Systèmes et Asservissements

Systmes et Asservissements temps continu

Bernard BAYLE

ENSPS, 1re anne

20102011

Cours Systmes et asservissements temps continu

Enseignant responsable

Bernard Bayle : MCF ENSPS/quipe AVR LSIIThttp://eavr.u-strasbg.fr/~bernard

Organisation

CM : 13 1h45, B. BayleTD : 10 1h45, B. Bayle, J. Carvalho, L. Cuvillon, F. RenardTP : 4 4h, S. Abdelaziz, B. Bayle, L. Cuvillon, L. Rubbert, M. Neumann

Cours Systmes et Asservissements Temps Continu

Enseignant responsable

Bernard Bayle : MCF ENSPS/quipe AVR LSIITContact : [email protected]

Evaluation (documents autoriss)CCF : 1h45

Notion de systme

SystmeEtymologiquement : ensemble organis

Systme et AutomatiqueProcd de nature quelconque : lectrique, mcanique,chimique, conomique, . . . dentre u et de sortie y .

Systme dynamiqueProcd voluant au cours du temps sous laction de sonentre u.

Notion de systme asservi

Systme asserviContre-raction : entre du systme ajuste en raction auxinformations de sortie.

A la douche . . .

Douche un bouton. . .. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .. . . un thermostat et cest rgl !

A quoi a sert ?

Avoir la temprature dsire. . .. . . le dbit deau chaude baisse ?



A la douche . . .Douche un bouton. . .

. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .

. . . un thermostat et cest rgl !

A quoi a sert ?




A la douche . . .Douche un bouton. . .. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .

. . . un thermostat et cest rgl !

A quoi a sert ?




A la douche . . .Douche un bouton. . .. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .. . . un thermostat et cest rgl !

A quoi a sert ?





A quoi a sert ?

Avoir la temprature dsire. . .

. . . le dbit deau chaude baisse ?




A quoi a sert ?


Systmes asservis au cours du temps (1)

Clepsydre - Ktesibios dAlexandrie (270 avant JC) - . . .Antique horloge eau


Machine de Watt 1769Rgulation de vitesse dune machine vapeur


Thories classiquesStabilit - Maxwell, Routh, Lyapunov, 1868-1893Servomcanismes - Nyquist, Bode, Evans, 1932-1947

Thories modernesReprsentation dtat, Bellman, Kalman, Pontryagin, 1950

Ce que vous allez apprendre. . .

ModlisationEcriture des lois de la physique, lorsque les paramtres dusystme sont relativement bien connus.

Identification dun modle dans le cas contraire.

AnalyseCaractrisation des diffrentes proprits du systme.

CommandeModification de lentre du systme par un correcteur. Mise enuvre de ce correcteur.

Ce que vous allez apprendre. . .

ModlisationEcriture des lois de la physique, lorsque les paramtres dusystme sont relativement bien connus.Identification dun modle dans le cas contraire.

AnalyseCaractrisation des diffrentes proprits du systme.

CommandeModification de lentre du systme par un correcteur. Mise enuvre de ce correcteur.

Objectifs et cadre de ltude

Systmes tudisCas des systmes monovariables : cest--dire possdant uneseule entre u et une seule sortie y .

Analogique ou numrique ?

Cas des systmes temps continu : u(t) et y(t) fonctions dunevariable continue.

Linaire ou non ?Etude des systmes au comportement linaire : soit linaires,soit linariss autour dun point de fonctionnement.

Premire partie I

Systmes temps continu

Plan

1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations

2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme

3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit

Premier exemple : moteur courant continu (1)

Descriptionnergie lectrique : alimentation de linduit mobile (rotor)champ magntique de linducteur (spar et constant)forces lectriques (addition=balais+collecteur) : rotationsystme : entre=alimentation induit, sortie=rotation rotor


Modlisationmcanique : principe fondamental de la dynamiquelectrique : loi des maillesentre=tension dinduit, sortie=vitesse de rotation du rotor

e(t)

R Li(t)

u(t)f(t)

(t)

i(t)

u(t)


Modlisation

modlisation mcanique : f = J ddtmodlisation lectrique : Ri + L didt + e = uloi couple (par construction) : = Kmiloi vitesse (par construction) : e = Ke

e(t)

R Li(t)

u(t)f(t)

(t)

i(t)

u(t)


Equations mcaniques : f = J ddt et = KmiEquations lectriques : Ri + L didt + e = u et e = Ke

Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :

Ki = f + J ddtK didt = f

ddt + J

d2dt2

RK

(f + J ddt

)+ LK

(f ddt + J

d2dt2

)+ K = u

d2dt2 +

RJ+LfLJ

ddt +

Rf +K 2LJ =

KLJ u

Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 2, linaire coef. constants



Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :Ki = f + J ddt

K didt = fddt + J

d2dt2

RK

(f + J ddt

)+ LK

(f ddt + J

d2dt2

)+ K = u

d2dt2 +

RJ+LfLJ

ddt +

Rf +K 2LJ =

KLJ u




Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :Ki = f + J ddtK didt = f

ddt + J

d2dt2

RK

(f + J ddt

)+ LK

(f ddt + J

d2dt2

)+ K = u

d2dt2 +

RJ+LfLJ

ddt +

Rf +K 2LJ =

KLJ u


Deuxime exemple : suspension (1)

Descriptionvhicule : masse mvmodle suspension : ressort amorti (ks, fs)roue : masse mr , modle roue + pneu : ressort idal (kr )systme : entre=profil route, sortie=altitude vhicule

caillou !kr

systme lquilibre

mv4

mr

fsks

~z

~x

zc

zr

zv


Modlisationdeux solides lquilibremcanique : principe fondamental de la statique

fsks

mv4

fs

mr

kr

ks

mv4 g

mr g

ksls

kr lrksls

vhiculeroue

Equilibre


Modlisationdeux solides en mouvementmcanique : principe fondamental de la dynamique

fsks

mv4

fs

mr

kr

ks

fs ddt (zv zr )

ks(zv zr ) fs ddt (zv zr )

ks(zv zr )

kr (zr zc)

zv

zc

vhiculeroue

Variations

zr


Modlisation

vhicule : mv4d2zvdt2 = ks(zv zr ) fs

(dzvdt dzrdt

)roue : mr d

2zrdt2 = kr (zr zc) + ks(zv zr ) + fs

(dzvdt dzrdt

)

mv4

mr

fs ddt (zv zr )

ks(zv zr ) fs ddt (zv zr )

ks(zv zr )

kr (zr zc)

zvvhicule

rouezr

Relation entre-sortieRelation entre zc - sortie zv ?

