Thème 10 : Enoncé du problème de synthèse / 01A A 1 / 7

T10 – 01AA : Uranium ‘’ alpha ‘’

SOMMAIRE :

A - : Diffraction des Rayons X. B - : Facteur de structure. Détermination du paramètre de position. C - : Déformation de l’empilement … A,B,A,B … des atomes d’ Uranium.

L’uranium ’’alpha’’ cristallise dans une maille orthorhombique de paramètres :

0, 2854 0,5869 0, 4955a nm b nm c= = = nm

Masse volumique de : ( )U Uα ρ = . 319,049 /g cm

Masse atomique : 238 03( ,)A U g=

Nombre d’ Avogadro : atomes par mole. 236,02210=

Partie A : Diffraction des rayons X A1 - : Contenu de la maille :

o Calculer le nombre d’atomes d’uranium contenus dans la maille.

1

Thème 10 : Enoncé du problème de synthèse / 01A A 2 / 7

Tableau T10_01A _txt : Indexation et intensité des pics de diffraction pointés sur le diagramme de diffraction de l’Uranium ’’ alpha ‘’, obtenu avec le rayonnement

1CuK

α du cuivre.

Fiche éditée par le J. C. P. D. S.

2

Thème 10 : Enoncé du problème de synthèse / 01A A 3 / 7 A2 - : Examen de la liste des réflexions h k l :

o Rechercher, dans la fiche T10_01A_txt, les réflexions h k l dont l’existence est systématiquement vérifiée :

o Déterminer le réseau de Bravais. o Répertorier les réflexions révélant la présence d’axes de symétrie binaire, directe ou indirecte, parallèles aux axes de la maille .

A3 - : Positions équivalentes à la position générale :

o La présence d’ un miroir et d’un axe binaire parallèle à la normale implique un centre de symétrie à leur intersection.

o Un centre de symétrie noté C sur lequel est prise l’origine de la maille.

o L’unité asymétrique du motif se compose d’un atome occupant une position (générale ) de coordonnées 0 0 0, ,x y z .

o L’application des opérations de symétrie sur les coordonnées 0 0 0, ,x y z génère une nouvelle position équivalente de coordonnées 1 1 1, ,x y z .

o Une nouvelle application sur les coordonnées 1 1 1, ,x y z génère une nouvelle position équivalente de coordonnées 2 2 2, ,x y z

o Etc ….

o La totalité des points équivalents est générée lorsqu’à la j ième génération , :

, 0 0, ,j j j 0,x y z x y z=

positions équivalentes dans le motif sont obtenues par l’action des éléments générateurs suivants :

Un centre de symétrie noté C sur lequel est prise l’origine de la maille.. Un miroir de normale parallèle à l’axe x, passant par l’origine, noté { }0,0,0 xm , Un miroir de normale parallèle à l’axe y et à glissement c/2 , passant par l’origine, noté { }0,0,1/ 2 ym ,

Un miroir de normale z associé avec une translation de vecteur ( 0 ,0,1/2) noté { }0,0,1/ 2 zm

o Indiquer la représentation matricielle de ces opérations de symétrie, rapportée à la maille orthorhombique .

On considère un atome du motif occupant la position générale , ,x y z .

o Déterminer les coordonnées des positions équivalentes à la position générale.

3

Thème 10 : Enoncé du problème de synthèse / 01A A 4 / 7

Encadré E10 – 01B Rappel de cours : Seuls les axes binaires directs ou inverses, Chap. 3.3, sont compatibles avec un réseau orthorhombique :

Conditions d’existence des réflexions, Chap. 13.5 :

Miroir de normale a : les réflexions 0 k l existent si k = 2n, ( glissement b ), si l = 2n, ( glissement c ) Miroir de normale b : les réflexions h 0 l existent si h = 2n, ( glissement a ), si l = 2n, ( glissement c ) Miroir de normale c : les réflexions h k 0 existent si h = 2n, ( glissement a ), si k = 2n, ( glissement b )

Axe binaire hélicoïdal parallèle à a : les réflexions h 0 0 existent si h = 2n

Axe binaire hélicoïdal parallèle à b : les réflexions 0 k 0 existent si k = 2n

Axe binaire hélicoïdal parallèle à c : les réflexions 0 0 l existent si l = 2n

Encadré E10 – 01A Rappel de cours : 4 mailles multiples de Bravais, Chap. 3.3, sont compatibles avec un réseau orthorhombique Maille primitive : ( P ) ; Maille à faces centrées : ( F ) Maille corps centré : ( I ) ; Maille faces C ou A ou: B centrées : C ,(A,B )

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Thème 10 : Enoncé du problème de synthèse / 01A A 5 / 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9

( )I h k l

( )m h k l

. ( )L P θ

h k l

2( )F h k l

( )F hk l

f ( )

