21
Table des matières 1 Distributions 1 Sommaire 3 A Définitions 5 1.1 Définition et exemples ....................... 5 1.2 Topologies faible et forte ...................... 11 1.3 Distributions d’ordre fini ...................... 14 B Opérations élémentaires et propriétés 18 1.4 Introduction ............................. 18 1.5 Multiplication ............................ 19 1.6 Dérivation .............................. 20 1.7 Dérivation en dimension 1 ..................... 25 1.8 Dérivation en dimension supérieure ................ 32 1.9 Restriction, support ......................... 36 1.10 Recollement de distributions .................... 40 1.11 Distributions à support compact .................. 42 1.12 Théorèmes de structure ....................... 49 C Distributions tempérées 54 1.13 Distributions tempérées ....................... 54 1.14 Structure des distributions tempérées ................ 58 1.15 Transformation de Fourier ..................... 60 D Produit tensoriel, convolution 67 1.16 Produit tensoriel de distributions .................. 67 1.17 Convolution ............................. 75 1.18 Régularisation par convolution ................... 84 1.19 Convolution et transformation de Fourier .............. 88 1.20 Distributions dont les dérivées premières sont données ...... 91

Table des matières - excerpts.numilog.comexcerpts.numilog.com/books/9782705680817.pdf · B Opérations élémentaires et propriétés 18 ... D Produit tensoriel, ... Les premières

  • Upload
    lephuc

  • View
    218

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Table des matières

1 Distributions 1

Sommaire 3

A Définitions 51.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Topologies faible et forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Distributions d’ordre fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

B Opérations élémentaires et propriétés 181.4 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.7 Dérivation en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8 Dérivation en dimension supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . 321.9 Restriction, support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.10 Recollement de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.11 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.12 Théorèmes de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

C Distributions tempérées 541.13 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.14 Structure des distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . 581.15 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

D Produit tensoriel, convolution 671.16 Produit tensoriel de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.17 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751.18 Régularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841.19 Convolution et transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 881.20 Distributions dont les dérivées premières sont données . . . . . . 91

ii TABLE DES MATIÈRES

E Noyaux distributions 951.21 Opérateurs linéaires et noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.22 Opérateur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991.23 Opérateur régularisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

F Corrigé des exercices 1131.24 Exercices du chapitre 1.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.25 Exercices du chapitre 1.B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171.26 Exercices du chapitre 1.C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401.27 Exercices du chapitre 1.D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2 Espaces de Sobolev 153

Sommaire 155

A Espaces de Sobolev 1582.1 Espaces Hs, s ∈ Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1582.2 Le problème de Dirichlet pour le laplacien . . . . . . . . . . . . . 1662.3 Le théorème de Rellich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1692.4 Formulation variationnelle du problème de Dirichlet . . . . . . . . 1722.5 L’inégalité de G

arding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762.6 Espaces de Sobolev Hs(Rn), s ∈ R, . . . . . . . . . . . . . . . 1822.7 Espaces Hs

loc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1942.8 Régularité intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012.9 Théorème de trace sur un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . 2072.10 Espaces de Sobolev dans un demi-espace . . . . . . . . . . . . . 2122.11 Espace Hs

0(Rn+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

2.12 Espaces Hs(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292.13 Espaces de Sobolev sur une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . 2352.14 Régularité jusqu’au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

B Corrigé des exercices 2582.15 Exercices du chapitre 2.A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

3 Analyse microlocale 273

Sommaire 275

A Symboles 2773.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2773.2 Espaces de symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2783.3 Topologie de Sm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2803.4 Sommes asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

TABLE DES MATIÈRES iii

B Intégrales oscillantes 2903.5 Le théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2903.6 Support singulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

C Opérateurs intégraux de Fourier, opérateurs pseudo-différentiels 2993.7 Opérateurs intégraux de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2993.8 Opérateurs pseudo-différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3043.9 Opérateur pseudo-différentiel propre . . . . . . . . . . . . . . . . 3063.10 Symbole complet d’un o.p.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3083.11 Composition d’o.p.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3143.12 O.p.d. elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3173.13 Action des o.p.d. sur les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . 3203.14 Le problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3253.15 Réduction de symboles multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3293.16 O.p.d. de symbole Sm

b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3353.17 Front d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3433.18 Front d’onde des distributions I(a, ϕ) . . . . . . . . . . . . . . . 3513.19 O.p.d. et front d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

4 Équations aux dérivées partielles 359

Sommaire 361

A Problèmes aux limites 3644.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3644.2 Étude d’une équation différentielle ordinaire . . . . . . . . . . . . 3664.3 Minoration de l’opérateur dans un demi-espace . . . . . . . . . . 3714.4 Minoration de l’opérateur dans un ouvert . . . . . . . . . . . . . 3834.5 Le théorème principal, application au problème de Neumann . . . 390

B Problème de Cauchy strictement hyperbolique 3924.6 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3924.7 Opérateurs différentiels sesquilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . 3934.8 Opérateur hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3994.9 Inégalité d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4064.10 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4104.11 Théorème de Radon-Nikodym vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 4184.12 Espaces Hs,m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4234.13 Résolution du problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 4314.14 Vitesse finie de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4374.15 Opérateurs bien décomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4464.16 Paramétrix, propagation des singularités . . . . . . . . . . . . . . 450

iv TABLE DES MATIÈRES

C Propagation des singularités dans le domaine complexe 4584.17 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4584.18 Systèmes d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . 4604.19 Le théorème d’uniformisation de J. Leray . . . . . . . . . . . . . 4624.20 Problème de Cauchy ramifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4674.21 Réduction à un problème intégro-différentiel . . . . . . . . . . . . 4694.22 Preuve du théorème 4.21.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

D Problème de Goursat holomorphe 4764.23 Le théorème de Lednev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4764.24 Preuve du théorème 4.23.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

E Équations fuchsiennes de Baouendi-Goulaouic 4804.25 Problème holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4804.26 Problème partiellement holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Bibliographie 495

Notations 499

Index 503

Chapitre 1

DISTRIBUTIONS

Sommaire

Ce chapitre est consacré à l’étude des distributions. La théorie des distributionsest due à L. Schwartz (1944-45). Auparavant, les distributions d’ordre fini avaienteté introduites par S. Sobolev (1935) afin de résoudre le problème de Cauchy pourdes équations aux dérivées partielles hyperboliques. La partie A introduit la notionde distribution en tant que forme linéaire sur l’espace des fonctions indéfinimentdérivables à support compact vérifiant en outre une propriété de continuité. Onexplique ensuite comment l’espace des fonctions localement intégrables se plongenaturellement dans l’espace des distributions. Le paragraphe 1.2 introduit la to-pologie faible sur D′ ; le théorème 1.2.1, qui est une conséquence immédiate duthéorème de Banach-Steinhaus, est évidemment fondamental. Le paragraphe 1.3traite des distributions d’ordre fini et explique quelle est la signification topolo-gique de cette notion ; en particulier, ceci permet de faire le lien avec la théoriedes mesures de Radon. S’il est utile de connaître la définition de l’ordre d’une dis-tribution, on peut, en première lecture, se dispenser des aspects topologiques quine seront pas utilisés dans la suite d’une façon essentielle.