Troisime exemple : rgulateur de niveau (1)

Descriptionrservoir aliment en liquideniveau rgl par une vanne dentresystme : entre=dbit vanne, sortie=niveau liquide

Rq0 + qs

q0 + qe

vanne entre

vanne sortie

h0 + h


Modlisationpoint de fonctionnement nominal (q0, h0)rsistance du tuyau de sortie : variations hauteur deliquide/dbit de sortie (variations notes h et qs)hauteur de liquide : fonction de la section C et de ladiffrence de dbit entre - sortie

Rq0 + qs

q0 + qe

vanne entre

vanne sortie

h0 + h


Modlisationrsistance (selon nature de lcoulement)

hauteur de liquide

h0 + h

h0

dbit de sortieq0 q0 + qs

R = tan(q0) = hqssection : Cdh = (qe qs)dt


Equation rsistance : R = hqsEquation coulement : Cdh = (qe qs)dt

Relation entre qe - sortie h :

C dhdt = qe hRRC dhdt + h = Rqe




Relation entre qe - sortie h :C dhdt = qe hR

RC dhdt + h = Rqe




Relation entre qe - sortie h :C dhdt = qe hRRC dhdt + h = Rqe


Quatrime exemple : changeur thermique (1)

Descriptionchange thermique entre circuit de vapeur et circuit deaudbit de vapeur rgl par une vanne dentresystme : entre=dbit vapeur, sortie=temprature eau

ve

e m

v

ee

wv


Modlisationchaleur amene par la vapeur : qv = wv cv (ve v )(wv : dbit massique et cv : chaleur massique de la vapeur)bilan de chaleur : qe = veR(R : rsistance thermique moyenne de lchangeur)flux de chaleur net : Cv dvdt = qv qe(Cv : capacit thermique de la vapeur)

ve

e m

v

ee

wv


Chaleur amene : qv = wv cv (ve v )Bilan de chaleur : qe = veRFlux de chaleur net : Cv dvdt = qv qe

Equations du systme :

Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veRFlux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veRMesure : m(t) = e(t )

Relation entre-sortieSystme non linaire avec retard



Equations du systme :Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veR

Flux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veRMesure : m(t) = e(t )




Equations du systme :Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veRFlux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veR

Mesure : m(t) = e(t )




Equations du systme :Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veRFlux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veRMesure : m(t) = e(t )


Plan




Linarit

DefinitionSoit y1(t) et y2(t) les rponses dun systme excitsparment par les entres u1(t) et u2(t) et R. Le systme

est linaire si sa sortie vaut y1(t) + y2(t) en rponse lentreu1(t) + u2(t).

y1(t)

y2(t)u2(t)

u1(t)

u1(t) + u2(t) y1(t) + y2(t)

linarit

Principe de superposition.

Invariance

DefinitionSoit y(t) la rponse dun systme dentre u(t). Le systme

est invariant si une mme commande, applique deuxinstants diffrents produit la mme sortie aux instantsconsidrs.

u(t) y(t)

u(t + )invariance y(t + )

Principe de causalit

DefinitionUn signal f (t) temps continu est causal si f (t) = 0, t < 0.

DefinitionSoit y(t) la rponse dun systme dentre u(t). Le systme est

causal si, t < 0, u(t) = 0 y(t) = 0.La rponse du systme ne prcde pas son excitation.

Tout systme physiquement ralisable est causal.

HypothseTous les signaux et systmes tudis sont causaux.

Linarit et invariance des systmes tudis

InvarianceCommande applique linstant t + : mme sortie quenappliquant cette commande linstant t , dcale de .

MCC : chauffement du circuit = variation de la rsistance

LinaritLinarit : hypothses de modlisation.

suspension : pas de frottement secniveau de liquide : tude en un point de fonctionnementchangeur thermique : non linaire ?

RetardSans influence sur la linarit et linvariance

Plan




Reprsentation externe par une quation diffrentielle

PropritUn systme temps continu linaire et invariant sans retard estdcrit par une quation diffrentielle linaire coefficientsconstants.

Notationsn

i=c

aid iy(t)

dt i=

mi=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m N tel que m 6 n pour un systme causaln : ordre du systme, c 6 n : classe du systmey(t) : n CI pour y et m CI pour u



Notationsn

i=c

aid iy(t)

dt i=

mi=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0

n, m N tel que m 6 n pour un systme causaln : ordre du systme, c 6 n : classe du systmey(t) : n CI pour y et m CI pour u



Notationsn

i=c

aid iy(t)

dt i=

mi=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m N tel que m 6 n pour un systme causal

n : ordre du systme, c 6 n : classe du systmey(t) : n CI pour y et m CI pour u



Notationsn

i=c

aid iy(t)

dt i=

mi=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m N tel que m 6 n pour un systme causaln : ordre du systme, c 6 n : classe du systme

y(t) : n CI pour y et m CI pour u



Notationsn

i=c

aid iy(t)

dt i=

mi=0

bid iu(t)

dt i

ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m N tel que m 6 n pour un systme causaln : ordre du systme, c 6 n : classe du systmey(t) : n CI pour y et m CI pour u

Relation entre-sortie du MCCEntre : tension dinduit uSortie : vitesse de rotation du rotor

d2dt2

+RJ + Lf

LJddt

+Rf + K 2

LJ =

KLJ

u

n = 2 : systme dordre 2c = 0 6 n : systme de classe 0(t) : 2 CI pour , ddt (0) et (0)


d2dt2

+RJ + Lf

LJddt

+Rf + K 2

LJ =

KLJ

u

n = 2 : systme dordre 2

c = 0 6 n : systme de classe 0(t) : 2 CI pour , ddt (0) et (0)


d2dt2

+RJ + Lf

LJddt

+Rf + K 2

LJ =

KLJ

u

n = 2 : systme dordre 2c = 0 6 n : systme de classe 0

(t) : 2 CI pour , ddt (0) et (0)


d2dt2

+RJ + Lf

LJddt

+Rf + K 2

LJ =

KLJ

u

n = 2 : systme dordre 2c = 0 6 n : systme de classe 0(t) : 2 CI pour , ddt (0) et (0)

Reprsentation dtat du systme (1)

PropritUn systme temps continu linaire et invariant sans retard estdcrit par une infinit de reprsentations sous forme desystmes diffrentiels dordre un, coefficients constants.

