissements linéaires échantillonnés

Introduction Les signaux discrets La modelisation des systemes lineaires discrets

Systemes et asservissements lineaires echantillonnes

Frederic Gouaisbaut

LAAS-CNRSTel : 05 61 33 63 07

email : [email protected]: www .laas.fr/ ∼ fgouaisb, fredgouaisbaut.free.fr

February 28, 2008


Sommaire

1 IntroductionOriginesProblematique

2 Les signaux discretsTransformee en ZTheoreme de Shannon

3 La modelisation des systemes lineaires discretsDefinition des systemes lineaires discretsUn systeme vu comme un produit de convolutionLes equations aux recurrenceLa Fonction de transfert en ZLa Fonction de transfert echantillonnee


Origines

- Depuis 30 ans, commandes implantees sur un calculateur numerique.

- Mode de regulation appelee numerique par opposition a la commandeanalogique.

- En general, processus continu (variables evoluant d’une manierecontinue), exemples : avion, lanceur, dirigeable, etc...

- Systemes intrinsequement discrets (economie, finance ...)

Pour/contre

- Souplesse d’emploi, precision, insensibilite aux bruits, fiabilite.

- Pertes de performances dynamiques, problemes de compatibilite,necessite des conversions analogiques, numeriques.

Utilisation des commandes continues : discretisationTheorie appropriee a la nature numerique


Principe de la regulation “numerique”

- Processus a asservir : generalement a temps continu.

Algorithme de resolution implante sur un calculateur numerique qui varealiser une commande numerique (suite de nombre cadencee a uneperiode d’echantillonnage).

C.A.N : Echantillonnage des variations mesurees sur le processuscontinu, transmis au calculateur.

C.N.A : transforme le signal discret en signal continu (transmis auprocessus continu).


Exemple

Example

Soit le systeme G (p) = 23p+23 asservi par l’intermediaire d’un correcteur

integral K (p) = 1p . La loi de commande a concevoir est ainsi u(t) = ε(t).

Celle ci est soit realisee de maniere analogique a l’aide d’A.O., soit realiseepar l’intermediaire d’un calculateur.Dans ce dernier cas, on discretise la loi decommande en choisissant que u(t) = u(t)−u(t−T )

T . Nous obtenons alors lesdifferentes courbes de simulation:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps

ampl

itude

commande analogique

commandenumerique

T=0.1

commandenumerique

T=0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

temps

ampl

itude

de

la c

omm

ande

commande analogique

commande numerique, T=0.1

commande numerique, T=0.5


Exemple

Probleme du choix de T

Probleme du choix de la methode de discretisation du correcteur.

D’une maniere plus generale, probleme de la synthese de correcteursadaptes au numerique.

Probleme du melange entre les signaux discrets et continus.

→ Consequence sur les reponses temporelles,sur les performances du systeme asservi.


differentes architectures

modele dynamique a temps continu :

+_

e(t)CAN

e(k)calculateur

u(k)

horloge

u(t) y(t)

régulateur

procédé continu

r(t)(B0Z)CNA

modele dynamique a temps discret (echantillonne)

calculateurprocédé continu CAN

+_

r(k) e(k) u(k) u(t) y(t) y(k)

procédé discrétisé

horloge

CNA(B0Z)


Definitions d’un signal analogique

Fonction de f : R → R.

x :

{R → R

t �→ x(t)

t

f(t)


Definitions d’un signal discret

Un signal discret correspond a un signal qui ne prend des valeurs que pourdes instants discrets, c’est a dire en des points distincts.

x :

{I → R

i �→ x(i)

ou I est un ensemble prenant des valeurs discretes I = {1, 2, 3, 4, 5, 6...} ouI = {1.1, 3.3, 5.5, 7.7, 9.9, ...}. Remarquons que ce signal n’est pas definipour des valeurs differentes de tk .