Dans la partie B, on étudie (paragraphe 1.4 à 1.8) les premières opérations surles distributions : multiplication par une fonction C∞ et dérivation. En particulier,on définit la dérivée de toute distribution, cette notion généralisant la dérivationdes fonctions de classe C1. Une distribution admet des dérivées de tout ordre ;une fonction continue par exemple est indéfiniment dérivable au sens des distri-butions ! Le calcul effectif des dérivées nécessite bien souvent une formule d’in-tégration par parties, c’est-à-dire en dimension quelconque la formule de Stokesdont nous avons rappelé une version (formule (1.8.1)). L’étude du support d’unedistribution est faite au paragraphe 1.9 et repose sur le théorème de partition del’unité le plus simple (théorème 1.9.1). Ce théorème permet d’expliquer le carac-tère local des distributions, c’est-à-dire la possibilité de recoller des distributions :en langage moderne, D′ est un faisceau. Le paragraphe 1.11 étudie les distribu-tions à support compact ; ces distributions s’identifient naturellement à des formeslinéaires continues sur l’espace de Fréchet C∞ (théorème 1.11.2) et possèdent lapropriété remarquable d’être prolongeables par 0 à tout l’espace. Le paragraphe

4 CHAPITRE 1 DISTRIBUTIONS

1.12 contient quelques théorèmes de structure ; on retiendra en particulier qu’unedistribution est toujours localement la dérivée d’une fonction continue.

La partie C est consacrée à l’étude des distributions tempérées. Une distribu-tion tempérée est en fait une forme linéaire continue sur l’espace de Schwartz S

des fonctions à décroissance rapide. La transformation de Fourier induit un iso-morphisme topologique de S sur lui-même dont le transposé est un isomorphismetopologique de S′ sur lui-même. On obtient ainsi la définition de la transformée deFourier de toute distribution tempérée qui étend les définitions de cette transforma-tion sur L1 et L2. Le paragraphe 1.15 établit les propriétés élémentaires de cettetransformation. La transformée de Fourier des distributions à support compact seprolongent à Cn en des fonctions entières (proposition 1.15.5).

La partie D a pour objet de définir le produit de convolution de deux distri-butions sous des hypothèses appropriées. A cet effet, on définit d’abord le pro-duit tensoriel de deux distributions (théorème 1.16.1). Le produit de convolutionde deux distributions u, v ∈ D′(Rn) est alors défini comme l’image du produittensoriel u⊗v ∈ D′(R2n) de ces distributions par l’addition, c’est-à-dire par l’ap-plication τ : (x, y) ∈ Rn × Rn �→ x + y ∈ Rn ; malheureusement, ceci n’a pastoujours un sens car l’application τ n’est pas une application propre et il faut serestreindre aux distributions telles que la restriction de τ au produit des supportsde u et v soit propre. Ceci conduit à la définition 1.17.2 et à la formule (1.17.2). Onétablit ensuite les propriétés élémentaires du produit de convolution (proposition1.17.3) ; l’associativité nécessite des hypothèses supplémentaires qui sont préci-sées (proposition 1.17.4). Deux distributions dont l’une est à support compact étantconvolables, on peut effectuer des régularisations par convolution, ce qui permetde vérifier que D est dense dans D′ (proposition 1.18.5). Enfin, on calcule la trans-formée de Fourier du produit de convolution de deux distributions tempérées, l’uneau moins étant à support compact (théorème 1.19.1).

La partie E étudie les opérateurs linéaires continus T de D dans D′ et éta-blit d’abord le célèbre théorème des noyaux de L. Schwartz (théorème 1.21.4)qui affirme que de tels opérateurs admettent un noyau distribution. Le paragraphe2.22 donne d’abord un contrôle du support de Tu en fonction du support de u, cequi permet de caractériser les opérateurs tels que T (D) ⊂ E′ (théorème 1.22.3).Ceci conduit à la définition des opérateurs propres (définition 1.22.1) ; on étu-die ces opérateurs, en particulier leur prolongement, par transposition (proposition1.22.7). Le paragraphe 2.23 est consacré à l’étude des opérateurs régularisants,c’est-à-dire qui appliquent D dans E ; ce sont les opérateurs dont le noyau distri-bution est C∞. On introduit enfin la notion de support singulier (définition 1.23.2)et on montre comment on peut contrôler le support singulier de Tu en fonction dessupports singuliers de u et du noyau distribution de T .

A – Définitions

1.1 Définition et exemples

Les premières notions concernant les distributions sont apparues lors de l’étuded’équations aux dérivées partielles sous la forme de dérivées généralisées. A priori,on pourrait penser que les espaces de fonctions de classe Ck constituent un cadrefonctionnel naturel pour étudier de telles équations. En fait, il n’en n’est rien ;il n’existe pas de structure d’espace de Hilbert sur ces espaces et on ne disposedonc pas de toutes les techniques hilbertiennes. Bien entendu, on peut définir desstructures préhilbertiennes, mais les espaces obtenus ne sont pas complets. Dansla théorie des distributions, on abandonne d’abord le cadre étroit des fonctionsou classe de fonctions. Si u : Ω → R est une grandeur physique (Ω désigne unouvert non vide de Rn), l’observateur que nous sommes n’a accès à u que parl’intermédiaire d’instruments de mesure. Un instrument de mesure peut être consi-déré comme une fonctionnelle qui à u associe une valeur numérique, fonctionnellequ’on peut supposer linéaire en première approximation. L’instrument de mesureidéal fournit la valeur u(a) de u en un point a ∈ Ω et correspond à la fonctionnelleu �→ u(a), c’est-à-dire à la mesure de Dirac au point a. Un tel instrument n’existepas et, dans la pratique, on obtient une moyenne des valeurs de u au voisinage dea, c’est-à-dire en prenant une mesure admettant une densité par rapport à la mesurede Lebesgue une fonctionnelle de la forme

u �→< u,ϕ >=

∫Ω

u(x)ϕ(x) dx.

On constate alors que, si ϕ décrit un espace fonctionnel adéquat, la donnée desréels < u,ϕ > détermine u de façon unique : autrement dit, u s’identifie à ladonnée de la forme linéaire ϕ �→< u,ϕ >.

Une distribution sera donc définie comme une forme linéaire sur un espacefonctionnel. Nous allons d’abord décrire l’espace fonctionnel utilisé.