Reprsentation dtatdxdt = Ax + Buy = Cx + Du


Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure

x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)



x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systme

A, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)



x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantes

A de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)



x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)

B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)



x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)

C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)



x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservation

D scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)



x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directe

x(t) et y(t) : CI x(t0)



x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)

Modle dtat du MCCEntre u, sortie

Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = i



Rcriture des quations :

Ri + Ldidt

+ K = u

Ki f = J ddt




Rx2 + Ldx2dt

+ Kx1 = u

Kx2 fx1 = J dx1dt




Rx2 + Ldx2dt

+ Kx1 = u

Kx2 fx1 = J dx1dt

Reprsentation dtat

ddt

(x1x2

)=

( fJ KJKL RL

)(x1x2

)+

(01L

)u,

y =(1 0

)(x1x2

)


Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = ddt




d2dt2

+RJ + Lf

LJddt

+Rf + K 2

LJ =

KLJ

u




dx2dt

+RJ + Lf

LJx2 +

Rf + K 2

LJx1 =

KLJ

u

x2 =dx1dt




dx2dt

+RJ + Lf

LJx2 +

Rf + K 2

LJx1 =

KLJ

u

x2 =dx1dt

Reprsentation dtat

ddt

(x1x2

)=

(0 1

Rf +K 2LJ RJ+LfLJ

)(x1x2

)+

(0KLJ

)u,

y =(1 0

)(x1x2

)

Plan




Transforme de Laplace : dfinition

DfinitionSoit f (t) un signal temps continu, prenant la valeur f (t) linstant t . La transforme de Laplace de f (t) est dfinie par :

F (s) = L{f (t)} = +

0f (t)estdt .

PropritSoit s = + j. La transforme de Laplace est gnralementdfinie sur un demi-plan complexe pour lequel ]0, +[.La valeur 0 dfinissant la limite de convergence est appeleabscisse de convergence de la transforme.

Transforme de Laplace : calcul

Tables de transformesAutant que possible, on utilise des tables de transformespr-calcules :

(t) 1U(t) 1s

. . .

CalculCalcul direct de lintgrale

Exemple de calcul

Calcul de la transforme de Laplace de f (t) = eat U(t).

Exemple de calcul


Dfinition (s = + j) :

F (s) = +

0eatestdt ,

=

+0

eate(+j)tdt ,

=

+0

e(+a)tejtdt .

Exemple de calcul


Convergence en valeur absolue de lintgrale : +0

|e(+a)tejt |dt = +

0|e(+a)t ||ejt |dt ,

=

+0

|e(+a)t |dt ,

=

+0

e(+a)tdt ,

=

[e(+a)t

+ a

]t+t=0

.

Converge en valeur absolue ssi + a > 0, donc > 0 = a.

Exemple de calcul


Calcul :

F (s) = +

0e(s+a)tdt ,

=

[e(s+a)t

s + a

]t+t=0

=1

s + a

Exemple de calcul


Transforme de eat U(t)Finalement :

F (s) = L{eat U(t)} = 1s + a

pour tout s = + j si et seulement si > a.

Transforme de Laplace : proprits principales

linarit L{f (t) + g(t)} = F (s) + G(s), R

retard L{f (t )} = esF (s), R

intgration L{ t

0 f ()d}

= F (s)s

drivation en t L{

df (t)dt

}= sF (s) f (0)

valeur finale limt f (t) = lims0 sF (s)

convolution L{f (t) g(t)} = L{ + f ()g(t )d

}= F (s)G(s)

Transforme de Laplace : inversion

DfinitionSoit F (s) la transforme de Laplace de f (t). La transforme deLaplace inverse de F (s) scrit :

f (t) = L1{F (s)} = 12pij

F (s)estds.

Tables de transformesDcomposition en lments simples pour utiliser les tables detransformes.

. . .sinon formule dinversion et calcul des rsidus.

Transforme de Laplace : intrt

Rcriture du modle du systmePour les systmes linaires temps continu : possibilit detransformer les quations diffrentielles dcrivant lvolutiondynamique du systme en quations algbriques en s.

Conditions initiales

Drivation en t : L{

df (t)dt

}= sF (s) f (0)

Termes lis aux CI6= 0

Relation entre-sortie du MCC en tVariable t :

(t) +RJ + LfRf + K 2

d(t)dt

+LJ

Rf + K 2d2(t)

dt2=

KRf + K 2

u(t),

Transforme de Laplace CI nulles :

(s) +RJ + LfRf + K 2

s(s) +LJ

Rf + K 2s2(s) =

KRf + K 2

U(s),

Relation entre-sortie du MCC en s

(1 +

RJ + LfRf + K 2

s +LJ

Rf + K 2s2)

(s) =K

Rf + K 2U(s),

Fonction de transfert : dfinition

Soit un systme linaire invariant sans retard dentre u(t) etde sortie y(t).

Relation entre-sortie :

ni=c

aid iy(t)

dt i=

mi=0

bid iu(t)

dt i.



En appliquant la transforme de Laplace CI nulles :

ni=c

aisiY (s) =m

i=0

bisiU(s),

soit :Y (s) = G(s)U(s).



DfinitionOn appelle fonction de transfert (FT) du systme la fractionrationnelle :

G(s) =Y (s)U(s)

.

Le terme synonyme transmittance est souvent utilis.

Fonction de transfert : proprits

Forme de la fonction de transfertDans le cas des systmes linaires invariants sans retard la FTprend la forme dune fraction rationnelle :

G(s) =N(s)D(s)

=

mi=0 bis

ini=c aisi

Caractristiques :racines de N(s) : m zrosracines de D(s) : n pleszros et les ples C



G(s) =b0 + b1s + . . . bmsm

acsc + ac+1sc+1 + . . . + ansn

Caractristiques :racines de N(s) : m zrosracines de D(s) : n pleszros et les ples CK = b0ac : gain statique



G(s) =bman

mi=1 (s zi)ni=1 (s pi)

Caractristiques :racines de N(s) : m zrosracines de D(s) : n pleszros et les ples Cbman : coefficient de gain

Relation entre-sortie du MCC en s :(1 +

RJ + LfRf + K 2

s +LJ

Rf + K 2s2)

(s) =K

Rf + K 2U(s),

Fonction de transfert du MCC

G(s) =(s)U(s)

=KLJ

s2 + RJ+LfLJ s +Rf +K 2

LJ

.

donc :

N(s) =KLJ

et D(s) = s2 +RJ + Lf

LJs +

Rf + K 2

LJ.

Fonction de transfert du MCCCaractristiques :

pas de zroples (tels que D(s) = 0) ?

On montre (. . .) :

G(s) =(s)U(s)

=

KGelem(

s + 1el

)(s + 1em

) ,el =

LR,

em =RJ

Rf + K 2,

et KG =K

Rf + K 2.

Fonction de transfert du MCCCaractristiques :

pas de zroples (tels que D(s) = 0) ?

On montre (. . .) :

G(s) =(s)U(s)

=

KGelem(

s + 1el

)(s + 1em

) ,donc deux ples :

p1 = 1el

et p2 = 1em

.

