Systemes Premier Degré

7/24/2019 Systemes Premier Degr

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Troisime Math foru

Systmes de deux quations deux inconnues

Exemple :

2 x y = 1 x + 2 y = 4

Ce systme est constitu de deux quations simultanes et deux inconnues x et y .

Mthodes algbriques de rsolution :

Rsoudre le systme, cest trouver toutes les solutions communes aux deux quations, cest--dire

trouver les couples ( x ; y) pour lesquels les deux galits sont vraies simultanment. Le principe gnralconsiste liminer une inconnue pour se ramener la rsolution dune quation du premier degr une inconnue.

Par substitution On isole une des deux inconnues dans une des quations. On la remplace (substitue) par son expression dans lautre quation. On dtermine la valeur dune des inconnues. On remplace celle-ci par sa valeur dans la premire expression. On dtermine la valeur de la seconde inconnue.

Exemple :

2 x y = 1 3 x + 2 y = 4

y = 2 x 1 on a isol y 3 x + 2 y = 4

y = 2 x 1 3 x + 2(2 x 1) = 4 on a remplac y par sa valeur

y = 2 x 1 3 x + 4 x 2 = 4

y = 2 x 1 x = 6 on a trouv x

y = 2 6 1 on a trouv y x = 6

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y = 11 x = 6

La solution est le couple ( 6 ; 11 )

Vrication

2 6 11 est bien gal 1( 3) 6 + 2 11 est bien gal 4

** *

Par combinaison linaire On multiplie les quations par des nombres choisis de manire obtenir lescoefficients gaux (ou opposs) dans chacune des deux quations pour une des deux inconnues.

On soustrait (ou additionne) membre membre les deux quations du systme an dobtenirune quation une seule inconnue. On dtermine alors cette inconnue en rsolvant cette quation. On dtermine ensuite lautre inconnue en reportant la valeur de la premire inconnuedans une des quations de dpart.

Exemple 1 :

5 x + 11 y = 12 x + 3 y = 6

5 x + 11 y = 1 on multiplie cette quation par 22 x

+3 y

= 6

on multiplie cette quation par 5

10 x + 22 y = 2 on soustrait la premire quation la deuxime10 x + 15 y = 30

10x + 22y = 2 10x + 15y = 30

7y = -28

y = 287 on limine ainsi les x et on trouve y

2 x + 3 y = 6

y = 42 x + 3 y = 6

y = 42 x + 3 ( 4) = 6 on remplace y par sa valeur

y = 42 x = 18

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x = 9 y = 4

La solution est le couple ( 9 ; 4)

Vrication

5 9 11 4 est bien gal 1


Exemple 2 :

6 x 5 y = 6 3 x + 2 y = 5

6 x 5 y = 6 3 x + 2 y = 5 on multiplie cette quation par 2

6 x 5 y = 6 on ajoute la premire quation la deuxime 6 x + 4 y = 10

6x - 5y = 6+ -6x + 4y = -10

--y = -4

y = 4 on limine ainsi les x et on trouve y 3 x + 2 y = 5

y = 4 3 x + 2 y = 5

y = 4 3 x + 2 4 = 5 on remplace y par sa valeur

y = 4 3 x = 13

x = 133 y = 4

La solution est le couple ( 133 ; 4)

Vrication


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( 3) 133 + 2 4 est bien gal -5

RemarqueLorsque lun des coefficients est gal 1 ou -1 on prfre prendre la mthode par

substitution car elle simplie les calculs mais dans le cas gnral cest la mthode parcombinaison quil faut utiliser.

Mthode et interprtation graphique :

Exemple :

Rsoudre graphiquement le systme 2 x y = 1 (1) x + 2 y = 4 (2)

Le principe consiste associer aux deux quations (1) et (2) les deux quations de droites suivantes :

y = 2 x 1 et y = 12 x + 2

Les deux droites sont scantes car les coefficients directeurs ne sont pas gaux ( 2 = 12 ).

Graphiquement, les coordonnes (2;3) de lunique point dintersection S des droites (1) et (2)constituent la solution graphique du systme.

Commentaire :

Cette dtermination graphique qui est approximative permet :- de contrler des rsultats obtenus par calculs- danticiper lexistence ou non de solution(s)droites (1) et (2) scantes : 1 solutiondroites (1) et (2) strictement parallles : 0 solutionsdroites (1) et (2) confondues : innit de solutions

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