On note Ω un ouvert non vide de Rn ; K sera soit le corps R des nombres réels,soit le corps C des nombres complexes. Si ϕ : Ω → K est une fonction, le supportde ϕ est par définition l’adhérence dans Ω de l’ensemble {x ∈ Ω ; ϕ(x) �= 0} ; cesupport, noté supp ϕ, est donc fermé dans Ω. Si λ ∈ K est un scalaire non nul, on

6 CHAPITRE 1 DISTRIBUTIONS

a évidemmentsupp (λϕ) = supp ϕ(1.1.1)

et, si ϕ,ψ : Ω → K sont deux fonctions,

supp (ϕ + ψ) ⊂ supp ϕ ∪ supp ψ.(1.1.2)

Rappelons [58, paragraphe 1.8] comment on définit une topologie d’espacede Fréchet sur l’espace C∞(Ω) des fonctions ϕ : Ω → K de classe C∞. Soit K

l’ensemble des parties compactes non vides de Ω, pour tout compact K ∈ K ettout entier k, on pose

‖ϕ‖K,k = supx∈K|α|≤k

|Dαϕ(x)|.(1.1.3)

Lorsque K décrit K et k décrit N, la famille de semi-normes ‖•‖K,k définit unestructure d’espace de Fréchet sur l’espace C∞(Ω).

Si K est une partie compacte non vide de Ω, on note DK(Ω) l’espace desfonctions ϕ ∈ C∞ dont le support est contenu dans K ; il résulte des formules(1.1.1) et (1.1.2) que DK(Ω) est un sous-espace vectoriel de l’espace C∞(Ω). Cesous-espace est fermé : en effet, si (ϕn) est une suite de DK(Ω) convergeant versϕ dans l’espace C∞(Ω), toutes les fonctions ϕn sont nulles dans Ω−K et, la suite(ϕn) convergeant simplement vers ϕ, il en est de même de ϕ, ce qui signifie quele support de ϕ est contenu dans K, soit ϕ ∈ DK(Ω) et ceci suffit pour conclure,l’espace C∞(Ω) étant métrisable.

Muni de la topologie d’e.l.c. induite par celle de l’espace C∞(Ω), le sous-espace DK(Ω) est donc un espace de Fréchet. Sur ce sous-espace on peut définirune famille de semi-normes équivalente plus simple que la famille (1.1.3). Pourtout entier k, on pose

‖ϕ‖k = supx∈Ω|α|≤k

|Dαϕ(x)| ;(1.1.4)

si ϕ appartient à l’espace DK(Ω), on a pour tout compact L ∈ K

‖ϕ‖L,k ≤ ‖ϕ‖k = ‖ϕ‖K,k

et ceci prouve que les semi-normes ‖•‖k, où k décrit N, définissent la topologiedu sous-espace DK(Ω). On observera que la semi-norme ‖•‖0 est simplement lanorme de la topologie de la convergence uniforme.

On note enfinD(Ω) =

⋃K∈K

DK(Ω)(1.1.5)

l’espace de toutes les fonctions C∞ à support compact ; cet espace est toujoursd’après (1.1.1) et (1.1.2) un sous-espace vectoriel de l’espace C∞(Ω). On peutmunir cet espace de la topologie limite inductive [58, paragraphe 2.22]

D(Ω) = lim indK∈K

DK(Ω);

cette topologie sera appelée topologie forte de D.

1.1 DÉFINITION ET EXEMPLES 7

Remarque 1.1.1 L’ouvert Ω peut s’écrire comme la réunion d’une suite croissante(Kn) de compacts telle tout compact soit contenu dans Kn dès que n est suffisam-ment grand. D’après le lemme 2.22.5 de [58], D(Ω) est alors la limite inductive dela suite d’espaces de Fréchet (DKn

(Ω)), soit

D(Ω) = lim indn→∞

DKn(Ω).

On observera que cette limite inductive est stricte : l’espace D(Ω) est donc unelimite inductive stricte d’espaces de Fréchet.

D’après la proposition 2.22.4 de [58], une forme linéaire u : D(Ω) → K estcontinue si, et seulement si, sa restriction u|DK(Ω) : DK(Ω) → K à chaque sous-espace DK(Ω) est continue. Ceci conduit à la définition suivante.

Définition 1.1.1 Une forme linéaire u : D(Ω) → K est appelée une distribu-tion sur Ω si sa restriction à chaque sous-espace DK(Ω) est une forme linéairecontinue, c’est-à-dire si

(∀K ∈ K)(∃c ≥ 0)(∃k ∈ N)(∀ϕ ∈ DK(Ω))(|u(ϕ)| ≤ c ‖ϕ‖k).(1.1.6)

On note D′(Ω) l’espace de toutes les distributions sur Ω.

L’espace D′(Ω) est donc le dual de l’espace D(Ω) muni de sa topologie forte ;on notera < u,ϕ > le crochet de dualité entre les espaces D′ et D. On peut doncdéfinir des topologies faibles σ(D,D′) et σ(D′,D) sur les espaces D et D′ [57,paragraphe 3.15] ; on parle de D faible et de D′ faible.

Bien que D(Ω) soit un sous-espace vectoriel de l’espace C∞(Ω), on se garderabien de croire que D′(Ω) est le dual de D(Ω) muni de la topologie C∞ (remarque1.1.3).

Remarque 1.1.2 On peut définir sur l’espace D′(Ω), la topologie de la conver-gence bornée, topologie de la convergence uniforme sur toute partie bornée deD ; cette topologie, dite topologie forte de D′, est évidemment strictement plusfine que la topologie faible. Cependant, une suite de D′ qui converge faiblementconverge fortement : en effet, d’après le théorème de Banach-Steinhaus [57, théo-rème 3.12.10], si une suite (un) converge faiblement, pour tout compact K ⊂ Ω,la suite (un|DK

) converge uniformément sur tout compact de l’espace DK , doncsur tout borné de cet espace et, vu la caractérisation des parties bornées de l’espaceD [58, théorème 2.22.134], ceci prouve que la suite (un) converge uniformémentsur toute partie bornée de D.

Exemple 1.1.1 La distribution de Dirac Soit a un point de Ω, la forme linéaire

δa : ϕ ∈ D(Ω) �→ ϕ(a) ∈ K

est une distribution sur Ω vu l’inégalité

|δa(ϕ)| ≤ ‖ϕ‖0.(1.1.7)

Lorsque a est l’origine de Rn, la distribution δ0 est simplement notée δ.

8 CHAPITRE 1 DISTRIBUTIONS

Exercice 1.1.1 1. Montrer que, dans l’espace D(Ω), toute partie bornée est relativement compacte(propriété de Montel) [utiliser le théorème 2.22.13 et le corollaire 1.8.3 de [58]].

2. En déduire qu’une suite de D(Ω), qui converge faiblement, converge fortement [utiliser l’exer-

cice 3.16.2 de [57]].