Plan




Passage reprsentation dtat/fonction de transfert

Transforme de Laplace de la reprsentation dtat :

dxdt = Ax + Bu sX (s) = AX (s) + BU(s)y = Cx + Du Y (s) = CX (s) + DU(s)

soit :

X (s) = (sI A)1BU(s)Y (s) = CX (s) + DU(s)

Passage reprsentation dtat/fonction de transfert

Y (s) =(

C(sI A)1B + D)

U(s)

Calcul des ples

Fonction de transfert :

Y (s)U(s)

= C(sI A)1B + D,

= CcoT (sI A)det(sI A) B + D,

=C(coT (sI A))Bdet(sI A) + D.

Equation caractristique du systme = quation des ples :

det(sI A) = 0.

Ples et valeurs propresPles du systme = valeurs propres de A

Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (1)

Non-unicit de la reprsentation dtat une infinit de reprsentations quivalentes.

Changement de variable rgulier z = P1x :

ddt

(Pz) = Pdzdt

= APz + Bu,

y = CPz + Du,

soit :

dzdt

= P1APz + P1Bu,

y = CPz + Du.


Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A diagonale, ples distincts

Dcomposition en lments simples :

Y (s)U(s)

=n

i=1

is i + D.




Y (s)U(s)

=n

i=1

is i + D.

Choix des variables dtat telles que :

Xi(s) =1

s i U(s),




Y (s)U(s)

=n

i=1

is i + D.


sXi(s) = iXi(s) + U(s),




Y (s)U(s)

=n

i=1

is i + D.


dxidt

= ixi + u.


Obtention dun modle dtat avec A diagonale

Ples distincts : dxidt = i xi + u, Xi (s) =1

si U(s) et Y (s) =n

i=1 i Xi (s) + DU(s)

dxdt

=

1 0 . . . . . . . . . 00 2 0 . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . 0 n1 00 . . . . . . . . . 0 n

x +

11. . .. . .11

u,

y =(1 2 . . . . . . . . . n

)x + Du.

Reprsentation dtat sous forme modale


Type de reprsentation dtatModle dtat avec A diagonale, ples pas tous distincts


Y (s)U(s)

=1

s 1+

2

(s 1)2+ . . . +

p

(s 1)p+

ni=p+1

i

s i+ D




Y (s)U(s)

=1

s 1+

2

(s 1)2+ . . . +

p

(s 1)p+

ni=p+1

i

s i+ D

Variables dtat telles que :

X1(s) =1

s 1U(s),

. . .

Xp(s) =1

(s 1)pU(s),

Xi (s) =1

s iU(s), pour i = p + 1, . . . , n.




Y (s)U(s)

=1

s 1+

2

(s 1)2+ . . . +

p

(s 1)p+

ni=p+1

i

s i+ D


X1(s) =1

s 1U(s),

. . .

Xp(s) =1

(s 1)Xp1(s),

Xi (s) =1

s iU(s), pour i = p + 1, . . . , n.




Y (s)U(s)

=1

s 1+

2

(s 1)2+ . . . +

p

(s 1)p+

ni=p+1

i

s i+ D


sX1(s) = 1X1(s) + U(s),

sX2(s) = 1X2(s) + X1(s),

. . .

sXp(s) = 1Xp(s) + Xp1(s),sXi (s) = i Xi (s) + U(s), pour i = p + 1, . . . , n.


Obtention dun modle dtat avec A diagonalePles pas tous distincts : sX1(s) = 1X1(s) + U(s), sX2(s) = 1X2(s) + X1(s), . . .

sXp(s) = 1Xp(s) + Xp1(s) et sXi (s) = i Xi (s) + U(s), i = p + 1, . . . , n

dxdt

=

1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 00 1 1 0 . . . . . . . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 0 1 1 0 . . . . . . 00 . . . . . . . . . 0 p+1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 n1 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 n

x1x2x3. . .xp

xp+1. . .

xn1xn

+

100. . .01. . .11

u,

y =(1 2 . . . . . . n

)x + Du.

Matrice dvolution sous forme rduite de Jordan


Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A compagne

Fonction de transfert (an = 1) :

G(s) =Y (s)U(s)

=N(s)D(s)

=b0 + b1s + . . . bmsm

a0 + a1s + . . . + sn,




G(s) =Y (s)U(s)

=N(s)D(s)

=b0 + b1s + . . . bmsm

a0 + a1s + . . . + sn,

Variable dtat x1 telle que :

U(s) = D(s)X1(s),Y (s) = N(s)X1(s),




G(s) =Y (s)U(s)

=N(s)D(s)

=b0 + b1s + . . . bmsm

a0 + a1s + . . . + sn,

Variable dtat x1 telle que :

U(s) = (sn + an1sn1 + . . . + a0)X1(s),Y (s) = (bmsm + bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).




G(s) =Y (s)U(s)

=N(s)D(s)

=b0 + b1s + . . . bmsm

a0 + a1s + . . . + sn,

Variables dtat x2, . . . , xn telles que :

dx1dt

= x2,. . . . . .

dxn1dt

= xn.




G(s) =Y (s)U(s)

=N(s)D(s)

=b0 + b1s + . . . bmsm

a0 + a1s + . . . + sn,

Finalement, variables dtat x1, x2, . . . , xn telles que :

dxidt

=d ix1dt i

.


Obtention dun modle dtat avec A compagne

U(s) = (sn + an1sn1 + . . . + a0)X1(s),dxidt =

d i x1dt i

et dxi1dt = xi .




d i x1dt i

et dxi1dt = xi .

Il vient :

dnx1dtn

= an1 dn1x1

dtn1 . . . a0x1 + u,




d i x1dt i

et dxi1dt = xi .

Il vient :dxndt

= an1 dxn1dt . . . a0x1 + u,




d i x1dt i

et dxi1dt = xi .

Il vient :dxndt

= an1xn . . . a0x1 + u.




d i x1dt i

et dxi1dt = xi .

soit :

dxdt

=

0 1 0 . . . . . . . . . 00 0 1 0 . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . 0 1a0 a1 . . . . . . . . . . . . an1

x +

00. . .. . .1

u.Matrice dvolution sous forme compagne horizontale.



Il reste alors dterminer la sortie.

Sortie :

Y (s) = bmsmX1(s) + (bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).

Fonction de transfert strictement propre (m < n) :

y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0

)x .




Sortie :



y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0

)x .

Fonction de transfert non strictement propre (n = m) :

Y (s) = bnsnX1(s) + (bn1sn1 + . . . + b0)X1(s),




Sortie :



y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0

)x .