Definitions d’un signal echantillonne

Signal continu observe a des instants discrets I = {tk , k ∈ N}, on obtient unsignal discret. Dans ce cas, on parle plutot de signaux echantillonnes, c’est adire provenant de l’echantillonnage d’un signal continu.

t1 t2 t3 t4 t6 t7 t8t5

f(t)

t

Un signal echantillonne : l’observation ades instants discrets f : tk , k ∈ Z → R designaux continus. Signal discret

xe :

{N → Ri �→ x(ti ) = xi


Les instants discrets sont appeles instants d’echantillonnage.En general, la duree entre 2 instants d’echantillonnage est constante:

tk+1 − tk = T

ou T est appelee periode d’echantillonnage. Dans la suite du cours, onconsiderera ainsi que

tk = kT

et on notera sans ambiguite x(tk) = x(kT ) = x(k) = xk


Description temporelle des signaux discrets

Par convention l’echantillonnage d’une impulsion est defini par le poids del’impulsion.Ainsi, par exemple : l’echantillonnage de x(t) = xk0δ(t − tk0) avec δ(t − tk0),la distribution de Dirac a l’instant tk0 donne :

xk = xk0δ(k − k0) avecδ(k − k0) = 0 si k �= k0 et δ(k − k0) = 1 si k = k0

k

kx

xk0

1 k02 30


Description temporelle des signaux discrets

Un signal discret quelconque peut donc etre represente par une suited’impulsion :

{xk} =+∞∑k=0

xiδ(k−i) =+∞∑k=0

(xi − xi−1)Γ(k−i) avec

Γ(k − i) = 0 si k < i et Γ(k − i) = 1 si k � i


La transformee en Z

Definition

La description qui utilise la transformee en z est equivalente pour les signauxdiscrets a la representation frequentielle (basee sur la transformee deLaplace) utilisee pour les signaux continus. Elle est parfois appelee par abusde language “representation frequentielle”.

Definition

La transformee en z du signal discret xk (ou x(KT )) est notee Z(xk) et estdefinie par :

Z(xk) =+∞∑k=0

xkz−k


Description d’un signal echantillonnee

0 T kTt t

T

CAN

u(t)

u(t) u*(t)

u*(t)

1 La suite uk correspond au signal u∗(t) (echantillonne de u(t) a laperiode T ) et est defini par:

u∗(t) = u(t)δT (t) =+∞∑k=0

u(kT )δ(t − kT )

2 Sa transformee de Laplace s’ecrit : U∗(p) = L[u∗(t)] =+∞∑k=0

u(kT )e−kTp

3 En posant z = eTp on reconnaıt la Transformee en z :

U(z) =+∞∑k 0

u(kT )z−k


Theoreme de Shannon

Theorem (Theoreme de Shannon)

Un signal continu u(t) de frequence maximale f0 est equivalent a sarepresentation echantillonnee si la frequence d’echantillonnage fe est ledouble de f0. La pulsation ωN = 2π

feest appelee pulsation de Nyquist.

fe � 2f0


Utilisation du theoreme de Shannon

Remarque

Pour que l’observation echantillonnee d’un signal soit significative, il estnecessaire que la frequence d’echantillonnage soit suffisamment elevee. Eneffet, si la periode d’echantillonnage est trop elevee, l’information contenuedans le signal analogique peut etre irremediablement detruite.

Remarque

En pratique, on prefere un rapport de frequence, au moins superieur a 10entre la frequence d’echantillonnage et la frequence de coupure du signalanalogique. En temporelle, on choisira une periode d’echantillonnage aumoins 10 fois inferieure au temps de monte du signal analogique.


Quelques definitions

Definition

Un systeme est dit discret ssi ces entrees et ses sorties dont discrets. Il estdit dynamique si la valeur de la sortie y(k) depend non seulement de l’entreea l’instant k mai aussi des valeurs passees de l’entree. (possiblement desvaleurs futures)

Definition

Un systeme est dit lineaire si celui ci respecte les proprietes de linearite et desuperposition.

Definition

UN systeme discret est dit causal si sa sortie y(k) au temps kT ne dependque des valeurs prises par l’entree pour des instants inferieures a kT


Exemples

Example

Soit l’integrateur numerique :

y(k + 1) = y(k) + u(k)T

ou

y(kT + T ) = y(kT ) + u(kT )T

Ce systeme definit un systeme discret lineaire, causal.