L’espace D′ n’est pas un espace de fonctions sur Ω ; on ne peut pas définir(en général) la valeur d’une distribution en un point de Ω, mais l’espace D′ estsuffisamment vaste pour qu’on puisse y plonger la plupart des espaces fonctionnelsutiles et, en particulier, l’espace de Hilbert L2(Ω).

Plus généralement, nous allons montrer que toute fonction localement inté-grable définit une distribution. Rappelons qu’une fonction f : Ω → K est ditelocalement intégrable si, pour tout compact K de Ω, la restriction de f à K est in-tégrable par rapport à la mesure de Lebesgue ; de telles fonctions sont mesurablesau sens de Lebesgue. On note L1

loc(Ω) l’espace vectoriel de toutes les fonctionslocalement intégrables et L1

loc(Ω) le quotient de cet espace vectoriel par la rela-tion d’équivalence Rμ, f ≡ g (mod. Rμ) signifiant que f et g sont égales presquepartout pour la mesure de Lebesgue μ. Soient f ∈ L1

loc(Ω) et ϕ ∈ DK(Ω), lafonction fϕ : Ω → K est intégrable car elle est mesurable en tant que produitde fonctions mesurables et |fϕ| ≤ c |f |1K où c = ‖ϕ‖0. On peut donc définir laforme linéaire sur D

< uf , ϕ >=

∫Ω

f(x)ϕ(x) dx.(1.1.8)

On définit ainsi une distribution uf sur Ω vu l’inégalité

| < uf , ϕ > | ≤ cK ‖ϕ‖0 pour ϕ ∈ DK(Ω) où cK =

∫K

|f(x)| dx.

Si f = g p.p., il est clair que uf = ug ; à toute (classe de) fonction [f ] ∈ L1loc(Ω),

on peut donc associer une distribution u[f ] par la formule u[f ] = uf où f ∈ [f ]est un représentant quelconque de la classe d’équivalence [f ]. On définit ainsi uneapplication de L1

loc(Ω) dans D′(Ω) et on a laProposition 1.1.1 L’application

[f ] ∈ L1loc(Ω) �→ u[f ] ∈ D

′(Ω)

est linéaire et injective.La linéarité est évidente et l’injectivité résulte du lemme 1.1.3 qui suit. Rappe-lons [58, paragraphe 2.33] auparavant la méthode de régularisation par convolu-tion. Étant donné une fonction ρ ∈ D(Rn) telle que

∫Rn ρ(x) dx = 1, on pose

ρε(x) = ε−nρ(x/ε) pour ε > 0 et, pour toute fonction f ∈ L1loc(R

n),

fε(x) = (f ρε)(x) =

∫Rn

f(y)ρε(x − y) dy.

La fonction fε est de classe C∞ et, si f appartient à l’espace L1(Rn), fε appartientà l’espace

(C∞ ∩ L1

)(Rn) et converge vers f dans L1 lorsque ε tend vers 0. Une

régularisation par convolution permet de construire par exemple des fonctions deD(Rn) égales à 1 sur un compact et à support dans un voisinage donné de cecompact, soit

1.1 DÉFINITION ET EXEMPLES 9

Proposition 1.1.2 Soient K un compact de Rn et Ω un voisnage ouvert de K,alors il existe ϕ ∈ D(Rn) tel que 0 ≤ ϕ ≤ 1, ϕ = 1 sur K et supp ϕ ⊂ Ω.

Preuve Soit K ′ un voisinage compact de K contenu dans Ω, on poseϕε = 1K′ ρε, soit

ϕε(x) =

∫Rn

1K′(y)ρε(x − y) dy =

∫K′

ρε(x − y) dy.

Cette fonction ϕε est C∞ et 0 ≤ ϕε ≤ 1 en choisissant ρ ≥ 0. Prenons en outre ρà support dans la boule unité, alors ϕε = 1 sur K dès que 0 < ε ≤ d(K, Rn −K ′)et le support de ϕε est contenu dans le voisinage fermé d’ordre ε de K ′, ce supportest donc compact et il est contenu dans Ω dès que 0 < ε < d(K ′, Rn −Ω). Q.E.D.

Lemme 1.1.3 Soit f ∈ L1loc(Ω) tel que

∫Ω

f(x)ϕ(x) dx = 0 pour tout ϕ ∈ D(Ω),alors f = 0 p.p.

Preuve Soit K un compact de Ω et soit 0 < ε0 < d(K, Rn − Ω), alorsK0 = {x ∈ Ω ; d(x,K) ≤ ε0} est une partie compacte de Ω. Choisissonsρ ∈ D(Rn) à support dans la boule unité de Rn ; pour 0 < ε ≤ ε0 et x ∈ K, lafonction y �→ ρε(x − y) appartient à l’espace DK0

(Ω) ; on a donc par hypothèse∫Ω

f(y)ρε(x − y) dy = 0 pour tout x ∈ K.

Autrement dit, si f0 ∈ L1(Rn) désigne la fonction

f0(y) =

{f(y) si y ∈ K0,

0 si y ∈ Rn − K0,

on a (f0 ρε)(x) = 0 pour tout x ∈ K. En faisant tendre ε vers 0, on en déduitque f(x) = 0 pour presque tout x dans K, donc dans Ω, vu que Ω peut s’écrirecomme une réunion dénombrable de compacts. Q.E.D.

L’injection f �→ uf permet d’identifier l’espace L1loc(Ω) à son image dans

D′(Ω). Autrement dit, la distribution associée à une fonction f localement inté-grable sera notée encore f : on ne distingue pas f et la distribution qu’elle définitet on écrira donc

< f,ϕ >=

∫Ω

f(x)ϕ(x) dx.

Compte tenu de l’identification précédente, on a l’inclusion

L1loc(Ω) ⊂ D

′(Ω).(1.1.9)

On observera que le fait de disposer sur Ω d’une mesure, à savoir la mesure deLebesgue, joue un rôle essentiel pour plonger L1

loc(Ω) dans D′(Ω).Une distribution appartenant à L1

loc(Ω) sera dite localement intégrable. L’es-pace D′ est beaucoup plus gros que l’espace L1

loc : une distribution n’est pas né-cessairement localement intégrable. L’exemple le plus simple est la distribution deDirac δa. Supposons en effet qu’il existe une fonction f ∈ L1

loc(Ω) telle que

ϕ(a) =

∫Ω

f(x)ϕ(x) dx pour tout ϕ ∈ D(Ω) ;(1.1.10)

10 CHAPITRE 1 DISTRIBUTIONS

si Ω′ = Ω − {a}, on aurait alors∫Ω′ f(x)ϕ(x) dx = 0 pour tout ϕ ∈ D(Ω′), d’où

f(x) = 0 pour presque tout x dans Ω′ d’après le lemme 1.1.3, donc pour prequetout x dans Ω. Ceci est en contradiction avec (1.1.10) car il existe des fonctions deD(Ω) non nulles au point a.