Y (s) = bn(

(an1sn1 . . . a0)X1(s) + U(s))

+ (bn1sn1 . . . + b0)X1(s).




Sortie :



y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0

)x .


y =(b0 a0bn b1 a1bn . . . bn1 an1bn

)x + bnu.



Rcapitulatif

dxdt

=

0 1 0 . . . . . . . . . 00 0 1 0 . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . 0 1a0 a1 . . . . . . . . . . . . an1

x +

00. . .. . .1

uy =

(b0 a0bn b1 a1bn . . . bn1 an1bn

)x + bnu.

Forme canonique commandable.

Plan




Reprsentation dtat : calcul de la rponse (1)

Problme1 Rsolution de lquation dtat :

dxdt

= Ax + Bu.

2 Obtention de la rponse du systme :

y = Cx + Du.


Rponse libre de ltatRponse libre : solution de lquation dtat homogne :

dxdt

= Ax .

Matrice de transitionOn montre :

x(t) = (t , t0)x(t0).

avec (t , t0) matrice de transition , dordre n tq :

d(t , t0)dt

= A(t , t0), t > t0.


Rponse force de ltatRponse force : rponse au seul signal dentre, CI nulles :

dxdt

= Ax + Bu.

On montre :

x(t) = t

t0(t , )Bu()d.


Rponse complteRponse complte du systme, par superposition :

x(t) = (t , t0)x(t0) + t

t0(t , )Bu()d,

y(t) = Cx(t) + Du(t),

y(t) = C(

(t , t0)x(t0) + t

t0(t , )Bu()d

)+ Du(t).


Matrice de transitionPour un systme linaire invariant :

(t , t0) = eA(tt0)

o :

eAt = 1 + At +A2t2

2!+ . . . +

Antn

n!+ . . .

Rponse complteRponse complte du systme, par superposition :

y(t) = C(

eA(tt0)x(t0) + t

t0eA(t)Bu()d

)+ Du(t).


Calcul de la matrice de transitionDans le cas o A est diagonale, chacun des termes de ladiagonale de eAt est lexponentielle du terme correspondant deA. En effet, ai , i = 1, 2, . . . ,n :

eai t = 1 + ai t +a2i t

2

2!+ . . . +

ani tn

n!+ . . .




2

2!+ . . . +

ani tn

n!+ . . .

Mthode gnrale

Dans le cas o A est non diagonale : diagonalisation pralableAd = P1AP, puis changement de variable dtat ou :

eAt = PeAd tP1.




2

2!+ . . . +

ani tn

n!+ . . .

Autres mthodesTransforme de Laplace, thorme de Sylvester.

Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885

Problme : calculer la sortie y(t) = (t) en rponse unetension constante de 12 V pour les CI en t = 0 :

= 2230 tours/min = 233,5 rad/s,i = 0,168 A,


Reprsentation dtat :

ddt

(x1x2

)=

( fJ KJKL RL

)(x1x2

)+

(01L

)u,

y =(1 0

)(x1x2

)avec x1 = et x2 = i .Valeur numrique du modle :

R = 1,44 L = 5,6 104 HJ = 1,29 104 kg.m2

f = 7,19 105 N.s.m1

K = 0,10 N.m.A1


Expression numrique de la reprsentation dtat :

ddt

(x1x2

)=

(0,55768 775,19178,57 2571,4

)(x1x2

)+

(0

1785,7

)u,

y =(1 0

)(x1x2

)


Diagonalisation de la reprsentation dtat :

Ad =(55,58 0

0 2516,4)

P =(

0,9975 0,29450,07080 0,9557

)Changement de variable rgulier z = P1x :

dzdt

= P1APz + P1Bu,

y = CPz + Du.


Diagonalisation de la reprsentation dtat :

z(0) =(

239,374517,9099

)dzdt

=

(55,58 00 2516,4

)z +

(563,9

1910,3

)u,

y =(0,9975 0,2945) z


Rponse :

y(t) = CP(

(t , 0)z(0) + t

0(t , )P1Bu()d

),

avec :

(t , ) =(

e55,58(t) 00 e2516,4(t)

)soit :

y(t) = 238, 77 e55,58t5, 2738 e2516,4t +121, 45(1e55,58t )2, 6825(1e2516,4t )

ou :

y(t) =(

118,77 + 117,32 e55,58t 2,5913 e2516,4t)U(t).

Reprsentation externe : calcul de la rponse (1)

Mthode directeRsolution de lquation diffrentielle entre-sortie :

ni=c

aid iy(t)

dt i=

mi=0

bid iu(t)

dt i

Problmatique au del de n = 2.

Transforme de LaplaceOn utilise la transforme de Laplace et donc la FT du systme,si les CI sont nulles.

Reprsentation externe : calcul de la rponse (2)

Daprs la dfinition de la FT, avec des CI sont nulles :

Y (s) = G(s)U(s).

Proprit de la transforme de Laplace vis--vis de laconvolution :

L{f (t) g(t)} = L{ +

f ()g(t )d}

= F (s)G(s)

ThormeLa rponse dun systme linaire invariant dentre u(t) et desortie y(t) peut scrire sous la forme :

y(t) = g(t) u(t).


Valeur numrique du modle :

R = 1,44 L = 5,6 104 HJ = 1,29 104 kg.m2

f = 7,19 105 N.s.m1

K = 0,10 N.m.A1

Problme : calculer la sortie y(t) = (t) en rponse unetension constante de 12 V pour des CI nulles.



G(s) =9,8975

(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s),

do :

Y (s) =9,8975

(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s)U(s),



G(s) =9,8975

(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s),

do :

Y (s) =9,8975

(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s)12s,



G(s) =9,8975

(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s),

do :

Y (s) =118,77

s(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s).



Y (s) =118,77

s(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s),

devient :

Y (s) =118,77

s 2,2308

1 + 0,0184s+

9,9808 104

1 + 0,0004s,


On connait :L{eat U(t)} = 1

s + adonc :

L{e t U(t)} = 1 + s

.

La transforme inverse de Laplace de :

Y (s) =118,77

s 2,2308

1 + 0,0184s+

9,9808 104

1 + 0,0004s,

donne :

y(t) =(

118,77 121,45 e55,58t + 2,6825 e2516,4t)U(t).

Rponse impulsionnelle (1)

Definition (Impulsion de Dirac)

Soit f (t) une fonction continue en 0. Alors limpulsion de Diracest la distribution (t) telle que : +

f ()()d = f (0).

Rponse impulsionnelleRponse impulsionnelle : rponse une impulsion de Dirac.

Rponse impulsionnelle (2)

Rponse impulsionnelle du systme :

y(t) = g(t) (t)

soit, par dfinition de limpulsion de Dirac :

y(t) = t

0g()(t )d = g(t).