La reponse impulsionnelle

Soit l’impulsion unite defini par :

δ(k) = δk =

{1 si k = 00 sinon

On definit par ailleurs l’impulsion de Dirac a l’instant k0 par

δ(k − k0) = δk−k0 =

{1 si k = k0

0 sinon

Definition

La reponse d’un systeme discret a une impulsion unite injectee a l’instant k0

est appelee reponse impulsionnelle et est notee

g(k, k0) = g(kT , k0T )

On peut remarquer que la reponse impulsionnelle est une suite qui depend dedeux variables, la premiere concerne le temps d’observation du signal. Laseconde concerne l’instant d’application de l’impulsion unite.


Example

Soit l’integrateur numerique :

y(k + 1) = y(k) + u(k)T

ou

y(k) =k−1∑i=0

u(i)T

si y(0) = 0. Or u(i) =

{1 si i = k0

0 sinonet donc nous obtenons

g(kT , k0T ) =

{T si k � k0 + 10 sinon


Stationnarite d’un systeme lineaire discret

Definition

Un systeme est dit stationnaire si

g(kT , k0T ) = g(kT + dT , k0T + dT )

On peut alors montrer que la reponse impulsionnelle peut s’ecrire

g(kT , k0T ) = g(kT − k0T ) = g(k − k0)


Theorem

Soit un systeme discret, lineaire, causal, stationnaire, alors sa sortie s’exprimecomme un produit de convolution entre l’entree et sa reponse impulsionnelle

y(kT ) =k∑

l=0

u(lT )g(kT − lT )

Example

Calculons la reponse d’un integrateur numerique :

y(kT ) =k∑

l=0

u(lT )g(kT − lT )

or

g(kT − lT ) =

{T si l � k − 10 sinon

et donc y(kT ) =k−1∑l=0

u(lT )T On retrouve bien la formule de l’integrateur.


Les equations recurrentes

Modeliser : etablir un modele mathematique reliant les entrees et les sortiesd’un systeme.

k kΣDiscret

{u } {y }

Definition

Un systeme lineaire a temps discret peut etre decrit par un ensembled’equations recurrentes, definit comme suit a l’ordre n (m � n, les sortiesdependent uniquement des evemements passes) :

any(k) + an−1y(k−1) + · · · + a0y(k−n) = bmu(k+m−n) + · · · + b0u(k−n)


Formulation adaptee au calcul numerique

Remarque

Le systeme peut etre entierement defini et l’equation recurrente peut etreresolue si l’on precise les condtions initiales : y0, y1, · · · , yn−1, u0, · · · , um−1

Exemples

- Integrateur : yk = yk−1 + Tuk−1 yk0 = y0 +

k0−1∑k=0

ukT

- Retard pur : yk = uk−d


La fonction de transfert

Proprietes des transformees en Z

- Linearite : Z(axk + byk) = aX (z) + bY (z), ∀a, b ∈ �- Retard : Z(x(k−1)) = z−1

Z(xk)Generalisation : Z(x(k−r)) = z−r

Z(xk)

- Avance : Z(x(k+1)) = zX (z)− zx0

- Theoreme de la valeur initiale : limz→∞X (z) = x0

- Theoreme de la valeur finale : limz→1

(z − 1)X (z) = x∞

- Theoreme de la somme :∞∑0

x(k) = limz→1

X (z)

- Convolution discrete : Z(∞∑i=0

x(i)y(k−i)) = X (z)Y (z)


D‘’efinitions de la fonction de Transfert en Z

Equivalent de la fonction de transfert en continu.

Operateur retard : z , transformee en z :Y (z) = Z[yk ]U(z) = Z[ul ]

Z

F(z)Y(z)U(z)

y(k)u(k) Suite recurrente

yk → Y (z)yk−i → z−iY (z)ul → U(z)ul−j → z−jU(z)

En appliquant le theoreme de convolution :

Y (z) = F (z)U(z)


Le lien entre la fonction de transfert et l’equ. recu.