Remarque 1.1.3 L’exemple le plus simple de fonction localement intégrable con-siste à prendre la fonction constante et égale à 1, soit f ≡ 1. Cette fonction estalors identifiée à la distribution

< u,ϕ >=

∫Ω

ϕ(x) dx.

On notera que cette forme linéaire sur D(Ω) n’est pas continue si on munit D(Ω)de la topologie C∞. En effet, soit (Kj) une suite croissante de compacts de Ω telleque tout compact de Ω soit contenu dans Kj dès que j est suffisamment grand etsoit (ϕj) une suite de D(Ω) telle que supp ϕj ⊂ Ω−Kj ; une telle suite convergevers 0 pour la topologie C∞ car ‖ϕj‖K,k = 0 dès que K ⊂ Kj , c’est-à-diredès que j est suffisamment grand. On peut d’autre part construire les fonctions ϕj

telles que∫Ω

ϕj(x) dx = 1 : en effet, il suffit de prendre ϕj(x) = ρε(x − xj) oùρ ∈ D(Rn),

∫Rn ρ(x) dx = 1, xj est un point de Ω−Kj et ε > 0 est suffisamment

petit pour que supp ϕj ⊂ Ω − Kj . On obtient ainsi une suite qui converge vers0 pour la topologie C∞, mais telle que < u,ϕj >= 1, ce qui prouve le résultatvoulu.

Exemple 1.1.2 La distribution d’Heaviside Sur R, la distribution d’Heavisideest la fonction localement intégrable

H(x) =

{1 si x ≥ 0,

0 si x < 0.

On a donc

H : ϕ ∈ D(R) �→∫ ∞

0

ϕ(x) dx.

Ayant plongé L1loc dans D′, les sous-espaces de L1

loc(Ω)

Lp(Ω), Lploc(Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) et C

k(Ω) (0 ≤ k ≤ ∞)

s’identifient à des sous-espaces de D′(Ω) et on a les inclusions

Ck(Ω) ∪ Lp(Ω) ⊂ Lp

loc(Ω) ⊂ L1loc(Ω) ⊂ D

′(Ω).

Cela a donc un sens de dire qu’une distribution est une fonction de classe Ck

ou qu’elle appartient à Lp(Ω). Si u est une distribution de Lp(Ω), l’inégalité deHölder s’écrit

| < u,ϕ > | ≤ c ‖ϕ‖q pour tout ϕ ∈ D(Ω)(1.1.11)

où q désigne l’indice conjugué de p (1/p+1/q=1), ‖ϕ‖q est la norme de ϕ dans Lq

et c = ‖u‖p.La propriété (1.1.11) caractérise en fait les distributions de Lp lorsque

1 < p ≤ ∞.

1.2 TOPOLOGIES FAIBLE ET FORTE 11

Proposition 1.1.4 Soit 1 < p ≤ ∞, une distribution u ∈ D′(Ω) appartient à Lp

si, et seulement si, (1.1.11) est vérifié ; la plus petite constante c ≥ 0 pour laquelle(1.1.11) a lieu est alors ‖u‖p.

Preuve On suppose donc que (1.1.11) est vérifié et on note c ≥ 0 la plus petiteconstante qui convient. Alors, u est une forme linéaire continue sur D(Ω) muni dela topologie Lq dont la norme vaut c. D’après le théorème de Hahn-Banach [57,théorème 3.13.6], il existe une forme linéaire continue u sur Lq qui prolonge u etde même norme c. Étant donné que 1 ≤ q < ∞, le théorème 2.36.1 de [58] prouvequ’il existe une fonction f ∈ Lp(Ω) telle que ‖f‖p = c et

u(ϕ) =

∫Ω

f(x)ϕ(x) dx pour tout ϕ ∈ Lq(Ω) ;

en prenant ϕ dans D(Ω), ceci prouve que u = f et le résultat voulu. Q.E.D.Lorsque p = 1, donc q = ∞, (1.1.11) ne caractérise pas les distributions

intégrables comme le montre l’exemple de la distribution de Dirac ; la significationprécise de (1.1.11) sera donnée ultérieurement (remarque 1.3.4).

Remarque 1.1.4 Dans tout ce qui précède, il n’est pas utile de préciser si K = R

ou C. On dit qu’une distribution u est réelle ou à valeurs réelles si, pour toutefonction ϕ ∈ D(Ω) à valeurs réelles, < u,ϕ > est réel. Comme dans le cas desfonctions, on peut définir la partie réelle et la partie imaginaire de toute distributionu ∈ D′(Ω). On définit d’abord la complexe conjuguée de u en posant

< u,ϕ >= < u,ϕ > pour tout ϕ ∈ D(Ω) ;

il est clair que u est une distribution, ce qui permet de définir les distributions

�e u =u + u

2et �mu =

u − u

2i.

On a évidemment u = �e u + i�mu et, si ϕ est à valeurs réelles,

< �e u, ϕ >= �e < u, ϕ >, < �mu,ϕ >= �m < u,ϕ >,

ce qui prouve que �e u et �mu sont des distributions réelles. Bien entendu,lorsque u est une (classe de) fonction localement intégrable, ces définitions coïn-cident avec les définitions usuelles.

1.2 Topologies faible et forte sur D′

Rappelons que la topologie faible σ(D′,D) sur D′ est définie par les semi-normes

‖u‖ϕ = | < u,ϕ > |(1.2.1)

où ϕ décrit D. Cette topologie est séparée et une suite (un) de distributions convergevers u pour cette topologie si, et seulement si,

< u,ϕ >= limn→∞

< un, ϕ > pour tout ϕ ∈ D(Ω) ;

on dit alors que la suite (un) converge au sens des distributions. D’après la re-marque 1.1.2, une telle suite converge également pour la topologie forte de D′.

12 CHAPITRE 1 DISTRIBUTIONS

Exemple 1.2.1 L’espace L2(Ω) étant séparable [58, corollaire 2.32.3], il admetune base hilbertienne dénombrable (en). Une telle suite (en) converge vers 0 dansD′(Ω). On a en effet < en, ϕ >= (ϕ|en) en notant (•|•) le produit scalaire usuelde L2 et par conséquent la suite (< en, ϕ >) appartient à l2(N) et converge doncbien vers 0.