Rponse impulsionnelle

g(t) = L1{G(s)} : rponse impulsionnelle du systme.

RemarqueFaible intrt pratique.

Approximation de limpulsion de Dirac +

f ()()d = f (0).

1a

t0

(t)

a

(t) = lima0 (t)

Rponse indicielle

DfinitionOn appelle rponse indicielle dun systme sa rponse unchelon unit :

U(t) =

{0, si t < 0,1, si t > 0.

Cette rponse vaut :

y(t) = g(t) U(t) = t

0g() U(t )d =

t0

g()d.

RemarqueIntrt pratique : caractrisation (identification) du systme.

Temps

Am

plitu

de

Rponse indicielle

100 % 95 %

105 %

90 %

10 %

t5% tm

t1

D1

Systmes du 1er ordre : rponse temporelle (1)

DfinitionUn systme linaire invariant temps continu dordre un estdcrit par une quation diffrentielle dordre un coefficientsconstants reliant son entre u(t) et sa sortie y(t) :

y(t) + dy(t)

dt= Ku(t)

o et K sont des constantes relles non nulles ; est laconstante de temps du systme et K son gain statique.

La rponse indicielle est y(t) = + et avec et deux

constantes relles dpendant des CI.


Dtermination des paramtres de :

y(t) = + et .

terme constant : rgime permanent de la sortieune partie variable : rgime transitoirecas > 0 : stable



y(t) = + et .


A linstant t = 0 :y(0) = + .



y(t) = + et .


Quand t , dy(t)dt = 0 :

limt

y(t) = K ,

et limt

y(t) = ,



y(t) = + et .


soit les paramtres :

= K , = y(0) K .



y(t) = + et .


Finalement :

y(t) = K (1 e t ) + y(0)e t .

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

2

4

6

8

10

12

14

16

Temps (s)

Am

plitu

de

Rponse indicielle

Rponse indicielle dun systme du premier ordre de constante detemps = 0,01 s et de gain statique K = 10 pour diffrentes CI

Temps

Am

plitu

de

Rponse indicielle100 %

63 %

95 %

3

Caractristiques de la rponse indicielle dun systme dordre 1

Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (1)

Dfinition

Un systme linaire invariant temps continu dordre deux estdcrit par une quation diffrentielle dordre deux coefficientsconstants reliant son entre u(t) et sa sortie y(t).

: coefficient damortissementn : pulsation propre non amortie ou pulsation naturelleK : gain statique


Dfinition

On considre des systmes dont lquation diffrentielle se metsous la forme canonique :

2n y(t) + 2ndy(t)

dt+

d2y(t)dt2

= K2n u(t),

o , n et K sont des constantes relles strictement positives

: coefficient damortissementn : pulsation propre non amortie ou pulsation naturelleK : gain statique


Rponse indicielle fonction de la valeur de : + ent sin(

1 2 nt + ), si 0 < < 1,

+ ( + t)ent , si = 1,

+ e(+21)nt + e(

21)nt , si > 1,

avec , , R dpendant des CI.

> 1 : aucune oscillation < 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsationfixe p =

1 2 n, dont lamplitude dcrot

exponentiellement vers zro. On appelle ppseudo-pulsation ou pulsation amortie.



1 2 nt + ), si 0 < < 1,

+ ( + t)ent , si = 1,

+ e(+21)nt + e(

21)nt , si > 1,


> 1 : aucune oscillation

< 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsationfixe p =





1 2 nt + ), si 0 < < 1,

+ ( + t)ent , si = 1,

+ e(+21)nt + e(

21)nt , si > 1,


> 1 : aucune oscillation < 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsationfixe p =



0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

2

4

6

8

10

12

14

16

Temps (s)

Am

plitu

de

Rponse indicielle

=1,5

=3,48

=1

=0,71

=0,42

=0,2

Rponses indicielles dun systme du second ordre pour diffrentesvaleurs du coefficient damortissement


Temps de rponsePas de loi simple : abaques ou simulation.

Courbe nt5% fonction de


Temps de rponsePas de loi simple : approximation.

Approximation :deux ples rels, associs deux constantes de temps(1 >> 2)

+ et1 + e

t2 t5% ' 31

deux ples complexes : la rponse indicielle est comprise lintrieur dune enveloppe exponentielle connue :

+ ent sin(

1 2 nt + ) t5 % '3n

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Temps (s)

Am

plitu

de

Rponse indicielle

Rponse indicielle dun systme du second ordre pseudo-oscillant etenveloppe des pseudo-oscillations

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12Rponse indicielle

Temps (sec)

Am

plitu

de

Temps de rponse 5 % dun systme du second ordre de coefficientdamortissement 0,6 et dun premier ordre de constante de temps 1n


Premier dpassement (cas pseudo-oscillant)Formes analytiques :

t1 =pi

1 2 n, D1 = e

pi12 .

Compromis optimal amortissement-rapidit ?

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Amortissement

Am

plitu

de d

u pr

emie

r dp

asse

men

t (%)

Correspondance entre premier dpassement (D1%) et coefficientdamortissement, pour un systme du second ordre


Premier dpassement (cas pseudo-oscillant)Compromis optimal amortissement-rapidit est obtenu pour :

=

2

2' 0,7

Temps de rponse : D1% = 5 % de la valeur finale : t1 = t5 %.

Plan




Analyse harmonique

DfinitionOn considre le cas dun systme linaire invariant de FT G(s),en rgime permanent sinusodal de pulsation . On appelleG(s = j) rponse harmonique.

PropritLa rponse du systme une entre sinusodale A sint est :

y(t) = A |G(j)| sin (t + Arg{G(j)}) .

Analyse harmonique

DfinitionOn considre le cas dun systme linaire invariant de FT G(s),en rgime permanent sinusodal de pulsation . On appelleG(s = j) rponse harmonique.

Analyse harmonique

Analyse harmonique : tude de la fonction G(j) :comportement frquentiel du systme (signal priodique)diagrammes mettant en correspondance module etargument

Diagrammes harmoniques (1)

Diagramme de Bode

Le diagramme de Bode est constitu de deux courbes :module en dcibels (dB) : GdB() = 20 log10 |G(j)|argument en degrs (deg) : () = Arg{G(j)}

VocabulaireOn utilise traditionnellement les termes de gain et de phase,plutt que les termes modules et argument.


Intrt du diagramme de BodeModule dun produit de nombres complexes = produit deleurs modules. Module en dB dun produit de nombres

complexes = somme de leurs modules en dB :

20 log10 |G1(j)G2(j)| = 20 log10 |G1(j)|+ 20 log10 |G2(j)|,= G1dB (j) + G2dB (j).