Rappel Eq. Rec.

any(k) + an−1y(k−1) + · · · + a0y(k−n) = bmu(k+m−n) + · · · + b0u(k−n)

Transformee en z :

anY (z)+an−1Z(y(k−1))+· · ·+a0Z(y(k−n)) = bmZ(u(k+m−n))+· · ·+b0Z(u(k−n))

et donc

(an + an−1z−1 + · · · + a0z

−n)Y (z) = (bmzm−n + · · · + b0z−n)U(z)

Fonction de transfert en z :

F (z) =Y (z)

U(z)=

bmzm + · · · + b0

anzn + · · · + a0

Fonction de transfert en z−1 :

F (z) =Y (z)

U(z)=

bmzm−n + · · · + b0z−n

an + · · · + a0z−n


Introduction

G(p)T

T

u(t)

U(p) U*(p)

u*(t) y(t)

Y(p)

Y*(p)

y*(t)

La sortie :

Y (p) = G (p)U∗(p) = G (p)+∞∑k=0

u(kT )e−(kT )p = G (p)

+∞∑k=0

u(kT )z−k

Probleme pour manipuler cette expression avec a la fois des p et des zTheoreme de convolution discrete

y(t) = $−1[Y (p)] =+∞∑k=0

u(kT )g(t − kT )

et aux instants d’echantillonnage :

y(nT ) =+∞∑k=0

u(kT )g((n − k)T )


F.T. Echantillonnee

Remarque:

- Fonction de transfert : G (p)

- Reponse impulsionnelle : g(t) = L−1[G (p)]

- Fonction de transfert discrete :

G (z) = Z[L−1[G (p)]]

Utilisation du Theoreme de Shannon

Recommandation : fe = 6 a 24 fois fc , fc etant la frequence coupure duprocede.

Exemple : G (p) = 11+τp

Frequence de coupure : fc = 12πτ

62πτ < 1

T < 624πτ


Conv. Numerique Analogique (C.N.A) - Bloqueur d’ordre 0

1 Le signal fourni par le calculateur est un signal en escalier.

2 Le systeme commande par l’intermediaire d’un echantilloneur bloqueur.

3 Le but : conserver l’information du signal pendant une periode.

La fonction de transfert B0(p) du bloqueur d’ordre 0 represente latransformee de Laplace de sa reponse impulsionnelle.Soit Γ(t), un echelon de position unitaire :

B0(t) = Γ(t) − Γ(t − T ), (B∗0 (t) = δ(t) − δ(t − T ))

B0(p) =1 − e−Tp

p

Representation en z : B0(z) = 1 − z−1 = z−1z


Conv. Numerique Analogique (C.N.A)

B (p)0

k

k

0 k1 2 3 4 50 k1 2 3 4 5

u

u u(t)

u(t)

Bloqueur d’ordre 1

B1(p) =(1 + Tp)(1 − e−Tp)2

Tp2

B (p)1

k

0 k1 2 3 4 5

k

0 k1 2 3 4 5

u

u u(t)

u(t)


Fonction de transfert : bloqueur+processus

0

Z [B (p)G(p)]=G(z)0

T

G(p)B (p)U*(p) U(p) Y(p)

Y*(p)

G (z) = Z[B0(p)G (p)] = Z

[1 − e−Tp

pG (p)

]

G (z) = (1 − z−1)Z[

G(p)p

]= z−1

z Z

[G(p)

p

]


Exemple

kk

1yu

T

0B (p) p(p+1)

G (z) = Z[B0(p)Gc(p)] =z − 1

zZ

[Gc(p)

p

]decomposition en elements simples

Gc(p)

p=

1

p2(p + 1)=

−1

p+

1

p2+

1

p + 1

Utilisation d’un tableau de transformees elementaires

G (z) =z − 1

z

[− z

z − 1+

Tz

(z − 1)2+

z

z − e−T )

]

G (z) = K(z−b)(z−1)(z−a) , K = e−T − 1 + T , a = e−T , b = 1 − T (1−e−T )

e−T−1+T


Composition de F.T.

Theorem

La transformee en z d’un groupement d’elements ne peut etre definiequ’entre deux echantillonneurs.

1G (p)T T T

G (p)2U*(p) Y*(p)

Y (z) = G2(z)G1(z)U(z) = G (z)U(z)

G (p)T

1G (p) 2

T

G (p)G (p)=G(p)

U*(p) Y*(p)

12

Y (z) = G (z)U(z) = Z[G2(p)G1(p)]U(z)

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