Rappelons [58, paragraphe 2.31] qu’on définit sur l’espace L1loc(Ω), et plus

généralement sur Lploc(Ω), une structure d’espace de Fréchet en prenant comme

semi-normes‖f‖p,K = ‖f |K‖Lp(K)

où K décrit l’ensemble des parties compactes de Ω. L’injection de L1loc(Ω) dans

D′(Ω) est alors continue vu que, pour ϕ ∈ DK(Ω),

‖f‖ϕ ≤ c ‖f‖1,K pour tout f ∈ L1loc(Ω)

où c = supx∈Ω |ϕ(x)|. Ceci montre que l’espace L1loc est continûment plongé dans

D′ : une suite de fonctions localement intégrables qui converge en moyenne surtout compact converge dans D′. Il en est de même des espaces Lp

loc car l’injectioncanonique de Lp

loc dans L1loc est continue vu que (Hölder)

‖f‖1,K ≤ μ(K)1−1/p ‖f‖p,K pour tout f ∈ Lploc(Ω).

L’injection canonique de Lp dans Lploc étant continue (car ‖f‖p,K ≤ ‖f‖p) ainsi

que l’injection canonique de Ck dans L1loc, on constate que tous les espaces Lp,

Lploc et Ck sont continûment plongés dans D′. Par exemple, la continuité de l’injec-

tion canonique de C(Ω) dans D′(Ω) signifie que toute suite de fonctions continuesconvergeant uniformément sur tout compact converge au sens des distributions.

Exercice 1.2.1 Soit u ∈ L1(Rn) tel queR

Rn u(x) dx = 1, on pose uε(x) = ε−nu(x/ε) où

ε > 0, montrer que uε converge vers δ lorsque ε tend vers 0.

Voici une application très importante du théorème de Banach-Steinhaus.

Théorème 1.2.1 Soit (un) une suite de distributions telle que, pour toutϕ ∈ D(Ω), la suite (< un, ϕ >) admette une limite notée < u,ϕ >, alors uest une distribution et la suite (un) converge vers u dans D′(Ω). En outre, pourtoute suite (ϕn) de D(Ω) convergeant vers ϕ dans D(Ω), la suite (< un, ϕn >)converge vers < u,ϕ > et pour tout compact K ⊂ Ω, il existe une constante c ≥ 0et un entier k tels que | < un, ϕ > | ≤ c ‖ϕ‖k pour tout n et tout ϕ ∈ DK(Ω).

Preuve L’espace DK(Ω) étant un espace de Fréchet, le théorème de Banach-Steinhaus [57, théorème 3.12.10] affirme que la restriction de u à DK(Ω) est uneforme linéaire et continue, ce qui prouve que u est une distribution sur Ω. De plus,si (ϕn) est une suite convergeant vers ϕ dans D(Ω), d’après le théorème 2.22.135

de [58], il existe un compact K ⊂ Ω tel que la suite (ϕn) soit une suite convergentevers ϕ dans l’espace DK(Ω) ; d’après le théorème de Banach-Steinhaus, la suite(< un, ϕn >) converge vers < u,ϕ >. Quant à la dernière assertion, elle signifieque la suite (un|DK

) est équicontinue, équicontinuité qui résulte de la proposition3.12.8 de [57]. Q.E.D.

1.2 TOPOLOGIES FAIBLE ET FORTE 13

Ce théorème est très utile dans la pratique pour vérifier qu’une forme linéairesur D est une distribution.Exercice 1.2.2 1. Montrer que la forme bilinéaire

B : (u, ϕ) ∈ D′ × D �→< u, ϕ >∈ K

est séquentiellement continue lorsque l’espace D est muni de sa topologie affaiblie σ(D, D′) et l’es-pace D′ de sa topologie faible [utiliser l’exercice 1.1.1].

On se propose de démontrer que cette forme bilinéaire n’est pas continue, même en prenant commetopologie sur D sa topologie forte.

2. Étant donné deux e.l.c. E, (‖•‖i)i∈I , et F, (‖•‖k)k∈K , montrer qu’une forme bilinéaireB : E × F → K est continue si, et seulement si, il existe une constante c ≥ 0 et des parties fi-nies J ∈ F(I), L ∈ F(K) telles que

|B(x, y)| ≤ c ‖x‖J‖y‖L pour tout (x, y) ∈ E × F

[on rappelle [57, exercice 3.10.3] que B est continu dès qu’elle est continue au point (0, 0) ∈ E ×F ].3. Étant donné un e.l.c. séparé E, (‖•‖i)i∈I , on suppose continue la forme bilinéaire

B : (x′, x) ∈ E′ × E �→ x′(x) ∈ K lorsque E est muni de sa topologie initiale et E′ de latopologie faible σ(E′, E).

a. Montrer qu’il existe une constante c ≥ 0, une famile finie (xk)k∈K d’éléments de E et unepartie finie J ∈ F(I) telles que

|x′(x)| ≤ c maxk∈K

|x′(xk)| × ‖x‖J pour tout (x′, x) ∈ E′ × E.

b. En déduire que E est nécessairement de dimension finie [utiliser le lemme 3.15.2 de [57]].

c. Conclure.

Remarque 1.2.1 Soient E = lim indi∈I Ei une limite inductive d’e.l.c. métri-sables et T : E → D′(Ω) une application linéaire et continue, l’espace D′ étantmuni de sa topologie faible. Alors, T est séquentiellement continue, donc séquen-tiellement continue lorsque D′ est muni de sa topologie forte d’après la remarque1.1.2. L’espace Ei étant métrisable, ceci prouve que T |Ei

, donc T [58, proposition2.22.4], est continue lorsque l’espace D′ est muni de sa topologie forte.

Par exemple, si E désigne l’un des espaces Lp, Lploc ou Ck, l’injection cano-

nique i : E → D′ est continue lorsque D′ est muni de sa topologie forte.

Remarque 1.2.2 Soient E et F des e.l.c. séparés et T : E → F ′σ une application

linéaire continue pour la topologie initiale de E et à valeurs dans le dual faibleF ′

σ , c’est-à-dire pour la topologie faible σ(F ′, F ). D’après la remarque 3.18.2 de[57], T est faiblement continu, c’est-à-dire continu de Eσ, E muni de la topo-logie affaiblie, dans F ′

σ : en effet, le dual de F ′σ s’identifiant à F [57, remarque

3.15.1], la topologie affaiblie de la topologie σ(F ′, F ) coïncide avec cette topo-logie σ(F ′, F ). En partculier, si T : E → D′(Ω) est une application linéaire etcontinue, l’espace D′ étant muni de sa topologie faible, T est continu de Eσ dansD′ faible.

Par exemple, si E désigne l’un des espaces Lp, Lploc ou Ck, l’injection cano-

nique i : E → D′ est continue de Eσ dans D′ muni de sa topologie faible.Exercice 1.2.3 1. Soit ϕ ∈ D(Rn), on note ϕ ∈ D(Rn) la fonction ϕ(x) = ϕ(−x) ; soitu ∈ D′(Rn), montrer qu’on définit une distribution u ∈ D′(Rn) en posant

< u, ϕ >=< u, ϕ > pour tout ϕ ∈ D(Rn).