Argument dun produit de nombres complexes = sommedes arguments :

Arg{G1(j)G2(j)} = ArgG1(j) + ArgG2(j).


Diagramme de Nyquist

Le diagramme de Nyquist est le lieu de G(j) dans le plancomplexe, lorsque varie de +.

RemarqueCe diagramme est orient selon les croissants. En gnralon choisi lchelle du diagramme de Nyquist de sorte que lepoint complexe dabscisse 1, dit point critique apparaisse etpuisse tre situ par rapport au lieu de G(j).


Lieu de Black-NicholsLe lieu de Black-Nichols est le lieu orient des points decoordonnes ((),GdB()) lorsque varie de +. Ontache aussi de faire apparatre le point critique de coordonnes(180,0) sur ce lieu.

RemarqueCe diagramme est orient selon les croissants. En gnralon choisi lchelle du diagramme de Nyquist de sorte que lepoint complexe dabscisse 1, dit point critique apparaisse etpuisse tre situ par rapport au lieu de G(j).


Valeur numrique des paramtres du modle :

G(s) =(s)U(s)

=

KGelem(

s + 1el

)(s + 1em

) ,el =

LR,

em =RJ

Rf + K 2,

et KG =K

Rf + K 2.

G(s) =9,8975

(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s).

100 101 102 103 104 10580

60

40

20

0

20A

mpl

itude

(dB)

Diagramme de Bode

100 101 102 103 104 105

160140120100

80604020

Pulsation (rad/s)

Phas

e (de

g)

2 0 2 4 6 8 106

5

4

3

2

1

0

1

Axe rel

Axe

imag

inai

re


180 160 140 120 100 80 60 40 20

70

60

50

40

30

20

10

0

10

20

Phase (deg)

Gai

n (dB

)

Lieu de BlackNichols

Systmes du 1er ordre : rponse harmonique (1)

Fonction de transfertLa FT dun systme du premier ordre est donc :

G(s) =Y (s)U(s)

=K

1 + s.


Rponse harmoniqueLa rponse harmonique associe est :

G(j) =K

1 + j.

Description de la rponse harmonique :tude du comportement asymptotique du rgimepermanent sinusodalextrapolation par des valeurs choisies


Description de la rponse harmonique : G(j) = K1+j .

G(j) gain gain phase

quivalent (dB) (deg)

1

K K KdB = 20 log10 K 0

1

K1 + j

K2

KdB 3 45

1

jK

K

KdB 20 log10 20 log10 90

100 101 102 103 104

20

10

0

10

20

Am

plitu

de(dB

)

Diagramme de Bode

100 101 102 103 104

8070605040302010

Pulsation (rad/s)

Phas

e (de

g)

c

KdB3 dB

45

90

20 dB/dcade

Diagramme de Bode dun systme du premier ordre de constante detemps = 0,01 s et de gain statique K = 10

180 160 140 120 100 80 60 40 2020

15

10

5

0

5

10

15

20

Phase (deg)

Gai

n (dB

)


90

KdB

Lieu de Black-Nichols dun systme du premier ordre de constante detemps = 0,01 s et de gain statique K = 10

2 0 2 4 6 8 10

5

4

3

2

1

0

1

Axe rel

Axe

imag

inai

re


K

K/2 = 5 1

Diagramme de Nyquist dun systme du premier ordre de constantede temps = 0,01 s et de gain statique K = 10

Systmes du 2nd ordre : rponse harmonique (1)

Fonction de transfertLa FT du systme du second ordre est :

G(s) =Y (s)U(s)

=K2n

2n + 2ns + s2.



G(s) =Y (s)U(s)

=K2n

2n + 2ns + s2.

Ples = solutions de 2n + 2ns + s2 = 0 :

p1,2 = ( j

1 2)n si 0 < 6 1et p1,2 = (

2 1)n si > 1.



G(s) =Y (s)U(s)

=K2n

2n + 2ns + s2.

0

n

1 2

-n

1 2

Axe rel

Axe imaginaire

p2

p1

n

cos() =

n


Description de la rponse harmonique : G(j) = K2n

2n2+2jn .

G(j) gain gain phase

quivalent (dB) (deg)

n K K KdB = 20 log10 K 0

nK

2jK2 KdB 6 20 log10 90

n K2n

2K2n2

KdB + 40 log10 n 40 log10 180


Rsonance

Si 6

22 , il peut y avoir un phnomne de rsonance,

cest--dire que le gain passe par un maximum en :

r =

1 22 n.

Le dpassement en gain correspondant vaut :

Gr =1

2

1 2

100 101 102 103 10460

40

20

0

20

Am

plitu

de(dB

)

Diagramme de Bode

100 101 102 103 104

160140120100

80604020

Pulsation (rad/s)

Phas

e (de

g)

= 0,20,42

0,711

1,53,48

c

90

180

KdB

40 dB/dcade

Diagramme de Bode dun systme du second ordre K = 10,n = 100, variable

180 160 140 120 100 80 60 40 20

50

40

30

20

10

0

10

20

30

Phase (deg)

Gai

n (dB

)


3,48

1

0,42

0,71

= 0,2

1,5

KdB

Lieu de Black-Nichols dun systme du second ordre K = 10,n = 100, variable

10 5 0 5 10 15

25

20

15

10

5

0

Axe rel

Axe

imag

inai

re


3,481,510,710,42

= 0,2

K=

Diagramme de Nyquist dun systme du second ordre K = 10,n = 100, variable

Plan




Simplification de modles (1)

Forme gnrique dune FT :

G(s) =Ksc

pi=1(1 + is)

qi=p+1(1 + 2

ini

s + 1n2i

s2)pj=1(1 + js)

qj=p+1(1 + 2

jnj

s + 1n2j

s2).

Termes du premier ordre : ples et zros relsTermes du second ordre : ples et zros complexesconjugus



G(s) =Ksc

pi=1(1 + is)

qi=p+1(1 + 2

ini

s + 1n2i

s2)pj=1(1 + js)

qj=p+1(1 + 2

jnj

s + 1n2j

s2).

Termes du premier ordre : ples et zros rels

Termes du second ordre : ples et zros complexesconjugus



G(s) =Ksc

pi=1(1 + is)

qi=p+1(1 + 2

ini

s + 1n2i

s2)pj=1(1 + js)

qj=p+1(1 + 2

jnj

s + 1n2j

s2).

Termes du premier ordre : ples et zros relsTermes du second ordre : ples et zros complexesconjugus

Simplification du modle du MCCModle du second ordre :

G(s) =9,8975

(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s).

Modle du premier ordre :

G(s) =9,8975

1 + 0,0184s.