4F hk l

f

510K = y

0 2 0

7

2

3,022

8 913

79,72 13,09 94,41

cos 4 yπ = 0,2460

0,1011

1 1 0

73

3,022

4 9,71 1,8745 249,14

77,55

cos 2 yπ = 0,803

0,1016

0 2 1

100

4

9.36

3,022

77,26

0 0 2

51

2

8,97

3,022

76,93

5103,002K

1 1 1

59

8

7,41

75,39

3,022

4

4

4,78

3,022

71,55

0 2 2

1 1 2

50

8

4,13

3,022

70,19

1 3 0

3,6

4

3,23

3,022

67,84

1 3 1

43

8

2,85

3,022

66,60

0 4 0

7.,6

2 2,56

3,022

65,49

0 2 3

18,5

4

2,44

3,022

65,01

510K 2 0 0 9,7 2 2,39 64,79 3,021

510K

0 0 4 6,3 2 1,73 61,15 3,043 510K

2 0 2 12,5 4 1.73 61,10 3,024

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Tableau T10_ 1C_txt : Intensité I(h k l) des pics de diffraction pointés sur le diagramme de diffraction de l’Uranium < alpha > Rayonnement CuKa. Simulation : programme POUDRIX. Exemple : raies 0 2 0 et 1 1 0

Thème 10 : Enoncé du problème de synthèse / 01A A 6 / 7 PARTIE B - : Facteur de structure. Facteur d’échelle. Paramètre de position. L’atome d’Uranium occupe dans le motif la position spéciale : 0, . , 1/ 4y

B1 - : Facteur de structure F( h k l )

Calculer le facteur de structure F( h k l ) et discuter ses valeurs selon que l est pair ou impair. B2 – : Détermination du facteur d’échelle ( ou de normalisation )

Ce facteur K est un nombre réel identique pour toutes les réflexions observées, car il ne dépend que des conditions expérimentales.

Il inclut des termes correctifs nécessaires pour obtenir le module du facteur de structure observé pour chaque réflexion h k l .

Recenser les réflexions h 0 l ( exemple : 0 0 2, etc ….) en vue de déterminer le facteur de normalisation K

K Indiquer les valeurs de , calculées pour chaque triplet d’indices h 0 l .( lignes rouges du Tableau T10_01C_txt )

KPrendre pour valeur expérimentale de la moyenne des déterminations .

| ( ) |F hklEn déduire

B3 – : Détermination du paramètre de position yLes atomes d’uranium du motif occupent les positions spéciales : et --(0, ). 0, , 1/ 4y , 1/ 4y

Noter : Figures T10_01B_Cor et T10_01C_Cor y est un nombre décimal qui peut repérer tous les points de l’ axe binaire y.

¼ est un nombre rationnel égal au décalage du miroir de normale z ;

attention !! différent de 0,25

0 indique que les vecteurs – position se trouvent dans le plan ( b,c )

Détermination approchée ( rapide ) : On considère les réflexions du type 0 k l. :

Rechercher dans la fiche T10_01A_txt , la raie plus intense et en déduire une valeur approchée de . y

Détermination ( plus ) précise : Compléter les colonnes 5 et 6 du Tableau T10_01C_txt et déterminer les valeurs expérimentales du paramètre . y

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Thème 10 : Enoncé du problème de synthèse / 01A A 7 / 7 PARTIE C : Structure de l’Uranium ‘’ alpha’’ C1 - : L ’origine de la maille de l’Uranium ‘’alpha’’ est prise sur un centre de symétrie . Les 2 atomes d’Uranium occupent dans le motif les positions spéciales :

,1/ 4 0, , 1/ 4y yet − − 0, .

Indiquer les coordonnées des autres atomes de la maille. Placer les atomes en projection cotée sur les plans ( a,b ) et ( b,c ) en prenant pour valeur de y la valeur approchée déterminée au paragraphe A4.

C2 - : On observe que les réflexions sont éteintes lorsque est impair. En déduire la disposition des atomes d’uranium

l0 0 l

C3 - : On se propose de vérifier que les atomes d’uranium sont disposés dans des anneaux plans, quasi hexagonaux.

o

Prendre l’atome situé en comme origine et calculer les distances entre ses 6 plus proches voisins situés dans le plan de cote

0, ,1/ 4y1/ 4z = . ( couche A )

Calculer les distances entre l’atome situé en et ses 3 plus proches voisins situés respectivement dans les plans de cote

0, ,1/ 4y1/ 4z = − 3/ 4z = ( ou ; couche B ).

o

C4 - : Conclusion L’ uranium ’alpha’ est un exemple d’empilement hexagonal compact… A B A B . déformé , le.rapport / 3B A valant 1,187 au lieu de1,0 sans déformation .

Si ce critère peut encore s’appliquer, tout se passe comme si une déformation importante de l’empilement hexagonal compact s’était produite, celle-ci pouvant provenir d’ un défaut de sphéricité des atomes d’uranium par exemple .

7