14 CHAPITRE 1 DISTRIBUTIONS

2. Soit f ∈ L1loc(R

n), on pose f(x) = f(−x) ; montrer que uf = uf .

Note Si u = u, on dit que u est une distribution paire et, si u = −u, que u est une distribution

impaire.

Exercice 1.2.4 Montrer que, pour tout ϕ ∈ D(R), la limite suivante existe

< v.p.1

x, ϕ >= lim

ε→0ε>0

Z|x|≥ε

ϕ(x)

xdx

et définit une distribution impaire notée v.p.1/x : on dit qu’il s’agit de la valeur principale de la fonction

non localement intégrable x �→ 1/x, notion introduite par Cauchy.

Exercice 1.2.5 Soit f : Rn − {0} → K une fonction continue telle que f(λx) = λ−nf(x) pourtout λ > 0 et tout x �= 0. Montrer que la limite

< u, ϕ >= limε→0ε>0

Z|x|>ε

f(x)ϕ(x) dx

existe pour tout ϕ ∈ D(Rn) si, et seulement si,R

Sn−1 f dσ = 0 où dσ désigne la mesure superficielle

sur la sphère unité Sn−1 de Rn. Montrer que u est alors une distribution sur Rn.

1.3 Distributions d’ordre fini

Dans la définition 1.1.1 des distributions, s’il existe un entier k indépendant ducompact K tel que (1.1.6) soit vrai, on dit que la distribution est d’ordre fini et leplus petit entier k tel que (1.1.6) soit vrai est alors appelé l’ordre de la distribution.On note D′(k)(Ω) l’espace vectoriel des distributions d’ordre ≤ k et D′F (Ω) l’es-pace vectoriel de toutes les distributions d’ordre fini. Les distributions localementintégrables sont d’ordre 0 ; il en est de même de la distribution de Dirac. Commecela apparaitra au cours de cet exposé, l’ordre d’une distribution mesure son irré-gularité : plus l’ordre est élevé, plus la distribution est irrégulière. Il existe mêmedes distributions d’ordre infini (exercice 1.10.1).

Exercice 1.3.1 Montrer que la distribution v.p.1/x (exercice 1.2.4) est d’ordre 1 [pour démon-

trer que cette distribution n’est pas d’ordre 0, on raisonnera par l’absurde en utilisant des fonctions

ϕε ∈ D(R), 0 < ε < 1, telles que 0 ≤ ϕε ≤ 1, ϕε = 1 sur [ε, 1] et supp ϕε ⊂ ]0, 2] ].

Exercice 1.3.2 Montrer que les suites de distributions suivantes convergent

un =

nXk=1

δ 1k2

− n δ0,(1.3.1)

un =

nXk=1

1

kδ 1

k− ln(n) δ0,(1.3.2)

un =

nXk=1

(−1)k

kδ 1

k(1.3.3)

et que les distributions limites sont d’ordre 1.

1.3 DISTRIBUTIONS D’ORDRE FINI 15

Nous allons essayer de comprendre quelle est la signification topologique decette notion. Le procédé qui conduit à la définition de l’espace D′ à partir de l’es-pace des fonctions C∞ à support compact peut être répété à partir d’autres espacesfonctionnels. Considérons ici l’espace Ck(Ω) où k est fini ; cet espace est un es-pace de Fréchet lorsqu’on le munit des semi-normes (1.1.3) où K décrit l’ensembleK des parties compactes non vides de Ω. Notons Ck

K(Ω) le sous-espace de Ck(Ω)constitué des fonctions à support contenu dans le compact K. Ce sous-espace estévidemment fermé dans Ck(Ω) et sa topologie peut être définie par la seule semi-norme (1.1.4) qui est donc une norme d’espace de Banach. Notons enfin

Ck0(Ω) =

⋃K∈K

CkK(Ω)

l’espace vectoriel des fonctions de classe Ck à support compact. On munit cet es-pace de la topologie limite inductive de la famille d’espaces de Banach (Ck

K)K∈K,soit

Ck0(Ω) = lim ind

K∈K

CkK(Ω).

Une forme linéaire u : Ck0(Ω) → K est continue si, et seulement si, sa restriction

à chaque sous-espace CkK(Ω) est continue. Dire que u appartient au dual (Ck

0)′(Ω)signifie donc que

(∀K ∈ K)(∃c ≥ 0)(∀ϕ ∈ CkK(Ω))(|u(ϕ)| ≤ c ‖ϕ‖k).(1.3.4)

Lorsque k = 0, cette définition est précisément celle d’une mesure de Ra-don [58, définition 2.19.1] sur l’espace localement compact Ω ; (C0

0)′(Ω) est donc

l’espace M(Ω) des mesures de Radon.Si u appartient à l’espace (Ck

0)′(Ω), sa restriction à D(Ω) est par définitionmême une distribution d’ordre ≤ k ; on définit ainsi une application

Φ : u ∈ (Ck0)′(Ω) �→ u|D(Ω) ∈ D

′(k)(Ω).(1.3.5)

On a alors le

Théorème 1.3.1 L’application Φ est une bijection linéaire.

Cette bijection linéaire permet d’identifier l’espace (Ck0)′ et l’espace D′(k) ; en

particulier, on identifie l’espace des mesures de Radon M(Ω) et l’espace des dis-tributions d’ordre 0.

La démonstration du théorème utilisera le lemme suivant.

Lemme 1.3.2 Dans l’espace Ck0(Ω), le sous-espace D(Ω) est partout dense. Plus

précisément, soient K une partie compacte de Ω, L ⊂ Ω un voisinage compact deK et ϕ ∈ Ck

K(Ω), alors il existe une suite ϕn ∈ DL(Ω) qui converge vers ϕ pourla topologie Ck.

Preuve Soit ϕ ∈ CkK(Ω), notons ϕ0 ∈ Ck

K(Rn) le prolongement de ϕ par 0 endehors de Ω et soit ϕ0

ε = ϕ0 ρε. Cette fonction ϕ0ε est C∞, à support compact et

appartient à l’espace DL(Rn) dès que 0 < ε < d(K, Rn − L) en supposant ρ àsupport dans la boule unité. D’après la proposition 2.33.3 de [58], ϕ0

ε converge vers

16 CHAPITRE 1 DISTRIBUTIONS

ϕ0 dans l’espace Ck(Rn) lorsque ε tend vers 0 ; par restriction à Ω, ϕ0ε|Ω ∈ DL(Ω)

converge vers ϕ pour la topologie Ck, ce qui prouve le lemme. Q.E.D.

Remarque 1.3.1 Lorsque ϕ est une fonction positive, on peut supposer les fonc-tions ϕn positives : il suffit d’effectuer la régularisation avec une fonction ρ ≥ 0.