Rponse harmonique relative au ple dominant ?

G1(j) =1

1 + 0,0184j,

Rponse harmonique relative au ple secondaire ?

G2(j) =1

1 + 0,0004j

0KdB = 20

0

180

90

(KG1)dB(1)

(1)

Arg{KG1}

1em

0KdB = 20

0

180

90

(G2)dB(KG1)dB

(1)(1)

Arg{G2}

(1)

Arg{KG1}

1el

1em

0KdB = 20

0

180

90

GdB

(G2)dB(KG1)dB

(1)(1)

(2)

Arg{G2}

Arg{G}

(1)

Arg{KG1}

1el

1em

0KdB = 20

0

180

90

GdB

(KG1)dB(1)

(2)

Arg{G}

(1)

Arg{KG1}

1em

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120.2

0.18

0.16

0.14

0.12

0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

Temps (s)

Am

plitu

de

Erreur de modlisation dans lhypothse dun modle dordre un duMCC : erreur sur la rponse indicielle pour un moteur Maxon F2260


Rgles gnrales : ples rels

Lorsque deux ples sont suffisamment distincts le ple le plusprs de laxe des imaginaires, cest--dire le plus petit en valeurabsolue, associ la constante de temps la plus lente, estprpondrant.

Si lon doit faire une approximation pour simplifier ltude dunsystme, dont le modle est dordre lev, on ngligera doncles ples les plus rapides.

Si les ples sont proches, il peut devenir plus hasardeuxdeffectuer une telle simplification.


Rgles gnrales : ples complexes conjugus

On pourra, de mme considrer que la dynamique lie unepaire de ples complexes conjugus est ngligeable devantcelle lie un ple simple ou une autre paire de plescomplexes conjugus si la pulsation naturelle associe cettepaire est grande devant la pulsation naturelle de lautre paire,ou devant la pulsation associe au ple simple.


Rgles gnrales : zros

Cas similaire : on simplifiera les zros entre eux de la mmemanire.

En revanche, on procdera avec prudence pour ce qui est dengliger un zro prpondrant au vu de la valeur des ples.

Exemple 1

G(s) =K (1 + 2s)

(1 + 1s)(1 + 3s)avec 1 > 2 > 3.

A. N. :

1 = 1 s2 = 0,1 s3 = 0,01 s

CaractristiquesTrac du diagramme de BodeTrac du lieu des ples et zros

Exemple 2

G(s) =K (1 + 1s)(

1 + s2 +s222

)(1 + 3s)

avec 1 > 12 > 3.

A. N. :

1 = 1 s2 = 10 rad/s3 = 0,01 s

CaractristiquesTrac du diagramme de BodeTrac du lieu des ples et zros

Plan




Commandabilit et observabilit : gnralits

ContexteNotions fondamentales pour ltude des systmes en vue deleur commande, dfinies partir du modle dtat du systmeconsidr

ObjectifCaractrisation daprs les critres de Kalman.

Commandabilit (1)

DfinitionCommandabilit dun systme = capacit voir soncomportement voluer sous laction de sa commande (sonentre).

Commandabilit dun systmeUne variable dtat xi est commandable sil est possible dedterminer une commande u(t) sur un intervalle [t0, tf ]conduisant tout tat initial xi(t0) en 0 en un temps t1 avect0 6 t1 6 tf .Si cette proprit est vraie pour tout t0 et pour toute variable duvecteur dtat, alors le systme est dit compltementcommandable.

Commandabilit (2)

Critre de commandabilit (de Kalman)Un systme linaire invariant dquation dynamique dtat :

dxdt

= Ax + Bu

est commandable si et seulement si la matrice decommandabilit :

C =(B AB . . . An1B

)est de rang n.

On parle couramment de commandabilit de la paire (A, B).

Systme de niveau de liquideSystme de niveau de liquide rgi par la loi dvolution :

RCdhdt

+ h = Rqe.

Rq0 + qs

q0 + qe

vanne entre

vanne sortie

h0 + h

Modle dtatModle physique :

RCdhdt

+ h = Rqe.

Systme dordre 1 : variable dtat = variation h de la hauteurde liquide, entre (commande) = variations u = qe du dbitdentre autour du dbit nominal q0.

Equation dtat :

dxdt

= 1RC

x +1C

u

Commandabilit

Systme commandable car B = 1C 6= 0

Rq0 + qs

q0 + qe

vanne entre

vanne sortie

qr

h0 + h

hr

Systme de niveau de liquide modifiSystme de niveau de liquide rgi par les lois dvolution :

Cdh = (qe + qr qs)dt Cr dhr = qr dt ,qs = hR qr =

hrRr .

Modle dtatSystme dordre 2 : variables dtat = h et hr , commande = u.

Equation dtat :

ddt

(x1x2

)=

( 1RC 1Rr C

0 1Rr Cr

)(x1x2

)+

(1C

0

)u.

Commandabilit

C = (B AB) =( 1

C 1RC20 0

).

Systme non compltement commandable, car C de rangn 1 = 1.x2 = hr non commandable par la vanne dentre. . .

Observabilit (1)

DfinitionObservabilit dun systme = possibilit de dterminer son tat partir des mesures de sa sortie.

Observabilit dun systmeUne variable dtat xi est observable sil est possible dedterminer xi(t0) partir de la connaissance de la sortie y(t)sur un intervalle [t0, tf ].

Si cette proprit est vraie pour tout t0 et pour toute variable duvecteur dtat, alors le systme est dit compltementobservable.

Observabilit (2)

Critre dobservabilit (de Kalman)Un systme linaire invariant de reprsentation dtat :

dxdt

= Ax + Bu,

y = Cx + Du

est observable si et seulement si la matrice dobservabilit :

O =

C

CA. . .

CAn1

est de rang n.

On parle couramment dobservabilit de la paire (A, C).

Rq0 + qs

q0 + qe

vanne entre

vanne sortie

h0 + h

Systme de niveau de liquideReprsentation dtat du systme :

dxdt

= 1RC

x +1C

u,y = x ,

ObservabilitSystme observable car C = 1.

Rq0 + qs

q0 + qe

vanne entre

vanne sortie

qr

h0 + h

hr

Systme de niveau de liquide avec rservoir auxiliaireReprsentation dtat du systme :

dxdt

=

( 1RC 1Rr C

0 1Rr Cr

)(x1x2

)+

( 1C0

)u,

y =(1 0

)(x1x2

)

Systme de niveau de liquide avec rservoir auxiliaireReprsentation dtat du systme :

dxdt

=

( 1RC 1Rr C

0 1Rr Cr

)(x1x2

)+

( 1C0

)u,

y

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Systèmes et Asservissements