Preuve du théorème 1.3.1 La linéarité de Φ est évidente et son injectivitérésulte de la densité de D(Ω) dans Ck

0(Ω).Montrons ensuite que Φ est surjective. Soit u une distribution d’ordre ≤ k ;

il s’agit de démontrer que u est la restriction à D(Ω) d’une forme v ∈ (Ck0)′(Ω).

Soient K un compact de Ω et L ⊂ Ω un voisinage compact de K. La distributionu étant d’ordre ≤ k, sa restriction à DL(Ω) est une forme linéaire et continue pourla topologie Ck, donc se prolonge de façon unique en une forme linéaire continuesur l’adhérence de DL(Ω) dans l’espace Ck(Ω) et par restriction (lemme 1.3.2)définit une forme linéaire

vK,L : CkK(Ω) → K

continue pour la topologie Ck. Par construction, on a u|DK(Ω) = vK,L|DK(Ω).Montrons que vK,L ne dépend pas du choix du compact L. Soient L1 ⊂ Ω et

L2 ⊂ Ω deux voisinages compacts de K. Soit ϕ ∈ CkK(Ω), il existe une suite (ϕn)

de l’espace DL1∩L2(Ω) qui converge vers ϕ pour la topologie Ck, d’où

vK,L1(ϕ) = lim

n→∞u(ϕn) = vK,L2

(ϕ).

Nous pouvons donc poser vK = vK,L et pour conclure il suffit de vérifier qu’ilexiste v ∈ (Ck

0)′(Ω) tel que v|CkK

= vK . Autrement dit, si K1 et K2 sont deux

compacts de Ω, il s’agit de vérifier que vK1(ϕ) = vK2

(ϕ) lorsque ϕ ∈ CkK1∩K2

(Ω).Or, si L ⊂ Ω est un voisinage compact de K1 ∪ K2, il existe une suite (ϕn) deDL(Ω) qui converge vers ϕ pour la topologie Ck, d’où

vKi(ϕ) = vKi,L(ϕ) = lim

n→∞u(ϕn)

et ceci prouve le résultat souhaité. Q.E.D.

Remarque 1.3.2 Si u est une distribution d’ordre ≤ k, on notera que la valeuru(ϕ) pour ϕ ∈ Ck

K(Ω) est donnée par la formule u(ϕ) = limn→∞ u(ϕn) où (ϕn)est une suite de DL(Ω) convergeant vers ϕ pour la topologie Ck, L désignant unvoisinage compact de K.Exercice 1.3.3 Une distribution u ∈ D′(Ω) est dite positive si, pour toute fonction ϕ ∈ D(Ω),ϕ ≥ 0, < u, ϕ > est réel et positif.

1. Montrer qu’une distribution positive est une mesure réelle positive et que| < u, ϕ > | ≤ c ‖ϕ‖0 pour tout ϕ ∈ CK(Ω) où c =< u, θ >, θ désignant une fonction deC0(Ω) telle que 0 ≤ θ ≤ 1 et θ = 1 sur K [lorsque ϕ ∈ DK(Ω) est à valeurs réelles, soit θ ∈ D(Ω)tel que 0 ≤ θ ≤ 1 et θ = 1 sur K, remarquer que −‖ϕ‖0 θ ≤ ϕ ≤ ‖ϕ‖0 θ, en déduire que < u, ϕ >est réel et que | < u, ϕ > | ≤< u, θ > ‖ϕ‖0 ; lorsque ϕ est à valeurs complexes, remplacer ϕ pare (λϕ) avec un choix convenable de λ ∈ C tel que |λ| = 1 ].

2. Soit (un) une suite de distributions positives convergeant vers une distribution u dans D′(Ω),

montrer que u est une mesure positive et que la suite (un) converge vers u pour la topologie vague

[utiliser le lemme 1.3.2 et l’inégalité de 1.].

1.3 DISTRIBUTIONS D’ORDRE FINI 17

Les espaces Ck0(Ω) et D′(k)(Ω) étant en dualité, on peut définir sur l’espace

D′(k)(Ω) la topologie faible associée à cette dualité ; cette topologie est définiepar la famille de semi-normes

‖u‖ϕ = |u(ϕ)| où ϕ décrit Ck0(Ω).

On a évidemment les inclusions

D′(k)(Ω) ⊂ D

′(l)(Ω) ⊂ D′(Ω) pour k ≤ l

et les injections canoniques sont continues lorsqu’on munit les espaces de leurtopologie faible. En particulier, sur l’espace M(Ω) des mesures de Radon, la to-pologie faible σ(M(Ω),C0(Ω)), appelée topologie vague, est plus fine que la to-pologie induite par la topologie faible de D′(Ω) : une suite de mesures de Radonconvergeant vaguement converge au sens des distributions.

Remarque 1.3.3 A toute fonction f ∈ L1loc(Ω), on peut associer la mesure de

Radon

λf (ϕ) =

∫Ω

f(x)ϕ(x) dx où ϕ ∈ C0(Ω)

et l’application linéaire f ∈ L1loc(Ω) �→ λf ∈ M(Ω) est injective d’après le

lemme 1.1.3. La restriction de λf à D(Ω) est simplement la distribution associéeà f . Autrement dit, modulo les identifications faites, on a les inclusions

L1loc(Ω) ⊂ M(Ω) ⊂ D

′(Ω).

Ceci conduit par exemple à identifier la fonction constante et égale à 1, la mesurede Lebesgue ϕ ∈ C0(Ω) �→ ∫

Ωϕ(x) dx et la distribution de Lebesgue

ϕ ∈ D(Ω) �→ ∫Ω

ϕ(x) dxOn observera que l’injection canonique de L1

loc(Ω) dans M(Ω) est continuevu l’inégalité

‖λf‖ϕ ≤ c ‖f‖1,K si ϕ ∈ CK(Ω) et c = supx∈Ω

|ϕ(x)|.

Remarque 1.3.4 Soit λ ∈ M(Ω) une mesure bornée, c’est-à-dire une forme li-néaire sur C0(Ω), continue pour la topologie de la convergence uniforme, soit

|λ(ϕ)| ≤ c supx∈Ω

|ϕ(x)| pour tout ϕ ∈ C0(Ω).(1.3.6)

Alors, la restriction u = λ|D(Ω) est une distribution vérifiant

|u(ϕ)| ≤ c ‖ϕ‖0 pour tout ϕ ∈ D(Ω).(1.3.7)

Réciproquement, une distribution vérifiant (1.3.7) est une mesure bornée. C’est eneffet une distribution d’ordre 0, donc une mesure λ. D’après la remarque 1.3.2, ona λ(ϕ) = limn→∞ u(ϕn) où (ϕn) est une suite convenable de D(Ω) convergeantuniformément vers ϕ et ceci prouve que λ vérifie (1.3.6) : λ est donc une mesurebornée.

L’inégalité (1.3.7), c’est-à-dire (1.1.11) pour q = ∞, caractérise donc les me-sures bornées.